Dùng tính chất đơn điệu của hàm số để giải toán

Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN  KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: DÙNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI TOÁN Giảng viên hướng dẫn Sinh viên thực Lớp : Th.S PHAN THỊ QUẢN : LÂM QUANG THUẬN : 15ST Đà Nẵng, tháng năm 2019 Khóa luận tốt nghiệp Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải toán LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn, tri ân sâu sắc đến Cơ Ths Phan Thị Quản - Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, động viên tạo điều để em nghiên cứu thực đề tài khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn đến q thầy, khoa Tốn phòng Đào Tạo trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng tạo điều kiện giúp đỡ em trình làm khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, ngày 20 tháng 01 năm 2018 Lâm Quang Thuận SVTH: Lâm Quang Thuận Trang Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………… CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT………………………………………………… 1.1 Sự đồng biến, nghịch biến hàm số………………………………………… 1.1.1 Định nghĩa đồng biến nghịch biến hàm số ……………….… 1.1.2 Định nghĩa đơn điệu hàm số…………………………………… 1.2 Định lí tính đơn điệu hàm số…………………………………………… 1.2.1 Bổ đề (đạo hàm hàm hằng)………………………………………… 1.2.2 Định lí tính đơn điệu hàm số…………………………………… 1.2.3 Một số tính chất hàm số đơn điệu………………………………… 10 1.3 Định lí số nghiệm phương trình hệ quả………………………… 11 1.3.1 Định lí số nghiệm phương trình………………………………… 11 1.3.2 Các hệ quả……………………………………………………………… 11 1.4 Cực trị hàm số Định lí Lagrange………………………………………… 13 1.4.1 Cực trị hàm số Định lí Fermat cực trị………………………… 13 1.4.2 Định lí Lagrange……………………………………………………… 13 CHƯƠNG 2: DÙNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT…………………………………………………… 15 2.1 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải phương trình…………….….… 16 2.1.1 Phương trình vơ tỉ………………………………………………….… 16 2.1.2 Phương trình chứa hàm lượng giác, hàm logarit hàm mũ………… 31 2.2 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải bất phương trình…………….… 41 SVTH: Lâm Quang Thuận Trang Khóa luận tốt nghiệp Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải toán 2.2.1 Bất phương trình khơng chứa tham số……………………………… 41 2.2.2 Giải tốn bất phương trình có chứa tham số…………………….… 47 2.3 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải hệ phương trình………………… 54 2.3.1 Hệ phương trình khơng chứa tham số………………………………… 54 2.3.2 Giải tốn hệ phương trình có chứa tham số……………………… 57 CHƯƠNG 3: DÙNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC……………………………………… 61 3.1 Giải toán cực trị mặt phẳng tọa độ Descartes Oxy ………………… 61 3.2 Giải toán cực trị hình học khơng gian Oxyz khoảng cách góc 64 3.3 Giải tốn cực trị hình học khơng gian tổng hợp…………………… 69 3.2.1 Một số toán cực trị độ dài, khoảng cách ……………………… 69 3.2.2 Một số toán cực trị diện tích, thể tích ………………………… 72 3.4 Giải tốn cực trị hình học có ứng dụng thực tiễn.………………………… 78 KẾT LUẬN…………………………………………………………………………… 84 Tài liệu tham khảo……………………………………………………………………… 85 SVTH: Lâm Quang Thuận Trang Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hàm số khái niệm toán học Trong đó, hàm số đơn điệu khái niệm quan trọng giải tích tốn học có nhiều ứng dụng ngành khoa học khác kinh tế, học, vật lý kĩ thuật Ngoài ra, ứng dụng tính đơn điệu hàm số việc giải toán đa dạng phong phú, đặc biệt dạng tốn giải phương trình, bất phương trình, giải hệ phương trình, chứng minh phương trình có nghiệm, toán cực trị Và chủ đề hàm số đơn điệu xuyên suốt chương trình mơn tốn từ cấp Trung học sở đến Trung học phổ thơng, dạng tốn đơn điệu thường xuyên xuất kì thi Quốc gia, Olympic nước,…Do tính đơn điệu hàm số, việc sử dụng thành thạo giải tốn vơ quan trọng Với mục tiêu nghiên cứu tính đơn điệu hàm số, ứng dụng để giải tốn sơ cấp mong muốn đưa đến cho bạn đọc cách nhìn đa dạng, phong phú việc giải tốn tính đơn điệu, tơi xin chọn đề tài “Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn” để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Khai thác tính chất đơn điệu hàm số - Nâng cao lực giải tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tốn cực trị hình học phương pháp hàm số - Phục vụ công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu tính đơn điệu hàm số - Phạm vi nghiên cứu: + Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 9/2018 đến tháng 1/2019 SVTH: Lâm Quang Thuận Trang Khóa luận tốt nghiệp Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải toán + Nội dung nghiên cứu: Phương trình, bất phương trình hệ phương trình số số tốn cực trị hình học Phương pháp nghiên cứu - Phân tích tổng hợp - Hệ thống phân loại tập Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dưng hệ thống tập giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình số số tốn cực trị hình học thơng qua tính đơn điệu hàm số Từ giúp người đọc có cách nhìn đa dạng ứng dụng hàm số đơn điệu giải tốn Cấu trúc khóa luận Luận văn gồm chương sau: Chương Cơ sở lí thuyết Chương Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải toán đại số siêu việt Chương Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn hình học SVTH: Lâm Quang Thuận Trang Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp Chương CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Sự đồng biến nghịch biến hàm số Cho hàm số f : D  với D  , khoảng, nửa khoảng đoạn 1.1.1 Định nghĩa đồng biến nghịch biến hàm số Hàm f gọi đồng biến (tăng) D x1 , x2  D cho x1  x2 , ta có f  x1   f  x2  Hàm số f gọi nghịch biến (giảm) D x1 , x2  D cho x1  x2 , ta có f  x1   f  x2  Nhận xét 1.1: Đồ thị hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường lên (hoặc xuống) khoảng xác định Nhận xét 1.2: Hàm f  x   c với c  không đồng biến không nghịch biến miền xác định 1.1.2 Định nghĩa đơn điệu hàm số Hàm số f đồng biến nghịch biến D ta nói hàm f đơn điệu D Nhận xét 1.3: Nếu hàm f đơn điệu D f đơn điệu K  D Nhận xét 1.4: Các hàm số đơn điệu khoảng mà xác định, chưa đơn điệu miền xác định Một số ví dụ cho ta thấy điều đó: SVTH: Lâm Quang Thuận Trang Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 1.1: Hàm số f ( x )  nghịch biến khoảng xác định  ;0  x  0;  , khơng nghịch biến miền xác định Ví dụ cho x1  1  x2  f  x1   1  f  x2   x  , x  Ví dụ 1.2: Hàm số f ( x)   xác định , x 1 x 1;  không đồng biến ; đồng biến  ;1 Ví dụ cho x1   x2  f  x1    f  x2   Ví dụ 1.3: Hàm số f ( x)  x nghịch biến  ;0  đồng biến 0;  không đơn điệu 1.2 Định lí tính đơn điệu hàm số Trên phương diện giải toán, ta sử dụng định nghĩa làm cơng cụ để khảo sát tính đơn điệu hàm số khó khăn việc giải toán Chẳng hạn nhiều thời gian để xét tính đơn điệu hàm số y  x   cos x sử dụng định nghĩa Do x đó, ta cần có cơng cụ mạnh để giải toán giải phương trình dựa vào đơn điệu hàm số Sau xuất khái niệm đạo hàm người ta sử dụng để nghiên cứu số tính chất hàm số, đặc biệt sử dụng để khảo sát tính đơn điệu hàm số Sau đây, ta tiếp tục xét định lí tính đơn điệu hàm số thơng qua cơng cụ đạo hàm Các định lí đây, mục 1.2 1.3 chứng minh có dựa vào định lí Lagrange, bạn đọc xem định lí Lagrange mục 1.4 SVTH: Lâm Quang Thuận Trang Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp 1.2.1 Bổ đề: (đạo hàm hàm hằng) Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b có đạo hàm khoảng  a; b  Khi f hàm f '  x   0, x   a; b  Chứng minh: Điều kiện cần: Nếu f  x   const , x   a; b hiển nhiên theo định nghĩa đạo hàm f '  x   0, x   a; b  Điều kiện đủ: Giá sử f '  x   0, x   a; b  Ta chứng minh f  x   const Theo định lí Lagrange ta có: x1 , x2   a; b cho x2  x1 , c   x1 ; x2  : f  x2   f  x1   f '  c  x2  x1  Theo giả thiết f '  c   đó: f  x2   f  x1   0, x1 , x2   a; b  f  x   const , x   a; b 1.2.2 Định lí tính đơn điệu hàm số Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng  a; b  Khi đó: a) Hàm f đồng biến khoảng  a; b  f ’  x   với x   a; b  f ’  x   hữu hạn điểm khoảng  a; b  b) Hàm f nghịch biến khoảng  a; b  f ’  x   với x   a; b  f ’  x   hữu hạn điểm khoảng  a; b  Chứng minh: Ta chứng minh mục a), mục b) chứng minh tương tự SVTH: Lâm Quang Thuận Trang Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp Điều kiện cần: Giả sử f ’  x   với x   a; b  f ’  x   hữu hạn điểm khoảng  a; b  Ta chứng minh f đồng biến khoảng  a; b  x1 , x2   a; b  cho x2  x1 Theo định lí Lagrange ta có: c   x1 ; x2  : f  x2   f  x1   f '  c  x2  x1    f  x2   f  x1  với x2  x1 Ta cần chứng minh f  x2   f  x1  với x2  x1 Thật vậy, giả sử x1 , x2   a; b  : x2  x1  f  x2   f  x1  Do tính không giảm nên f hàm  x1 ; x2  nên f  x   const , x   x1 ; x2  Theo định lí suy f '  x   0, x   x1 ; x2  Trái với giả thiết f ’  x   hữu hạn điểm khoảng  a; b  Do f  x2   f  x1  với x2  x1 Vậy hàm f đồng biến  a; b  Điều kiện đủ: Giả sử hàm f đồng biến  a; b  Ta cần chứng minh f ’  x   với x   a; b  f ’  x   hữu hạn điểm khoảng  a; b  Theo định nghĩa đạo hàm ta có: f '  x   lim x 0 f  x  x   f  x  x Không giảm tổng quát x   f  x  x   f  x  , f đồng biến  a; b   f  x  x   f  x   0, x   a; b  x  f '  x   lim x 0  f  x  x   f  x   , x   a; b  x Ta cần chứng minh f ’  x   hữu hạn điểm thuộc khoảng  a; b  SVTH: Lâm Quang Thuận Trang Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp Từ bảng biến thiên  max f  x   x  a x0; a   Điểm M trùng C SVTH: Lâm Quang Thuận Trang 73 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp 3.3.2 Một số tốn cực trị diện tích, thể tích Ví dụ 3.5: Cho tứ diện cạnh Các điểm M, N di động AB AC cho mp(DMN)  mp(ABC) Đặt AM  x, AN  y a) Chứng minh hệ thức x  y  3xy b) Xác định vị trí M N để thể tích tứ diện ADMN đạt giá trị lớn nhỏ c) Diện tích tồn phần tứ diện ADMN đạt giá trị lớn nhỏ Giải: a) Chứng minh hệ thức x  y  3xy Hạ DH  (ABC)  H trọng tâm tam giác ABC D  AH phân giác góc MAN Do (DMN)  (ABC)  M, H, N thẳng hàng Ta có S AMN  xy sin 600  xy y A N C x Mặt khác: H M S AMN  S AMH  S ANH   Do 1 x AH sin 300  y AH sin 300 2 I B  x  y  AH   x  y  12 3 xy   x  y   3xy  x  y 12 b) Xác định x, y để thể tích thể tích tứ diện ADMN đạt giá trị lớn nhỏ Ta có DH =  Thể tích tứ diện ADMN bằng: SVTH: Lâm Quang Thuận Trang 74 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp xy V  S AMN DH  12 Ta tìm tập giá trị xy  xy  P Ta có 3xy  x  y , đặt   x  y  3P Với x, y  [0; 1] nghiệm phương trình z  3Pz  P  Vì z  z2 khơng nghiệm phương trình nên z  3Pz  P   P   3.5 3z  Bài tốn quy tìm điều kiện P để phương trình  3.6  có hai nghiệm thuộc  0;1 Xét hàm số f  z   z2 1  với z   0;1 \   3z  3 z  3z  z f '  z      f  z  z  (3 z  1)  2 f    0; lim f  z   ; lim f  z   ; f    ; f 1  1 1 3 z   z      3  3 Bảng biến thiên : z f ' z  0   +  f  z  SVTH: Lâm Quang Thuận Trang 75 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp Từ bảng biến thiên suy  3.5  có hai nghiệm [0;1] :  P  Do V = P xy 2 = nên ta có  V  27 24 12 12 Vậy V = 2 1 x = y = ; maxV = x = 1, y = x = , y = 27 24 2 c) Diện tích tồn phần tứ diện ADMN đạt giá trị lớn nhỏ Ta có diện tích tồn phần tứ diên ADMN : Stp  S AMD  S AND  S AMN  SDMN  = 1 xy x sin 60  y sin 60   2 x  y  xy ( x  y  xy )  (3xy )  3xy  P  3P  P 2 3P  P , với  P  Xét hàm số g  P   P   g ' P    6P  1 4 1 4 1 Hàm số g  P  đồng biến  ;    0,  P  ;   9 2 9 2 3P  P 4 1 4 1  g    g  P   Stp  g   , P   ;  9  2 9 2  4 4 Nên Stp  g    9   x = y =  1 1 max Stp  g     x  1, y  x  , y  2 2 SVTH: Lâm Quang Thuận Trang 76 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 3.6: Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác vng cân đỉnh C SA vng góc với mặt phẳng(ABC), SC = a Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích khối chóp lớn Giải: Ta có BC  AC nên BC  SC  SCA góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) Đặt SCA  x, với  x   Khi đó: SA  asinx, AC  acosx  VS ABC 1 a3  SA.S ABC  a sin x  a cos x   sin x cos x 3   Xét hàm số f  x   sin x cos2 x khoảng  0;   2 Ta có f ’  x   cos3 x  2cos x sin x  cos x  3cos x   2   x   0;    cos x  nên f ’  x    cos x   x  arccos 3  2 Bảng biến thiên: x f ' x arccos + SVTH: Lâm Quang Thuận   2 f  arccos  3  f  x Vậy VS.ABC lớn x  arccos  2 Trang 77 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 3.7: Cho mặt cầu (S) bán kính R Tìm hình nón (N) tích nhỏ ngoại tiếp mặt cầu (S) Giải: Giả sử (N) có đỉnh S đáy hình trịn tâm O đường kính AB K điểm tiếp xúc (S) (N) Đặt SI = x, x > R Ta có SO = x+ R, SK = x  R Do SIK ~ SAO nên: SK IK SO.IK R  R  x    AO   SO AO SK x2  R2 Suy thể tích hình nón là:  R  R  x  R2  R  x  V  x    OA2 SO  R  x    3 x  R2 xR 2 Xét hàm số f  x  Ta có: f ' ( x)   R  x  xR 2 , với x   R;   x  Rx  3R ; ( x  R)  x  3R f ' ( x)    ; f  3R   R x  R Bảng biến thiên f  x  khoảng  R;   x R  f ' x  3R  +  f  x 8R SVTH: Lâm Quang Thuận Trang 78 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp Hàm số f  x  đạt giá trị nhỏ khoảng ( R;  ) x  3R , 8R Vậy hình nón (N) tích bé nội tiếp mặt cầu (S) có: Chiều cao SO  x  3R  4R bán kính đáy AO = R  R  x x R 2 =R Ví dụ 3.8: Cho mặt cầu (S) bán kính R Tìm hình nón (N) tích lớn nội tiếp mặt cầu (S) Giải: Gọi I tâm mặt cầu, O tâm đường tròn đáy (N) Đặt IO = x với  x  R  AO = R  x , SO = R + x Ta tích V khối nón nội tiếp mặt cầu là:  V   OA2 SO  ( R  x )( R  x) với  x  R 3 Xét hàm số f  x    R  x   R  x  , với x  0; R Bài tốn trở việc tìm x  0; R để f  x  đạt giá trị lớn  x  R Ta có f ’  x   2 x  R  x    R  x    R  x  R  3x  f '  x     x  R  2  R  32 R f   Ta có bảng biến thiên: 27 3 SVTH: Lâm Quang Thuận Trang 79 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp x R f ' x + R  32 R 27 f  x f  R f 0 Từ bảng biến thiên, suy f  x  đạt giá trị lớn 0; R x  Vậy hình nón (N) tích lớn Bán kính đáy OA  R  x  R 32 R nội tiếp mặt cầu (S) có: 27 2 R chiều cao SO  x  R  R 3 3.4 Giải toán cực trị hình học có ứng dụng thực tiễn Ví dụ 3.12: Cho nhơm hình vng cạnh a Người ta cắt bốn góc bốn hình vng nhau, gập nhơm lại hình để hộp khơng nắp Tính cạnh hình vng bị cắt cho thể tích khối hộp lớn Giải: a x x Gọi x độ dài cạnh hình vng bị cắt, điều kiện  x  SVTH: Lâm Quang Thuận a a Trang 80 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp Thể tích khối hộp V  x   x  a  x   a Bài tốn trở việc tìm x   0;  cho V  x  đạt giá trị lớn  2 a Ta có V ’  x    a  x   x.2  a  x  2    a  x  a  x  V ’  x    x  Bảng biến thiên: x V ' x   a a  a f  6 V  x 0 Từ bảng biến thiên ta có hàm số có điểm cực trị điểm cực đại x  a Nên hàm số V(x) đạt giá trị lớn Vậy cạnh hình vng bị cắt x  a Ví dụ 3.13: Một nhà máy cần sản xuất bể nước tơn có dạng hình hộp đứng khơng nắp có đáy hình vng tích 500 lít Hãy tính kích thước bể cho tốn vật liệu h h x x x h SVTH: Lâm Quang Thuận Trang 81 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp Giải: Gọi x dm độ dài cạnh đáy bể, h dm chiều cao bể Điều kiện x, h  Khi thể tích bể nước là: 500  V  x h  h  500 x2 Diện tích mảnh tơn dùng làm bể nước S  x   x  4hx  x  2000 x Bài tốn quy tìm x   0;   cho S  x  đạt giá trị nhỏ Ta có 2000  x  1000  S ' x   2x   S '  x    x  10 x x2 lim S  x   lim S  x   ; S 10   300 x 0 x  Suy bảng biến thiên sau: x S ' x  10     S  x 300 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy S(x) đạt giá trị nhỏ x = 10 Vậy muốn tốn nguyên liệu ta lấy độ dài cạnh đáy bể x = 10 dm, chiều cao h  dm Ví dụ 3.14: Nguời ta muốn sản xuất hộp hình trụ đứng trịn xoay kín hai đáy, với thể tích cho trước V Hãy tìm kích thước hộp cho tốn vật liệu Giải: SVTH: Lâm Quang Thuận Trang 82 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp Gọi bán kính đáy hình trụ x (x > 0) , chiều cao h, theo cơng thức tính thể tích khối trụ ta có V   x2h  h  V  x2 Diện tích vật liệu làm hộp diện tích tồn phần hình trụ có chiều cao h bán kính đáy x bằng: S  x   2 x  2 xh  2 x  h 2V x Bài toán quy tìm x   0;   cho S  x  đạt giá trị nhỏ x Ta có S '  x   4 x  2V V S '  x    x  x 2 lim S  x   lim S  x    x 0 x  Bảng biến thiên: x S ' x  V 2     S  x  V  S   2  Từ bảng biến thiên suy S  x  nhỏ x  V 2 Vậy để tốn vật liệu hộp hình trụ phải có bán kính đáy x  V , chiều cao 2 h  4V SVTH: Lâm Quang Thuận Trang 83 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 3.15: Cắt bỏ hình quạt trịn AOB (hình dưới) từ miếng tơng hình trịn bán kính R dán hai bán kính OA OB hình quạt trịn với để hình nón Gọi x góc tâm quạt tròn   x  2  Tìm x để hình nón tích lớn nhất, tìm thể tích Giải: Gọi h chiều cao, r bán kính đường trịn đáy hình nón Vì độ dài đường trịn đáy hình nón độ dài cung AB quạt tròn, nên ta có: Rx  2 r  r  Do h= R2  r  R2  R2 x2 R  2 4 Rx 2 4  x 2 Thể tích hình nón 1  Rx  R V  x    r 2h     3  2  2 4  x R3 V  x  x 4  x , với x   0;2  24 Bài tốn quy tìm x   0;2  cho V  x  đạt giá trị lớn Ta có: R3  x R3 x  4  x   x 2 2 V ' x  x   x  x    24  4  x  24 4  x 2 2 R x  8  3x  V ' x   24 4  x SVTH: Lâm Quang Thuận Trang 84 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp V '  x    8  3x   x   ;  8 V   R3 ; lim V  x   lim V  x    x 0 x  2  27    Bảng biến thiên : x V ' x    2   R3 27 V  x 0 Vậy hình nón tích lớn góc x   Thể tích lớn SVTH: Lâm Quang Thuận  2940   3  R3 27 Trang 85 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Khóa luận đạt số kết sau: Khai thác tính đơn điệu hàm số ứng dụng để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tốn cực trị hình học tạo niềm đam mê tìm tịi sáng tạo giải toán Đã hệ thống phân loại dạng tốn từ dễ đến khó với nhiều ví dụ minh họa áp dụng phương pháp giải toán phong phú kèm tập tiêu biểu Kết đề tài góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán trường phổ thông SVTH: Lâm Quang Thuận Trang 86 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo [1] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất Bộ giáo dục đào tạo, Giải tích 12, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí, Phương Pháp Giải Tốn Hình Học Giải Tích Trong Khơng Gian, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu (1993), Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Mậu (2010), Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thơng, NXB Giáo dục [5] Đặng Thành Nam, Chuyên phương trình, bất phương trình vơ tỷ, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Các chuyên đề phương pháp giải phương trình bất phương trình mạng Internet [7] Các tuyển tập đề thi Olympic 30-4, NXB Đại Học Sư Phạm SVTH: Lâm Quang Thuận Trang 87 ... Chương Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải toán đại số siêu việt Chương Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn hình học SVTH: Lâm Quang Thuận Trang Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải. .. 14 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn Khóa luận tốt nghiệp Chương DÙNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT 2.1 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải. .. nghiệp Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải tốn 2.2 Dùng tính chất đơn điệu hàm số để giải bất phương trình 2.2.1 Bất phương trình khơng chứa tham số Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số để giải