Vành các hàm số học và các tính chất liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN NGỌC VINH VÀNH CÁC HÀM SỐ HỌC VÀ CÁC TÍNH CHẤT LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN NGỌC VINH VÀNH CÁC HÀM SỐ HỌC VÀ CÁC TÍNH CHẤT LIÊN QUAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Đà Nẵng - Năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết luận văn trung thực Nếu có sử dụng tài liệu khác trích dẫn rõ ràng phần tài liệu tham khảo Đà Nẵng, tháng năm 2016 Học viên Trần Ngọc Vinh MỤC LỤC MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục đề tài CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC 1.1 VÀNH, IDEAN, MIỀN NGUYÊN 3 1.2 VÀNH CÁC HÀM SỐ SỐ HỌC CHƯƠNG MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC CƠ BẢN 20 2.1 HÀM SỐ MOBIUS 20 2.2 PHI-HÀM EULER 25 CHƯƠNG MỘT SỐ ÁP DỤNG 30 3.1 ÁP DỤNG HÀM MOBIUS 30 3.2 ÁP DỤNG PHI-HÀM EULER 36 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) 42 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU CÁC KÍ HIỆU: R C N N∗ Z Q [n] {n} ϕ(n) µ(n) Trường số thực Trường số phức Tập số tự nhiên Tập số nguyên dương Tập số nguyên Tập số hữu tỷ Phần nguyên số thực n Phần thập phân số thực n Phi - hàm Euler Hàm Mobius MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong năm gần đây,công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ vũ bão, thành tựu số học ứng dụng trực tiếp vào vấn đề trực tiếp đời sống kinh tế, xã hội,thông tin mật mã, kĩ thuật máy tính Do nghiên cứu phát triển ứng dụng số học bước quan trọng toán học Nhắc tới số học ta khơng thể bỏ qua vai trị quan trọng hàm số học,kể lý thuyết ứng dụng thực tiễn Đây vấn đề cổ điển khai thác đề cập nhiều từ thi học sinh giỏi nghiên cứu bậc cao Dưới hướng dẫn định hướng GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, chọn đề tài “Vành hàm số học tính chất liên quan” làm đề tài nghiên cứu luận văn Mục tiêu nghiên cứu Trong luận văn tơi trình bày lý thuyết vành hàm số học,nêu vài hàm số học tiểu biểu,quan trọng, tính chất liên quan ứng dụng hàm số nêu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: vành hàm số học, số hàm số học tiểu biểu,quan trọng, tính chất liên quan ứng dụng hàm số nêu Phạm vi nghiên cứu: kiến thức vành hàm số học, số tính chất liên quan tập tài liệu tham khảo mà GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu giới thiệu Phương pháp nghiên cứu Tìm đọc, phân tích số tài liệu vành hàm số học tính chất liên quan Làm rõ chứng minh tài liệu, hệ thống kiến thức nghiên cứu Bố cục đề tài Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành ba chương đề cập đến vấn đề sau đây: Chương Trình bày số kiến thức đại số số học Chương Trình bày số hàm số số học Chương Trình bày số áp dụng hàm số CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC 1.1 VÀNH, IDEAN, MIỀN NGUYÊN - Một cấu trúc đại số (X, ) với (.) phép tốn X có tính chất kết hợp gọi nửa nhóm Một nửa nhóm có phần tử đơn vị gọi vị nhóm Một nửa nhóm giao hốn phép tốn có tính giao hốn - Một vị nhóm (X, ) gọi nhóm phần tử X tồn phần tử nghịch đảo Hay nói cách khác cấu trúc đại số (X, ) dược gọi nhóm nếu: a) (x.y).z = x.(y.z) với x, y, z ∈ X; b) Tồn phần tử e ∈ X cho e.x = x.e = x với x ∈ X c) Với x ∈ X tồn y ∈ X cho x.y = y.x = e Ví dụ 1.1 Tập hợp số hữu tỉ với phép cộng thông thường nhóm, tập hợp số hữu tỉ khác với phép nhân thơng thường nhóm Tập hợp số phức có modul với phép nhân thơng thường nhóm, tập hợp gồm số -1 với phép nhân nhóm - Một nhóm gồm phần tử gọi nhóm tầm thường Một nhóm nói chung có hữu hạn vơ hạn phần tử Nếu X có hữu hạn phần tử ta nói X nhóm hữu hạn số phần tử X gọi cấp nhóm X Nếu phép tốn X có tính giao hốn ta nói X nhóm giao hốn hay nhóm Abel Các tính chất nhóm: Tính chất 1.1 Phần tử đơn vị nhóm Tính chất 1.2 Mỗi phần tử nhóm có phần tử nghịch đảo Tính chất 1.3 Trong nhóm luật giản ước thực với phần tử, tức từ đẳng thức a.b = a.c b.a = b.c kéo theo b = c Tính chất 1.4 Trong nhóm (X, ) ta có: (ab)−1 = b−1 a−1 am an = am+n (an )m = am.n Tính chất 1.5 Cho (X, ) nửa nhóm mệnh đề sau tương đương: i) (X, ) nhóm ii) với phần tử a, b X phương trình a.x = b phương trình y.a = b có nghiệm iii) Trong X tồn phần tử đơn vị trái (tương ứng đơn vị phải) phần tử X có nghịch đảo trái (tương ứng nghịch đảo phải) Định nghĩa 1.1 ([4]) Cho (X, ) nhóm, H tập X H gọi ổn định phép toán X a.b ∈ H với a, b ∈ H Khi người ta nói phép tốn X cảm sinh phép toán H Ta nói phận ổn định H nhóm X nhóm X H với phép tốn cảm sinh nhóm Giả sử H tập khác ∅ nhóm (X, ) Khi ba mệnh đề sau tương đương: i) H nhóm X ii) ab ∈ H a−1 ∈ H với a, b thuộc H iii)(ab)−1 ∈H với a, b thuộc H Định nghĩa 1.2 ([4]) Cấu trúc đại số (X, +, ) + phép toán X gọi vành nếu: - (X, +) nhóm - (X, ) vị nhóm - Phép (.) phân phối với phép (+) Phần tử đơn vị nhóm (X, +) thường kí hiệu 0X Phần tử đơn vị (kí hiệu 1X ) vị nhóm (X, ) gọi phần tử đơn vị vành Một vành mà 0X = 1X gọi vành tầm thường Nếu phép tốn (.) có tính giao hốn vành (X, +, ) gọi vành giao hoán Cho (X, +, ) vành, xảy trường hợp tồn phần tử a, b ∈ X cho a = 0, b = (0 phần tử đơn vị nhóm (X, +)) a.b = Những phần tử gọi ước không Một vành khơng tầm thường, giao hốn, khơng có ước không gọi vành nguyên miền nguyên Vành (X, +, ) gọi trường khơng tầm thường, giao hốn phần tử khác khơng có nghịch đảo phép tốn (.) Như (X, +, ) trường (X − 0, ) nhóm Định nghĩa 1.3 ([4]) Cho (X, +, ) vành A tập khác rỗng X Khi A gọi idean X thỏa mãn điều kiện: - (A, +) nhóm (X, +) - ax ∈ A xa ∈ A với a ∈ A x ∈ X Định nghĩa 1.4 ([4]) Vành X gọi miền nguyên X vành giao hoán, có đơn vị 1=0, khơng có ước 1.2 VÀNH CÁC HÀM SỐ SỐ HỌC Hàm số số học hàm số nhận giá trị phức xác định tập hợp số nguyên dương Các hàm số số học vừa đối tượng vừa cơng cụ có hiệu nghiên cứu tốn học, tin học, mật mã Do đó, với việc nghiên cứu hàm số số học, người ta thường quan tâm đến cấu trúc đại số, cấu trúc giải tích hàm số số học Trên tập hợp hàm số số học, trang bị nhiều phép tốn đại số - ngơi để từ thu cấu trúc đại số khác nhau.Ở ta tìm hiểu cấu trúc vành hàm số số học Định nghĩa 1.5 ([4]) Một hàm số f xác định tập hợp số nguyên dương nhận giá trị trường số phức gọi hàm số số học Hàm số số học f gọi hàm có tính chất nhân (hàm nhân) nếu: 1) Tồn số nguyên dương n f (n) = 2) Với cặp số nguyên dương a, b nguyên tố nhau, ta có f (ab) = f (a)f (b) Trong trường hợp đẳng thức với số nguyên dương a, b hàm số số học f gọi hàm có tính chất nhân mạnh 29 =1+2+4+6+8+24 =45 Định lý 2.12 ([2]) Giả sử n > a số nguyên, nguyên tố với n ta có aϕ(n) ≡ 1(modn) Chứng minh Giả sử r1 , r2 , rϕ(n) hệ thặng dư thu gọn mod n, a n nguyên tố nên suy hệ ar1 , ar2 , arϕ(n) hệ thặng dư thu gọn modn Vì thăng dư hệ đồng dư với thặng dư hệ theo mod n nên ta có : ar1 ar2 arϕ(n) ≡ r1 r2 rϕ(n) (modn) Do aϕ(n) r1 r2 rϕ(n) ≡ r1 r2 rϕ(n) (modn) Vì thặng dư ri nguyên tố với n, giản ước hai vế đồng dư thức cho số nguyên ri ta có : aϕ(n) ≡ 1(modn) 30 CHƯƠNG MỘT SỐ ÁP DỤNG 3.1 ÁP DỤNG HÀM MOBIUS Bài tốn 3.1 Tính tốn µ(n) với 11≤ n ≤ 20 Giải Theo định nghĩa hàm Mobius ta dễ dàng tính được: µ(11) = −1 µ(12) = µ(13) = −1 µ(14) = µ(15) = µ(16) = µ(17) = −1 µ(18) = µ(19) = −1 µ(20) = Bài tốn 3.2 Cho f (n) hàm số số học định nghĩa g(n) = f (d) d|n Sử dụng hàm Mobius ngược để viết f (30) tổng giá trị phân biệt hàm số học g Giải 30 Áp dụng hàm Mobius ngược,ta có : f (30) = µ(d)g( ) d d|30 = µ(1)g(30) + µ(2)g(15) + µ(3)g(10) + µ(5)g(6) + µ(6)g(5) + µ(10)g(3) + µ(15)g(2) + µ(30)g(1) = g(30) − g(15) − g(10) − g(6) + g(5) + g(3) + g(2) − g(1) Bài toán 3.3 Cho d(n) hàm đếm ước số, chứng minh k|n với số nguyên n xác định Giải n d(k)µ( ) = k 31 Áp dụng hàm Mobius ngược với f (n) = ta có d(n) = f (k), ta suy k|n = f (n) = k|n n d(k)µ( ) k Đây điều phải chứng minh Bài tốn 3.4 Cho σ(n) kí hiệu tổng ước dương n, nghĩa k σ(n) = k|n Chứng minh k|n n σ(k)µ( ) = n k với số nguyên n Giải Vì σ(n)= k nên xét hàm f (n) = n k|n Áp dụng hàm Mobius ngược ta có n = f (n) = k|n n σ(k)µ( ) k Đây điều phải chứng minh Bài toán 3.5 Cho f (x) hàm tập số x ≥1 Định nghĩa hàm g(x) sau: x g(x) = f ( ) n n≤x Chứng minh f (x) = x µ(n)g( ) n n≤x Bài toán 3.6 Cho g(x) la hàm tập số x ≥1, định nghĩa hàm f (x) sau: x f (x) = µ(n)g( ) n n≤x 32 Chứng minh g(x) = x f ( ) n n≤x Để chứng minh toán ta chứng minh toán sau: Bài toán 3.7 Đặt I := x ∈ R : x ≥ Với hàm f : I → C ; hàm g : I → C chứng minh (i) (ii) tương đương x i) g(x) = f ( ) với x ≥1, k k≤x x ii) f (x) = µ(k)g( ) với x ≥1 k k≤x Chứng minh (lý thuyết bổ sung) Gọi F (I, C) biểu thị không gian vectơ tất hàm f : I → C , định nghĩa toán tử vành hàm số học không gian vectơ F (N, C)xF (I, C) → F (I, C), (α, f ) → α∇f Trong (α∇f )(x) := x α(k)f ( ) k k≤x Với định nghĩa trên, ta chứng minh F (I, C) trở thành module vành F (N, C) Thật vậy,rõ ràng F (I, C) nhóm abel với phép cộng điểm (f + g)(x) = f (x) + g(x) Vì ta cần chứng minh Cho α, β ∈ F (N, C) f, g ∈ F (I, C) mệnh đề sau α∇(f + g) = α∇f + α∇g (α + β)∇f = α∇f + β∇f α∇( β∇f ) = (α ∗ β)∇f δ∇f = f ( với δ(1) = 1; δ(n) = với n>1)) Dễ dàng chứng minh mệnh đề 33 Chứng minh Ta có (α∇( β∇f ))(x) = x α(k)(β∇f )( ) k k≤x β(l)f ( α(k) = k≤x l≤x/k α(k) β(l)f ( = kl≤x = = x ) kl x ) kl x α(k) β(l)f ( ) n n≤x kl=n x (α ∗ β)(n)f ( ) = ((α ∗ β)∇f )(x) n n≤x Chứng minh (δ∇f )(x) = x δ(k)f ( ) k k≤x x = δ(1)f ( ) = f (x) Với lý thuyết bổ sung toán viết (i) g = u∇f u hàm u(n) = Nhân phương trình hàm Mobius theo điểm ta có µ ∇g = µ ∇(u∇g) = (µ ∗ u)∇f = δ ∇f = f (i suy ii) Tương tự, từ f = µ ∇g ta suy u∇f = u∇(µ∇g) =(u∇ µ) ∇g = δ ∇g = g (ii suy i) Bài toán 3.8 Chứng minh số nguyên dương n biểu diễn dạng n = k2l k l số nguyên dương l không chia hết cho bình phương số nguyên tố Chứng minh dµ2 (n) = µ(d) d2 |n 34 Giải Trong khai triển n = pα1 pα2 pαmm ta phân tích n thành tích phần sau: Phần gồm tích thừa số pj cho αj số lẻ , tích l (tức l = pj ) αj =2k+1 Phần lại gồm thừa số pαk k cho αk số chẵn tích α −1 pj j Như vậy, phần viết lại α −1 pαk k k2 = αk =2l pj j αj =2l+1 Do đó, ta biểu diễn n dang n=k l l khơng chia hết cho bình phương số ngun tố ( l tích số nguyên tố) Xét k = Khi đó, n chia hết cho số k = nên theo định nghĩa hàm Mobius µ(n) nhận giá trị ±1, suy µ2 (n)=1 µ(d)=µ(1)=1 (theo định nghĩa hàm Mobius) Mặt khác lúc d2 |n Vậy k = µ2 (n) = µ(d) d2 |n Xét k = Khi đó, theo định nghĩa hàm Mobius, ta dễ dàng suy µ2 (n)=0 Mặt khác, µ(d) = µ(d) = µ(d) = d2 |n (do k >1) Vậy µ2 (n) = d2 |k d|k µ(d) d2 |n Đây điều phải chứng minh Bài toán 3.9 Chứng minh mật độ số nguyên không chia hết cho bình phương số nguyên tố (tương đương với, π gọi Q(x) số số ngun khơng chia hết cho bình phương số nguyên tố không vượt x) Chứng minh Q(x) lim = x→∞ x π 35 Giải Nếu n khơng chia hết cho bình phương số nguyên tố theo định nghĩa hàm Mobius ta có µ2 (n)=1 Và Q(x) = µ2 (n) n≤x = µ(d) d2 ≤x √ x 6x x) = + O( d2 π2 Do Q(x) = x→∞ x π Hồn thành chứng minh lim Bài toán 3.10 Với x ≥ 1, uv≤x,(u,v)=1 = log2 x + O(log x) uv π Chứng minh Ta định nghĩa f (x) = uv≤x,(u,v)=1 Và g(x) = = st st≤x , uv d(n) n n≤x Nếu st ≤ x r ước chung s t, r2 ≤ st ≤ x √ Và r ≤ x st≤x st 1 x = = f 2 r uv r r 1/2 1/2 uv≤x/r ,(u,v)=r r≤x r≤x g(x) = 36 µ(r) x r2 r≤x1/2 r µ(r) = st≤x,(s,t)=r st r≤x1/2 r d(n) = r≤x1/2 r n≤x/r1/2 n µ(r)d(n) = nr2 nr2 ≤x d(n) µ(r) = n≤x n n≤(x/n)1/2 r d(n) n 1/2 = + O( ) π2 x n≤x n d(n) d(n) +O = π n≤x n x1/2 n≤x n1/2 f (x) = Từ Nên d(n) log2 x = + O(log x), n n≤x d(n) = 2x1/2 log x + O(x1/2 ) 1/2 n n≤x 3.2 ÁP DỤNG PHI-HÀM EULER Bài tốn 3.11 Tính ϕ(6993) Giải Ta có 6993=7.27.37 Vì (7,27)=1; (27,37)=1;(7,37)=1 nên ϕ(6993)= ϕ(7) ϕ(27) ϕ(37) Ta có ϕ(7)=70 (7 − 1) =6 ϕ(27)= ϕ(33 )=32 (3 − 1) =18 ϕ(37)= 370 (37 − 1)=36 Do ϕ(6993)=6.18.36=3888 Bài tốn 3.12 Cho m=15 Tính ϕ(d) với ước d m, kiểm tra ϕ(d) = m d|m 37 Tính tương tự cho m=16,17 Giải 15 có ước 1,3,5 15 Dễ tính ϕ(1)=1; ϕ(3)=2; ϕ(5)=4; ϕ(15)=8 Do ϕ(d) = + + + = 15 d|15 16 có ước 1,2,4,8,16 Dễ tính ϕ(1)=1; ϕ(2)=1; ϕ(4)=2; ϕ(8)=4; ϕ(16)=8 Do ϕ(d) = + + + + = 16 d|16 17 có ước 17 Tính ϕ(1)=1; ϕ(17)=16 Do ϕ(d) = + 16 = 17 d|17 Bài toán 3.13 Chứng minh ϕ(m) số chẵn với m ≥3 Giải Xét m số nguyên tố, theo định lý ta có ϕ(m)=m − Mà số nguyên tố m ≥3 số lẻ, ϕ(m)=m − số chẵn Xét m lũy thừa bậc k tức m=2k ;k ≥2 Khi ta có ϕ(m)=2k−1 (2 − 1) = 2k−1 số chẵn Xét m có ước nguyên tố số lẻ p với lũy thừa bậc k ≥1 Khi ta m m có ϕ(m)= ϕ( k ).ϕ(pk ) (do số k pk nguyên tố nhau) p p k k−1 Lại có ϕ(p )=p (p − 1) số chẵn (do p số ngun tố lẻ) Do đó, với m ≥3 ϕ(m) số chẵn Bài toán 3.14 Chứng minh ϕ(mk ) = mk−1 ϕ(m), với số nguyên dương m k Giải 38 Viết m dạng phân tích chuẩn tắc : m = pα1 pα2 pαnn α Khi cặp (pαi i ; pj j ) với i = j nguyên tố Do kα2 kαn ϕ(mk ) = ϕ(pkα )ϕ(p2 ) ϕ(pn ) −1 −1 n −1 (p2 − 1) pkα (pn − 1) (p1 − 1).pkα = pkα n n −α1 +α1 −1 (pi − 1).pkα = i=1 n i −αi (pi − 1).pkα pαi i −1 i = i=1 n n k(α −1) pi i = i=1 (pi − 1).pαi i −1 = mk−1 ϕ(m) i=1 Đây điều phải chứng minh Bài toán 3.15 Chứng minh m số nguyên tố ϕ(m)=m − Giải Khi m số nguyên tố số tự nhiên nhỏ n nguyên tố với nên theo định nghĩa hiển nhiên ϕ(m)=m − Nếu m hợp số nghĩa có ước số d thỏa mãn 1