Đang tải... (xem toàn văn)
C/m ñöôïc I’ laø trung ñieåm cuûa E’F’ roài keát luaän quyõ tích ñuùng (1,5 ñieåm). (HS laøm caùch khaùc neáu ñuùng vaãn troøn ñieåm) ---[r]
(1)PGD huyện Long Điền Trường THCS Phước Tỉnh
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2005-2006 Ngày thi 20 tháng 01 năm 2006, thời gian 150 phút ( không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2,5 điểm)
Chứng minh tổng lũy thừa ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 HD chấm:
Gọi M = (a-1)3 + a3 + (a+1)3 với a nguyên, ta có
M = a3 – 3a2 +3a -1 +a3+a3 + 3a2 +3a + = 3a(a2 + 2) Nếu a chia hết cho M chia hết cho 9, a
khơng chia hết cho a chia cho cịn dư dư a2 + chia hết cho M chia hết cho (2,5 điểm)
Bài 2: (3 điểm) HD chấm:
2 2
2
2 2 2
cos sin cos sin 1
) (1,5 ) ) / :1 cot (1,5 )
cos cos cos cos sin
x x x x
a tg x d b C mtuong tu g x d
x x x x x
Baøi : (4,5 điểm)
a) Cho hai số M N sau :
M = 2005 + 2007 vaø N = 2006
Số lớn ? (2 điểm)
b) Cho A = (4+ 15)( 10- 6) 4 15 chứng minh A số hữu tỉ (2,5 điểm)
HD chấm:(Bài 3) : a) Vì hai số dương nên bình phương M N dẫn tới so sánh số 2005.2007 với số
2006; maø 2005.2007 = 20062
< 2006 => M < N (2 điểm)
Học sinh c/m cách khác c/m khái quát a + a2 < a1 với a b) Có thể khai 4 15 ý 15 =
2
(8 15) =
2
( 3)2
đưa + 15 vào bên 4 15 để A = ( 10 - 6) 4 15
kết A = (2,5 điểm) Bài 4: (4 điểm)
AB CD dây cung vng góc E bên đường tròn (O, R) a) Chứng minh rằng: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = 4R2 (2 điểm)
b) Gọi M trung điểm AC; chứng minh EM vng góc với BD (2 điểm)
HD chấm: a) Vẽ đường kính AOF suy góc ABF = vng BF // CD CB = DF x
x g b
x x tg
a 2
2
sin cot
1 ) cos
1
(2)p dụng đlý Pi-ta-go: EB2 + EC2 = BC2 = DF2
EA2 + ED2 = AD2
EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = DF2 + AD2 = AF2 = 4R2 b) Ta coù E3 = A = D D = E3
vaø E1 = E2
mà E3 + E2 = vuông D + E1 = vuông ĐPCM
Bài 5: (6 điểm)
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, vẽ hai tia song song Ax, By nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB Một góc vng COD quay quanh O; hai cạnh góc vng cắt Ax By C D. a) Chứng minh CD = AC + BD (2 điểm)
b) Chứng minh CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB Gọi tiếp điểm M (2 điểm) c) AM cắt OC E, BM cắt OD F Tìm tập hợp trung điểm I EF (2 điểm)
HD chấm: a) Gọi N trung điểm CD; suy ON vừa trung tuyến ứng với cạnh huyền tam
giác vng OCD vừa đường trung bình hình thang vng ACDB ĐPCM (1,5 điểm) b) Vẽ OM vng góc với CD, chứng minh OM = OB = OA:
xét tam giác vuông MOD BOD có D2 = O3 (so le trong) mà D1 = O3 (do tam giác NOD cân
N) D1 = D2 ; lại có cạnh huyền OD chung vuoâng MOD = vuoâng BOD OM = OB = OA vaø
OMD = OBD = vuông ĐPCM (2 điểm)
c) * Thuận: C/m tứ giác OEMF hình chữ nhật, suy I trung điểm OM suy I thuộc nửa đường trịn tâm O bán kính R/2
* Đảo: Lấy I’ thuộc nửa đường tròn tâm O bán kính R/2; OI’ cắt (O, R) M’, tiếp tuyến (O,R) M’ cắt Ax C’, cắt By D’ OC’ cắt AM’ E’; OD’ cắt BM’ F’ C/m I’ trung điểm E’F’ kết luận quỹ tích (1,5 điểm)
(HS làm cách khác tròn điểm)