Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Nếu bớt tử số ñi 7 ñơn vị và tăng mẫu lên 4 ñơn vị thì sẽ ñược phân số nghịch ñảo của phân số ñã cho. Tìm phân số ñó.. a, Tứ giác AMNI là hình [r]
(1)ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1)
Câu 2: (5,0 ñiểm) Cho biểu thức :
2
2
2
( ) : ( )
2 2
x x x x x
A
x x x x x
+ − −
= − −
− − + −
a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0?
c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| =
Câu 3: (5,0 ñiểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 =
b) Cho x y z
a+ + =b c a b c
x+ + =y z Chứng minh :
2 2
2 2
x y z a +b +c = Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống ñường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD
a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung ñáp án Điểm
Bài
a 2,0
3x2 – 7x + = 3x2 – 6x – x + = 1,0
= 3x(x -2) – (x - 2) 0,5
= (x - 2)(3x - 1) 0,5
b 2,0
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0
(2)= (x - a)(ax - 1) 0,5
Bài 2: 5,0
a 3,0
ĐKXĐ :
2
2
2
4 0
2
3
3
2
x
x x
x x
x x x
x x
− ≠
− ≠ ≠
+ ≠ ⇔ ≠ ±
− ≠ ≠
− ≠
1,0
2 2 2
2
2 (2 ) (2 ) (2 )
( ) : ( )
2 2 (2 )(2 ) ( 3)
x x x x x x x x x x
A
x x x x x x x x x
+ − − + + − − −
= − − = =
− − + − − + − 1,0
2
4 (2 )
(2 )(2 )
x x x x x x x
+ −
=
− + − 0,5
2
4 ( 2) (2 )
(2 )(2 )( 3)
x x x x x
x x x x
+ −
= =
− + − − 0,25
Vậy với x≠0,x≠ ±2,x≠3
2
4x
A x
=
− 0,25
b 1,0
Với
2
4
0, 3, : 0
3
x
x x x A
x
≠ ≠ ≠ ± > ⇔ >
− 0,25
3
x
⇔ − > 0,25
3( )
x TMDKXD
⇔ > 0,25
Vậy với x > A > 0,25
c 1,0
7
7
7
x x
x
− =
− = ⇔ − = −
0,5
11( )
3( )
x TMDKXD x KTMDKXD
= ⇔ =
0,25
Với x = 11 A = 121
2 0,25
Bài 5,0
a 2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 =
⇔(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 1,0
⇔9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) 0,5 Do : (x−1)2≥0;(y−3)2 ≥0;(z+1)2≥0
0,5
Nên : (*)⇔ x = 1; y = 3; z = -1 0,25
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) 0,25
b 2,5
Từ : a b c ayz+bxz+cxy
x + y + z = ⇔ xyz = 0,5
(3)Ta có : x y z 1 (x y z)2 1
a+ + = ⇔b c a+ +b c = 0,5
2 2
2 2 2( )
x y z xy xz yz a b c ab ac bc
⇔ + + + + + = 0,5
2 2
2 2
x y z cxy bxz ayz
a b c abc
+ +
⇔ + + + = 0,5
2 2
2 2 1( )
x y z
dfcm a b c
⇔ + + = 0,25
Bài 6,0
O
F
E
K H
C
A
D B
0,25
a 2,0
Ta có : BE⊥AC (gt); DF⊥AC (gt) => BE // DF 0,5
Chứng minh : ∆BEO= ∆DFO g( − −c g) 0,5
=> BE = DF 0,25
Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành 0,25
b 2,0
Ta có: ABC=ADC⇒HBC=KDC 0,5
Chứng minh : ∆CBH ∼∆CDK g( −g) 1,0
CH CK
CH CD CK CB CB CD
⇒ = ⇒ = 0,5
b, 1,75
Chứng minh : ∆AFD∼∆AKC g( −g) 0,25
AF
A
AK
AD AK F AC AD AC
⇒ = ⇒ = 0,25
Chứng minh : ∆CFD∼∆AHC g( −g) 0,25
CF AH CD AC
⇒ = 0,25
Mà : CD = AB CF AH AB AH CF AC
AB AC
⇒ = ⇒ = 0,5
Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2
(4)ĐỀ SỐ Câu1.
a Phân tích đa thức sau thừa số:
x +
( x x x x 24+ )( + )( + )( + ) − b Giải phương trình: x4− 30x 31x 30 02 + − =
c Cho a b c
b c+ +c a+ +a b+ = Chứng minh rằng:
2 2
a b c
0 b c+ +c a+ +a b+ =
Câu2 Cho biểu thức:
2
x 10 x
A : x
x x x x
−
= + + − +
− − + +
a Rút gọn biểu thức A. b Tính giá trị A , Biết |x| =1
2 c Tìm giá trị x ñể A <
d Tìm giá trị ngun x để A có giá trị ngun
Câu Cho hình vng ABCD, M ñiểm tuỳ ý ñường chéo BD Kẻ ME⊥AB, MF⊥AD a Chứng minh: DE CF=
b Chứng minh ba ñường thẳng: DE, BF, CM ñồng quy
c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn
Câu
a.Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1 a + + ≥b c b Cho a, b d-ơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Câu Đáp án Điểm
a. x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
(2 ñiểm)
Câu
(6 ñiểm)
b. x4 − 30x 31x 30 02 + − = <=> (x2 − x x x + )( − )( + ) = 0
(*) Vì x2 - x + = (x -
2) 2 + 3
4 > ∀x
(*) <=> (x - 5)(x + 6) =
(5)M F
E
D C
B A
x x
x x
− = =
⇔
+ = = −
c. Nhân vế của: a b c
b c+ + c a+ +a b+ =
với a + b + c; rút gọn ⇒ñpcm (2 ñiểm)
Biểu thức:
2
x 10 x
A : x
x x x x
−
= + + − +
− − + +
a. Rút gọn ñược kq: A x
− =
− (1.5 ñiểm)
b. x
2
= x
2
⇒ = x
2 − =
4 A
3
⇒ = A
5 =
(1.5 ñiểm)
c. A 0< ⇔ >x (1.5 ñiểm)
Câu
(6 ñiểm)
d A Z Z x { }1;3
x −
∈ ⇔ ∈ ⇒ ∈
− (1.5 ñiểm)
HV + GT + KL
(1 ñiểm)
a Chứng minh: AE FM DF= =
⇒ ∆AED= ∆DFC ⇒ ñpcm (2 ñiểm)
b DE, BF, CM ba ñường cao ∆EFC⇒ ñpcm (2 ñiểm)
Câu
(6 điểm)
c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a khơng đổi ME MF a
⇒ + = khơng đổi
AEMF
S ME.MF
⇒ = lớn ⇔ ME MF= (AEMF hình vng)
M
⇒ trung ñiểm BD (1 ñiểm)
Câu 4:
(2 ñiểm) a. Từ: a + b + c = ⇒
1 b c
1
a a a
1 a c
1
b b b
1 a b
1
c c c
= + +
= + +
= + +
(6)
1 1 a b a c b c
3
a b c b a c a c b
3 2
⇒ + + = + + + + + +
≥ + + + = Dấu xảy ⇔ a = b = c =
3
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab =
(a – 1).(b – 1) =
a = hc b =
Víi a = => b2000 = b2001 => b = b = (loại) Với b = => a2000 = a2001 => a = hc a = (lo¹i) VËy a = 1; b = => a2011 + b2011 =
(1 ñiểm)
Đề thi S 3
Câu 1 : (2 ®iĨm) Cho P=
8 14
4
2
2
− + −
+ − −
a a a
a a a
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị nguyên a để P nhn giỏ tr nguyờn
Câu 2 : (2 điểm)
a) Chøng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyên chia hết cho tổng lập phơng cđa chóng chia hÕt cho
b) Tìm giá trị x để biểu thức :
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
C©u 3 : (2 điểm)
a) Giải phơng trình :
18 42 13
1 30
11 20
9
2
2 + x+ + x + x+ + x + x+ = x
b) Cho a , b , c lµ cạnh tam giác Chứng minh : A = ≥3
− + + − + + −
+ a b c
c b
c a
b a
c b
a
Câu 4 : (3 điểm)
Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M
sao cho c¹nh Mx , My cắt cạnh AB AC lần lợt D E Chứng minh : a) BD.CE=
4
2 BC
b) DM,EM lần l−ợt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE khơng đổi
C©u 5 : (1 ®iĨm)
(7)đáp án đề thi học sinh giỏi
C©u 1 : (2 ®)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4)
=(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )
=( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5
Nêu ĐKXĐ : a1;a2;a4 0,25 Rút gọn P=
2
− +
a a
0,25 b) (0,5®) P=
2
3
− + = −
+ −
a a
a
; ta thấy P nguyên a-2 −ớc 3, mà Ư(3)={−1;1;−3;3} 0,25 Từ tìm c a{1;3;5} 0,25
Câu 2 : (2đ)
a)(1đ) Gọi số phải tìm a b , ta cã a+b chia hÕt cho 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a2+2ab+b2)−3ab]=
=(a+b)[(a+b)2 −3ab] 0,5
V× a+b chia hÕt cho nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho ;
Do vËy (a+b)[(a+b)2 −3ab] chia hÕt cho 0,25 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5
Ta thÊy (x2+5x)2 ≥0 nªn P=(x2+5x)2-36 ≥ -36 0,25
Do Min P=-36 (x2+5x)2=0
Từ ta tìm đ−ợc x=0 x=-5 Min P=-36 0,25
Câu 3 : (2đ) a) (1đ) x2
+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2
+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2
+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 ĐKXĐ : x4;x5;x 6;x7 0,25
Phơng trình trë thµnh :
18 ) )( (
1 )
6 )( (
1 )
5 )( (
1 =
+ + + + + + +
+ x x x x x
x
18 6 5
1 =
+ − + + + − + + + −
+ x x x x x
(8)18 = + − + x
x 0,25
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0
Từ tìm đ−ợc x=-13; x=2; 0,25 b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Từ suy a=
2 ; ; y x c z x b z
y+ = + = +
; 0,5
Thay vào ta đợc A=
+ + + + + = + + + + + ) ( ) ( ) ( 2 2 y z z y x z z x y x x y z y x y z x x z y 0,25 Từ suy A (2 2)
2
1 + +
≥ hay A≥3 0,25
Câu 4 : (3 đ) a) (1đ)
Trong tam gi¸c BDM ta cã : 1 120 ˆ
ˆ M
D = −
Vì M2=60
0 nên ta có :
1 120 ˆ
ˆ M
M = −
Suy Dˆ1 =Mˆ3
Chøng minh ∆BMD ∆CEM (1) 0,5
Suy
CE CM BM
BD
= , từ BD.CE=BM.CM
V× BM=CM=
2
BC
, nªn ta cã BD.CE=
4
2 BC
0,5 b) (1®) Tõ (1) suy
EM MD CM
BD
= mµ BM=CM nªn ta cã EM MD BM BD =
Chứng minh ∆BMD ∆MED 0,5 Từ suy Dˆ1 =Dˆ2 , DM tia phân giác góc BDE
Chứng minh tơng tự ta có EM tia phân giác góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC
Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5 TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn 0,5
Câu 5 : (1đ)
Gi cỏc cnh ca tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên d−ơng )
Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25
Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã :
(9)z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
(z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25
z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4)
xy-4x-4y=-8
(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm đ−ợc giá trị x , y , z :
(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25
ĐỀ THI SỐ Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử
( 1)( 3)( 5)( 7) 15
A= a+ a+ a+ a+ +
Câu 2( đ): Với giá trị a b đa thức: (x a− )(x−10)+1
phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên
Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = 3
x − x +ax b+ chia hết cho đa
thức ( ) 3 4 B x =x − x+
Câu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vng góc với Hx, AE vng góc Hy
Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông
Câu 5( đ): Chứng minh
2
1 1
2 100
P= + + + + <
Đáp án biểu điểm
(10)1
2 ñ ( ( )( )( )( )( ) )
( ) ( )
( )
( )( )
( )( )( )
2
2
2
2
2
2
1 15
8 15 15
8 22 120
8 11
8 12 10
2 10
A a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a a a
= + + + + +
= + + + + +
= + + + +
= + + −
= + + + +
= + + + +
0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ
2 ñ
Giả sử: (x a− )(x−10)+ =1 (x m− )(x n− );( ,m n∈Z)
( ) ( )
{
2
10 10
10 10
m n a m n a
x a x a x m n x mn + = +
= +
⇔ − + + + = − + +
⇔ Khử a ta có :
mn = 10( m + n – 10) +
10 10 100
( 10) 10 10)
mn m n
m n n
⇔ − − + =
⇔ − − + =
vì m,n nguyên ta có:{ 10 { 10 10 10
m m
n v n
− = − =− − = − =−
suy a = 12 a =8
0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ
1 đ
Ta có:
A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b +
Để A x B x( )⋮ ( ) { {
4
a a
b b
− = = + = ⇔ =−
0,5 ñ 0,5 ñ
3 đ
Tứ giác ADHE hình vng
Hx phân giác góc AHB; Hy phân giác góc AHC mà AHB
và AHC hai góc kề bù nên Hx Hy vuông góc
Hay DHE = 900 mặt khác ADH =AEH = 900
Nên tứ giác ADHE hình chữ nhật ( 1)
Do
0
0
90 45
2
90 45
2
AHB AHD
AHC AHE
AHD AHE
= = =
= = =
⇒ =
Hay HA phân giác DHE(2)
0,25 ñ
(11)Từ (1) (2) ta có tứ giác ADHE hình vng
2 ñ 2
1 1
2 100
1 1
2.2 3.3 4.4 100.100
1 1
1.2 2.3 3.4 99.100
1 1 1
1
2 99 100
1 99
1
100 100
P= + + + +
= + + + +
< + + + + = − + − + + − = − = <
0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ
ĐỀ THI SỐ
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích ña thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
x 241 x 220 x 195 x 166
10
17 19 21 23
− + − + − + − =
Bài 3: (3 ñiểm) Tìm x biết:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2
2
2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19
49
2009 x 2009 x x 2010 x 2010
− + − − + −
=
− − − − + −
Bài 4: (3 ñiểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2010x 26802
x
+ =
+
Bài 5: (4 ñiểm)
Cho tam giác ABC vng A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC
a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng
(12)Bài 6: (4 ñiểm)
Trong tam giác ABC, ñiểm A, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB cho: AFE=BFD, BDF CDE, CED = =AEF
a) Chứng minh rằng: BDF BAC =
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD
Một lời giải: Bài 1:
a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = ( )3 3
x y z x y z
+ + − − +
= (y z+ ) ( x+ +y z) (2+ x+ +y z x x) + 2−(y z y+ )( 2−yz z+ 2)
= ( )( )
y z 3x+ +3xy 3yz 3zx+ + = 3(y z x x+ ) ( +y) (+z x+y)
= 3(x+y y z z x)( + )( + )
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = (x4−x) (+ 2010x2+2010x+2010) = x x x( − )( + + +x 1) 2010 x( 2+ +x 1)
= (x2 + +x x)( 2− +x 2010)
Bài 2:
x 241 x 220 x 195 x 166
10
17 19 21 23
− + − + − + − =
x 241 x 220 x 195 x 166
1
17 19 21 23
− − − −
⇔ − + − + − + − =
x 258 x 258 x 258 x 258
17 19 21 23
− − − −
⇔ + + + =
(x 258) 1 1
17 19 21 23
⇔ − + + + =
⇔ =x 258
Bài 3:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2
2
2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19
49
2009 x 2009 x x 2010 x 2010
− + − − + −
=
− − − − + −
ĐKXĐ: x≠2009; x≠2010
Đặt a = x – 2010 (a ≠ 0), ta có hệ thức:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
a a a a 19
49
a a a a
+ − + +
=
+ + + +
2
a a 19
3a 3a 49
+ +
⇔ =
+ +
(13)⇔(2a 1+ )2−42 =0 ⇔(2a 2a 5− )( + )=0
3 a
2 a
2 = ⇔
= −
(thoả ĐK)
Suy x =4023
2 x = 4015
2 (thoả ĐK) Vậy x =4023
2 x = 4015
2 giá trị cần tìm
Bài 4:
A 2010x 26802
x
+ =
+ =
2 2
2
335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3)
335 335
x x
− − + + + +
= − + ≥ −
+ +
Vậy giá trị nhỏ A – 335 x = –
Bài 5:
a) Tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì E A F 90= = =ɵ o) Để tứ giác AEDF hình vng AD tia phân giác BAC
b) Do tứ giác AEDF hình chữ nhật nên AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ ⇔ AD nhỏ
⇔ D hình chiếu vng góc A lên BC
Bài 6:
a) Đặt AFE=BFD = ω, BDF CDE = = α, CED=AEF = β Ta có BAC+ β + ω =1800
(*)
Qua D, E, F kẻ đường thẳng vng góc với BC, AC, AB cắt O Suy O giao ñiểm ba ñường phân giác tam giác DEF
⇒ o
OFD OED ODF 90+ + = (1)
Ta có o
OFD+ ω +OED+ β +ODF+ α =270 (2)
(1) & (2) ⇒ o
180
α + β + ω = (**) (*) & (**) ⇒ BAC = α =BDF b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: B = β, C = ω
⇒ ∆AEF ∆DBF ∆DEC ∆ABC
E F
A B
C
D
O A
B C
F
D E
α β ω
β ω
α
(14)⇒
BD BA 5BF 5BF 5BF
BD BD BD
BF BC 8 8
CD CA 7CE 7CE 7CE
CD CD CD
CE CB 8 8
AE AB 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24
AF AC
= = = = =
= = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
= − = − − =
= =
CD BD
⇒ − = (3)
Ta lại có CD + BD = (4) (3) & (4) ⇒BD = 2,5
ĐỀ SỐ
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + = 25
b)
1004 x 1986
21 x 1990
17 x
= + + − + −
c) 4x – 12.2x + 32 =
Bài 2 (1,5 ñiểm): Cho x, y, z đơi khác z y x
= +
+
Tính giá trị biểu thức:
xy z
xy xz
2 y
xz yz
2 x
yz
A 2 2 2
+ + + + + =
Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm ñơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm ñơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm ñơn vị vào chữ số hàng chục, thêm ñơn vị vào chữ số hàng ñơn vị , ta ñược số phương
Bài 4 (4 ñiểm): Cho tam giác ABC nhọn, ñường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng
' CC
' HC ' BB
' HB ' AA
' HA
+ +
b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM
c) Tam giác ABC biểu thức 2
2 ' CC '
BB '
AA
) CA BC AB (
+ +
+ +
ñạt giá trị nhỏ nhất?
ĐÁP ÁN
• Bài 1(3 điểm):
(15)
• Bài 2(1,5 ñiểm):
0 z y x = +
+ xy yz xz
xyz xz yz xy = + + ⇒ = + +
⇒ ⇒⇒⇒⇒yz = –xy–xz ( 0,25ñiểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25ñiểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đó: ) y z )( x z ( xy ) z y )( x y ( xz ) z x )( y x ( yz A − − + − − + − −
= ( 0,25ñiểm )
Tính A = ( 0,5 điểm ) • Bài 3(1,5 điểm):
Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d ∈∈∈∈ N, 0≤a,b,c,d≤ 9,a ≠ (0,25ñiểm)
Ta có: abcd=k2 (a+1)(b+3)(c+5)(d+3)=m2
abcd=k2
abcd+1353=m2 (0,25ñiểm) Do đó: m2–k2 = 1353
⇒⇒⇒⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25ñiểm) m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37
k = 56 k = (0,25ñiểm) Kết luận ñúng abcd = 3136 (0,25ñiểm)
Bài (4 ñiểm):
Vẽ hình ñúng (0,25ñiểm)
a) HAAA''
BC ' AA BC ' HA S S ABC
HBC = =
;
(0,25ñiểm)
Tương tự: SS CCHC''
ABC HAB = ; ' BB ' HB S S ABC HAC = (0,25ñiểm) S S S S S S ' CC ' HC ' BB ' HB ' AA ' HA ABC HAC ABC HAB ABC
HBC + + =
= +
+ (0,25điểm)
b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC:
(16)AI IC MA CM ; BI AI NB AN ; AC AB IC BI = =
= (0,5ñiểm )
AM IC BN CM AN BI BI IC AC AB AI IC BI AI AC AB MA CM NB AN IC BI = ⇒ = = =
c)Vẽ Cx ⊥CC’ Gọi D ñiểm ñối xứng A qua Cx (0,25ñiểm) -Chứng minh ñược góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD≤ BC + CD (0,25điểm) -∆BAD vng A nên: AB2+AD2 = BD2
⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2
4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 (0,25ñiểm) Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh ñược : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 ' CC ' BB ' AA ) CA BC AB ( 2 2 ≥ + + + + (0,25ñiểm)
Đẳng thức xảy ⇔⇔⇔⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC
⇔ ⇔ ⇔
⇔ AB = AC =BC⇔⇔⇔⇔ ∆ABC ñều
Kết luận ñúng (0,25ñiểm)
*Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu
ĐỀ SỐ
Bài (4 ñiểm)
Cho biểu thức A =
2 1 : 1 x x x x x x x + − − − − − −
với x khác -1 a, Rút gọn biểu thức A
b, Tính giá trị biểu thức A x
− = c, Tìm giá trị x để A <
Bài (3 ñiểm)
Cho (a b− ) (2+ −b c) (2+ −c a)2 =4 a( 2+ + − − −b2 c2 ab ac bc) Chứng minh a =b=c
Bài (3 điểm)
Giải tốn cách lập phương trình
Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số ñi ñơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số
Bài (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 4−2 3+3 2−4 +5 a a a
a
Bài (3 ñiểm)
(17)Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự trung ñiểm BD, BC, CD
a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh
b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI
Bài (5 ñiểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với ñáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N
a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh
MN CD AB
2
1 + =
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD. Đáp án
Bài 1( ñiểm )
a, ( ñiểm )
Với x khác -1 : A= ) ( ) )( ( ) )( ( : 1 2 x x x x x x x x x x x + − + − + + − − + − − 0,5ñ = ) )( ( ) )( ( : ) )( ( 2 x x x x x x x x x x + − + + − − − + + − 0,5ñ = ) ( : ) ( x x − + 0,5ñ
= (1+x2)(1−x) 0,5ñ
b, (1 ñiểm) Tại x =
3 − =
− A =
− − − + − ) ( ) (
1 0,25ñ
= ) )( 25
( + + 0,25ñ
27 10 27 272
34 = =
= 0,5ñ
c, (1ñiểm)
Với x khác -1 A<0 (1+x2)(1−x)<0 (1) 0,25đ Vì 1+x2 >0 với x nên (1) xảy 1−x<0 ⇔ x>1
KL
0,5ñ 0,25ñ
Bài (3 ñiểm)
Biến ñổi ñẳng thức ñể ñược
bc ac ab c b a ac a c bc c b ab b
a2 + −2 + 2+ −2 + 2+ +2 =4 2+4 2+4 2−4 −4 −4
0,5đ Biến đổi để có (a2+b2 −2ac)+(b2+c2 −2bc)+(a2+c2 −2ac)=0 0,5đ Biến đổi để có ( − )2 +( − )2 +( − )2 =0
c a c b b
a (*) 0,5ñ
Vì (a−b)2 ≥0;(b−c)2 ≥0;(a−c)2 ≥0; với a, b, c
nên (*) xảy ( − )2 =0
b
a ;( − )2 =0
c
b ( − )2 =0
c
a ;
0,5ñ 0,5ñ
(18)Bài (3 ñiểm)
Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số cần tìm
11
+
x x
(x số nguyên khác -11)
0,5ñ
Khi bớt tử số ñi ñơn vị tăng mẫu số ñơn vị ta ñược phân số 15
7
+ −
x x
(x khác -15)
0,5ñ
Theo ta có phương trình 11
+
x x
= 15
− +
x
x 0,5đ
Giải phương trình tìm x= -5 (thoả mãn) 1đ
Từ tìm phân số
− 0,5đ
Bài (2 điểm)
Biến đổi để có A=a2(a2+2)−2a(a2 +2)+(a2 +2)+3
0,5ñ
=(a2 +2)(a2−2a+1)+3=(a2+2)(a−1)2 +3 0,5ñ
Vì a2+2>0∀a (a−1)2 ≥0∀a nên (a2+2)(a−1)2 ≥0∀a a
a
a +2)( −1) +3≥3∀
( 2
0,5ñ
Dấu = xảy a−1=0 ⇔ a=1 0,25ñ
KL 0,25ñ
Bài (3 ñiểm)
a,(1 ñiểm)
Chứng minh ñược tứ giác AMNI hình thang 0,5đ
Chứng minh AN=MI, từ suy tứ giác AMNI hình thang cân 0,5đ b,(2điểm)
Tính AD = cm
3
; BD = 2AD = cm
3 AM = BD=
2
cm
3
0,5đ
Tính NI = AM = cm
3
4 0,5ñ
N
I M
D C
(19)DC = BC = cm
3
, MN = DC =
2
cm
3
4 0,5đ
Tính ñược AI = cm
3
0,5ñ
Bài (5 ñiểm)
a, (1,5 ñiểm) Lập luận để có
BD OD AB OM
= ,
AC OC AB ON
= 0,5ñ
Lập luận để có
AC OC DB OD =
0,5ñ
⇒
AB ON AB OM
= ⇒ OM = ON 0,5ñ
b, (1,5 điểm) Xét ∆ABDđể có
AD DM AB OM =
(1), xét ∆ADCđể có
AD AM DC OM =
(2) Từ (1) (2) ⇒ OM.(
CD AB
1
1 +
)= + = =1
AD AD AD
DM AM
0,5ñ
Chứng minh tương tự ON.( + )=1
CD
AB
0,5ñ từ có (OM + ON).( + )=2
CD
AB ⇒ AB CD MN
2
1 + = 0,5ñ
b, (2 ñiểm)
OD OB S
S
AOD
AOB = ,
OD OB S
S
DOC
BOC = ⇒ =
AOD AOB
S S
DOC BOC
S S
⇒ SAOB.SDOC =SBOC.SAOD 0,5ñ
Chứng minh ñược SAOD =SBOC 0,5ñ
⇒ . ( )2
AOD DOC
AOB S S
S =
Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009
0,5ñ Do ñó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (ñơn vị
DT)
0,5ñ
ĐỀ SỐ
Bài 1:
Cho x =
2 2
2
b c a bc
+ −
; y =
2
2
( )
( )
a b c b c a
− − + −
Tính giá trị P = x + y + xy
Bài 2:
Giải phương trình:
O N
M
D C
(20)a,
a b+ −x =
1
a+
1
b+
1
x (x ẩn số)
b,
2
(b c)(1 a)
x a
− +
+ +
2
(c a)(1 b)
x b
− +
+ +
2
(a b)(1 c)
x c
− +
+ =
(a,b,c số đơi khác nhau)
Bài 3:
Xác ñịnh số a, b biết:
3
(3 1)
( 1)
x x
+
+ = ( 1)3 a
x+ +( 1)2
b x+
Bài 4: Chứng minh phương trình:
2x2 – 4y = 10 khơng có nghiệm ngun
Bài 5:
Cho ∆ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C
ĐỀ SỐ
Bài 1: (2 ñiểm) Cho biểu thức:
( )3 2
2 1 x
A 1 :
x x 2x x x
x
−
= + + +
+ +
+
a/ Thu gọn A
b/ Tìm giá trị x ñể A<1
c/ Tìm giá trị nguyên x để Acó giá trị ngun
Bài 2: (2 ñiểm)
a/ Phân tích ña thức sau thành nhân tử ( với hệ số số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10
b/ Biết xy = 11 x2y + xy2 + x + y = 2010 Hãy tính x2 + y2
Bài 3 (1,5 ñiểm):
Cho ña thức P(x) = x2+bx+c, b c số nguyên Biết ña thức x4 + 6x2+25 3x4+4x2+28x+5 chia hết cho P(x) Tính P(1)
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I trung ñiểm AB CD Nối D với E Vẽ tia Dx vng góc với DE, tia Dx cắt tia đối tia CB M.Trên tia ñối tia CE lấy ñiểm K cho DM = EK Gọi G giao điểm DK EM
a/ Tính số ño góc DBK
b/ Gọi F chân ñường vng góc hạ từ K xuống BM Chứng minh bốn ñiểm A, I, G, H nằm ñường thẳng
Bài 5 (1 ñiểm):
Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k ñều số nguyên tố lớn 3, k chia hết cho
ĐỀ SỐ 10
(21)Cho biểu thức
2
2
1 x
A :
3 x 3x 27 3x x
= + +
− − +
a) Rút gọn A b) Tìm x để A < -1
c) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên
Bài 2: (2 ñiểm) Giải phương trình: a)
y y
y y
y
2
6 10
1
2
2− + = − + −
b)
6 x
x x 1 .
3
2
x
2
−
+ −
−
− = −
Bài 3: (2 ñiểm)
Một xe ñạp, xe máy tơ từ A đến B Khởi hành lúc giờ, giờ, vận tốc theo thứ tự 15 km/h; 35 km/h 55 km/h
Hỏi lúc tơ cách xe đạp xe ñạp xe máy?
Bài 4: (2 ñiểm)
Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M ∈ AB N ∈AD) Chứng minh:
a) BD // MN
b) BD MN cắt K nằm AC
Bài 5: (1 ñiểm)
Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4) Chứng minh rằng: a + b + số phương
ĐỀ SỐ 11
Bài 1: (2ñiểm)
a) Cho 2
x −2xy 2y+ −2x 6y 13+ + =0.Tính
2
3x y N
4xy − =
b) Nếu a, b, c số dương đơi khác giá trị đa thức sau số dương: A=a3 +b3 +c3 −3abc
Bài 2: (2 ñiểm)
Chứng minh a + b + c = thì:
A a b b c c a c a b
c a b a b b c c a
− − −
= + + + + =
− − −
Bài 3: (2 ñiểm)
Một tơ phải qng đường AB dài 60 km thời gian ñịnh Nửa quãng ñường ñầu ñi với vận tốc lớn vận tốc dự ñịnh 10km/h Nửa quãng ñường sau ñi với vận tốc vận tốc dự ñịnh km/h
Tính thời gian tơ qng đường AB biết người đến B
(22)Cho hình vng ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vng góc vơi AE cắt ñường thẳng CD F Gọi I trung ñiểm EF AI cắt CD M Qua E dựng ñường thẳng song song với CD cắt AI N
a) Chứng minh tứ giác MENF hình thoi
b) Chứng minh chi vi tam giác CME khơng đổi E chuyển động BC
Bài 5: (1 điểm)
Tìm nghiệm ngun phương trình: x6 +3x2 + =1 y4
ĐỀ SỐ 12
Bài 1:
Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Bài 2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = a2 + b2 + c2= 14 Tính giá trị A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c ≠0 Tính giá trị D = x2011 + y2011 + z2011 Biết x,y,z thoả mãn:
2 2
2 2
x y z a b c
+ + + + =
2 x a +
2 y b +
2 z c Bài 3:
a, Cho a,b > 0, CMR:
a+
1
b ≥
4
a b+
b, Cho a,b,c,d > CMR: a d
d b
− + +
d b b c
− + +
b c c a
− + +
c a a d
−
+ ≥
Bài 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất: E =
2
2
x xy y x xy y
+ +
− + với x,y >
b, Tìm giá trị lớn nhất: M = 2
( 1995)
x
x+ với x > Bài 5:
a, Tìm nghiệm ∈Z PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm ∈Z PT: x2 + x + = y2
Bài 6:
Cho △ABC M ñiểm ∈ miền △ABC D, E, F trung ñiểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ ñiểm ñối xứng M qua F, E, D
a, CMR: AB’A’B hình bình hành b, CMR: CC’ qua trung điểm AA’
ĐỀ SỐ 13
Bài 1: (2 ñiểm)
(23)( )2( ) ( )2( ) ( )2( )
b a b a c a c a c b c b c b
a + − + + − + + −
b) Cho a, b, c khác nhau, khác 1+1+1 =0
c b a
Rút gọn biểu thức:
ab c
ca b bc a N
2
1
1
2
2 + + + + +
=
Bài 2: (2ñiểm)
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M =x2 +y2−xy−x+ y+1
b) Giải phương trình: (y−4,5)4 +(y−5,5)4−1=0
Bài 3: (2ñiểm)
Một người ñi xe máy từ A ñến B với vận tốc 40 km/h Sau 15 phút, người gặp tơ, từ B đến với vận tốc 50 km/h tơ đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp người ñi xe máy một địa điểm cách B 20 km
Tính quãng ñường AB
Bài 4: (3ñiểm)
Cho hình vng ABCD M điểm đường chéo BD Kẻ ME MF vng góc với AB AD
a) Chứng minh hai ñoạn thẳng DE CF vng góc với b) Chứng minh ba ñường thẳng DE, BF CM ñồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn
Bài 5: (1điểm)
Tìm nghiệm ngun phương trình:3 +5 =345 y
x
§Ề SỐ 14
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1
b) x4 +
c) x x- 3x + x-2 với x > Bài : (1,5ñiểm)
Cho abc = Rút gọn biểu thức: 2
2 + + + + + +
+ + =
c ac
c b
bc b a
ab a A
Bài 3: (2ñiểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a > b >
Tính: 2 2
4a b
ab P
− =
Bài : (3ñiểm)
Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M cho BM < CM Từ N vẽ ñường thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N ñiểm ñối xứng M qua E F
(24)d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm ñiều kiện ∆ ABC ñể cho AEMF hình vng
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh với số nguyên n :
52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23
§Ị SỐ 15
Bài 1: (2 ñiểm)
a) Phân tích thành thừa số: (a+b+c)3−a3−b3−c3
b) Rút gọn:
9 33 19
45 12
2
2
− + −
+ − −
x x x
x x x
Bài 2: (2 ñiểm)
Chứng minh rằng: A=n3(n2 −7)2 −36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n Bài 3: (2 ñiểm)
a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước giếng Nếu làm máy bơm A hút 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước 15 máy bơm C hút 20 Trong ñầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến máy bơm B
Tính xem giếng
b) Giải phương trình: 2x+a − x−2a =3a (a số)
Bài 4: (3 ñiểm)
Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), ñiểm I cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ tia Ax, By vng góc với AB Đường thẳng vng góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By ñiểm M, N
a) Chứng minh: tam giác CAI ñồng dạng với tam giác CBN b) So sánh hai tam giác ABC INC
c) Chứng minh: góc MIN = 900
d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích IMN lớn gấp đơi diện tích ABC
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh số:
0 sè n
09 00 99 224
9 sè -n
số phương (n≥2)
Đề SỐ 16: Câu 1 : ( điểm ) Phân tích biểu thức sau thừa số
M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
Câu 2 : ( điểm ) Định a b ñể ña thức A = x4 – x3 + ax2 + bx + bình phương đa thức khác
Câu : ( điểm ) Cho biểu thức :
P =
+ − + −
+ + − +
−
10 :
6
2
2
x x x
x x x
x x
(25)b) Tính giá trị biểu thức p /x / = c) Với giá trị x p =
d) Tìm giá trị ngun x để p có giá trị ngun
Câu 4 : ( điểm ) Cho a , b , c thỏa mãn ñiều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh : abc + ( + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥
Câu 5 : ( 3điểm)
Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ ñường thẳng song song với AC , cắt AB BC M N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC 75 (cm)
Câu 6 : ( điểm ) Cho tam giác ABC M, N ñiểm chuyển ñộng hai cạnh BC AC cho BM = CN xác ñịnh vị trí M , N ñể ñộ dài ñoạn thẳng MN nhỏ
đề SỐ 17
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1.
7
x + x+
2.
2008 2007 2008
x + x + x+
Bài 2: (2điểm) Giải phơng trình:
1. 3 2 1 0
x − x+ + − =x
2. 2 2 ( )2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
+ + + − + + = +
Bài 3: (2điểm) CMR với a,b,c,là số dơng ,ta có: (a+b+c)(1+1+1)9
(26)3. T×m sè d phÐp chia cđa biĨu thøc (x+2)(x+4)(x+6)(x+ +8) 2008 cho ®a thøc 10 21
x + x+
Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H∈BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vng góc với BC
D cắt AC E
1. Chng minh rng hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m= AB
2. Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM
3. Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD
BC = AH+HC
Bµi 1
Câu Nội dung Điểm
2,0
1
(27)( ) ( )
2 7 6 6 6 1 6 1
x + x+ =x + +x x+ =x x+ + x+
=(x+1)(x+6)
0.5 0,5 1.2 (1,25 ®iĨm)
4 2008 2007 2008 2007 2007 2007 1
x + x + x+ =x +x + x + x+ + 0,25
( ) ( )2 ( )
4 1 2007 1 1 2007 1
x x x x x x x x
= + + + + + = + − + + + 0,25
(x2 x 1)(x2 x 1) 2007(x2 x 1) (x2 x 1)(x2 x 2008)
= + + − + + + + = + + − + 0,25
2 2,0
2.1 3 2 1 0 x − x+ + − =x (1)
+ NÕu x≥1: (1) ⇔(x−1)2 = ⇔ =0 x (tháa m·n ®iỊu kiÖn x≥1)
+ NÕu x<1: (1) 4 3 0 3( 1) 0 ( 1)( 3) 0
x x x x x x x
⇔ − + = ⇔ − − − = ⇔ − − =
⇔ =x 1; x=3 (cả hai không bé 1, nên bị loại)
VËy: Phơng trình (1) có nghiệm x=1
0,5
0,5 2.2
( )
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
+ + + − + + = +
(2) Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x≠0
(2) ( )
2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
⇔ + + + + − + = +
( ) ( )
2
2
2
1
8 x x x x 16
x x
⇔ + − + = + ⇔ + =
0
x hay x
⇔ = = − vµ x≠0
Vậy phơng trình cho có nghiệm x= −8
0,25
0,5 0,25
3 2.0
3.1 Ta cã:
A=( + + )(1 +1+1)=1+ + + +1+ + + +1
b c a c c b a b c a b a c
b a c b a
=3 ( ) ( ) ( )
c b b c a c c a a b b a
+ + + + + +
Mµ: + ≥2
x y y x
(BĐT Cô-Si)
Do A≥3+2+2+2=9 Vậy A≥9
0,5
0,5 3.2 Ta cã:
( )( )( )( )
( )( )
( ) 2008
10 16 10 24 2008
P x x x x x
x x x x
= + + + + +
= + + + + +
Đặt t=x2+10x+21 (t≠ −3;t≠ −7), biểu thức P(x) đợc viết lại:
( )( )
( ) 2008 1993
P x = −t t+ + = − +t t
Do chia t2−2t+1993 cho t ta có số d 1993
0,5
0,5
(28)4.1 + Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã:
Gãc C chung
CD CA
CE =CB (Hai tam gi¸c
vng CDE CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) Suy ra: 1350
BEC= ADC= (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiÕt)
Nªn
45
AEB= tam giác ABE vuông cân A Suy ra:
2
BE= AB =m
1,0
0,5 4.2
Ta cã: 1
2
BM BE AD
BC = ⋅BC = ⋅ AC (do BECADC)
mà AD= AH (tam giác AHD vuông vân H) nên 1
2 2
BM AD AH BH BH
BC = ⋅AC = ⋅ AC = AB = BE (do ∆ABH ∼∆CBA)
Do ∆BHM ∼∆BEC (c.g.c), suy ra: 1350 450 BHM =BEC= ⇒AHM =
0,5
0,5
0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM phân giác góc BAC
Suy ra: GB AB
GC = AC, mµ ( ) ( // )
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC = DC ∆ ∼∆ = HC = HC
0,5 Do đó: GB HD GB HD GB HD
GC = HC ⇒GB GC+ = HD+HC ⇒ BC = AH+HC
0,5
Phßng GD & ĐT huyện Thờng Tín Trờng THCS Văn Tự
Gv: Bïi ThÞ Thu HiỊn
đề SỐ 18
bi:
Bài 1( điểm): Cho biÓu thøc:
P =
2
2 2
2 3 2 8 3 21 2 8
: 1
4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3
x x x x
x x x x x x x
− − + −
+ − +
− + − − − + −
a) Rót gän P
b) Tính giá trị P
2
x =
c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x P >
Bài 2(3 điểm):Giải phơng trình:
a)
1 5 1 1
1 1 2
3 4 4 3 3
x
x x x x
− = +
+ − + −
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
− − − −
+ + + =
(29)Bài 3( điểm): Giải toán cách lập phơng trình:
Một ngời xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu ngời tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định ngời
Bµi (7 ®iĨm):
Cho hình chữ nhật ABCD Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P
a) Tứ giác AMDB hình gì?
b) Gọi E F lần lợt hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC ba điểm E, F, P thẳng hàng
c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P
d) Giả sư CP ⊥ BD vµ CP = 2,4 cm,
16
PD
PB = TÝnh c¸c cạnh hình chữ nhật ABCD
Bài 5(2 điểm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010
b) Cho x, y, z số lớn Chứng minh r»ng: 2
1 1 2
1 + x + 1 + y ≥ 1 + x y
áp án biểu điểm
Bài 1: Phân tích:
4x2 12x + = (2x – 1)(2x – 5)
13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)
4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ
Điều kiện:
1 5 3 7
; ; ; ; 4
2 2 2 4
x ≠ x ≠ x ≠ − x ≠ x ≠ 0,5®
a) Rót gän P =
2
x x
−
− 2®
b)
2
x =
2 x
⇔ = hc
2
x = −
+)
2
x = ⇒… P =
2 +)
2
x = − ⇒ …P =
3 1®
c) P =
2
x x
− − =
2
5
x
+ − Ta cã: 1∈Z
VËy P∈Z
5 Z
x − ∈
⇒ x – ∈ ¦(2)
(30)x – = -2 ⇒ x = (TM§K) x – = -1 ⇒ x = (KTM§K) x – = ⇒ x = (TM§K) x – = ⇒ x = (TM§K)
KL: x {3; 6; 7} P nhận giá trị nguyên 1đ d) P =
2
x x
− − =
2
5
x
+
0,25đ Ta có: >
Để P > th×
2 5
x− > ⇒ x – > ⇔ x > 0,5đ
Với x > P > 0,25 Bµi 2:
a)
1 5 1 1
1 1 2
3 4 4 3 3
x
x x x x
− = +
+ − + −
( )( ) ( )
15 1 1
1 12
4 1 4 3 1
x
x x x x
⇔ − = +
+ − + − §K: x ≠ −4;x ≠1
⇔ 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4) …
⇔ 3x.(x + 4) =
⇔ 3x = hc x + = +) 3x = => x = (TM§K) +) x + = => x = -4 (KTM§K)
S = { 0} 1® b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
− − − −
+ + + =
⇔ 148 1 169 2 186 3 199 4 0
25 23 21 19
x x x x
− − − −
− + − + − + − =
⇔ (123 – x) 1 1
25 23 21 19
+ + +
=
Do 1 1
25 23 21 19
+ + +
> Nªn 123 – x = => x = 123
S = {123} 1® c) x − 2 + 3 = 5
(31)x− + =2 3 5 ⇔ x−2 = – ⇔ x−2 =
+) x - = => x = +) x - = -2 => x =
S = {0;4} 1đ
Bài 3(2 đ)
Gọi khoảng cách A B x (km) (x > 0) 0,25đ Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là:
3
( / ) 1 10
3 3
x x
km h
=
(3h20’ = 31( )
3 h ) 0,25đ Vận tốc ngời xe gắn máy tăng lên km/h là:
3 5( / ) 10
x
km h
+ 0,25®
Theo đề ta có phơng trình:
3
5 3 10
x
x
+ =
0,5®
⇔ x =150 0,5đ Vậy khoảng cách A B 150 (km) 0,25đ Vận tốc dự định là: 3.150 45( / )
10 = km h
Bµi 4(7®)
Vẽ hình, ghi GT, KL 0,5
a) Gọi O giao điểm đờng chéo hình chữ nhật ABCD
PO đờng trung bình tsm giác CAM
AM//PO
⇒tứ giác AMDB hình thang 1đ b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (ng v)
Tam giác AOB cân O nªn gãc OBA = gãc OAB
A B
C D
O M
P
I E
(32)Gọi I giao điểm đờng chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên góc IAE = gãc IEA
Từ chứng minh : có góc FEA = góc OAB, EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ c) ∆MAF ∼∆DBA g( −g) nên MF AD
FA = AB không đổi (1đ)
d) NÕu
16
PD
PB = th× 16 , 16
PD PB
k PD k PB k
= = ⇒ = =
NÕu CP⊥BD th× ( )
CP PB
CBD DCP g g
PD C P
∆ ∼ ∆ − ⇒ = 1®
do CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16 0,5®
do BC = (cm)
CD = (cm) 0,5đ
Bài 5:
a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)
V× 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …)
= 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 20112010 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …)
= 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) 1đ Từ (1) (2) ta có đpcm
b) 2
1 1 2
1 + x + 1 + y ≥ 1 + x y (1)
( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )
2
2
2
2
1 1 1 1
0
1 1 1 1
0
1 1 1 1
1
0 2
1 1 1
x xy y xy
x y x y x y
x xy y xy
y x xy
x y xy
⇔ − + − ≥
+ + + +
− −
⇔ + ≥
+ + + +
− −
⇔ ≥
+ + +
V× x ≥1;y ≥1 => xy≥1 => xy− ≥1
(33)ĐỀ SỐ 19 Bài 1:(3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x ñể A ⋮ B biết
A = 10x2 – 7x – B = 2x –
c)Cho x + y = x y ≠0 Chứng minh 3 3 2(2 2 )
1
x y
x y
y x x y
−
− + =
− − +
Bài 2: (3ñ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b)
2003 2004
5 2005
4 2006
3 2007
2 2008
1+ + + + = + + + + +
+ x x x x x
x
Bài 3:(2ñ) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia ñối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh∆EDF vuông cân
b) Gọi O giao ñiểm ñường chéo AC BD Gọi I trung ñiểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng
Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vng cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho:
a/ DE có độ dài nhỏ
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ
Hớng dẫn chấm biểu điểm
Bi 1: (3 ñiểm)
a) ( 0,75ñ) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – (0,25ñ) = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25ñ)
= ( x – ) ( x – ) (0,25ñ)
b) (0,75ñ) Xét A x2 x
5 x
B x x
− −
= = + +
− − (0,25ñ)
Với x ∈ Z A ⋮ B
2x−3 ∈ Z ⇒ ⋮ ( 2x – 3) (0,25ñ) Mà Ư(7) = {−1;1; 7;7− } ⇒ x = 5; - 2; ; A ⋮ B (0,25đ) c) (1,5ñ) Biến ñổi
3
x y
y −1− x −1=
4
3
x x y y (y 1)(x 1)
− − +
− −
= ( )
4
2
x y (x y)
xy(y y 1)(x x 1)
− − −
+ + + + ( x + y = 1⇒ y - 1= -x x - 1= - y) (0,25ñ)
= ( )( )( )
2
2 2 2
x y x y x y (x y)
xy(x y y x y yx xy y x x 1)
− + + − −
+ + + + + + + + (0,25ñ)
= ( ) 2
2 2
x y (x y 1)
xy x y xy(x y) x y xy
− + −
+ + + + + +
(0,25ñ) = ( ) 2
2 2
x y (x x y y)
xy x y (x y)
− − + −
+ + +
=( )[ ]
2
x y x(x 1) y(y 1) xy(x y 3)
− − + −
+ (0,25ñ)
= ( )[ ]
2
x y x( y) y( x)
xy(x y 3)
− − + −
+ =
( )
2
x y ( 2xy) xy(x y 3)
− −
+ (0,25ñ)
=
2
2(x y)
x y
− −
(34)Bài 2: (3 ñ)a) (1,25ñ)
(x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 ñặt y = x2 + x
y2 + 4y - 12 = ⇔y2 + 6y - 2y -12 = (0,25ñ)
⇔(y + 6)(y - 2) = ⇔y = - 6; y = (0,25ñ)
* x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x + > với x (0,25ñ) * x2 + x = ⇔x2 + x - = ⇔ x2 + 2x - x - = (0,25ñ)
⇔x(x + 2) – (x + 2) = ⇔(x + 2)(x - 1) = ⇔x = - 2; x = (0,25ñ)
Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1
b) (1,75ñ) x x x x x x
2008 2007 2006 2005 2004 2003
+ + + + + +
+ + = + + ⇔ (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003
+ + + + + +
+ + + + + = + + + + +
⇔
2003 2009 2004
2009 2005
2009 2006
2009 2007
2009 2008
2009+ + + + = + + + + +
+ x x x x x
x ⇔ x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0
2008 2007 2006 2005 2004 2003
+ + + + + +
+ + − − − =
(0,25ñ)
⇔ ) 0
2003 2004
1 2005
1 2006
1 2007
1 2008
1 )( 2009
(x+ + + − − − = (0,5đ) Vì 1
2008<2005;
1
2007<2004;
1 2006<2003
Do :
2003 2004
1 2005
1 2006
1 2007
1 2008
1
< − − − +
+ (0,25ñ) Vậy x + 2009 = ⇔x = -2009
Bài 3:(2 ñiểm)
a) (1đ)
Chứng minh ∆EDF vng cân
Ta có ∆ADE =∆CDF (c.g.c)⇒ ∆EDF cân D Mặt khác: ∆ADE =∆CDF (c.g.c) ⇒Eˆ1=Fˆ2 Mà Eˆ1+Eˆ2+Fˆ1 = 900 ⇒ Fˆ2+Eˆ2+Fˆ1= 900
⇒ EDF= 900 Vậy∆EDF vuông cân
b) (1ñ) Chứng minh O, C, I thẳng
Theo tính chất đường chéo hình vng ⇒ CO trung trực BD Mà∆EDF vuông cân ⇒ DI =1
2EF
Tương tự BI =1
2EF ⇒ DI = BI
⇒ I thuộc dường trung trực DB ⇒ I thuộc ñường thẳng CO
Hay O, C, I thẳng hàng
Bài 4: (2 ñiểm)
a) (1ñ)
DE có ñộ dài nhỏ
Đặt AB = AC = a khơng đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ∆ADE vng A có:
DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25ñ) = 2(x –
2
a )
2 + a2
2 ≥
2
a
2 (0,25đ)
Ta có DE nhỏ ⇔ DE2 nhỏ ⇔ x =a
2 (0,25ñ)
A B
E I
D C
O
F
2
1
A D
B
(35)⇔ BD = AE =a
2 ⇔ D, E trung ñiểm AB, AC (0,25ñ)
b) (1đ)
Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Ta có: SADE =1
2AD.AE =
2AD.BD =
2AD(AB – AD)= 2(AD
2 – AB.AD) (0,25ñ)
= –1
2(AD
2 – 2AB
2 AD +
2
AB ) +
2
AB = –
1
2(AD – AB
4 )
2 +
AB
2 ≤
2
AB
8 (0,25ñ)
Vậy SBDEC = SABC – SADE≥
2
AB –
2
AB
8 = 38AB
2khơng đổi (0,25đ)
Do SBDEC =3
8AB
2
D, E trung ñiểm AB, AC (0,25đ)
ĐỀ SỐ 20
Bµi 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y
b) 2x2 5x
Bài 2: Tìm đa thøc A, biÕt r»ng:
x A x
x
= + −
2 16
2
Bài 3: Cho phân thức:
x x
x
2
5
2 +
+
a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phõn thc bng
Bài 4: a) Giải phơng tr×nh :
) (
2
2
− = − − +
x x x x
x
b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 +
Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình:
Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do hồn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày
Bài 6: Cho ∆ ABC vng A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH
trung tuyÕn AM
a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA
b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ?
(36)Đáp án Biểu điểm
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x
– y)
= (x - y) (x + y – 5) (1 ®iĨm)
b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1)
– 7(x + 1)
= (x + 1)(2x – 7) (1 điểm) Bài 2: Tìm A (1 điểm) A = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) [( 16 ( 2 2 − = − = + + − = + + − = + − = + − x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Bài 3: (2 điểm)
a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) ≠
⇔ 2x ≠ vµ x + ≠
⇔ x x -1 (1 điểm) b) Rót gän:
x x x x x x x ) ( ) ( 2 5
2 + =
+ = + + (0,5 ®iĨm) 5
5 = ⇔ = ⇔ =
x x
x (0,25 điểm)
Vì
5 thoả mÃn điều kiện hai tam giác nên
=
x (0,25 điểm)
Bài 4: a) Điều kiện xác định: x≠0; x ≠2 - Giải: ) ( ) ( 2) -(x -2) x(x − = − + x x x
x ⇔x
2 + 2x – x +2 = 2;
x= (loại) x = - VËy S = { }−1 b) ⇔x2 – < x2 + 4x +
⇔ x2 – x2 – 4x < + ⇔- 4x < 16 ⇔x> -
Vậy nghiệm phơng trình x > -
1 ®
1®
Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x >
Vậy số ngày tổ thực là: x- (ngày)
- Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13
⇔57x – 57 – 50x = 13
⇔7x = 70
x = 10 (thoả mÃn điều kiện)
Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày
Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm)
0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® ®
(37)Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung
⇒∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc gãc)
b) ¸p dơng pitago ∆ vu«ng ABC
ta cã : BC = 2 AC
AB + = 152+202 = 625= 25 (cm) ABC ~ HBA nên
15 25 20
15 = =
= =
HA HB hay BA BC HA AC HB AB
⇒AH = 12
25 05
20 = (cm)
BH =
25 15
15 = (cm)
HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm)
c) HM = BM – BH = 3,5( )
2 25
2 BH cm
BC − = − =
SAHM =
2
1AH HM =
1 12 3,5 = 21 (cm2)
- Vẽ hình: A
B H M C
1 ® ® ®
1 ®
1®
1 ®
ĐỀ SỐ 21
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + = 25
b)
1004 x 1986
21 x 1990
17 x
= + + − + −
c) 4x – 12.2x + 32 =
Bài 2 (1,5 ñiểm): Cho x, y, z ñôi khác z y x
= +
+
Tính giá trị biểu thức:
xy z
xy xz
2 y
xz yz
2 x
yz
A 2 2 2
+ + + + + =
Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm ñơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm ñơn vị vào chữ số hàng chục, thêm ñơn vị vào chữ số hàng ñơn vị , ta ñược số phương
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, ñường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng
' CC
' HC ' BB
' HB ' AA
' HA
+ +
(38)c) Chứng minh rằng: ' CC ' BB ' AA
) CA BC AB (
2
2
2 ≥ +
+
+ +
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
• Bài 1(3 điểm):
a) Tính x = 7; x = -3 ( điểm ) b) Tính x = 2007 ( ñiểm ) c) 4x – 12.2x +32 = ⇔⇔⇔⇔2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ( 0,25ñiểm ) ⇔⇔⇔⇔2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔⇔⇔⇔(2x – 8)(2x – 4) = ( 0,25ñiểm ) ⇔⇔⇔⇔(2x – 23)(2x –22) = ⇔⇔⇔⇔2x –23 = 2x –22 = ( 0,25ñiểm ) ⇔⇔⇔⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔⇔⇔⇔ x = 3; x = ( 0,25điểm )
• Bài 2(1,5 ñiểm):
0 z y x
1 + + =
0 xz yz xy xyz
xz yz xy
= + + ⇒ = + +
⇒ ⇒⇒⇒⇒yz = –xy–xz ( 0,25ñiểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25ñiểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25ñiểm )
Do đó:
) y z )( x z (
xy )
z y )( x y (
xz )
z x )( y x (
yz A
− − + − −
+ − −
= ( 0,25ñiểm )
Tính A = ( 0,5 điểm ) • Bài 3(1,5 điểm):
Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d∈∈∈∈ N, 0≤a,b,c,d ≤9,a ≠ (0,25ñiểm)
Ta có: abcd=k2 (a+1)(b+3)(c+5)(d+3)=m2
abcd=k2
abcd+1353=m2 (0,25ñiểm) Do đó: m2–k2 = 1353
⇒⇒⇒⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25ñiểm) m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37
k = 56 k = (0,25ñiểm) Kết luận ñúng abcd = 3136 (0,25điểm)
• Bài (4 ñiểm):
với k, m∈∈∈∈N, 31< k < m <100 (0,25ñiểm)
⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔ ⇔⇔ ⇔
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
(39)Vẽ hình (0,25điểm)
a) HAAA''
BC ' AA BC ' HA S S ABC
HBC = =
; (0,25ñiểm)
Tương tự: ' CC ' HC S S ABC HAB = ; ' BB ' HB S S ABC HAC = (0,25ñiểm) S S S S S S ' CC ' HC ' BB ' HB ' AA ' HA ABC HAC ABC HAB ABC
HBC + + =
= +
+ (0,25ñiểm)
b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: AI IC MA CM ; BI AI NB AN ; AC AB IC BI = =
= (0,5ñiểm )
AM IC BN CM AN BI BI IC AC AB AI IC BI AI AC AB MA CM NB AN IC BI = ⇒ = = =
c)Vẽ Cx ⊥CC’ Gọi D ñiểm ñối xứng A qua Cx (0,25ñiểm) -Chứng minh ñược góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD≤ BC + CD (0,25điểm) -∆BAD vng A nên: AB2+AD2 = BD2
⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2 (0,25ñiểm) AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2
4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 (0,25ñiểm)
-Chứng minh ñược : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 ' CC ' BB ' AA ) CA BC AB ( 2 2 ≥ + + + + (0,25ñiểm) (Đẳng thức xảy ⇔⇔⇔⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔⇔⇔⇔ AB = AC =BC
⇔⇔⇔⇔ ∆ABC ñều)
§Ị SỐ 22
Câu 1: (5điểm) Tìm số tự nhiên n để: a, A=n3-n2+n-1 số nguyên tố
b, B =
2 2 + − + + + n n n n n
Cã gi¸ trị số nguyên c, D= n5-n+2 số phơng (n2)
Câu 2: (5®iĨm) Chøng minh r»ng :
a,
1
1+ + + + + + =
+
+ ac c
(40)b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
c,
c a a b b c a c c b b a
+ + ≥ + + 22 22
2
Câu 3: (5điểm) Giải phơng tr×nh sau:
a,
82 54 84
132 86
214+ − + − =
− x x
x
b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9
c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng
Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đờng chéo.Qua kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F
a, Chứng minh :Diện tích tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC b Chøng minh:
EF CD AB
2
1 + =
c, Gọi Klà điểm thuộc OE Nêu cách dựng đ−ờng thẳng qua Kvà chia đơi diện tích tam giác DEF
Câu Nội dung giải Điểm
a, (1®iĨm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)
Để A số ngun tố n-1=1⇔n=2 A=5 b, (2điểm) B=n2
+3n-2 n
2
2 +
B có giá trị nguyên n2+2
n2+2 ớc tự nhiên
n2+2=1 giá trị thoả mÃn
Hoặc n2+2=2 n=0 Với n=0 B có giá trị nguyên
Câu
(5điểm)
c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1)[(n2 −4)+5] +2= 1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2
Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2⋮5 (tich 5sè tù nhiên liên tiếp)
Và n(n-1)(n+15 Vậy D chia d−
Do số D có tận 7nên D khơng phải số ph−ơng
Vậy khơng có giá trị n để D số ph−ơng
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a, (1®iĨm)
= + + + + + + +
+ 1 ac c
c b
bc b a
ab a
1
2+ + + + +
+ +
+ ac c
c ac
abc abc
abc c
ac abc
ac
=
1 1
1
1 + + =
+ + = + + + + + + +
+ abc ac
ac abc c
ac c ac
c abc c
ac ac
(41)b, (2®iĨm) a+b+c=0⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2=
-2(ab+ac+bc)
⇒a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V×
a+b+c=0
⇒ a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)
Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) Vì
a+b+c=0
⇒2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2)
Tõ (1)vµ(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2
Câu
(5điểm)
c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 ≥2xy Dấu
x=y c a c b b a c b b a 2 2 = ≥ + ; b c a c b a a c b a 2 2 = ≥ + ; a b c b a c c b a c 2 2 = ≥ +
Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:
) a b b c c a ( ) a c c b b a ( 2 2 2 + + ≥ + + ⇒ a b b c c a a c c b b a 2 2 2 + + ≥ + + 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5
a, (2®iĨm) 82
54 84
132 86
214+ − + − =
− x x
x
⇔ 3)
82 54 ( ) 84 132 ( ) 86 214
(x− − + x− − + x− − =
⇔ 82
300 84
300 86
300+ − + − =
− x x
x
⇔(x-300)
82 84 86 =
+ + ⇔x-300=0 ⇔x=300 VËy S ={ }
300
Câu
(5điểm)
b, (2điểm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9
(64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72
Đặt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔k2=72,25
⇔k=… 8,5
Với k=8,5 tacó phơng trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0;
x=
4 ;
1 = −
x
Với k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x2-16x+9=0 ⇔(8x-1)2+8=0 v«
nghiƯm VËy S =
(42)c, (1®iĨm) x2-y2+2x-4y-10 = ⇔(x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0
⇔(x+1)2-(y+2)2=7 ⇔(x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyên
dơng
Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x=3 ; y=1 Phơng trình có nghiệm dơng (x,y)=(3;1)
0,5 0,5
Câu
(5®iĨm)
a,(1điểm) Vì AB//CD ⇒S DAB=S CBA (cùng đáy đ−ờng cao)
⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB Hay SAOD = SBOC
b, (2điểm) Vì EO//DC
AC AO DC EO
= Mặt khác AB//DC
⇒
DC AB
AB DC
EO AC
AO BC AB
AB OC
AO AO BC
AB AB OC
AO DC
AB
+ = ⇒ =
+ ⇒ +
= + ⇒ =
⇒
EF AB DC EF
DC AB
DC AB DC
AB AB DC
EF 1
2 = ⇒ + =
+ ⇒ +
=
c, (2®iĨm) +Dùng trung tun EM ,+ Dựng EN//MK (NDF) +Kẻ đờng thẳng KN đờng thẳng ph¶i dùng
Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cđa EM KN I SIKE=SIMN
(cma) (2) Từ (1) vµ(2) ⇒SDEKN=SKFN
0,5 0,5
0,5 1,0 0,5 1,0 1,0
KIẾM TIỀN QUA MẠNG VIỆT NAM
Quý thầy cô bạn dành thêm chút thời gian ñể ñọc giới thiệu sau tri ân người ñăng tài liệu cách dùng Email mã số người giới thiệu theo hướng dẫn sau Nó mang lại lợi ích cho thầy bạn, đồng thời tri ân với người giới thiệu mình:
Kính chào quý thầy cô bạn
Lời cho phép tơi gửi tới q thầy bạn lời chúc tốt đẹp Khi thầy bạn đọc viết nghĩa thầy bạn có thiên hướng làm kinh doanh
Nghề giáo nghề cao quý, ñược xã hội coi trọng tơn vinh Tuy nhiên, có lẽ tơi thấy đồng lương q hạn hẹp Nếu khơng phải mơn học chính, khơng có dạy thêm, liệu tiền lương có đủ cho nhu cầu thầy Cịn bạn sinh viên…với thứ phải trang trải, tiền gia đình gửi, hay gia sư kiếm tiền thêm liệu có đủ?
Bản thân giáo viên dạy mơn TỐN thầy hiểu tiền lương tháng thu ñược Vậy làm cách để kiếm thêm cho 4, triệu tháng tiền lương
A B
C D
O
E K F
I
(43)Thực tế thấy thời gian thầy cô bạn lướt web ngày tương đối nhiều Ngồi mục đích kiếm tìm thơng tin phục vụ chun mơn, thầy bạn cịn sưu tầm, tìm hiểu thêm nhiều lĩnh vực khác Vậy khơng bỏ ngày đến 10 phút lướt web để kiếm cho mình 4, triệu tháng.
Điều có thể? Thầy bạn tin vào điều Tất nhiên thứ có giá Để q thầy bạn nhận ñược 4, triệu tháng, cần địi hỏi thầy bạn kiên trì, chịu khó biết sử dụng máy tính chút Vậy thực chất việc việc làm nào? Q thầy bạn đọc viết tơi, có hứng thú bắt tay vào cơng việc thơi
Thầy nghe nghiều đến việc kiếm tiền qua mạng Chắc chắn có Tuy nhiên internet có nhiều trang Web kiếm tiền khơng uy tín
( trang web nước ngoài, trang web trả thù lao cao ) Nếu web nước ngồi gặp nhiều khó khăn mặt ngơn ngữ, web trả thù lao cao khơng uy tín, nhận tương xứng với cơng lao chúng ta, thật
Ở Việt Nam trang web thật uy tín : http://satavina.com Lúc đầu thân tơi thấy không chắn cách kiếm tiền Nhưng tơi hồn tồn tin tưởng, đơn giản tơi nhận tiền từ cơng ty.( thầy bạn tích lũy 50.000 thơi u cầu satavina tốn cách nạp thẻ ñiện thoại tin ngay).Tất nhiên thời gian ñầu số tiền kiếm ñược chẳng bao nhiêu, sau số tiền kiếm tăng lên Có thể thầy bạn nói: vớ vẩn, chẳng tự nhiên mang tiền cho Đúng chẳng cho không thầy cô bạn tiền ñâu, phải làm việc, phải mang lợi nhuận cho họ Khi ñọc quảng cáo, xem video quảng cáo nghĩa mang doanh thu cho Satavina, đương nhiên họ ăn cơm phải có cháo mà ăn chứ, khơng dại mà làm việc cho họ
Vậy làm ñây Thầy cô bạn làm nhé:
1/ Satavina.com cơng ty nào:
Đó cơng ty cổ phần hoạt động nhiều lĩnh vực, trụ sở tòa nhà Femixco, Tầng 6, 231-233 Lê Thánh Tơn, P.Bến Thành, Q.1, TP Hồ Chí Minh
GPKD số 0310332710 - Sở Kế Hoạch Đầu Tư TP.HCM cấp Giấy phép ICP số 13/GP-STTTT Sở Thông Tin & Truyền Thông TP.HCM cấp.quận Thành Phố HCM
Khi thầy cô thành viên cơng ty, thầy hưởng tiền hoa hồng từ việc ñọc quảng cáo xem video quảng cáo( tiền trích từ tiền thuê quảng cáo công ty quảng cáo th satavina)
2/ Các bước đăng kí thành viên cách kiếm tiền:
Để ñăng kí làm thành viên satavina thầy làm sau:
Bước 1:
Nhập ñịa web: http://satavina.com vào trình duyệt web( Dùng trình duyệt firefox, khơng nên dùng trình duyệt explorer)
(44)
Để nhanh chóng quý thầy bạn coppy
đường linh sau:
http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309
( Thầy cô bạn điền thơng tin ñược Tuy nhiên, chức ñăng kí thành viên được mở vài lần ngày Mục đích để thầy bạn tìm hiểu kĩ công ty trước giới thiệu bạn bè )
Bước 2:
Click chuột vào mục Đăng kí, góc bên phải( khơng có giao diện bước thời gian đăng kí khơng liên tục ngày, thầy bạn phải thật kiên trì)
Bước 3:
(45)Thầy cô khai báo cụ thể mục sau:
+ Mail người giới thiệu( mail tôi, tơi thành viên thức): hoangngocc2tmy@gmail.com
+ Mã số người giới thiệu( Nhập xác) : 66309
Hoặc quý thầy cô bạn coppy Link giới thiệu trực tiếp:
http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309
+ Địa mail: ñây ñịa mail thầy bạn Khai báo địa thật để cịn vào kích hoạt tài khoản sai thầy bạn khơng thể thành viên thức
+ Nhập lại ñịa mail:
(46)Thông tin chủ tài khoản: thầy cô bạn phải nhập xác tuyệt đối, thơng tin nhập lần nhất, khơng sửa Thơng tin liên quan đến việc giao dịch sau Sai khơng giao dịch
+ Nhập mã xác nhận: nhập chữ, số có bên cạnh vào trống + Click vào mục: tơi đọc kĩ hướng dẫn
+ Click vào: ĐĂNG KÍ
Sau đăng kí web thông báo thành công hay không Nếu thành công thầy bạn vào hịm thư khai báo để kích hoạt tài khoản Khi thành cơng q thầy bạn vào web có đầy đủ thông tin công ty satavina cách thức kiếm tiền Hãy tin vào lợi nhuận mà satavina mang lại cho thầy Hãy bắt tay vào việc đăng kí, khơng gì, chút thời gian ngày mà thơi
Kính chúc quý thầy cô bạn thành công
Nếu q thầy có thắc mắc q trình tích lũy tiền gọi trực tiếp mail cho tôi:
Người giới thiệu: Nguyễn Văn Tú Email người giới thiệu: hoangngocc2tmy@gmail.com
Mã số người giới thiệu: 66309
Quý thầy cô bạn coppy Link giới thiệu trực tiếp:
http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309
2/ Cách thức satavina tính điểm quy tiền cho thầy cô bạn:
+ Điểm thầy bạn tích lũy nhờ vào ñọc quảng cáo xem video quảng cáo
Nếu tích lũy điểm từ thầy bạn tháng khoảng 1tr.Nhưng để tăng điểm thầy cần phát triển mạng lưới bạn bè thầy cô bạn
3/ Cách thức phát triển mạng lưới:
- Xem quảng cáo video: 10 điểm/giây (có 10 video quảng cáo, video trung bình phút) - Đọc tin quảng cáo: 10 ñiểm/giây (hơn tin quảng cáo)
_Trả lời phiếu khảo sát.:100,000 ñiểm / _Viết
Trong ngày bạn cần dành phút xem quảng cáo, bạn kiếm được: 10x60x5= 3000 điểm, bạn kiếm ñược 300ñồng
- Bạn giới thiệu 10 người bạn xem quảng cáo (gọi Mức bạn), 10 người dành phút xem quảng cáo ngày, công ty chi trả cho bạn 300ñồng/người.ngày
- Cũng tương tự 10 Mức bạn giới thiệu người 10 người bạn có 100 người (gọi mức bạn), cơng ty chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày
- Tương tự vậy, cơng ty chi trả đến Mức bạn theo sơ ñồ sau : - Nếu bạn xây dựng ñến Mức 1, bạn ñược 3.000ñồng/ngày
→ 90.000 ñồng/tháng
- Nếu bạn xây dựng ñến Mức 2, bạn ñược 30.000ñồng/ngày → 900.000 ñồng/tháng
- Nếu bạn xây dựng ñến Mức 3, bạn ñược 300.000ñồng/ngày → 9.000.000 ñồng/tháng
- Nếu bạn xây dựng ñến Mức 4, bạn ñược 3.000.000ñồng/ngày → 90.000.000 ñồng/tháng
- Nếu bạn xây dựng ñến Mức 5, bạn ñược 30.000.000đồng/ngày → 900.000.000 đồng/tháng
Tuy nhiên thầy bạn khơng nên mơ đạt đến mức Chỉ cần cố gắng ñể 1tháng ñược 1=>10 triệu ổn
Như thầy cô bạn thấy satavina không cho không thầy cô bạn tiền khơng Vậy đăng kí giới thiệu mạng lưới
(47)Hãy giới thiệu ñến người khác bạn bè thầy bạn tơi giới thiệu quan tâm ñến người mà bạn giới thiệu chăm sóc họ( thành viên thầy bạn có mã số riêng).Khi giới thiệu bạn bè thay nội dung mục thông tin người giới thiệu thông tin thầy cô bạn Chúc quý thầy cô bạn thành cơng kiếm khoản tiền cho riêng Người giới thiệu: Nguyễn Văn Tú Email người giới thiệu: hoangngocc2tmy@gmail.com
Mã số người giới thiệu: 66309
Q thầy bạn coppy Link giới thiệu trực tiếp:
http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309
Website: http://violet.vn/nguyentuc2thanhmy
HÃY KIÊN NHẪN BẠN SẼ THÀNH CÔNG
Chúc bạn thành công!
(48)