De thi HSG Toan 9 NH 1213

Khi mới nhận lớp 9A1, cô giáo chủ nhiệm dự định chia lớp thành 3 tổ có số học sinh như nhau.. Nhưng sau đó, lớp nhận thêm 4 học sinh nữa.[r]

PHÒNG GD-ĐT CƯ M’GAR TRƯỜNG THCS ĐINH TIÊN HOÀNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HSG CẤP TRƯỜNG LỚP NĂM HỌC : 2012- 2013 MÔN THI : TOÁN Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1(3,0đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 - 9)(x2 + 4x) = b) x  3x  Bài 2(3,5đ) a) Phân tích đa thức x2 – 4x + thành nhân tử hai cách b) Cho B = 9x2 – 6x + Chứng minh B luôn dương với x Bài (3,5đ) a) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức x  là số nguyên b) Rút gọn biểu thức M = 94  1  2 Bài (4,0đ) Giải bài toán sau cách lập phương trình Khi nhận lớp 9A1, cô giáo chủ nhiệm dự định chia lớp thành tổ có số học sinh Nhưng sau đó, lớp nhận thêm học sinh Do đó cô chủ nhiệm đã chia số học sinh lớp thành tổ Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh, biết so với phương án dự định ban đầu, số học sinh tổ có ít học sinh? Bài (6,0đ) AB  Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AC , đường cao AH = 30 cm a) Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH b) Tính HB, HC HF AE  c) Phân giác BE cắt AH F, cắt AC tai E Chứng minh FA EC - Ghi chú: Giám thị không giải thích gì thêm Phòng GD & ĐT Cư Mgar Trường THCS Đinh Tiên Hoàng KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Môn Toán Lớp Năm học 2012- 2013 Thời gian 150 phút (không kể phát đề) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Đáp án Điểm a) (x - 9)(x + 4x) =  x2 – = x2 + 4x = 1) x2 – =  (x – 3)(x + 3) =  x = x = -3 2) x2 + 4x =  x(x + 4) =  x = x = - Vậy pt đã cho có nghiệm là: x1 = 3, x2 = -3, x3 = 0, x4 = - 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) x  3 x  (1) Bài x  x     (3,0đ) * TH1: Nếu x + x -5, đó    Pt (1) x + = 3x – -2x = -7 x = 3,5 (TMĐK x  -5) * TH2: Nếu x + <  x < - 5, đó x   ( x  5)  x   (loại, vì không Pt (1)  - x – = 3x –  -4x =  x = TMĐK x < -5) Vậy nghiệm pt (1) là x = 3,5 a) * Cách 1: x2 – 4x + = (x2 – x) – (3x - 3) = x(x - 1) - 3(x - 1) = (x - 1)(x - 3) * Cách 2: x2 – 4x + Bài = (x2 – 4x + 4) – (3,5đ) = (x - 2)2 – 12 = (x – - 1)(x – + 1) = (x - 3)(x - 1) b) Ta có: B = 9x2 – 6x + = (9x2 – 6x + 1) + = (3x - 1)2 + Vì (3x - 1)2  với x nên (3x - 1)2 +  với x hay 9x2 – 6x +  với x Vậy B luôn dương với x Bài (3,5đ) a) Để x  là số nguyên thì x – phải là ước Ư(5) = {-1, 1, 5, -5} Nếu x – = -1  x = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,75đ 0,5đ Bài Đáp án Nếu x – =  x = Nếu x – = -  x = Nếu x – =  x = 12 Vậy, các giá trị x cần tìm là: x = 6, x = 8, x = 2, x = 12 94  b) 1   5 4  1   2      1 1  2 0,5đ = 2 1   ( 5)  5.2  22   2 Điểm 0,5đ 2 2 52     1 1 Gọi số học sinh lớp 9A1 là x ĐK: x nguyên dương và x > Số HS lúc đầu lớp là x – (HS) x Số HS tổ theo phương án đầu là: (HS) x Bài Số HS tổ là: (HS) x x (4,0đ) Theo đề bài ta có phương trình: - = x x 4( x  4)  3x 24   x 40 12 12 Giải pt: - =  Giá trị x = 40 thỏa mãn đk ẩn Vậy lớp 9A1 có 40 học sinh 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ Bài (6,0đ) a) Xét  ABH và  CAH, ta có: AHB  AHC 900 ABH CAH   (cùng phụ với BAH )   Do đó, ABH  CAH (g.g) b)  ABH   CAH (g.g) (cmt) 1,5đ Bài Đáp án Điểm 0,5đ AB AH AB    CA CH , mà AC , AH = 30cm 30 6.30   CH  36(cm)  CH 0,5đ Mặt khác, ta có BH.CH = AH2 (đl – hệ thức lượng tam giác vuông) 0,5đ AH 30 25(cm)  BH = CH = 36 0,5đ Vậy BH = 25cm, HC = 36 cm c) Vì BF là phân giác tam giác ABH nên ta có: 0,5đ HF HB  FA AB (1) BE phân giác tam giác ABC nên ta có: AE AB  EC BC (2)  HBA   ABC (tam giác vuông có chung góc nhọn B) HB AB   AB BC (3) HF AE  Từ (1), (2) và (3) ta có: FA EC Duyêt CM Người đề Phạm Văn Hướng 0,5đ 0,5đ 0,5đ