Mở rộng phương trình hàm cauchy

B ăGIÁOăD CăVĨăĐĨOăT O Đ I H C ĐĨăN NG TR NăTH ăTHẮM M ăR NGăPH NGăTRỊNHă HÀM CAUCHY LU NăVĔNăTH CăSƾăKHOAăH C ĐƠăN ngă– 2015 B ăGIÁOăD CăVĨăĐĨOăT O Đ I H C ĐĨăN NG TR NăTH ăTHẮM M ăR NGăPH NGăTRỊNHă HÀM CAUCHY Chuyên ngành :ăPh Mƣăs ngăphápăToánăs ăc pă : 60.46.01.13 LU NăVĔNăTH CăSƾăKHOAăH C Ng iăh ngăd năkhoaăh c:ăTS.ăCaoăVĕnăNuôi ĐƠăN ngă– 2015 L IăCAMăĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả lu n văn kỦ vƠ ghi rõ họ tên Tr n Th Thắm MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG MỞ RỘNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 1.1.VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1.1.1 Nicole Oresme (1323 – 1382) 1.1.2 Gregory of Saint – Vincent (1584 – 1667) 1.1.3 Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885) 1.1.4 Jean d’Alembert (1717 – 1783) 1.2 ĐỊNH NGHĨA 1.2.1 Định nghĩa phương trình hàm 1.2.2 Định nghĩa phương trình hàm Cauchy 14 1.3 MỞ RỘNG CỦA HÀM CỘNG TÍNH 18 1.3.1 Giới thiệu 18 1.3.2 Mở rộng hàm cộng tính 18 CHƯƠNG CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 27 2.1 GIỚI THIỆU CHUNG 27 2.2 DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT 28 2.3 XÁC ĐỊNH LOGARIT 31 2.4 CÔNG THỨC LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP 32 2.5 SỰ PHÂN Rà CỦA PHÓNG XẠ 34 2.6 ĐẶC TÍNH CỦA PHÂN PHỐI BỘI 35 2.7 ĐẶC TÍNH CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN RỜI RẠC 38 2.8 Đ C TệNH C A PHỂN PH I CHU N 42 K TăLU N 47 DANHăM CăTĨIăLI UăTHAMăKH O 48 QUY TăĐ NHăGIAOăĐ ăTĨIă(B năsao) M ăĐ U Tính c păthi tăc aăđ ătƠi LỦ thuy t ph ng trình hƠm lƠ m t nh ng lƿnh v c nghiên cứu quan trọng c a giải tích tốn học Vi c giải ph ng trình hƠm có lẽ lƠ m t nh ng bƠi toán lơu đ i c a giải tích Nhu c u giải ph xu t hi n bắt đ u có lỦ thuy t hƠm s , nhi u ph ng trình hƠm ng trình hƠm xu t phát t nhu c u th c t c a toán học ho c c a ngƠnh khoa học khác Ph trình tốn ng trình hƠm lƠ m t chuyên đ quan trọng ch tr ng THPT chuyên Trong kì thi olympic toán qu c gia vƠ qu c t , olympic khu v c, th quan đ n ph ng ng xu t hi n d ng toán khác liên ng trình hƠm Đ giải ta khơng nh ng c n nắm v ng lỦ thuy t mƠ c n r t nhi u kỹ Tuy nhiên, cho đ n nay, học sinh l p chuyên, l p chọn bi t r t ph ng pháp đ giải ph trình hƠm Đ c bi t, cịn r t cu n sách v chuyên đ ph ng ng trình hƠm vƠ ứng d ng c a chúng Các bƠi tốn v ph ng trình hƠm r t phong phú vƠ đa d ng, bao gồm lo i ph ng trình n tính vƠ phi n tính, ph hƠm vƠ ph ng trình nhi u n hƠm, ph ng trình hƠm m t n ng trình hƠm m t bi n vƠ ph ng trình hƠm nhi u bi nầ Ph v ph ng trình hƠm Cauchy có m t vai trị quan trọng mảng tốn ng trình hƠm R t nhi u ph gƠng nh phép bi n đổi đ a v ph ng trình hƠm đ ợc giải quy t r t gọn ng trình hƠm Cauchy VƠ xơy d ng cơng thức tính di n tích hình ch nh t, công thức Logarit, công thức lƣi đ n, lƣi képầta bắt g p ph ng trình hƠm Cauchy T nh ng v n đ trên, đƣ quy t đ nh chọn đ tƠi nghiên cứu: “Mở rộng phương trình hàm Cauchy” M cătiêuănghiênăc u M c tiêu c a đ tƠi nhằm nghiên cứu m r ng c a ph ng trình hàm Cauchy N i dung c a đ tƠi đ ợc chia thƠnh ch Ch ng: ng gi i thi u v l ch s phát tri n vƠ m r ng ph ng trình hàm Cauchy Ch ng gi i thi u v ứng d ng c a ph Đ iăt ng trình hƠm Cauchy ngăvƠăph măviănghiênăc u Đ i t ợng nghiên cứu c a lu n văn lƠ ph ng trình hƠm Cauchy Ph m vi nghiên cứu c a lu n văn lƠ xơy d ng c s lỦ thuy t vƠ h th ng m r ng c a ph ph ng trình hƠm Cauchy vƠ ứng d ng c a ng trình hƠm cauchy Ph ngăphápănghiênăc u a Thu th p bƠi báo khoa học vƠ tƠi li u c a tác giả nghiên cứu liên quan đ n ph ng trình hƠm Cauchy vƠ ứng d ng b Tham gia buổi seminar c a th y h ng d n đ trao đổi k t nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum v i chuyên gia v ứng d ng c a ph ng trình hƠm CH M ăR NGăCÁCăPH NGă1 NGăTRỊNHăHĨMăCAUCHY 1.1 VĨIăNÉTăV ăL CHăSỬăPHÁTăTRI NăPH NGăTRỊNHăHĨM ng nƠy, ta tóm l ợc đơi nét v l ch s phát tri n c a ph ng trình hƠm s phát tri n chung c a Toán học vƠ m r ng ph ng Trong ch trình hàm Cauchy 1.1.1 Nicole Oresme (1323 – 1382) Nicole Oresme lƠ m t nhƠ toán học ng i Pháp, ông lƠ m t nh ng nhƠ khoa học l n th i Trung cổ, ông có nh ng nghiên cứu quan trọng cho khoa học th i Ph c h ng Năm 1348, Nicole Oresme giƠnh đ ợc học bổng c a đ i học Paris, năm Chơu Ểu đƣ xảy n n d ch Cái ch t đen lƠm ch t h n 1/3 dơn s c a Chơu Ểu Năm 1355, ơng đƣ có th c sƿ vƠ đ ợc bổ nhi m lƠm hi u tr Pháp Ông lƠ nhƠ khoa học l n nh t ng c a tr ng Đ i học Navarre c a th k XIV giai đo n khó khăn, d ch b nh nh v y mƠ ông đƣ lƠm nh ng u sức phi th không t Ph ng, th t lƠ m t u ng ng trình hƠm đƣ đ ợc nhƠ khoa học nghiên cứu t r t s m Ngay t th k XIV, nhƠ toán học Nicole Oresme đƣ xác đ nh hƠm s b c nh t nh m t nghi m c a ph hƠm s ng trình hƠm C th lƠ, ơng đƣ đ t bƠi tốn tìm f ( x) th a mƣn v i x, y, z , đôi m t phơn bi t, ph hƠm nh sau: y  x f  y   f  x  z  y f  z  f  y ng trình (1.1) Nicole Oresme đƣ tìm đ ợc nghi m c a ph f  x  ax  b v i a , b lƠ s ng trình (1.1) là: 1.1.2 Gregory of Saint – Vincent (1584 – 1667) Trong vƠi trăm năm ti p theo, ph ng trình hƠm đƣ đ ợc bi t đ n nhi u h n nh ng l i khơng có m t lỦ thuy t chung nƠo cho ph ng trình hƠm lúc Trong s nhƠ tốn học l n có nhƠ toán học Gregory of Saint ậ Vincent, ng ph i đ u v lỦ thuy t Logarithm vƠ đƣ tìm đ ợc hƠm hypebol ng trình hƠm: f ( xy)  f ( x)  f ( y) Ơng đƣ xét bƠi tốn di n tích ph n m t phẳng gi i h n b i đ y  ; x  1; x  t; x, y  x f (t ) th a mƣn ph  ng ơng đƣ kí hi u di n tích lƠ f (t ) vƠ chứng t ng trình hƠm: f ( xy)  f ( x)  f ( y), x, y  NgƠy ta đƣ bi t lƠ hƠm f  x  log a x v i a  0, a  Tuy nhiên, vi c giải vƠ tìm nghi m c a ph f ( xy)  f ( x)  f ( y), x, y  ng trình hƠm phải đ n 200 năm sau m i tìm đ ợc nh cơng c a Augustin ậ Louis Cauchy (1789 ậ 1885) 1.1.3 Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885) Augustin ậ Louis Cauchy đ ợc sinh t i Paris năm 1789, năm xảy cu c cách m ng Pháp kéo dƠi đ n 10 năm Khi Cauchy đ ợc 10 tuổi b ơng đƣ đem gia đình v q s ng n d t cho đ n năm 1800 Năm 13 tuổi, Cauchy vƠo học tr nhi u giải th ng trung tơm c a Parthenon vua Napoleon đƣ đ t ng vƠ m t kỳ thi học sinh gi i cho t t tr ng c a n c Pháp thu c m t l p Cauchy đứng đ u l p vƠ đ t nhi u giải nh t v môn học ti ng La Tinh, Hy L p vƠ th La Tinh Năm 1805, 16 tuổi Cauchy đƣ g p đ ợc m t th y d y Toán gi i vƠ đƣ thi đ thứ hai vƠo tr tr ng Đ i học C u đ ng Đ i học Bách Khoa Năm 1807 ông vƠo học ng vƠ m i 18 tuổi nh ng ông đƣ v ợt qua b n học 20 tuổi, m c dù b n nƠy đƣ học năm ơng d y tốn Tr tr ng nƠy Năm 1813, ng Bách Khoa vƠ thƠnh h i viên HƠn lơm vi n Khoa học Pháp B c vƠo tuổi 27, ơng lƠ nhƠ tốn học xu t sắc th i b y gi , ông nghiên cứu nhi u lƿnh v c Tuy nhiên, ông ch y u đ ợc bi t đ n lƿnh v c tốn học vƠ đ ợc cơng nh n lƠ m t nh ng ng i sáng l p nên toán học hi n đ i M c dù đ nh nghƿa c a Nicole Oresme v n tính có th đ ợc hi u nh lƠ m t ví d đ u tiên v m t ph ng trình hƠm, khơng đ i di n cho m t m kh i đ u cho lỦ thuy t v ph ph ng trình hƠm Các ch đ c a ng trình hƠm đ ợc đánh d u m t cách xác h n t cơng vi c c a Augustin ậ Louis Cauchy M t nh ng ph hay gọi lƠ ph ng trình Cauchy có d ng: f ( x  y)  f ( x)  f ( y), x, y  Nghi m c a ph Ph ng trình hƠm ti ng mƠ ta ng trình (1.2) có d ng: f  x  ax (1.2) ng trình (1.2) đƣ đ ợc Carl Friedrich Gauss (1777 ậ 1855) Legendre nghiên cứu tìm đ nh lí c c a hình học x ảnh vƠ nghiên cứu phơn ph i Gauss v phơn b xác su t G Darbour đƣ nghiên cứu ph ng trình (1.2) vƠ ch ch c n f  x ho c liên t c t i m t m, ho c b ch n (ho c d i) m t khoảng đ nh nghi m c a ph ng 35 m(t  h)  m0 f (t  h) m(t  h)  m0 f (t ) f (h) Do m0 f (t  h)  m0 f (t ) f (h) f (t  h)  f (t ) f (h) Do T áp d ng t i m t m ta có th xem nh c a ph t , h   f lƠ liên t c Thì tính liên t c ng trình hƠm đ ợc cho b i f (t )  et , α lƠ s th c Do m(t )  m0 f (t )  m0e t Vì m t  giảm theo th i gian t, s α phải lƠ ơm vƠ    V i λ > 0, ta có f (t )  m0e t Hằng s α đ ợc gọi lƠ s phơn rƣ 2.6.ăĐ CăTệNHăC AăPHỂNăPH IăB I Trong ph n nƠy cách s d ng ph ng trình hƠm mũ Cauchy ta hình thƠnh đ c tính c a phơn ph i b i theo thu t ng tính ch t khơng nh 36 M t bi n ng u nhiên X đ ợc gọi lƠ có phơn ph i b i (hay bi n ng u nhiên b i) n u hƠm m t đ xác su t c a đ ợc cho b i f ( x)  (1  p) x1 p , Trong x  1,2,3, , p [0,1] lƠ m t tham s đơy, p đ ợc hi u lƠ xác su t thƠnh công N u X lƠ m t bi n ng u nhiên b i, bi u di n cho s th nghi m thƠnh công đ u tiên xảy M t bi n ng u nhiên X đ ợc gọi lƠ có tính ch t khơng nh n u th a mƣn P ( X  m  n | X  n)  P ( X  m) (m, n  ) Bơy gi ta chứng minh bi n ng u nhiên X lƠ phép ng u nhiên b i vƠ ch th a mƣn tính ch t khơng nh P ( X  m  n | X  n)  P ( X  m) Vì P (( X  m  n) | ( X  n))  Ta có: Mà P (( X  m  n)  ( X  n)) P ( x  n) P (( X  m  n)  ( X  n))  P ( X  m)P ( X  n) P ( X  m  n)  P ( X  m)P ( X  n) N u X lƠ bi n ng u nhiên b i, X (1  p) x1 p Thì P ( X  m  n)    x m n 1 (1  p) x1 p m, n  37  (1  p) n m  (1  p) n (1  p) m  P ( X  n) P ( x  m) Do phơn ph i b i có tính ch t khơng nh Ti p theo, cho X lƠ bi n ng u nhiên b t kỳ th a mƣn tính ch t khơng nh P ( X  m  n)  P ( X  m) P ( X  n) m, n  Ta ch X lƠ bi n ng u nhiên b i Xác đ nh Do đó, ta có: g:  g (n)  P ( X  n) g (m  n)  g (m) g (n) Nghi m tổng quát (ngay tr m, n  ng hợp không liên t c) đ ợc cho b i g (n)  a n , v i α lƠ s Vì v y P ( X  n)  a n Ho c  F (n)  a n Trong F  n  lƠ hƠm phơn ph i xác su t Vì v y: F (n)   a n Do F  n  lƠ hƠm phơn ph i xác su t, ta có:  lim F (n) n 38  lim(1  a n ) Ho c n T trên, ta k t lu n < a < Ta thay a 1 ậ p  , ta có: F  n    1  p  n HƠm m t đ xác su t c a bi n ng u nhiên X đ ợc cho b i: f (1)  F (1)  p f (2)  F (2)  F (1)   (1  p)  p  (1  p) p f (3)  F (3)  F (2)   (1  p)3   (1  p)  (1  p) p Vì v y, quy tắc quy n p, ta có f ( x)  (1  p) x1 p Vì th X Geo( p) (x=1, 2, 3, ,) (đpcm) 2.7.ăĐ CăTệNHăC AăPHỂNăPH IăCHUẨNăR IăR C Trong ph n nƠy, ta xét m t ph phơn ph i chu n r i r c Ph ng trình hƠm liên quan đ n đ c tr ng c a ng trình hƠm ta quan tơm nh sau: f ( x12  x22   xn2 )  f ( x12 )  f ( x22 )   f ( xn2 ) x1, x2 , , xn  (lƠ t p s nguyên) N u n  , ph ng trình hƠm tr thƠnh f ( x12  x22 )  f ( x12 )  f ( x22 ) x1,x  (2.15) 39 M t nghi m c a ph ng trình lƠ: f ( x)  kx x (2.16) Tuy nhiên (2.16) lƠ nghi m nh t Ví d 0  f ( x)  1 2  Cũng lƠ nghi m c a (2.15) T x = x=1 x=2 ng t nh v y, ph ng trình hƠm f ( x12  x22  x32 )  f ( x12 )  f ( x22 )n u f ( x32 ) (2.17) Cũng có nghi m phi n (xem Dasgupta (1993)) 0 1  f ( x)   2 3 Bên c nh nghi m n tính f  x  kx x = x = x = x = N u n ≥ 4, ta ch m i nghi m c a phn u ng trình hƠm f ( x12  x22   xn2 )  f ( x12 )  f ( x22 )   f ( xn2 ) x1, x2 , , xn  lƠ n tính (2.18) Chúng ta dùng đ nh lí Lagrange đ tìm nghi m tổng quát Đ nhă líă 2.2 Mỗi số nguyên dương n tổng nhiều bốn bình phương số nguyên dương, tức n  a  b2  c  d , a , b, c, d  Víăd ă2.1 Các s nguyên 1, 2, 3, 4, có th đ ợc bi u di n nh sau: 40    12  12  2   1 1  2 2  1 1 1    22    22  12    12  02 (2.19) Đ nh lí 2.2 đ u tiên xu t hi n Arithmetica c a Diophantus v i d ch ti ng Latin đ ợc th c hi n b i Bachet năm 1621 Đ nh lí nƠy đƣ khơng đ ợc chứng minh cho đ n Joseph Louis Lagrange đƣ chứng minh vƠo năm 1770 (xem Milne (1996)) Đ nh lí 2.2 đ ợc gọi lƠ đ nh lí b n bình ph ng ho c s giả thuy t Bachet Theo Dasgupta(1993), ta tìm nghi m c a ph ng trình hƠm (2.18) đ nh lí ti p theo Đ nhălíă2.3 Cho n  số nguyên Hàm f :  trình thỏa mãn phương f ( x12  x22   xn2 )  f ( x12 )  f ( x22 )   f ( xn2 ) (2.20) với x1, x2 , , xn  f  x  kx ,trong k số tùy ý Ch ngăminh Quan sát ta th y f    Cho x5   xn  (2.20), ta có f ( x12  x22  x32  x42 )  f ( x12 )  f ( x22 )  f ( x32 )  f ( x42 ) (2.21) 41 v i x1 , x2 , x3 , x4  S d ng (2.19) vƠ (2.21), ta đ ợc f (1)  f (1) f (2)  f (1) f (3)  f (1) f (4)  f (1) f (5)  f (22 )  f (12 )  f (4)  f (1)  f (1)  f (1)  f (1) Do đó, ta có v i m đơy k  f 1 f (m)  km (2.22) Bơy s d ng quy n p đ chứng minh (2.22) v n cho t t s nguyên d ng Giả s f (m)  km V i s nguyên m  q  , vƠ ta ch ra: f  q   kq Vì q lƠ s nguyên d ng theo đ nh lỦ 2.2 q  x12  x22  x32  x42 Có nh t hai xi khác (vì q  ) Do xi2  q  v i i  1,2,3,4 Do (2.23) (2.24) 42 f (q)  f ( x12  x22  x32  x42 ) = f ( x12 )  f ( x22 )  f ( x32 )  f ( x42 )  k( x12  x22  x32  x42 )  kq Do Vì v y (theo giả thi t quy n p) f  q   kq f  x  kx x  (đpcm) 2.8.ăĐ CăTệNHăC AăPHỂNăPH IăCHUẨN Bi t rõ rằng, n u x1 , x2 , x3 , xn bi n ng u nhiên t m t phơn ph i chu n v i trung bình µ vƠ ph ng sai σ2 , c l ợng hợp lỦ c c đ i (MLE) c a tham s v trí µ đ ợc cho b i giá tr trung bình m u x   xi / n N u n i 1 c l ợng hợp lỦ c c đ i c a m t tham s v trí cho m t tổng th đ ợc tính cách l y giá tr trung bình m u, có th t lƠ phơn ph i cho tổng th lƠ chu n? Cơu trả l i cho u nƠy đƣ đ ợc ki m chứng vƠ vi c chứng minh đƣ đ ợc th c hi n b i Gaus (1809) Trong ph n nƠy, v i vi c s d ng hƠm Cauchy c ng tính, chúng tơi trình bƠy nh ng đ c tính đ u tiên c a phơn ph i chu n Teicher (1961) đƣ đ c tr ng hóa phơn ph i chu n d a vƠo MLE cách làm giảm đi u ki n đ ợc yêu c u b i Gauss (1809) Marshall vƠ Olkin (1993) m r ng k t c a Teicher đ n phơn ph i chu n đa chi u Stadje (1993) đƣ nghiên cứu v n đ đ c tính, nh ng ngoƠi nh ng u ki n khác ví d cỡ m u n = 2,3,4 m t lúc Chúng đƣ ph ng theo m t chứng minh g n đơy b i Azzalini vƠ Gento (2007) ch s d ng m t giá tr c a kích th c m u n, v i n  43 Đ nhălỦă2.4 Xét tập hợp vị trí hàm cho biến ngẫu nhiên liên tục không gian chiều, cho với lựa chọn   suất tương ứng điểm x , hàm mật độ xác f  x  µ  Giả sử mẫu ngẫu nhiên với kích thước n  lấy từ đơn vị tập hợp hàm này, với điều kiện sau: f '  x liên tục F(x) hàm vi phân x đạo hàm cuả điểm x Với tập hợp giá trị biến, x1 , x2 , x3 , xn , giá trị trung bình biến x  i 1 xi / n nghiệm phương trình hợp lý cho tham số n vị trí µ hàm mật độ xác suất f  x  µ  hàm mật độ chuẩn chiều cho f x µ  Với vài giá trị dương  2 e  x      2   Ch ngăminh Cho hƠm hợp lỦ gắn v i m u x1 , x2 , x3 , , xn L    f  x1    f  x2    f  xn    Thì hƠm hợp lỦ logarit đ ợc cho b i: ln L     ln f  xi    n i 1 Vi phân hóa lnL µ  (2.25) theo µ , th y (2.25) 44 n d d ln L     ln f  xi    d i 1 d  Xác đ nh g :  (2.26) cho b i g  x  t (2.26), ta có đ ợc d ln f ( x) dx (2.27) n d ln L     g  xi    d i 1 Đ xác đ nh MLE c a µ ,  g  xi     d ln L   v i đ đ ợc d n i 1 Chú Ủ cho phép f  x  vƠ tr ng hợp ch p nh n ln   Tuy nhiên, b i f  x  phải cho m t dƣy giá tr c a x, (2.27) phải đ ợc xác đ nh cho t p hợp nƠy S d ng u ki n c a đ nh lỦ nƠy, th y  g  xi  x  n i 1 (2.29) v i s l a chọn có th có c a giá tr m u Cho x1  x2  x3   xn  u (2.28) v i s u, ta có ng  xi     vƠ g    b i   u theo giả thi t c a đ nh lỦ Ti p theo, xét m u x1  2u, x2  0, x3  u, x4  u, , xn  u (2.30) 45 B i   u , ta có v i t t u  g  2u     g     g  u     (2.31) g  u   g  u   (2.32) Do g  u  lƠ m t hƠm s lẻ V i m u vƠ v b t kỳ nƠo , cho x1  u, x2  v, x3  u  v, x4   x5   xn đ   Do đó, t (2.28), ta có g  u   g  v  g  u  v  (n  3) g (0)  0, vƠ s d ng s th t lƠ g    vƠ g lƠ m t hƠm lẻ, ta có g  u   g  v  g  u  v  v i t t u, v B i f '  x liên t c t i x vƠ th , ta có c  (2.33) m t m x, g(x) liên t c g  x  cx, (2.34) lƠ m t s T (2.27) vƠ (2.34), ta có d ln f ( x)  cx dx vƠ f (x  )  e d  c ( x  )2 (2.35) d lƠ m t s th c B i f  x  µ  lƠ m t hƠm m t đ xác su t, c  ; n u khơng f khơng khả tích toƠn b dƣy s th c 46 Cho c  2 , ta có f (x  )  e x  ) d (  (2.36) B i f  x  µ  lƠ m t hƠm m t đ xác su t, phải khả tích toƠn b  ( x   )dx  Do đó, ta có   ed  2 V y f (x  )  2 e x  )  (  Đi u nƠy hoƠn thƠnh vi c chứng minh đ nh lỦ (2.37) 47 K TăLU N Lu n văn đƣ trình bƠy m t cách khái quát l ch s phát tri n c a ph ng trình hƠm nói riêng s phát tri n chung c a Toán học, đ nh nghƿa vƠ ví d v ph ng trình hƠm Lu n văn trình bƠy h th ng ki n thức v ph m r ng vƠ ứng d ng c a ph ng trình hàm Cauchy ng trình hƠm Cauchy, c th : - Trình bƠy đ nh nghƿa vƠ ví d v ph - Xem xét bƠi toán m r ng ph ng trình hƠm Cauchy ng trình hƠm Cauchy c ng tính t m t mi n nh h n đ n m t mi n l n h n, trình bƠy đ nh lí, chứng minh - Trình bƠy ứng d ng c a ph ng trình hƠm Cauchy, hình thƠnh cơng thức tính di n tích hình ch nh t, xác đ nh Logarit, cơng thức lƣi đ n, lƣi kép, s phơn rƣ c a phóng x , đ c tính phơn ph i b i, đ c tính c a tính phơn ph i chu n r i r c Tôi mong mu n lu n văn c a đƣ góp ph n cho nh n th y hƠm Cauchy xu t hi n vi c đ nh tính cơng thức tốn học 48 DANHăM CăTĨIăLI UăTHAMăKH O TI NGăVI T [1] Ngô Quang Dũng (2006), Phương trình hàm, sáng ki n kinh nghi m mơn Tốn, Tr ng THPT Ph m ThƠnh Trung, Ti n Giang [2] Nguy n Xuơn Liêm (1997), Giải tích hàm, NXBGD, HƠ N i [3] Nguy n Văn M u (1997), Phương trình hàm, NXBGD [4] Nguy n Văn M u, Bùi Cơng Hu n (2004), Một số chun đề tốn học chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, NXBGD, HƠ N i [5] Nguy n Văn M u, Nguy n Văn Ti n (2009), Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi, NXBGD, Vƿnh Phúc [6] Nguy n Trọng Tu n (2005), Bài toán hàm số qua kì thi Olympic, NXBGD, Nam Đ nh TI NGăANH [7] N H Abel (1823) Mag Naturvidenskab, Norwegian [8] J.Aczél (1966) Lectures on functional Equations and Their Applications Academic Press, New York, London [9] J.Aczél (1964) On a generalization of the functional equations of Pexider Publ Ins Math Beogard [10] J.Aczél (1987) A Short Course on Functional Equations D Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland [11] J.Aczél and J Dhombres(1989) Functional Equations in Several Variables Cambridge University Press, Cambridge 49 [12] H.Anton (1992) Calculus with Analytic Geometry John Wiley & Sons, Inc., New York ... ng? ?trình? ?hƠm a.ăĐ nhănghƿa Phương trình hàm phương trình mà ẩn hàm số, giải phương trình hàm việc tìm tất hàm số thỏa mãn phương trình hàm cho số điều kiện cho trước Cấu trúc phương trình hàm. .. nhănghƿa ng? ?trình? ?hƠm? ?Cauchy 15 Phương trình hàm Cauchy phương trình hàm có dạng f (x + y)= f (x)+ f (y) (1.17) Nghiệm liên tục tốn phương trình hàm Cauchy f  x  ax, x  , với a  tùy ý Hàm f... Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG MỞ RỘNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 1.1.VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1.1.1 Nicole Oresme (1323 –