HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ IV http:baigiangtoanhoc.com Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội Hotline: 0989189380 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH CAUCHY Đào Thị Lê Dung Trường THPT chuyên Thái Bình A. Mở đầu: Phương trình hàm Cauchy có một vai trò quan trọng trong mảng toán về phương trình hàm. Rất nhiều phương trình hàm được giải quyết một cách gọn gàng nhờ phép biến đổi để đưa về phương trình hàm Cauchy. B. Nội dung: Trước tiên xin nêu ra một số tiêu chuẩn để nhận dạng phương trình hàm Cauchy. I. Lý thuyết: 1. Tiêu chuẩn 1: Nếu hàm số f: thỏa mãn: f cộng tính và liên tục trên R thì phương trình f(x) = ax (a tùy ý thuộc R) Chứng minh: Từ giả thiết cộng tính: ( ) ( ) ( ) f x y f x f y ,x y R => (2 ) 2 ( ) f x f x Bằng quy nạp dễ thấy ( ) ( ) f kx kf x k N Mặt khác: Thay x = y = 0 => f(0) = 0 Thay y = x => f(x) = f(x) Vậy với k N : f(kx) = f(kx) = kf(x) Do đó ta có f(kx) = kf(x) k Z (1) Ngoài ra: f(1) = n 1 ( ) f n N n => 1 (1) ( ) f f n n Theo (1) ; m Z n N ta có: 1 ( ) ( ) (1) m m f mf f n n n Chứng tỏ f(x) = xf(1) x Q Với x0 R tùy ý thì vì tập Q là trù mật trong R nên tồn tại dãy (xn) với xn Q và 0 n x x Vì f hàm số liên tục trên R: => lim(f(xn) = f(limxn) = f(x0) => limf(1).xn = f(x0) => f(x0) = ax0 x R Thử lại thấy thỏa mãn; Kết luận: ( ) ax; a R f x Chú ý: Ở tiêu chuẩn trên điều kiện f liên tục trên R có thể thay đổi điều kiện hẹp hơn: f liên tục tại 1 điểm 0 R x là đủ. Thật vậy: với 1 R ta có: x HỘ HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ IV http:baigiangtoanhoc.com Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội Hotline: 0989189380 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 x x f(x) = f(xx ) ( ) ( ) limf(x)=lim(f(xx ) ( ) ( )) x x x f x f x x R x f x f x = f(x0) + f(x1) –f(x0) (Theo gt f liên tục tại x0) = f (x1) Vậy f liên tục tại x1 tùy ý hay liên tục trên R. Tiêu chuẩn 2: Nếu hàm f: R R là hàm cộng tính và đơn điệu trên R thì f(x) có dạng: f(x) = ax (a R ) Chứng minh: Vì f là hàm cộng tính trên R theo chứng minh trên ta có: ( ) ax x Q; a=f(1) f x với x0 R bất kỳ: Tồn tại 2 dãy (xn); (yn) thỏa mãn: ; n n x Q y Q n N 0 n n x x y và (xn); (yn) đều hội tụ đến x0 Giả sử f đơn điệu tăng trên R => f(xn) < f(x0) < f(yn) axn < f(x0) < ayn Cho 0 0 0 0 0 0 ax ( ) ax ( ) ax x n f x f x R Hay ( ) ax f x x R Tiêu chuẩn 3: Hàm f: R R f cộng tính và ( ) 0 f x x 0 khi đó f(x) = ax Thật vậy: x,y tùy ý thuộc R giả sử x > y => x – y > 0 Ta có f(x) = f(xy) + f(y) > f(y) f là hàm đơn điệu tăng trên R Theo tiêu chuẩn 2 ta có điều phải chứng minh Tiêu chuẩn 4: Nếu hàm f : là cộng tính và đơn điệu trên đoạn ; a b thì f(x) = ax Thật vậy đây là trường hợp mở rộng của tiêu chuẩn 2 Ta sẽ chứng minh từ giả thiết f đơn điệu trên ; a b để được f đơn điệu trên toàn R Giả sử f là hàm đơn điệu tăng. Đặt 0 2 b a lấy x y tùy ý trên ; a b . Từ f là hàm cộng tính và f tăng trên ; a b => ( ) ( ) 2 2 a b a b f x f y => ( ) ( ) f x f y x,y ; à x y v => f đơn điệu tăng trên ; Dễ thấy f(0) = 0 => ( ) 0 f x 0;x HỘ HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ IV http:baigiangtoanhoc.com Trung tâm gia sư VIP, số 4 ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội Hotline: 0989189380 Với x y ta đặt x yk k N Và x,y tùy ý trên R x – y = kα + t với t 0; Ta có : f(x)f(y)=f(xy)=f(k )+f(t)=kf( )+f(t) 0 Vậy f đơn điệu tăng trên R > điều phải chứng minh theo tiêu chuẩn 2 II. Một số ứng dụng của phương trình hàm Cauchy Trước tiên xin nêu ra một số phương trình hàm liên quan đến việc chuyển đổi các phép toán số học và các đại lượng trung bình Ví dụ 1 : Tìm các hàm thỏa mãn từng điều kiện sau : 1) Xác định hàm f : R+ R+ biết f là hàm liên tục và f(xy) = f(x)f(y) ;x y R Giải : Từ giả thiết => lnf(xy) = lnf(x) + lnf(y) Đặt x = eu ; y = ev => lnf(eu+v) = lnf(eu) + lnf(ev) Đặt g(x) = lnf(ex) g là hàm liên tục trên R và g(u+v) = g(u) + g(v) => g(u) = au => f(x) = eg(lnx) = ealnx = (ealnx) = (elnx)a = xa Vậy f(x) = xa (a tùy ý thuộc R) 2) Xác định hàm f liên tục trên R thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) f x y f x f y ,x y R Giải: Nhận xét: ( ) 0 f x là 1 nghiệm phương trình Nếu 0 x f(x0) ≠ 0 0 0 0 : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x R f x f x x x f x f x x => ( ) 0 f x x R Thay x = y => f(x) > 0 x R lnf(x+y) = lnf(x) + lnf(y) g(x+y) = g(x) + g(y) với g(x) = lnf(x) Ngoài ra g liên tục trên R => g(x) = ax => f(x) = eax = bx (b > 0 tùy ý) 3) Phương trình hàm Jensen : Tìm f là hàm liên tục trên R thỏa mãn : ( ) ( ) ( ) 2 2 x y f x f y f ,x y R Đặt F(x) = f(x) f(0) => F(0) = 0 => 2F(x+y) = F(2x) + F(2y) ,x y R HỘ HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI