Phương trình hàm cauchy cộng tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG −−− −−− NGUYỄN THỊ THU NHÂN PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng-2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG −−− −−− NGUYỄN THỊ THU NHÂN PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS CAO VĂN NUÔI Đà Nẵng-2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thu Nhân MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1 Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu 2 Phương pháp nghiên cứu Bố cục đề tài Tổng quan tài liệu nghiên cứu CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH 1.1.1 Các phương trình hàm 1.1.2.Nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính 1.1.3.Nghiệm không liên tục phương trình hàm Cauchy cộng tính 12 1.1.4 Tiêu chuẩn khác cho tính tuyến tính 16 1.1.5 Những hàm cộng tính mặt phẳng phức 18 1.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY KHÁC 1.2.1 Nghiệm phương trình Cauchy lũy thừa 22 22 1.2.2 Nghiệm phương trình Cauchy Logarit 1.2.3 Nghiệm phương trình Cauchy nhân tính 25 26 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH 31 2.1 ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY TRONG GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.2 ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY TRONG GIẢI 31 TỐN HỌC SINH GIỎI 44 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) 54 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N : Tập hợp số tự nhiên N∗ : Tập hợp số tự nhiên khác C : Tập hợp số phức Q : Tập hợp số hữu tỷ Q2 : Mặt phẳng hữu tỷ R : Tập hợp số thực R+ : Tập hợp số thực dương R2 : Mặt phẳng thực R∗ : Tập hợp số thực khác ∀ : Với ∃ : Tồn : Không tồn ∞ : Vô →: Dẫn đến ⇒: Suy ⇔: Tương đương MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng Giải tích tốn học nhà toán học đặc biệt quan tâm Phương trình hàm bao gồm nhiều dạng, số dạng phương trình hàm Cauchy đông đảo giáo viên dạy chuyên học sinh khiếu toán quan tâm, xuất phương trình hàm Cauchy đề thi nhiều Trong kì thi tốn với qui mơ rộng lớn dành cho học sinh khối Trung học phổ thông chun tốn nói chung học sinh khiếu tốn nói riêng kì thi học sinh giỏi tốn, Olympic toán quốc gia quốc tế, Olympic toán khu vực, thường gặp dạng tốn khác có liên quan đến chủ đề phương trình hàm Cauchy Hiện nay, có nhiều sách viết phương trình hàm Cauchy nhiều tác giả khác Tuy nhiên việc nghiên cứu phương trình hàm Cauchy ứng dụng điều khơng thừa Để tăng thêm nguồn tài liệu tham khảo cho đội ngũ giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán học sinh có khiếu tốn.Tơi cố gắng nghiên cứu thêm chuyên đề Đề thi học sinh giỏi toán từ cấp Trung học phổ thông trở lên có tốn khó để thử thách trí tuệ thí sinh Và tốn khó thường rơi vào phương trình hàm Bởi để giải tốn dạng ngồi việc cần nắm lý thuyết sở cịn phải có nhiều kĩ cách giải dạng phương trình hàm Cauchy Xuất phát từ vấn đề nêu phương trình hàm Cauchy ứng dụng nó, chúng tơi định chọn đề tài nghiên cứu luận văn với tên: “PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH” 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nhằm nghiên cứu phương trình hàm Cauchy cộng tính Hệ thống số tốn giải phương trình hàm Cauchy cộng tính Định hướng cho học sinh cách vận dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính vào việc giải tìm nghiệm lớp tốn phương trình hàm có liên quan Một số điểm cố gắng đưa vào luận văn - Một số định nghĩa liên quan đến phương trình hàm Cauchy cộng tính, chứng minh chặt chẽ định lý liên quan - Làm rõ tính hiệu phương trình hàm Cauchy cộng tính, sâu số toán cụ thể - Đưa nhiều tập cụ thể để làm nỗi bật tính hiệu quả, tính nhanh chóng phương trình hàm Cauchy cộng tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương trình hàm Cauchy cộng tính Phạm vi nghiên cứu đề tài phương trình hàm Cauchy cộng tính phương trình hàm Cauchy khác Hệ thống toán liên quan Phương pháp nghiên cứu - Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến phương trình hàm Cauchy cộng tính phương trình hàm Cauchy khác - Tham gia buổi seminar hàng tuần để trao đổi kết nghiên cứu - Thu tập đề tốn thi có liên quan đến phương trình hàm Cauchy cộng tính, giải tốn chưa có lời giải tham khảo Bố cục đề tài Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận phụ lục Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Ứng dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính Tổng quan tài liệu nghiên cứu Luận văn tham khảo số tài liệu khoa học tiếng Việt tiếng Anh phương trình hàm Cauchy cộng tính Hiện ngồi nước có cơng trình nghiên cứu phương trình hàm Cauchy nói chung phương trình hàm Cauchy cộng tính nói riêng Tuy nhiên cơng trình khoa học chưa tổng hợp nhiều ứng dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính Vì việc nghiên cứu, tổng hợp ứng dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính cách rõ ràng, hệ thống cụ thể cần thiết Kết nghiên cứu đề tài giúp người học toán dễ dàng việc hình dung tính hữu ích việc dạy chun đề phương trình hàm nói chung phương trình hàm Cauchy cộng tính nói riêng CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH Như biết A.M Legendre người quan tâm đến nghiệm phương trình hàm Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Các hàm số cộng tính làm sáng tỏ phương trình hàm Cauchy cộng tính Đầu tiên giải thích phương trình hàm gì? Sau nghiên cứu phương trình hàm Cauchy cộng tính với giả thiết tính liên tục khả tích địa phương hàm số cộng tính tuyến tính Chúng ta tiếp tục giải pháp giải hàm số cộng tính khơng liên tục phi tuyến chúng hiển thị phương pháp giải lạ kì đồ thị chúng trù mật mặt phẳng Bên cạnh thảo luận ngắn gọn sở Hamel sử dụng cho việc xây dựng hàm số cộng tính khơng liên tục, thảo luận hàm số cộng tính phức cung cấp chương Chúng ta kiểm tra tiêu chuẩn khác nghiệm phương trình hàm Cauchy tuyến tính Nhà tốn học Kuczma (1985) đưa giải thích hay hàm cộng tính tổng nghiệm nhiều phương trình hàm hai hay nhiều biến số, thể điều kiện hàm số cộng tính, hàm nhân tính, hàm logairit hàm số mũ Ngồi ra, hàm số cộng tính tìm thấy sách tác Aczel’s (1966, 1987), Acze’l Phombers (1989) Smital (1988) 1.1.1 Các phương trình hàm Một phương trình liên quan đến biến hàm số nhiều đạo hàm cấp gọi phương trình hàm vi phân Ví dụ 40 Đặt h(x) = g(ex ) ⇒h x+y = 12 (h(x) + h(y)) , ∀x, y > mà g liên tục (1, +∞) nên h liên tục (1, +∞) Theo tốn 2.1.3 phương trình có nghiệm h(x) = a x + b ⇒ g(x) = a ln x + b, ∀x > √ f (x) = x.g( x) = x 21 a ln x + b = 12 xa ln x + bx, ∀x > Thử lại ta thấy nghiệm f (x) = 12 xa ln x + bx, ∀x > g(x) = a ln x + b, ∀x > thỏa yêu cầu toán Vậy cặp hàm f , g cần tìm thỏa u cầu tốn f (x) = 12 xa ln x + bx, ∀x > g(x) = a ln x + b, ∀x > Bài toán 2.1.12 Cho hàm số g(x) xác định R, thỏa mãn hai điều kiện g(x) + g(y) = g(x + y) − xy − 1, ∀x, y ∈ R g(1) = Tìm tất số nguyên n = cho g(n) = n Lời giải Theo giả thiết g(x) + g(y) = g(x + y) − xy − 1, ∀x, y ∈ R (2.70) g(1) = (2.71) Cho x = y = (2.70) ⇔ g(0) + g(0) = g(0) − − ⇔ g(0) = −1 Cho y = −x (2.71) ⇔ g(x) + g(−x) = g(0) + x2 − ⇔ g(x) + g(−x) = −1 + x2 − ⇔ g(x) + g(−x) = x2 − Đặt x2 f (x) = g(x) + − Ta có 1 = 1+1− = 2 f (0) = g(0) + − = −1 + = f (1) = g(1) + − (2.72) 41 Khi x2 y2 (x + y)2 (2.70) ⇔ f (x) − + + f (y) − + = f (x + y) − + − xy − 2 ⇔ f (x) + f (y) = f (x + y), ∀x, y ∈ R Đây phương trình hàm Cauchy cộng tính nên nghiệm f hữu tỷ Theo định nghĩa 1.1.4 ta có f (nx) = n f (x), ∀n ∈ Z, ∀x ∈ R Suy f (n) = f (n.1) = n f (1) = n 32 = 3n 2, ∀n ∈ Z Từ (2.72) ta có g(n) = f (n) + n2 − = 3n 2 + n2 − = n2 +3n−2 mà g(n) = n nên ta n2 + 3n − =n ⇔ n2 + 3n − = 2n ⇔ n2 + n − = ⇔ n2 − + n − = ⇔ (n − 1)(n + 1) + n − = ⇔ (n − 1)(n + 2) = ⇔ n=1 n = −2 Vì n = nên n = −2 Thử lại ta thấy n = −2 thỏa điều kiện toán Vậy n = −2 Bài tốn 2.1.13 Tìm tất hàm số f (x) xác định liên tục R thỏa x+y mãn điều kiện 2ex+y f =e 3x+y f (x) + e x+3y f (y), ∀x, y ∈ R Lời giải Theo giả thiết 2ex+y f Ta có x+y =e 3x+y f (x) + e x+3y f (y), ∀x, y ∈ R (2.73) 42 x+y (2.73) ⇔ e x+y f = e 3x+y f (x) + e x+3y x+y f (y) x+y x+y e ex f (x) + e ey f (y) x+y ⇔e f = 2 x+y x+y ex f (x) + ey f (y) ⇔e f = , ∀x, y ∈ R 2 Đặt ex f (x) = g(x) Vì f (x) liên tục R nên g(x) liên tục R Khi ta có x+y g = g(x) + g(y) , ∀x, y ∈ R (2.74) Theo tốn (2.1.3) phương trình (2.74) có nghiệm g(x) = ax + b, b = g(0), a ∈ R, ∀x ∈ R Do g(x) ax+b ex = ex , f (x) = ax+b ex thỏa b = g(0), a ∈ R , ∀x ∈ R f (x) = Thử lại ta thấy toán Vậy nghiệm toán f (x) = ax+b ex , b = g(0), a ∈ R, ∀x ∈ R Bài tốn 2.1.14 Tìm tất hàm số f : R → R∗ cho f liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x2 − y2 ) = f (x2 ) , f (y2 ) ∀x, y ∈ R Lời giải Theo giả thiết f (x2 ) f (x − y ) = , ∀x, y ∈ R f (y2 ) 2 Với x = y = Ta có f (0) = f (0) f (0) = Với x = Ta có f (−y2 ) = f (0) f (y2 ) = , f (y2 ) ∀y ∈ R Đặt t = −y2 Khi f (t) = f (−t) , ∀t Phương trình cho viết lại sau f (x2 − y2 ) f (y2 ) = f (x2 ), ∀x, y ∈ R Đặt u = x2 − y2 , v = y2 Ta có u + v = x2 Khi ta có phương trình (2.75) 43 f (u + v) = f (u) f (v), ∀u, v ∈ R (2.76) Cho u = k v = k phương trình (2.76) trở thành f (2k) = [ f (k)]2 0, ∀k ∈ R Suy f (u) 0, ∀u ∈ R Ta xét hai trường hợp Trường hợp Giả sử tồn u0 để f (u0 ) = Từ (2.76) ta có f (u0 + v) = f (u0 ) f (v), ∀v ∈ R ⇔ f (u0 + v) = 0, ∀v ∈ R ⇒ f (u) ≡ 0, ∀u ∈ R Trường hợp Xét f (u) > 0, ∀u ∈ R Phương trình (2.76) tương đương ln f (u + v) = ln[ f (u) f (v)] ⇔ ln f (u + v) = ln f (u) + ln f (v), ∀u, v ∈ R Đặt ln f (u) = g(u) Phương trình trở thành g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R Đây phương trình hàm Cauchy cộng tính nên có nghiệm g(u) = bu ⇔ ln f (u) = bu ⇔ f (u) = ebu = au , a = eb > hay f (x) = ax , ∀x ∈ R, a > Thử lại ta thấy f (x) = ax , ∀x ∈ R, a > thỏa toán Vậy nghiệm toán f (x) = ax , ∀x ∈ R, a > Bài tốn 2.1.15 Tìm tất hàm số f xác định liên tục R+ thỏa √ mãn điều kiện f ( xy) = f (x) f (y) với x, y ∈ R+ Lời giải Theo giả thiết √ f ( xy) = Từ (2.77) ta suy f (x) Cho y = f (x) f (y), ∀x, y ∈ R+ 0, ∀x ∈ R+ (2.77) 44 (2.77) ⇔ f (0) = f (x) f (0) ⇔ f (0) = f (x) f (0) ⇔ f (0)[ f (0) − f (x)] = 0, ∀x ∈ R+ Xét f (0) = Ta có f (0) − f (x) = ⇔ f (x) = f (0) = ⇒vô lý Do f (0) = Khi f (0) = Nếu tồn x0 ∈ R+ cho f (x0 ) = √ f ( x0 y) = f (x0 ) f (y) = 0, ∀y ∈ R+ ⇒ f (x) = 0, ∀x ∈ R+ Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ R+ Đặt x = eu với u, v ∈ R y = ev Phương trình (2.77) trở thành √ f ( eu ev ) = f (eu ) f (ev ) u+v ⇔ f (e ) = f (eu ) f (ev ), ∀u, v ∈ R Đặt g(u) = f (eu ) g(u) > g u+v = g(u).g(v), ∀u, v ∈ R Theo toán 2.1.6 ta có: g(u) ≡ f (x) = ea ln x+b = cxa với c = eb > Thử lại ta thấy hàm f thỏa điều kiện toán Vậy nghiệm toán g(u) ≡ f (x) = ea ln x+b = cxa với c = eb > 2.2 ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY TRONG GIẢI TỐN HỌC SINH GIỎI Bài tốn 2.2.16 (IMO 1979) Cho hàm số f : R → R Giả sử hai số thực x y thỏa mãn phương trình f (xy + x + y) = f (xy) + f (x) + f (y) Chứng minh f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R 45 Nhận xét Sử dụng việc lựa chọn giá trị biến phù hợp để thay vào đẳng thức hàm cần thỏa mãn Lời giải Theo giả thiết f (xy + x + y) = f (xy) + f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (2.78) Cho x = y = Từ (2.78) ⇒ f (0) = Từ (2.78) cho y = −1 ta f (−x + x − 1) = f (−x) + f (x) + f (−1) ⇒ f (−1) = f (−x) + f (x) + f (−1) ⇒ f (−x) + f (x) = ⇒ f (x) = − f (−x) Từ (2.78) cho y = ta f (2x + 1) = f (x) + f (1) Suy ⇒ f [2(u + v + uv) + 1] = f (u + v + uv) + f (1) = f (uv) + f (u) + f (v) + f (1), ∀u, v ∈ R Mặt khác ta có f [2(u + v + uv) + 1] = f (2u + 2v + 2uv + 1) = f [u + (2v + 1) + (2uv + u)] = f (u) + f (2v + 1) + f (2uv + u) = f (u) + f (v) + f (1) + f (2uv + u), ∀u, v ∈ R Suy f (uv) + f (u) + f (v) + f (1) = f (u) + f (v) + f (1) + f (2uv + u) ⇒ f (2uv + u) = f (uv) + f (u) (2.79) −1 −u u ⇒ = f + f (u) = −2 f + f (u) Do f (u) = f ( u2 ) ⇒ f (2x) = f (x) , ∀x ∈ R Xét với x, y ∈ R∗ Đặt x = 2uv y = u Thay vào (2.79) ta Từ (2.79) cho v = f (x + y) = f (x) + f (y), x, y ∈ R∗ (2.80) 46 Xét x = y = Thay vào phương trình (2.80) ta f (x + y) = f (0 + 0) = f (0) = f (x) + f (y) = f (0) + f (0) = f (0) = ⇒ f (x + y) = f (x) + f (y), x = y = (2.81) Từ (2.80) (2.81) ta suy f (x + y) = f (x) + f (y) với x, y ∈ R (đpcm) Bài tốn 2.2.17 (Học sinh giỏi Quốc gia 1999) Tìm hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn hai điều kiện sau 1/ f (0) = f (1) = 2/ f (x) + f (y) = f 2x + y , ∀x, y ∈ R Lời giải Theo giả thiết f (0) = f (1) = f (x) + f (y) = f 2x + y , ∀x, y ∈ R Cho x = Từ (2.83) ta có y f (0) + f (y) = f y ⇔ f (y) = f y ⇔f = f (y), ∀y ∈ [0, 1] 3 Cho y = Từ (2.83) ta có 2x f (x) + f (0) = f 2x ⇔ f (x) = f 2x ⇔f = f (x), ∀x ∈ [0, 1] 3 Khi 2x y (2.83) ⇔ f (x) + f (y) = f ( + ), ∀x, y ∈ [0, 1] 3 3 2x y 2x y ⇔f +f = f ( + ), ∀x, y ∈ [0, 1] 3 3 hay f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ [0,1] (2.82) (2.83) 47 Đây phương trình hàm Cauchy cộng tính nên có nghiệm f (x) = ax, ∀x ∈ [0,1] Cho x = Từ (2.82) ta có f (1) = a ⇔0=a ⇒ f (x) = 0, ∀x ∈ [0,1] Thử lại ta thấy f (x) = 0, ∀x ∈ [0,1] thỏa điều kiện toán Vậy nghiệm toán f (x) = 0, ∀x ∈ [0,1] Bài toán 2.2.18 (IMO 2002) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện [ f (x) + f (z)].[ f (y) + f (t)] = f (xy − zt) + f (xt + yz), ∀x, y, z,t ∈ R Lời giải Theo giả thiết [ f (x) + f (z)].[ f (y) + f (t)] = f (xy − zt) + f (xt + yz), ∀x, y, z,t ∈ R (2.84) Nếu f ≡ c, với c số Thay vào (2.84) ta 2c(2c − 1) = ⇔ c = ∨ c = hai nghiệm thỏa mãn điều kiện toán Giả sử tồn hàm số f (x) khác số thỏa mãn điều kiện toán Cho x = z = Thay vào (2.84) ta f (0)[ f (y) + f (t)] = f (0), ∀y,t ∈ R ⇔ f (0)[ f (y) + f (t) − 1] = 0, ∀y,t ∈ R ⇔ f (0) = f (y) + f (t) = 1, ∀y,t ∈ R Xét trường hợp f (y) + f (t) = 1, ∀y,t ∈ R cho y = t ta f (y) + f (y) = 1, ∀y ∈ R ⇒ f (y) = 1, ∀y ∈ R ⇒ f (y) = 12 , ∀y ∈ R ⇒ vơ lý (vì f (x) khác số) Vậy f (0) = 48 Cho y = 1, z = t = Từ (2.84) ta có [ f (x) + f (0)][ f (1) + f (0)] = f (x) + f (0) ⇔ f (x) f (1) = f (x), ∀x ∈ R ⇔ f (x).[ f (1) − 1] = 0, ∀x ∈ R ⇔ f (x) = 0, ∀x ∈ R f (1) = Do f (x) không đồng nên f (1) = Cho z = t = Từ (2.84) ta [ f (x) + f (0)][ f (y) + f (0)] = f (xy) + f (0) ⇔ f (x) f (y) = f (xy), ∀x, y ∈ R √ √ Suy với số thực ω dương, cho x = ω, y = ω ta có √ √ f ( ω) f ( ω) = f (ω) √ ⇒ f (ω) = f ( ω)2 Cho x = 0, y = t = Ta [ f (0) + f (z)][ f (1) + f (1)] = f (−z) + f (z) ⇔ f (z).2 f (1) = f (−z) + f (z) ⇔ f (z) = f (−z) + f (z) (vì f (1) = 1) ⇔ f (−z) = f (z), ∀z ∈ R Suy f (x) hàm số chẵn Do ta cần xác định f (x), ∀x > Bài toán đưa sau: Xác định hàm số g : R+ → R với √ g(ω) = f ( ω) g(1) = f (1) = Ta có √ √ √ g(xy) = f ( xy) = f ( x) f ( y) = g(x).g(y), ∀x, y > mà f hàm số chẵn nên suy g(x2 ) = f (x), ∀x ∈ R Bây ta tìm giá trị hàm số g(x2 ), ∀x ∈ R Cho z = y t = x Phương trình (2.84) cho trở thành [ f (x) + f (y)][ f (y) + f (x)] = f (0) + f (x2 + y2 ) 49 ⇔ [ f (x) + f (y)]2 = f (0) + f (x2 + y2 ), ∀x, y ∈ R ⇔ [ f (x) + f (y)]2 = f (x2 + y2 ), ∀x, y ∈ R (do f (0) = 0) ⇔ [g(x2 ) + g(y2 )]2 = g((x2 + y2 )2 ) = [g(x2 + y2 )]2 , ∀x, y ∈ R ⇔ g(x2 + y2 ) = g(x2 ) + g(y2 ) , ∀x, y ∈ R Đặt x2 = a y2 = b, ∀a, b ∈ R ta g(a + b) = g(a) + g(b), ∀a, b ∈ R Đây phương trình hàm Cauchy cộng tính nên có nghiệm g(a) = a, ∀a > Mặt khác f (x) hàm số chẵn f (0) = nên suy f (x) = g(x2 ) = x2 Thử lại ta thấy f (x) = x2 thỏa mãn toán Vậy nghiệm tìm tốn f (x) ≡ f (x) ≡ f (x) = x2 , ∀x ∈ R Bài tốn 2.2.19 (Singapor 2002) Tìm tất hàm số f : Q → R thỏa mãn điều kiện f (1) = 2003 f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy, ∀x, y ∈ Q Lời giải Theo giả thiết f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy, ∀x, y ∈ Q Đặt f (x) = x2 + g(x) Phương trình (2.85) trở thành g(x + y) + (x + y)2 = g(x) + x2 + g(y) + y2 + 2xy = g(x) + g(y) + (x2 + 2xy + y2 ) = g(x) + g(y) + (x + y)2 ⇔ g(x + y) = g(x) + g(y) Đây phương trình hàm Cauchy cộng tính nên có nghiệm g(x) = a x, ∀a ∈ R ⇔ f (x) = x2 + a x Mặt khác f (1) = 2003 nên ta có (2.85) 50 f (1) = 12 + a.1 = + a ⇔ 2003 = + a ⇔a = 2002 Suy f (x) = x2 + 2002x Thử lại ta thấy f (x) = x2 + 2002x thỏa toán cho Vậy nghiệm cần tìm tốn f (x) = x2 + 2002x, ∀x ∈ Q Bài toán 2.2.20 (VMO 2009) Tìm hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện sau f (x − y) f (y − z) f (z − x) + = , ∀x, y, z ∈ R Lời giải Theo giả thiết f (x − y) f (y − z) f (z − x) + = , ∀x, y, z ∈ R (2.86) Cho x = t, z = −t, y = Ta có (2.86) ⇔ f (t − 0) f (0 + t) f (−t − t) + = ⇔ f (t) f (−2t) = −8 −8 ⇔ f (−2t) = < f (t) ⇒ f (t) < 0, ∀t ∈ R Đặt g(x) = ln f (x) −2 ⇒ f (x) = −2.eg(x) Bây ta tìm hàm g(x)bằng cách thay f (x) = −2.eg(x) vào (2.31) ta −2eg(x−y) (−2)eg(y−z) (−2)eg(z−x) + = ⇔ −8eg(x−y)+g(y−z)+g(z−x) = −8 ⇔ eg(x−y)+g(y−z)+g(z−x) = = e0 ⇔ g(x − y) + g(y − z) + g(z − x) = Cho x = y = z = Ta có g(0 − 0) + g(0 − 0) + g(0 − 0) = ⇒ g(0) = Cho y = z = x ∈ R Ta có g(x − 0) + g(0 − 0) + g(0 − x) = ⇔ g(x) + g(−x) = ⇔ g(x) = −g(−x), ∀x ∈ R Suy 51 g(x − y) + g(y − z) = −g(z − x) = g(x − z) = g(x − y + y − z) Đặt t = x − y t = y − z Khi g(t + t ) = g(t) + g(t ), ∀t, t ∈ R Do f liên tục nên g liên tục thỏa mãn đặc trưng hàm Cauchy cộng tính ⇒ g(x) = ax ⇒ g(x) = −2.eax = −2.bx với b = ea > x ⇒ f (x) = −2.e−2b , ∀x ∈ R x Thử lại ta thấy nghiệm f (x) = −2.e−2b , ∀x ∈ R thỏa điều kiện tốn Vậy nghiệm cần tìm toán x ⇒ f (x) = −2.e−2b , ∀x ∈ R Bài toán 2.2.21 (Olympic toán sinh viên - 2010) Tìm tất hàm số f (x) xác định thỏa mãn f (1) = 2010 f (x + y) = 2010x f (y) + 2010y f (x) với x, y ∈ R Lời giải Theo giả thiết f (x + y) = 2010x f (y) + 2010y f (x), ∀x, y ∈ R (2.87) Nhân hai vế phương trình (2.87) với 2010−x−y ta 2010−x−y f (x + y) = 2010−x−y 2010x f (y) + 2010−x−y 2010y f (x), ∀x, y ∈ R ⇔ 2010−x−y f (x + y) = 2010−y f (y) + 2010−x f (x), ∀x, y ∈ R Đặt g(x) = 2010−x f (x) Ta có g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R Đây phương trình hàm Cauchy cộng tính nên có nghiệm g(x) = a x, ∀a ∈ R Khi g(x) = a x ⇔ 2010−x f (x) = a x ⇔ f (x) = 2010x a x , ∀a, x ∈ R Mặt khác theo giả thiết f (1) = 2010 nên ta suy f (1) = 20101 a.1 = 2010.a ⇔ 2010 = 2010.a ⇔ a = 52 Suy f (x) = 2010x x , ∀ x ∈ R Thử lại ta thấy f (x) = 2010x x , ∀ x ∈ R thỏa điều kiện tốn Vậy nghiệm cần tìm tốn f (x) = 2010x x , ∀ x ∈ R 53 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu phương trình hàm Cauchy cộng tính, luận văn hồn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: Trình bày cách đầy đủ chi tiết khái niệm quan trọng phương trình hàm Cauchy cộng tính phương trình hàm Cauchy khác Tìm hiểu nghiên cứu số định lí, hệ quả, tính chất quan trọng nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính phương trình hàm Cauchy khác Hệ thống số ứng dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính phương trình hàm Cauchy khác Hơn nữa, luận văn tập hợp số dạng tập tiêu biểu kì thi học sinh giỏi Toán, cung cấp thêm số dạng tập xoay quanh việc tìm nghiệm phương trình hàm hàm lũy thừa, logarit nhân tính Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn chúng tơi khơng tránh sai sót khiếm khuyết Chúng tơi mong nhận đóng góp ý kiến Hội đồng bảo vệ bạn 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu (2005), Các đề thi Olympic Tốn sinh viên tồn quốc, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Tuyển tập Đề thi THPT chuyên Toán, NXB Giáo Dục [4] Bộ Giáo Dục Đào tạo - Hội Toán Học Việt Nam (2004), Tuyển tập 30 năm tạp chí Toán học Tuổi trẻ, NXB Giáo Dục Tiếng Anh [5] Prasanna K.Sahoo, Palaniappan Kannappan (1991), Introduction to Functional Equations [6] Marek Kuczma (1991) , Functional Equations and How to Solve Them [7] Christopher G.Small (2001), Functional Equations in a single variable, World Scientific ... chóng phương trình hàm Cauchy cộng tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương trình hàm Cauchy cộng tính Phạm vi nghiên cứu đề tài phương trình hàm Cauchy cộng tính phương. .. ∀x, y ∈ R Các hàm số cộng tính làm sáng tỏ phương trình hàm Cauchy cộng tính Đầu tiên giải thích phương trình hàm gì? Sau nghiên cứu phương trình hàm Cauchy cộng tính với giả thiết tính liên tục... tên: “PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH” 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nhằm nghiên cứu phương trình hàm Cauchy cộng tính Hệ thống số tốn giải phương trình hàm Cauchy cộng tính