Phương trình hàm davision và tính ổn định

ĐẠIăH CăĐÀăNẴNG TR NGăĐẠIăH CăS ăPHẠM HUỲNHăTHỊăNH ăHUỆ PH NGăTRÌNHăHÀMăDAVISION VÀăTÍNHăỔNăĐỊNH LU NăVĔNăTHẠCăSĨăKHOAăH C ĐƠăN ngă- Nĕmă2017 ĐẠIăH C ĐÀăNẴNG TR NGăĐẠIăH CăS ăPHẠM HUỲNHăTHỊăNH ăHUỆ NGăTRÌNHăHÀMăDAVISION PH VÀăTÍNHăỔNăĐỊNH Chun ngành: Ph ơngăphápăToánăsơăcấp Mưăsố:ă60.46.01.13 LU NăVĔNăTHẠCăSĨăKHOAăH C Ng iăh ngăd năkhoaăh c:ăTS CAOăVĔNăNUỌI ĐƠăN ngă- Nĕmă2017 L IăCAMăĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tôi, không chép cơng trình khoa học trước Các kết nêu luận văn có nguồn gốc rõ ràng trích dẫn đầy đủ Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn H căviên Huỳnh Thị Như Huệ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Huỳnh Thị Như Huệ MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Phương trình hàm Davison 1.1 Giới thiệu 1.2 Phương trình Pexider nghiệm 1.2.1 Giới thiệu 1.2.2 Phương trình Pexider 1.2.3 Pexider hóa phương trình hàm Jensen 1.2.4 Các phương trình liên quan 1.3 Định lý Hyer’s 12 1.3.1 Tổng quát hóa định lý Hyers 16 1.4 Nghiệm liên tục phương trình hàm Davison 22 1.5 Nghiệm tổng quát phương trình Davison 24 CHƯƠNG Tính ổn định phương trình hàm Davison 26 2.1 Tính ổn định phương trình hàm Davison 26 2.2 Ổn định suy rộng phương trình hàm Davison 28 2.3 Kết luận 32 2.4 Vận dụng 35 MỤC LỤC Kết luận 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỞ ĐẦU Phương trình hàm phương trình mà ẩn hàm số Giải phương trình hàm tức tìm hàm số chưa biết Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng toán học Các dạng toán phương trình hàm phong phú, phương trình tuyến tính phương trình phi tuyến tính, phương trình hàm ẩn nhiều ẩn Phương trình hàm chuyên đề quan trọng bồi dưỡng học sinh khá, giỏi bậc trung học phổ thông thường xuất kỳ thi IMO, VMO Các nhà tốn học tiếp cận phương trình hàm theo nhiều mục tiêu nghiên cứu khác vấn đề quan tâm thập niên gần tính ổn định phương trình hàm Trong trình nghiên cứu phương trình hàm tính ổn định phương trình hàm nhà nghiên cứu đặt câu hỏi "khi thay đổi giả thiết định lý liệu khẳng định luận điểm lại định lý cịn xấp xỉ hay khơng ?", câu hỏi mở mở rộng sau : "Nếu thay phương trình hàm cho bất phương trình hàm, liệu khẳng định nghiệm bất phương trình hàm nằm gần với nghiệm phương trình hàm ban đầu hay khơng ?" Đây vấn đề mở đầu cho việc nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm nhiều nghiên cứu nhà tốn học cho thấy có nhiều phương trình hàm có tính ổn định Xuất phát từ đề mấu chốt này, định chọn đề tài "phương trình hàm Davison tính ổn định" để tìm hiểu nghiên cứu Luận văn gồm chương: 1) Chương 1: Trình bày phương trình hàm Davison 2) Chương 2: Trình bày tính ổn định phương trình hàm Davison Luận văn thực hoàn thành Đại học Đà Nẵng hướng dẫn TS Cao Văn Nuôi Nhân dịp em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy TS Cao Văn Nuôi người giới thiệu, định hướng, trực tiếp hướng dẫn dìu dắt, thường xuyên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi, động viên khích lệ tác giả suốt trình nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Toán, sau đại học thầy cô giáo giúp đỡ tạo điều kiện tác giả suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tơi mong nhận đóng góp ý kiến từ thầy cô giáo để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, ngày tháng năm 2016 Sinh viên Huỳnh Thị Như Huệ CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM DAVISON 1.1 Giới thiệu Trong hội nghị chuyên đề quốc tế lần thứ 17 phương trình hàm, Davison (1980) giới thiệu phương trình hàm: f (xy) + f (x + y) = f (xy + x) + f (y) (1.1) yêu cầu tìm nghiệm tổng quát miền xác định miền giá trị f trường giao hoán Trong họp Benz (1980) cho nghiệm tổng quát liên tục (1.1) Khi f hàm chưa biết từ tập số thực R → R Đầu tiên, nghiệm liên tục phương trình hàm Davison giới thiệu chương sau nghiệm tổng quát đưa mà không cần nhiều giả thiết quy hàm chưa biết Sau phần có liên quan đến phương trình Pexider ta giới thiệu 1.2 Phương trình Pexider nghiệm 1.2.1 Giới thiệu Vào năm 1930, P.V Pexider xét phương trình hàm sau: f (x + y) = g(x) + h(y), (1.2) f (x + y) = g(x).h(y), (1.3) f (x.y) = g(x) + h(y), (1.4) f (x.y) = g(x).h(y) (1.5) ∀(x, y) ∈ R, với f, g, h : R → R Các phương trình hàm phương trình hàm tổng qt hóa phương trình hàm Cauchy: f (x + y) = f (x) + f (y), f (x + y) = f (x).f (y), f (x.y) = f (x) + f (y), f (x.y) = f (x).f (y), ∀(x, y) ∈ R, ơng thay phương trình hàm (1.2) − (1.5) hàm thực liên tục Trong phần này, xác định nghiệm phương trình (1.2) (1.3) Chúng ta xem xét phương trình pexider hóa phương trình Jensen tìm nghiệm tổng quát Cuối cùng, kết thúc phần cách tìm nghiệm tổng quát phương trình hàm nghiên cứu Hardy, Littlewood Polya (1934) 1.2.2 Phương trình Pexider Định nghĩa 1.2.1 Phương trình hàm Pexider phương trình hàm có dạng (1.2), (1.3), (1.4), (1.5) Trong phần tìm nghiệm phương trình (1.2) (1.3) Định lý 1.2.2 Nghiệm tổng quát f, g, h : R → R phương trình hàm f (x + y) = g(x) + h(y), ∀(x, y) ∈ R xác định bởi:    f (x) = A(x) + α + β   g(x) = A(x) + β    h(y) = A(x) + α, (1.6) đó, A : R → R hàm cộng tính α, β số tùy ý Chứng minh Thay y = vào (1.2) ta thu được: g(x) = f (x) − α (1.7) 39 + + = 12 với ∀x, y ∈ R Nếu thay x x − y vào bất đẳng thức cuối kết thay x 3x ta được: | sin(3x+3y)+sin(3x+3y+1)−sin(6x)−sin(4y)−sin(4y+1)+sin(2y)| 6, (2.42) ∀x, y ∈ R Từ (2.42) ta được: | sin(1) − sin(6x) − sin(−4x) − sin(−4x + 1) + sin(−2x)| ⇔ | sin(1) − sin(6x) + sin(4x) − sin(−4x + 1) − sin(2x)| | sin(3x) + sin(3x + 1) − sin(6x) − sin(1)| | sin(3x)+sin(3x+1)−sin(12x)−sin(−4x)−sin(−4x+1)+sin(−2x)| ∀x, y ∈ R Từ bất đẳng thức ta có: |2 sin(6x) − sin(12x)| | − sin(1) + sin(6x) + sin(−4x) + sin(−4x + 1) − sin(−2x)| +| − sin(3x) − sin(3x + 1) + sin(6x) + sin(1)| +| sin(3x) + sin(3x + 1) − sin(12x) + sin(4x) + sin(4x − 1) − sin(2x)| (2.43) + + = 15 với x ∈ R Gỉa thiết rằng: |2n sin(6x) − sin(2n 6x)| n−1 2n−1−i [ϕ(2i x, −2i x) + ϕ(2i x, 0) + ϕ(2i+1 x, −2i x)] i=0 n−1 2n−1−i [5 + + 6] i=0 n−1 = i=0 n−1−i 15 15 = n−1 2n−i i=0 với n ∈ N ∀x ∈ R Từ (2.43) (2.44) ta thu được: |2n+1 g(6x) − g(2n+1 6x)| = |2n+1 sin(6x) − sin(2n+1 6x)| (2.44) 40 2|2n sin(6x) − sin(2n 6x)| + | sin(2n 6x) − sin(2n+1 6x)| n 2n−i [ϕ(2i x, −2i x) + ϕ(2i x, 0) + ϕ(2i+1 x, −2i x)] i=0 n 2n−i 15 = i=0 n 2n−i = 15 i=0 Điều chứng tỏ bất đẳng thức (2.44) với ∀n ∈ N Theo (2.14) (2.44) |2−m sin(2m 6x) − 2−n sin(2−n 6x)| n−1 2−(i+1) [ϕ(2i x, −2i x) + ϕ(2i x, 0) + ϕ(2i+1 x, −2i x)] i=m n−1 2−(i+1) 15 = i=m n−1 2−(i+1) −→m→∞ = 15 i=m Do đó, {2−n sin(2n 6x)} dãy Cauchy, với x ∈ R cố định Mặt khác, ta định nghĩa A : R → R xác định bởi: A(x) := lim 2−n sin(2n 6x) n→∞ (2.45) Từ (2.42) ta thu bất đẳng thức: |−sin(3y)−sin(3y+1)+sin(6x+6y)+sin(−4x)+sin(−4x+1)−sin(−2x)| |−sin(3x)−sin(3x+1)+sin(6x+6y)+sin(−4y)+sin(−4y+1)−sin(−2y)| | sin(3y) + sin(3y + 1) − sin(12y) − sin(−4y) − sin(−4y + 1) + sin(−2y)| | sin(3x) + sin(3x + 1) − sin(12x) − sin(−4x) − sin(−4x + 1) + sin(−2x)| 41 với ∀x, y ∈ R Từ bốn bất đẳng thức cuối ta có: |2 sin(6x + 6y) − sin(12x) − sin(12y)| 24 với x, y ∈ R Nếu thay x 2n x y 2n y vào bất đẳng thức cuối chia hai vế cho 2n , Sau (2.14) (2.45) cho A hàm cộng tính Từ (2.14), (2.44) (2.45), ta kết luận (2.38) Bây giờ, cho A′ : R → R hàm cộng tính thỏa mãn (2.38) với ∀x, y ∈ R Từ (2.14) (2.38) ta có: |A(x) − A′ (x)| = 2−n |A(2n x) − A′ (2n x)| 2−n | − sin(2n 6x) + A(2n x) + sin(0)| +2−n | sin(2n 6x) − A′ (2n x) − sin(0)| ∞ 2−i [ϕ(2i x; −2i x) + ϕ(2i x; 0) + ϕ(2i+1 x; −2i x)] i=n n 2−i [4 + + 6] = i=1 n 2−i 15 = i=1 n 2−i −→n→∞ = 15 i=1 với ∀x ∈ R suy tính A 42 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày hệ thống số kiến thức phương trình hàm Davison tính ổn định phương trình hàm Davison cụ thể sau: - Trình bày định lý, kiến thức có liên quan đến phương trình Pexider nghiệm nó, khái qt định lý Hyers - Nêu định lý tập liên quan đến nghiệm liên tục nghiệm tổng quát phương trình hàm Davison - Trình bày kết liên quan đến tính ổn định, tính ổn định suy rộng, tính ổn định Hyers - Ulams - Rassias qua vận dụng xét tính ổn định phương trình hàm Davison Tơi hi vọng luận văn góp phần vào việc giảng dạy phương trình hàm cho học sinh chun tốn nói chung học sinh có khiếu muốn tìm hiểu sâu nói riêng 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, Nhà xuất DHQD Hà Nội, 2000 [2] Phạm Văn Hạp, Lê Đình Thịnh, Phương pháp tính thuật tốn, NXB Giáo dục, 2000 [3] Nguyễn Thế Hoàn, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2000 [4] Dỗn Tam Hịe, Tốn học tính toán, NXB Giáo dục,2005 Tiếng Anh [5] Butcher.J.C (John Charles), Numerical methods for ordinary differential equations (second edition), John Wiley & Sons, Ltd, 2008 [6] Dahlquits, Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equation, Math Scand 4, 1956, pp 33 - 53 [7] Henrici, Discrete variable methods in ordinary differential equation, Wiley, New York, 1962 [8] Isaascon and H.B Keller, Analysis of numerical methods, Wiley, New York, 1966 [9] Arieh Iserles, A first course in the numerical analysis of differential equation (second edition), Cambridge University Press, New York, 2009 [10] J.D Lambert, Numerical methods for ordinary differential systems, John Wiley and Sons Ltd, 1993 [11] B V Ramana, Higher engineering mathematics, McGraw-Hill , 2006 ĐẠI H CăĐÀăNẴNG TR NGăĐẠI H CăS ăPHẠM THÔNG TIN K T QU NGHIÊN C UăĐ TÀI LU NăVĔNăTHẠC SỸ KHĨA:ăK30ăăăăăNGÀNH:ăPh ơng pháp tốn sơ cấp Mà SỐ: 60 46 01 13 Thông tin chung: - Tên đề tài: Phương trìn hàm Davison tính ổn định - Học viên thực hiện: Huỳnh Thị Như Huệ - Giáo viên hướng dẫn: Ts Cao Văn Nuôi - Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng - Thời gian thực hiện: 05/2016 đến 01/2017 Mục tiêu: Nghiên cứu nghiệm tổng quát phương trình hàm Davison khảo sát tính ổn định, ổn định suy rộng Tính m i sáng t o: Dựa sở lý thuyết nghiệm tổng qt tính ổn định phương trình hàm Davison vận dụng giải tốn có liên quan Tóm tắt k t qu nghiên c u: Trình bày nghiệm tổng qt tính ổn định phương trình hàm Davison Tên s n phẩm: Hiệu qu ,ăph ơng th c chuyển giao k t qu nghiên c u kh nĕng áp dụng: Hình nh,ăsơ đồ minh h a chính: Xác nh n c aăgiáoăviênăh ng d n Ngày 27 tháng năm 2017 Ng i thực hiệnăđ tài (Ký, họ tên) INFORMATION ON RESEARCH RESULTS 1.General information: - Project title: Davison functional Equation and stability - Code number: 60 46 01 13 - Name of student: Huynh Thi Nhu Hue - Supervisor: Ph.D Cao Van Nuoi - Implementing institution: University of Education – The University of Danang Duration: from 05/2016 to 01/2017 Objective(s): Research on the general solution of Davison functional equation and stability survey, its generalized stability Creativeness and innovativeness: Based on the theory of general solution and stability of Davison functional equation use solving problems related Research results: Present general solution and stability of Davison functional equation Products: Effects, transfer alternatives of research results and applicability: , Supervior s confirmation dd 27 mm yy 2017 (date) Student (sign, full name) ... tiếp cận phương trình hàm theo nhiều mục tiêu nghiên cứu khác vấn đề quan tâm thập niên gần tính ổn định phương trình hàm Trong trình nghiên cứu phương trình hàm tính ổn định phương trình hàm nhà... ĐẦU Phương trình hàm phương trình mà ẩn hàm số Giải phương trình hàm tức tìm hàm số chưa biết Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng toán học Các dạng tốn phương trình hàm. .. tơi định chọn đề tài "phương trình hàm Davison tính ổn định" để tìm hiểu nghiên cứu Luận văn gồm chương: 1) Chương 1: Trình bày phương trình hàm Davison 2) Chương 2: Trình bày tính ổn định phương