Chuyên đề đường đẳng giác – đường đối trung

1

ĐƯỜNG ĐẲNG GIÁC – ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG I Đường đối trung trong tam giác

1 Đường đẳng giác

1.1 Định nghĩa: Cho góc xAy, hai tia Az và At được gọi là đẳng giác nếu chúng đối xứng nhau qua

tia phân giác của góc xAy

1.2 Định lý 1: Cho tam giác ABC với hai đường đẳng giác AA1 và AA2 Chứng minh rằng

ACCA CA

Chứng minh: 1

S  AC AA CAA  CA  AC  CA AA

Nhân các vế của (1) và (2) ta được điều phải chứng minh

1.3 Định nghĩa: Cho tam giác ABC và điểm M bất kì Ta nói điểm M’ được gọi là điểm đẳng giác (hay điểm liên hợp đẳng giác) của điểm M nếu các đường thẳng AM’, BM’, CM’ lần lượt đối xứng với các đường thẳng AM, BM, CM qua các đường thẳng phân giác trong của các góc A, B, C 1.4 Một số kết quả về đường đẳng giác

Tính chất 1: Cho tam giác ABC và hai đường thẳng Ax Ay, đẳng giác trong góc BAC Khi đó  

A

E F Khi đó E H F K, , , đồng viên (ngược lại cũng đúng)

Tính chất 4: Cho góc xOy và hai điểm A B, nằm trong miền góc xOy Qua A kẻ

AX Oy X Ox AY Oy Y Oy BZ Oy Z Ox BT Ox T Oy        Khi đó X Y Z T, , , đồng viên khi và chỉ khi OA OB, đẳng giác trong góc xOy

Chứng minh:

Gọi ZBAYK Khi đó ta có ZKAX OZKY YTBK,, đều là các hình bình hành nên

  XAY KYT ZBT

Mặt khác xOB OZB yOA OAY    ,  nên OAX OBT

Do đó OAXOBT OX AX OZ OX.OY OT.OTBT

Điều ngược lại hiển nhiên

Tính chất 5: Cho tam giác ABC có hai đường đẳng giác AE AF E F BC,  ,   Khi đó AEF tiếp xúc với ABC

Chứng minh:

Qua A kẻ tiếp tuyến Ax với (ABC)

Ta có     xAB BAE C FAC   AFE Do đó Ax tiếp xúc với (AEF) Do đó AEF tiếp xúc với ABC

Tính chất 6: Cho P, Q liên hợp đẳng giác trong tam giác ABC Khi đó chân các đường vuông góc hạ từ P, Q cùng nằm trên 1 đường tròn (đường tròn Pedal)

Chứng minh:

Áp dụng tính chất 3 ba lần

Tính chất 7: Cho tam giác ABC có hai điểm P, Q liên hợp đẳng giác trong tam giác ABC Gọi M là giao điểm khác A của AP với đường tròn ABC E là giao điểm của MQ và BC Khi đó PE AQ. Chứng minh:

3

Gọi AQ cắt đường tròn ABC tại điểm N và cắt BC tại điểm F

Vì P, Q liên hợp đẳng giác trong tam giác ABC nên PCM     PCB BCM QCA QAC CQN 

Mà PMC QNC  nên PMC CNQ PM CMCNNQ

Tương tự MA CMCNNF

Kết hợp với MN // EF ta có: PM CM MC: NF MEMANQ NFNQMQDo đó PE AQ.

2 Đường đối trung

2.1 Định nghĩa: Trong tam giác ABC, đường thẳng AX đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân giác trong AD gọi là đường đối trung của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A

CB

4

Từ hai đẳng thức trên ta được:

  

Ngược lại nếu XB AB22

XCAC Gọi X' trên cạnh BC sao cho AX' là đường đối trung của tam giác

ABC Khi đó theo chứng minh trên ta được ' 22 ' '

X BABX BXB

X CACX CXC hay AX là đường đối trung của tam giác ABC.

Cách 2:

Gọi AM là đường đẳng giác với AX Khi đó theo định lý 1 ta có 22 ..ABBX BMACCX CM Do đó AX là đường đối trung  AM là trung tuyến BM = CM BX AB22

Chứng minh

d X ABABd X ACAC Chứng minh

Nếu AX là đường đối trung của tam giác ABC Khi đó theo kết quả định lí 2 ta có XB AB22XCAC , kết hợp với d X AB ,  XB.sin ,B d X AC ,  XC.sinC và định lí sin trong tam giác ABC ta được:

d X ABXBBAB ACABd X ACXCCAC ABACNgược lại nếu 

d X ABABXBBABXBABCABd X ACACXCCACXCACBAC

6 A

Sd X ABd E AB AB

Sd X ACd E AC

 EB AC. AB22.AC ABEC ABACABAC

Từ định lý trên suy ra tính chất sau:

2.5 Định lý 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại S Khi đó AS là đường đối trung của tam giác ABC

Chứng minh Cách 1

Sử dụng định lí Ta Let ta được

XPAXXQXPSMSBSBMCABSMASSNXQSN SC SCN BAC Từ đó theo kết quả của định lí 4 ta được định lí 5

Nhận xét Gọi K là giao điểm khác A của đường đối trung AX với đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC Khi đó theo định lí 5 thì tứ giác ABKC điều hoà Cách 2

Xét tam giác ABC như hình vẽ Ta có sin

sin

7

ABBCAABACCBAAC

8

Từ đó áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC ta được AX BY CZ, , đồng quy tại một điểm

Chú ý Điểm đồng quy của ba đường đối trung gọi là điểm Lemoine Sau đây ta sẽ nghiên cứu một số tính chất quan trọng của điểm Lemoine, các tính chất này được sử dụng rất nhiều trong các bài toán thi Olimpiad của một số nước và khu vực

3 Một số tính chất của điểm Lemoine

3.1 Tính chất 1: Cho L là điểm Lemoine của tam giác ABC, khi đó: d L BC( ; ) d L CA( ; ) d L AB( ; )BCCAAB3.2 Tính chất 2: Cho điểm X nằm trong tam giác ABC Khi đó d X BC2( ;)d X CA2( ;)d X AB2( ;)nhỏ nhất khi và chỉ khi X là điểm Lemoine của tam giác ABC



9 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi XD XE XF

abc hay X là điểm Lemoine của tam giác ABC

3.3 Tính chất 3: Cho tam giác ABC và điểm L là điểm Lemoine của tam giác này Khi đó ta có đẳng thức xác định điểm L như sau: BC LA CA LB AB LC2. 2. 2. 0

Do hai đường thẳng AX và BY cắt nhau nên u 0

Do đó BC LA CA LB AB LC2. 2. 2. 0

3.4 Tính chất 4: Cho tam giác ABC và điểm L là điểm Lemoine của tam giác này.Gọi D E F, , lần lượt là hình chiếu của L lên các đường thẳng BC, CA, AB Khi đó L là trọng tâm của tam giác DEF Chứng minh

hay L là trọng tâm của tam giác DEF.

Kéo dài RL một đoạn sao cho LQ’’ = RL

Theo tính chất 2.4 LR/AB = LQ/AC hay LQ’’/AB = LQ/AC và (góc có cạnh tương ứng vuông góc) Suy ra LQ’’Q ABC

Khi đó LP // QQ’’, LP đi trung điểm RQ nên LP là trung tuyến xuất phát từ đỉnh P của tam giác PQR.Tương tự LQ cũng là trung tuyến của tam giác PQR Vậy L là trọng tâm tam giác PQR

4 Đường đối song và các kết quả liên quan

4.1 Khái niệm đường đối song: Đường đối trung kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE (trong đó D thuộc cạnh AB và E thuộc cạnh AC) khi và chỉ khi DE đường đối song tương ứng với cạnh BC.

Chú ý: Đoạn thẳng DE (trong đó D thuộc cạnh AB và E thuộc cạnh AC) gọi là đường đối song tương ứng với cạnh BC nếu  ADE ACB

Chứng minh

11 N

Gọi M là trung điểm của các đoạn BC và N là giao điểm của AX và DE.

Nếu AX là đường đối trung của tam giác ABC suy ra DAN MAC, kết hợp với  ADE ACB suy ra

tam giác ADN đồng dạng ACM Cùng với tam giác ADE đồng dạng tam giác ACB ta được:

12ND AD DE

MC  AC  BC   hay N là trung điểm của đoạn thẳng DE

Ngược lại nếu trung điểm của đoạn thẳng AX đi qua trung điểm N của đoạn DE Qua N vẽ đường đối song D E' ' tương ứng với cạnh BC Theo kết quả chứng minh trên thì AX cũng đi qua trung điểm của đoạn D E' ' Nếu hai đoạn DE D E, ' ' không trùng nhau thì các điểm D D E E, ', , ' tạo thành bốn đỉnh của hình bình hành hay DD' ||EE' điều này vô lý hay DE D E, ' ' trùng nhau Từ đó suy ra

DE là đường đối song của tam giác ABC.

Nhận xét: 4 điểm B, C, E, D nằm trên một đường tròn

4.2 Tính chất 1 (đường tròn Lemoine) Cho tam giác ABC , L là giao điểm của các đường đối trung, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC Các đường thẳng qua L song song với các cạnh của tam giác và cắt các cạnh tạo thành sáu điểm Khi đó sáu điểm này sẽ nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm của đoạn thẳng OL

Chứng minh

Giả sử các đường thẳng đi qua điểm L và song song với các cạnh của tam giác ABC cắt các cạnh tại các điểm M N P Q R S, , , , , (như hình vẽ) Gọi T là trung điểm của RQ và K là trung điểm của OL

12

Ta có AL là đường đối trung của tam giác ABC và đi qua trung điểm của đoạn RQ nên RQ là đường đối song của tam giác ABC, kết hợp với SP BC|| nên RQ cũng là đường đối song của tam giác ASP Do đó tứ giác SRQP nội tiếp

Lập luận tương tự ta được RSMN MNPQ, cũng nội tiếp Mặt khác các tứ giác PQRN QRSM MNPS,,

là các hình thang cân nên chúng cũng nội tiếp Từ đó sáu điểm M N P Q, , , , R,S cùng nằm trên một đường tròn

Theo tính chất cơ bản của đường đối song ta có RSOA, kết hợp KT là đường trung bình của tam giác KLO nên KT OA||KTRSKSKR.

Tương tự ta được KSKM KN,KP Do đó K cách đều sáu điểm M N P Q, , , , R,S hay đường tròn đi qua sáu điểm M N P Q, , , , R,S là trung điểm của OL.

4.3 Tính chất 2 Đường đối song qua điểm Lemoine của tam giác cắt các cạnh bên của tam giác tạo thành sáu điểm cùng thuộc một đường tròn

Chứng minh

Tương tự L là trung điểm của NR MQ,

Mặt khác ta có NR MQ SP,, là các đường đối song của tam giác ABC nên

M N P Q R S hay sáu điểm này cùng nằm trên một đường tròn

4.4 Tính chất 3 Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Khi đó điểm Gergonne là điểm Lemoine của tam giác DEF

Chú ý: Điểm Gergonne là điểm đồng quy của các đường thẳng AD, BE, CF Chứng minh

13 G I

Gọi G là điểm đồng quy của các đường thẳng AD BE CF,, Ta có các tiếp tuyến tại E F, của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm A Khi đó theo định lí 5 ta được DA là đường đối trung của tam giác DEF

Tương tự EB FC, là đường đối trung của tam giác DEF Mặt khác ba đường thẳng

AD BE CF đồng quy tại G nên G là điểm Lemoine của tam giác DEF

4.5 Tính chất 4 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi M là một điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A của đường tròn (O) và D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các đường thẳng BC, CA, AB Khi đó điêm M thuộc đường đối trung kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC khi và chỉ khi D là trung điểm của EF

Chứng minh

Do các tứ giác ABMC DMCE, nội tiếp nên   BMX  ACB DME , kết hợp với MX là đường đối

trung của tam giác MBC suy ra MD là trung tuyến của tam giác MBC hay D là trung điểm của EF.

14 5 Một số bổ đề

Bổ đề 1 Cho tam giác ABC Một đường tròn qua B, C, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F Gọi AH, AI theo thứ tự là đường cao của tam giác ABC và AEF kẻ từ A Khi đó AH, AI là hai đường đẳng giác góc A của tam giác ABC

Chứng minh

Ta có ABCAFE EAI CAH Suy ra AH và AI là hai đường đẳng giác góc A

H OA

Bổ đề 3 Cho góc xOy Một đường tròn không đi qua O, cắt các tia Ox tại A, C, cắt tia Oy tại B, D

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của tam giác AB và CD Khi đó OM, ON đẳng giác góc xOy

Chứng minh:

I

15 Ta có OABODC MOB NOC

Suy ra OM và ON là hai đường đẳng giác góc xOy

Bổ đề 4 (Hệ quả của bổ đề 3) Cho tam giác ABC Một đường tròn qua B, C, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F Gọi AM, AN theo thứ tự là trung tuyến của tam giác ABC và AEF Khi đó AN là đường đối trung của tam giác ABC

Chứng minh: Hiển nhiên

Chứng minh

16

I OA

Thật vậy, đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E', F' Gọi P là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC Dễ thấy IP vuông góc với AD, mặt khác theo giả thiết ta có OI vuông góc với AD nên ba điểm O, I, P thẳng hàng hay OP vuông góc với AD Gọi D' là giao điểm thứ hai của AD với (I) và A' là giao điểm thứ 2 của AD và (O) Áp dụng định lí

Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến EFP ta được:

PB E C F APBF BDBDB

BCPDE CDC

PC E A F B PC DC 

Do OP vuông góc với AD nên AD là đường thẳng đối cực của điểm P đối với đường tròn (O) Do đó, PA, PA' là tiếp tuyến của đường tròn (O) Mặt khác theo chứng minh trên ta có BCPD 1, kết hợp với định lí 3 suy ra AD là đường đối trung của tam giác ABC

Bổ đề 7 Cho tam giác ABC Đường tròn (I) đi qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng AB tại A, đường tròn (J) đi qua A, C và tiếp xúc với đường thẳng AC tại A Đường tròn (I) cắt lại đường tròn (J) tại điểm D Khi đó AD là đường đối trung của tam giác ABC

Chứng minh

Thật vậy, gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lần lượt lên các đường thẳng AB, AC Dễ thấy tam giác DAB đồng dạng với tam giác DCA suy ra DH AB

DK  AC , kết hợp với định lí 4 ta được AD là đường đối trung của tam giác ABC

Bổ đề 8 Cho tam giác ABC, đường cao AD, CE Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CA DE giao MN tại T Khi đó AT là đường đối trung của tam giác ABC

Chứng minh

17

Ta thấy tứ giác AEDC nội tiếp và AB // TN nên NTD  BED  NCD suy ra TDNC nội tiếp Mà NA = ND = NC nên NA2 = ND2 = NM.NT suy ra hai tam giác ANM và TNA đồng dạng Từ đó MAN  NTA  BAT Suy ra AT là đường đối trung của tam giác ABC

Bổ đề 9 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác trong và ngoài góc A lần lượt cắt đường thẳng BC tại D, E Đường tròn đường kính DE cắt lại đường tròn (O) tại F Chứng minh rằng AF là đường đối trung của tam giác ABC

Chứng minh

Thật vậy, Thật vậy, gọi M là trung điểm DE , N là giao điểm của AF và BC Dễ thấy MA, MF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên theo kết quả quen thuộc ta được BCMN 1, kết hợp với định lí 3 ta được AN là đường đối trung của tam giác ABC hay AF là đường đối trung của tam giác ABC

OM

18

tròn ( ).O Các đường thẳng 2 IA IB cắt đường tròn , ( )O tại lần lượt tại , 2 C D Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD Chứng minh rằng , , I M O thẳng hàng

Giải:

Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng AB .

Vì , , ,A B C D cùng thuộc đường tròn nên ta có IABIDC.

Vì M là trung điểm của đoạn thẳng CD và N là trung điểm của đoạn thẳng AB nên theo bổ đề 4 IM IN liên hợp đẳng giác với , CID.

Mặt khác, O là giao điểm của các tiếp tuyến tại ,A B của ( )O nên 1 NO là đường trung trực của tam giác IAB Điều đó có nghĩa là IO IN liên hợp đẳng giác đối với , AIB.

Do đó ,I M O thẳng hàng ,

Bài 2 (VMO 2015) Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định trên (O), BC không là đường kính Điểm A thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC Cho (I) là đường tròn thay đổi đi qua E, F và có tâm I Giả sử (I) tiếp xúc với BC tại điểm D Chứng minh rằng cot

DCC Lời giải

+ Giả sử AB AC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, KL

Theo bổ đề 3, AP và AN đẳng giác góc A, AM và AN đẳng giác góc A nên A, P, M thẳng hàng Do đó KL // BC

19

DBBF BKBF ABBF BEBDBBDCCE CLCE ACCE CFCDCC

Bài 3 (Russian 2010) Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác nhọn ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A1, B1, C1 Các điểm A2, B2 lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng B1C1, C1A1 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và P là giao điểm của CO và đường tròn (I) N, M theo thứ tự là giao điểm thứ hai của PA2, PB2 với đường tròn (I) Chứng minh giao điểm của AN và BM thuộc đường cao hạ từ C của tam giác ABC

Lời giải

A1I O

Tương tự, BM, BP là hai đường đẳng giác góc ABC (3)

Do AP, BP, CP đồng qui nên từ (1), (2), (3) suy ra AN, BM, CH đồng qui

Bài 4 Cho tam giác ABC (AB AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O và ngoại tiếp đường tròn tâm I Đường tròn (I) tiếp xúc với BC tại D Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt lại đường thẳng AC tại E và đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt lại đường thẳng AB tại F Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DE, DF Chứng minh rằng OIAD khi và chỉ khi AD, BN, CM đồng quy tại một điểm Lời giải

20

Trước hết ta chứng minh BN, CM là các đường đối trung của tam giác ABC

Thật vậy, gọi K là trung điểm của AC suy ra BK là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC Do tứ giác AFDC nội tiếp nên tam giác BDF đồng dạng tam giác BAC suy ra

DM CA  DN  CK  DN CK , kết hợp với  BDN BCK ta được tam giác DBN đồng dạng

với tam giác CBK suy ra  BDN CBK

Do đó theo định nghĩa đường đối trung ta được BN là đường đối trung của tam giác ABC Tương tự ta được CM là đường đối trung kẻ từ đỉnh C của tam giác ABC

Ta có BN, CM là đường đối trung của tam giác ABC nên AD, BN, CM đồng quy khi và chỉ khi AD là đường đối trung của tam giác ABC hay OI vuông góc với AD (theo bổ đề 6)

Từ đó suy ra đpcm

Bài 5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác trong và ngoài góc A lần lượt cắt đường thẳng BC tại D, E Đường tròn đường kính DE cắt lại đường tròn (O) tại F Đường thẳng AF cắt đường thẳng BC tại điểm M Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt lại đường thẳng AC tại điểm N và đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM cắt lại đường thẳng AB tại điểm P Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MN, MP Chứng minh rằng các đường thẳng AM, BJ, CI đồng quy tại một điểm

PM CA PJ  CK  PJ CK , kết hợp với  BPJBCK ta được tam giác PBJ đồng dạng với

tam giác CBK suy ra BPJ CBK  Do đó theo định nghĩa đường đối trung ta được BJ là đường đối

trung của tam giác ABC

Do đó AM, BJ, CI là các đường đối trung của tam giác ABC nên theo định lí 6 ta được AM, BJ, CI đồng quy tại một điểm