bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán thpt chuyên đề ĐƯỜNG đối TRUNG và điểm LEMOINE TRONG TAM GIÁC

Đường đối trung2.1 Định nghĩa: Cho tam giác ABC, đường đối trung kẻ từ A của tam giác là đường đối xứng với trung tuyến đỉnh A qua phân giác trong góc A.. 2.3 Các đường đối trung đồng qu

ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG VÀ ĐIỂM LEMOINE TRONG TAM GIÁC

Đường đối trung trong tam giác vốn là khái niệm quen thuộc trong hình học Giao của các đường đối trung là điểm Lemoine Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp lại các kiến thức về đường đối trung và điểm Lemoine để bạn đọc có được cái nhìn cơ bản nhất và hoàn thiện hơn về các khái niệm này

I Đường đối trung trong tam giác

1 Đường đẳng giác

1.1 Định nghĩa: Cho góc xAy , hai tia As và At được gọi

là đẳng giác nếu chúng đối xứng nhau qua tia phân giác của góc xAy

1.2 Định lý: Cho tam giác ABC với hai đường đẳng giác AA1 và AA2 Chứng minh rằng

2

1 2 2

1 2

BA BA AB

Chứng minh:

1

2

sin

(1) sin

ABA ACA

2

1

sin

(2) sin

ABA ACA

Nhân các vế của (1) và (2) ta được điều phải chứng minh

A

x

y

z

t

A

x

y

z

t

A

2 Đường đối trung

2.1 Định nghĩa: Cho tam giác ABC, đường đối trung kẻ từ A của tam giác là đường đối

xứng với trung tuyến đỉnh A qua phân giác trong góc A

2.2 Định lý: Cho tam giác ABC, AE là đường đối trung khi và chỉ khi

2 2

Giải: Gọi AM là đường đẳng giác với AE Khi đó theo

định lý 1.2 ta có

2 2

Do đó AE là đường đối trung  AM là trung tuyến

 BM=CM

2 2

Nhận xét: Đường đối trung chia cạnh đối diện của tam giác

theo tỉ lệ bằng bình phương tỉ lệ hai cạnh bên

2.3 Các đường đối trung đồng quy tại một điểm gọi là

điểm Lemoine của tam giác

Dễ chứng minh tính chất trên bằng định lý Ceva

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai đỉnh cắt

nhau tại điểm nằm trên đường đối trung của tam giác đi qua đỉnh thứ ba

Xét tam giác ABC như hình vẽ Ta có

sin sin

ABI MBI MAB

ACI MCI MAC

2 2

sin

sin

Do đó I là chân đường đối trung kẻ từ A của tam giác

ABC

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC, một đường tròn qua BC cắt các cạnh AB, AC tại M, N Tìm quỹ tích

trung điểm của MN

Giải:

A

x

y

z

t

A

B

C

M

A

D I

A

N N'

Gọi M’; N’ là điểm đối xứng với M, N qua phân giác góc A.

Dễ chứng minh được M’N’ song song với BC

Trung điểm của M’N’ thuộc trung tuyến kẻ từ A nên suy

ra trung điểm của MN thuộc đường đối trung kẻ tử A

của tam giác ABC

3 Một số tính chất của điểm Lemoine

3.1 Định lý: Cho X là một điểm nằm trên đường đối trung kẻ từ A của tam giác ABC

CMR khoảng cách từ C đến AB và AC tỉ lệ với độ dài của AB và AC

Giải

( ; ) ( ; )

( ; ) ( ; )

AEB

AEC

S

S

AC

2 2

Từ định lý trên suy ra tính chất sau:

3.2 Tính chất: Cho L là điểm Lemoine của tam giác ABC, khi đó:

( ; ) ( ; ) ( ; )

3.3 Tính chất: Cho điểm X nằm trong tam giác ABC Khi đó

( ; ) ( ; ) ( ; )

giác ABC

Chứng minh:

Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ X xuống

BC, CA, AB Ta có

4S (XD XE XF )(a b c )

A

X

A

L

D E F

4S

  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi XD XE XF

a  b  c hay X là điểm Lemoine của tam giác

ABC

3.4 Tính chất: Cho tam giác ABC với L là điểm Lemoine D, E, F là chân đường cao kẻ

từ L xuống BC, CA, AB Khi đó L là trọng tâm tam giác DEF

Giải: Vì L là điểm Lemoine của tam giác ABC nên

Theo định lý con nhím

0

hay LD LE LF  0

   

nên L là trọng tâm tam giác DEF

Tam giác DEF gọi là tam giác pedal của điểm L

Nhận xét: Bằng định lý con nhím ta còn chỉ ra được a LD b LE c LF2  2  2 0

3.5 Tính chất: Cho X, Y, Z là các điểm thuộc các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC

Khi đó XY2YZ2ZX2 nhỏ nhất khi X, Y, Z là các đỉnh của tam giác pedal của điểm

Lemoin L

Chứng minh

Gọi G là trọng tâm tâm tam giác XYZ, khi đó

Kẻ GD, GE, GF vuông góc với BC, CA, AB, ta có

Mà theo tính chất 3.3 GD2GE2GF2 nhỏ nhất khi G

là điểm Lemoine của tam giác ABC Từ đó suy ra đpcm

A

L

D

E F

A

G

X D E F

3.6 Tính chât: Cho tam giác ABC, khoảng cách từ điểm Lemoine L đến các cạnh của tam

giác bằng   a b c; ; trong đó 22S ABC2 2

 

  Gọi các khoảng cách này lần lượt là ; ;L L L , theo tính chất 3.2 ta có a b c

( ; ; ) ( ; ; )

a b c

S

  từ đó suy ra đpcm 3.7 Tính chất: Độ dài các cạnh của tam giác pedal của điểm Lemoine L là

2m a; 2m b; 2m c, trong đó 22S ABC2 2

 

  Gọi ;L L là chân các đường cao kẻ từ L xuống CA; AB, Áp dụng định lý Cosin cho tam b c

giácLL L , ta có: b c

2 2 2 2 os(1800 ) 2(2( 2 2) 2) 4 2 2

Hệ quả:

1 Cho tam giác ABC với 3 điểm X, Y, Z thuộc BC, CA, AB thì

2

12S

 

2 Cho X, Y, Z trùng với trung điểm của BC, CA, AB thì ta có

2

4

S

 

3 Cho X, Y, Z trùng với chân các đường cao kẻ từ A, B, C thì

(a b c )( cosa A b cos B c cos C) 12 S

3.8 Tính chất: Diện tích tam giác pedal của điểm L được tính bởi

3

12

ABC L

S S



  Hướng dẫn: Ta tính diện tích tam giác theo độ dài ba đường trung tuyến của nó

Ví dụ 3

Đường thẳng đi qua trung điểm cạnh đáy của tam giác và trung điểm của đường cao

tương ứng đi qua điểm Lemoine L

Chứng minh:

Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp vector, trước hết ta dễ chứng minh nhận xét

sau: Cho tam giác ABC, H là chân đường cao kẻ từ A Khi đó HB.cotCHC.cotB

Chú ý rằng kết quả trên đúng với mọi tam giác bất kì

Gọi A2 là chân đường vuông góc kẻ từ A I, K là trung

điểm BC, AA2 L là điểm Lemoine của tam giác ABC

Ta chứng minh L thuộc KA1

Giả sử góc C không vuông, khi đó

2

2

cot

cot

A C

 

 

2

A chia BC theo tỉ lệ a22 c22 b22

 



  nên

2 1

LA

 



 

 



 



2

2

a

  

2

2

a



2

LB LC a

 

 

(do a LA b LB c LC2  2  2 0

) Đẳng thức cuối suy ra L thuộc KA1

4 Một số tính chất liên quan tới đường tròn

4.1 Khái niệm đường đối song: tam giác ABC và các

điểm M, N nằm trên AB, AC sao cho MN//BC

M’, N’ là điểm đối xứng với M, N qua phân giác

trong góc A Khi đó M’N’ gọi là đường đối song

A

K L

A

B

C

M

N N'

M'

của MN.

Nhận xét: 4 điểm M, N, M’, N’ nằm trên một đường tròn

và 4 điểm B, C, M’, N’ nằm trên một đường tròn

4.2 Tính chất: Đường đối song qua điểm Lemoine của tam giác cắt các cạnh bên của tam

giác tạo thành 6 điểm cùng thuộc một đường tròn

Chứng minh: Gọi 6 điểm như hình vẽ

Xét đường đối song B1C1 Gọi '; '; 'B C L lần lượt là

điểm đối xứng với B1;C1;L qua phân giác góc A thì

B1C1//BC và L’ thuộc trung tuyến kẻ từ A, do đó L’

là trung điểm của B1C1 và do đó L là trung điểm của

B1C1

Tương tự L là trung điểm B2A2; A3C3

Do các tứ giác BCC1B1; CAA3C3 nội tiếp nên dễ chứng

minh được tam giác LA3B3 cân tại L

Từ đó chỉ ra được L cách đều 6 điểm trên

4.3 Tính chất: Đường thẳng đi qua điểm Lemoine của tam giác và song song với cạnh

đáy cắt các cạnh bên tạo thành 6 điểm cùng thuộc một đường tròn

Chứng minh:

Gọi 6 điểm như hình vẽ

Do AHLF là hình bình hành nên HF là đường đối song

của tam giác ABC Do đó theo 4.1 thì 4 điểm H,F,E,D

cùng thuộc một đường tròn

Tương tự các điểm D,G,K,H và K,E,F,G cùng thuộc

A

L

B1

C1 A3

C3 B2

A2

A

L

F

G H

K

một đường tròn.

Do đó ta chỉ cần chứng minh HDFG là hình thang cân

nội tiếp Thật vậy, ta có

Ví dụ 4

Chứng minh rằng tâm đường tròn ở tính chất 4.3 là trung điểm của đoạn thẳng nối điểm

Lemoine với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Chứng minh: Gọi J là trung điểm HF

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

và I là trung điểm LO

Ta chứng minh OA vuông góc với HF

Ta có AOC2ABC nên

 1800 2 0 

90 2

ABC

mà HFA ABC (HFCB nội tiếp)

nên OAC HFA 900 hay OAHF

Do đó JI HF hay JI là trung trực của HF nên

trung trực HF đi qua I

Tương tự trung trực DG cũng đi qua I

Từ đó dễ chỉ ra được I là tâm đường tròn qua 6 điểm

D,E,F,G,H,K

Ví dụ 5

A

L

F

G

H

K

I O J

Cho tam giác ABC với điểm Lemoine L Các đường thẳng LA, LB, LC cắt đường tròn

ngoại tiếp tam giác tại điểm thứ hai D, E, F Chứng minh rằng L cũng là điểm Lemoine

của tam giác DEF

Trước hết ta chứng minh một số bổ đề sau:

Bổ đề 1: Cho tam giác ABC, trọng tâm G của tam giác định ra các góc a;a’;b;b’;c;c’ như

hình vẽ mà ta kí hiệu là [(a;a’); (b;b’); (c;c’)] thì điểm Lemoine L định ra các góc [(a’;a);

(b’;b);(c’;c)]

Bổ đề này có được hiển nhiên do tính chất đối xứng của trung tuyến và đường đối trung

qua phân giác

Bổ đề 2:

Cho tam giác ABC và trọng tâm G định ra các góc [(a;a’); (b;b’); (c;c’)] thì nếu một tam

giác T có các góc a’+c; b’+a; c’+b và điểm G’ định ra các góc [(a’;c);(b’;a);(c’;b)] thì G’

là trọng tâm tam giác T

Xét tam giác ABC với các đường trung

tuyến AA’; BB’; CC’

Từ A kẻ đường thẳng song song với CG cắt

BG tại H

Dễ chứng minh được tam giác AGH đồng dạng

với tam giác T và trọng tâm E định ra các góc

[(a’;c);(b’;a);(c’;b)]

Do đó suy ra G’ là trọng tâm tam giác T

A

G

A

L

a a'

b

b'

cc'

a

b

c

a'

b'

c'

A

B

C

A'

H D

G

a a' c

b

c'

a b'

c' b

Bổ đề 3:

Tam giác T có các góc a’+c; b’+a; c’+b và điểm L định ra các góc [(c;a’);(a;b’);(b;c’)]

thì L là điểm Lemoine của tam giác T

Đến đây ta suy ra ngay cách chứng minh bài toán trên

Cuối cùng xin đưa ra một số bài toán để bạn đọc phát hiện ra thêm một số tính chất của

đường đối trung và điểm Lemoine

A

L F

E

D

a

b

c

a

b

c

a'

a' b'

c'

1 Cho tam giác ABC với đường đối trung AK Đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC cắt

AB tại P và đường tròn ngoại tiếp tam giác AKB cắt AC tại Q CMR KP=KQ

2 Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E, F trên BC, CA, AB sao cho DE//AB; DF//AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt BC, CA, AB tại D1; E1; F1 M là giao điểm của

DE và D1F1, N là giao điểm của DF và D1E1 CMR A, M, N thẳng hàng

3 Cho tam giác ABC với đường đối trung AD E, F thuộc đường thẳng CA; AB sao cho DE//AB; DF//AC

a CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF tiếp xúc với BC (đường tròn Tucker)

b CMR nếu AB; AC cắt đường tròn Tucker tại E’ và F’ thì E’F’//BC

4 Cho tam giác ABC với điểm Lemoine L A1;B1;C1 đối xứng với L qua BC, CA, AB Chứng minh rằng L là trọng tâm tam giác A1B1C1.

5 Cho tam giác ABC, đường đối trung AD, điểm Lemoine L, CMR

2 2 2



6 Cho tam giác ABC, các đường cao kẻ từ B và C cắt đường phân giác góc A tại P và Q Đường thẳng qua P song song AB cắt đường thẳng qua Q song song với AC tại R CMR

AR là đường đối trung kẻ từ A của tam giác ABC

7 Cho tam giác ABC trọng tâm G Gọi P, Q, R lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác PBC; QCA; RAB Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp O và trọng tâm

G của tam giác ABC lần lượt là trọng tâm và điểm Lemoine của tam giác PQR

8 Cho tam giác ABC đường đối trung AD Từ D kẻ DM, DN song song với AC; AB (M thuộc AB, N thuộc AC) CMR tứ giác BMNC nội tiếp, gọi A1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác trên Tương tự định nghĩa B1;C1 Chứng minh rằng AA1;BB1;CC1 đồng quy

9 Cho 2 đường tròn (C) và (C’) cắt nhau tại 2 điểm A,B PT là tiếp tuyến chung của hai đường tròn Tiếp tuyến tại P, T của đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt nhau tại S H đối xứng với B qua PT CMR A, H, S thẳng hàng

10 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), L là điểm Lemoine của tam giác K là điểm xác định bởi OK OL R  2 KA, KB, KC cắt (O) tại điểm thứ hai A’;B’;C’ CMR L

là điểm Lemoine của tam giác A’B’C’

Tài liệu tham khảo

1 Một số chuyên đề hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi – Đỗ Thanh Sơn

2 Các tài liệu sưu tầm trên mạng Internet