bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán thpt chuyên đề một số BÀI TOÁN về lưới VÀ BẢNG

Ta sẽ tìm số đường đi không tốt... Một chu trình Hamilton được chỉ ra như hình vẽ.. Ta xếp các đôminô liên tiếp trên mỗi phần đó... Suy ra mỗi hình vuông kích... Giải Xe

Trang 1

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LƯỚI VÀ BẢNG

Mở đầu

Trong những năm gần đây, ở các kì thi Olympic Toán quốc gia và quốc tế thường có các bài toán tổ hợp và rời rạc Trong các bài toán tổ hợp và rời rạc này, có các bài toán liên quan đến đến lưới và bảng Lớp bài toán này khá phong phú về nội dung và đa dạng về hình thức thể hiện

Trong bài viết này tôi xin giới thiệu một số bài toán liên quan đến vấn đề này Các ví dụ này đã được trình bày cho học sinh trong các đợt bồi dưỡng của các năm qua

Một số bài toán.

Bài toán 1 Cho bảng vuông kích thước 2 2

(n  n 1) (n  n 1) Mỗi ô vuông của bảng được ghi số 0 hoặc số 1, sao cho không có bốn ô có ghi số 1 nào là đỉnh của một hình chữ nhật Chứng minh số số 1 không vượt quá 2

(n1) (n  n 1)

Giải

Gọi x là số số 1 ở hàng thứ i ( i 2

i  n  n ) Ta cần chứng minh

2 1

n n i i



Xét tập M mà mỗi phần tử là một cặp ( , ) k l với 1  k l n2  Ta có n 1

2

2 1

n n

M C   Với mỗi i 1, 2,,n2 n 1, xét tập M mà mỗi phần tử là một cặp ( , ) i k l với

2

1  k l n   và hai cột k và l đều có số 1 ở hàng i Ta có n 1 M i M và

2

i

i i

x x

M C   (chú ý rằng nếu x  thì i 2 2

0

i

x

C  ).

Do không có bốn số 1 nào là đỉnh của một hình chữ nhật nên M i M j  nếu ij Suy ra

2 1

1

n n

i i

 







tức là

i i

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Trang 2

2 2 2 2 2 2

2

1

 

Suy ra

2

1

Hay

S  n  n S n n n  n  Từ đó

2

S  n n  n



Bài toán 2 Mỗi ô của bảng vuông kích thước n n được ghi 0 hoặc số 1, sao cho với

mỗi ô ghi số 0 thì có ít nhất n ô cùng hàng hoặc cùng cột với nó được ghi số 1 Chứng

minh rằng có ít nhất

2 2

n

  số 1 được ghi

Giải

Với n  ta có một cách ghi như sau, với số số 1 được ghi là 8 :4

0 0

0

1 1

1 1 0

Trong trường hợp tổng quát, xây dượng đồ thị hai phía gồm 2n đỉnh, mà n đỉnh bên trái là n hàng và n đỉnh bên phải là n cột của bảng Đỉnh H được nối với đỉnh i C nếu ô j

( , )i j được ghi số 1.

Theo giả thiết nếu đỉnh H không nối với đỉnh i C thì j

( i) ( )j

d H d C n

trong đó (d H là số số 1 ở hàng i , ( ) i) d C là số số 1 ở hàng j i

Ta chứng minh số cạnh của đồ thị là

2 2

n

e 

Thật vậy, ta có

2 ( , ) 0

i j



Trong tổng trên với mỗi i , số hạng ( d H xuất hiện i) n d H ( i) lần; với mỗi j , số hạng

Trang 3

( )i

d C xuất hiện n d C ( )j lần

Mà

Suy ra

Theo bất đẳng thức Schwarz

2

1

e

2 2

1 ( )

n

j j

e

d C

n





Suy ra

2

n



Bài toán 3 Cho bảng vuông kích thước 2012 2012 Người ta ghi vào mỗi ô ( , )i j (

i j   ) một số tự nhiên a thỏa các điều kiện : ij

(1) a i1a i2a i2012 2011, với i 1, 2,, 2012;

(2) nếu a a  thì ( ij kl 0 k i l )(  j) 0

Hỏi có bao nhiêu cách ghi như vậy ?

Giải

Theo giả thiết (1), mỗi ô được ghi số nguyên dương và tổng các số trên mỗi hàng bằng 2011

Theo giả thiết (2), nếu a  và ij 0 a  thì k i kl 0  và l j; nghĩa là từ một ô có ghi số dương chỉ có thể đến một ô có ghi số dương ở hàng lớn hơn hoặc cột lớn hơn

Từ đó có thể xây dựng bảng như sau:

 Xuất phát từ ô (1,1) để đến ô (2012, 2012) bằng cách sang phải hoặc xuống dưới

 Tại mỗi ô có thể đặt một viên sỏi hoặc không

 Nếu đã đặt đủ 2011 viên sỏi trên một hàng thì xuống dưới, nếu chưa thì có thể đặt một viên sỏi hoặc sang phải

Sau khi hoàn tất, số sỏi trong mỗi ô là số cần ghi vào ô đó Ô không có sỏi ghi số 0 Như vậy có 2011 thao tác “đặt viên sỏi” trên mỗi hàng Do có 2012 hàng nên số thao tác

“đặt viên sỏi” là 2011 2012 4 046 132  Ngoài ra có 2011 thao tác “sang phải” Vì vậy tổng cộng có 4 046 132 2011 4 048143 

Chú ý rằng thao tác “xuống dưới” không được tính do được tính theo thao tác “đặt viên

Trang 4

Suy ra số cách thành lập bảng là số cách bố trí 2011 thao tác “sang phải” trong dãy

4 048143 thao tác nói trên Vậy số cách thành lập bảng là 2011

4048143



Bài toán 4 Tìm số đường đi dọc theo cạnh lưới ô vuông từ đỉnh (0, 0) đến đỉnh ( , )n n ,

sao cho không vượt qua đường chéo chính y và mỗi bước đi là sang phải hoặc lênx trên

(n,n)

(0,0)

Giải

Ta gọi một đường đi từ đỉnh (0, 0) đến đỉnh ( , )n n theo hướng sang phải hoặc đi lên là

đường đi tiến

y = x+1

A

(-1,1)

(n,n)

(0,0)

Mỗi đường đi tiến gồm 2n bước, với n bước sang phải và n bước lên trên Như vậy mỗi đường đi tiến là một cách chọn n bước sang phải trong số 2n bước Do đó số đường đi

tiến là 2n

n

C

Ta lại gọi một đường đi tiến không vượt qua đường chéo chính là một đường đi tốt, ngược lại là một đường đi không tốt Ta sẽ tìm số đường đi không tốt.

Cho P là một đường đi không tốt Khi đó P sẽ gặp đường thẳng y x 1 lần đầu tiên

tại một điểm A Lấy đối xứng đoạn đường của P từ điểm O đến điểm A qua đường

Trang 5

thẳng y x 1 ta được một đoạn đường đi từ điểm ( 1, 1) đến điểm A Đoạn đường này cũng là một đường đi tiến Kết hợp đoạn đường này với phần còn lại của P từ điểm A

đến điểm ( , )n n ta được một đường đi tiến từ điểm ( 1,1) đến điểm ( , )n n

Ngược lại, cho Q là một đường đi tiến từ điểm ( 1, 1) đến điểm ( , )n n Khi đó Q sẽ gặp

đường thẳng y x 1 lần đầu tiên tại một điểm A Lấy đối xứng đoạn đường của Q từ

điểm ( 1, 1) đến điểm A qua đường thẳng y x 1 ta được một đoạn đường đi từ điểm

O đến điểm A Đoạn đường này cũng là một đường đi tiến Kết hợp đoạn đường này

với phần còn lại của Q từ điểm A đến điểm ( , ) n n ta được một đường đi tiến từ điểm O

đến điểm ( , )n n Đường đi này là một đường đi không tốt.

Như vậy số đường đi không tốt từ điểm O đến điểm ( , ) n n đúng bằng số đường đi tiến

từ điểm ( 1, 1) đến điểm ( , )n n Số đường đi này bằng 1

2

n n

C 

Suy ra số đường đi tốt từ điểm O đến điểm ( , ) n n là

1

1 1

n





Bài toán 5 Một con xe được đặt trên bàn cờ kích thước 3 n , với n   Con xe đi từ* vị trí (1, 1) đến vị trí (3, 1) bằng một đường đi không tự cắt Hỏi có bao nhiêu đường đi như thế trên bàn cờ ?

Giải

Gọi số đường đi là r Có 6 cách đi như các hình vẽ sau : n

1) Đường đi qua các ô (1,1), (2,1), (3,1) Có 1 đường đi loại này

2) Đường đi không qua ô (2,1) Mỗi đường đi loại này bắt đầu là (1,1) (1,2) và kết thúc là (3, 2) (3,1) Có r n1 đường đi loại này.

3) Đường đi bắt đầu là (1,1) (2,1) (2, 2) và không trở lại hàng 1 Mỗi đường đi như vậy đến hàng 3 từ ô (2, )k , với 2 k n  và di dọc theo hàng 3 đến ô (3,1) Có n  1 đường đi loại này

4) Đường đi bắt đầu là (1,1) (2,1)  (2, )k  (1, )k  (1,k1), kết thúc là (3,k1) (3, )k  (3,1), với 2  k n 1 Có r n2r n3r1 đường đi loại

Trang 6

5) Đường đi bắt đầu là (1,1) (1, 2) và kết thúc là (2,1) (3,1) Có n  đường đi loại1 này

6) Đường đi là (1,1) (1, 2)  (1, )k  (1,k1) (2,k1) (3,k1) (3, )k

    Có r n3r n2r1 đường đi loại này

Vậy

r  r  n  r r r  n r  r r r Suy ra

r  n r  r r r

Do đó

r  r  r r  r   r r  r   r  r 

Dễ thấy r  , 1 1 r  Sử dụng phương trình đặc trưng tìm được2 4

1

2 2

n



Bài toán 7 Cho bàn cờ kích thước 2011 2012  Bỏ bớt hai ô khác màu tùy ý Hãy xếp đầy bàn cờ còn lại bằng các đôminô kích thước 1 2 , sao cho các đôminô đó không chờm lên nhau (có thể xoay các đôminô)

Giải

Ta giải bài toán trong trường hợp tổng quát, bàn cờ có kích thước m n với m lẻ, n

chẵn

Xây dựng một chu trình Hamilton đi qua tất cả các ô, mỗi ô một lần Do tổng số ô là chẵn nên điều này luôn tìm được Một chu trình Hamilton được chỉ ra như hình vẽ Có hai trường hợp

 Nếu hai ô bỏ đi là kề nhau trên chu trình Hamilton thì xếp các đôminô liên tiếp trên phần còn lại

 Nếu hai ô bỏ đi không kề nhau thì các ô này chia chu trình Hamilton thành hai phần, mỗi phần có một số chẵn ô Ta xếp các đôminô liên tiếp trên mỗi phần đó

Vậy luôn xếp đầy bàn cờ còn lại bằng các đôminô

Trang 7

Bài toán 6. Cho các quân triminô hình chữ L gồm 3 hình vuông đơn vị như hình vẽ sau

Phủ hình vuông kích thước 5 5 bằng các quân triminô hình chữ L này, sao cho chúng

không chờm lên nhau, thì còn thừa một ô vuông đơn vị không được phủ (có thể xoay các triminô) Hỏi ô không được phủ có thể nằm ở vị trí nào trên hình vuông đã cho ?

Giải

Tô màu các ô như hình vẽ

Nếu ô có màu trắng không được phủ thì cả 9 ô đen đều được phủ Mà mỗi triminô chỉ phủ đúng một ô đen Suy ra có ít nhất 9 triminô được dùng Khi đó số ô ít nhất được phủ là 9 3 27 25   Vô lí

Vậy không được phủ phải là ô đen

Do tính đối xứng nên chỉ xét ba trường hợp: ô đen không được phủ là ô trung tâm, ô cạnh, ô góc Ba trường hợp này có cách phủ như sau :



Bài toán 7 Mỗi ô vuông đơn vị của bảng vuông kích thước n n được tô bởi màu đen hoặc màu trắng Giả sử tất cả các cách tô màu của hình vuông kích thước 2 2 đều có mặt trong bảng

a) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của n

b) Với n tìm được hãy tìm một cách tô mà số ô đen là ít nhất.

Giải

a) Mỗi ô vuông đơn vị của bảng có hai cách tô màu Suy ra mỗi hình vuông kích

Trang 8

thước 2 2 có 24 16 cách tô màu.

Mặt khác với hình vuông kích thước n n có thể chọn ra (n 1)2 hình vuông kích thước

2 2 khác nhau

Do đó (n 1)2 16 n5

Với n  ta có một cách tô màu như sau thỏa điều kiện bài toán :5

Vậy giá trị nhỏ nhất là n  5

b) Hình vuông kích thước 5 5 có 4 hình vuông đơn vị ở góc, 12 hình vuông đơn vị ở cạnh và 9 hình vuông đơn vị ở trong

Mỗi hình vuông đơn vị ở góc chỉ thuộc đúng 1 hình vuông kích thước 2 2 , mỗi hình vuông đơn vị ở cạnh thuộc 2 hình vuông kích thước 2 2 , mỗi hình vuông đơn vị ở trong thuộc 4 hình vuông kích thước 2 2

Chú ý rằng 16 hình vuông kích thước 2 2 có được từ hình vuông kích thước 5 5 gồm tổng cộng 64 hình vuông đơn vị, trong đó có 32 ô đen

Gọi k là số ô trắng trên hình vuông kích thước 5 5 , trong đó có a ô góc, b ô cạnh và

c ô trong Ta chứng minh k  10

Giả sử k 10

Ta có

(1)

a b c k

  

Từ (2) ta có 4c32 c8

+ Nếu c  thì 8 a b 0 Khi đó có một trong các hình vẽ sau (các hình đối xứng)

 Trong hình (a) thiếu một trong các hình vuông kích thước 2 2 gồm 3 ô trắng và 1 ô

Trang 9

 Trong hình (a) và (b) thiếu hình vuông kích thước 2 2 gồm 4 ô trắng

Vậy trường hợp này không thể xảy ra

+ Nếu c  thì 7 a0,b2 Trường hợp này có ít nhất hai cạnh của hình vuông kích thước 5 5 không có ô trắng Có thể xem một trong hai cạnh này là cạnh trên của hình vuông đó

Chú ý rằng mỗi cách tô màu hình vuông kích thước 2 2 chỉ xuất hiện đúng một lần trong hình vuông kích thước 5 5 Trong 16 cách tô màu hình vuông kích thước 2 2 chỉ có 4 cách mà 2 ô ở hàng trên có màu trắng Suy ra 4 hình vuông kích thước 2 2 tương ứng phải nằm ở hai hàng đầu của hình vuông kích thước 5 5 Trong số này có 1 hình vuông kích thước 2 2 gồm 4 ô trắng

Lý luận tương tự với cạnh còn lại gồm 5 ô trắng

Suy ra hình vuông kích thước 2 2 gồm 4 ô trắng phải ở một góc của hình vuông kích thước 5 5 Giả sử đó là góc trái trên Khi đó 2 ô bên cạnh hình vuông này là hai ô đen Như vậy có 2 hình vuông có dạng giống nhau (gồm 3 ô trắng và 1 ô đen ở góc phải dưới)

Vậy trường hợp này không thể xảy ra

+ Nếu c  thì ta luôn có 6 k    a b c 10 Chẳng hạn với c  thì 6 a2b8 Có ba khả năng

 a0,b 4 a b c  10

 a2,b 3 a b c  11

 a4,b 2 a b c  12

Như vậy trường hợp này cũng không thể xảy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của số ô đen là k  Một cách tô màu được cho trong hình vẽ đầu10 tiên



Bài toán 9 Một con tốt được đặt trên một ô của bảng vuông kích thước n n , với n  2 Con tốt đó có thể đi từ một ô sang 8 ô xung quanh, sao cho hai bước đi liên tiếp phải

khác kiểu (chéo, ngang hoặc dọc) Xác định các giá trị của n sao cho có thể chọn một ô

xuất phát và một dãy các bước đi để con tốt có thể đi khắp bảng, mỗi ô qua đúng một lần

Giải

Xét hai trường hợp

Trang 10

 n2k: Chia bàn cờ thành các hình vuông kích thước 2 2 Ban đầu đặt con tốt ở vị trí (1, 1) của bàn cờ Di chuyển như hình vẽ thì con tốt sẽ đi khắp bàn cờ, mỗi ô qua đúng một lần và hai bước đi liên tiếp là khác kiểu

 n2k1: Tổng số bước đi là n  Tô màu đen các hàng chẵn Sô ô đen là 2 1

2 2

n  n

Khi đó mỗi bước đi theo kiểu chéo thì con tốt phải đi qua hai ô khác màu

Do con tốt không đi qua ô nào quá một lần và không có hai bước đi liên tiếp theo kiểu chéo, nên mỗi bước đi theo kiểu chéo chỉ qua đúng một ô đen Suy ra số bước đi theo kiểu chéo nhiều nhất là

2 2

n  n

và số bước đi theo kiểu ngang hoặc dọc nhiếu nhất là 2

1

2

n  n

 Suy ra tổng số bước đi nhiều nhất là n2 n  Với n lẻ và 1 n  thì3

n  n n  Do đó con tốt con tốt không thể đi khắp bàn cờ trong trương hợp này Vậy n2k, với k   *



Bài toán 10 Một hình chữ nhật kích thước 2013 2012 được tô toàn bộ bởi bốn màu xanh, trắng, vàng, đỏ theo quy tắc

(i) Mỗi ô tô đúng một màu

(ii) Các màu xanh, trắng, đỏ, vàng lần lượt được tô cho các mảng có dạng

Sau khi tô xong một người đếm được 2.013.021 ô xanh, 1.113.006 ô trắng và tiếp tục đếm các ô màu còn lại Hỏi kết quả đếm được là đúng hay sai ?

Giải

Đánh số các ô theo quy tắc: ô ( , )i j được đánh số ( i j) mod 3

Trang 11

2 0 1 2 0 1

Khi đó

+ Hình (1) chiếm các ô mà tổng các số trong các ô đó chia 3 dư 2

Giả sử sau khi tô xong, có N mảng hình (1), 1 N mảng hình (2), 2 N mảng hình (3), 3 N4 mảng hình (4)

Tổng các số ghi trong hình chữ nhật là 3k2N1N2 Do tổng các số trong hình chữ nhật chia hết cho 3 nên 2N1N2 chia hết cho 3

Theo giả thiết 3N 1 2.013.021,3N 2 1.113.006 Suy ra N 1 671.007,N 2 371.002.

Do đó 2N1N2 1.713.016 Số này không chia hết cho 3 Vậy kết quả đếm được là sai



Bài toán 10 Cho tam giác đều cạnh n được chia thành các tam giác đều cạnh 1.

a) Hỏi có bao nhiêu hình hình bình hành được tạo thành ?

b) Người ta phủ kín tam giác đều đã cho bằng các hình được ghép bởi 6 tam giác đều cạnh 1 có dạng như sau

sao cho các hình này không chờm lên nhau (có thể xoay hoặc lật các hình này) Hãy xác

định các giá trị của n để có thể thực hiện được điều đó.

Giải

a) Gọi tam giác đã cho là ABC

Chia tập các hình bình hành tạo thành thành ba tập con

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	753 KB