[r]
(1)£23
Tích phân
lvlovely@gmail.com
Luyện thi Đại học Tích phân Đề thi 1999-2009
(2)£1
Tích phân 1999-2008
I.Bất đẳng thức tích phân 1.Chứng minh bất đẳng thức sau :
1)
2
1
1
2dx lnxdx
(lnx)
2)
3 1 x cotgx 12
3
4
π
π
3)
4 x
-1
dx 2
1 12
0 2000
π
4)
26 dx x
x
26
1
0 10 25
3
5)
3 cosx x cos
dx
3
0
π
π π
6) 54 2 11 x 7 11 xdx 108
7
3.Giaûi bất phương trình :
x
e lnx
2
lnx
4 t
dt t
2 dt
Phương pháp đổi biến số
Tích phân hàm phân thức
1999-2000
1.Tính tích phaân :
a) dx
x 1
x 1
2
1
2
b)
3
1
2
dx 1 x x
1
x c)
1
0
dx x
1 x
d)
2) 3x (x
dx
1
0 2
e)
1
0x2 3x
dx f)
1) (x
xdx
1
0
g) dx
1 x
1 x
1
0
h)
4
1x2(x 1)
dx i) dx
1 x x
2 6x
2
0
£22 3.Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo cho hình phẳng giới hạn đường : y = ex, y = 1/e, y = e trục tung quay xung quanh trục Oy
Đề thi Tú tài năm 2008 Kỳ I
Tính tích phân
1.Không phân ban
1
0
)xdx x e (1
2.Phaân ban Ban A
1
1
-dx ) x (1 x
Ban CB
2 π
0
cosxdx 1) (2x
3.Bổ túc
2 π
0
sinxdx cosx
Đề thi Tú tài năm 2008 Kỳ II
Tính tích phân
1.Không phân ban
1
0
dx 3x
2.Phaân ban Ban A
1
0
dx x e 1) (4x
Ban CB
2
1
1)dx 4x (6x
3.Bổ túc
1
0
(3)£21 Từ tìm
CĐ Kinh tế – Cơng nghệ tp.HCM năm 2007 Hãy chứng minh
54 dx x cos
1 57
π
π
π
6 π
Diện tích hình phẳng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y x24x3,yx3
2
2 x y
2 x
y ,
3 y(e1)x,y(1ex)x
Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2007 x + y = 0, x2 2x + y =
CÑ KTKT Công nghiệp II năm 2007 y = 7 2x2, y = x2 +
CĐ KT Cao Thắng năm 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol (P) : y = – x2 + 4x đường thẳng d : y = x
Đề thi CĐ khối A, B, D năm 2008 Thể tích khối trịn xoay
1.Cho hình phẳng H giới hạn bỏi đường y = xlnx, y = 0, x = e Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox
Đề thi ĐH-CĐ khối B năm 2007 2.Cho hình phẳng H giới hạn bỏi đường y = ex , y = e x + x = 0, x =
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox
£2 Chứng minh :
cotga
1/e
tga
1/e
0) (tga 1
) x x(1
dx x
1 xdx
3.Tính tích phân : x (a 1)x adx
2
1
a số cho trước
4 Tính : dx
1) (x
x lim
1
0 2n
1 3n
n
Tính tích phân :
a) dx
x
arctgx x
x
1
0
2
b)
5
4
20dx
4) -x(x
2000-2001
Tính tích phân :
a dx
9 2x x
1 10x 2x x 2) dx 2x x
10 3x x 1)
1
0
2
0 2
b
1 2
0
dx 12 7x x
x 2)
dx 5x x
11 4x 1)
1
0
2 4x 3
x dx
3)
2
0
dx 2x x
3x 4)
1
0
dx x x
x
5)
1
0
dx x
3 6)
2001-2002
1.Tìm họ nguyên hàm :
dx
1) 3x 1)(x 5x (x
1 x
2
(4)£3
2
2
1 x4 x2 1dx
1 x
3
1
1x x 12
dx x
2
4.
1
1(1 x2)2
dx 5.
12x(x4 1)
dx
6.
2
1 x(x 1) dx
1 x x
7.
b
0 (a x2)2dx
2 x a
(a,b tham số dương cho trước)
2002-2008
1
1
0(x 1)3
xdx
01 x2
xdx 1 3.
1
0 x2
dx x
4
02x2 5x
dx 1
1x x3
dx 3
6 dx
x x
2 2x 3x x x
2
1
CĐ GTVT III năm 2007
7 dx
1 x
1 x
1
0
CĐ Công Nghiệp Thực phẩm Tp.HCM năm 2007
0
1
- x2 2x
dx
dx
1 x x
1 2x
1
0
10
0
1
- x2 2x
dx
Đề thi ĐH Sài gòn khối A năm 2007
£20
T
0 T
a
af(x)dx f(x)dx
Dùng tính chất chẵn lẻ hàm số 1999− 2000
Tính tích phân :
1
1
dx x
sinx x I
2000− 2001
1.Chứng minh :
0 nx)dx -sin(sinx I
2π
0
vô ùi m o ïi n ng u y e ân
2.Tính tíc h p ân :
1) dx
x sin -4
cosx x
2 π
2 π
2
2) I (e sinx exx2)dx
1
-x2
Các tích phân đơn giàn
2002-2008
1.C ho øm so bxex
3 1) (x
a
f(x)
TÌm a va ø b b ie át èng f’ (0) = 22 va ø f(x)dx
0
.
2.Tính tíc h p ân
0
dx x x I Tính tíc h p ân
I(x) =
x
1
dt 1) t(t
1
(5)£19 19
19 C 21
1 18 19 C 20
1 19 C 1 19 C 19 C
S
2.a )Tính tíc h p ân : I x (1 x ) dx
0
n n b )C hö ùng m inh èng
1) 3(n
1 -2 C 3n
1 C 12
1 C C C
1 n n
n
n
n n
n
Các dạng tốn khác
Các tích phân đơn giàn 2000− 2001
1.Tính c a ùc tíc h p ân :
dx e
) e (1 2) dx
4 -2 J 1)
1
0
2 x
0
x
2.Tính tíc h p ân : max[f(x), g(x)]dx
0
tro ng ñ o ù : f(x) = x2 va ø g (x) = 3x2
3.C ho f(x) = Asin2x + B Tính A, B ñ e åf (0) 4, f(x)dx 2π
0
2
2001− 2002
1.Tính tíc h p ân : dx
0xx-m tu y ø the o m
2.Tính tíc h p ân :
1 x
dx 1) (2x
.
Dùng tính chất tuần hồn hàm số
C hö ùng m inh èng ne áu f(x) la ø øm lie ân tu ïc vô ùi m o ïi g ia ù trò c u ûa x va ø tu a àn ho a øn vô ùi c hu ky ø T :
£4
11 dx
4 x
1 x x
0
Tích phân hàm thức
1999-2000
Tính tíc h p ân :
a
0
33x 1dx
1 x
b
7 x x2 9
dx
c dx 3x
1 x
0 d
0
2
1 x
x)dx (x
e
1 x 1) (2x
dx
3
0 2
f dx
1 x
2x x
3
0
3 g
0 x xdx
2000-2001
Tính c a ùc tíc h p ân :
a 1) x 2x xdx
4
0
2
3
0
2 2x xdx x
2)
b 1) x a x dx
a
0
2 2
(a la ø èng so d ng ) dx
) x (1 2)
1
0
3
c
1 x x
dx 1)
2
2
1x x2 dx 2)
2001-2002
1 x5 x3dx
0
1
0
2
dx x 1 . x
3
10
2 5x 1 dx
(6)£5
2002-2008
1.
9
1
dx
x
x 2.
1
0
dx x x
3.
1
0
.dx x
x 4.x2 2x3dx
5.
0
.dx x
x
3
0
dx x x
7 dx
1 x
x
1
8.
10
5x x dx
9
3
5 x x2 dx
10.
7
0
dx 3x 1
2 x
11 dx
1 x
4 x
0
12 dx
3 x x
3 x
1
-
13 dx
1 x
3 2x x
0
14.
3
0
dx 33x 1
1 x
15 dx
1 2x
xdx
0
C Ñ Ng u y e ãn ta át Tha ønh na êm 2007
16 dx
5 x
1 x x
1
17.
1
51 3x dx
18.
6
22x 4x dx
Tích phân hàm mũ 1999-2000
a ) ln2
0 ex dx
b )
1
1
- dx
x x
£18 2.C ho tíc h p ân : 2
π
0 n n cos xdx I
vô ùi n la ø so ng u y e ân d ng 1) Tính I3 va ø I4
2) Thie át la äp he ä thư ùc g iư õa In va ø In-2vơ ùi n > Tư ø đ o ù tính I11 va ø
I12
3.C ho
0 2x 2nx
n dx
e
e I
vô ùi n = 0,1,2,3,… 1) Tính Io
2) Tính In + In+1
Cơng thức Newton
2000− 2001
1.Tính tíc h p ân : I x(1-x ) dx (n N*)
0
n
Tư ø đ o ù c hö ùng m inh èng :
1) 2((n
1 C
1) 2(n
1) ( C C C C
1 n
n n
n n n
n
2.Tính tíc h p ân :
) * N n ( dx x) (1 I
1
0 n
Tö ø ñ o ù c hö ùng m inh èng :
1 n
1 -2 C 1 n
1 C 3 1 C 2 1 1
1 n n n
n
n
3.C ho n la ø m o ät so ng u y e ân d ng a )Tính tíc h p ân : I (1 x) dx
1
0 n
b )Tính to ång : n0 1n 2n Cnn n
1 C C C S
1.Tính tíc h p ân : I x(1-x) dx
0
19
(7)£17 4.C hö ùng m inh èng vô ùi m o ïi n ng y e ân d ng ta c o ù :
0 dx e 1)
-(2x x-x2
0
1
2n
2000-2001
4.a )C hö ùng m inh èng :
1)! n (m
n! ! m dx
x) -(1 x I
1
0
n m n
m,
vô ùi m o ïi m ,n = 0,1,2,3,…
( Ky ù hie äu m ! = 1.2.3…m va ø q u y ùc ! = )
b )G ia û sö û èng m + n = 10 Ho ûi vơ ùi m ,n na øo Im ,nđ a ït
g ia ù trị lơ ùn nha át , b e ù nha át ? Ta ïi sa o ?
5.Tính tíc h p ân : I (1-x ) dx (n N)
0
n
n
a )Tìm he ä thư ùc g iư õa In va ø In1( vô ùi n )
b )Tính In the o n
6.Tính tíc h p ân :
.) 0,1,2,3, n
( dx ) x -x(1 J
, dx ) x -(1 x I
1
0
1
0
n n
n 2
n
1)Tính Jn va ø c hö ùng m inh b a át đ a úng thư ùc :
1) 2(n
1 In
vô ùi m o ïi n = 0,1,2, …
2)Tính In+1the o In va ø tìm :
n n n I I
lim
7.Tính tíc h p ân : (n 1,2,3, )
x ) x (1
dx
0 n n n
2001-2002
1.C ho tíc h p ân : π
0
m dx
2cos2x
sin2mx I
(m la ø tha m so ) C hö ùng m inh èng :
Im + Im -2 = 3Im -1
vô ùi m o ïi m
£6
2000-2001
1)
ln2
0
dx x e
2x e
2)
1
0
dx 2x e
1
2001-2002
1
4
4
dx x
x cos x sin
π
π
1
01 2x dx
2002-2009
1
ln5
ln3ex 2e x dx
2
ln2
0
dx x e
2x e
3
8 ln
ln3
dx 2x e x
e
ln5
ln2 ex dx 2x e
5
ln3
0 (ex 1)3 dx x e
Tích phân hàm logarit 1999-2000
a ) dx
x x) ln 1 lnx
e
1
3
b )
e
1
dx 2x
lnx
c ) e
1
dx x lnx
2000-2001
e
1
dx x
(8)£7
2001-2002
1 dx
cosx
sinx) (1 ln π
0
cosx
2 4 ln(1 tgx)dx
π
:
2002-2008
1 e
1
dx x
lnx 3lnx
2
e
1
dx 2lnx x
2lnx
3
3 e
1
dx lnx x
x ln
4.
3 π
4 π
dx sin2x
(tgx) ln
5.
e
1x31 lnx x d
C Đ Xa ây d ïng so na êm 2007
Tích phân hàm lượng giác
1999− 2000
1.C ho so ng u y e ân d ng p va ø q Tính : xdx cospx.cosq I
2π
0
tro ng trö ô øng hô ïp p = q va ø p q 2.C ho øm so : g(x) sinxsin2xsin3x
a )Tìm ho ï ng u y e ân øm c u ûa g (x)
b )Tính tíc h p ân : dx 1 e
g(x) I
2 π
2 π
x
3.Tính tíc h p ân :
a ) dx
sin2x 3
sinx cosx
π/3
π/4
b ) π
0 2xdx
tg
c ) dx
5 3cosx 4sinx
6 7cosx sinx π/2
0
d )
x cos
dx π/4
0
£16 2) Tö ø c a ùc ke át q u a û tre ân , õy tính c a ùc g ia ù trò c u ûa I , J va ø :
5π
2 3π
sinx cosx
cos2xdx K
2.Tính tíc h p ân : 1)
2 0
π
dx cosx sinx
cosx
2)
π
0 sin2x cos2x dx cos2x
3)
π
2
5c o sx 4sinx d x (c o sx sinx)
:
2002-2008
Tính c a ùc tíc h p ân
2
π
0
dx x 2004 cos x 2004 sin
x 2004 sin
13.
2 π
0
sin5xdx 3x
e
Tích phân truy hồi
1999-2000
1.Tính tíc h p ân : I x e-2xdx n 1,2,3,
0 n
n
1)C hö ùng m inh : In In+1 Tính In+1 the o In
2)C hö ùng m inh :
1) 2(n
1 I
0 n
vô ùi m o ïi n
Tư ø đ o ù tìm n
nlim I
2.C ho : dx
e
e I
1
0 x nx n
1) Tính I1
2) Vơ ùi n > õy tìm c o âng thö ùc b ie åu d ie ãn Inq u a In-1
3.C ho tíc h p ân :
0
2dx (xsinx)
I(t)
a ) Tính tíc h p ân t =
(9)£15
5
2 π
0
dx x sin
x 6.
0
1
-dx )
1 x 2x x(e
7.
2 π
0
sinxdx x) cos
(x 8.
e
1
lnxdx x
1 x
9
e
1
lnxdx x
1 x
10
2 π
0
2xdx sin cosx e
Tích phân liên hợp 1999-2000
1.Tính tíc h p ân : π
0
2xcosxdx e
I
2.1) C ho øm so f lie ân tu ïc tre ân 0,1 C hö ùng m inh :
π/2
0 π/2
0
f(cosx)dx f(sinx)dx
2) Sö û d u ïng ke át q u a û tre ân đ e å tính :
π/2
0 π/2
0
dx cosx sinx
xdx sin J
dx cosx sinx
xdx cos I
2001-2002
1 Ña ët :
π
0
2
π
0
2
cosx sinx
xdx cos J
, cosx sinx
xdx sin I
1) Tính I 3J va ø I + J
£8
e )
2 x sin
dx
3 4π
π
f)
π/2
0 sin2x dx
g ) sin2x(1 sin x) dx π/2
0
3
h)
π
0
2dx cosx) sinxcosx(1
i) dx
cosx
x 4sin π/2
0
j)
3 π
6 π
4xcosx
sin dx
k) π
01 cosx
dx
8.Tính tíc h p ân : dx
x sin b x cos a
sinxcosx I
π/2
0 2 2
vô ùi a , b va ø a2 b2
2000− 2001
1.C hư ùng m inh èng vơ ùi i so tö ï nhie ân m , n kha ùc nha u xdx sinmx.sinn xdx
cosmx.cosn
π
π -π
π
-
2.Tính c a ùc tíc h p ân :
a 1) cos xsin xdx 2) cos xdx
/2
/6
0
2
π
π π
π
0 π/4
0
xdx cos 4) xdx
sin 3)
/2
0
4 10
10
x)dx x.sin cos -x sin x (cos 5)
π
π
3xcos5xdx cos
6)
b dx
cosx sinx
cosx sinx 1)
3
4
π
π
0
2 dx
x cos
sin2x 1 2)
(10)£9
3)
3 π
6 π
2
dx 2 x cotg x tg
c
tgx 1
dx 1)
4 π
0
3 π
4 π
4
xdx tg
2)
π
6 π
6 π x sinxsin
dx 3)
d
x cos -2
dx 1)
4
0
2
π
dx x cos
x sin 2)
3
4
π
π
dx e cosx 1
sinx 1 3)
2 π
0
x
e
2
2
dx x sin -4
cosx x
π
π
2001-2002
1 2 xdx
3 sin
π
2
4
0
2cosx) (sinx
dx
π
3. dx
cos2x x tg
π 4. dx
x cos x sin
sin4x
π
0 6
4
π
0 cos4xdx
1
6
2
0 1 sinx dx x 4cos
π
7
π
2
0 sinxdx
4
0 4sin2x 3 dx
π
9
2π
0 1 cos2xdx 10
2
0 ( cosx sinx)dx
π
11.a ) Tính tíc h p ân : 2 π
0
sin2xdx x
cos b ) C hö ùng m inh èng :
π
0
π
0
6xcos6xdx cos xsinxsin6xdx cos
£14
2.
2 π
0
2xdx sin 1)
(x 3.
4 π
0
cosxdx 1) (x
4.
4 π
0
dx x cos
x
5.
4 π
0
dx cos2x
x
6.
2 π
0
dx x cos 1)
(2x
1
0
dx 2x e 2) (x
8.
2 π
0
x cosx)cosxd sinx
(e 9.
4 π
0
dx cosx) sinx e (tgx
Pp đổi biến số pp tích phân phần
1999-2000
3
0
1
-x.arctgxdx 4x
-5
x
2002-2008
1.
4
0
dx 1) (2x
1 2x ln
2.
0
dx x e x
5
0
dx x e x
4
9
2 π
0
dx x sin
(11)£13
10.
2
1
dx x
x) (1 ln
11. e
1 dx x x ln
12.
1 dx x
x ln
Ñe thi ÑH-C Ñ kho D na êm 2008
Khử hàm đa thức
1999-2000
a
0 xdx
xe b (2x2x1)exdx
c sin xdx
2 π
0
d π
0
sinxdx x
e π
0
3 4xsin xdx xcos
2000-2001
3 π
0
xcosxdx
1) 2) xtg xdx
π/4
0
2001-2002
)dx x e x sin
(e x
1
1
-x2
2002-2008
1.
2 π
0
2xdx sin x
C Ñ Kinh te Tp HC M na êm 2007
£10 va ø tính : 2
π
0
5xcos7xdx cos
12.Tìm ho ï ng u y e ân øm :
dx
6 π x cotg π x tg I
2002-2009
1.
4 π
0
xtgxdx
sin 2.
4 π
0
x)dx tg (
3.
2 π
0
dx x) sin 2x(1
sin 4.
4 π
0
dx x) sin x (cos
5.
2 π
0
dx cosx
2xcosx sin
6.
4 π
0
dx 2x sin
x sin
7.
4 π
0
dx 2x sin
cos2x
8.
2 π
0
dx cosx
x 4sin
9.
2 π
0
dx 2cos3x
sin3x
10.
2 π
0
dx 2sinx
cosx
11.
2 π
0
dx x) sin (2
2x sin
12 dx
cosx cos2x
sinx
3
π
π
C Đ Ta øi c hính – Ha ûi q u a n na êm 2007
13.
2 π
0
dx x cos 5sinx
cosxdx
14.
2 π
0
dx 3) cosx x (sin
cos2x
15
2 π
0
xdx sinxcos
x cos
1 16.
2 π
0
dx x 4sin x cos
(12)£11
17.
2 π
0
dx 3cosx
sinx 2x sin
18.
2 π
4 π
dx 2x sin
cosx sinx
19.
6 π
0
dx cos2x
x tg
Ñe thi ÑH-C Ñ kho A na êm 2008
20
cosx) sinx 2(1 2x sin
dx x sin
π
0
π
Ñe thi ÑH-C Ñ kho B na êm 2008
Phương pháp tích phân phần
Khử hàm logarit
1999− 2000
a
1
xlnxdx b
e
e
2 dx
x) (1
lnx
c
2 π
0
dx cosx)
cosxln(1 d
π
2 π
2 1)dx
x x cosxln(
2000-2001
dx x
1) ln(x
1
£12
2001-2002
1 e
1 xlnxdx
e
1 lnxdx x
3 10
1 xdx
xlg
3 π
3
π cos2xdx xsinx
5 π
0
dx x
sin sin xdx
3
2 π
0
7.C ho øm so f(x) = a x+b vơ ùi a2 + b2 > C hư ùng m inh èng :
0 f(x)cosxdx f(x)sinxdx
2
3 π
0
3 π
0
2002-2009
1.
1
2)lnxdx
(x 2.
e
1
lnxdx x
3.
3
2
x)dx (x
ln 4.
1
0
dx ) x (1 xln
5.
1
1)lnxdx
(4x 6,
2
0
dx 1) 7)ln(x (2x
7.
3
0
dx 5) (x xln
8. e
1
xdx ln x
Ñe thi ÑH-C Ñ kho D na êm 2007 9.
e
1 dx x
x ln