Giải các đề thi đại học về Hình học giải tích phẳng từ 2002 đến 2012

Viết phương trình chính tắc của elip E, biết rằng E có độ dài trục lớn bằng 8 và E cắt C tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông.[r]

Giải các đề th i đại học hình học giải tích phẳng từ 2002 đến 2012 Bµi : (Khèi A-2002) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, xét tam giác ABC vuông A, phương trình đường thẳng BC là x  y   , các đỉnh A, B thuộc trục hoành và bán kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp b»ng Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Gi¶i: B thuéc trôc Ox  B(b;0) ; B(BC): x  y    3b    b  VËy B(1;0) AOx  A(a;0) CA  Ox  xC=xA=a,  yC= 3a  VËy C(a; 3a  ) 1 AB AC AC AB  ( AB  AC  BC ).r  r  1 2 AB  AC  BC Thay: AB  a  ; AC= a  ; BC=2 a  vµo (1) råi rót gän ta cã : Ta cã : a    a 1     1  a  2  1 2a    xG   x A  xB  xC   L¹i cã :   y   y  y  y    a  1 B C  G A  74 62  Víi a=  ta ®­îc G  ;  3    1  6   Víi a  2  ta ®­îc G  ;  3   2 a 1 Bµi 2: (Khèi B-2002) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0  , phương trình đường thẳng AB là x  y   và AB=2AD Tìm tọa độ các   đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hoành độ âm Gi¶i: Kẻ IH  AB  phương trình (IH) có dạng: 2x+y+m=0 1  I  ;0   (IH) nên :   m   m  1 Vậy phương trình (IH):2x+y-1=0 2  Lop12.net  x  y  2  H  0;1 ; 2 x  y  Tọa độ H thỏa mãn hệ :  HA  HB  IH  1  ; AB  AD  IH    x  2   x   y  1  x  y    y  Suy tọa độ điểm A, B thỏa mãn hệ :    2  x   x   y  1  4  y  1   y  1     y  Gäi A(-2;0) th× B(2;2)  xC  xI  x A  xC  VËy C(3;0)   yC  yI  y A  yC  C là điểm đối xứng A qua I, nên :   xD  xI  xB  x  1 VËy D(-1;-2)  D  yD  yI  yB  yD  2 D là điểm đối xứng B qua I, nên :  Bµi 3: (Khèi B-2003) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có AB=AC, 2  BAC  900 BiÕt M(1; -1)lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC vµ G  ;0  lµ träng t©m cña tam gi¸c 3  ABC Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C Gi¶i:   MA  3MG   1;3  A  2;0  MA= 10  §­êng th¼ng (BC) qua M(1;-1) , nhËn vec-t¬ MA   1;3 lµm vec-t¬ ph¸p tuyÕn, nªn cã phương trình :   x  1   y  1    x  y   1 B, C cßn thuéc ®­êng trßn:  x  1   y  1  10   2 Gi¶i hÖ( 1), (2) ta ®­îc :  4;0  ;  2; 2  Gäi B(4; 0) th× C(-2; -2) Bµi 4: (Khèi D-2003) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) : 2  x  1   y    và đường thẳng (d): x – y – 1= Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng (d) Tìm tọa độ giao điểm (C) và (C’) HD: Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) Điểm J đối xứng với I qua (d) có tọa độ là (3; 0) Phương trình (C’) là :  x  3  y  Lop12.net  x  12   y  2   x  1; y=0  Tọa độ giao điểm (C) và (C’) thỏa mãn :  2  x = 3; y=2  x  3  y  Bµi 5: (Khèi A-2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(0; 2) và B   3; 1 Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Gi¶i: C¸ch 1:   §­êng th¼ng qua B vµ vu«ng gãc víi OA   0;    §­êng th¼ng quaA vµ vu«ng gãc víi BO   3;1 có phươngtrình: y+1=0 có phươngtrình: x  y    y 1   Gi¶i hÖ :   x   Vậy tọa độ trực tâm H  x  y    y  1   3; 1  Đường trung trực cạnh OB có phương trình: x  y   y 1  x    Vậy tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác  x  y    y   Gi¶i hÖ :  OAB lµ : I   3;1 C¸ch 2:  Gäi H(x;y) lµ trùc t©m cña tam gi¸c OAB      AH  BO  AH BO   x  y        BH  OA  BH OA    y  1   y    y 1   Gi¶i hÖ :   x   Vậy tọa độ trực tâm H  x  y    y  1   3; 1   Trung điểm M OA có tọa độ (0;1)Trung điểm N OB có tọa độ (    Lop12.net 1 ;   2  Gäi I(x;y) lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OAB      MI  OA  MI OA   y     NI OB   x  y   y 1  x    Vậy tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác  x  y    y   Gi¶i hÖ :  OAB lµ : I   3;1 Bµi 6: (Khèi B-2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;1), B(4;-3) Tìm điểm C thuộc đường th¼ng : x - 2y - = cho kho¶ng c¸ch tõ C tíi ®­êng th¼ng AB b»ng Gi¶i :   AB   3; 4   Phương trình đường thẳng AB:  x  1   y  1   x  y    x   2t ; C      C 1  2t; t  y  t (  ) :x - 2y - =    d  C;     1  2t   3t  C  7;3 t     11t   30      43 27  27 t   C  ;   11 11  11  Bµi 7: (Khèi D-2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1;0), B(4;0), C(0;m) với m  Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vu«ng t¹i G HD gi¶i: x A  xB  xC   xG   m  G 1;   Sö dông c«ng thøc :   3  y  y A  yxB  yC G      m m  GA   2;   ; GB   3;   2 3      Tam gi¸c GAB vu«ng t¹i G  GA.GB   m  3 Bµi 8: (Khèi A-2005) Lop12.net Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai dường thẳng  d1  : x  y  0;  d  : x  y   Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc (d1), đỉnhC thuộc (d2) và các đỉnh B, D thuộc trục hoành Gi¶i: A  (d1) nên : A(t; t) C đối xứng với A qua trục Ox nên C(t; -t) Trung điểm I DB có tọa độ I(t; 0) B, D cßn thuéc ®­êng trßn t©m I , b¸n kÝnh t :  x  t   y  t y  Gi¶I hÖ :  x    x  2t  y2  t   x  t  C(t; -t)  (d2) , nªn :2t - t – = 0; t = Nếu xB = thì xD =2 Vậy đỉnh là A(1;1), B(0;0), C(1;-1), D(2;0) Nếu xD = thì xB = Vậy đỉnh là A(1;1), B(2;0), C1;-1), D(0;0) Bµi 9: (Khèi B-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(4;6).Viết phương trình đường trßn (C) tiÕp xóc víi trôc hoµnh t¹i ®iÓmA vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m cña (C) tíi ®iÓm B b»ng Gi¶i: Gäi I lµ t©m ®­êng trßn tiÕp xóc víi trôc hoµnh t¹i A IA  Ox  I(2;t) IB =        t   25  t  1; t=7 2 Víi t = th× I(2;1); R2 = IA2 = VËy (C) : (x – 2)2 +(y – 1)2 = Víi t = th× I (2;7); R2 = 49 VËy (C) : (x – 2)2 +(y – 7)2 = 49 Bµi 10: (Khèi D-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C(2;0) và elip (E) : x2 y  1 Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E) biết hai điểm A, B đối xứng qua trục hoành   x02    NÕu gäi và ABC là tam giác đều.Giải: Từ giả thiết : tọa độ hai điểm A, B là x0 ;         x02   x02   th× B  x0 ;   H lµ trung ®iÓm cña AB th× H  x0 ;0  Tam gi¸c ABC A  x0 ;         nên : HC  AB  HC  AH  HC  AH 2 Lop12.net  x0  2; x  Víi x0  Lo¹i x0=2 (v× x0<2) 2 3 2 3 th× A  ;  ; B  ;   7  7  7 Bµi 11: (Khèi A-2006) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các đường thẳng: d1; x + y + = 0, d2: x – y – = 0, d3: x – 2y = Tìm tọa độ điểm M nằm trên d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 Gi¶i: Ta cã M(2t;t)  d3 d  M , d1   2.d  M , d   3t   t 4  9t  18t   4t  32t  64 y  t  1; t=-11 Víi t = th× M(2;1) Víi t = -11 th× M(-22;-11) Bµi 12: (Khèi B-2006) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường tròn (C): x2+y2 - 2x – 6y + = và điểm M(-3;1) Gọi T1, T2 là các tiếp điểm các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình ®­êng th¼ng T1T2 Gi¶i: (C) cã t©m I(1;3), b¸n kÝnh MI= > R=2M n»m ngoµi ®­êng trßn (C) T   C  Gọi T  x ; y0  là tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thì:    MT.IT    MT   x  3; y  1 , IT   x  1; y  3    MT.IT    x  3  x  1   y  1  y  3   x 02  y 02  2x  4y  Lop12.net T   C   x 02  y 02  2x  6y     2x  y      x  y  2x  4y  MT.IT    0 0 Vậy phương trình T1T2 là 2x + y - = Bµi 13: (Khèi D-2006) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường tròn (C): x2+y2 - 2x – 2y + = và đường thẳng d : x - y +3 = Tìm tọa độ điểm M nằm trên d cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi đường tròn (C) , tiếp xúc ngoài với đường tròn (C) Gi¶i: (C) cã t©m I (1;1) , b¸n kÝnh R=1 x  t (d) :x - y +3 =   M (d)  M  t;3  t  y   t Phương trình đường tròn tâm M , bán kính tiếp xúc ngoài với đường tròn (C) 2  IM    t  1    t  1   t  1; t=-2 VËy M(1;1) hoÆc M(-2;1) Bµi 14: (Khèi A-2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có A(0,2) , B(-2;-2) và C(4;-2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N là trung điểm các cạnh AB và BC Viết phương trình đường tròn qua các điểm H, M, N Gi¶i:  M(-1;0), N(1;-2), AC   4; 4  Gọi H(x;y) là chân đường cao kẻ từ B đến AC thì :   4  x     y    BH.AC   x   H 1;1  x y    y    H  AC  4 4 Lop12.net Phương trình đường tròn cần tìm có dạng: x  y  2ax  2by  c  Vì H, M, N thuộc  a    2a  c     ®­êng trßn trªn,nªn: 2a  4b  c  5  b  2a  2b  c  2   c  2  Vậyphương trình đường tròn cần tìm là: x  y  x  y   Bµi 15: (Khèi B-2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho điểm A(2;2) và các đường thẳng d1 : x  y   0; d : x+y-8=0 Tìm tọa độ các điểm B, C thuộc các đường thẳng d1, d2 cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A Gi¶i:   B(b;2-b) , C(c;8-c); AB   b  2; b  ; AC   c  2;6  c     b    c     b    c   AB.AC  Tõ gi¶ thiÕt ta cã:   2 2  b    b   c      c  AB  AC  b   2  b  1    b  1 c    bc  4b  c   c   1  c       2  b  b  2b  c  8c  18  b  1   c     b      c    c  VËy B  1;3 , C  3;5  HoÆc B  3; 1 ,C  5;3 Bµi 16: (Khèi D-2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường tròn (C):  x  1   y    và đường th¼ng d: 3x-4y+m = Tìm m để trên d có điểm P mà từ đó có thể kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) cho tam giác PAB Gi¶i: (C) cã t©m I(1;-2); B¸n kÝnh R = I Tam giác PAB , nên API  APB  300 H 2  PI=2AI=2R=6  P (C’):  x  1   y    36 B A P Lop12.net  x  12   y  2  36 Tọa độ P thỏa mãn hệ: 3x  4y  m   Theo gi¶ thiÕt hÖ cã nghiÖm nhÊt  (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C’)  kho¶ng c¸ch tõ t©m I cña (C’) tíi (d) b»ng  4. 2   m  m  19    m  11  30    m  41 Bµi 17: (Khèi A-2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,viết phương trình chính tắc (E) có tâm sai vµ h×nh ch÷ nhËt c¬ së cña (E) cã chu vi b»ng 20 Gi¶i: x y2 Phương trình chính tắc (E) có dạng :   (a>b>0) a b c 5a e  c a 3 Chu vi h×nh ch÷ nhËt c¬ së b»ng 20   2a  2b   20  a  b   b   a (0<a<5) a 5 2 c a b    a    a   a  18a  45   a  15; a=3   Lo¹i a = x y2 Với a = thì b = và phương trình chính tắc (E) là:  1 2 Bµi 18: (Khèi B-2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,hãy xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C trªn ®­êng th¼ng AB lµ ®iÓm H(-1;-1), ®­êng ph©n gi¸c góc A có phương trình : x – y + = và đường cao kẻ từ B có phương trình : 4x + 3y – = Gi¶i: Gäi d1: x-y+2=0; d2: 4x+3y-1=0 Gọi K là điểm đối xứng H qua d1 (HK)  d1   HK  : x  y  m  ( HK) qua H(-1;-1) nªn: (-1)+(-1)+m=0  m  VËy (HK): x+y+2=0 Gọi I=(HK)  (d1) thì tọa độ I thỏa mãn: Lop12.net x  y    I  2;0   x  y     x  2.x I  x H  tọa độ K:  K  K  3;1 y  2.y  y  K I H (AC)  d  (AC) : 3x  4y  p  (AC) l¹i qua K(-3;1) nªn: 3.(-3)-4.1+p=0  p=13 VËy (AC): 3x-4y+13=0 3x  4y  13   A  5;7  A=(AC)   d1  nên tọa độ A thỏa mãn:  x  y      (CH) qua H(-1;-1) vµ nhËn AH   6; 8  hay nhËn n   3;4  lµ vtpt VËy (CH): 3(x+1)+4(y+1)=0 hay : (CH): 3x+4y+7=0 3x  4y    10   C  ;   Tọa độ C=(CH)  (AC) thỏa mãn hệ :   4 3x  4y  13  Bµi 19: (Khèi D-2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): y2=16x và điểm A(1;4) Hai điểm phân biệt B, C (B và C khác A) di động trên (P) cho BAC  900 Chứng minh đường thẳng BC luôn qua điểm cố định Gi¶i: DÔ thÊy A thuéc (P)  b2   c2  Vµ B  ;b  ; C  ;c    P  (b  c;b  4;c  4)  16   16    b    c  AB    1;b   , AC    1;c    16   16    bc   AB  AC  AB.AC    b   c    256   b+c=-  68   1 4   c  b BC   b  c;16  16   b2  Đường thẳng (BC) qua điểm B  ;b  và có vtcp u  b  c;16  nên có phương trình:  16  b2   16  x     b  c  y  b    16x   b  c  y  bc    16   bc   y  Thay (1) vµo (2) :16x   68    y  b   bc    4x  17y   bc.  1  * 4  4  Lop12.net 4x  17y   x  17  Phương trình (*) nghiệm đúng với b, c   y   y  4    Hay đường thẳng (BC) luôn qua điểm I(17;-4) cố định Bµi 20: (Khèi A-2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm cña hai ®­êng chÐo AC vµ BD §iÓm M(1;5) thuéc ®­êng th¼ng AB vµ trung ®iÓm E cña cạnh CD thuộc đường thẳng  : x +y – = Viết phương trình đường thẳng AB Gi¶i: x  t Phương trình tham số  :  E   E(t; 5-t) y=5-t   x N  2x I  x M Gọi N là điểm đối xứng M qua I thì   N 11; 1  y N  2y I  y M   NE   t  11;6  t  , IE  (t  6;3  t)   t  NE  IE  NE.IE    t  11 t      t   t    t  13t  42    t    Víi t=6 th× NE   5;0    §­êng th¼ng AB qua ®iÓm M(1;5) , nhËn NE   5;0  lµm vtcp  n AB  (0;5) nªn cã phương trình: 5(y-5)=0  Hay : y =  Víi t=7 th× NE   4; 1   §­êng th¼ng AB qua ®iÓm M(1;5) , nhËn NE   4; 1 lµm vtcp  n AB  (1; 4) nªn cã phương trình: x – – 4(y – 5) = Hay : x – 4y + 19 = Bµi 21: (Khèi B-2009) vµ hai ®­êng th¼ng : 1 : x  y  0;  : x  7y  Xác định tọa dộ tâm K và tính bán kính đường tròn (C1), BiÕt ®­êng trßn (C1) tiÕp xóc víi c¸c ®­êng th¼ng 1 ,  vµ t©m K cña (C1) thuéc ®­êng trßn (C) Gi¶i: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C) : (x -2)2 +y2 = Lop12.net Phương trình các phân giác góc tạo hai đường thẳng 1 ,  :  2x  y  xy x  7y    x  2y  d  d    x    y  K  d1   C    HÖ nµy v« nghiÖm 2x  y    x    y  8 4 K  d2  C    K ;  5 5  x  2y   5 R= d(K; 1 ) =  2 Bài 22: (Khối B-2009) (theo chương trình nâng cao) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác cân ABC cân A(-1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x  y   Xác định tọa độ các đỉnh B, C biết diện tích tam gi¸c ABC b»ng 18 Gi¶i: Gäi (d) lµ ®­êng th¼ng qua A(-1;4) vµ vu«ng gãc víi  , th× : (d) : 1 x  1  1 y     x  y   x  y  7 1  H ;  H   d     Tọa độ H thỏa mãn hệ  2 2 x  y  1  AH.BC  18  BC   BH  2  AH  1    Lop12.net B, C thuộc đường tròn tâm H , bán kính R= 2 Phương trình này có dạng: 2 7  1   x     y    Tọa độ hai điểm B, C thỏa mãn hệ : 2  2  2  7  1  11      x     y      x; y    ;  ,  ;    2  2   2   2   x  y     11  3 5  11  3 5 VËy: nÕu B  ;  th× C  ;   ; nÕu C  ;  th× B  ;    2 2 2  2 2 2 Bµi 23: (Khèi D-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(2;0) là trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A có phương trình: 7x – 2y -3 = và 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng AC Gi¶i: 7x  2y    A 1;2  A   AD    AH   Tọa độ A thỏa mãn hệ :  6x  y    x  2x M  x A M lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB  B  B  3; 2  y  2y  y  B M A  BC  AH suy phương trình BC qua B(3;-2) và có vtpt n  1;6  có dạng:  x  3   y     x  6y   7x  2y   3   D  0;   D   AD    BC   Tọa độ D thỏa mãn hệ :  2   x  6y    x c  2x D  x B  C  3; 1  y  2y  y  C D B (AC) qua A(1;2) và C(-3;-1) nên có phương trình: x 1 y2   3x  4y   3  1  Bµi 24: (Khèi A-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x  y  và d2: 3x  y  Gäi (T) lµ ®­êng trßn tiÕp xóc víi d1 t¹i A, c¾t d t¹i hai ®iÓm B vµ C cho tam gi¸c ABC vuông B Viết phương trình đường tròn (T) , biết tam giác ABC có diện tích b»ng và điểm A có hoành độ dương C Gi¶i: I Lop12.net  A  d1  A a; a   a  0 (AC) qua A vµ (AC)  d1 , nªn :   (AC):  x  a   y  a   x  3y  4a   AC   d  x  3y  4a   C 2a; 2 3a  C Gi¶i hÖ :   3x  y    (AB) qua A vµ (AB)  d , nªn :   (AB) :  x  a   y  a   x  3y  2a   AB   d SABC   x  3y  2a   a a 3  B  ;   B  Tọa độ B thỏa mãn hệ:      3x  y  3       A ; 1 , C   ; 2   I   ;   BA.BC   a  3      2 2   3   IA=1 Phương trình đường tròn (T):  x     y   1 3    Bµi 25: (Khèi B-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, có đỉnh C(-4;1), phân giác góc A có phương trình : x + y – = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 và đỉnh A có hoành độ dương Gi¶i: Gọi D là điểm đối xứng C qua d: x + y – = , thì  x     y  1   Tọa độ D (x;y) thỏa mãn:  x  y   D  4;9       2 Điểm A thuộc đường tròn đường kính CD, nên tọa độ  x  y   A(x;y) tháa m·n :  Víi x>0 nªn : A(4;1) x  y   32    2S AC=8;  AB  ABC  AC B thuộc đường thẳng AD :x=4, suy tọa độ B(4;y) thỏa m·n: AB2  AC2  BC2  36  64  64   y  1  y   y  5 Lop12.net d D B C A VËy B(4;7) hoÆc B(4;-5)   Do d là phân giác góc A nên AB và AD cùng hướng ,suy chọn B(4;7) Lúc đó phương trình đường thẳng BC là: 3x-4y+16=0 Bµi 26: (Khèi D-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1) tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0) Xác định tọa dộ đỉnh C biết C có hoành độ dương Gi¶i: IA= 74  §­êng trßn t©m I, b¸n kÝnh R= 74 ngo¹i tiÕp B C 2 Tam giác ABC có phương trình:  x    y  74 H Do hoành độ A và H 3, nên phương trình AH: I x=3 Do BC  AH nên phương trình BC : y=m ( m  7)  y  m 1  tọa độ B , C thỏa mãn hệ :  2  x    m  74   A 2 Pt(2)  x  4x  m  70  , Phương trình này có nghiệm phân biệt đó có ít nghiệm dương và m  70    Do C có hoành độ dương nên B 2  74  m ;m , C 2  74  m ;m §Ó tÝnh m, ta l­u ý : AC  BH   74  m     74  m    m   (1  m)   m  4m  21   m  7;m  A lo¹i m=-7 Víi m=3 ta cã C( 65  2;3) Bài 26: (Khối D-2010) (theo chương trình nâng cao) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0;2) và  là đường thẳng qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên  Viết phương trình đường thẳng  , biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH Gi¶i: Gọi tọa độ H là (a; b) Độ dài AH  a   b   y A Khoảng cách từ H đến trục Ox là :HB = b  a   b    b 1 H AHC  900  H thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh OA: a   b  1    Gi¶i hÖ (1), (2) ta cã:  H    2;  , H 2   2;  Lop12.net O B x  HoÆc :  Phương trình  có dạng:    1 x   1 x    2y  52 y0 Bµi 27: (Khèi A-2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng  ; x+y+2=0 và đường tròn (C): x  y  4x  2y  Gäi I lµ t©m cña (C), M lµ ®iÓm thuéc  Qua ®iÓm M kÎ c¸c tiÕp tuyến MA, MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M biết tứ giác MAIB cã diÖn tÝch b»ng 10 Gi¶i: §­êng trßn (C) cã t©m I(2;1) b¸n kÝnh IA = 5.2 SAIM   IA.AM   AM  2 5 IM= IA  AM  Đường tròn (C’) tâm I(2;1) bán kính IM=5 có phương trình: 2  x     y  1  25 M  ; M   C'  Tọa độ M thỏa mãn hệ : 2  x     y  1  25  M  2; 4   M  3;1   x  y   Bµi 28: (Khèi B-2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng  : x – y – = và d : 2x – y – 2=0 Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng  ®iÓm M tháa m·n OM.ON = Gi¶i: N d  N(a;2a-2) M   M(b;b-4) 4a O, M, N th¼ng hµng  a(b-4)=(2a-2)b  b  2a 2 OM.ON=8   5a  8a     a     5a  6a  5a  8a    6 2 VËy N(0;-2) hoÆc N  ;  5 5 Bài 29: (Khối B-2011)(theo chương trình nâng cao)  5a  6a   a  0; a= 1  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có dỉnh B  ;1 Đường tròn nội tiếp 2  tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng các điểm D, E, F Cho Lop12.net D(3;1) và đường thẳng EF có phương trình: y-3=0 Tìm tọa độ đỉnh A biết A có tung độ dương Gi¶i: Do y B  y D   Dường thẳng BD có phương trình: y =  BD//EF  Tam giac ABC c©n t¹i A  Ph©n gi¸c AD  BC A Phương trình AD là : x = Ta có BE=BD=  Tọa độ E thỏa mãn hệ: 2  1 25 F E  x     y  1   x  2; x   2  y   C  Hoặc E(-1;3) Lúc đó phương trình BE là: B D 4x+3y-5=0 4x  3y   Tọa độ A thỏa mãn hệ   y   Không thỏa mãn yêu cầu đề bài x   Hoặc E(2;3); Lúc đó phương trình BE là: 4x-3y+1=0 4x  3y    13   A  3;  Tọa độ A thỏa mãn hệ:   3 x  Bµi 30: (Khèi D-2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có dỉnh B  4;1 , trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình: x – y – = Tìm tọa độ các đỉnh A và C Gi¶i: Gọi E là điểm đối xứng B qua d: x – y – = Phương trình đường thẳng BE: x + y + = B x  y    H  1; 2  Gäi H lµ giao cña d vµ BE, th×:  x  y   D H cßn lµ trung ®iÓm cña BE, nªn : H  x  2x H  x B  : E  E  2; 5  G  y E  2y H  y B  5 C A E F     Gäi F lµ trung ®iÓm cña AC, th× : BF  BG  F  ;1 2  Lop12.net Đường thẳng AC qua F, E nên có phương trình: x2 y5   4x  y  13  4x  y  13   A  4;3 Tọa độ A thỏa mãn hệ :  x  y     x C  2x F  x A Tọa độ C thỏa mãn:   C  3; 1 y  2y  y  C F A Bài 30: (Khối D-2011)(theo chương trình nâng cao) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;0) và đường tròn (C): x  y  2x  4y   Viết phương trình đường thẳng  cắt (C) hai điểm M, N cho tam gi¸c AMN vu«ng c©n t¹i A Gi¶i: A (C) cã t©m I(1;-2), R= 10 Do x A  x I  , nên phương trình AI là; x=1 N M Do MN  AI nên phương trình MN có dạng: y=a H Tam gi¸c AMN vu«ng c©n , nªn: MN a MN=2AH=2 d  A;MN   a  MH  I IH= d  I;MN    a Tam gi¸c IMH vu«ng t¹i H  IH  MH  R 2   a   a  10  a  2a    a  1;a  3 Vậy phương trình  là : y=1 y=-3 Bµi 31: (Khèi A-2012) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC,  11  N lµ ®iÓm trªn c¹nh CD cho CN =2ND Gi¶ sö ®iÓm M  ;  vµ ®­êng th¼ng AN  2 có phương trình: 2x – y – = Tìm tọa độ điểm A Gi¶i: x  t  A  t; 3  2t  A thuéc (AN):  B  y  3  2t A 11   3 2 =MH víi H lµ d  M,AN    M ch©n ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ M tíi AN Gäi a lµ c¹nh h×nh vu«ng ABCD H D Lop12.net N C a 10 ; 5a a ; MN= NC2  MC2  AM  AB2  BM  2 AM  AN  MN cos A   2AM.AN  MAN  45  tam gi¸c AMH vu«ng c©n 10 a 10 t¹i H  AM=MH    a 3 2 2 10 A thuéc ®­êng trßn t©m M, b¸n kÝnh AM= 2 2   10   11   Tọa độ A thỏa mãn:  t     2t       2  2     t  1; t   A 1; 1 , A  4;5  Bài 31: (Khối A-2012)(theo chương trình nâng cao) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho dường tròn (C): x  y  Viết phương trình chính tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn và (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành bốn đỉnh hình vuông Th× AN= AD  DN  y O x y2 Phương trình chính tắc (E) có dạng:   a b Ta cã :a=4  a  x -2 M Gọi  C    E   M(x; y) Vì M là đỉnh hình Vu«ng t©m O , nªn : x M  y M M thuéc (C), nªn: x  x   y  x  4 16 M thuéc (E), nªn :    b  16 b x y2 1 Vậy phương trình (E) là:  16 16 Bµi 32: (Khèi B-2012) Lop12.net Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho dường tròn ( C1 ): x  y  ,  C2  : x  y  12x  18  và đường thẳng d: x – y – = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc  C2  , tiếp xóc víi d vµ c¾t  C1  t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B cho AB vu«ng gãc víi d c2 Gi¶i:  C1  có tâm gốc tọa độ O.Gọi I là tâm đường tròn (C) cần tìm Ta cã OI  AB ; AB  d  OI//d  phương trình OI là: x – y =  x  y O A I cßn thuéc  C2  , nªn: 2x  12x  18   x   I  3;3 (C) tiÕp xóc víi d, nªn (C) cã b¸n kÝnh R= d  I,d   2 Vậy phương trình (C) là :  x  3   y  3  2 Bài 33: (Khối B-2012)(theo chương trình nâng cao) c1 I B c d Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC=2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh hình thoi có phương trình : x  y  Viết phương trình chính tắc elip (E) ®i qua c¸c ®iÓm A, B, C, D cña h×nh thoi, biÕt A thuéc Ox Gi¶i: y B H C O A x D a Do AC=2BD, nªn OA=2OB Gäi A(a;0) ; B(0; ) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña O trªn AB, th× OH lµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn néi tiÕp h×nh thoi ABCD 1 1 Ta cã :       a  20  b  2 OH OA OB a a x y2 Vậy phương trình (E) là  1 20 Lop12.net