Do míi lµm quen víi viÖc viÕt ®Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm, ®ång thêi trong thêi gian qua b¶n th©n t«i míi h×nh thµnh ý tëng, ®ång thêi míi chØ bíc ®Çu vËn dông vµo qu¸ tr×nh d¹y häc cña[r]
(1)Mục lục Phần I: Mở đầu 1 Lý chọn đề tài
2 Mục đích nghiên cứu 3 Phơng pháp nghiên cứu 4 Nhiệm vụ đề tài 5 Phạm vi đề tài
6 Đối tợng nghiên cứu phơng pháp tiến hành 7 Dự kiến kết đề tài
PhÇn II: Néi dung
phát triển lực, t học sinh THCS thơng qua việc áp dụng giải tốn bất đẳng thức đại số
1 Một số kiến thức bất đẳng thức
2 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức đại số 3 Một số ứng dụng bất ng thc
Phần III: Thực nghiệm s phạm Phần IV: KÕt luËn
(2)A Mở đầu 1) Lý chọn đề tài.
Tốn học có vị trí đặc biệt việc nâng cao phát triển dân trí Tốn học khơng cung cấp cho học sinh (ngời học Tốn) kỹ tính tốn cần thiết mà điều kiện chủ yếu rèn luyện khả t lôgic, phơng pháp luận khoa học
Trong việc dạy học Tốn việc tìm phơng pháp dạy học giải tập Tốn địi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc, hệ thống tập, sử dụng phơng pháp dạy học để góp phần hình thành phát triển t học sinh Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần đợc bồi dỡng, rèn luyện phẩm chất đạo đức, thao tác t để giải tập Tốn có tốn bất đẳng thức tốn hay giúp học sinh phát huy cao độ tính t duy, trí tuệ cho học sinh
Tuy nhiên giải tốn bất đẳng thức tốn khó phạm kiến thức rộng, đặc biệt với học sinh T.H.C.S Là giáo viên dạy THCS thấy thực trạng dạy tốn bất đẳng thức là:
- Giáo viên dạy bất đẳng thức chữa tập xong, khai thác, phân tích đề tài mở rộng tốn dẫn đến học sinh gặp toán khác chút không giải đợc
- Học sinh thờng ngại học tốn bất đẳng thức kiến thức khơng liền mạch, phơng pháp giải hạn chế, toán bất đẳng thức thờng khó, phải áp dụng
kiến thức khó nh: quy nạp tốn học, phản chứng, nên học sinh hay ngại học sinh cha vận dụng đợc toán bất đẳng thức vào để giải tốn khó nh cực trị, hàm số,
Vì vậy: Phát triển lực t cho học sinh thơng qua việc giải tốn bất đẳng thức cần thiết Trong năm học tập, giảng dạy trờng THCS tơi học hỏi, tích luỹ đợc số kiến thức tốn bất đẳng thức xin đợc trình bày dới góc độ nhỏ
2) Mục đích nghiên cứu. a Đối với giáo viên:
- Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho q trình giảng dạy - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức
b §èi víi häc sinh:
- Giúp học sinh học tập môn tốn nói chung việc giải tập chứng minh bất đẳng thức nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học mơn tốn giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo làm công cụ giải số tập có liên quan đến bất đẳng thức
- Gây đợc hứng thú cho học sinh làm tập SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải đợc số tập
- Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp giải toán bất đẳng thức trình dạy học
- Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phơng pháp vận dụng thành thạo phơng pháp để giải tập
Thơng qua việc giải toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học tốn học tt hn toỏn bt ng thc
3) Phơng pháp nghiªn cøu
- Nghiên cứu lý thuyết thơng qua SGK, tài liệu tham khảo học sinh trờng - Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy giáo, đồng nghiệp
- Sư dơng ph¬ng pháp phân tích tổng hợp
4) Nhim v ca đề tài.
Trong đề tài đa số kiến thức bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức học sinh THCS
Trang bị cho học sinh số phơng pháp giải toán bất đẳng thức, áp dụng để làm tập
Rót mét sè nhËn xÐt vµ chó ý làm phơng pháp
Chn lc, h thống số dạng tập hay gặp cho phù hợp với phơng pháp giải, cách đổi biến
Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị, giải số phơng trình dạng dặc biệt
(3)Phát triển lực t học sinh thơng qua giải tốn bất đẳng thức học sinh lớp lớp
6) Đối tợng nghiên cứu phơng pháp tiến hành
Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 8, lớp luyện tập, ôn tập cuối kỳ, cuối năm, kỳ thi học sinh giỏi thi tuyển vào THPT
Phơng pháp tiến hành: Học sinh có kiến thức bản, đa phơng pháp giải, tập áp dụng, sai lầm hay gặp, tập tự giải ( Học sinh nhà tự làm )
7) Dự kiến kết đề tài.
Khi cha thực đề tài này: Học sinh giải đợc toán đơn giản, hay mắc sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm tập bất đẳng thức
(4)B Néi dung
áp dụng giải toán bất đẳng thức đại số trờng THCS I/ Một số kiến thức c bn v bt ng thc.
1 Định nghĩa:
Cho sè a vµ b ta nãi:
a lín h¬n b, kÝ hiƯu: a > b a - b > a nhá h¬n b, kÝ hiÖu: a < b a - b <
2 Các tính chất bất đẳng thức:
2.1 a > b b < a
2.2 Tính chất bắc cầu: a > b, b > c a > c
2.3 Tính chất đơn điệu phép cộng: Cộng số vào hai vế bất đẳng thức: a > b a + c > b + c
2.4 Cộng vế hai bất đẳng thức chiều đợc bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho: a > b, c > d a + c > b + d
Chú ý: không đợc trừ vế hai bất đẳng thức chiều
2.5 Trừ vế hai bất đẳng thức ngợc chiều đợc bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ
NÕu a > b, c > d th× a - c > b - d
2.6 Tính chất đơn điệu phép nhân:
a) Nhân hai vế bất đẳng thức với số dơng a > b, c > a.c > b.c
b) Nhân hai vế bất đẳng thức với số âm a > b, c < a.c < b.c
2.7 Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm Nếu a > b 0, c > d ac > bd
2.8 Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế bất đẳng thức a > b > an > bn.
a > b an > bn víi n = 2k ( k Z).
2.9 So sánh hai luỹ thừa số với số mũ nguyên dơng Với m > n > 0:
- NÕu a > th× am > an.
- NÕu a = th× am = an.
- NÕu < a < th× am < an.
2.10 Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều bất đẳng thức hai vế dấu Nếu a > b > a < b <
a
b
1
Chú ý: Ngoài bất đẳng thức chặt (a > b) ta cịn gặp bất đẳng thức khơng chặt (a
b) tøc lµ a > b a = b
Trong tính chất nêu nhiều tính chất dấu > (hoặc dấu <) cã thĨ thay bëi dÊu “” ( hc dÊu “”)
3 Các bất đẳng thức cần nhớ.
3.1 a2 0, -a2 Xảy dấu đẳng thức a = 0.
3.2 a Xảy dấu đẳng thức a = 0.
3.3 - a a a Dấu đẳng thức xảy a = 0.
3.4 ab a + b Xảy dấu đẳng thức khhi ab
3.5 a b a - b Xảy dấu dẳng thức khhi ab 0; a b (Các điều kiện cịn diễn đạt lại a b a b 0)
Chú ý: Một số bất đẳng thức quan trọng: a/ a2 + b2 2ab.
b/ (
2
b a
)2 ab hay (a + b)2 4ab (Bất đẳng thức Cô si).
c/
a
1
+
b
1
b a
1
víi a; b > d/
b a
+
a b
(5)e/ (ax + by)2 (a2 + b2).(x2 + y2) (Bất đẳng thức Bunhia - Côpxki)
II Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức đại số 1 Phơng phỏp dựng nh ngha
1.1 Cơ sở toán học:
§Ĩ chøng minh A > B ta chøng minh A - B > §Ĩ chøng minh A < B ta chøng minh A - B < 1.2 VÝ dơ minh ho¹.
VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1 Gi¶i
XÐt hiƯu: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) = [(x-1)(x-2)].[(x-2)(x-3)] = (x2-5x+4)(x2-5x+6) + 1.
Đặt (x2-5x+5) = y, biểu thức đợc viết lại nh sau:
(y-1)(y+1) + = y2-1+1 = y2
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) hay (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1
VÝ dô 2: Chøng minh: 2(x2 + y2)
(x + y)2 Gi¶i
XÐt hiƯu vÕ:
2(x2 + y2) - (x + y)2 = 2x2 + 2y2 - x2 - 2xy - y2 = x2 - 2xy + y2 = (x + y)2
VËy 2(x2 + y2)
(x + y)2
VÝ dơ 3: Chøng minh r»ng nÕu a vµ b lµ số thực không âm thì:
2
b a
ab
Gi¶i
XÐt hiƯu:
2
b a
- ab =
ab b
a =
2 ) ( a b
§óng víi mäi a; b
Dấu đẳng thức xảy a = b
VÝ dô 4: Cho a > 0; b > Chøng minh r»ng: 2
2
3
b a b a
Gi¶i
XÐt hiÖu: A =
8
2
3
2
3
3 b a b a b a ab b a b
a
8
4
2
4
4 2
2
2
2
2
2
b a b a
b ab a
b ab a
b a
b ab a
b ab a b a
V× a > 0; b > 0; (a - b)2 nªn A 0.
VËy
2
2
3
b a b a
1.3 Bài tập tự giải Chứng minh bất đẳng thức sau:
1/
2
2
2
b a b a
2/ x3 + 4x + > 3x2 víi x
3/ Cho a + b = c + d Chøng minh r»ng: c2 + d2 + cd 3ab.
4/ Víi ab1 th×
1
1
1
2
2 b ab
a
2 Phơng pháp dùngcác tính chất bất đẳng thức.
2.1 Cơ sở toán học.
- Xut phỏt t bất đẳng thức biết vận dụng tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức phải chứng minh
(6)VÝ dô 1: Cho a + b > Chøng minh a4 + b4 >
8
Gi¶i
Ta cã a + b > > (1)
Bình phơng vế (1) ta đợc: (a + b)2 > a2 + 2ab + b2 > (2)
Mặt khác: (a - b )2
a2 - 2ab + b2
(3)
Cộng vế (2) (3) ta đợc: 2(a2 + b2) > (a2 + b2) >
2
(4) Bình phơng hai vế (4) ta đợc: a4 + 2a2b2 + b4 >
4
(5) Mặt khác: (a2 - b2)2 a4 - 2a2b2 + b4 (6)
Cộng vế (5) (6) ta đợc: 2(a4 + b4) >
4
Hay a4 + b4 >
8
VÝ dô 2: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:
c b a
1
+
a c b
1
+
b a c
1
a
1
+
b
1
+
c
1
Gi¶i
XÐt
c b a
1
+
a c b
1
víi a + b - c > 0; b + c - a >
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho x; y > 0, ta có:
x
1
+ 1y 1xy x4 y
Vì ta đợc:
c b a
1
+
a c b
1
b
2
=
b
2
T¬ng tù ta cã:
a c b
1
+
b a c
1
c
2
b a c
1
+
c b a
1
a
2
Cộng vế bất đẳng thức chia hai vế cho ta đợc:
c b a
1
+
a c b
1
+
b a c
1
a
1
+
b
1
+
c
1
DÊu b»ng x¶y a = b = c
VÝ dô 3: Chøng minh r»ng nÕu 2
b
a ab2
Giải
Ta có: a b2 a2 2ab b2 a2 b2 2ab
Tõ 2 2 2
b a b
a
Suy 2ab 20 hay 2ab
Mặt khác (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1)
2ab2 (2)
2
b
a (3)
Tõ (1), (2), (3) suy ab2 4 hay ab 2 Nhng ab ab nªn ab2
2.3 Chú ý: Khi sử dụng bất đẳng thức ta cần tránh sai lầm sau: a > b; c > d a - c > b - d
2 a > b; c > d ac > bd (Nhân vế với vế hai bất đẳng thức mà cha biết hai vế có khơng âm hay khơng)
3 Bình phơng hai vế bất đẳng thức mà cha biết hai vế không âm: a > b a2 > b2.
4 Khư mÉu mµ cha biÕt dÊu cđa chóng:
b a
>
d c
ad > bc
5 Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều bất đẳng thức mà cha biết hai vế có dấu hay khơng: a > b
a
1
>
b
1
(7)6 Khi làm trội biểu thức phải chia biểu thức thành nhiều nhóm làm trội nhóm
Ta xÐt vÝ dơ sau:
Chøng minh r»ng: Víi mäi sè tù nhiên n thì: +
2
+
3
+ +
1
n < n
Gọi vế trái bất đẳng thức A, ta có: A = + (
2
+
3
) + ( 2
1
+ +
7
) + ( 3
1
+ +
15
) + + ( 1
1
n + 2 1
1
n )
ở nhóm ta làm trội cách thay phân số nhỏ nhóm b»ng ph©n sè lín
nhất nhóm ta đợc: A < +
2
.2 + 2
1
.4 + 3
1
.8 + + 1
1
n 2n-1 = n
1
1 = n.
2.4 Bài tập tự giải:Chứng minh bất đẳng thức sau: 1/
b a
1
b a
4
(a > 0; b > 0) 2/ a2 + b2 + c2 + d2 4 abcd
3/ Cho a + b =1 Chøng minh r»ng: a4 + b4
8
4/ 2
2
+ 2
1
+ + 12
n < n n1
3 Phơng phỏp bin i tng ng.
3.1 Cơ sở toán häc.
- Để chứng minh bất đẳng thức A B ta biến đổi tơng đơng (dựa vào tính chất bất đẳng thức) A B C D Và cuối đạt dợc bất ng thc ỳng hoc hin
nhiên C D
Vì phép biến đổi tơng đơng nên A B
- Để dùng phép biến đổi tơng đơng ta cần ý đẳng thức sau: (A B)2 A2 2AB B2
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2CA.
3.2 Các ví dụ minh hoạ.
VÝ dô 1: Chøng minnh x2 + x + > víi x.
Gi¶i
Ta cã: x2 + x + = (x2 + 2.x.1 +
4 )
= (x +
2
)2 +
4
> với x.(Điều phải
chøng minh)
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: Víi mäi a, b, c, d, e R th×: a2 + b2 + c2 + d2 + e2
a(b + c + d + e) (1) Gi¶i
Nhân hai vế bất đẳng thức (1) với ta đợc: 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 4a(b + c + d + e).
(a2 - 4ab + 4b2) + (a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2)
(a - 2b)2 + (a - 2c)2 + (a - 2d)2 + (a - 2e)2
(2)
V× (a - 2b)2
a;bR
(a - 2c)2 a;cR
(a - 2d)2 a;dR.
(a - 2e)2 a;eR.
Bất đẳng thức (2) với a;b;c;d;eR Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh
VÝ dô 3: Chøng minh r»ng víi sè bÊt k× a; b; x; y ta cã: (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 (1)
Dấu = xảy ax by.
Gi¶i
Ta cã: (1) a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2
a2x2 + 2abxy + b2y2
(8)Ta thấy bất đẳng thức (2) nên bất đẳng thức (1) 3.3 Chú ý.
- SÏ m¾c sai lầm lời giải thay dấu ” b»ng c¸c dÊu “ ”
Thật vậy, (1) (2) mà bất đẳng thức (2) không cha thể kết luận đợc bất đẳng thức (1) có hay khơng
- Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng, học sinh thờng bỏ qua phép biến đổi tơng đơng có điều kiện dẫn đến khơng chặt chẽ Vì cần lu ý phép biến đổi tơng đơng có điều kiện
3.4 Bµi tập tự giải
1/ Bài 1: So sánh sè A = 3 vµ B = 2
2/ Bµi 2: Chøng minh r»ng víi x > ta cã:
1
x
x
3/ Bµi 3: Chøng minh r»ng: a;b;cR ta cã:
a/ a4 + b4 a3b + ab3.
b/ a2 + b2 + c2
ab + bc + ca
4/ Bµi 4: Cho a Chøng minh r»ng: a5 - a2 - 3a + > 4 Ph¬ng pháp quy nạp toán học
4.1 Cơ sở toán häc.
Nội dung phơng pháp tiên đề quy nạp toán học Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dơng n Nếu: + Mệnh đề với n =
+ Từ giả thiết với n = k (kN) suy đợc mệnh đề với n = k + Thế mệnh đề với số nguyên dơng
Nh để chứng minh mệnh đề T với số nguyên dơng phơng pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành theo bớc:
- B
ớc 1: Chứng minh mệnh đề T(1) (Kiểm tra mệnh đề với n = 1) - B
ớc 2: Giả sử mệnh đề T(k) đúng.
Ta phải chứng minh mệnh đề T(k+1) - B
ớc 3: Kết luận mệnh đề với số nguyên dơng n. 4.2 Một số ví dụ minh hoạ.
VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng: Víi x > -1 th× ( + x)n
+ nx, ú n l s nguyờn
dơng
Gi¶i
+ Với n = 1, ta có bất đẳng thức + x + x + Giả sử bất đẳng thức với n = k tức (1 + x)k
+ kx
Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + Tức phải chứng minh (1 + x)k+1
+ (k + 1)x
ThËt vËy, theo gi¶ thiÕt : + x > Ta cã (1 + x)k(1 + x)
(1 + kx)(1 + x) (1 + x)k+1
+ (k + 1)x + kx2
Mà kx2 > nên + (k + 1)x + kx2
+ (k + 1)x
Từ suy bất đẳng thức phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy x =
VÝ dô 2: Cho a; b số dơng Chứng minh rằng: , 2
2
b a b n
an n n
Gi¶i
+ Với n = ta dễ dàng chứng minh đợc
2
2
2
b a b
a .
+ Giả sử toán với n = k ta có:
2
k k
k b a b
a
(1)
+ Ta ph¶i chøng minh
1
1
2
k k
k b a b
a (2)
ThËt vËy: Nh©n hai vÕ cđa (1) víi
2
b a
(9) b a 2 k k
k b a b
a b a
Hay
b a 2
k k
k b a b
a Để có (2) ta phải chứng minh:
k k k
k b a b a b
a 2 1
(3) ak+1 + bk+1 abk + akb.
ThËt vËy, ta cã: ak+1 + bk+1 - abk - akb = ak(a - b) - bk(a - b)
= (a - b)(ak - bk) = (a - b)2(ak-1 + ak-2b + + abk-2 + bk-1) (V× a; b > 0)
Bất dẳng thức (3)
Mµ
b a 2
k k
k b a b
a 1 2
k k
k b a b
a
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh 4.3 Chú ý.
Khi chứng minh bất đẳng thức phơng pháp phải hiểu kỹ bớc chứng minh, phép biến đổi tơng đơng, tính chất bất đẳng thức
4.4 Bài tập tự giải
1/ Chứng minh r»ng víi n ta cã: 2n > 2n +
2/ Chøng minh r»ng 2n > n4 víi mäi sè tù nhiªn n 10.
5 Phơng pháp dùng bất đẳng thức dã biết.
5.1 Cơ sở toán học.
Trong nhiu bi toỏn việc chứng minh bất đẳng thức đợc gọn ta sử dụng bất đẳng thức đợc chứng minh, bất đẳng thức: Cô si, Bunhia - Cơpxki,
5.2 VÝ dơ minh ho¹.
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: 2
a b b a
víi mäi ab >
Giải Vì a b b a
; dơng nên áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dơng ta đợc:
: 2 a b b a Hay a b b a a b b a a b b a
DÊu “=” x¶y vµ chØ a b
a b b a
VÝ dô 2: Cho a; b tho¶ m·n 3a - 4b = Chøng minh r»ng 3a2 + 4b2 7.
Gi¶i
Cã 3a - 4b = 3.a - 2.2.b =
áp dụng bất đẳng thức Bunhia - Côpxki cho bốn số 3; 3.a; -2; 2b ta đợc:
72 = (3a - 4b)2 = ( 3. 3.a - 2.2.b)2 (3 + 4)(3a2 + 4b2) 7 3a2 + 4b2.
Dấu = xảy
3
a =
2b
a = 1; b = -1
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức Becnuli a R;1qQ thì: (1 + a)q > + q.a.
Giải
Do qQ q > nªn q =
n m
m > n, m; n N
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho m số ta có:
m n m n
ng mèh ng nsèh qa n qa qa
) (1 ) (1 ) .1
1 ( ¹ ¹ (Không xảy dấu = v× + qa > 1)
(10)1 n m qa qa n m
Nhng mn q1.
VËy ta cã 1 1 1 1
1 qa a qa a qa qa q q q
q
5.3 Chó ý:
Khi sử dụng phơng pháp cần ý: Sử dụng bất đẳng thức đợc chứng minh với điều kiện chặt chẽ để có đợc bất đẳng thức cần áp dụng Nếu khơng dẫn đến sai lầm, thiếu sót
VÝ dô: Cho a; b0 Chøng minh r»ng: 2
2 2 a b b a a b b a
(1) Cã mét häc sinh gi¶i nh sau:
Ta cã (1)
4 4 2 2 2 a b b a a b b a a b b a
10
a b b a a b b a (2)
V×
a b b a
(2) với a;b0
Vậy (1) ln với a;b0.(đpcm)
Bài tốn sai chỗ áp dụng bất đẳng thức 2
a b b a
với điều kiện a; b không
Li gii ỳng
Cách 1: Đặt x = 2
a b b a a b b a x a b b a
v× ba ab dấu x2
hoặc x2
Khi đó: 2
2 2 x a b b
a Bất đẳng thức (1)
x x
XÐt bÊt ph¬ng tr×nh
2 t t t t t t
Từ x2 x2 x nằm miền nghiệm bất phơng trình xét Vậy x thoả mãn t2 - 3t + 0 tức x2 3x20 đúng.
Mà (1) x2 3x20 (1) Vậy ta có: 22 22 40
a b b a a b b a C¸ch 2:
(1) 2 2 3
3 2 4 b a ab b a b a b a
4 2 2 3 3
a b a b a b a b ab (V× a2b2 > 0)
0.(2)
4 2 2 2 2 2 2 b b a b a ab b a b a b a ab b a b a b ab a ab b a
(11)1/ Chứng minh số dơnng a; b; c cã tæng a + b + c = th×:111 9
c b a
2/ Cho x;yR,x;y0 vµ 2
y
x Chøng minh r»ng:
2
1 x3y3 Cho a 1;b1 Chøng minh r»ng: a b 1b a 1ab
6 Phơng pháp phản chứng.
6.1 Cơ sở toán học.
Gi mnh cn chứng minh luận đề “A B” Phép toán mệnh đề cho ta:
B A B A B A B
A
Nh muốn phủ định mệnh đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết luận
Ta thờng dùng hình thức chứng minh phản chứng nh sau: 1/ Dùng mệnh đề phản đảo: B A
2/ Phủ định luận đề suy điều trái với giả thiết 3/ Phủ định luận đề suy điều trái
4/ Phủ định luận đề suy điều trái với điều 5/ Phủ định luận đề suy kết luận AB B
6.2 VÝ dô.
VÝ dô 1:Cho a2b2 2 Chøng minh r»ng: a + b 2.
Gi¶i
Gi¶ sư a + b >
Vì hai vế dơng nên bình phơng hai vế ta đợc: (a + b)2 > a2 + 2ab + b2 > (1)
MỈt kh¸c ta cã: 2ab < a2 + b2 a2 + 2ab + b2 2(a2 + b2).
Mµ 2
b
a (gt) 2(a2 + b2)
Do a2 + 2ab + b2 < (2)
Ta thÊy (2) m©u thn víi (1) VËy a + b
VÝ dô 2: Cho sè thùc a; b; c thoả mÃn điều kiện:
0
0 0
abc
ca bc ab
c b a
Chøng minh số a; b; c số dơng
Giải
Vỡ abc > nờn số a; b; c phải có số dơng Giả sử ngợc lại số âm abc < Vơ lí Khơng tính tổng qt ta giả sử a >
Mµ abc > nªn bc >
NÕu b < 0; c < th× b + c < Tõ a + b + c >
0
2
2
2
2
2
bc ac ab c bc b ac bc ab
c bc b ac ab ac ab c bc b c b a c b a c b
Điều trái với giả thiết: ab + ac + bc >
b > 0; c >
VËy c¶ sè a; b; c số dơng 6.3 Chú ý.
Vi nhng tốn chứng minh bất đẳng thức có dạng nh ta nên sử dụng phơng pháp phản chứng Tuy nhiên để sử dụng phơng pháp cần nắm vững cách chứng minh tính chất bất đẳng thức để biến đổi, lập luận
6.4 Bµi tËp tù gi¶i. 1/ Cho a > b > vµ 1
b a
ab
Chøng minh r»ng kh«ng thĨ cã a < 1; b < 2/ Cho hai sè d¬ng a; b thoả mÃn điều kiện a5 + b5 = a3 + b3
(12)3/ Cho ba số dơng a; b; c thoả mÃn điều kiện abc = CMR: abc3
7 Phơng pháp đổi bin.
7.1 Cơ sở toán học.
B1: Đặt biến dựa theo bến cũ
B2: Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới, chứng minh bất đẳng thức theo biến B3: Kết luận trả lời theo biến cũ
7.2 VÝ dô minh ho¹.
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: abcab cab cbc a (1)
Với a; b; c độ dài ba cạnh tam giỏc
Giải
Đặt: b + c - a = x; a + c - b = y; a + b - c = z, ta cã x; y; z >
; ; y x c z x b z y
a
Ta ph¶i chøng minh:
2 xyz y x z x x y
64
) ( 2 2
2 x z x y x y z z y xyz y x z x z y Ta cã: x z xz
xz z y xy y x 4 2
Vì hai vế bất đẳng thức không âm nên ta nhân vế bất đẳng thức ta đợc:
y z 2 x z 2 x y2 64x2y2z2
y zx zx y2 8xyz2
(2) đợc chứng minh Dấu “=” xảy x = y = z Vậy (1) đợc chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c
VÝ dô 2: Cho a + b+ c = Chøng minh r»ng: 2 b c
a Giải
Đặt
3 ; ; z c y b x
a Do a + b + c = nªn x + y + z =
Ta cã:
2
2 2 2 9 3
1 x y z x x y y z z
c b a 3 3
1 2 2 2 2 2 2
x y z x y z x y z
Xảy dấu đẳng thức
3 0
y z a b c
x
VÝ dô 3: Cho
2 ; ;
b c
a vµ a + b + c = CMR:
2
2a b c
Giải
Đặt x = 2a + 1, y = 2b + 1, z = 2c + DÔ thÊy: x0,y 0,z 0
Ta cã: x + y + z = 2(a + b + c) + = Ta ph¶i chøng minh:
) ( , 16 ) ( yz xz xy yz xz xy z y x z y x
MỈt khác ta lại có:
2 ; ; yz z y xz z x xy y x
(13)Chửng tỏ (2) Suy (1) Vậy: 2a1 2b1 2c14
7.3 Chú ý: Khi dùng phơng pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức cần ý: * Đặt biến theo hệ biến cũ, kèm theo điều kiện biến
* Nắm đợc phép biến đổi, bất đẳng thức để áp dụng * Đổi biến cũ
7.4 Bài tập tự giải.
1/ Cho a; b; c ba cạnh tam giác Chứng minh r»ng:
a b c
c b
c a
b a
c b
a
2/Cho a; b; c 0 Chøng minh r»ng:
2 2 2
4 2
4 2
4 a b c
b a
c c a
b c b
a
8 Phơng pháp tam thức bậc 2.
8.1 Cơ sở toán học.
Ta cú thể dùng định lí dấu tam thức bậc 2, dấu nghiệm tam thức bậc để chứng minh bất đẳng thức
Cho tam thøc bËc 2: F(x) = ax2 + bx + c víi b2 4ac
+ NÕu 0 th× a.F(x) > víi xR
+ NÕu 0 th× a.F(x) > víi
a b
x F(x) cïng dÊu víi a
+ NÕu 0 th× x1;x2:x2 x1 Ta có:
- x nằm khoảng nghiệm: x < x1; x > x2 a.F(x) >
- x n»m kho¶ng nghiƯm:x1 <x < x2 a.F(x) <
8.2 VÝ dô minh hoạ.
Ví dụ 1: Cho 1a2;1b2;1c2và a + b + c = CMR: a2 + b2 + c2
Gi¶i
Theo tÝnh chÊt vỊ dÊu cña tam thøc bËc 2: 1a2 a 2a10 (1)
T¬ng tù ta cịng cã: 1b2 b 2b 10 (2)
1c2 c 2c 10 (3)
Cộng vế (1), (2) (3) ta đợc:
a2 - a - + b2 - b - + c2 - c - a2 + b2 + c2 - (a + b + c) 6.
V× a + b + c = nªn a2 + b2 + c2 6.
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Côsi - Bunhia côpxki. Cho n cặp số thực (a1; b1); (a2; b2) (an; bn) Thế thì:
(a1b1 + a2b2+ + anbn) (a12 + a22 + + an2)(b12 + b22 + + bn2)
Dấu = xảy chØ sè kR cho: ka1= b1; ka2= b2; ; kan= bn
Gi¶i:
Víi x R ta cã: (a1x- b1)2 0
(a2x- b2)2 0
(anx- bn)2 0
Từ suy ra: a12x- 2a1b1x+ b120
a22x2- 2a2b2x+ b220
an2x2- 2anbnx+ bn20
Cộng vế bất đẳng thức ta đợc:
(a12 + a22 + + an2)x2- 2(a1b1+ a2b2+ + anbn)+(b12 + b22 + + bn2)
Vế trái tam thức bËc
F(x)= (a1b1+ a2b2+ + anbn)x2- 2(a1b1+ a2b2+ + anbn)+(b12 + b22 + + bn2)
(Víi a12 + a22 + + an2 0) Mµ f(x) 0, x R nên ta có: tức là:= B2- AC Hay: ’= (a1b1+ a2b2+ + anbn)2- (a12 + a22 + + an2)(b12 + b22 + + bn2) 0
(a1b1+ a2b2+ + anbn)2(a12 + a22 + + an2)(b12 + b22 + + bn2)
(Nếu A=0 thì: a1= a2= = an= 0, Do bất đẳng thức cần chứng minh tầm thờng)
DÊu “=” x¶y vµ chØ khi: ’=0 (a1x - b1)= (a2x - b2)= = (anx - bn) =
(14)VÝ dơ 3: Cho c¸c sè: a, b, c, d th¶o m·n: a + d = b + c Chøng minh r»ng: NÕu lÊy sè m cho: 2m > ad bc th× víi mäi x R ta lu«n cã:
(x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + m2
(1)
Giải
Dựa vào giả thiết cho: a + d = b + c nªn ta cã:
(1)
x a d x ad x b c x bc m
Vì a + d = b + c nên đặt: y = x2 - (a + d)x = x2 - (b + c)x ta đợc bất đẳng thức:
2
2
m abcd y bc ad y
m bc y ad y
Đặt F(y)= y2 + (ad + bc)y + abcd + m2
Ta cã: ad bc2 4.1.abcd m2 ad bc2 4m2
y
V× 2mad bc nªn
.0
01 0
4 2 2
y Fy
A bc ad m
Hay (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + m2 (®pcm)
8.3 Chú ý: Khi sử dụng tam thức bậc hai cần ý: +Nắm định lí dấu tam thức bậc
+ Thờng dùng phép biến đổi tơng đơng để đa bất đẳng thức cần chứng minh dạng:
0 ) (
0 ) (
x F
x F
hc
0 ) (
0 ) (
y F
y F
Trong F(x), F(y) tam thức bậc biến x biến y 8.4 Bài tập tự giải
1/ Chứng minh với a R ta có
1
1 2
a a
a a
2/ Cho a; b; c tho¶ m·n hƯ thøc: a2 + b2 + c2 = vµ ab + bc + ca = Chøng minh r»ng:
; ;
a b c
3/ Cho b > c > d Chøng minh r»ng víi mäi a R ta lu«n cã: (a + b + c + d)2 > 8.(ac + bd).
4/ Cho sè a; b; c; d; m; n tho¶ m·n: a2 + b2 + c2 + d2 < m2 + n2 Chøng minh r»ng:
m2 a2 b2n2 c2 d2 mn ac bd2
III Một số ứng dụng bất đẳng thức. A Một số định lí, bất đẳng thức cần dùng
1.Mệnh đề 1: Nếu tổng số thực dơng x1; x2; xn số cho trớc tích chúng
lín nhÊt khi: x1= x2= = xn
*Định lí 1: Nếu có n số dơng x1; x2; xn có tổng S khơng đổi tích
P = x1 x2 .xn có giá trị lớn khi:
2 1
n n
m x m
x m
x
Trong mi số hữu tỉ dơng
2 Mệnh đề 2: (Đối ngẫu): Nếu tích số dơng x1; x2; xn số cho trớc tổng
cđa chóng bÐ nhÊt x1= x2= = xn
*Định lí 2: Nếu n số thực dơng x1; x2; xn có tích P = x1 x2 .xn khơng đổi tổng S = x1
+ x2 + + xn cã giá trị bé
2 1
n n
m x m
x m
x
Trong mi (i = 1; 2; ; n) số hữu tỉ dơng cho trớc
3 Mệnh đề 3: Cho x1; x2; xn R ta có: x1 x2 xn x1x2 xn (1)
Dấu = xảy xi dấu Đặc biệt: x1 x2 x1 x2
B áp dụng
(15)Bài 1: Tìm GTNN cđa hµm sè: 19932 19942
x x
y
Gi¶i
Dễ thấy hàm số xác định với xR Ta có: yx 1993 x 1994 x 19931994 x
áp dụng bất đẳng thức: a1 a2 a1a2 ta đợc: yx 19931994 x 1 y1 Dấu “=” xảy x1993x199401993x1994
Do ymin =
Bµi 2: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y x2 x1 x x1
Gi¶i
Điều kiện để hàm số xác định là: x1
Khi đó: y x 112 x112 x11 x1
1
1
y x x
DÊu b»ng x¶y 1 .2
1
0 1 1 1 1
x
x
x x
VËy ymin =
Bµi 3: Cho x; y liên hệ phơng trình x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = (1).
T×m GTNN cđa biĨu thøc S = x + y +
Gi¶i
Ta cã (1) x2 + 2xy + y2 +2(x + y) + + 5(x + y) + + = -y2.
(x + y)2 + 2(x + y) + 12 + 5(x + y + 1) + = -y2.
(x + y + 1)2 + 5(x + y + 1) + = -y2.
S2 + 5S + = -y2.
S2 + 5S + 0.
Đặt F(S) = S2 + 5S + F(S) cã nghiÖn S = -1; S = -4
Mµ
0 0
) (
a FS
dựa vào dấu tam thức bậc ta có 4S1
VËy GTNN cđa S = x + y + lµ -4
0 5
y x
GTLN cña S = x + y + lµ -1
0 2
y x
2 Tìm điều kiện tham số để phơng trình, hệ phơng trình, tam thức bậc thoả mãn điều kiện đó.
Bµi 1: Cho phơng trình 2 2 2
a x a
x
a Tìm giá trị tham số a để phơng trình
có nghiệm tập hợp số nguyên
Gi¶i
Ta cã: a2x2 a2x2 2a2 a2x2 2a2 a2x2 2a2 A
áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có: 2 2 2 2
a x a a x a
A
Dấu “=” xảy a2x2 - 2a2; - a2x2; 2a2 dấu Do
0 1
0 2
2 2
(16)NÕu a0 th× 2 12 a
x
Để phơng trình có nghiệm nguyên tập hợp số nguyên x2
có thể nhận giá trị số phơng khoảng
; a
VËy
2
4 2 a
a
Bµi 2: Cho tam thøc bËc F(x) = ax2 + bx + c tho¶ m·n: F(1) 1; F(0)1; F(1)1
Chøng minh r»ng:
5 ) (x
F x 1
Gi¶i Ta cã: 2 )1( )1( )0( 2 )1( )1( )0( )1( )1( F F b F F F a c F cb a F cb a F
Thay vào F(x) ta đợc:
(0)1
2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 x F x x F x x F F x F x F x F x F x F F x F F x F F F x F
áp dụng bất đẳng thức (1) giả thiết ta đợc:
2 )
(x x2 x x2 x x2
F
Ta xét trờng hợp sau:
+ Với 0x1 th× 1
2
1 x2 x x2 x x2 x x2 (*)
+ Víi 1x0 th× 1
2
1 x2x x2 x x2 x x2 (**)
Tõ (*) vµ (**) chøng tá víi x 1 ta cã
4 5 ) ( 2
x x x
x F
VËy F(x)
4
(®pcm)
3 Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình h phng trỡnh.
Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: 12 16 13
x y y
x
Gi¶i
Ta thÊy: 12 16 3 22
x x
x
13 22
y y
y
12 16 13
x y y
(17)DÊu “=” x¶y
2 2 9134
41612 3 3134
21612 3
2 2 2
2
y x yy
xx yy
xx
Vậy nghiệm phơng trình cho (x = 2; y = 2) Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:
)2 .( 0 2
)1 .( 0 3 4 2
2 2
2
y y x x
y y x
Gi¶i
Tõ (1) suy ra: 2 12 1
y x x
x (*)
Tõ (2) suy ra:
1 2
)
( 2 2
2
y y x
y x
Mặt khác ta lại có: 1 1
1 2
1
2
2
x x
y y x
y (**)
Tõ (*) vµ (**) x = -1 Thay x = -1 vµo (2) ta cã: y2 – 2y + = y = 1.
VËy hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt (x = -1; y = 1)
c thực nghiệm s phạm- Kết bớc ®Çu
Do làm quen với việc viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm, đồng thời thời gian qua thân tơi hình thành ý tởng, đồng thời bớc đầu vận dụng vào trình dạy học
Trong thời gian tới, tơi thực thử nghiệm đối tợng lớp học cụ thể để có kết so sánh việc vận dụng khơng vận dụng cách có hệ thóng kiến thức BĐT
Mặc dù bớc đầu vận dụng nội dung vào dạy học nhng tơi nhận thấy học sinh có nhiều chuyển biến suy nghĩ cách học nhiều em học sinh.Đặc biệt em học sinh học khá, giỏi mơn Tốn
Trong thời gian tới, tơi tiếp tục tìm hiểu việc vận dụng BĐT vào giải tốn Hình học, nhằm góp phần hồn thành mục tiêu rộng đề tài
D kÕt luËn
Việc phát triển lực, t học sinh THCS thơng qua việc giải tốn bất đẳng thức đại số nội dung tơi trình bày cịn hạn hẹp so với tồn chuyên đề bất đẳng thức Việc áp dụng số phơng pháp giải toán bất đẳng thức vào ch-ơng trình tốn THCS vấn đề rộng, nội dung phong phú đa dạng Nhng trình bày đợc số phơng pháp, số tập chơng trình tốn THCS
Chắc chắn t liệu giúp hiểu cách sâu sắc hơn, việc giải toán bất đẳng thức Qua việc làm đề tài tơi thấy giải tốn bất đẳng thức hoạt động trí tuệ cao gian khổ Nhng đồng thời thêm sáng tỏ nhiều vấn đề bổ ích, ứng dụng sáng tạo, vững tin việc giải toán cấp THCS
Để hồn thành đợc tài tơi nhận đợc giúp đỡ thầy cô giáo, đồng nghiệp, nổ lực thân Tuy cố gắng tìm tịi, nghiên cứu nhng trình độ thời gian có hạn chắn đề tài cịn có thiếu sót, hạn chế, mong đợc góp ý thầy, giáo đồng nghiệp để nội dung đề tài đợc phong phú đầy đủ
(18)E Tµi liƯu tham kh¶o
1/ Tốn nâng cao chuyên đề đại số - Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ Dơng Thuỵ 2/ Toán bồi dỡng học sinh giỏi - Vũ Hữu Bình, Tơn Thân
3/ 400 toán đại số chọn lọc - Vũ Dơng Thuỵ, Trơng Công Thành