Häc sinh ph¶i ®îc thùc hµnh nhiÒu trªn c¬ së vËn dông c¸c kiÕn thøc ®· häc vµo viÖc gi¶i bµi tËp.... Cã mét sè bµi tËp n©ng cao dµnh cho häc sinh kh¸ vµ giái còng ®îc c¸c em vËn dông lµm[r]
(1)Phòng Giáo dục thành phố Vĩnh Yên Trờng THCS Vĩnh Yên
Sáng kiÕn kinh nghiÖm
Sử dụng đẳng thức để giải tập
Gi¸o viên :dơng thị bích thuỷ
Tổ : KHTN
Trờng THCS Vĩnh Yên
Năm học :2007-2008
(2)
I.Lý chọn đề tài:
Giáo dục THCS có vai trị quan trọng GDPT nớc ta Nó cầu nối Tiểu học THCS Giáo dục THCS góp phần hình thành cho học sinh phẩm chất, lực ngời lao động : động, sáng tạo, thích ứng với phát triển đa dạng với tốc độ nhanh xã hội Vì vậy, học sinh phải đợc học tiếp cận với tất môn khoa học bản, mơn tốn đóng vai trị then chốt Với mục tiêu việc dạy mơn tốn trờng THCS em cần đợc cung cấp kiến thức, phơng pháp tốn học phổ thơng, bản, thiết thực Chính em cần đợc tăng cờng luyện tập, rèn luyện kỹ tính tốn vận dụng kiến thức toán học vào đời sống vào môn học khác
Trong chơng trình mơn tốn THCS, mơn Đại số có nhiều ứng dụng Các toán đại số giúp em giải đợc nhiều toán cách thuận lợi đặc biệt nhiều toán liên hệ với thực tiễn sống Đầu học kỳ lớp 8, học sinh đợc học “Bảy đẳng thức đáng nhớ” Các đẳng thức quan trọng nội dung kiến thức mơn tốn khơng lớp mà cịn lớp sau Học đẳng thức, học sinh phải ghi nhớ khắc sâu đợc “Bảy đẳng thức
đáng nhớ” , đồng thời phải biết sử dụng đẳng thức vào giải số dạng tập nh : Rút gọn biểu thức, tìm x, chứng minh đẳng thức…
Tuy nhiên, để nhìn nhận đẳng thức số trờng hợp học sinh lúng túng Để giúp học sinh có phơng pháp biến đổi thành thạo biểu thức có liên quan đến đẳng thức việc cần thiết, thao tác giúp em không mặt kiến thức mà rèn luyện t tốn học tốt
Trong khn khổ chun đề này, tơi đa số ví dụ minh hoạ với tình từ đơn giản đến phức tạp nhằm hình thành kỹ biến đổi biểu thức có vận dụng đến đẳng thức
II.Ph¹m vi :
- Môn Đại số lớp
- Chơng I : Phép nhân phép chia đa thức
- Các toán : Rút gän, tÝnh to¸n, chøng minh…
- Các tập sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo
III.Đối t ợng :
Học sinh lớp IV.Mục ớch :
- Nâng cao chất lợng dạy học
- Hc sinh hiu vận dụng đợc đẳng thức vào giải tập
Phần II : Nội dung đề tài
A.Néi dung :
I Cơ sở lý luận,khoa học đề tài:
Để góp phần hình thành phẩm chất lao động khoa học cần thiết ng-ời lao động mơn tốn học vai trị quan trọng Học sinh học tốn đợc hình thành rèn luyện kỹ tính tốn, biến đổi, đo đạc, vẽ hình Các em rèn luyện khả suy luận hợp lý hợp lô gic, khả quan sát dự đoán; bồi d-ỡng phẩm chất t linh hoạt, độc lập sáng tạo Bớc đầu hình thành khả vận dụng kiến thức toán học vào đời sống môn học khác
(3)- Đảm bảo tính hệ thống, khoa học - Học đôi với hành
- TÝch cùc, tù lùc, say mª häc tËp
- Rèn luyện kỹ tính toán, vận dụng kiến thức toán học vào đời sống vào môn học khác
Để vận dụng đợc đẳng thức vào giải tập yêu cầu học sinh phải nắm đẳng thức sau:
Bảy đẳng thức đáng nhớ : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
3 a2 - b2 = (a + b)(a – b).
4 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
5 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.
6 a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2).
7 a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2).
Một số đẳng thức tổng quát:
(a1+ a2+… + an) = a12 + a22 +…+an2 + 2a1a2 +….+2a1an +….+2an-1an
9 an – bn = (a - b)(an-1+ an-2b +an-3b2 + … + abn-2 + bn )
(víi mäi n nguyên dơng)
10 an + bn = (a + b)(an-1- an-2b +an-3b2 - … – abn-2 + bn )
(víi mäi n lỴ) 11 (a + b)n = an +c
1 an-1b +c2 an-2b2 + … +cn-1 abn-1 + bn
Khi khai triển (a + b)n ta đợc đa thức có n+1 hạng tử, hạng tử đầu là
an, hạng tử cuối bn , hạng tử khác chứa a b; bậc mỗi
hạng tử tập hợp biến a, b n
Các hệ số c1 , c2 , … cn-1 đợc xác định bảng tam giác Pa – xcan nh sau:
n =
n =1 1
n =2
n = 3
n = 4
n = 5 10 10
c1 c2 c3 c4
……… NhËn xÐt :
- Mỗi dòng bắt đầu kết thúc
- Mỗi số dòng kể từ dòng thứ hai số liền cộng với số bên trái số liền
II.§èi t ợng :
Môn Đại số
III.Nội dung, ph ơng pháp nghiên cứu :
Xuất phát từ tập sách giáo khoa kiến thức học để học sinh làm đợc dạng tập : Rút gọn biểu thức, tính giác trị biểu thức, chứng minh đẳng thức
(4) Về nguyên tắc phải từ biết đến cha biết,từ đơn giản đến phức tạp , từ trực quan sinh động đến t tru tng
Phơng pháp nghiên cứu chÝnh lµ:
- Tiến hành giảng dạy theo phơng pháp đổi - Tổng kết rút học kinh nghiệm
- Bíc đầu áp dụng thử nghiệm
3.1 Các ví dụ minh hoạ:
Bài toán 1 : Rút gọn biểu thức
I Cách làm :
- Để rút gọn biểu thức, ta cần vận dụng đẳng thức học để rút gọn
- Các đẳng thức đợc vận dụng theo hai chiều ngợc Chẳng hạn : (A- B)2= A2- 2AB + B2 ngợc lại A2- 2AB + B2 = (A- B)2
II Bµi tËp :
1, Bµi : Rót gän biĨu thøc:
a A = (x2+2)2 – (x +2)(x – 2)(x2 + 4).
b B = (x2-xy + y2)(x - y)(x +y)(x2 + xy+y2).
c C = (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2
d D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 +(b – c - a)2 +(c –a - b )2
Gi¶i:
a, A = (x2+2)2 – (x +2)(x – 2)(x2 + 4).
= x4 + 4x2+4 – (x2 - 4)(x2 + 4).
= x4 + 4x2+4 - x4 +16.
= 4x2 + 20
= 4(x2 +5).
b, B = (x2-xy + y2)(x - y)(x +y)(x2 + xy+y2).
= [(x+y)( (x2-xy + y2)].[(x- y)(x2 + xy+y2)].
= (x3- y3)(x3+y3)
= x6 – y6
c C = (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2
= [(2x+3) – (2x +5)] = ( 2x +3 – 2x – 5)2
= (-2)2 = 4.
d D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 +(b – c - a)2 +(c –a - b )2
= a2 +b2+c2 +2ab + 2ac + 2bc + a2 +b2+c2 -2ab - 2ac + 2bc + a2 +b2+c2
+2ab - 2ac - 2bc
= 4(a2 +b2+c2) +2(ab –ac + bc).
Bài toán 2 : Tính giá trị biểu thức.
I Cách làm : Để tính giá trị biểu thức ta làm theo hai cách : + Thay trực tiếp giá trị biến vào để tính
+ Rút gọn biểu thức sau thay giá trị biến vào để tính II Bài tập :
Bài Tính hợp lý:
A = 2632 + 74 263 + 372
B = 63
2
− 472
2152− 1052
(5)D = (502 + 482 + 462 +….+22) – (492 + 472 +… +12)
Gi¶i :
A = 2632 + 2.37 263 + 372
= (263 + 37)2
= 3002 = 90 000.
B = (63+47)(63 − 47)
(215+105)(215 −105) =
110 16 320 110=
16 320=
1 20
C = (3 +1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
2C = (3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
= (32-1) )(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
=(34-1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
= (38-1)(38+1)(316+1)(332+1)
= (316-1)(316+1)(332+1)
= (332-1)(332+1)
= 364- 1.
⇒C= 364− 1
2
D = (502 + 482 + 462 +….+22) – (492 + 472 +… +12)
= (502- 492) +(482-472) +…….+(22 – 1)
= 50 + 49 + 47 + … +2 +1 = (50+1) 50
2 = 1275
Bµi :
a Cho x = -2 TÝnh giá trị biểu thức:
A = (x-1)3 – 4x(x+1)(x-1) + 3(x-1)(x2+x+1).
b Cho x – y = Tính giá trị biểu thức : B = x(x+2) + y(y-2) – 2xy +65
c Cho x+y = a , x2+y2 = b TÝnh x3+y3 theo a b.
Giải :
a A = (x-1)3 – 4x(x+1)(x-1) + 3(x-1)(x2+x+1)
= x3 – 3x2 + 3x – – 4x(x2-1) + 3(x3 – 1)
= x3 – 3x2 + 3x – – 4x3 + 4x + 3x3 – 3
= – 3x2+7x – 4
Thay x = -2 vào biểu thức, ta đợc : A = -3(-2)2 + 7.(-2) – = -30.
b B = x(x+2) + y(y-2) – 2xy +65 = x2 + 2x + y2 – 2y – 2xy +65
= (x – y)2 + 2(x- y) +65
Thay x – y =5 vào biểu thức, ta đợc : B = 52 + 2.5 + 65 = 100.
c Ta cã :
x3+y3 = (x +y)(x2- xy +y2)
= (x +y)[( x2+y2) – xy]
= a(b – xy) (1)
Tõ x+y = a , x2+y2 = b (x +y)2 = a2
x2+ 2xy + y2 = a2
(6) xy=a2− b (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã : x3
+y3=a(b −a
2− b
2 )=
3 ab − a3
2
Bài toán : Chứng minh đẳng thức
I Cách làm : Để chứng minh đẳng thức ta có nhiều cách để biến đổi: + Biến đổi VT VP ngợc lại
+ Biến đổi VT VP biểu thức + Xét hiệu VT – VP = VP – VT =
II Bµi tËp :
Bµi : Chøng minh r»ng :
a a3+ b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b)
b (a2+b2) (c2+d2) = (ac + bd)2+(ad – bc)2
c 20002+20032+20052+20062 = 20012+20022+20042+20062
Gi¶i :
a a3+ b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b)
VP = (a+b)3 – 3ab(a+b)
= a3 + 3a2 b +3ab2 +b3 – 3a2 b – 3ab2
= a3+ b3
Vậy VT = VP , đẳng thức đợc chứng minh b (a2+b2) (c2+d2) = (ac + bd)2+(ad – bc)2
VT = (a2+b2) (c2+d2) = a2c2+ a2 d2+ b2c2+ b2d2 (1)
VP = (ac + bd)2+(ad – bc)2
= a2c2+2abcd + b2d2 + a2 d2 – 2abcd + b2c2
= a2c2+ a2 d2+ b2c2+ b2d2 (2)
Từ (1) (2) suy VT = VP , đẳng thức đợc chứng minh c.20002+20032+20052+20062 = 20012+20022+20042+20072
Xét hiệu VT – VP , ta đợc :
(20032- 20022) +(20052 - 20042 ) - (20012- 20002 ) – (20072 – 20062)
= 4005 + 4009 – 4001 – 4013 =
VT - VP = , đẳng thức đợc chứng minh Bài : Chứng minh :
a NÕu a + b + c = th× a3+b3+c3 = 3abc
b NÕu a2 – b2 – c2 = th× (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2
Gi¶i :
a NÕu a + b + c = th× a3+b3+c3 = 3abc
Do a + b + c = a = - (b +c) Ta cã a3+b3+c3 = [- (b+c)]3 +b3+c3
= - b3- 3b2c– bc2 -c3 +b3+c3
= - 3b2c– bc2
= -3bc(b+c) = -3bc(-a) = 3abc
VËy nÕu a + b + c = th× a3+b3+c3 = 3abc
b NÕu a2 – b2 – c2 = th× (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2
Tõ a2 – b2 – c2 = c2= a2 - b2
Ta cã (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (5a – 3b) 2 – (4c)2
= 25a2 – 30 ab +9b2 – 16c2
= 25a2 – 30 ab +9b2 – 16(a2 – b2)
= 25a2 – 30 ab +9b2 – 16a2 +16b2
(7)= (3a – 5b)2
VËy nÕu a2 – b2 – c2 = th× (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2
Bµi toán : Tìm x, y
a (x+2)(x2 – 2x +4) – x(x2 +2) = 15
b (x-2)3 – (x- 3)(x2 +3x +9) + 6(x2+1) = 15
c x2 – 2x + y2 + 4y +5 = 0
Gi¶i :
a (x+2)(x2 – 2x +4) – x(x2 +2) = 15
x3 + - x3 – 2x = 15
2x = -7 x = − 7
2
b (x-2)3 – (x- 3)(x2 +3x +9) + 6(x2+1) = 15
x3 – 6x2 + 12x – - x3 + 27 + 6x2 + 12x +6 = 15
24x = -10
x = − 5
12
c x2 – 2x + y2 + 4y +5 = 0
(x2 – 2x+1) +( y2 + 4y +4) = 0
(x-1)2 +(y+2)2 = 0
V× (x-1)2 ≥ víi mäi x, y+2)2 ≥ víi mäi y nªn (x-1)2 +(y+2)2 = 0
⇔
x −1¿2=0 ¿
y+2¿2=0 ¿ ¿{
¿ ¿
⇔ x=1 y=− 2
¿{
Bài toán 5 : Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức:
I Các b ớc giải toán cực trị :
1 Để tìm GTNN biểu thức A(x) tập xác định D ta làm nh sau : + Chứng minh A(x) ≥ m với m số
+ ChØ A(x0) = m (x0 D)
+ KÕt ln GTNN cđa A lµ m x = x0
2 Để tìm GTLN biểu thức A(x) tập xác định D ta làm nh sau : + Chứng minh A(x) ≤ m với m số
+ ChØ A(x0) = m (x0 D)
+ KÕt ln GTLN cđa A lµ m x = x0
II C¸c kiÕn thøc cÇn sư dơng :
x2 ≥ 0; x2n ≥ (n N*) víi mäi x.
Do để tìm GTNN (GTLN) đa thức, ta thờng phải sử dụng đẳng thức bậc hai (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 bin i a thc
về dạng bình phơng tổng bình phơng hiệu III Bµi tËp :
Bµi : Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a A = x2 + 2x + 3
b B = 2x2 – x +5
c C = (x-3)2 + (x+1)2
d D = x2 - 2x + y2 – 4y +
(8)a A = x2 + 2x + 3
= (x+1)2 + 2
V× (x+1)2 ≥ víi mäi x nªn A≥ víi mäi x.
Dấu = xảy x= -1 b B = 2x2 – x +5
B = 2(x2 -
2 x ) +
= 2(x2 – 2.
4 x +
16 ) + –
1 16
= 2(x -
4 )2 +
V× (x -
4 )2 ≥ víi mäi x nªn A ≥
8 víi mäi x
DÊu “=” xảy x=
4
c C = (x-3)2 + (x+1)2
= x2 – 6x + + x2 + 2x + 1
= 2x2 – 4x + 10
= 2(x2 – 2x + 1) + 8
= 2(x-1)2 + 8
Vì (x- 1)2 với x nên A≥ víi mäi x.
DÊu “=” x¶y vµ chØ x=
d D = x2 - 2x + y2 – 4y +
= (x – 1)2 + (y- 2)2 + 1
V× (x- 1)2 ≥ víi mäi x ; (y- 2)2 ≥ víi mäi y nªn A≥ víi mäi x, y.
Dấu = xảy x= vµ y = Bµi : Tìm giá trị lớn biểu thức:
a A = - x2 + 6x - 5
b B = - 3x2 +2x +4
c C= - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y-
Gi¶i :
a A = - x2 + 6x – 5
= - (x2 - 6x + 9) +4
= – (x – 3)2
Vì (x- 3)2 với x nên A ≤ víi mäi x.
DÊu “=” x¶y vµ chØ x=3
b B = - 3x2 +2x +4
= -3(x2 – 2.
3 x +
1
9 ) + +
= 13
3 - 3(x - )2
V× (x-
3 )2 ≥ víi mäi x nªn A ≤ 13
3 víi mäi x
Dấu = xảy x =
3
c C = - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y-
(9)= - [(x- y)2 - 2(x –y) +1] – 3(y – 2)2 + 5
= – [(x – y – 1)2 + 3(y – 2)2 ]
V× (x- y - 1)2 ≥ víi mäi x,y ; (y- 2)2 ≥ víi mäi y nªn A≤ víi mäi x, y.
DÊu “=” xảy
x − y −1=0 y −2=0
¿{
¿
⇔ x=3 y=2
¿{
Bài toán 6 : Sử dụng đẳng thức để giải số toán chia hết.
I KiÕn thøc sư dơng :
Với số nguyên a, b số tự nhiªn n : an - bn chia hÕt cho a – b ( a ≠ b)
a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b ( a ≠ - b)
(a + b)n = BS a + bn (BS a lµ béi a).
Đặc biệt :
(a + 1)n = BS a + 1.
(a - 1)2n = BS a + 1.
(a - b)2n+1 = BS a – 1.
II Bµi tËp
1 Bµi : Chøng minh r»ng: a 251 – chia hÕt cho 7.
b 1719 + 1917 chia hÕt cho 18.
Gi¶i : a Ta cã 251 – = (23)17 – chia hÕt cho 23 – = 7.
b 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 – 1)
V× 1719 + chia hÕt cho 17+1 =18 vµ 1917 – chia hÕt cho 19 -1 = 18
nªn 1719 + 1917 chia hÕt cho 18.
2 Bµi : Tìm số tự nhiên n cho 2n chia hÕt cho 7.
Gi¶i :
- NÕu n = 3k (kN) th× 2n – = 23k – = 8k – chia hÕt cho 7.
- NÕu n = 3k + (kN) th× 2n – = 23k+1 – = 2.( 23k – 1) + = BS + 1.
- NÕu n = 3k +2 (kN) th× 2n – = 23k+2 – = 4.(23k – 1+3 = BS +3.
VËy 2n – chia hÕt cho vµ chØ n = 3k (kN).
Bài toán 7 : Sử dụng đẳng thức để chứng minh số số chính phơng.
Bµi : Cho M lµ tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp Chøng minh r»ng M + số phơng
Giải :
Đặt M = n(n+1)(n+2)(n+3) (n Z) M +1 = n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) +1
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
= (n2 + 3n + 1)2
VËy tÝch cđa sè nguyªn liªn tiếp cộng số phơng Bài : Chøng minh r»ng sè sau lµ sè chÝnh ph¬ng
A = 11 1⏟
2 n
+44 4⏟ n
+1 (n N)
Gi¶i :
Đặt 11 1
n = a 9a + = 10
(10)A = a 10n + a + 4a +
= a(9a+1) + 5a +1 = (3a+1)2 = 33 .3⏟
n − 1 42
Vậy A số phơng
3.2 Các tập tự luyện:
Bài Rút gän biÓu thøc:
a x(x- a)(x + a) – (x + a)(x2 – ax + a2)
b (a+b+c)3 + (a - b – c)3 + (b – c – a)3 + (c – a – b)3
c (x – y – 1)3 – (x – y +1)3 + 6(x –y)2
Bài :Chứng minh đẳng thức:
a (a+b+c)3 - a3 - b3 – c3 = 3(a+b)(a+c)(b+c)
b (a2- b2)2 + (2ab)2 = (a2+b2)2.
Bµi : Cho a + b +c = 2p Chøng minh r»ng : a a2 – b2 – c2 + 2bc = 4(p - b)(p - c)
b p2+ (p – a)2 +(p – b)2 +(p – c)2 = a2 + b2 + c2
Bµi : Chøng minh r»ng sè sau số phơng B = 11 1⏟
n
55 5⏟ n
+1 (n N)
Bài : Tìm GTLN cđa biĨu thøc: A = - x2 + 6x +1
B = - x2 + 4x
C = - 3x2 – 2xy – 2x – y2 + 2y +
D = - x4 + 16x2 + 12x + 9
Bài : Tìm GTNN biểu thức : A = x2 – 3x + 5
B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) C = x4 + x2 – 6x + 9
D = 2x2 + y2 – 2xy – 2x – 2y + 12
Bài : Cho số tự nhiên a b Chøng minh r»ng : a NÕu a2 + b2 chia hết cho a b chia hÕt cho 3.
b NÕu a2 + b2 chia hết cho a b chia hết cho 7.
B øng dơng vµo thùc tiƠn công tác giảng dạy:
Qua quỏ trỡnh giảng dạy cho cho học sinh nhận thấy em ham học Các em tìm tịi, suy nghĩ, chủ động tiếp thu kiến thức dới hớng dẫn giáo viên Các em đợc rèn luyện khả t tốn học kỹ tính toán tơng đối thành thạo
Từ việc nắm chắc, ghi nhớ “Hằng đẳng thức” giúp em biết vận dụng lý thuyết vào giải tập đặc biệt biết vận dụng kiến thức học để giải tập có ứng dụng thực tế cách thành thạo Học sinh biết vận dụng đẳng thức để có lời giải ngắn gọn, khoa học Cũng từ việc nắm đẳng thức giúp em tiếp cận với dạng toán cách tự tin
(11)PhÇn III : kÕt luËn
Thông qua việc thực chuyên đề giúp học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức hơn, phát huy đợc tính tích cực chủ động sáng tạo học tập cho học sinh Giáo viên chuẩn bị hệ thống tập có chất lợng để tạo cho học sinh hứng thú học tập, tự tìm tịi, khám phá để khắc sâu kiến thức , nâng cao chất lợng môn
Các tập chuyên đề phần học sinh thực tơng đối thành thạo trình bày lời giải tốt
Với cách khai thác từ tập sách giáo khoa nên áp dụng đợc với tất đối tợng học sinh Có số tập nâng cao dành cho học sinh giỏi đợc em vận dụng làm tốt Tuy nhiên áp dụng tránh khỏi khiếm khuyết Tôi mong đóng góp bổ sung đồng chí để đề tài đợc hoàn thiện
Tài liệu tham khảo
- SGK to¸n tËp - NXBGD
- Ơn tập Đại số 8- Nguyễn Ngọc Đạm – Vũ Dơng Thuỵ - Toán nâng cao chuyên đề Đại số 8- Vũ Dơng Thuỵ - Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán8- Bùi Văn Tuyên - Nâng cao phát triển Toán – Tập – Vũ Hữu Bình