Phöông phaùp 4: Nhaåm nghieäm vaø söû duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh nghieäm duy nhaát (thöôøng laø söû duïng coâng cuï ñaïo haøm) * Ta thöôøng söû duïng caùc tính chaá[r]
(1)A.NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
I.Kiến thức hàm số mũ: Các định nghóa:
a1 a a a0 1 a 0 a n 1n
a
(n Z ,n 1,a R / ) mn n m
a a ( a 0;m, n N )
m n
m n m n
1 1
a
a a
2 Các tính chất :
a am n am n
m
m n n
a a
a
(a )m n (a )n m am.n (a.b)n a bn n
n n
n
a a
( ) b b
3 Hàm số mũ: Dạng : y a x ( a > , a1 ) Tập xác định : D R
Tập giá trị : T R ( ax 0 x R ) Tính đơn điệu:
* a > : y a x đồng biến R * < a < : y a x nghịch biến R Đồ thị hàm số mũ :
Minh hoïa:
a>1
y=a
xy
x
1
0<a<1
y=a
x yx
(2)II.Kiến thức hàm số Logarit: Định nghóa:
Với a > , a 1 N > dn M a
log N M a N
Điều kiện có nghĩa loga N có nghóa
0
1
0
N
a
a
2 Các tính chất :
log 0a log a 1a log aa M M alog Na N log (N N ) log Na 1 2 a 1log Na 2
1
a a 1 a 2
2 N
log ( ) log N log N
N
log Na .log Na Đặc biệt : log Na 2 2.log Na Công thức đổi số :
log N log b.log Na a b
b a
a log N log N
log b * Hệ quả:
a
b 1 log b
log a
vaø k a
a
1
log N log N k
4 Haøm số logarít: Dạng y log x a ( a > , a ) Tập xác định : D R
Tập giá trị T R Tính đơn điệu:
* a > : y log x a đồng biến R * < a < : y log x a nghịch biến R Đồ thị hàm số lơgarít:
y=log
ax
1 x
y
O
y=log
ax
1
y
(3)B.CÁC DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌNH
,HỆ PHƯƠNG TRÌNH ,HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT:
Chủ đề 1: Các phương pháp giải phương trình mủ thường dùng:
Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : af(x) = ag(x) (đồng
soá) f x( )g x( )
Ví dụ : Giải phương trình:
5x1 5x 2.2x 8.2x
(1)
1 (1) 5.5 2.2 8.2
5
4.5 10.2
2
1
x x x x
x
x x
x
2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trỡnh v dạng toán Ví dụ 1: Giải phương trình sau :
5x2 15x 2.9x 0
(1)
Chia vế cho 9x ta :
25 5
(1) 2
9 3
x x x x
Đặt 0 ó (1) 2 0
2 ( )
x t
t ta c t t
t loai
Với t=1
x
x
Vậy: nghiệm pt x=0
Ví dụ 2: Giải phương trình sau :
35
35
12x x
(1)
Đặt t=
35
x
.Đk :t>0
Do :
6 35
6 35
1
1 35
6 35
1
1
6 35 35
6 35
x x
x t
t
(4)2
1
1
(1) 12
12
6 35
6 35
t t
t t
t t
* Với t 6 35 ta có :
35
x
6 35=
6 35 x2
* Với t 6 35 ta có :
35
x
6 35=
6 35
x2
Vậy nghiệm phương trình x= x=-2
Phương pháp 3: Biến đổi phương trình dạng tích số A.B = Ví dụ : Giải phương trình sau :
8.3x + 3.2x = 24 + 6x (1)
(1) 8.3 8.3 3.2 (2 8) 3(2 8)
2
(2 8)(3 3)
1 3
x x x x x x x
x
x x
x
x x
4 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm (thường sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng tính chất sau:
Tính chất : Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khỏang (a;b) phương trình f(x) = C có khơng q nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0 (a;b) cho
f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C)
Tính chất : Nếu hàm f tăng khỏang (a;b) hàm g hàm hàm giảm khỏang (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0 (a;b) cho f(x0) = g(x0)
nghiệm phương trình f(x) = g(x)) Ví dụ : Giải phương trình sau ;
3x x (1)
Từ (1) 3x x
Vế trái y 3x
(là hàm đồng biến) y' 3 ln 0x
Vế phải y=4-x (là hàm nghịch biến) y' 1 0
Nên pt có nghiệm x=1
5.Phương pháp 5: Lấy Logarit hóa hai vế phương trình
Tỉng qu¸t: f(x) ( ) f(x) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a a a
( )
a a a
log log ( ) ( ).log
b f x log b log f x log b
f x g x f x g x
f x
a b a b
a b a b f x g x b
b
a a
a
(5)(1) 3x x
log 32 x x 22
2 2
2
2
log log log log
(1 log 3) 2
log
x x
x
x x x
Chủ đề 2: Các phương pháp giải phương trình Logarit thường dùng:
1.Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng :a a
log M log N (đồng số) M N (M>0,N>0,0a1) Ví dụ : Giải phương trình log (x 6) 32 (1)đ
(1)
3
2
log ( 6) log
2
6
x x
x x
x
Vậy pt có nghiệm x=2
2.Phương pháp 2: Đưa dạng :
)(
1
0
)(
log
xf
a
a
b
xf
b
a
Ví dụ : Giải phương trình:ln(2x+1)-3=0 (1)
3
3
(1) ln(2 1)
3
e
x x e x
Vậy pt có nghệm x= 1
3
e
3.Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số.
Phương trình có dạng bậc hai ,bậc ba theo hàm Logarit Khi đặt ẩn phụ đưa phương trình đa thức
Ví dụ : Giải phương trình sau :
log log log 243 04x 2x (1)
Điều kiện :
0
x x x
8
1
1
log 4x log 2x
2 2
3 0
log log x log log x
2
3
0 log x log x
(6)Đặt tlog2x với (t1;t2) ,ta có phương trình
3
0 t t
6 t 2 t 5(2 t)(1 t)
2
5 19 12
3
t t
t t
*Với t=-3 ta có
log
8
x x
Với
t ta có
4
4
log
5
x x
Vậy nghiệm phương trình x 23
;x245
4 Phương pháp 4: Biến đổi phương trình dạng tích số A.B = Ví dụ : Giải phương trình
2 7 2 7
log x 2.log x log x.log x (1)
(1)
7 2
2
2
log (log 2) log (2 log )(1 log )
2 log
1 log
x x x
x x
x x
x x
vậy pt có nghiệm x=4 x=7
Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy (thường sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng tính chất sau:
Tính chất : Nếu hàm số f tăng ( giảm ) kho¶ng (a;b) phương
trình f(x) = C có khơng q nghiệm kho¶ng (a;b) ( tồn
x0 (a;b) cho
f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C)
Tính chất :Nếu hàm f tăng kho¶ng (a;b) hàm g hàm hàm
giảm khỏang (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm kho¶ng (a;b)
do tồn x0 (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm
phương trình f(x) = g(x)) Ví dụ : Giải phương trình
log3xx11 (1) Điều kiện : x>0
(7)Ta thấy hàm số y=log3 x có '
0 ln
y x
với x>0 Hàm số đồng biến tập xác định *Hàm số y=11-x có y' 1
Suy hàm số nghịch biến R
Suy pt log3xx11 có nghiệm
Mà x=9 lại nghiệm pt nên pt có nghiệm x=9
Chủ đề 3: Các phương pháp giải bất phương trình mủ thường dùng:
Các Định Lý Cơ Bản:Định lý 1: Với < a 1 : aM = aN M = N
Định lý 2: Với < a <1 : aM < aN M > N (nghịch biến)
Định lý 3: Với a > : aM < aN M < N (đồng biến )
Định lý 4: Với < a 1 M > 0;N > : loga M = loga N M = N Định lý 5: Với < a <1 : loga M < loga N M >N (nghịch biến)
Định lý 6: Với a > : loga M < loga N M < N (đồng biến)
1. Phương pháp : Biến đổi phương trình dạng : af x( ) ag x( )
( , , )
( ) ( )
0
1
( )
( )
0
f x g x
a
a
a
a
f x
g x
Ví dụ : Giải bất phương trình sau :
x 2x2 1 x x 1
3 ( )
3
(1)
ĐK:
2
x x
* x-1
0 x
1 Kết hợp với đk ta có: x 2 Khi x2(1)
3 2
x x
3 22 31
x x
2
x
x
x
2* x-1 < Kết hợp với đk ta có: x1 Khi
x
1(1)
1 2
3
x x
x
x 2x 1 2x
3
3 2
(8) x2 2x 2x
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
0
1
2
3
1
2
x
x
x
x
1Vậy tập nghiệm BPT
(1) là:
x
2V
x
12 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số. Ví dụ : Giải phương trình sau :
22x 3.(2 ) 32 0x 2
22x - 12.2x + 32 < (1)
Đặt t = 2x (t > 0) (1) t2 – 12.t + 32 <
< t < 8
22 < 2x < 23
< x < 3
Vậy BPT có nghiệm < x <
Chủ đề 4: Các phương pháp giải bất phương trình Logarit thường dùng:
1. Phương pháp : Biến đổi phương trình dạng :
a a
a
log f(x) log g(x) f(x) 0;g(x) (a 1) f(x) g(x)
a a
0 a
log f(x) log g(x) f(x) 0;g(x) (a 1) f(x) g(x) Ví dụ 1:Giải bất phương trình sau :
8
2 2log ( 2) log ( 3)
3
x x (1)
8
3
(1) 2
2log ( 2) log ( 3)
x
x x
8 8
3
2log ( 2) log log ( 3)
x
x x
(9)
2
2
3
( 2) 4( 3) 16
3 3
4
4
x x
x x x x
x x x x
Vậy Nghiệm cuả bất phương trình x
3; 4
4;
Ví dụ 2:Giải bất phương trình sau :
2,4
log log 3 cos
4 x
x 3 cos log log x
logcos 21
3 x 4 cos log log x cosx
2
cosx k x k2
k
6 6 x
2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số. Ví dụ : Giải bất phương trình sau :
3 2 2 log
log x x x x (1)
Điều kiện:
log 2 x x x x 1 x V x x x
Đặt log ( 0)
2
1
2
t
t x x
Bất phương trình (1) trở thành: t 1 2t2
2
t t
t
0t1
log
2
0
3
2
x x
log
2
0
3
2
(10)
9
2
4
3
1
2
4
3
2
x
x
x
x
Vậy tập nghiệm bất phương trình là:
3 1
,
7
x V
x
3.Phương pháp :Lấy Logarit hóa hai BPT
Tỉng qu¸t:
f(x) ( )( ) ( )
1
2 b f x
f x g x
a b
a b
a
Ví dụ :Giải bất phương trình sau:
a) 2x.3x+1 <24
2x.3x.3 < 24
6x < 8
6
6 log
log x
log
x
b)572 x 752 x
72x 752x
5
5 log
log
72x 52xlog75
log
7
x
7
log log x
2 loglog75
5
(11)Chủ đề 5:Hệ phương trình mũ logarit
* Các phương pháp giải bản:1.Phương pháp cộng tìm mối liên hệ x y sau vào hệ tìm x,y
2.Phương pháp thế, từ phương trình giải tìm mối liên hệ x,y sau vào phương trình cịn lại tìm x,y
3.Đặt ẩn phụ, đưa dạng tổng tích, giải tìm x,y
Một số ví dụ:
VD1:
2
)2
2(
log
2
)2
2(
log
2x
y
y
x
y x
(I)
Giải
ĐK: , , , , 2 0, 2
x y x y y x
y x
Hệ PT (I)
)2(0
2
)1(0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xy
yx
xx
y
xy
x
Lấy (1) trừ (2) ta được:
0 ) )(
(
) (
2
y x y x y x y
x
0
0
y x
y x
*) TH: x y0 xy
Khi đó: (1)
2
1
0
2
2
y
x
y
x
x
x
*) TH: xy10 (loại)
Vậy: xy2
VD2:
6
3.
2
5
3
2
y y x
y y x
(12)Đặt
y y x
v
u
3
2
ĐK: u,v0
Ta được:
3
2
2.
5
v
u
vu
vu
2
3
v
u
*) TH:
3
2
v
u
1
0
1
1
33
22
y
x
y
yx
y
yx
*) TH:
2
3
v
u
2log
2log3log
2log
3log
23
32
3
32
3
2
y
x
y
yx
(13)VD3:
5
log
log
8
22
x
y
xy
(II) Giải
ĐK: x,y0
Hệ (II)
5
log
log
8
log
log
2 2 2y
x
xy
5
log
log
3
log
log
2 2 2y
x
y
x
Đặt ulog2x ,vlog2 y (14)VD4:
)2
(
3
2
2
)1(
log
log
y x
x
y
xy
y
Giải
ĐK: x,y0, x,y1
(1) logy xy logx y
2
(logyx 1) logxy logyx 2logxy
2
Đặt t
t y
tlogx 112
2
1
1
0
1
2
2t
t
t
t
*) t1 logx y 1 xy
Khi từ (2):
2 3
2x y x x
2 log2 x y *)
x y y
t x
1
1 log
2
Khi từ: 2x 2y 3 2x 21x 3
x1 : 2x21x 213 (ptvn)
x1 : 2x21x 123 (ptvn)
Vậy:
2 log2 y
x
Chủ đề :Hệ bất phương trình mũ,Logarit
* Các phương pháp giải bản:1.Giải bất phương trình.Sau lấy giao nghiệm 2.Áp dụng bất đẳng thức Côsi
Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình sau :
4 (1)
1 (2)
x y
x y
Áp dụng BĐT Côsi ta có : 4x 4y 2 4x 4y 2 4x y 2 41 1
Mà theo (1) ta có 4x 4y
4x 4y
Khi đó
:
4x y
2
2x2
2y2
1 (15)1 2
x y
Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình sau :
2
2
log
(1)
log log
x x
x x x
Điều kiện
:
0
2
x x
x x
0
x
11
x x
x x x
2
1 2 2
x x
x x x x
2
2
2
2
4 ( 2)
x x x
x x x
x
x x x x
2
0
3
x
x x
1
4
3 12 12
3
x
x
12x
Ví dụ 3: Giải hệ bất phương trình sau :
1
4
4 3.4 (1)
3 log (2)
x y y
x y
Từ (2)
x3y log 341 log
3
x y
Theo BĐT Cơ si ta có :
41
log
1 3
4 3.4 3.4 3.4
3
x y y x y
Vậy
:
2
4
x y 13.4
2y12
1
4
x y 3.4
y2
(16)Khi đó
:
1 1
4 3.4
4 3.4
x y y
x y y
4
1
3.4
1
x y y
4 x y y 1 log
2 3
4
4
4
4
x y y
4 1 log 2 1 log 2 x y Vậy nghiệm hệ
:
4 1 log 2 1 log 2 x y
Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau :
4
12.2
32 log (2
1) (1)
x x
x
Điều kiện :2 1
2
x x
Từ BPT (1):
2
2
4 12.2 32
( ) log (2 1)
4 12.2 32
( ) log (2 1)
x x x x I x II x 2
2
12.2
32 0
( )
log (2
1) 0
x x
I
x
2 1
x x
2
3
2
3
1
x
x
x
22 12.2 32
( )
log (2 1)
x x II x
2
2
4
3
2
8
1
2
1 1
2
x xx
x
x
x
x Vậy nghiệm BPT
:
1
2
(17)Chủ đề 7:Bài toán chứa tham số
Phương pháp :
Biến đổi phương trình ,đưa phương trình Đặt ẩn phụ ,tìm miền giá trị ẩn phụ
Đưa phương trình đại số
Dùng phương pháp tam thức bậc hai phương pháp đạo hàm phương
pháp đồ thị để giải tốn
Cần ơn lại kiến thức sau :
1 Dấu nghiệm số phương trình sau : ax2 bx c
=0 (a0) (1)
(1) Có nghiệm trái dấu x1 0 x2 P0
(1) Có nghiệm dương phân biệt
0
0
0
x x P
S
(18)(1)Có nghiệm dương phân biệt
0
0
0
x x P
S
Vị trí số so với x1 x2
Cho f(x)= ax2 bx c
(a0)
a.f( ) <0 f x( )có x1 , x2 phân biệt x1 < < x2
1
0 ( )
x x a f
S
0 ( )
x x a f
S
1
( ) ( )
a f
x x
a f
( ) ( )
a f
x x
a f
1
1
( ) ( )
x x
f f
x x
Qui ước : x1 x2
3.Điều kiện để phương trình bậc có nghiệm lớn ( nhỏ ) số cho trước Xét phương trình :
ax bx c =0 (a0) (1) số cho trước
(1) có nghiệm lớn hay
1
1
1
( ) ( (2), (3) ) (2)
0 (3)
( ) ( ( 4) ) (4)
2
a f x do x x y
x x
a f do
x x
S
(1) có nghiệm lớn
1
1
1
( )
( ) 0
( )
f S
x x
x x a f
x x
a f S
(19)1
1
1
1
( )
( ) 0
f S
x x
x x a f
x x S x x
(1) Có nghiệm lớn
1
1
1
( )
( ) 0
f S
x x
x x a f
x x S
Ví dụ : Với giá trị m phương trình sau có nghiệm: 4x 4m.(2x 1)0 (*) * Cách 1:Đưa phương trình đại số bản
Đặt t = 2x (t > 0), (*) trở thành: t2 – 4mt + 4m = (**)
(**) có nghiệm dương
' 0 0 P S P
4
4 4 m m m m m m m
Cách 2: Sử dụng cơng cụ đạo hàm
Ví dụ 1: Với giá trị m phương trình sau có nghiệm: 4x 4m.(2x 1)0 (*)
Đặt t = 2x (t > 0), (*) trở thành: t2 – 4mt + 4m = (**)
(**) ta co: ( 0, 1)
4 )
(
t t
t t m t f
22 ' 4 ) ( t t t t f
2
0
0
)(
'
t
t
t
f
Bảng biến thiên:
Miền giá trị T =
;0
1;
Điều kiện cần đủ để f(t) = m có nghiệm m T
0
m V m
t
t f'0
t f' ) (t f _ +
t
f
' (20)Ví dụ :Giải biện luận phương trình sau:
5
log mlogxmlogxm (1)
Điều kiện :
0
m x x x
5
1 (1) log log 5.log
log
x
m
m m
x
5
1 log log 5.log
log log
x
m m
m m
x
5
5
log
log
log log 5.logm log 5m
m m
x x
5
5
5
log log
log (2)
log log
m m
m
x x
* Nếu log5m 0 m1 (2) với x thỏa :
0
x x x
*Nếu
0
m m
(2) 5
1
1
log x log x
5 5
2
5
log (log 1) log log
log log
x x x x
x x
1 5
1 5
1
log 5
2
log
2
x x
x x
Kết Luận :
Nếu m<0 phương trình (1) khơng xác định Nếu m=1 phương trình (1) với x thỏa :
0
x x x
Nếu
m m
(1) có nghiệm :
1 5
2 5
x x
Ví dụ : Cho 0<a <1 Hãy giải biện luận bất phương trình sau:
xlogax1 a x2 (1) Đặt tlogax x at
.Ta có :
2 2(1) at t a a t at t at
(21)2
2
1
0
2
a t t t
a t t t
2
1
0
2
a t
a t
2
1
(log )
0
(log )
a
a
a x a
x
2
2
2
1
log
1
log
0
0
2 log
a
a
a
a a
x x a
a a
x x a
a a
x a x a
Kết luận :
Nếu 0<a<1 (1) có nghiệm a x a Nếu a>1 (1) có nghiệm 0 x a
x a
Ví dụ : Giải biện luận theo m bất phương trình sau :
log (4 2) 2log (1 ) (1)
m x m x
Nếu 0<m<1 thì :
2 2
2
(4 ) (1 )
(1) 4
1
x x x x x
x x
x x
2
1
2
2 1 7
(1) 2
2
1
1
x
x x
x x
x x
x
1
2
2
x
Nếu m>1 thì:
2
2 1 7 1 7
(1) 2 2 2
2
1
x x
x x
x x
1
1
2 x
Kết luận :
Nếu 0<m<1 nghiệm Bpt
x
Nếu m>1 nghiệm Bpt
2 x
(22)Ví dụ 5 :Cho hệ
2
3
2
3 3
(1)
3
3
x y x y
x y
y m x
Định m để hệ có nghiệm
Giải :
2
2 (3 )
3 3
(1)
3 3
x y x y
x y x y m x
Đặt
2
3
3
x y x y
u v
ta :
3
(2)
1
3a 3a
u v u v
u v
v v
Ta có :u 3 v0 0 v
Hệ cho có nghiệm (2) có nghiệm thỏa mãn: 0 v
Xét hàm số : f(v) =3-v +1
v với 0<v<
'
2
1 0
f v voi v
v
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên , suy (2) có nghiệm
3
3
m
m
Vậy giá trị m cần tìm :m>-1 v
'
f v
f v
0
+