BẤT ĐẲNG THỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Khái niệm: A > B Û A – B > 0 ; A C Þ A > C 2) A > B Û A + C > B + C. 3) A > B Û AC > BC nếu C > 0 và AC D Û A+C>B+D. 5)A>B>0vC>D>0 ịA.C>B.D 6)A>B>0vn ẻ N* ịAn >Bn. 7)A>B>0vn ẻ N Þ n A > n B 1 1 8) A > B Þ 0. Hoặc: > nếu AB b Û a – b > 0 Biết đổi tương đương bất đẳng thức phải chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng Dùng các tính chất của bất đẳng thức để suy từ bất đẳng thức đã biết là đúng đến bất đẳng thức phải chứng minh B BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh: a + b ≥ ab (1) "a, b > 0.(Bất đẳng thức Côsi) HD: (1) Û a + b – ab = ( a- b 2 ) ³ 0 (đúng). Bài 2: Chứng minh: (a + b) 2 ≥ 4ab. HD: Biến đổi đưa về (a – b) 2 ≥ 0. Bài 3: Chứng minh: a 2 + b 2 ≥ 2ab. HD: Xét hiệu, đưa về (a – b) 2 ≥ 0. Bài 4: Chứng minh: (ac + bd) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ). (Bất đẳng thức Bunhiaxcopky). HD: Biến đổi hiệu (ac + bd) 2 – (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) thành (ay – bx) 2 . Bài 5: Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca HD: Biến đổi hiệu a 2 + b 2 + c 2 – (ab + bc + ca) thành (a – b) 2 + (b – c) 2 + (c – a) 2 Bài 6: Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 1 ≥ a + b + c + d. 2 2 1ö æ 1ö æ 1ö æ 1 ö æ HD: Biến đổi a +b +c +d +1 a+b+c+dthnh:ỗ a - ữ + ç b - ÷ + ç c - ÷ + ç d - ÷ 2ø è 2ø è 2ø è ø è 2 2 2 2 Bài 7: Chứng minh: a + b + c +d a(b+c+d+e) 2 2 ổ b ữử ổỗ c ữử ổỗ d ửữ ổỗ eửữ ỗ HD:Bin di vdng: ỗa - ữữ + ỗa - ữữ + ỗa - ữữ + ỗa - ữữ ỗố ứ ỗố ứ ỗố ứ ỗố ứ 2 2 2 2 2 2 Bài 8: Chứng minh: (ax + by + cz) ≤ (a + b + c )(x + y + z 2 ) HD: Biến đổi về dạng: (ay – bx) 2 + (az – cx) 2 + (bz – cy) 2 ≥ 0 Bài 9: Chứng minh a 4 + b 4 ≥ ab 3 + a 3 b "a, b ≥ 0. 2 é b ư÷ 3b 2 ùú 2 2 2 ờổ ỗ HD:Bin i,phõntớch thnh:(a b) (a +ab+b )= (a - b) ờỗa + ữữ + 0, "a, b. ỗ 2ứ ỳỳỷ ờởố a + b ổỗ a + bữử Bi10: Chngminh: ỗ ỗố ữữứ HD:Xộthiu,phõntớch thnh nhõnt ịpcm. 2 2 2 2 a + b 2 æ a + bử Bi11: Chngminh: ỗ ữ ố ø HD: Quy đồng mẫu, xét hiệu đưa về dạng: (a – b) 2 ≥ 0 2 a + b + c2 ổ a + b + cử ỗ ữ 3 è ø 2 2 HD: Xét hiệu, đưa về dạng: (a – b) + (b – c) + (c – a) 2 ≥ 0. x+y 4 ³ Bài 13: Chứng minh: "x, y > 0. xy x + y HD: Biến đổi về (x + y) 2 ≥ 4xy Þ tương tự bài 2. Bài 14: Trong hai số sau số nào lớn hơn? Vì sao? A = 2005 + 2007 và B = 2006 HD: Chứng minh A 2 ≥ B 2 Þ đpcm. 1 Bài 15: Chứng minh: a 2 + b 2 ≥ a + b - 2 2 æ ữử ổỗ 1ửữ ỗ HD:Bin i av ỗa - ữữ + ỗ b - ữữ ỗố ứ ỗố ứ Bi12: Chngminh: a + a + 3 Bài 16: Chứng minh: 2 £ 2 a + 1 2 2 HD: Quy đồng: 2a + 2a + 2 ≤ 3a + 3 Û (a – 1) 2 . 1 1 Bài 17: Chứng minh: a) a + ³ 2, "a > 0 . b) a + £ -2, "a 0 nên: a 2 – 2a + 1 ≥ 0 Û (a – 1) 2 ≥ 0. b) Vì a 0 thì: + ³ 2 . b) Nếu ab 0 Þ đpcm. b) Chia cả hai vế của a 2 + b 2 ≥ –2ab cho ab 0,b>0,c>0.Chngminh: + + 2ỗỗỗ + + ữữữ è a b c ø bc ca ab HD: Do a, b, c > 0. Thực hiện quy đồng, biến đổi về: (a + b + c) 2 ≥ 0 (đúng). 1 2 Bài 21: Cho ab ≥ 1. Chứng minh: + ³ (*). 2 + ab 1+ a + b + a + b 2 2 HD: (*) Û ³ Û (a – b) 2 (1 – ab) ≤ 0 (đúng). 2 2 + ab 1+ a + b + a b æ x y ö x y 2 Bài 22: Cho x, y ≠ 0. Chứng minh: + + 3ỗỗ + ữữữ ữ y x ốỗ y xứ x y + =t ( | t | ≥ 2 ). Bất đẳng thức viết lại: t 2 – 3t + 2 ≥ 0 Û (t – 1)(t – 2) ≥ 0, "| t | ≥ 2. y x Bài 23: Chứng minh: (a – 1)(a – 3)(a – 5)(a – 7) + 15 ≥ 0, "a. HD: BĐT Û t(t + 6) + 15 ≥ 0 Û (t + 3) 2 + 6 > 0, "a Bài 24: Chứng minh: (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 10 > 0, "x. HD: Làm tương tự bài 23. Bài 25: Cho a, b ≥ 0. Chứng minh: a 3 + b 3 ≥ ab(a + b). HD: Xét hiệu đưa về bất đẳng thức: (x + y)(x – y) 2 ≥ 0 HD: Đặt CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) 2x 2 + 3x + 1. b) x 2 – 2x + 5. c) 4x 2 – 4x – 3. d) x 2 – 5x + 1. e) 5x 2 + 7x + 9. HD: Sử dụng phương pháp đề xuất bình phương đủ Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) 6 – x 2 – 6x. b) 1 – x 2 – 6x 2 . c) 4 – x 2 + 2x. d) 4x – x 2 . e) 7 – 3x – x 2 . HD: Sử dụng phương pháp đề xuất bình phương đủ. 1 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = 2 x + 2x + 6 1 C1: Vì x 2 + 2x + 6 = (x + 1) 2 + 5 ≥ 5. Nên: y ≤ Dấu “=” xảy ra Û x = –1. 5 1 1 C2: y = 2 Û yx 2 + 2yx + 6y – 1 = 0 có nghiệm Û Δ’ = y – 5y 2 ≥ 0 Û 0 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 ỉ x + 10x + 16 ổỗ 16ử 16ử 16 HD: A = = ỗ x + ữữữ + 10.Vỡ:x. =16=const ị ỗỗ x+ ữữữ nhnht x2 =16. ỗ ỗ ố ố x x ứ x x ø Tức là x = 4 (vì x > 0). Vậy: min A = 18. (x + 100) 2 Bài 13: Với x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x HD: min B = 400 khi x = 100. x Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = (x + 100) 2 1 y - 100 100 C1: Đặt x + 100 = y Þ x = 100 - y. B = = - 2 Đặt = z y y y y ổ 1 ửữ 1 - 100 ỗỗ zÊ Du=xyra z= y=200x=100. ữ ữ ỗố 400 200 ứ 400 200 x x 1 C2: Áp dụng bất đẳng thức: (a + b) 2 ≥ 4ab: B = £ = Û x = 100. 2 400x 400 (x + 100) 2 Þ B = z – 100z 2 = Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x + y) 2 x + y 2 (x + y) 2 ³ 0 . Dấu “=” xảy ra Û x = -y ≠ 0. x + y 2 2xy 2xy A = + £1+ = + = 2 (vì x 2 + y 2 ≥ 2xy). Dấu “=” xảy ra Û x = y ≠ 0. 2 2xy x + y HD: A = Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2x 2 + 4x - 1 x 2 + 1 3x + - (x - 4x + 4) (x - 2) 2 HD: B = = - 2 £ 3 . Dấu “=” xảy ra Û x = 2. x2 + x + 1 4x + 4x + - 2x - (2x + 1) 2 1 B= = - ³ -2 . Dấu “=” xảy ra Û x = - 2 x +1 x + 1 2 4x - 2xy + 4y Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = x + y 2 HD: C = + (x - y) 2 ³ 3 . Dấu “=” xảy ra Û x = y ≠ 0. x + y 2 (x + y) 2 C = 5- £ 5 . Dấu “=” xảy ra Û x = -y ≠ 0. x + y 2 x + 1 x + x + 1 2 2 3x + x + 4x + - x - x -1 (x + 2) 1 HD: D = = = - ³ - Û x = -2. 2 2 3 3(x + x + 1) 3(x + x + 1) 3(x + + 1) Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = D= x2 + x +1- x x 2 = £ 1 Û x = 0 x2 + x +1 x 2 + x + 2