Chuyen de cuc tri bat dang thuc

4 7 0
Chuyen de cuc tri bat dang thuc

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

BẤT  ĐẲNG THỨC  A. KIẾN THỨC CƠ BẢN  1. Khái niệm:   A > B Û A – B > 0 ;  A  C Þ A > C  2) A > B Û A + C > B + C.  3) A > B Û AC > BC nếu C > 0 và AC  D Û A+C>B+D. 5)A>B>0vC>D>0 ịA.C>B.D 6)A>B>0vn ẻ N* ịAn >Bn. 7)A>B>0vn ẻ N Þ  n A >  n  B   1  1  8) A > B Þ   0. Hoặc:  >  nếu AB  b Û a – b > 0  ­ Biết đổi tương đương bất đẳng thức phải chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng  ­ Dùng các tính chất của bất đẳng thức để suy từ bất đẳng thức đã biết là đúng đến bất đẳng thức  phải chứng minh  B BÀI TẬP  Bài 1:  Chứng minh: a + b ≥  ab  (1) "a, b > 0.(Bất đẳng thức Côsi)  HD: (1) Û a + b  –  ab  = ( a- b 2  )  ³ 0 (đúng).  Bài 2:  Chứng minh: (a + b) 2  ≥ 4ab.  HD: Biến đổi đưa về (a – b) 2  ≥ 0.  Bài 3:  Chứng minh:  a 2  + b 2  ≥ 2ab.  HD: Xét hiệu, đưa về (a – b) 2  ≥ 0.  Bài 4:  Chứng minh: (ac + bd) 2  ≤ (a 2  + b 2 )(c 2  + d 2 ). (Bất đẳng thức Bunhiaxcopky).  HD: Biến đổi hiệu (ac + bd) 2  – (a 2  + b 2 )(c 2  + d 2 ) thành (ay – bx) 2 .  Bài 5:  Chứng minh: a 2  + b 2  + c 2  ≥ ab + bc + ca  HD: Biến đổi hiệu a 2  + b 2  + c 2  – (ab + bc + ca) thành (a – b) 2  + (b – c) 2  + (c – a) 2  Bài 6:  Chứng minh: a 2  + b 2  + c 2  + d 2  + 1 ≥ a + b + c + d.  2 2  1ö æ 1ö æ 1ö æ 1 ö æ HD: Biến đổi a  +b +c +d +1 a+b+c+dthnh:ỗ a - ữ + ç b - ÷ + ç c - ÷ + ç d - ÷ 2ø è 2ø è 2ø è ø  è 2  2  2  2  Bài 7:  Chứng minh: a  + b  + c  +d a(b+c+d+e) 2 2 ổ b ữử ổỗ c ữử ổỗ d ửữ ổỗ eửữ ỗ HD:Bin di vdng: ỗa - ữữ + ỗa - ữữ + ỗa - ữữ + ỗa - ữữ ỗố ứ ỗố ứ ỗố ứ ỗố ứ 2  2  2  2  2  2  Bài 8:  Chứng minh: (ax + by + cz)  ≤ (a  + b  + c  )(x  + y  + z 2 )  HD: Biến đổi về dạng: (ay – bx) 2  + (az – cx) 2  + (bz – cy) 2  ≥ 0  Bài 9:  Chứng minh a 4  + b 4  ≥ ab 3  + a 3  b "a, b ≥ 0.  2  é b ư÷ 3b 2  ùú 2  2  2 ờổ ỗ HD:Bin i,phõntớch thnh:(a b) (a +ab+b )= (a - b) ờỗa + ữữ + 0, "a, b. ỗ 2ứ ỳỳỷ ờởố a + b ổỗ a + bữử Bi10: Chngminh: ỗ ỗố ữữứ HD:Xộthiu,phõntớch thnh nhõnt ịpcm. 2 2  2  2  a + b 2  æ a + bử Bi11: Chngminh: ỗ ữ ố ø  HD: Quy đồng mẫu, xét hiệu đưa về dạng: (a – b) 2  ≥ 0 2  a + b + c2 ổ a + b + cử ỗ ữ 3 è ø  2  2  HD: Xét hiệu, đưa về dạng: (a – b)  + (b – c)  + (c – a) 2  ≥ 0.  x+y 4  ³ Bài 13:  Chứng minh:  "x, y > 0.  xy x + y HD: Biến đổi về (x + y) 2  ≥ 4xy Þ tương tự bài 2.  Bài 14: Trong hai số sau số nào lớn hơn? Vì sao? A =  2005 +  2007 và B =  2006   HD: Chứng minh A 2  ≥ B 2 Þ đpcm.  1  Bài 15:  Chứng minh: a 2  + b 2  ≥ a + b  -  2 2  æ ữử ổỗ 1ửữ ỗ HD:Bin i av ỗa - ữữ + ỗ b - ữữ ỗố ứ ỗố ứ Bi12: Chngminh: a + a + 3  Bài 16:  Chứng minh:  2  £ 2  a + 1 2  2  HD: Quy đồng: 2a  + 2a + 2 ≤ 3a  + 3 Û (a – 1) 2 .  1  1  Bài 17:  Chứng minh:  a)  a + ³ 2, "a > 0 .  b)  a + £ -2, "a  0 nên: a 2  – 2a + 1 ≥ 0 Û (a – 1) 2  ≥ 0. b) Vì a  0 thì:  + ³ 2 .  b) Nếu ab  0 Þ đpcm.  b) Chia cả hai vế của a 2  + b 2  ≥ –2ab cho ab 0,b>0,c>0.Chngminh: + + 2ỗỗỗ + + ữữữ è a b c ø  bc ca ab HD: Do a, b, c > 0. Thực hiện quy đồng, biến đổi về: (a + b + c) 2  ≥ 0 (đúng).  1 2  Bài 21:  Cho ab ≥ 1. Chứng minh:  + ³ (*).  2  + ab  1+ a + b + a + b 2  2  HD: (*) Û  ³ Û (a – b) 2 (1 – ab) ≤ 0 (đúng).  2 2  + ab  1+ a + b + a b æ x y ö x y 2  Bài 22:  Cho x, y ≠ 0. Chứng minh:  + + 3ỗỗ + ữữữ ữ y x ốỗ y xứ x y + =t ( | t | ≥ 2 ). Bất đẳng thức viết lại: t 2  – 3t + 2 ≥ 0 Û (t – 1)(t – 2) ≥ 0, "| t | ≥ 2.  y x Bài 23:  Chứng minh: (a – 1)(a – 3)(a – 5)(a – 7) + 15 ≥ 0, "a.  HD:  BĐT Û t(t + 6) + 15 ≥ 0 Û (t + 3) 2  + 6 > 0, "a  Bài 24:  Chứng minh: (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 10 > 0, "x.  HD: Làm tương tự bài 23.  Bài 25:  Cho a, b ≥ 0. Chứng minh: a 3  + b 3  ≥ ab(a + b).  HD: Xét hiệu đưa về bất đẳng thức: (x + y)(x – y) 2  ≥ 0 HD: Đặt  CỰC TRỊ ĐẠI SỐ  Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:  a) 2x 2  + 3x + 1.  b) x 2  – 2x + 5.  c) 4x 2  – 4x – 3.  d) x 2  – 5x + 1.  e) 5x 2  + 7x + 9.  HD: Sử dụng phương pháp đề xuất bình phương đủ  Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:  a) 6 – x 2  – 6x.  b) 1 – x 2  – 6x 2 .  c) 4 – x 2  + 2x.  d) 4x – x 2 .  e) 7 – 3x – x 2 .  HD: Sử dụng phương pháp đề xuất bình phương đủ.  1  Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y =  2    x + 2x + 6 1  C1: Vì x 2  + 2x + 6 = (x + 1) 2  + 5 ≥ 5. Nên: y ≤   Dấu “=” xảy ra Û x = –1.  5  1  1  C2: y =  2  Û yx 2  + 2yx + 6y – 1 = 0 có nghiệm Û Δ’ = y – 5y 2  ≥ 0 Û 0  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A =  x 2  ỉ x + 10x + 16 ổỗ 16ử 16ử 16 HD: A = = ỗ x + ữữữ + 10.Vỡ:x. =16=const ị ỗỗ x+ ữữữ nhnht x2 =16. ỗ ỗ ố ố x x ứ x  x ø  Tức là x = 4 (vì x > 0). Vậy: min A = 18.  (x + 100) 2  Bài 13:  Với x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A =  x HD: min B = 400 khi x = 100.  x  Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  B = (x + 100) 2  1  y - 100 100  C1: Đặt x + 100 = y Þ x = 100 - y.  B = = -  2    Đặt  = z  y y  y y ổ 1 ửữ 1 - 100 ỗỗ zÊ Du=xyra z= y=200x=100. ữ ữ ỗố 400 200 ứ 400 200 x x 1  C2: Áp dụng bất đẳng thức: (a + b) 2  ≥ 4ab:  B = £ = Û  x = 100.  2  400x 400  (x + 100) 2  Þ B = z – 100z 2  =  Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A = (x + y) 2  x + y 2  (x + y) 2  ³ 0 . Dấu “=” xảy ra Û x = -y  ≠ 0.  x + y 2  2xy 2xy  A =  + £1+ = + = 2  (vì x 2  + y 2  ≥ 2xy). Dấu “=” xảy ra Û x = y ≠ 0.  2  2xy  x + y HD:  A = Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  B = 2x 2  + 4x - 1    x 2  + 1 3x + - (x - 4x + 4) (x - 2) 2  HD:  B = = - 2  £ 3 . Dấu “=” xảy ra Û x = 2.  x2 + x + 1 4x + 4x + - 2x - (2x + 1) 2  1  B= = - ³ -2 . Dấu “=” xảy ra Û x =  -    2  x +1 x + 1 2  4x - 2xy + 4y  Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  C = x + y 2  HD:  C = + (x - y) 2  ³ 3 . Dấu “=” xảy ra Û x = y ≠ 0.  x + y 2  (x + y) 2  C = 5- £ 5 . Dấu “=” xảy ra Û x = -y ≠ 0.  x + y 2  x + 1  x + x + 1 2 2  3x + x + 4x + - x - x -1 (x + 2) 1  HD:  D = = = - ³ - Û x = -2.  2 2  3  3(x + x + 1) 3(x + x + 1) 3(x + + 1) Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  D = D= x2 + x +1- x x 2  = £ 1  Û x = 0 x2 + x +1 x 2  + x + 2 

Ngày đăng: 14/05/2021, 15:57

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan