Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất.[r]
(1)Phòng GD & ĐT Thọ xuân Đề thi học sinh giỏi lớp Trờng THCS Xuân Lập Năm học: 2010 – 2011 Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút đề đề xuất
Bài 1 (3.0đ) Biến đổi đơn giản biẻu thức a A =
81 34 25 14 16
1
b B =
100 99
1 99
98
3
1
1
Bµi 2: (4.0đ) Rút gọn tính giá trị biểu thức a C =
b a ab
b a a b
:
Víi a =
2003 11
20 b =
2003 11 18
b Tìm căp số (x,y) nguyên dơng thỏa mÃn x2 - y2 = 2003
Câu : ( 5điểm ) giải phương trình
a) x x x
3
= + x x2
b)
4
2
2 2
1
3
3
( x )
( x ) x x ( x ) ( x )
Bài 4: (3.0 điểm)
Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB EF dây cung di động nửa đường tròn cho E thuộc cung AF EF = R AF cắt BE H AE cắt BF C CH cắt AB I
a Tính góc CIF
b Chứng minh AE.AC + BF BC không đổi EF di động nửa đường trịn c Tìm vị trí EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn Tính diện tích
Bài ( điểm)
Cho tam giác ABC nhọn O điểm nằm tam giác Các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB M, N, P Chứng minh :
AM BN CP+ +
OM ON OP
Bài 6 (2điểm) Cho sè a, b, c tháa m·n 0a b c, , 2 vµ a+b+c=3 Chøng minh a3 b3 c3 9
đáp án thang điểm
Câu Đáp án Thang điểm
(2)b 1.5 ®
2 a Rút gọn : a - b Tính đợc kết quả: b x2 - y2 = 2003
(x - y)(x + y)=2003
=> x -y vµ x+ y lµ íc cïng dấu 2003 Mà Ư(2003) 1;2003
x, y dơng nên x+y> x-y Ta xét hai trờng hợp
1001 1002 1
2003 1001 1002 2003 1
y x yx
yx
y x yx yx
1.0® 1.0® 0.25® 0.25® 0.25® 0.5® 0.5®
Vậy cặp số (x,y) nguyên dơng thảo mÃn x2 -y2 = 2003
(x,y) = (1002,1002) 0.25đ
3
a) ĐK < x < x
Khử mẫu vế trái ta phương trình:
3( x 1 x) = + x x2
Đặt x x= t ®k : < t <
Phương trình viết thành : t2 - t + = 0
Kết luận: x = ; x = nghiệm phương trình
cho
b)
điều kiện:
3
x x
Đặt a =(x-1)2 ; b = x2 - 3
Phươngtrình
4
2
2 2
1
3
3
( x )
( x ) x x ( x ) ( x )
trở thành:
0,5®
0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5®
(3)4
5
2
2 2
4
2 2
1
2
1 1
1
1
a
b a b b a
a a b ( a b )
Ta có : b a b a b
b a b a a b
Dấu = xãy
2 1
1
a b b
x =
Vậy nghiệm phương trình x =
- BE, AF hai đường cao ABC CI đường cao
thứ ba hay CIAB
- Tứ giác IHFB nội tiếp HIF = HBF hay CIF =
EBF
- EOF nên EOF = 600
- EF = 600CIF = EBF = 300
- Chứng minh ACI đồng dạng với ABE
- được: AC AE ABAI
AE AI AB AC
- Tương tự BCI đồng dạng với BAE được:
BI BA BF BC BF
BI BA BC
- Cộng được: AE.AC + BF BC = AB.AI + AB.BI
=AB(AI + IB) = AB2 = const.
- Chứng minh ABC đồng dạng với FEC
- 2 41
2
R R AB
EF S
S
ABC FEC
ABC
ABFE S
S
4
- Để SABFE lớn SABC lớn CI lớn C
0,5®
1®
1®
1®
A B
E
F C
(4)6
chạy cung chứa góc 600 vẽ AB nên CI lớn khi
I O CAB cân EF // AB
- Lúc
4 3
3
2
2 S R
R R
R
SABC ABFE
N A
B C
O
K
H M
P
Từ A O kẻ AH BC
OK BC (H, K BC)
AH // OK
Nên OM OK
AM AH (1)
1
BOC ABC
OK BC
S OK
S AH BC AH
(2)
(1) , (2) BOC
ABC
S OM S AM
Tương tự : AOC
ABC
S ON S BN
AOB ABC
S OP S CP
Nên BOC AOC AOB
ABC ABC ABC
S S S OM ON OP
AM BN CP S S S (3)
Với ba số dương a,b,c ta chứng minh được:
(a+ b + c) ( 1
a b c )
Nên ( OM ON OP AM)( BN CP)
AM BN CP OM ON OP (4)
Từ (3) ,(4) suy :
AM BN CP
OM ON OP (pcm)
Vì vai trò cđa a, b, c nh nhau, kh«ng mÊt tÝnh tỉng quát giả sử: a b c
0,5 0,5đ
1đ
1đ
0,5®
0,5®
0,5®
(5)Khi 0a b c, , 2 a+b+c=3 nên ta có a1
3
a a
1 c2 (c-1)(c-2)(c+3) 0 c3 7c 6
XÐt hai trêng hỵp cđa b
+NÕu b1 b3 b
Khi ta có
3 3 7 6
a b c a b c
Mµ a+b+7c-6 = (a+b+c)+6c-6 3+6.2-6=9 a3 b3 c3 9
+ NÕu b2 b3 7b 6
Khi ta có
3 3 7 6 7 6 7 6 12 6 9
a b c a b c a b c a a (v× -6a0)
KÕt luËn a3 b3 c3 9