đề thi hsg toán 9

Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc giày (mà không nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có một đôi cùng màu và đi được.. Câu 4.[r]

PHỊNG GD-ĐT HỒNG LĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang Đề số: 01

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9 NĂM HỌC: 2017 - 2018

PHẦN THI CÁ NHÂN Mơn: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút

I PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh cần ghi kết vào tờ giấy thi) (Mỗi câu 0,5 điểm) Câu 1: Tính giá trị biểu thức

4 1.3 3.5 12 5.7 240 119.121

1 3 5 119 121

S         

    

Câu 2: Tìm a, b biết: 2a5+1=3b −2 =

2a+3b −1 6a

Câu Có đơi giày màu trắng 13 đôi giày màu đen bỏ chung hộp Hỏi phải lấy ra giày (mà khơng nhìn vào hộp) để chắn có đơi màu

Câu Cho a số nguyên, biết a chi hết cho không chia hết cho Tìm dạng chung a. Câu Tìm số tự nhiên n biết n + S(n) = 2017 với S(n) tổng chữ số n.

Câu Giải phương trình x 3 x 633, biết bậc số a số x cho

3

x a

Câu Tìm x y biết: x2y2 10 vàxy3

Câu Tìm số tự nhiên x, y biết x22xy2y2 25

Câu Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh BC Biết AB = 4cm; AC = 5cm AM = 41 cm Tính diện tích ABC

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, biết BH = 4cm; AC = 6cm Tính BC. II PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

Câu 11 (7, điểm)

a) Cho P =  

8

3

2

x x

x x x



 

  với x0 Rút gọn biểu thức P tìm x để

2P Q =

1-P số nguyên

b) Biết 1 2 nghiệm đa thức P(x) =x2bx c Tìm nghiệm cịn lại P(x), biết b c số hữu tỷ

c) Cho x, y số thực dương thỏa mãn 1

1

x y  Chứng minh x y  x1 y1 Câu 12 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại, đường cao AH, trung tuyến AD.

a) Tính AC, HB, HC, AH, biết BC = 25cm, AB = 15cm

b) Quan H kẻ đường thẳng song song với AD đường thẳng cắt AC I cắt đường thẳng AB K Chứng AK.AC = AB.AI HI + HK = 2.AD.

c) Gọi E F hình chiếu H AB AC Chứng minh 3CF2 3 BE2 3 BC2

Câu 13 (4,0 điểm).

a) Tìm x, y biết: 2 xy

x y y x

   

b) Cho x, y số thực thỏa mãn x1 y y  y 1 x x Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x23xy 2y2 4y5

-

Họ tên thí sinh: Số báo danh: Hướng dẫn chấm (Đề: 01)

Lưu ý: - Từ câu đến câu 10 thí sinh cần ghi kết quả, khơng trình bày lời giải. - Mọi cách giải khác đáp án, ngắn gọn cho điểm tương ứng.

Câu Đáp án Điểm

Câu 1

Đáp số:

11



= 665 0.5

Câu 2

Đáp số: (a;b) = (

; 

), (2;3) 0.5

Câu Đáp số: 20. 0.5

Câu Đáp số: a = 6k+2 6k+4 (k số nguyên) 0.5

Câu Đáp số: 1994; 2012 0.5

Câu Đáp số: x3; x6

Cách giải: Đặt ẩn phụ 0.5

Câu Đáp số: (x,y)=(3;1);(1;3);(-1,-3);(-3,-1) 0.5

Câu Đáp số: (x,y)=(5,0);(1,3). 0.5

Câu Đáp số: SABC 10cm2 0.5

Câu 10 Đáp số: BC = 10 2 (cm)

Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông 0.5 Câu 11

a)Ta có: P =    

8

3 1

2

x x

x x x x

x x



       

 

Khi

2P

Q =

1-P 1 P Để Q số nguyên

1 P là số nguyên

1 x 

số nguyên   2 

1

n n Z x n Z

n x

 

     

Vậy để Q số nguyên

1 x

n 

với n số nguyên dương tùy ý

2,0

0,5

0,5 b) Vì 1 2 nghiệm đa thức P(x) =x2bx c nên

1 22b1 2  c 3 b c  b2 0

3 b c b 2

    

Nếu

3 2

2 b c b

b  

   



Do b, c số hữu tỷ nên

2 b c b  

 số hữu tỷ, 2 số hữu tỷ, điều mâu thuẫn số vơ tỷ Vậy

2

b   b  c

Khi phương trình cho trở thành

 2

2 2 1 0 1 2 2

1 2

x x

x x x

x x

     

         

   

 

 

Vậy nghiệm lại P(x) 1

0,5

0,5

0,5

0,5

c) Từ 1

1 xy x y

x y     Ta có

 x1 y12   x y 2 x1 y1   x y 2 xy x y  1

2 1

x y x y x y x y

            1,5

Câu 12

1 1

E F

I

K

D H

C

B A

a) Theo hệ thức lượng ta suy ra:

+ AC BC2 AB2  252152 20cm

+

2 152

9 25 16

25 AB

HB cm HC BC HB cm

BC

        

; + AH  BH HC  9.16 12 cm

1,0

b) Vì tam giác ABC vuông A, AD trung tuyến nên CD = DB = AD, suy CAD C  A1B

Vì KH//AD nên K A1, K B , từ suy tam giác vuông

ABC đồng dạng với tam giác vuông AKI (g-g)

AB AC

AB AI AC AK AK AI

   

Vì tam giác ABC vng A, AD trung tuyến nên 2AD = BC Vì K B nên tam giác HBK cân H  HK HB

Do HI//AD  I1 CAD C   CH IH Do IH HK HB HC BC2AD

0,50

0,50

0,50 0,50 c) Ta có 3CF2 3 BE2 3 BC2  3CF BC2 3 BE BC2 BC

Ta chứng minh CF BC CH2  3.

Thật vậy: Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có:

2 . 2. 2. . 2.

CH CF AC CH CF AC CF CH BC CF BC CH ; Chứng minh tương tự ta có: BE BC BH2 

Do CF BC2 3 BE BC2 3CH3 3 BH3 CH BH BC(đpcm)

0,50

0,50 Câu 13 a) Ta có: điều kiện x y, 2 Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:

2 2

( 2)2 ( 2) 2 2

2

2 2

y x

x y

x y y x xy

x y y x

   



  

     

Dấu “=” xảy ra:

2

4 2

x

x y y

  

    

  

0,25 1,50

0,25 b) Ta có: điều kiện x y, 1, từ x1 y y y1 x x

suy x1x x  y1y y

Do xy1 x1x x y1y y, tương tự nếu

1 x y  x1x x  y1y y , x = y.

Vì x = y nên S = x23xy 2y2 4y5=2y12 3 3 Vậy GTNN S = x = y =

0,25 0,25

HẾT -PHÒNG GD-ĐT HỒNG LĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang Đề số: 02

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9 NĂM HỌC: 2017 - 2018

PHẦN THI CÁ NHÂN Mơn: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút

I PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh cần ghi kết vào tờ giấy thi) (Mỗi câu 0,5 điểm) Câu 1: Tính giá trị biểu thức

4 1.3 3.5 12 5.7 160 79.81

1 3 5 79 81

S         

    

Câu 2: Tìm a, b biết:

2 3

7

a b a b

a

   

 

Câu Có đơi giày màu trắng 14 đôi giày màu đen bỏ chung hộp Hỏi phải lấy ra giày (mà khơng nhìn vào hộp) để chắn có đơi màu

Câu Cho a số nguyên, biết a chi hết cho không chia hết cho Tìm dạng chung a. Câu Tìm số tự nhiên n biết n + S(n) = 2019 với S(n) tổng chữ số n.

Câu Giải phương trình x 4 x 834, biết bậc số a số x cho

3

x a

Câu Tìm x y biết: x2y2 5 vàxy2

Câu Tìm số tự nhiên x, y biết 2x22xy y 225

Câu Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh BC Biết AB = 5cm; AC = 6cm AM = 61 cm Tính diện tích ABC

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, biết BH =6cm; AC = 7cm Tính BC. II PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

Câu 11 (7, điểm)

a) Cho P =  

8

3

2

x x

x

x x



 

  với x0 Rút gọn biểu thức P tìm x để

2P Q =

1-P số nguyên

b) Biết 1 2 nghiệm đa thức P(x) =x2bx c Tìm nghiệm cịn lại P(x), biết b c số hữu tỷ

c) Cho x, y số thực dương thỏa mãn 1

1

x y  Chứng minh x y  x1 y1 Câu 12 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại, đường cao AH, trung tuyến AD.

a) Tính AC, HB, HC, AH, biết BC = 25cm, AB = 15cm

b) Quan H kẻ đường thẳng song song với AD đường thẳng cắt AC I cắt đường thẳng AB K Chứng AK.AC = AB.AI HI + HK = 2.AD.

c) Gọi E F hình chiếu H AB AC Chứng minh 3CF2 3 BE2 3 BC2

a) Tìm x, y biết: 2 xy

x y y x

   

b) Cho x, y số thực thỏa mãn x 2 y y y 2 x x Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x23xy 2y2 8x35

-

HẾT -Lưu ý: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay; - Giám thị khơng giải thích thêm.

Họ tên thí sinh: Số báo danh: Hướng dẫn chấm (Đề: 02)

Lưu ý: - Từ câu đến câu 10 thí sinh cần ghi kết quả, khơng trình bày lời giải. - Mọi cách giải khác đáp án, ngắn gọn cho điểm tương ứng.

Câu Đáp án Điểm

Câu 1

Đáp số:

9 364

 

Câu 2

Đáp số: (a;b) = (

; 

), (2; 13

3 ) Câu Đáp số: 22.

Câu Đáp số: a = 12k+4 12k+8 (k số nguyên) Câu Đáp số: 1995; 2013

Câu Đáp số: x4; x8 Cách giải: Đặt ẩn phụ

Câu Đáp số: (x,y)=(2;1);(1;2);(-1,-2);(-2,-1) Câu Đáp số: (x,y)=(0,5);(3,1).

Câu Đáp số: SABC 15cm2

Câu 10 Đáp số: BC = 58 3 (cm)

Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng Câu 11 a)Ta có:

P =    

8

3 1

2

x x

x x x x

x x 

       

 

Khi

2P

Q =

1-P 1 P Để Q số nguyên

1 P là số nguyên

1 x 

số nguyên   2 

1

n n Z x n Z

n x

 

     

Vậy để Q số nguyên

1 x

n 

với n số nguyên dương tùy ý

2,0

0,5

0,5

b) Vì 1 2 nghiệm đa thức P(x) =x2bx c nên

1 22b1 2  c 3 b c  b2 0

3 b c b 2

    

Nếu

3 2

2 b c b

b  

   



Do b, c số hữu tỷ nên

2 b c b  

 số hữu tỷ, 2 số hữu tỷ, điều mâu thuẫn số vô tỷ Vậy

0,5

0,5

2 b   b  c

Khi phương trình cho trở thành

 2

2 2 1 0 1 2 2

1 2

x x

x x x

x x

     

         

   

 

 

Vậy nghiệm lại P(x) 1

0,5

c) Từ 1

1 xy x y

x y     Ta có

 x1 y12   x y 2 x1 y1   x y 2 xy x y  1

2 1

x y x y x y x y

           

0,5

1,5

Câu 12

1 1

E F

I

K

D H

C

B A

a) Theo hệ thức lượng ta suy ra:

+ AC BC2 AB2  252152 20cm

+

2 152

9 25 16

25 AB

HB cm HC BC HB cm

BC

        

; + AH  BH HC  9.16 12 cm

1,0

b) Vì tam giác ABC vng A, AD trung tuyến nên CD = DB = AD, suy CAD C  A1B

Vì KH//AD nên K A1, K B , từ suy tam giác vuông

ABC đồng dạng với tam giác vuông AKI (g-g)

AB AC

AB AI AC AK AK AI

   

Vì tam giác ABC vuông A, AD trung tuyến nên 2AD = BC Vì K B nên tam giác HBK cân H  HK HB

Do HI//AD  I1 CAD C   CH IH Do IH HK HB HC BC2AD

0,50

0,50

0,50

0,50 c) Ta có 3CF2 3 BE2 3 BC2  3CF BC2 3 BE BC2 BC

Ta chứng minh CF BC CH2  3.

Thật vậy: Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có:

2 . 2. 2. . 2.

CH CF AC CH CF AC CF CH BC CF BC CH ; Chứng minh tương tự ta có: BE BC BH2 

Do CF BC2 3 BE BC2 3CH3 3 BH3 CH BH BC(đpcm)

0,50

2 2

( 2)2 ( 2) 2 2

2

2 2

y x

x y

x y y x xy

x y y x

   



  

     

Dấu “=” xảy ra:

2

4 2

x

x y y

  

    

  

0,25

b) Ta có: điều kiện x y, 2, từ x 2 y y  y 2 x x suy x 2x x  y 2y y

Do xy2 x 2x x y 2y y, tương tự 2 x y  x 2x x y 2y y, x = y.

Vì x = y nên S = x23xy 2y216y35=2y 42 3 3 Vậy GTNN S = x = y =

0,25 0,25 0,50 0,50 0,25 0,25