Chuyen de hinh hoc phang phuong trinh duong thang

 Tâm

(1)

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I –TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ:

a Tọa độ điểm mặt phẳng: Cho 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐴 ; 𝐵 𝑥𝐵; 𝑦𝐵 𝑣à 𝐶 𝑥𝐶; 𝑦𝐶  𝐴𝐵 = (𝑥𝐵− 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)

 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝑥𝐵− 𝑥𝐴 2+ 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴

 Trung điểm 𝐼 𝑥𝐼; 𝑦𝐼 đoạn 𝐴𝐵, có tọa độ 𝐼:

𝑥𝐼 =𝑥𝐴+𝑥𝐵 𝑥𝐼 =

𝑦𝐴+𝑦𝐵  Trọng tâm 𝐺 𝑥𝐺; 𝑦𝐺 tam giác 𝐴𝐵𝐶, có tọa độ 𝐺: 𝑥𝐼 =

𝑥𝐴+𝑥𝐵+𝑥𝐶 𝑦𝐼 =

𝑦𝐴+𝑦𝐵+𝑦𝐶 b Tọa độ vectơ mặt phẳng: Cho 𝑎 = 𝑎1; 𝑎2 ; 𝑏 = 𝑏1; 𝑏2

 𝑘 𝑎 = 𝑘𝑎1; 𝑘𝑎2  𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎1 = 𝑏1 𝑎2 = 𝑏2  𝑎 = 𝑎12+ 𝑎

2

 𝑎 ± 𝑏 = 𝑎1± 𝑏1; 𝑎2± 𝑏2  𝑎 𝑏 = 𝑎1 𝑏1+ 𝑎2 𝑏2

 cos 𝑎 , 𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 =

𝑎1.𝑏1+𝑎2.𝑏2 𝑎12+𝑎22 𝑏12+𝑏22 c Các công thức khác:

 𝑎 //𝑏 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑅: 𝑎 = 𝑘𝑏 ↔ 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 =  𝑎 ⊥ 𝑏 ↔ 𝑎 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 =

 Điểm 𝑀 chia đoạn 𝐴𝐵 theo tỉ số 𝑘 ↔ 𝐴𝑀 = 𝑘𝑀𝐵 ↔ 𝑥𝑀 =

𝑥𝐴+𝑘𝑥𝐵 1+𝑘 𝑦𝑀 = 𝑦𝐴+𝑘𝑦𝐵

1+𝑘

2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG:

a Vectơ phương: Vectơ 𝑎 ≠ vectơ phương đường thẳng ∆ giá vectơ 𝑎 song song trùng ∆

b Phương trình tham số đường thẳng:

Đường thẳng ∆ qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦0 có VTCP 𝒂 = 𝒂𝟏; 𝒂𝟐 có phương trình tham số dạng: 𝒙 = 𝒙𝒐+ 𝒕𝒂𝟏

𝒚 = 𝒚𝒐+ 𝒕𝒂𝟐 ; 𝒕 ∈ 𝑹 𝑎

𝑎 𝑎

(2)

c Vectơ pháp tuyến: Vectơ 𝑛 ≠ vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ giá vectơ 𝑛 vuông góc ∆

d Phương trình tổng qt đường thẳng:

Đường thẳng ∆ qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦0 có VTPT 𝒏 = 𝑨; 𝑩 có phương trình tổng quát dạng: 𝑨 𝒙 − 𝒙𝒐 + 𝑩 𝒚 − 𝒚𝒐 = 𝟎, 𝑨𝟐+ 𝑩𝟐 ≠ 𝟎

e Các trường hợp đặc biê ̣t:

Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = (1)  Nếu 𝐴 = 0, phương trình (1) trở thành: 𝐵𝑦 + 𝐶 = → 𝑦 = −𝐶

𝐵 𝐵 ≠ , đó ∆ //𝑂𝑥 cắt 𝑂𝑦 điểm 0; −𝐶

𝐵 (hình 1)

 Nếu 𝐵 = 0, phương trình (1) trở thành: 𝐴𝑥 + 𝐶 = → 𝑥 = −𝐶

𝐴 𝐴 ≠ , đó ∆ //𝑂𝑦 cắt 𝑂𝑥 điểm −𝐶

𝐴; (hình 2)

 Nếu 𝐶 = 0, phương trình (1) trở thành: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 0, đó ∆ qua gớc tọa ̣ 𝑂(0; 0) (hình 3)  Nếu 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0, ta có thể đưa (1) về da ̣ng: 𝑥𝑎+𝑦

𝑏 = Với 𝑎 = −𝐶

𝐴, 𝑏 = − 𝐶

𝐵 Phương trình (2) được go ̣i là phương trình đường thăng theo đoa ̣n chắn , đường thẳng này cắt 𝑂𝑥 𝑂𝑦 lần lượt ta ̣i 𝑀 𝑎; 𝑁 0; 𝑏 (hình 4)

Hình Hình

𝑛

O

∆ −𝐶

𝐵 𝑦

𝑥 O

∆

−𝐶

𝐴 𝑦

𝑥

O ∆

𝑦

𝑥 O

∆

−𝐶

𝐵 𝑦

𝑥

−𝐶

𝐴 𝑀 𝑁

(3)

f Mối quan hệ vectơ phương vectơ pháp tuyến:

Nếu vectơ 𝑛 = 𝐴; 𝐵 VTPT ∆ VTCP ∆ 𝑢 = 𝐵; −𝐴 𝑢 = −𝐵; 𝐴 g Hệ số góc đường thẳng, phương trình đường thẳng chứa hệ số góc:

 Hệ số góc đường thẳng: ∆ có VTCP 𝑢 = 𝑢1; 𝑢2 hệ số góc 𝑘 là: 𝒌 = 𝒖𝟐 𝒖𝟏  ∆ qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦0 có hệ số góc 𝐾 có phương trình dạng: 𝒚 − 𝒚𝒐 = 𝑲 𝒙 − 𝒙𝒐

3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG:

a Hai đường thẳng được cho dạng phương trình tổng quát: ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 =  𝐴1

𝐴2 ≠ 𝐵1

𝐵2 ↔ ∆1 cắt ∆2  𝐴1

𝐴2 = 𝐵1 𝐵2 ≠

𝐶1

𝐶2 ↔ ∆1 song song ∆2  𝐴1

𝐴2 = 𝐵1 𝐵2=

𝐶1

𝐶2 ↔ ∆1 trùng ∆2

b Hai đường thẳng được cho dạng phương trình tham số: ∆1 : 𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑦1+ 𝑡𝑎1

1+ 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 ∆2 :

𝑥 = 𝑥2+ 𝑡𝑏1

𝑦 = 𝑦2 + 𝑡𝑏2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 Ta xét hai vectơ phương: 𝑎 = 𝑎1; 𝑎2 ; 𝑏 = 𝑏1; 𝑏2

 𝑎1 𝑎2 ≠

𝑏1

𝑏2 ↔ ∆1 cắt ∆2  𝑎1

𝑎2 = 𝑏1 𝑏2 ≠

𝑥1−𝑥2

𝑦1−𝑦2 ↔ ∆1 song song ∆2  𝑎1

𝑎2 = 𝑏1 𝑏2 =

𝑥1−𝑥2

𝑦1−𝑦2 ↔ ∆1 trùng ∆2

c Hai đường thẳng được cho hai dạng phương trình khác nhau: ∆1 : 𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑦𝑜+ 𝑡𝑎1

𝑜+ 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 ∆2 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = (2)

Ta thay 𝑥, 𝑦 vào , để phương trình bậc 𝑡, dạng: 𝑓(𝑡) =  Nếu 𝑓(𝑡) = có nghiệm → ∆1 cắt ∆2 từ 𝑡𝑜 ta tìm giao điểm

 Nếu 𝑓(𝑡) = vô nghiệm → ∆1 song song ∆2  Nếu 𝑓(𝑡) = vô số nghiệm → ∆1 trùng ∆2

4 KHOẢNG CÁCH: từ 𝑀𝑜(𝑥𝑜; 𝑦𝑜) đến đường thẳng (∆): 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, tính theo công thức: 𝑑 𝑀𝑜; ∆ = 𝐴𝑥𝑜 + 𝐵𝑦𝑜+ 𝐶

𝐴2+ 𝐵2

5 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG:

Cho ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0, với 𝑛 = 𝐴1 1; 𝐵1 , 𝑛 = 𝐴2 2; 𝐵2 lần lượt là VTPT của ∆1 , ∆2 thì: cos ∆1; ∆2 = n n1

n n1 =

(4)

6 CHÙM ĐƯỜNG THẢNG:

Chùm đường thẳng tạo bởi ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0, ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = có phương trình dạng: m 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 + n 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 =

 Nếu ∆1 ∩ ∆2 = I → đường thẳng qua 𝐼 đều thuộc chùm  Nếu ∆1 // ∆2 → chùm đường thẳng // ∆1 // ∆2 đều thuộc chùm

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:

1. Vấn đề 1: chuyển đổi qua lại giữa các da ̣ng phương trình a Chuyển từ phương trình tham số sang phương trình tổng quát

∆1 : 𝑥 = 𝑥𝑜+ 𝑡𝑎1 (∗)

𝑦 = 𝑦𝑜+ 𝑡𝑎2 (∗∗) ; 𝑡 ∈ 𝑅 → ∆1 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = (2)  Từ ∗ , ta có: 𝑡 =𝑥−𝑥𝑜

𝑎1 Thay vào (∗∗), suy ra: 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑎2

𝑎1 𝑥 − 𝑥𝑜  Hòa đồng mẫu số, chuyển vế, rút gọn ta

b Chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình tham số ∆1 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = → ∆1 :

𝑥 = 𝑥𝑜+ 𝑡𝑎1

𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 (2)

 Từ , chọn 𝑥 = 𝑡 ∗ Thay 𝑥 = 𝑡 vào , ta được: 𝐴𝑡 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = ⇒ 𝑦 = −𝐶 𝐵−

𝐴

𝐵𝑡 (∗∗)  Kết hợp (∗) (∗∗) ta phương trình

c Ví dụ:

1 Chuyển phương trình 𝑥 = − 4𝑡 (∗)

𝑦 = − 𝑡 ∗∗ ; 𝑡 ∈ 𝑅 thành phương trình tổng quát Giải:

Từ phương trình (∗∗) ta có: 𝑡 = − 𝑦, thay vào phương trình (∗), ta được: 𝑥 = − − 𝑦 ↔ 𝑥 = −10 + 4𝑦 ↔ 𝑥 − 4𝑦 + 10 =

Là phương trình tổng quát cần tìm

2 Chuyển phương trình 4𝑥 − 3𝑦 + = (∗) thành phương trình tham sớ Giải:

Từ phương trình (∗), ta đặt 𝑥 = 𝑡 (1) Thay vào phương trình (∗), ta được: 4𝑡 − 3𝑦 + = ↔ 3𝑦 = 4𝑡 + ↔ 𝑦 =

3+ 3𝑡 (2) Kết hợp (1) (2), ta có: 𝑥 = 𝑡 𝑦 = 7

3+ 3𝑡

; 𝑡 ∈ 𝑅 Là phương trình tham số cần tìm d Bài tập:

1 Chuyển các phương trình tham số sau về dạng phương trình tổng quát a 𝑥 = − 2𝑡

𝑦 = + 3𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 b

𝑥 = − 𝑡

(5)

c 𝑥 = − 5𝑡

𝑦 = − 7𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 d

𝑥 = − 3𝑡

𝑦 = + 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 Chuyển các phương trình tổng quát sau về dạng phương trình tham số:

a 3𝑥 − 5𝑦 + = b 4𝑥 − 6𝑦 + = c 4𝑥 + 3𝑦 + = d 2𝑥 + 3𝑦 + =

2. Vấn đề 2: Viết PTĐT qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 , có VTCP 𝑢 = (u1; u2) hoặc VTPT 𝑛 = (A; B) hoặc ̣ số góc 𝐾 a Phương phá p giải:

 Nếu đề cho qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 có VTCP 𝑢 = (u1; u2), ta dùng: 𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑡𝑢1

𝑜+ 𝑡𝑢2 ; 𝑡 ∈ 𝑅  Nếu đề cho qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 có VTPT 𝑛 = (A; B), ta dùng:𝐴 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑜 =  Nếu đề cho qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 có hệ số góc K, ta dùng: 𝑦 − 𝑦𝑜 = 𝐾 𝑥 − 𝑥𝑜

b Ví dụ:

1 Viết phương trình đường thẳng (𝑑) qua điểm 𝑀 2; , có vectơ phương 𝑢 = (3; −2) Giải: đườ ng thẳng (𝑑) qua 𝑀 2; , có VTCP 𝑢 = 3; −2 , có dạng: 𝑥 = + 3𝑡

𝑦 = − 2t ; 𝑡 ∈ 𝑅 Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm 𝑀 −2; −1 , có vectơ pháp tuyến 𝑛 = (5; 2) Giải: đườ ng thẳng (𝑑) qua 𝑀 −2; −1 , có VTPT 𝑛 = 5; , có dạng:

5 𝑥 + + 𝑦 + = ↔ 5x + 2y + 12 =

3 Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm 𝑀 2; , có hệ số góc K = Giải: đườ ng thẳng (𝑑) qua 𝑀 2; , có hệ số góc K = 2, có dạng:

𝑦 − = 𝑥 − ↔ 2𝑥 − 𝑦 + = c Bài tập:

1 Viết phương trình đường thẳng (d), thỏa mãn điều kiện sau: a Đi qua điểm 𝐴 −1; , có vectơ phương 𝑢 = (−3; −2) b Đi qua điểm 𝐵 −1; −3 , có vectơ phương 𝑎 = (−2;2

3) c Đi qua điểm 𝐶

3; −

5 , có vectơ phương 𝑏 = (− 4; −

2 7) Viết phương trình đường thẳng (d), thỏa mãn điều kiê ̣n sau:

a Đi qua điểm 𝑀 −1; , có vectơ pháp tuyến 𝑛 = (−3 4; 2) b Đi qua điểm 𝑁 2; −3 , có vectơ pháp tuyến 𝑛 = (2; −2

5) c Đi qua điểm 𝑃

7; −3 , có vectơ pháp tuyến 𝑛 = (−2; − 3) Viết phương trình đường thẳng (d), thỏa mãn điều kiê ̣n sau:

a Đi qua điểm 𝐾 −1; , có hệ sớ góc 𝑘 = −1 b Đi qua điểm 𝑀 −3; , có hệ sớ góc 𝑘 =7

(6)

3. Vấn đề 3: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐴 ; 𝐵 𝑥𝐵; 𝑦𝐵 a Phương pháp giải:

 Tính vectơ 𝐴𝐵 = 𝑥𝐵− 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 = (a; b)

 ∆ qua 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 có VTCP 𝐴𝐵 = 𝑎; 𝑏 có dạng: 𝑥 = 𝑥𝐴+ 𝑡a

𝑦 = 𝑦𝐴+ 𝑡b ; 𝑡 ∈ 𝑅

b Chú ý: Trong thực tế, thường gặp dạng toán ở toán viết phương trình đường trung tuyến, đường trung bình tam giác

 Đường trung tuyến đường thẳng qua đỉnh trung điểm cạnh đối diện, nên để viết được phương trình đường thẳng dạng Ta phải tìm trung điểm 𝑀 cạnh 𝐵𝐶 trước, sau đó áp dụng phương pháp

 Đường trung bình tam giác đường thẳng qua hai trung điểm hai cạnh, song song với cạnh lại Nên trước hết , ta sẽ tìm hai trung điểm , sau đó áp d ụng phương pháp (hoặc tìm một trung điểm vectơ mà song song, rời áp dụng phương pháp giải ở vấn đề 2).

c Ví dụ:

1 viết phương trình đường thẳng qua hai điểm 𝑀 2; 𝑣𝑎 𝑁 1; Giải:

– Ta có 𝑀𝑁 = (−1; −1)

– Đường thẳng 𝑀𝑁 qua điểm 𝑁 1; có VTCP 𝑀𝑁 = −1; −1 , nên có da ̣ng: 𝑥 = − 𝑡𝑦 = − 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 2 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, vớ i 𝐴 1; −2 , 𝐵 5; −6 , 𝐶 3;

a Viết phương trình đường trung tuyến 𝐴𝑀 tam giác 𝐴𝐵𝐶 b Viết phương trình đường trung bình 𝑁𝐾 tam giác 𝐴𝐵𝐶 Giải:

a – Trung điểm 𝑀 𝑥𝑀; 𝑦𝑀 cạnh 𝐵𝐶, nghiệm hệ : 𝑥𝑀 = 𝑥𝐵+𝑥𝐶

2 = 𝑦𝑀 =𝑦𝐵+𝑦𝐶

2 = −2

→ 𝑀 4; −2 – Vectơ 𝐴𝑀 = 3;

– Trung tuyến 𝐴𝑀, qua điểm 𝐴 1; −2 có VTCP 𝐴𝑀 = 3; có dạng: 𝑥 = + 3𝑡𝑦 = −2 ; 𝑡 ∈ 𝑅

b – Trung điểm 𝑁 𝑥𝑁; 𝑦𝑁 cạnh 𝐴𝐵 nghiệm hệ : 𝑥𝑁 =

𝑥𝐴+𝑥𝐵

2 = 𝑦𝑁 =𝑦𝐴+𝑦𝐵

2 = −4

→ 𝑁 3; −4

– Trung điểm 𝐾 𝑥𝐾; 𝑦𝐾 cạnh 𝐴𝐶 nghiệm hệ :

𝑥𝐾 =𝑥𝐴+𝑥𝐶 = 𝑦𝐾 =

𝑦𝐴+𝑦𝐶 =

(7)

– Đường trung bình 𝑁𝐾, qua điểm 𝐾 2; có VTCP 𝑁𝐾 = −1; có dạng: 𝑥 = − 𝑡

𝑦 = + 4t ; 𝑡 ∈ 𝑅 d Bài tập:

1 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝐴(1; 2), 𝐵(3; 5), 𝐶(2; 4) a Viết phương trình cạnh tam giác 𝐴𝐵𝐶

b Viết phương trình đường trung tuyến tam giác 𝐴𝐵𝐶 c Viết phương trình đường trung bình tam giác 𝐴𝐵𝐶

2 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝐴(2; 1) hai đường cao 𝐵𝐵’ ∶ 3𝑥 + 𝑦 – = 𝐶𝐶’: 4𝑥 + 𝑦 + = Hãy viết phương tình đường cao 𝐴𝐴’

4. Vấn đề 4: Viết phương trình (∆) qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 vng góc (hoặc song song) với (𝑑) cho trước a Phương trình (d) cho dạng tổng quát: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 =

 (∆) qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 vng góc (𝑑), nên nhận 𝑛 = 𝑎; 𝑏 làm VTCP, hay 𝑛𝑑 = 𝑢𝑑 = 𝑎; 𝑏 , ∆

có dạng: 𝑥 = 𝑥𝑜+ 𝑡𝑎

𝑦 = 𝑦𝑜+ 𝑡𝑏 ; 𝑡 ∈ 𝑅

 (∆) qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 song song (𝑑), nên nhận 𝑛 = 𝑎; 𝑏 làm VTPT, hay 𝑑 𝑛 = 𝑛𝑑 = 𝑎; 𝑏 , ∆ có dạng: 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝑏 𝑦 − 𝑦𝑜 =

b Phương trình (d) cho dạng tham số: 𝑦 = 𝑦𝑥 = 𝑥1+ 𝑡𝑎1

1 + 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅

 Đường thẳng (∆) qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 vng góc (d), nên nhận 𝑢 = 𝑎𝑑 1; 𝑎2 làm VTPT, hay 𝑢𝑑

= 𝑛 = 𝑎∆ 1; 𝑎2 , có dạng: 𝑎1 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝑎2 𝑦 − 𝑦𝑜 =

 (∆) qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 song song (𝑑), nên nhận = 𝑎𝑢𝑑 1; 𝑎2 làm VTCP, hay 𝑢 = 𝑢𝑑 =∆ 𝑎1; 𝑎2 , có dạng: 𝑥 = 𝑥𝑜+ 𝑡𝑎1

𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 c Ví dụ:

1 Viết phương trình đường thẳng (∆) qua 𝑀 2; song song đườ ng thẳng (d): 3𝑥 − 2𝑦 + = Giải:

- VTPT (𝑑) là: 𝑛 = 3; −2 𝑑

- Do ∆ song song vớ i (𝑑), nên nhận VTPT của (𝑑) làm VTPT cho → 𝑛 = 𝑛∆ = (3; −2) 𝑑 - ∆ qua điểm 𝑀 2; có VTPT 𝑛 = (3; −2) có dạng: ∆

3 𝑥 − − 𝑦 − = ↔ 3𝑥 − 2𝑦 − =

∆

𝑑 𝑛𝑑

d ∆

𝑛𝑑

∆

𝑑 𝑢𝑑

d ∆

(8)

2 Viết phương trình (∆) qua 𝑀 3; −2 và vuông góc (d): 𝑥 = −2 + 𝑡

𝑦 = −1 − 3𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅 Giải:

– VTCP (𝑑) là: 𝑢 = 1; −3 𝑑

– Do ∆ vuông góc với (𝑑), nên nhận VTCP của (𝑑) làm VTPT cho → 𝑛 = 𝑢∆ = (1; −3) 𝑑 – ∆ qua điểm 𝑀 3; −2 có VTPT 𝑛 = (1; −3) có dạng: ∆

1 𝑥 − − 𝑦 + = ↔ 𝑥 − 3𝑦 − = d Bài tập:

1 Viết phương trình đường thẳng (∆) thoả mãn các điều kiện sau : a Đi qua 𝐴 2; −5 vuông góc đường thẳng (d): 𝑥 = −2 + 4𝑡

𝑦 = −3 − 3𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅 b Đi qua 𝐵 0; −2 song song đườ ng thẳng (d): 𝑥 = −2 + 2𝑡

𝑦 = − 5𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 Viết phương trình đường thẳng (∆) thoả mãn các điều kiện sau :

a Đi qua 𝑀 3; −1 vuông góc đường thẳng (d): 3𝑥 − 2𝑦 − = b Đi qua 𝑁 0; −5 song song đườ ng thẳng (d): 𝑥 − 4𝑦 + = Viết phương trình đường thẳng (∆) thoả mãn các điều kiện s au:

a Đi qua 𝐴 3; −2 và vuông góc với tru ̣c Ox

b Đi qua 𝑀 −2; −1 song song đườ ng thẳng AB, với 𝐴 1, ; , 𝐵 2;

4 Viết phương trình đường thẳng (∆) qua giao điểm hai đường thẳng ∆1 : 3𝑥 − 𝑦 = 0, ∆2 : 𝑥 + 4𝑦 − = vng góc với đường thẳng ∆ : 2𝑥 − 𝑦 + =

5. Vấn đề 5: Các toán liên quan đến quan hệ song song vng góc Viết phương trình đường cao AH tam giác ABC

a Nhắc lại: đường cao 𝐴𝐻 tam giác 𝐴𝐵𝐶 đường thẳng qua đỉnh 𝐴 vng góc với cạnh 𝐵𝐶, cắt 𝐵𝐶 𝐻

b Phương pháp:

 Tính 𝐵𝐶 = 𝑥𝐶− 𝑥𝐵; 𝑦𝐶− 𝑦𝐵 = 𝑎; 𝑏

 Đường cao 𝐴𝐻 qua điểm 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐴 nhận vectơ 𝐵𝐶 = 𝑎; 𝑏 làm VTPT, có dạng: 𝑎 𝑥 − 𝑥𝐴 + 𝑏 𝑦 − 𝑦𝐴 =

c Ví dụ: mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho 𝐴 1; , 𝐵 2; −3 , 𝐶 1; −2 Hãy lập phương trình đường cao 𝐴𝐻 Giải:

– Ta có: 𝐵𝐶 = (−1; 1)

– Đường cao 𝐴𝐻 qua điểm 𝐴 1; nhận vectơ 𝐵𝐶 = −1; làm VTPT, có dạng: −1 𝑥 − + 𝑦 − = ↔ 𝑦 − 𝑥 − =

A

C H

(9)

d Bài tập:

1 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho 𝐴 1; , 𝐵 3; −5 , 𝐶 2; −2 Hãy lập phương trình đườ ng cao 𝐴𝐻, 𝐵𝐾, 𝐶𝑃

2 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, Cho 𝐴 1; phương trình hai đường cao xuất phát từ đỉnh 𝐵 𝐶 là: 𝑥 − 3𝑦 + = va 2𝑥 − 3𝑦 + = Hãy lập phương trình đườ ng cao 𝐴𝐻

3 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho cạnh 𝐴𝐵: 5𝑥 − 3𝑦 + = 0, đườ ng cao qua đỉnh 𝐴 𝐵 lần lượt có phương trình là : 4𝑥 − 3𝑦 + = va 7𝑥 + 2𝑦 − 22 = Hãy lập phương trình đường cao lại tam giác 𝐴𝐵𝐶

2 Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB, với 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐴 𝑣à 𝐵 𝑥𝐵; 𝑦𝐵

a Nhắc lại: đường trung trực đoạn thẳng, đường thẳng qua trung điểm cạnh vng góc với cạnh

b Phương pháp:

 Tìm điểm 𝑀 trung điểm đoạn 𝐴𝐵  Tính vectơ 𝐴𝐵 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴

 Lập phương trình đường trung trực (𝑑) qua điểm 𝑀, vuông góc với đoạn thẳng 𝐴𝐵, nên nhận vectơ 𝐴𝐵 làm VTPT

c Ví dụ: Viết phương trình đường trung trực của đoa ̣n 𝑀𝑁, vớ i 𝑀 1; , 𝑁 3,6 Giải:

- Toạ độ trung điểm I đoạn MN là: 𝑥𝐼 = 𝑥𝑀+𝑥𝑁

2 = 𝑦𝐼 =𝑦𝑀+𝑦𝑁

2 =

→ 𝐼 1; - Ta có: 𝐴𝐵 = (2; 4)

- phương trình đường trung trực (d) qua điểm 𝐼 1; , vng góc với đoạn thẳng 𝑀𝑁, nên nhận vectơ 𝐴𝐵 = (2; 4) làm VTPT, có dạng:2 𝑥 − + 𝑦 − = ↔ 2𝑥 + 4𝑦 − 10 =

d Bài tập:

1 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho 𝐴 1; , 𝐵 3; −5 , 𝐶 2; −2 Lập phương trình đườ ng trung trực của tam giác 𝐴𝐵𝐶

2 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vớ i trung tuyến 𝐴𝑀: 2𝑥 − 3𝑦 + = cạnh 𝐵𝐶: 𝑥 − 2𝑦 + = Lập phương trình đường trung trực của ca ̣nh 𝐵𝐶

3 Viết phương trình ba đường trung trực của tam giác 𝐴𝐵𝐶, biết trung điểm củ a ba ca ̣nh là : 𝑀 −1; −1 , 𝑁 1; , 𝑃 9;

3 Tìm hình chiếu điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 lên đường thẳng ∆ a Phương pháp:

 Lập phương trình đường thẳng (𝑑) qua điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 vng góc với đường thẳng ∆

A B

(10)

 Tìm giao điểm 𝐻 đường thẳng (𝑑) đường thẳng ∆

 Giao điểm 𝐻 hình chiếu điểm 𝑀 lên đường thẳng ∆

b Ví dụ: Tìm hình chiếu điểm 𝐴 4; lên đườ ng thẳng ∆ có phương trình: 𝑥 − 2𝑦 + = Giải:

– Ta có: 𝑛 = (1; −2) ∆

– (𝑑) qua 𝐴 4; vng góc ∆ , nhận VTPT 𝑛 = (1; −2) làm VTCP , hay ∆ 𝑛 = u∆ =d (1; −2) nên có dạng: 𝑦 = − 2𝑡𝑥 = + 𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅 hay: 2𝑥 + 𝑦 − =

– Giao điểm 𝐻 (𝑑) ∆ nghiệm hệ : 𝑥 − 2𝑦 + =

2𝑥 + 𝑦 − = →

𝑥 = 14 𝑦 = 17

5

→ 𝐻 14 ;

17

– Hình chiếu điểm 𝐴 4; lên đườ ng thẳng ∆ 𝐻 14 ;

17 c Bài tập:

1 Tìm hình chiếu điểm 𝑀 2; lên đườ ng thẳng ∆ có phương trình: 3𝑥 + 2𝑦 − = Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho điểm 𝐴 2; cạnh 𝐵𝐶: 𝑥 + 2𝑦 − = Hãy tìm chân đường cao

𝐴𝐻 tam giác 𝐴𝐵𝐶

3 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho 𝐴 2; , 𝐵 −1,3 , 𝐶(3, −4) Hãy tìm chân đường cao 𝐵𝐾 tam giác 𝐴𝐵𝐶

4 Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆ a Phương pháp:

 Lập phương trình (𝑑) qua điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 vng góc với ∆  Tìm giao điểm 𝐼 đường thẳng (𝑑) ∆

 Để 𝑀’ đối xứng với 𝑀 qua ∆ 𝐼 trung điểm đoạn 𝑀𝑀’  Áp dụng cơng thức tính tọa độ trung điểm để tìm tọa độ điểm 𝑀’

b Ví dụ: Tìm điểm B đối xứng với 𝐴 4; qua ∆ có phương trình: 𝑥 − 2𝑦 + = Giải:

– Ta có: 𝑛 = (1; −2) ∆

– (𝑑) qua 𝐴 4; vng góc ∆ , nhận VTPT 𝑛 = (1; −2) làm VTCP , hay ∆ 𝑛 = u∆ =d (1; −2) nên có dạng: 𝑦 = − 2𝑡𝑥 = + 𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅 hay: 2𝑥 + 𝑦 − =

– Giao điểm I (d) ∆ nghiệm hệ : 𝑥 − 2𝑦 + = 2𝑥 + 𝑦 − = →

𝑥 = 14 𝑦 = 17

5

→ 𝐻 14 ;

17

– Hình chiếu điểm 𝐴 4; lên đườ ng thẳng ∆ 𝐼 14;17

A

H ∆

𝑑

M

I ∆

𝑑

(11)

– Để 𝐵 đối xứ ng với 𝐴 4; qua ∆ có phương trình: 𝑥 − 2𝑦 + = 0, 𝐼 trung điểm đoạn

𝐴𝐵 Ta có: 𝑥𝐼 = 𝑥𝐴+𝑥𝐵

2 𝑦𝐼 = 𝑦𝐴+𝑦𝐵

2

→ 𝑥𝐵 = 2𝑥𝐼− 𝑥𝐴 = 𝑦𝐵 = 2𝑦𝐼− 𝑦𝐴 = 29

5

→ 𝐵 5;

29

– Vâ ̣y toa ̣ đô ̣ điểm đối xứng với 𝐴 4; qua đườ ng thẳng ∆ là: 𝐵 5;

29 c Bài tập:

1 Tìm điểm 𝐴’ đối xứ ng với điểm 𝐴 3; −2 qua đườ ng thẳng ∆ có phương trình: 2𝑥 − 3𝑦 + = Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vớ i phương trình ba ca ̣nh là : 𝐴𝐵: 𝑥 − 2𝑦 + = 0, 𝐴𝐶: 2𝑥 − 𝑦 − = 0, 𝐵𝐶: 𝑥 − 𝑦 − = 0.Tìm các điểm đối xứng vớ i ba đỉnh của tam giác , qua các cạnh đối

3 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vớ i 𝐴 3; −2 phương trình hai đường phân giác góc 𝐵, 𝐶 lần lượt là 𝑑1 : 𝑥 − 3𝑦 + = 𝑑2 : 2𝑥 − 3𝑦 − = Hãy lập p hương trình ba cạnh tam giác 𝐴𝐵𝐶

5 Viết phương trình đường thẳng ∆ , đối xứng với đường thẳng (d) qua điểm M 𝑥; 𝑦 a Phương pháp:

 Chọn điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 ∈ (𝑑)  Tìm 𝑀’ đối xứng với với điểm 𝑀𝑜 qua 𝑀

(𝑀 trung điểm đoạn 𝑀𝑜𝑀’)

 Viết phương trình đường thẳng ∆ , đới xứ ng với đường thẳng (𝑑) qua điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 chính đường thẳng qua điểm 𝑀’ song song (𝑑)

b Ví dụ: Lập phương trình ∆ , đối xứ ng với đường thẳng 𝑑 : 𝑥 − 3𝑦 + = qua điểm 𝐴 1; Giải:

- Chọn điểm 𝐵 −1; ∈ (𝑑)

- gọi 𝐵′ 𝑥; 𝑦 điểm đối xứng với điểm 𝐵 −1; qua điểm 𝐴 1; Nên 𝐴 1; trung điểm đoa ̣n 𝐵𝐵’ Ta có: 𝑥𝐴=

𝑥𝐵 ′+𝑥𝐵 𝑦𝐴 =𝑦𝐵 ′+𝑦𝐵

2

→ 𝑥𝐵′ = 2𝑥𝐴− 𝑥𝐵 =

𝑦𝐵′ = 2𝑦𝐴− 𝑦𝐵 = → 𝐵

′ 3;

- ∆ đối xứ ng với 𝑑 : 𝑥 − 3𝑦 + = qua điểm 𝐴 1; chính đường thẳng qua điểm 𝐵 3; song song với (𝑑), sẽ nhận VTPT 𝑛 = 1; −3 (𝑑) làm VTPT cho ∆ Nên co𝑑 ́ da ̣ng:

1 𝑥 − − 𝑦 − = ↔ 𝑥 − 3𝑦 + = c Bài tập:

1 Lâ ̣p phương trình ∆ , đối xứ ng với đường thẳng 𝑑 : 2𝑥 + 𝑦 + = qua điểm 𝐴 3; −2

2 Cho hình chữ nhâ ̣t 𝐴𝐵𝐶𝐷, vớ i phương trình hai ca ̣nh là : 𝑥 − 3𝑦 + = 3𝑥 + 𝑦 + = Lập phương trình hai ca ̣nh còn la ̣i của hình chữ nhâ ̣t , biết tâm hình chữ nhật 𝑂 3; −2

M’ Mo

M

d

(12)

6 Tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC a Phương pháp:

 Tâm 𝐼 đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶, giao điểm hai đường trung trực hai cạnh tam giác

 Bán kính 𝑅 đường trịn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 𝑅 = 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 b Ví dụ:

Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, có 𝐴 −2; , 𝐵 5; , 𝐶(6; −2) a Viết phương trình đường trung trực của ca ̣nh 𝐴𝐶, 𝐴𝐵

b Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoa ̣i tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 Giải:

a * phương trình đường trung trực của ca ̣nh 𝐴𝐶: – Trung điểm 𝑀 đoạn AC: 𝑥𝑀=

𝑥𝐴+𝑥𝐶 = 𝑦𝑀 =𝑦𝐴+𝑦𝐶

2 =

→ 𝑀(2; 1) – vectơ 𝐴𝐶 = 8; −6

– Đường trung trực 𝐴𝐶, qua 𝑀 2; nhận vec tơ 𝐴𝐶 = 8; −6 làm VTPT , có dạng : 𝑥 − − 𝑦 − = ↔ 8𝑥 − 6𝑦 − 10 =

* phương trình đường trung trực của ca ̣nh 𝐴𝐵: – Trung điểm 𝑁 đoạn 𝐴𝐵: 𝑥𝑁 =

𝑥𝐴+𝑥𝐵 =

3 𝑦𝑁 = 𝑦𝐴+𝑦𝐵

2 =

9

→ 𝑁(3 2;

9 2)

– vectơ 𝐴𝐵 = 7;

– Đường trung trực cạnh 𝐴𝐵, qua điểm 𝑁 2;

9

2 nhận vectơ 𝐴𝐵 = 7; làm VTPT , có dạng: 𝑥 −3

2 + 𝑦 −

2 = ↔ 7𝑥 + 𝑦 − 15 =

b * Tâm 𝐼(𝑥𝐼; 𝑦𝐼)đường tròn ngoa ̣i tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶, giao điểm hai đường trung trực 𝐴𝐶 𝐴𝐵 Nên là nghiê ̣m của ̣: 8𝑥𝐼− 6𝑦𝐼+ 10 =

7𝑥𝐼+ 𝑦𝐼− 15 = → 𝐼 2;

* Bán kính 𝑅 đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶: 𝑅 = 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 Mà 𝐼𝐴 = −4; → 𝑅 = 𝐼𝐴 = 𝐼𝐴 = −4 2+ 32 =

c Bài tập:

1 Cho ba đườ ng thẳng ∆1 : 3𝑥 + 4𝑦 − = 0, ∆2 : 4𝑥 + 3𝑦 − = 0, ∆3 : 𝑦 = Hãy tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tạo b ởi ba đường thẳng

(13)

6. Vấn đề 6: Vị trí tương đối hai đường thẳng a phương pháp giải:

1 Hai đường thẳng được cho dạng phương trình tổng quát: ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = Ta xét hai vectơ pháp tuyến: 𝑛 = 𝐴∆1 1; 𝐵2 ; 𝑛 = 𝐴∆2 1; 𝐵2  𝐴1

𝐴2 ≠ 𝐵1

𝐵2 ↔ ∆1 cắt ∆2  𝐴1

𝐴2 = 𝐵1 𝐵2 ≠

𝐶1

𝐶2 ↔ ∆1 song song ∆2  𝐴1

𝐴2 = 𝐵1 𝐵2 =

𝐶1

𝐶2 ↔ ∆1 trùng ∆2

2 Hai đường thẳng được cho dạng phương trình tham số: ∆1 :

𝑥 = 𝑥1+ 𝑡𝑎1

𝑦 = 𝑦1+ 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 ∆2 :

𝑥 = 𝑥2+ 𝑡𝑏1

𝑦 = 𝑦2+ 𝑡𝑏2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 Ta xét hai vectơ phương: 𝑎 = 𝑎1; 𝑎2 ; 𝑏 = 𝑏1; 𝑏2

 𝑎1 𝑎2≠

𝑏1

𝑏2 ↔ ∆1 cắt ∆2  𝑎1

𝑎2= 𝑏1 𝑏2 ≠

𝑥1−𝑥2

𝑦1−𝑦2 ↔ ∆1 song song ∆2  𝑎1

𝑎2= 𝑏1 𝑏2 =

𝑥1−𝑥2

𝑦1−𝑦2 ↔ ∆1 cắt ∆2

3 Hai đường thẳng được cho hai dạng phương trình khác nhau: ∆1 : 𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑦𝑜+ 𝑡𝑎1

𝑜+ 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 ∆2 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = (2)

Ta thay 𝑥, 𝑦 vào , để phương trình bậc 𝑡, dạng: 𝑓(𝑡) =  Nếu 𝑓(𝑡) = có nghiệm → ∆1 cắt ∆2 từ 𝑡𝑜 ta giao điểm

 Nếu 𝑓(𝑡) = vô nghiệm → ∆1 song song ∆2  Nếu 𝑓(𝑡) = vô số nghiệm → ∆1 trùng ∆2 b Ví dụ: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau:

a ∆1 : 3𝑥 − 2𝑦 + = 0, ∆2 : 5𝑥 − 𝑦 + = b ∆1 : 𝑥 = − 2𝑡

𝑦 = + 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅, ∆2 :

𝑥 = −2 + 3𝑡

𝑦 = − 5𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 c ∆1 : 5𝑥 + 3𝑦 + = , ∆2 : 𝑥 = + 3𝑡

𝑦 = − 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 (2) Giải:

a Xét hai vectơ pháp tuyến: 𝑛 = 3; −2 ; 𝑛∆1 = 5; −1 Ta co∆2 ́: 5≠

−2

−1 → ∆1 că t ∆2 b Xét hai vectơ phương: 𝑎 = −2; ; 𝑏 = 3; −5 Ta có: −23 ≠

(14)

5 + 3𝑡 + − 𝑡 + = ↔ 12𝑡 + 24 = ↔ 𝑡 = −2 Vâ ̣y ∆1 că t ∆2 , tọa độ giao điểm 𝑀:

𝑥 = + 3(−2) = −3

𝑦 = − −2 = ⇒ 𝑀(−3; 4) c Bài tập:

1 Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau:

a ∆1 : 2𝑥 − 𝑦 + = 0, ∆2 : 𝑥 + 2𝑦 − = b ∆1 : 2𝑥 + 5𝑦 + = 0, ∆2 : 4𝑥 + 10𝑦 − = c ∆1 : 𝑥 − 3𝑦 + = 0, ∆2 : −4𝑥 + 12𝑦 − = Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau:

a ∆1 : 𝑥 = + 3𝑡

𝑦 = −3 = 2𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅 , ∆2 :

𝑥 = 5𝑡

𝑦 = + 3𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 b ∆1 : 𝑥 = −1 + 𝑡

𝑦 = − 3𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅, ∆2 :

𝑥 = −2𝑡

𝑦 = + 6𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 c ∆1 :

𝑥 = −1 + 5𝑡

𝑦 = + 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅, ∆2 :

𝑥 = −2 + 15𝑡

𝑦 = 13 + 3𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau:

a ∆1 : 𝑥 = + 3𝑡

𝑦 = −3 = 2𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅 , ∆2 : 3𝑥 + 2𝑦 − = b ∆1 : 4𝑥 + 2𝑦 − = 0, ∆2 : 𝑥 = −2𝑡

𝑦 = + 6𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 c ∆1 : 𝑥 = −1 + 5𝑡

𝑦 = + 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅, ∆2 : 3𝑥 + 𝑦 + = Chứng minh rằng , ba đường thẳng sau đồng quy:

∆1 : 3𝑥 − 2𝑦 − 14 = 0; ∆2 : 5𝑥 − 4𝑦 − 26 = 0; ∆3 : 𝑥 − 7𝑦 − 30 = Tùy theo giá trị m, hãy biện luận vị trí tương đối hai đường thẳng :

∆1 : 𝑚𝑥 + 𝑦 + = ∆2 : 𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑚 + =

7. Vấn đề 7: Khoảng cách góc a Phương pháp giải:

 Khoảng cách: từ điểm 𝑀𝑜(𝑥𝑜; 𝑦𝑜) đến đường thẳng (∆): 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, tính theo công thức: 𝑑 𝑀𝑜; ∆ =

𝐴𝑥𝑜 + 𝐵𝑦𝑜+ 𝐶 𝐴2+ 𝐵2

 Góc hai đường thẳng : Cho ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0, với 𝑛1

= 𝐴1; 𝐵1 , 𝑛 = 𝐴2 2; 𝐵2 lần lượt là VTPT của ∆1 , ∆2 thì: cos ∆1; ∆2 = n n1

n n1

(15)

b Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳn g, ta phải xét vị trí tương đối hai đường thẳng đó trước , nếu cắt hoă ̣c trùng thì khoảng cách bằng 0, nếu song song thì ta chọn điểm đường thẳng tính khoả ng cách đến đường thẳng

c Ví dụ:

1 Tính khoảng cách từ 𝐴 −1; , đến đường thẳng 𝑑 : 2𝑥 + 6𝑦 − = Giải: 𝑑 A; d = −1 +6.2−3

22+62 = 40 =

7 10

2 Tính góc hợp bởi hai đường thẳng : 𝑑1 : 3𝑥 + 4𝑦 − = 0, 𝑑2 : 4𝑥 − 3𝑦 − = Giải: ta có: 𝑛 = 3; , 𝑛1 = 4; −3 ⇒ cos 𝑑2 1; 𝑑2 = n n1

n n1 =

3.4+4.(−3) 32+42 42+32 = d Bài tập:

1 Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cho tương ứng sau : a 𝐴 3; 𝑑 : 4𝑥 + 3𝑦 + =

b 𝐴 2; (d) qua hai điểm : 𝑀 1; −3 , 𝑁(2; −5) Cho hai đường thẳng: ∆1 : 5𝑥 − 3𝑦 + = 0, ∆2 :

𝑥 = 6𝑡 𝑦 =7

6+ 10𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑅 a Chứng minh rằng ∆1 // ∆2

b Tính khoảng cách giữa ∆1 ∆2 Tìm góc giữa các cặp đường thẳng

a ∆1 : 𝑥 + 2𝑦 + = 0, ∆2 : 𝑥 − 3𝑦 + = b ∆1 : 2𝑥 − 𝑦 + = 0, ∆2 : 𝑥 − 3𝑦 + =

4 Đi ̣nh 𝑚 để góc góc giữa hai đường thẳng ∆1 , ∆2 30𝑜 biết: ∆1 : 𝑥 + 2𝑦 − = va ∆2 : 𝑥 = + 3𝑡

𝑦 = − 𝑚𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 Cho hai đường thẳng ∆1 : 𝑥 − 2𝑦 + = 0, ∆2 : 3𝑥 − 𝑦 =

a Chứng tỏ ∆1 , ∆2 cắt Tìm tọa độ giao điểm ∆1 , ∆2 b Tính góc giữa ∆1 , ∆2

8. Vấn đề 8: Viết phương trình đường thẳng ∆ , qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 có khoảng cách đến điểm 𝑀 𝑥𝑀; 𝑦𝑀 đoạn cho trước 𝑚

a Phương pháp:

 Gọi ∆ qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 có VTPT 𝑛 = 𝐴; 𝐵 có dạng: 𝐴 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑜 = (1) hay: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 − 𝐴𝑥𝑜+ 𝐵𝑦𝑜 =

 Sử dụng điều kiện: 𝑑 𝑀; ∆ = 𝑚 ↔𝐴𝑥𝑀+𝐵𝑦𝑀− 𝐴𝑥𝑜+𝐵𝑦𝑜

𝐴2+𝐵2 = 𝑚  Giải điều kiện trên, ta tìm 𝐴 𝐵

(16)

b Ví dụ: Viết phương trình (∆) qua điểm 𝐴(−1; 2), có khoảng cách đến điểm 𝐵(3; 5) bằng Giải:

- Gọi ∆ qua điểm 𝐴(−1; 2) có VTPT 𝑛 = 𝐴; 𝐵 có dạng: 𝐴 𝑥 + + 𝐵 𝑦 − = (1) hay: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐴 − 2𝐵 =

- Sử dụng điều kiện:

𝑑 𝐵; ∆ = ↔3𝐴 + 5𝐵+ 𝐴 −2𝐵

𝐴2+𝐵2 = ↔

4𝐴 + 3𝐵

𝐴2+𝐵2 = ↔ 4𝐴 + 3𝐵

2 = 𝐴2+ 𝐵2 ↔ 16𝐴2 + 9𝐵2+ 24𝐴𝐵 = 9𝐴2+ 9𝐵2 ↔ 7𝐴2+ 24𝐴𝐵 = (2)

- giải phương trình (2) theo 𝐴, ta được: 𝐴 = 0, 𝐴 = −24 𝐵 + vớ i 𝐴 = 0, Thay vào (1) ⇒ 𝑦 − =

+ vớ i 𝐴 = 24 → 𝐵 = −7, Thay vào (1) ⇒ 24𝑥 − 7𝑦 + 38 = c Bài tập:

1 Viết phương trình (∆) qua điểm 𝑀(1; −2), có khoảng cách đến điểm 𝑁(2; 3) bằng Viết phương trình (∆) vuông góc với 𝑑 : 2𝑥 + 6𝑦 − = cách 𝑀 5; một khoảng 10 Lập phương trình (∆2), biết ∆2 // ∆1 : 7𝑥 − 𝑦 + = cách 𝑀 1; một khoảng

1 2

9. Vấn đề 9: Viết phương trình ∆ , qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 tạo với (d): 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = góc 𝛼 a Phương pháp:

 Gọi ∆ qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 có VTPT 𝑛 = 𝐴; 𝐵 có dạng: 𝐴 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑜 = (1) hay: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 − 𝐴𝑥𝑜+ 𝐵𝑦𝑜 =

 Áp dụng công thức: cos ∆1; ∆2 = A.a+B.b

A2+B2 a2+b2 (∗)  Từ đẳng thức (∗) ta tìm 𝐴 𝐵

 Thay 𝐴, 𝐵 vào phương trình (1), ta đường thẳng ∆ cần tìm

b Ví dụ: Cho ∆ : 2𝑥 + 3𝑦 + = Viết phương trình 𝑑 qua 𝑀 2; tạo với ∆ một góc 450 Giải:

- Gọi 𝑑 qua 𝑀 2; 1𝑜 có VTPT 𝑛 = 𝐴; 𝐵 có dạng: 𝐴 𝑥 − + 𝐵 𝑦 − = (1) hay: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 − 2𝐴 + 𝐵 =

- Do 𝑑 ∆ , hợp với mô ̣t góc 450

, nên ta có: cos d; ∆ = cos 450 = 2A + 3B

A2+ B2 + 9=

2 ↔ 4𝐴 + 6𝐵 = 26 𝐴2 + 𝐵2 ↔ 16𝐴2 + 36𝐵2+ 48𝐴𝐵 = 26 𝐴2+ 𝐵2 ↔ 10𝐴2− 10𝐵2− 48𝐴𝐵 =

- Giải phương trình theo 𝐴, ta được: 𝐴 = 5𝐵, 𝐴 = −1 5𝐵

(17)

c Bài tập:

1 Cho đườ ng thẳng ∆ có phương trình : 5𝑥 − 4𝑦 − = Viết phương trình đường t hẳng qua điểm 𝑀 3; tạo với ∆ một góc 450

2 Cho 𝐴 2; , 𝐵 −1; , 𝐶(8; −2) Viết phương trình (𝑑) qua 𝐴 2; hợp với 𝐵𝐶 một góc 450 Đáy của mô ̣t tam giác cân nằm ∆ : 𝑥 + 2𝑦 = 0, mợt ca ̣nh bên có phương trìn h 𝑥 − 𝑦 + =

và cạnh bên lại qua điểm 𝑀 4; Viết phương trình của ca ̣nh bên qua 𝑀 4;

10.Vấn đề 10: đườ ng phân giác của mô ̣t tam giác, hai đường thẳng thẳng a Các công thức liên quan:

 Khoảng cách đại số: từ 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 đến đường thẳng (∆): 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 𝑡 𝑀𝑜; ∆ =

𝐴𝑥𝑜 + 𝐵𝑦𝑜+ 𝐶 𝐴2 + 𝐵2 Lấy bất kỳ điểm 𝑀 ∈ ∆

 Nếu 𝑡 𝑀𝑜; ∆ > 0: MM cu ng chiê u n o  Nếu 𝑡 𝑀𝑜; ∆ < 0: MM ngược chiê u no  Phân giác tạo hai đường thẳng

Cho hai đườ ng thẳng: ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = Phương trình hai đường phân giác là : 𝐴1𝑥+𝐵1y+𝐶1

A12+B = ε

𝐴2𝑥+𝐵2y+𝐶1 A22+B

2

2 vơ 𝑖 𝜀 = ±1  𝑛 𝑛1 < →

phân gia c go c nhọn ng vơ i 𝜀 = phân gia c go c tu ng vơ i 𝜀 = −1  𝑛 𝑛1 > → 2 phân gia c go c nhọn ng vơ i 𝜀 = −1

phân gia c go c tu ng vơ i 𝜀 =  Phân giác trong, phân giá c ngoài của một tam giác

Giả sử phương trình hai đường phân giác góc 𝐴 là: ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1y + 𝐶1

A12 + B12 = +

𝐴2𝑥 + 𝐵2y + 𝐶1 A22+ B22

∆2 ∶𝐴1𝑥 + 𝐵1y + 𝐶1 A12 + B12 = −

𝐴2𝑥 + 𝐵2y + 𝐶1 A22+ B22  Nê u 𝑡 B; ∆1 𝑡 C; ∆1 < → ∆1 la phân gia c cu a go c A

∆2 la phân gia c ngoài cu a go c A  Nê u 𝑡 B; ∆1 𝑡 C; ∆1 > →

∆1 la phân gia c ngoài cu a go c A ∆2 la phân gia c cu a go c A

(18)

 Gọi phương trình đường phân giác góc 𝐶 (𝑑) (𝑑) qua 𝐶 𝑥𝐶; 𝑦𝐶 có VTPT 𝑛 = 𝑎; 𝑏 nên có da ̣ng: 𝑎 𝑥 − 𝑥𝐶 + 𝑏 𝑦 − 𝑦𝐶 = (∗) ↔ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 𝑎𝑥𝐶+ 𝑏𝑥𝐶 =

 Gọi 𝐶1 là góc hợp bởi ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = và 𝑑 Ta có: cos ∆1, 𝑑 = cos 𝐶1 = 𝐴1.𝑎 +𝐵1.𝑏

𝐴21+𝐵

12 𝑎2+𝑏2

(1)

 Gọi 𝐶2 là góc hợp bởi ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = và 𝑑 Ta có: cos ∆2, 𝑑 = cos 𝐶2 = 𝐴2.𝑎 +𝐵2.𝑏

𝐴22+𝐵22 𝑎2+𝑏2 (2)  Do 𝐶1 = 𝐶2, nên từ (1) (2) ta có:

𝐴1.𝑎 +𝐵1.𝑏 𝐴12+𝐵12 𝑎2+𝑏2

= 𝐴2.𝑎 +𝐵2.𝑏 𝐴22+𝐵22 𝑎2+𝑏2

↔ 𝐴1.𝑎 +𝐵1.𝑏 𝐴21+𝐵12

= 𝐴2.𝑎 +𝐵2.𝑏 𝐴22+𝐵22

(3)  Giải phương trình (3), ta tìm được các giá tri ̣ của 𝑎, 𝑏

 Thay ca c gia trị đo va o * , ta được các đường phân giác cần tìm Và để tìm đường ph ân giác hay ngoài (tù hay nhọn), ta áp du ̣ng các công thức ở phần

c Ví dụ:

1 Cho tam gia c ABC co 𝐴𝐶 : 3𝑥 + 4𝑦 − = 0, 𝐴𝐵 : 4𝑥 + 3𝑦 − = 0, 𝐵𝐶 : 𝑦 = Hãy lập phương trình đường phân giác góc 𝐴

Giải:

 Tọa độ ba đỉnh 𝐴, 𝐵, 𝐶 là nghiệm các hệ ph ương trình sau: 3𝑥 + 4𝑦 − =

4𝑥 + 3𝑦 − = → 𝐴 −2; ;

3𝑥 + 4𝑦 − =

𝑦 = → 𝐶 2; ;

3𝑥 + 4𝑦 − =

𝑦 = → 𝐵 3;  Gọi (𝑑) là phương trình đường phân giác góc 𝐴 (𝑑) qua 𝐴 −2; có VTPT 𝑛 = 𝑎; 𝑏

nên có da ̣ng: 𝑎 𝑥 + + 𝑏 𝑦 − = (∗) ↔ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 2𝑎 − 3𝑏 =  Gọi 𝐴 góc hợp bởi 𝐴𝐶 : 3𝑥 + 4𝑦 − = và 𝑑 Ta co1 ́:

cos 𝐴𝐶, 𝑑 = cos 𝐴1 = 3.𝑎+4.𝑏 32+42 𝑎2+𝑏2 =

3𝑎+4𝑏

5 𝑎2+𝑏2 (1)

 Gọi 𝐴 góc hợp bởi 𝐴𝐵 : 4𝑥 + 3𝑦 − = và 𝑑 Ta co2 ́: cos 𝐴𝐵, 𝑑 = cos 𝐴2 = 4.𝑎+3.𝑏

32+42 𝑎2+𝑏2 =

4𝑎+3𝑏

5 𝑎2+𝑏2 (2)  Do 𝐴 = 𝐴1 , nên từ (1) (2) ta co2 ́:

3𝑎+4𝑏 𝑎2+𝑏2 =

4𝑎+3𝑏

5 𝑎2+𝑏2 ↔ 3𝑎 + 4𝑏 = 4𝑎 + 3𝑏 (3)  Từ (3), ta xét hai trường hợp sau:

 3𝑎 + 4𝑏 = 4𝑎 + 3𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏, thay vào (*) ta được:

(19)

𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 2𝑎 + 3𝑎 = ↔ 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 5𝑎 = ↔ 𝑥 − 𝑦 + =  Xét 𝑑 : 𝑥 − 𝑦 − = 0, ta có: 𝑡(𝐵; 𝑑) =

1 3−1 12+12 = −

3 𝑡(𝐶; 𝑑) = 2−1 12+12 =

2

Do 𝑡(𝐵; 𝑑) 𝑡(𝐶; 𝑑) < 0, nên phương trình đường phân giác của góc 𝐴 là: 𝑥 + 𝑦 − = Lập phương trình hai đường phân giác của góc ta ̣o bởi hai đường thẳng sau :

∆1 : 2𝑥 − 3𝑦 − = 0, ∆2 : 3𝑥 − 2𝑦 = Giải:

 Tọa độ giao điểm 𝑀 hai đường thẳng, nghiệm hệ sau: 2𝑥 − 3𝑦 − =

3𝑥 − 2𝑦 = → 𝑀 −2; −3  Gọi (d) phương trình đường phân giác góc 𝑀 (d) qua 𝑀 −2; −3 có VTPT 𝑛 =

𝑎; 𝑏 nên có da ̣ng: 𝑎 𝑥 + + 𝑏 𝑦 + = (∗) ↔ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 2𝑎 + 3𝑏 =  Gọi 𝑀1 góc hợp bởi ∆1 : 2𝑥 − 3𝑦 − = 𝑑 Ta có:

cos ∆1, 𝑑 = cos 𝑀1 = 2.𝑎−3.𝑏 22+32 𝑎2+𝑏2 =

2𝑎−3𝑏

13 𝑎2+𝑏2 (1)  Gọi 𝑀2 góc hợp bởi ∆2 : 3𝑥 − 2𝑦 = 𝑑 Ta có: cos ∆2, 𝑑 = cos 𝑀2 = 3.𝑎−2.𝑏

32+22 𝑎2+𝑏2 =

3𝑎 −2𝑏

13 𝑎2+𝑏2 (2)  Do 𝑀 = 𝑀1 2, nên từ (1) (2) ta có:

2𝑎 −3𝑏 13 𝑎2+𝑏2 =

3𝑎 −2𝑏

13 𝑎2+𝑏2 ↔ 2𝑎 − 3𝑏 = 3𝑎 − 2𝑏 (3)  Từ (3), ta xét hai trường hợp sau:

 2𝑎 − 3𝑏 = 3𝑎 − 2𝑏 ↔ 𝑏 = −𝑎, thay vào (*) ta được:

𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 2𝑎 − 3𝑎 = ↔ 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑎 = ↔ 𝑥 − 𝑦 − =  2𝑎 − 3𝑏 = −(3𝑎 − 2𝑏) ↔ 𝑏 = 𝑎, thay vào (*) ta được:

𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 2𝑎 + 3𝑎 = ↔ 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 5𝑎 = ↔ 𝑥 + 𝑦 + =

Do 𝑛 𝑛∆1 = 2.3 + 3.2 = 12 > 0, nên đươ∆2 ̀ ng phân giác góc tù của 𝑀 là: 𝑥 − 𝑦 − = phân giác góc nhọn là: 𝑥 + 𝑦 + =

d Bài tập:

1 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho ∆1 : 𝑥 − 2𝑦 − = 0; ∆2 : 2𝑥 − 3𝑦 + = Hãy lập phương trình hai đường phân giác góc tạo bởi hai đường thẳng

2 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝐴 1; , 𝐵 −2; , 𝐶 3; −1 Hãy viết phương trình hai đường phân giác của góc 𝐵

3 Viết phương trình đường phân giác góc 𝐴 tam giác 𝐴𝐵𝐶, biết trung điểm củ a ba ca ̣nh là: 𝑀 −1; −1 , 𝑁 1; , 𝑃 9;

III – BÀI TẬP TO ̉NG HỢP:

(20)

a Viết phương trình 3 cạnh tam giác 𝐴𝐵𝐶

b Viết phương trình 3 đườ ng trung tuyến, ̣nh tro ̣ng tâm 𝐺 tam giác 𝐴𝐵𝐶 c Viết phương trình 3 đườ ng trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶

d Viết phương trình 3 đườ ng cao, ̣nh trực tâm 𝐻 tam giác 𝐴𝐵𝐶 e Viết phương trình 3 đườ ng trung trực của tam giác 𝐴𝐵𝐶

f Tìm tâm 𝐼 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶

2 Tam giác 𝐴𝐵𝐶, có phương trình cạnh 𝐴𝐵 : 5𝑥 − 3𝑦 + = 0, đườ ng cao qua đỉnh 𝐴 𝐵 lần lượt là : 4𝑥 − 3𝑦 + = 7𝑥 + 2𝑦 − 22 = Hãy lập phương trình hai cạnh 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 đườ ng cao thứ 3 Lâ ̣p phương trình các ca ̣nh của tam giác 𝐴𝐵𝐶, nếu cho 𝐴 1; hai đường trung tuyến có phương trình

là: 𝑥 − 2𝑦 + = 0, 𝑦 − =

4 Tìm phương trình đường thẳng ∆ đới xứ ng với đường thẳng 𝑑 : 𝑥 + 𝑦 − = qua đườ ng thẳng 𝑑′ : 2𝑥 − 𝑦 − =

5 Lâ ̣p phương trình các ca ̣nh của tam giác 𝐴𝐵𝐶, nếu 𝐵 2; −1 , đườ ng cao và phân giác qua hai đỉnh 𝐴, 𝐶 lần lượt là: 3𝑥 − 4𝑦 + 27 = 0, 𝑥 + 2𝑦 − =

6 Cho điểm 𝐴 4; , 𝐵 −1; Tìm tập hợp điểm 𝑀 cho 𝑆∆𝑀𝐴𝐵 =

7 Cho 𝐴 0; −2 , 𝐵 −1; 14 , 𝐶 −1; Tìm phương trình đường thẳng (𝑑) qua 𝐴 cắt 𝐵𝐶 𝑀 cho: 𝑆∆𝐴𝑀𝐶 = 2𝑆∆𝐴𝑀𝐵

8 Viết phương trình đường thẳng cách 𝐴 0; −3 một khoảng bằng 1 𝐵 3; −4 một khoảng bằng 2 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác với mô ̣t ca ̣nh có trung điểm là 𝑀 −1; , cịn hai cạnh có phương

trình là: 𝑥 + 𝑦 − = va 2𝑥 + 6𝑦 + = Xác định tọa độ các đỉnh tam giác

10 Cho hai đườ n thẳng 𝑑1 : 2𝑥 − 𝑦 − = 0, 𝑑2 : 𝑥 + 𝑦 + = Gọi (𝑑) đườ ng thẳng qua 𝑃 3; , cắt 𝑑1 , 𝑑2 lần lượt ở 𝐴, 𝐵 Viết phương trình (𝑑), biết 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵

11 Lâ ̣p phương trình (𝑑) qua 𝑃 2; −1 cho (𝑑) cùng với hai đường thẳng 𝑑1 : − 𝑦 + = 0, 𝑑2 : 3𝑥 + 6𝑦 − = tạo tam giác cân có đỉnh giao hai đường thẳng 𝑑1 , 𝑑2

12 Tìm trục hồnh điểm 𝑃 cho tởng các khoảng cách từ 𝑃 tớ i các điểm 𝐴 1; , 𝐵 3; nhỏ 13 Viết phương trình các ca ̣nh của hình v uông và đường chéo thứ hai , biết hình vuông có đỉnh 𝐴 −4;

mô ̣t đường chéo nằm đường thẳng: 7𝑥 − 𝑦 + =

14 Viết phương trình đường thẳng cách điểm 𝑃 1; một khoảng bẳng cách điểm 𝑄 2; một khoảng bẳng

15 Cho đường thẳng (∆) có phương trình: 4𝑥 + 2𝑦 − 13 = điểm 𝑃 1; a Tìm tọa độ điểm 𝑃’ đối xứ ng với điểm 𝑃 qua (∆)

(21)

a Tìm tọa độ hình chiếu 𝐴 (∆) b Tìm tọa độ điểm 𝐴’ đới xứng với 𝐴 qua (∆)

17 Lâ ̣p phương trình đường thẳng qua 𝐴 2; tạo với đường thẳng 2𝑥 + 3𝑦 + = mợt góc 450 18 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, có 𝐴 −4; , 𝐵

4; , 𝐶 2; a Viết phương trình đường phân giác góc 𝐴 b Tìm tâm đường trịn nội tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶

19 Cho đường thẳng ∆ : 2𝑥 − 𝑦 − = 0, hai điểm 𝐴 0; , 𝐵 −2; a Tìm 𝑀 ∈ ∆ để 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 nhỏ

b Tìm 𝑁 ∈ ∆ để 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 nhỏ

20 a Viết phương trình ∆ qua 𝑀 2; tạo với hai nửa trục tọa độ dương tam giác cho diện tích nhỏ

b Viết phương trình ∆ qua 𝑀 2; tạo với hai nửa trục to ̣a ta ̣i 𝐴 𝐵 cho: 𝑂𝐴2+

1

𝑂𝐵2 nhỏ 21 Chứng minh rằng (𝑑) tiếp xú c với mô ̣t đường tròn cố ̣nh, Xác định tâm bán kính đường trịn

a 𝑑 : 𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 sin 𝛼 − (2 cos 𝛼 + 1) = b 𝑑 : − 𝑚2 𝑥 + 2𝑚𝑦 − 4𝑚 + =

22 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho hai đườ ng thẳng 𝑑1 , 𝑑2 có phương trình: 𝑑1 : 𝑘𝑥 − 𝑦 + 𝑘 = 0; 𝑑2 : − 𝑘2 𝑥 + 2𝑘𝑦 − + 𝑘2 =

a Chứ ng minh rằng 𝑘 thay đổi, đườ ng thẳng 𝑑1 luôn qua một điểm cố ̣nh b Vớ i mỗi giá tri ̣ 𝑘, hãy xác định giao điểm 𝑑1 𝑣𝑎 𝑑2

c Tìm quỷ tích giao điểm 𝑘 thay đổi

23 Cho 𝑑 : 2𝑥 + 𝑦 − = hai điểm 𝑀 3; , 𝑁 −5; 19 Hạ 𝑀𝐾 ⊥ (𝑑) gọi 𝑃 điểm đối xứng 𝑀 qua (𝑑)

a Tính tọa độ 𝐾 𝑃

b Tìm điểm 𝐴 (𝑑) cho: 𝐴𝑀 + 𝐴𝑁 có giá trị nhỏ tính giá trị 24 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, có đỉnh 𝐴 −1; −3

a Cho hai đườ ng cao: 𝐵𝐻 : 5𝑥 + 3𝑦 − 25 = 0, 𝐶𝐾 : 3𝑥 + 8𝑦 − 12 = 0, Xác định tọa độ đỉnh 𝐵, 𝐶 b Cho đườ ng trung trực của 𝐴𝐵 là: 3𝑥 + 2𝑦 − = 0, trọng tâm 𝐺 4; −2 Xác định tọa độ đỉnh 𝐵, 𝐶 25 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 có đỉnh 𝐴 −1; , đườ ng cao 𝐵𝐻 nằm đườ ng thẳng 𝑦 = 𝑥,

phân giác góc 𝐶 nằm đườ ng thẳng 𝑥 + 3𝑦 + = Viết phương trình ca ̣nh 𝐵𝐶

26 Viết phương trình các ca ̣nh của tam giác 𝐴𝐵𝐶, biết 𝐴 2; −7 , phương trình đường cao và trung tuyến vẽ từ hai đỉnh khác là : 3𝑥 + 𝑦 + 11 = 0, 𝑥 + 2𝑦 + =

(22)

28 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, vớ i các đỉnh 𝐴 −6; −3 , 𝐵 −4; , 𝐶 9;

a Viết phương trình đường thẳng (𝑑) đường phân giác góc 𝐴 b Tìm điểm 𝑃 ∈ 𝑑 cho tứ giác 𝐴𝐵𝑃𝐶 hình thang

29 Cho hai đường thẳng 𝑑1 : 𝑎 − 𝑏 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑑2 : 𝑎2− 𝑏2 𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑏, biết rằng: 𝑏2 = 4𝑎2 + a Xác định giao điểm 𝐸 𝑑1 , 𝑑2

b Tìm tập hợp điểm 𝐸 𝑎, 𝑏 thay đổi

30 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 cân tại 𝐴, hai cạnh 𝐴𝐵 : 3𝑥 + 𝑦 + = 0, 𝐴𝐶 : 𝑥 − 3𝑦 + = Viết phương trình cạnh 𝐵𝐶, biết 𝐵𝐶 qua điểm 𝑀 2;

31 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 cân ta ̣i 𝐴, hai cạnh 𝐴𝐵 : 𝑥 + 𝑦 − = 0, 𝐵𝐶 : 2𝑥 − 3𝑦 − = Viết phương trình cạnh 𝐴𝐶, biết 𝐴𝐶 qua điểm 𝑀 2;

32 Cho hai đườ ng thẳng 𝑑1 : 𝑚𝑥 − 2𝑦 + = 0, 𝑑2 : 𝑥 + 𝑦 − = 0, định 𝑚 để 𝑑1 , 𝑑2 a cắt b song song c trùng

33 Viết phương trình đường thẳng :

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	1,76 MB