Đang tải... (xem toàn văn)
Tâm
(1)PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I –TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ:
a Tọa độ điểm mặt phẳng: Cho 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐴 ; 𝐵 𝑥𝐵; 𝑦𝐵 𝑣à 𝐶 𝑥𝐶; 𝑦𝐶 𝐴𝐵 = (𝑥𝐵− 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)
𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝑥𝐵− 𝑥𝐴 2+ 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
Trung điểm 𝐼 𝑥𝐼; 𝑦𝐼 đoạn 𝐴𝐵, có tọa độ 𝐼:
𝑥𝐼 =𝑥𝐴+𝑥𝐵 𝑥𝐼 =
𝑦𝐴+𝑦𝐵 Trọng tâm 𝐺 𝑥𝐺; 𝑦𝐺 tam giác 𝐴𝐵𝐶, có tọa độ 𝐺: 𝑥𝐼 =
𝑥𝐴+𝑥𝐵+𝑥𝐶 𝑦𝐼 =
𝑦𝐴+𝑦𝐵+𝑦𝐶 b Tọa độ vectơ mặt phẳng: Cho 𝑎 = 𝑎1; 𝑎2 ; 𝑏 = 𝑏1; 𝑏2
𝑘 𝑎 = 𝑘𝑎1; 𝑘𝑎2 𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎1 = 𝑏1 𝑎2 = 𝑏2 𝑎 = 𝑎12+ 𝑎
2
𝑎 ± 𝑏 = 𝑎1± 𝑏1; 𝑎2± 𝑏2 𝑎 𝑏 = 𝑎1 𝑏1+ 𝑎2 𝑏2
cos 𝑎 , 𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 =
𝑎1.𝑏1+𝑎2.𝑏2 𝑎12+𝑎22 𝑏12+𝑏22 c Các công thức khác:
𝑎 //𝑏 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑅: 𝑎 = 𝑘𝑏 ↔ 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 = 𝑎 ⊥ 𝑏 ↔ 𝑎 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 =
Điểm 𝑀 chia đoạn 𝐴𝐵 theo tỉ số 𝑘 ↔ 𝐴𝑀 = 𝑘𝑀𝐵 ↔ 𝑥𝑀 =
𝑥𝐴+𝑘𝑥𝐵 1+𝑘 𝑦𝑀 = 𝑦𝐴+𝑘𝑦𝐵
1+𝑘
2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG:
a Vectơ phương: Vectơ 𝑎 ≠ vectơ phương đường thẳng ∆ giá vectơ 𝑎 song song trùng ∆
b Phương trình tham số đường thẳng:
Đường thẳng ∆ qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦0 có VTCP 𝒂 = 𝒂𝟏; 𝒂𝟐 có phương trình tham số dạng: 𝒙 = 𝒙𝒐+ 𝒕𝒂𝟏
𝒚 = 𝒚𝒐+ 𝒕𝒂𝟐 ; 𝒕 ∈ 𝑹 𝑎
𝑎 𝑎
(2)c Vectơ pháp tuyến: Vectơ 𝑛 ≠ vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ giá vectơ 𝑛 vuông góc ∆
d Phương trình tổng qt đường thẳng:
Đường thẳng ∆ qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦0 có VTPT 𝒏 = 𝑨; 𝑩 có phương trình tổng quát dạng: 𝑨 𝒙 − 𝒙𝒐 + 𝑩 𝒚 − 𝒚𝒐 = 𝟎, 𝑨𝟐+ 𝑩𝟐 ≠ 𝟎
e Các trường hợp đặc biê ̣t:
Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = (1) Nếu 𝐴 = 0, phương trình (1) trở thành: 𝐵𝑦 + 𝐶 = → 𝑦 = −𝐶
𝐵 𝐵 ≠ , đó ∆ //𝑂𝑥 cắt 𝑂𝑦 điểm 0; −𝐶
𝐵 (hình 1)
Nếu 𝐵 = 0, phương trình (1) trở thành: 𝐴𝑥 + 𝐶 = → 𝑥 = −𝐶
𝐴 𝐴 ≠ , đó ∆ //𝑂𝑦 cắt 𝑂𝑥 điểm −𝐶
𝐴; (hình 2)
Nếu 𝐶 = 0, phương trình (1) trở thành: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 0, đó ∆ qua gớc tọa ̣ 𝑂(0; 0) (hình 3) Nếu 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0, ta có thể đưa (1) về da ̣ng: 𝑥𝑎+𝑦
𝑏 = Với 𝑎 = −𝐶
𝐴, 𝑏 = − 𝐶
𝐵 Phương trình (2) được go ̣i là phương trình đường thăng theo đoa ̣n chắn , đường thẳng này cắt 𝑂𝑥 𝑂𝑦 lần lượt ta ̣i 𝑀 𝑎; 𝑁 0; 𝑏 (hình 4)
Hình Hình
Hình Hình
𝑛
𝑛
O
∆ −𝐶
𝐵 𝑦
𝑥 O
∆
−𝐶
𝐴 𝑦
𝑥
O ∆
𝑦
𝑥 O
∆
−𝐶
𝐵 𝑦
𝑥
−𝐶
𝐴 𝑀 𝑁
(3)f Mối quan hệ vectơ phương vectơ pháp tuyến:
Nếu vectơ 𝑛 = 𝐴; 𝐵 VTPT ∆ VTCP ∆ 𝑢 = 𝐵; −𝐴 𝑢 = −𝐵; 𝐴 g Hệ số góc đường thẳng, phương trình đường thẳng chứa hệ số góc:
Hệ số góc đường thẳng: ∆ có VTCP 𝑢 = 𝑢1; 𝑢2 hệ số góc 𝑘 là: 𝒌 = 𝒖𝟐 𝒖𝟏 ∆ qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦0 có hệ số góc 𝐾 có phương trình dạng: 𝒚 − 𝒚𝒐 = 𝑲 𝒙 − 𝒙𝒐
3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG:
a Hai đường thẳng được cho dạng phương trình tổng quát: ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 𝐴1
𝐴2 ≠ 𝐵1
𝐵2 ↔ ∆1 cắt ∆2 𝐴1
𝐴2 = 𝐵1 𝐵2 ≠
𝐶1
𝐶2 ↔ ∆1 song song ∆2 𝐴1
𝐴2 = 𝐵1 𝐵2=
𝐶1
𝐶2 ↔ ∆1 trùng ∆2
b Hai đường thẳng được cho dạng phương trình tham số: ∆1 : 𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑦1+ 𝑡𝑎1
1+ 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 ∆2 :
𝑥 = 𝑥2+ 𝑡𝑏1
𝑦 = 𝑦2 + 𝑡𝑏2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 Ta xét hai vectơ phương: 𝑎 = 𝑎1; 𝑎2 ; 𝑏 = 𝑏1; 𝑏2
𝑎1 𝑎2 ≠
𝑏1
𝑏2 ↔ ∆1 cắt ∆2 𝑎1
𝑎2 = 𝑏1 𝑏2 ≠
𝑥1−𝑥2
𝑦1−𝑦2 ↔ ∆1 song song ∆2 𝑎1
𝑎2 = 𝑏1 𝑏2 =
𝑥1−𝑥2
𝑦1−𝑦2 ↔ ∆1 trùng ∆2
c Hai đường thẳng được cho hai dạng phương trình khác nhau: ∆1 : 𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑦𝑜+ 𝑡𝑎1
𝑜+ 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 ∆2 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = (2)
Ta thay 𝑥, 𝑦 vào , để phương trình bậc 𝑡, dạng: 𝑓(𝑡) = Nếu 𝑓(𝑡) = có nghiệm → ∆1 cắt ∆2 từ 𝑡𝑜 ta tìm giao điểm
Nếu 𝑓(𝑡) = vô nghiệm → ∆1 song song ∆2 Nếu 𝑓(𝑡) = vô số nghiệm → ∆1 trùng ∆2
4 KHOẢNG CÁCH: từ 𝑀𝑜(𝑥𝑜; 𝑦𝑜) đến đường thẳng (∆): 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, tính theo công thức: 𝑑 𝑀𝑜; ∆ = 𝐴𝑥𝑜 + 𝐵𝑦𝑜+ 𝐶
𝐴2+ 𝐵2
5 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG:
Cho ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0, với 𝑛 = 𝐴1 1; 𝐵1 , 𝑛 = 𝐴2 2; 𝐵2 lần lượt là VTPT của ∆1 , ∆2 thì: cos ∆1; ∆2 = n n1
n n1 =
(4)6 CHÙM ĐƯỜNG THẢNG:
Chùm đường thẳng tạo bởi ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0, ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = có phương trình dạng: m 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 + n 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 =
Nếu ∆1 ∩ ∆2 = I → đường thẳng qua 𝐼 đều thuộc chùm Nếu ∆1 // ∆2 → chùm đường thẳng // ∆1 // ∆2 đều thuộc chùm
II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
1. Vấn đề 1: chuyển đổi qua lại giữa các da ̣ng phương trình a Chuyển từ phương trình tham số sang phương trình tổng quát
∆1 : 𝑥 = 𝑥𝑜+ 𝑡𝑎1 (∗)
𝑦 = 𝑦𝑜+ 𝑡𝑎2 (∗∗) ; 𝑡 ∈ 𝑅 → ∆1 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = (2) Từ ∗ , ta có: 𝑡 =𝑥−𝑥𝑜
𝑎1 Thay vào (∗∗), suy ra: 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑎2
𝑎1 𝑥 − 𝑥𝑜 Hòa đồng mẫu số, chuyển vế, rút gọn ta
b Chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình tham số ∆1 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = → ∆1 :
𝑥 = 𝑥𝑜+ 𝑡𝑎1
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 (2)
Từ , chọn 𝑥 = 𝑡 ∗ Thay 𝑥 = 𝑡 vào , ta được: 𝐴𝑡 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = ⇒ 𝑦 = −𝐶 𝐵−
𝐴
𝐵𝑡 (∗∗) Kết hợp (∗) (∗∗) ta phương trình
c Ví dụ:
1 Chuyển phương trình 𝑥 = − 4𝑡 (∗)
𝑦 = − 𝑡 ∗∗ ; 𝑡 ∈ 𝑅 thành phương trình tổng quát Giải:
Từ phương trình (∗∗) ta có: 𝑡 = − 𝑦, thay vào phương trình (∗), ta được: 𝑥 = − − 𝑦 ↔ 𝑥 = −10 + 4𝑦 ↔ 𝑥 − 4𝑦 + 10 =
Là phương trình tổng quát cần tìm
2 Chuyển phương trình 4𝑥 − 3𝑦 + = (∗) thành phương trình tham sớ Giải:
Từ phương trình (∗), ta đặt 𝑥 = 𝑡 (1) Thay vào phương trình (∗), ta được: 4𝑡 − 3𝑦 + = ↔ 3𝑦 = 4𝑡 + ↔ 𝑦 =
3+ 3𝑡 (2) Kết hợp (1) (2), ta có: 𝑥 = 𝑡 𝑦 = 7
3+ 3𝑡
; 𝑡 ∈ 𝑅 Là phương trình tham số cần tìm d Bài tập:
1 Chuyển các phương trình tham số sau về dạng phương trình tổng quát a 𝑥 = − 2𝑡
𝑦 = + 3𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 b
𝑥 = − 𝑡
(5)c 𝑥 = − 5𝑡
𝑦 = − 7𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 d
𝑥 = − 3𝑡
𝑦 = + 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 Chuyển các phương trình tổng quát sau về dạng phương trình tham số:
a 3𝑥 − 5𝑦 + = b 4𝑥 − 6𝑦 + = c 4𝑥 + 3𝑦 + = d 2𝑥 + 3𝑦 + =
2. Vấn đề 2: Viết PTĐT qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 , có VTCP 𝑢 = (u1; u2) hoặc VTPT 𝑛 = (A; B) hoặc ̣ số góc 𝐾 a Phương phá p giải:
Nếu đề cho qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 có VTCP 𝑢 = (u1; u2), ta dùng: 𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑡𝑢1
𝑜+ 𝑡𝑢2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 Nếu đề cho qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 có VTPT 𝑛 = (A; B), ta dùng:𝐴 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑜 = Nếu đề cho qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 có hệ số góc K, ta dùng: 𝑦 − 𝑦𝑜 = 𝐾 𝑥 − 𝑥𝑜
b Ví dụ:
1 Viết phương trình đường thẳng (𝑑) qua điểm 𝑀 2; , có vectơ phương 𝑢 = (3; −2) Giải: đườ ng thẳng (𝑑) qua 𝑀 2; , có VTCP 𝑢 = 3; −2 , có dạng: 𝑥 = + 3𝑡
𝑦 = − 2t ; 𝑡 ∈ 𝑅 Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm 𝑀 −2; −1 , có vectơ pháp tuyến 𝑛 = (5; 2) Giải: đườ ng thẳng (𝑑) qua 𝑀 −2; −1 , có VTPT 𝑛 = 5; , có dạng:
5 𝑥 + + 𝑦 + = ↔ 5x + 2y + 12 =
3 Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm 𝑀 2; , có hệ số góc K = Giải: đườ ng thẳng (𝑑) qua 𝑀 2; , có hệ số góc K = 2, có dạng:
𝑦 − = 𝑥 − ↔ 2𝑥 − 𝑦 + = c Bài tập:
1 Viết phương trình đường thẳng (d), thỏa mãn điều kiện sau: a Đi qua điểm 𝐴 −1; , có vectơ phương 𝑢 = (−3; −2) b Đi qua điểm 𝐵 −1; −3 , có vectơ phương 𝑎 = (−2;2
3) c Đi qua điểm 𝐶
3; −
5 , có vectơ phương 𝑏 = (− 4; −
2 7) Viết phương trình đường thẳng (d), thỏa mãn điều kiê ̣n sau:
a Đi qua điểm 𝑀 −1; , có vectơ pháp tuyến 𝑛 = (−3 4; 2) b Đi qua điểm 𝑁 2; −3 , có vectơ pháp tuyến 𝑛 = (2; −2
5) c Đi qua điểm 𝑃
7; −3 , có vectơ pháp tuyến 𝑛 = (−2; − 3) Viết phương trình đường thẳng (d), thỏa mãn điều kiê ̣n sau:
a Đi qua điểm 𝐾 −1; , có hệ sớ góc 𝑘 = −1 b Đi qua điểm 𝑀 −3; , có hệ sớ góc 𝑘 =7
(6)3. Vấn đề 3: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐴 ; 𝐵 𝑥𝐵; 𝑦𝐵 a Phương pháp giải:
Tính vectơ 𝐴𝐵 = 𝑥𝐵− 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 = (a; b)
∆ qua 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 có VTCP 𝐴𝐵 = 𝑎; 𝑏 có dạng: 𝑥 = 𝑥𝐴+ 𝑡a
𝑦 = 𝑦𝐴+ 𝑡b ; 𝑡 ∈ 𝑅
b Chú ý: Trong thực tế, thường gặp dạng toán ở toán viết phương trình đường trung tuyến, đường trung bình tam giác
Đường trung tuyến đường thẳng qua đỉnh trung điểm cạnh đối diện, nên để viết được phương trình đường thẳng dạng Ta phải tìm trung điểm 𝑀 cạnh 𝐵𝐶 trước, sau đó áp dụng phương pháp
Đường trung bình tam giác đường thẳng qua hai trung điểm hai cạnh, song song với cạnh lại Nên trước hết , ta sẽ tìm hai trung điểm , sau đó áp d ụng phương pháp (hoặc tìm một trung điểm vectơ mà song song, rời áp dụng phương pháp giải ở vấn đề 2).
c Ví dụ:
1 viết phương trình đường thẳng qua hai điểm 𝑀 2; 𝑣𝑎 𝑁 1; Giải:
– Ta có 𝑀𝑁 = (−1; −1)
– Đường thẳng 𝑀𝑁 qua điểm 𝑁 1; có VTCP 𝑀𝑁 = −1; −1 , nên có da ̣ng: 𝑥 = − 𝑡𝑦 = − 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 2 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, vớ i 𝐴 1; −2 , 𝐵 5; −6 , 𝐶 3;
a Viết phương trình đường trung tuyến 𝐴𝑀 tam giác 𝐴𝐵𝐶 b Viết phương trình đường trung bình 𝑁𝐾 tam giác 𝐴𝐵𝐶 Giải:
a – Trung điểm 𝑀 𝑥𝑀; 𝑦𝑀 cạnh 𝐵𝐶, nghiệm hệ : 𝑥𝑀 = 𝑥𝐵+𝑥𝐶
2 = 𝑦𝑀 =𝑦𝐵+𝑦𝐶
2 = −2
→ 𝑀 4; −2 – Vectơ 𝐴𝑀 = 3;
– Trung tuyến 𝐴𝑀, qua điểm 𝐴 1; −2 có VTCP 𝐴𝑀 = 3; có dạng: 𝑥 = + 3𝑡𝑦 = −2 ; 𝑡 ∈ 𝑅
b – Trung điểm 𝑁 𝑥𝑁; 𝑦𝑁 cạnh 𝐴𝐵 nghiệm hệ : 𝑥𝑁 =
𝑥𝐴+𝑥𝐵
2 = 𝑦𝑁 =𝑦𝐴+𝑦𝐵
2 = −4
→ 𝑁 3; −4
– Trung điểm 𝐾 𝑥𝐾; 𝑦𝐾 cạnh 𝐴𝐶 nghiệm hệ :
𝑥𝐾 =𝑥𝐴+𝑥𝐶 = 𝑦𝐾 =
𝑦𝐴+𝑦𝐶 =
(7)– Đường trung bình 𝑁𝐾, qua điểm 𝐾 2; có VTCP 𝑁𝐾 = −1; có dạng: 𝑥 = − 𝑡
𝑦 = + 4t ; 𝑡 ∈ 𝑅 d Bài tập:
1 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝐴(1; 2), 𝐵(3; 5), 𝐶(2; 4) a Viết phương trình cạnh tam giác 𝐴𝐵𝐶
b Viết phương trình đường trung tuyến tam giác 𝐴𝐵𝐶 c Viết phương trình đường trung bình tam giác 𝐴𝐵𝐶
2 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝐴(2; 1) hai đường cao 𝐵𝐵’ ∶ 3𝑥 + 𝑦 – = 𝐶𝐶’: 4𝑥 + 𝑦 + = Hãy viết phương tình đường cao 𝐴𝐴’
4. Vấn đề 4: Viết phương trình (∆) qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 vng góc (hoặc song song) với (𝑑) cho trước a Phương trình (d) cho dạng tổng quát: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 =
(∆) qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 vng góc (𝑑), nên nhận 𝑛 = 𝑎; 𝑏 làm VTCP, hay 𝑛𝑑 = 𝑢𝑑 = 𝑎; 𝑏 , ∆
có dạng: 𝑥 = 𝑥𝑜+ 𝑡𝑎
𝑦 = 𝑦𝑜+ 𝑡𝑏 ; 𝑡 ∈ 𝑅
(∆) qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 song song (𝑑), nên nhận 𝑛 = 𝑎; 𝑏 làm VTPT, hay 𝑑 𝑛 = 𝑛𝑑 = 𝑎; 𝑏 , ∆ có dạng: 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝑏 𝑦 − 𝑦𝑜 =
b Phương trình (d) cho dạng tham số: 𝑦 = 𝑦𝑥 = 𝑥1+ 𝑡𝑎1
1 + 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅
Đường thẳng (∆) qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 vng góc (d), nên nhận 𝑢 = 𝑎𝑑 1; 𝑎2 làm VTPT, hay 𝑢𝑑
= 𝑛 = 𝑎∆ 1; 𝑎2 , có dạng: 𝑎1 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝑎2 𝑦 − 𝑦𝑜 =
(∆) qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 song song (𝑑), nên nhận = 𝑎𝑢𝑑 1; 𝑎2 làm VTCP, hay 𝑢 = 𝑢𝑑 =∆ 𝑎1; 𝑎2 , có dạng: 𝑥 = 𝑥𝑜+ 𝑡𝑎1
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 c Ví dụ:
1 Viết phương trình đường thẳng (∆) qua 𝑀 2; song song đườ ng thẳng (d): 3𝑥 − 2𝑦 + = Giải:
- VTPT (𝑑) là: 𝑛 = 3; −2 𝑑
- Do ∆ song song vớ i (𝑑), nên nhận VTPT của (𝑑) làm VTPT cho → 𝑛 = 𝑛∆ = (3; −2) 𝑑 - ∆ qua điểm 𝑀 2; có VTPT 𝑛 = (3; −2) có dạng: ∆
3 𝑥 − − 𝑦 − = ↔ 3𝑥 − 2𝑦 − =
∆
𝑑 𝑛𝑑
d ∆
𝑛𝑑
∆
𝑑 𝑢𝑑
d ∆
(8)2 Viết phương trình (∆) qua 𝑀 3; −2 và vuông góc (d): 𝑥 = −2 + 𝑡
𝑦 = −1 − 3𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅 Giải:
– VTCP (𝑑) là: 𝑢 = 1; −3 𝑑
– Do ∆ vuông góc với (𝑑), nên nhận VTCP của (𝑑) làm VTPT cho → 𝑛 = 𝑢∆ = (1; −3) 𝑑 – ∆ qua điểm 𝑀 3; −2 có VTPT 𝑛 = (1; −3) có dạng: ∆
1 𝑥 − − 𝑦 + = ↔ 𝑥 − 3𝑦 − = d Bài tập:
1 Viết phương trình đường thẳng (∆) thoả mãn các điều kiện sau : a Đi qua 𝐴 2; −5 vuông góc đường thẳng (d): 𝑥 = −2 + 4𝑡
𝑦 = −3 − 3𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅 b Đi qua 𝐵 0; −2 song song đườ ng thẳng (d): 𝑥 = −2 + 2𝑡
𝑦 = − 5𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 Viết phương trình đường thẳng (∆) thoả mãn các điều kiện sau :
a Đi qua 𝑀 3; −1 vuông góc đường thẳng (d): 3𝑥 − 2𝑦 − = b Đi qua 𝑁 0; −5 song song đườ ng thẳng (d): 𝑥 − 4𝑦 + = Viết phương trình đường thẳng (∆) thoả mãn các điều kiện s au:
a Đi qua 𝐴 3; −2 và vuông góc với tru ̣c Ox
b Đi qua 𝑀 −2; −1 song song đườ ng thẳng AB, với 𝐴 1, ; , 𝐵 2;
4 Viết phương trình đường thẳng (∆) qua giao điểm hai đường thẳng ∆1 : 3𝑥 − 𝑦 = 0, ∆2 : 𝑥 + 4𝑦 − = vng góc với đường thẳng ∆ : 2𝑥 − 𝑦 + =
5. Vấn đề 5: Các toán liên quan đến quan hệ song song vng góc Viết phương trình đường cao AH tam giác ABC
a Nhắc lại: đường cao 𝐴𝐻 tam giác 𝐴𝐵𝐶 đường thẳng qua đỉnh 𝐴 vng góc với cạnh 𝐵𝐶, cắt 𝐵𝐶 𝐻
b Phương pháp:
Tính 𝐵𝐶 = 𝑥𝐶− 𝑥𝐵; 𝑦𝐶− 𝑦𝐵 = 𝑎; 𝑏
Đường cao 𝐴𝐻 qua điểm 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐴 nhận vectơ 𝐵𝐶 = 𝑎; 𝑏 làm VTPT, có dạng: 𝑎 𝑥 − 𝑥𝐴 + 𝑏 𝑦 − 𝑦𝐴 =
c Ví dụ: mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho 𝐴 1; , 𝐵 2; −3 , 𝐶 1; −2 Hãy lập phương trình đường cao 𝐴𝐻 Giải:
– Ta có: 𝐵𝐶 = (−1; 1)
– Đường cao 𝐴𝐻 qua điểm 𝐴 1; nhận vectơ 𝐵𝐶 = −1; làm VTPT, có dạng: −1 𝑥 − + 𝑦 − = ↔ 𝑦 − 𝑥 − =
A
C H
(9)d Bài tập:
1 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho 𝐴 1; , 𝐵 3; −5 , 𝐶 2; −2 Hãy lập phương trình đườ ng cao 𝐴𝐻, 𝐵𝐾, 𝐶𝑃
2 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, Cho 𝐴 1; phương trình hai đường cao xuất phát từ đỉnh 𝐵 𝐶 là: 𝑥 − 3𝑦 + = va 2𝑥 − 3𝑦 + = Hãy lập phương trình đườ ng cao 𝐴𝐻
3 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho cạnh 𝐴𝐵: 5𝑥 − 3𝑦 + = 0, đườ ng cao qua đỉnh 𝐴 𝐵 lần lượt có phương trình là : 4𝑥 − 3𝑦 + = va 7𝑥 + 2𝑦 − 22 = Hãy lập phương trình đường cao lại tam giác 𝐴𝐵𝐶
2 Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB, với 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐴 𝑣à 𝐵 𝑥𝐵; 𝑦𝐵
a Nhắc lại: đường trung trực đoạn thẳng, đường thẳng qua trung điểm cạnh vng góc với cạnh
b Phương pháp:
Tìm điểm 𝑀 trung điểm đoạn 𝐴𝐵 Tính vectơ 𝐴𝐵 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
Lập phương trình đường trung trực (𝑑) qua điểm 𝑀, vuông góc với đoạn thẳng 𝐴𝐵, nên nhận vectơ 𝐴𝐵 làm VTPT
c Ví dụ: Viết phương trình đường trung trực của đoa ̣n 𝑀𝑁, vớ i 𝑀 1; , 𝑁 3,6 Giải:
- Toạ độ trung điểm I đoạn MN là: 𝑥𝐼 = 𝑥𝑀+𝑥𝑁
2 = 𝑦𝐼 =𝑦𝑀+𝑦𝑁
2 =
→ 𝐼 1; - Ta có: 𝐴𝐵 = (2; 4)
- phương trình đường trung trực (d) qua điểm 𝐼 1; , vng góc với đoạn thẳng 𝑀𝑁, nên nhận vectơ 𝐴𝐵 = (2; 4) làm VTPT, có dạng:2 𝑥 − + 𝑦 − = ↔ 2𝑥 + 4𝑦 − 10 =
d Bài tập:
1 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho 𝐴 1; , 𝐵 3; −5 , 𝐶 2; −2 Lập phương trình đườ ng trung trực của tam giác 𝐴𝐵𝐶
2 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vớ i trung tuyến 𝐴𝑀: 2𝑥 − 3𝑦 + = cạnh 𝐵𝐶: 𝑥 − 2𝑦 + = Lập phương trình đường trung trực của ca ̣nh 𝐵𝐶
3 Viết phương trình ba đường trung trực của tam giác 𝐴𝐵𝐶, biết trung điểm củ a ba ca ̣nh là : 𝑀 −1; −1 , 𝑁 1; , 𝑃 9;
3 Tìm hình chiếu điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 lên đường thẳng ∆ a Phương pháp:
Lập phương trình đường thẳng (𝑑) qua điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 vng góc với đường thẳng ∆
A B
(10) Tìm giao điểm 𝐻 đường thẳng (𝑑) đường thẳng ∆
Giao điểm 𝐻 hình chiếu điểm 𝑀 lên đường thẳng ∆
b Ví dụ: Tìm hình chiếu điểm 𝐴 4; lên đườ ng thẳng ∆ có phương trình: 𝑥 − 2𝑦 + = Giải:
– Ta có: 𝑛 = (1; −2) ∆
– (𝑑) qua 𝐴 4; vng góc ∆ , nhận VTPT 𝑛 = (1; −2) làm VTCP , hay ∆ 𝑛 = u∆ =d (1; −2) nên có dạng: 𝑦 = − 2𝑡𝑥 = + 𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅 hay: 2𝑥 + 𝑦 − =
– Giao điểm 𝐻 (𝑑) ∆ nghiệm hệ : 𝑥 − 2𝑦 + =
2𝑥 + 𝑦 − = →
𝑥 = 14 𝑦 = 17
5
→ 𝐻 14 ;
17
– Hình chiếu điểm 𝐴 4; lên đườ ng thẳng ∆ 𝐻 14 ;
17 c Bài tập:
1 Tìm hình chiếu điểm 𝑀 2; lên đườ ng thẳng ∆ có phương trình: 3𝑥 + 2𝑦 − = Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho điểm 𝐴 2; cạnh 𝐵𝐶: 𝑥 + 2𝑦 − = Hãy tìm chân đường cao
𝐴𝐻 tam giác 𝐴𝐵𝐶
3 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho 𝐴 2; , 𝐵 −1,3 , 𝐶(3, −4) Hãy tìm chân đường cao 𝐵𝐾 tam giác 𝐴𝐵𝐶
4 Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆ a Phương pháp:
Lập phương trình (𝑑) qua điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 vng góc với ∆ Tìm giao điểm 𝐼 đường thẳng (𝑑) ∆
Để 𝑀’ đối xứng với 𝑀 qua ∆ 𝐼 trung điểm đoạn 𝑀𝑀’ Áp dụng cơng thức tính tọa độ trung điểm để tìm tọa độ điểm 𝑀’
b Ví dụ: Tìm điểm B đối xứng với 𝐴 4; qua ∆ có phương trình: 𝑥 − 2𝑦 + = Giải:
– Ta có: 𝑛 = (1; −2) ∆
– (𝑑) qua 𝐴 4; vng góc ∆ , nhận VTPT 𝑛 = (1; −2) làm VTCP , hay ∆ 𝑛 = u∆ =d (1; −2) nên có dạng: 𝑦 = − 2𝑡𝑥 = + 𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅 hay: 2𝑥 + 𝑦 − =
– Giao điểm I (d) ∆ nghiệm hệ : 𝑥 − 2𝑦 + = 2𝑥 + 𝑦 − = →
𝑥 = 14 𝑦 = 17
5
→ 𝐻 14 ;
17
– Hình chiếu điểm 𝐴 4; lên đườ ng thẳng ∆ 𝐼 14;17
A
H ∆
𝑑
M
I ∆
𝑑
(11)– Để 𝐵 đối xứ ng với 𝐴 4; qua ∆ có phương trình: 𝑥 − 2𝑦 + = 0, 𝐼 trung điểm đoạn
𝐴𝐵 Ta có: 𝑥𝐼 = 𝑥𝐴+𝑥𝐵
2 𝑦𝐼 = 𝑦𝐴+𝑦𝐵
2
→ 𝑥𝐵 = 2𝑥𝐼− 𝑥𝐴 = 𝑦𝐵 = 2𝑦𝐼− 𝑦𝐴 = 29
5
→ 𝐵 5;
29
– Vâ ̣y toa ̣ đô ̣ điểm đối xứng với 𝐴 4; qua đườ ng thẳng ∆ là: 𝐵 5;
29 c Bài tập:
1 Tìm điểm 𝐴’ đối xứ ng với điểm 𝐴 3; −2 qua đườ ng thẳng ∆ có phương trình: 2𝑥 − 3𝑦 + = Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vớ i phương trình ba ca ̣nh là : 𝐴𝐵: 𝑥 − 2𝑦 + = 0, 𝐴𝐶: 2𝑥 − 𝑦 − = 0, 𝐵𝐶: 𝑥 − 𝑦 − = 0.Tìm các điểm đối xứng vớ i ba đỉnh của tam giác , qua các cạnh đối
3 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vớ i 𝐴 3; −2 phương trình hai đường phân giác góc 𝐵, 𝐶 lần lượt là 𝑑1 : 𝑥 − 3𝑦 + = 𝑑2 : 2𝑥 − 3𝑦 − = Hãy lập p hương trình ba cạnh tam giác 𝐴𝐵𝐶
5 Viết phương trình đường thẳng ∆ , đối xứng với đường thẳng (d) qua điểm M 𝑥; 𝑦 a Phương pháp:
Chọn điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 ∈ (𝑑) Tìm 𝑀’ đối xứng với với điểm 𝑀𝑜 qua 𝑀
(𝑀 trung điểm đoạn 𝑀𝑜𝑀’)
Viết phương trình đường thẳng ∆ , đới xứ ng với đường thẳng (𝑑) qua điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 chính đường thẳng qua điểm 𝑀’ song song (𝑑)
b Ví dụ: Lập phương trình ∆ , đối xứ ng với đường thẳng 𝑑 : 𝑥 − 3𝑦 + = qua điểm 𝐴 1; Giải:
- Chọn điểm 𝐵 −1; ∈ (𝑑)
- gọi 𝐵′ 𝑥; 𝑦 điểm đối xứng với điểm 𝐵 −1; qua điểm 𝐴 1; Nên 𝐴 1; trung điểm đoa ̣n 𝐵𝐵’ Ta có: 𝑥𝐴=
𝑥𝐵 ′+𝑥𝐵 𝑦𝐴 =𝑦𝐵 ′+𝑦𝐵
2
→ 𝑥𝐵′ = 2𝑥𝐴− 𝑥𝐵 =
𝑦𝐵′ = 2𝑦𝐴− 𝑦𝐵 = → 𝐵
′ 3;
- ∆ đối xứ ng với 𝑑 : 𝑥 − 3𝑦 + = qua điểm 𝐴 1; chính đường thẳng qua điểm 𝐵 3; song song với (𝑑), sẽ nhận VTPT 𝑛 = 1; −3 (𝑑) làm VTPT cho ∆ Nên co𝑑 ́ da ̣ng:
1 𝑥 − − 𝑦 − = ↔ 𝑥 − 3𝑦 + = c Bài tập:
1 Lâ ̣p phương trình ∆ , đối xứ ng với đường thẳng 𝑑 : 2𝑥 + 𝑦 + = qua điểm 𝐴 3; −2
2 Cho hình chữ nhâ ̣t 𝐴𝐵𝐶𝐷, vớ i phương trình hai ca ̣nh là : 𝑥 − 3𝑦 + = 3𝑥 + 𝑦 + = Lập phương trình hai ca ̣nh còn la ̣i của hình chữ nhâ ̣t , biết tâm hình chữ nhật 𝑂 3; −2
M’ Mo
M
d
(12)6 Tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC a Phương pháp:
Tâm 𝐼 đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶, giao điểm hai đường trung trực hai cạnh tam giác
Bán kính 𝑅 đường trịn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 𝑅 = 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 b Ví dụ:
Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, có 𝐴 −2; , 𝐵 5; , 𝐶(6; −2) a Viết phương trình đường trung trực của ca ̣nh 𝐴𝐶, 𝐴𝐵
b Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoa ̣i tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 Giải:
a * phương trình đường trung trực của ca ̣nh 𝐴𝐶: – Trung điểm 𝑀 đoạn AC: 𝑥𝑀=
𝑥𝐴+𝑥𝐶 = 𝑦𝑀 =𝑦𝐴+𝑦𝐶
2 =
→ 𝑀(2; 1) – vectơ 𝐴𝐶 = 8; −6
– Đường trung trực 𝐴𝐶, qua 𝑀 2; nhận vec tơ 𝐴𝐶 = 8; −6 làm VTPT , có dạng : 𝑥 − − 𝑦 − = ↔ 8𝑥 − 6𝑦 − 10 =
* phương trình đường trung trực của ca ̣nh 𝐴𝐵: – Trung điểm 𝑁 đoạn 𝐴𝐵: 𝑥𝑁 =
𝑥𝐴+𝑥𝐵 =
3 𝑦𝑁 = 𝑦𝐴+𝑦𝐵
2 =
9
→ 𝑁(3 2;
9 2)
– vectơ 𝐴𝐵 = 7;
– Đường trung trực cạnh 𝐴𝐵, qua điểm 𝑁 2;
9
2 nhận vectơ 𝐴𝐵 = 7; làm VTPT , có dạng: 𝑥 −3
2 + 𝑦 −
2 = ↔ 7𝑥 + 𝑦 − 15 =
b * Tâm 𝐼(𝑥𝐼; 𝑦𝐼)đường tròn ngoa ̣i tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶, giao điểm hai đường trung trực 𝐴𝐶 𝐴𝐵 Nên là nghiê ̣m của ̣: 8𝑥𝐼− 6𝑦𝐼+ 10 =
7𝑥𝐼+ 𝑦𝐼− 15 = → 𝐼 2;
* Bán kính 𝑅 đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶: 𝑅 = 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 Mà 𝐼𝐴 = −4; → 𝑅 = 𝐼𝐴 = 𝐼𝐴 = −4 2+ 32 =
c Bài tập:
1 Cho ba đườ ng thẳng ∆1 : 3𝑥 + 4𝑦 − = 0, ∆2 : 4𝑥 + 3𝑦 − = 0, ∆3 : 𝑦 = Hãy tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tạo b ởi ba đường thẳng
(13)6. Vấn đề 6: Vị trí tương đối hai đường thẳng a phương pháp giải:
1 Hai đường thẳng được cho dạng phương trình tổng quát: ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = Ta xét hai vectơ pháp tuyến: 𝑛 = 𝐴∆1 1; 𝐵2 ; 𝑛 = 𝐴∆2 1; 𝐵2 𝐴1
𝐴2 ≠ 𝐵1
𝐵2 ↔ ∆1 cắt ∆2 𝐴1
𝐴2 = 𝐵1 𝐵2 ≠
𝐶1
𝐶2 ↔ ∆1 song song ∆2 𝐴1
𝐴2 = 𝐵1 𝐵2 =
𝐶1
𝐶2 ↔ ∆1 trùng ∆2
2 Hai đường thẳng được cho dạng phương trình tham số: ∆1 :
𝑥 = 𝑥1+ 𝑡𝑎1
𝑦 = 𝑦1+ 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 ∆2 :
𝑥 = 𝑥2+ 𝑡𝑏1
𝑦 = 𝑦2+ 𝑡𝑏2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 Ta xét hai vectơ phương: 𝑎 = 𝑎1; 𝑎2 ; 𝑏 = 𝑏1; 𝑏2
𝑎1 𝑎2≠
𝑏1
𝑏2 ↔ ∆1 cắt ∆2 𝑎1
𝑎2= 𝑏1 𝑏2 ≠
𝑥1−𝑥2
𝑦1−𝑦2 ↔ ∆1 song song ∆2 𝑎1
𝑎2= 𝑏1 𝑏2 =
𝑥1−𝑥2
𝑦1−𝑦2 ↔ ∆1 cắt ∆2
3 Hai đường thẳng được cho hai dạng phương trình khác nhau: ∆1 : 𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑦𝑜+ 𝑡𝑎1
𝑜+ 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 ∆2 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = (2)
Ta thay 𝑥, 𝑦 vào , để phương trình bậc 𝑡, dạng: 𝑓(𝑡) = Nếu 𝑓(𝑡) = có nghiệm → ∆1 cắt ∆2 từ 𝑡𝑜 ta giao điểm
Nếu 𝑓(𝑡) = vô nghiệm → ∆1 song song ∆2 Nếu 𝑓(𝑡) = vô số nghiệm → ∆1 trùng ∆2 b Ví dụ: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau:
a ∆1 : 3𝑥 − 2𝑦 + = 0, ∆2 : 5𝑥 − 𝑦 + = b ∆1 : 𝑥 = − 2𝑡
𝑦 = + 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅, ∆2 :
𝑥 = −2 + 3𝑡
𝑦 = − 5𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 c ∆1 : 5𝑥 + 3𝑦 + = , ∆2 : 𝑥 = + 3𝑡
𝑦 = − 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 (2) Giải:
a Xét hai vectơ pháp tuyến: 𝑛 = 3; −2 ; 𝑛∆1 = 5; −1 Ta co∆2 ́: 5≠
−2
−1 → ∆1 că t ∆2 b Xét hai vectơ phương: 𝑎 = −2; ; 𝑏 = 3; −5 Ta có: −23 ≠
(14)5 + 3𝑡 + − 𝑡 + = ↔ 12𝑡 + 24 = ↔ 𝑡 = −2 Vâ ̣y ∆1 că t ∆2 , tọa độ giao điểm 𝑀:
𝑥 = + 3(−2) = −3
𝑦 = − −2 = ⇒ 𝑀(−3; 4) c Bài tập:
1 Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau:
a ∆1 : 2𝑥 − 𝑦 + = 0, ∆2 : 𝑥 + 2𝑦 − = b ∆1 : 2𝑥 + 5𝑦 + = 0, ∆2 : 4𝑥 + 10𝑦 − = c ∆1 : 𝑥 − 3𝑦 + = 0, ∆2 : −4𝑥 + 12𝑦 − = Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau:
a ∆1 : 𝑥 = + 3𝑡
𝑦 = −3 = 2𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅 , ∆2 :
𝑥 = 5𝑡
𝑦 = + 3𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 b ∆1 : 𝑥 = −1 + 𝑡
𝑦 = − 3𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅, ∆2 :
𝑥 = −2𝑡
𝑦 = + 6𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 c ∆1 :
𝑥 = −1 + 5𝑡
𝑦 = + 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅, ∆2 :
𝑥 = −2 + 15𝑡
𝑦 = 13 + 3𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau:
a ∆1 : 𝑥 = + 3𝑡
𝑦 = −3 = 2𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅 , ∆2 : 3𝑥 + 2𝑦 − = b ∆1 : 4𝑥 + 2𝑦 − = 0, ∆2 : 𝑥 = −2𝑡
𝑦 = + 6𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 c ∆1 : 𝑥 = −1 + 5𝑡
𝑦 = + 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅, ∆2 : 3𝑥 + 𝑦 + = Chứng minh rằng , ba đường thẳng sau đồng quy:
∆1 : 3𝑥 − 2𝑦 − 14 = 0; ∆2 : 5𝑥 − 4𝑦 − 26 = 0; ∆3 : 𝑥 − 7𝑦 − 30 = Tùy theo giá trị m, hãy biện luận vị trí tương đối hai đường thẳng :
∆1 : 𝑚𝑥 + 𝑦 + = ∆2 : 𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑚 + =
7. Vấn đề 7: Khoảng cách góc a Phương pháp giải:
Khoảng cách: từ điểm 𝑀𝑜(𝑥𝑜; 𝑦𝑜) đến đường thẳng (∆): 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, tính theo công thức: 𝑑 𝑀𝑜; ∆ =
𝐴𝑥𝑜 + 𝐵𝑦𝑜+ 𝐶 𝐴2+ 𝐵2
Góc hai đường thẳng : Cho ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0, với 𝑛1
= 𝐴1; 𝐵1 , 𝑛 = 𝐴2 2; 𝐵2 lần lượt là VTPT của ∆1 , ∆2 thì: cos ∆1; ∆2 = n n1
n n1
(15)b Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳn g, ta phải xét vị trí tương đối hai đường thẳng đó trước , nếu cắt hoă ̣c trùng thì khoảng cách bằng 0, nếu song song thì ta chọn điểm đường thẳng tính khoả ng cách đến đường thẳng
c Ví dụ:
1 Tính khoảng cách từ 𝐴 −1; , đến đường thẳng 𝑑 : 2𝑥 + 6𝑦 − = Giải: 𝑑 A; d = −1 +6.2−3
22+62 = 40 =
7 10
2 Tính góc hợp bởi hai đường thẳng : 𝑑1 : 3𝑥 + 4𝑦 − = 0, 𝑑2 : 4𝑥 − 3𝑦 − = Giải: ta có: 𝑛 = 3; , 𝑛1 = 4; −3 ⇒ cos 𝑑2 1; 𝑑2 = n n1
n n1 =
3.4+4.(−3) 32+42 42+32 = d Bài tập:
1 Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cho tương ứng sau : a 𝐴 3; 𝑑 : 4𝑥 + 3𝑦 + =
b 𝐴 2; (d) qua hai điểm : 𝑀 1; −3 , 𝑁(2; −5) Cho hai đường thẳng: ∆1 : 5𝑥 − 3𝑦 + = 0, ∆2 :
𝑥 = 6𝑡 𝑦 =7
6+ 10𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑅 a Chứng minh rằng ∆1 // ∆2
b Tính khoảng cách giữa ∆1 ∆2 Tìm góc giữa các cặp đường thẳng
a ∆1 : 𝑥 + 2𝑦 + = 0, ∆2 : 𝑥 − 3𝑦 + = b ∆1 : 2𝑥 − 𝑦 + = 0, ∆2 : 𝑥 − 3𝑦 + =
4 Đi ̣nh 𝑚 để góc góc giữa hai đường thẳng ∆1 , ∆2 30𝑜 biết: ∆1 : 𝑥 + 2𝑦 − = va ∆2 : 𝑥 = + 3𝑡
𝑦 = − 𝑚𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 Cho hai đường thẳng ∆1 : 𝑥 − 2𝑦 + = 0, ∆2 : 3𝑥 − 𝑦 =
a Chứng tỏ ∆1 , ∆2 cắt Tìm tọa độ giao điểm ∆1 , ∆2 b Tính góc giữa ∆1 , ∆2
8. Vấn đề 8: Viết phương trình đường thẳng ∆ , qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 có khoảng cách đến điểm 𝑀 𝑥𝑀; 𝑦𝑀 đoạn cho trước 𝑚
a Phương pháp:
Gọi ∆ qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 có VTPT 𝑛 = 𝐴; 𝐵 có dạng: 𝐴 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑜 = (1) hay: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 − 𝐴𝑥𝑜+ 𝐵𝑦𝑜 =
Sử dụng điều kiện: 𝑑 𝑀; ∆ = 𝑚 ↔𝐴𝑥𝑀+𝐵𝑦𝑀− 𝐴𝑥𝑜+𝐵𝑦𝑜
𝐴2+𝐵2 = 𝑚 Giải điều kiện trên, ta tìm 𝐴 𝐵
(16)b Ví dụ: Viết phương trình (∆) qua điểm 𝐴(−1; 2), có khoảng cách đến điểm 𝐵(3; 5) bằng Giải:
- Gọi ∆ qua điểm 𝐴(−1; 2) có VTPT 𝑛 = 𝐴; 𝐵 có dạng: 𝐴 𝑥 + + 𝐵 𝑦 − = (1) hay: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐴 − 2𝐵 =
- Sử dụng điều kiện:
𝑑 𝐵; ∆ = ↔3𝐴 + 5𝐵+ 𝐴 −2𝐵
𝐴2+𝐵2 = ↔
4𝐴 + 3𝐵
𝐴2+𝐵2 = ↔ 4𝐴 + 3𝐵
2 = 𝐴2+ 𝐵2 ↔ 16𝐴2 + 9𝐵2+ 24𝐴𝐵 = 9𝐴2+ 9𝐵2 ↔ 7𝐴2+ 24𝐴𝐵 = (2)
- giải phương trình (2) theo 𝐴, ta được: 𝐴 = 0, 𝐴 = −24 𝐵 + vớ i 𝐴 = 0, Thay vào (1) ⇒ 𝑦 − =
+ vớ i 𝐴 = 24 → 𝐵 = −7, Thay vào (1) ⇒ 24𝑥 − 7𝑦 + 38 = c Bài tập:
1 Viết phương trình (∆) qua điểm 𝑀(1; −2), có khoảng cách đến điểm 𝑁(2; 3) bằng Viết phương trình (∆) vuông góc với 𝑑 : 2𝑥 + 6𝑦 − = cách 𝑀 5; một khoảng 10 Lập phương trình (∆2), biết ∆2 // ∆1 : 7𝑥 − 𝑦 + = cách 𝑀 1; một khoảng
1 2
9. Vấn đề 9: Viết phương trình ∆ , qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 tạo với (d): 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = góc 𝛼 a Phương pháp:
Gọi ∆ qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 có VTPT 𝑛 = 𝐴; 𝐵 có dạng: 𝐴 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑜 = (1) hay: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 − 𝐴𝑥𝑜+ 𝐵𝑦𝑜 =
Áp dụng công thức: cos ∆1; ∆2 = A.a+B.b
A2+B2 a2+b2 (∗) Từ đẳng thức (∗) ta tìm 𝐴 𝐵
Thay 𝐴, 𝐵 vào phương trình (1), ta đường thẳng ∆ cần tìm
b Ví dụ: Cho ∆ : 2𝑥 + 3𝑦 + = Viết phương trình 𝑑 qua 𝑀 2; tạo với ∆ một góc 450 Giải:
- Gọi 𝑑 qua 𝑀 2; 1𝑜 có VTPT 𝑛 = 𝐴; 𝐵 có dạng: 𝐴 𝑥 − + 𝐵 𝑦 − = (1) hay: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 − 2𝐴 + 𝐵 =
- Do 𝑑 ∆ , hợp với mô ̣t góc 450
, nên ta có: cos d; ∆ = cos 450 = 2A + 3B
A2+ B2 + 9=
2 ↔ 4𝐴 + 6𝐵 = 26 𝐴2 + 𝐵2 ↔ 16𝐴2 + 36𝐵2+ 48𝐴𝐵 = 26 𝐴2+ 𝐵2 ↔ 10𝐴2− 10𝐵2− 48𝐴𝐵 =
- Giải phương trình theo 𝐴, ta được: 𝐴 = 5𝐵, 𝐴 = −1 5𝐵
(17)c Bài tập:
1 Cho đườ ng thẳng ∆ có phương trình : 5𝑥 − 4𝑦 − = Viết phương trình đường t hẳng qua điểm 𝑀 3; tạo với ∆ một góc 450
2 Cho 𝐴 2; , 𝐵 −1; , 𝐶(8; −2) Viết phương trình (𝑑) qua 𝐴 2; hợp với 𝐵𝐶 một góc 450 Đáy của mô ̣t tam giác cân nằm ∆ : 𝑥 + 2𝑦 = 0, mợt ca ̣nh bên có phương trìn h 𝑥 − 𝑦 + =
và cạnh bên lại qua điểm 𝑀 4; Viết phương trình của ca ̣nh bên qua 𝑀 4;
10.Vấn đề 10: đườ ng phân giác của mô ̣t tam giác, hai đường thẳng thẳng a Các công thức liên quan:
Khoảng cách đại số: từ 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 đến đường thẳng (∆): 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 𝑡 𝑀𝑜; ∆ =
𝐴𝑥𝑜 + 𝐵𝑦𝑜+ 𝐶 𝐴2 + 𝐵2 Lấy bất kỳ điểm 𝑀 ∈ ∆
Nếu 𝑡 𝑀𝑜; ∆ > 0: MM cu ng chiê u n o Nếu 𝑡 𝑀𝑜; ∆ < 0: MM ngược chiê u no Phân giác tạo hai đường thẳng
Cho hai đườ ng thẳng: ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = Phương trình hai đường phân giác là : 𝐴1𝑥+𝐵1y+𝐶1
A12+B = ε
𝐴2𝑥+𝐵2y+𝐶1 A22+B
2
2 vơ 𝑖 𝜀 = ±1 𝑛 𝑛1 < →
phân gia c go c nhọn ng vơ i 𝜀 = phân gia c go c tu ng vơ i 𝜀 = −1 𝑛 𝑛1 > → 2 phân gia c go c nhọn ng vơ i 𝜀 = −1
phân gia c go c tu ng vơ i 𝜀 = Phân giác trong, phân giá c ngoài của một tam giác
Giả sử phương trình hai đường phân giác góc 𝐴 là: ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1y + 𝐶1
A12 + B12 = +
𝐴2𝑥 + 𝐵2y + 𝐶1 A22+ B22
∆2 ∶𝐴1𝑥 + 𝐵1y + 𝐶1 A12 + B12 = −
𝐴2𝑥 + 𝐵2y + 𝐶1 A22+ B22 Nê u 𝑡 B; ∆1 𝑡 C; ∆1 < → ∆1 la phân gia c cu a go c A
∆2 la phân gia c ngoài cu a go c A Nê u 𝑡 B; ∆1 𝑡 C; ∆1 > →
∆1 la phân gia c ngoài cu a go c A ∆2 la phân gia c cu a go c A
(18) Gọi phương trình đường phân giác góc 𝐶 (𝑑) (𝑑) qua 𝐶 𝑥𝐶; 𝑦𝐶 có VTPT 𝑛 = 𝑎; 𝑏 nên có da ̣ng: 𝑎 𝑥 − 𝑥𝐶 + 𝑏 𝑦 − 𝑦𝐶 = (∗) ↔ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 𝑎𝑥𝐶+ 𝑏𝑥𝐶 =
Gọi 𝐶1 là góc hợp bởi ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = và 𝑑 Ta có: cos ∆1, 𝑑 = cos 𝐶1 = 𝐴1.𝑎 +𝐵1.𝑏
𝐴21+𝐵
12 𝑎2+𝑏2
(1)
Gọi 𝐶2 là góc hợp bởi ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = và 𝑑 Ta có: cos ∆2, 𝑑 = cos 𝐶2 = 𝐴2.𝑎 +𝐵2.𝑏
𝐴22+𝐵22 𝑎2+𝑏2 (2) Do 𝐶1 = 𝐶2, nên từ (1) (2) ta có:
𝐴1.𝑎 +𝐵1.𝑏 𝐴12+𝐵12 𝑎2+𝑏2
= 𝐴2.𝑎 +𝐵2.𝑏 𝐴22+𝐵22 𝑎2+𝑏2
↔ 𝐴1.𝑎 +𝐵1.𝑏 𝐴21+𝐵12
= 𝐴2.𝑎 +𝐵2.𝑏 𝐴22+𝐵22
(3) Giải phương trình (3), ta tìm được các giá tri ̣ của 𝑎, 𝑏
Thay ca c gia trị đo va o * , ta được các đường phân giác cần tìm Và để tìm đường ph ân giác hay ngoài (tù hay nhọn), ta áp du ̣ng các công thức ở phần
c Ví dụ:
1 Cho tam gia c ABC co 𝐴𝐶 : 3𝑥 + 4𝑦 − = 0, 𝐴𝐵 : 4𝑥 + 3𝑦 − = 0, 𝐵𝐶 : 𝑦 = Hãy lập phương trình đường phân giác góc 𝐴
Giải:
Tọa độ ba đỉnh 𝐴, 𝐵, 𝐶 là nghiệm các hệ ph ương trình sau: 3𝑥 + 4𝑦 − =
4𝑥 + 3𝑦 − = → 𝐴 −2; ;
3𝑥 + 4𝑦 − =
𝑦 = → 𝐶 2; ;
3𝑥 + 4𝑦 − =
𝑦 = → 𝐵 3; Gọi (𝑑) là phương trình đường phân giác góc 𝐴 (𝑑) qua 𝐴 −2; có VTPT 𝑛 = 𝑎; 𝑏
nên có da ̣ng: 𝑎 𝑥 + + 𝑏 𝑦 − = (∗) ↔ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 2𝑎 − 3𝑏 = Gọi 𝐴 góc hợp bởi 𝐴𝐶 : 3𝑥 + 4𝑦 − = và 𝑑 Ta co1 ́:
cos 𝐴𝐶, 𝑑 = cos 𝐴1 = 3.𝑎+4.𝑏 32+42 𝑎2+𝑏2 =
3𝑎+4𝑏
5 𝑎2+𝑏2 (1)
Gọi 𝐴 góc hợp bởi 𝐴𝐵 : 4𝑥 + 3𝑦 − = và 𝑑 Ta co2 ́: cos 𝐴𝐵, 𝑑 = cos 𝐴2 = 4.𝑎+3.𝑏
32+42 𝑎2+𝑏2 =
4𝑎+3𝑏
5 𝑎2+𝑏2 (2) Do 𝐴 = 𝐴1 , nên từ (1) (2) ta co2 ́:
3𝑎+4𝑏 𝑎2+𝑏2 =
4𝑎+3𝑏
5 𝑎2+𝑏2 ↔ 3𝑎 + 4𝑏 = 4𝑎 + 3𝑏 (3) Từ (3), ta xét hai trường hợp sau:
3𝑎 + 4𝑏 = 4𝑎 + 3𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏, thay vào (*) ta được:
(19)𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 2𝑎 + 3𝑎 = ↔ 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 5𝑎 = ↔ 𝑥 − 𝑦 + = Xét 𝑑 : 𝑥 − 𝑦 − = 0, ta có: 𝑡(𝐵; 𝑑) =
1 3−1 12+12 = −
3 𝑡(𝐶; 𝑑) = 2−1 12+12 =
2
Do 𝑡(𝐵; 𝑑) 𝑡(𝐶; 𝑑) < 0, nên phương trình đường phân giác của góc 𝐴 là: 𝑥 + 𝑦 − = Lập phương trình hai đường phân giác của góc ta ̣o bởi hai đường thẳng sau :
∆1 : 2𝑥 − 3𝑦 − = 0, ∆2 : 3𝑥 − 2𝑦 = Giải:
Tọa độ giao điểm 𝑀 hai đường thẳng, nghiệm hệ sau: 2𝑥 − 3𝑦 − =
3𝑥 − 2𝑦 = → 𝑀 −2; −3 Gọi (d) phương trình đường phân giác góc 𝑀 (d) qua 𝑀 −2; −3 có VTPT 𝑛 =
𝑎; 𝑏 nên có da ̣ng: 𝑎 𝑥 + + 𝑏 𝑦 + = (∗) ↔ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 2𝑎 + 3𝑏 = Gọi 𝑀1 góc hợp bởi ∆1 : 2𝑥 − 3𝑦 − = 𝑑 Ta có:
cos ∆1, 𝑑 = cos 𝑀1 = 2.𝑎−3.𝑏 22+32 𝑎2+𝑏2 =
2𝑎−3𝑏
13 𝑎2+𝑏2 (1) Gọi 𝑀2 góc hợp bởi ∆2 : 3𝑥 − 2𝑦 = 𝑑 Ta có: cos ∆2, 𝑑 = cos 𝑀2 = 3.𝑎−2.𝑏
32+22 𝑎2+𝑏2 =
3𝑎 −2𝑏
13 𝑎2+𝑏2 (2) Do 𝑀 = 𝑀1 2, nên từ (1) (2) ta có:
2𝑎 −3𝑏 13 𝑎2+𝑏2 =
3𝑎 −2𝑏
13 𝑎2+𝑏2 ↔ 2𝑎 − 3𝑏 = 3𝑎 − 2𝑏 (3) Từ (3), ta xét hai trường hợp sau:
2𝑎 − 3𝑏 = 3𝑎 − 2𝑏 ↔ 𝑏 = −𝑎, thay vào (*) ta được:
𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 2𝑎 − 3𝑎 = ↔ 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑎 = ↔ 𝑥 − 𝑦 − = 2𝑎 − 3𝑏 = −(3𝑎 − 2𝑏) ↔ 𝑏 = 𝑎, thay vào (*) ta được:
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 2𝑎 + 3𝑎 = ↔ 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 5𝑎 = ↔ 𝑥 + 𝑦 + =
Do 𝑛 𝑛∆1 = 2.3 + 3.2 = 12 > 0, nên đươ∆2 ̀ ng phân giác góc tù của 𝑀 là: 𝑥 − 𝑦 − = phân giác góc nhọn là: 𝑥 + 𝑦 + =
d Bài tập:
1 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho ∆1 : 𝑥 − 2𝑦 − = 0; ∆2 : 2𝑥 − 3𝑦 + = Hãy lập phương trình hai đường phân giác góc tạo bởi hai đường thẳng
2 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝐴 1; , 𝐵 −2; , 𝐶 3; −1 Hãy viết phương trình hai đường phân giác của góc 𝐵
3 Viết phương trình đường phân giác góc 𝐴 tam giác 𝐴𝐵𝐶, biết trung điểm củ a ba ca ̣nh là: 𝑀 −1; −1 , 𝑁 1; , 𝑃 9;
III – BÀI TẬP TO ̉NG HỢP:
(20)a Viết phương trình 3 cạnh tam giác 𝐴𝐵𝐶
b Viết phương trình 3 đườ ng trung tuyến, ̣nh tro ̣ng tâm 𝐺 tam giác 𝐴𝐵𝐶 c Viết phương trình 3 đườ ng trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶
d Viết phương trình 3 đườ ng cao, ̣nh trực tâm 𝐻 tam giác 𝐴𝐵𝐶 e Viết phương trình 3 đườ ng trung trực của tam giác 𝐴𝐵𝐶
f Tìm tâm 𝐼 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶
2 Tam giác 𝐴𝐵𝐶, có phương trình cạnh 𝐴𝐵 : 5𝑥 − 3𝑦 + = 0, đườ ng cao qua đỉnh 𝐴 𝐵 lần lượt là : 4𝑥 − 3𝑦 + = 7𝑥 + 2𝑦 − 22 = Hãy lập phương trình hai cạnh 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 đườ ng cao thứ 3 Lâ ̣p phương trình các ca ̣nh của tam giác 𝐴𝐵𝐶, nếu cho 𝐴 1; hai đường trung tuyến có phương trình
là: 𝑥 − 2𝑦 + = 0, 𝑦 − =
4 Tìm phương trình đường thẳng ∆ đới xứ ng với đường thẳng 𝑑 : 𝑥 + 𝑦 − = qua đườ ng thẳng 𝑑′ : 2𝑥 − 𝑦 − =
5 Lâ ̣p phương trình các ca ̣nh của tam giác 𝐴𝐵𝐶, nếu 𝐵 2; −1 , đườ ng cao và phân giác qua hai đỉnh 𝐴, 𝐶 lần lượt là: 3𝑥 − 4𝑦 + 27 = 0, 𝑥 + 2𝑦 − =
6 Cho điểm 𝐴 4; , 𝐵 −1; Tìm tập hợp điểm 𝑀 cho 𝑆∆𝑀𝐴𝐵 =
7 Cho 𝐴 0; −2 , 𝐵 −1; 14 , 𝐶 −1; Tìm phương trình đường thẳng (𝑑) qua 𝐴 cắt 𝐵𝐶 𝑀 cho: 𝑆∆𝐴𝑀𝐶 = 2𝑆∆𝐴𝑀𝐵
8 Viết phương trình đường thẳng cách 𝐴 0; −3 một khoảng bằng 1 𝐵 3; −4 một khoảng bằng 2 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác với mô ̣t ca ̣nh có trung điểm là 𝑀 −1; , cịn hai cạnh có phương
trình là: 𝑥 + 𝑦 − = va 2𝑥 + 6𝑦 + = Xác định tọa độ các đỉnh tam giác
10 Cho hai đườ n thẳng 𝑑1 : 2𝑥 − 𝑦 − = 0, 𝑑2 : 𝑥 + 𝑦 + = Gọi (𝑑) đườ ng thẳng qua 𝑃 3; , cắt 𝑑1 , 𝑑2 lần lượt ở 𝐴, 𝐵 Viết phương trình (𝑑), biết 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵
11 Lâ ̣p phương trình (𝑑) qua 𝑃 2; −1 cho (𝑑) cùng với hai đường thẳng 𝑑1 : − 𝑦 + = 0, 𝑑2 : 3𝑥 + 6𝑦 − = tạo tam giác cân có đỉnh giao hai đường thẳng 𝑑1 , 𝑑2
12 Tìm trục hồnh điểm 𝑃 cho tởng các khoảng cách từ 𝑃 tớ i các điểm 𝐴 1; , 𝐵 3; nhỏ 13 Viết phương trình các ca ̣nh của hình v uông và đường chéo thứ hai , biết hình vuông có đỉnh 𝐴 −4;
mô ̣t đường chéo nằm đường thẳng: 7𝑥 − 𝑦 + =
14 Viết phương trình đường thẳng cách điểm 𝑃 1; một khoảng bẳng cách điểm 𝑄 2; một khoảng bẳng
15 Cho đường thẳng (∆) có phương trình: 4𝑥 + 2𝑦 − 13 = điểm 𝑃 1; a Tìm tọa độ điểm 𝑃’ đối xứ ng với điểm 𝑃 qua (∆)
(21)a Tìm tọa độ hình chiếu 𝐴 (∆) b Tìm tọa độ điểm 𝐴’ đới xứng với 𝐴 qua (∆)
17 Lâ ̣p phương trình đường thẳng qua 𝐴 2; tạo với đường thẳng 2𝑥 + 3𝑦 + = mợt góc 450 18 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, có 𝐴 −4; , 𝐵
4; , 𝐶 2; a Viết phương trình đường phân giác góc 𝐴 b Tìm tâm đường trịn nội tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶
19 Cho đường thẳng ∆ : 2𝑥 − 𝑦 − = 0, hai điểm 𝐴 0; , 𝐵 −2; a Tìm 𝑀 ∈ ∆ để 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 nhỏ
b Tìm 𝑁 ∈ ∆ để 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 nhỏ
20 a Viết phương trình ∆ qua 𝑀 2; tạo với hai nửa trục tọa độ dương tam giác cho diện tích nhỏ
b Viết phương trình ∆ qua 𝑀 2; tạo với hai nửa trục to ̣a ta ̣i 𝐴 𝐵 cho: 𝑂𝐴2+
1
𝑂𝐵2 nhỏ 21 Chứng minh rằng (𝑑) tiếp xú c với mô ̣t đường tròn cố ̣nh, Xác định tâm bán kính đường trịn
a 𝑑 : 𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 sin 𝛼 − (2 cos 𝛼 + 1) = b 𝑑 : − 𝑚2 𝑥 + 2𝑚𝑦 − 4𝑚 + =
22 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho hai đườ ng thẳng 𝑑1 , 𝑑2 có phương trình: 𝑑1 : 𝑘𝑥 − 𝑦 + 𝑘 = 0; 𝑑2 : − 𝑘2 𝑥 + 2𝑘𝑦 − + 𝑘2 =
a Chứ ng minh rằng 𝑘 thay đổi, đườ ng thẳng 𝑑1 luôn qua một điểm cố ̣nh b Vớ i mỗi giá tri ̣ 𝑘, hãy xác định giao điểm 𝑑1 𝑣𝑎 𝑑2
c Tìm quỷ tích giao điểm 𝑘 thay đổi
23 Cho 𝑑 : 2𝑥 + 𝑦 − = hai điểm 𝑀 3; , 𝑁 −5; 19 Hạ 𝑀𝐾 ⊥ (𝑑) gọi 𝑃 điểm đối xứng 𝑀 qua (𝑑)
a Tính tọa độ 𝐾 𝑃
b Tìm điểm 𝐴 (𝑑) cho: 𝐴𝑀 + 𝐴𝑁 có giá trị nhỏ tính giá trị 24 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, có đỉnh 𝐴 −1; −3
a Cho hai đườ ng cao: 𝐵𝐻 : 5𝑥 + 3𝑦 − 25 = 0, 𝐶𝐾 : 3𝑥 + 8𝑦 − 12 = 0, Xác định tọa độ đỉnh 𝐵, 𝐶 b Cho đườ ng trung trực của 𝐴𝐵 là: 3𝑥 + 2𝑦 − = 0, trọng tâm 𝐺 4; −2 Xác định tọa độ đỉnh 𝐵, 𝐶 25 Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 có đỉnh 𝐴 −1; , đườ ng cao 𝐵𝐻 nằm đườ ng thẳng 𝑦 = 𝑥,
phân giác góc 𝐶 nằm đườ ng thẳng 𝑥 + 3𝑦 + = Viết phương trình ca ̣nh 𝐵𝐶
26 Viết phương trình các ca ̣nh của tam giác 𝐴𝐵𝐶, biết 𝐴 2; −7 , phương trình đường cao và trung tuyến vẽ từ hai đỉnh khác là : 3𝑥 + 𝑦 + 11 = 0, 𝑥 + 2𝑦 + =
(22)28 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, vớ i các đỉnh 𝐴 −6; −3 , 𝐵 −4; , 𝐶 9;
a Viết phương trình đường thẳng (𝑑) đường phân giác góc 𝐴 b Tìm điểm 𝑃 ∈ 𝑑 cho tứ giác 𝐴𝐵𝑃𝐶 hình thang
29 Cho hai đường thẳng 𝑑1 : 𝑎 − 𝑏 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑑2 : 𝑎2− 𝑏2 𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑏, biết rằng: 𝑏2 = 4𝑎2 + a Xác định giao điểm 𝐸 𝑑1 , 𝑑2
b Tìm tập hợp điểm 𝐸 𝑎, 𝑏 thay đổi
30 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 cân tại 𝐴, hai cạnh 𝐴𝐵 : 3𝑥 + 𝑦 + = 0, 𝐴𝐶 : 𝑥 − 3𝑦 + = Viết phương trình cạnh 𝐵𝐶, biết 𝐵𝐶 qua điểm 𝑀 2;
31 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 cân ta ̣i 𝐴, hai cạnh 𝐴𝐵 : 𝑥 + 𝑦 − = 0, 𝐵𝐶 : 2𝑥 − 3𝑦 − = Viết phương trình cạnh 𝐴𝐶, biết 𝐴𝐶 qua điểm 𝑀 2;
32 Cho hai đườ ng thẳng 𝑑1 : 𝑚𝑥 − 2𝑦 + = 0, 𝑑2 : 𝑥 + 𝑦 − = 0, định 𝑚 để 𝑑1 , 𝑑2 a cắt b song song c trùng
33 Viết phương trình đường thẳng :