Giới hạn một bên.. 3.[r]
(1)(2)Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I - GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
1.Định nghĩa
Hoạt động 1:
Xét hàm số
2
2
( )
1
x x f x
x
(3)1 Cho bi n x nh ng giá tr ế ữ ị
khác l p thành dãy s (xậ ố n),
xn1 nh b ng sau:ư ả
x x1=2 x2= x3= x4= … xn= … 1
f(x) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) … f(xn) … ?
3
4
5
1 n
n
(4)Khi đó, giá trị tương ứng hàm số f(x1), f(x2), …, f(xn),…
Cũng lập thành dãy số mà ta kí hiệu (f(xn))
a) Chứng minh f(xn) = 2xn=
b) Tìm giới hạn dãy số (f(xn))
2n
n
(5)2 Chứng minh với dãy số (xn), xn≠1 xn1, ta ln có f(xn)2
(Với tính chất thể câu 2, ta nói hàm số có giới hạn x dần tới 1)
2
2
( )
1
x x f x
x
(6)Dưới đây, thay cho khoảng (a;b), (a; ), Dưới đây, thay cho khoảng (a;b), (a; ), ( ;b), ta viết chung khoảng K
( ;b), ta viết chung khoảng K ĐỊNH NGHĨA
ĐỊNH NGHĨA
Cho khoảng K chứa điểm x
Cho khoảng K chứa điểm xoo hàm số f= f(x) xác hàm số f= f(x) xác
định K K\
định K K\{x{xoo}.}
Ta n
Ta nói hàm số y =f(x) có giới hạn số L x dần ói hàm số y =f(x) có giới hạn số L x dần tới x
tới xoo với dãy số (x với dãy số (xnn) bất kì, x) bất kì, xnn K\ K\{x{xoo} v} viết viết
x
xnnxx00, ta có f(x, ta có f(xnn) ) L.L
Kí hiệu: lim hay f(x)
Kí hiệu: lim hay f(x) L x L x x x00
(7)Ví dụ Cho hàm số f(x) =
Chứng minh
Giải. Hàm số cho xác định R\{-2}
Giả sử (xn) dãy số bất kì, thỏa mãn xn -2 xn -2
n
Ta có:
Do
(Lưu ý rằng, f(x) không xác định x= -2, hàm số lại có giới hạn -4 x -2)
NHẬN XÉT với c số
2 4 2 x x
2 4 2 2
lim ( ) lim lim lim
2 n n n n n n n x x x
f x x
x x
( )
lim x f x 0 ; lim lim x x x x c c x x
( )
lim
x
f x
(8)Ta thừa nhận định lí sau
Định lí 1
a) Giả sử Khi
b)Nếu f(x) ,
L
(Dấu f(x) xét khoảng tìm giới hạn, với )
( )
lim
o
x x
f x L
lim ( ) o
x x
g x M
[f(x)+ ( )]
lim
o
x x
g x L M
[f(x)- ( )]
lim
o
x x
g x L M
[f(x) ( )]
lim
o
x x
g x L M
f(x) ( 0) ( ) lim o x x L M
g x M
(9)Ví dụ Cho hàm số Tìm
Giải Theo định lí ta có
2 1 ( ) x f x x ( ) lim x f x 2
3 3
3
3 3
3 3
3
( 1)
1 ( )
2 2
3.3
lim lim lim
lim lim lim lim lim
lim lim lim lim lim
x x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x f x
x x x
(10)Ví dụ Tính
Giải.Vì (x-1) x , nên ta chưa thể áp dụng định lí nêu Nhưng với ta có
Do :
2 lim x x x x
x 2 ( 1)( 2) 2
1
x x x x
x x x
1 1
2 ( 1)( 2)
( 2)
1
lim lim lim
x x x
x x x x
(11)3 Giới hạn bên
3 Giới hạn bên
Trong Định nghĩa giới hạn hữu hạn
Trong Định nghĩa giới hạn hữu hạn
hàm số x
hàm số xxx00 Giá trị x Giá trị xnn lớn lớn
hay nhỏ x
hay nhỏ x00
Nếu ta xét dãy (x
Nếu ta xét dãy (xnn) mà x) mà xnn lớn lớn
hơn x
hơn x00 (hay nhỏ x (hay nhỏ x00), ta có định ), ta có định
nghĩa giới hạn bên
(12)ĐỊNH NGHĨA 2
Cho hàm số y=f(x) xác định khoảng (xo;b)
số L gọi giới hạn bên phải của hàm
số y = f(x) xx0 với dãy số (xn) bất
kì, x0<xn<b xn x0, ta có f(xn) L
Kí hiệu:
( )
lim
o
x x
f x L
(13)Cho hàm số y=f(x) xác định
khoảng (a;xo).
số L gọi giới hạn bên trái
hàm số y = f(x) xx0 với dãy
số (xn) bất kì, xo>xn>a xn x0, ta có
f(xn) L.
Kí hiệu: limx xo f (x) L
(14)Ta th a nh n đ nh lí sau đây.ừ ậ ị
Đ NH LÍ 2Ị
ch khilim ( ) ỉ
o
x x
f x L
( ) ( )
lim lim
o o
x x x x
f x f x L
(15)Ví dụ Cho hàm số
Tìm (Nếu có )
Giải Ta có ,
Như vậy, x dần tới hàm số y=f(x) có giới hạn bên trái -2 giới hạn bên phải Tuy nhiên,
không tồn
52 2,
3, x x f x x x 1 ( ), ( ), ( )
lim lim lim
x
x x
f x f x f x
2
1
( ) ( 3)
lim lim
x x
f x x
1
( ) (5 2) 5.1
lim lim
x x
f x x
( ) lim x f x 1 ( ) ( ) lim lim x x
f x f x
(16)Hoạt động 2
Trong biểu thức (1) xác định hàm số y = f(x)
(17)HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ