Tính toán đại số trong dạy học hàm số ở trường phổ thông

Bài báo này trình bày hai hình thái của tính toán đại số (hình thái hình thức và hình thái hoạt động) và sự xuất hiện của chúng trong chương trình, sách giáo khoa toán phổ thông. Sau đó, bài báo đi vào phân tích vai trò, ý nghĩa của tính toán đại số trong việc nghiên cứu các vấn đề về hàm số trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông.

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 10(88) năm 2016 TÍNH TỐN ĐẠI SỐ TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG TRỊNH DUY TRỌNG* TĨM TẮT Bài báo trình bày hai hình thái tính tốn đại số (hình thái hình thức hình thái hoạt động) xuất chúng chương trình, sách giáo khoa tốn phổ thơng Sau đó, báo vào phân tích vai trị, ý nghĩa tính tốn đại số việc nghiên cứu vấn đề hàm số thể chế dạy học tốn trường phổ thơng Từ khóa: tính toán đại số, hàm số, dạy học toán ABSTRACT Algebraic calculations in teaching functions at high schools This paper presents two aspects of algebraic calculations (formal aspect and functional aspect) and their parts in the mathematics program and textbooks Then, the role and meaning of algebraic calculations in the study of the problems of functions in mathematics teaching practice at high schools are analyzed Keywords: algebraic calculations function, teaching mathematic Mở đầu Thuật ngữ tính tốn đại số dùng để tính tốn biểu thức đại số Theo [4], bước chuyển từ tính tốn số sang tính tốn đại số thực cách mạng Việc xác định đại lượng chưa biết, thay đổi, chưa xác định chữ đưa chữ vào tính tốn tương tự đại lượng biết làm tăng khả tính tốn, gây nhiều khó khăn, chướng ngại cho học sinh (HS) chiếm lĩnh tính tốn Thật vậy, phương pháp đại số buộc HS phải xem lại cách sâu sắc chiến lược tính tốn Trong số học, phát triển từ biết đến chưa biết cách tạo kết trung gian Còn đại số, phải thiết lập mối liên hệ biết chưa biết, sau tính tốn mối liên hệ đến nhận kết cần tìm Chính đảo ngược tư tưởng khiến việc giảng dạy thường gặp phải khó khăn * ThS, Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh, TPHCM; Email: duytrongtc@yahoo.com 60 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trịnh Duy Trọng _ Bên cạnh đó, cách thức điều khiển tính tốn từ tính tốn số sang tính tốn đại số thay đổi Nếu tính tốn số nhắm đến việc tìm giá trị số biểu thức số, tính toán đại số lại nhắm đến kết tổng quát cho tất biểu thức đạt cách gán giá trị cụ thể cho chữ có mặt biểu thức Trong trường hợp này, tính thỏa đáng kết nhiệm vụ cần giải quy định, tính tốn khơng phải mục đích mà cơng cụ Nói cách khác, tính toán đại số điều khiển ý nghĩa tình Sức mạnh thể khả khỏi nghĩa “bên ngồi” biến đổi thực quy tắc rõ ràng Điều tạo điều khiển tính tốn khác, làm tác động đến nghĩa bên biểu thức Chúng làm rõ vấn đề phần sau Trong chương trình phổ thơng, hàm số đối tượng có vai trị quan trọng đề cập cấp học (ngầm ẩn tường minh) Một cách phổ biến để biểu thị hàm số sử dụng biểu thức giải tích Nghiên cứu hàm số qua biểu thức giải tích biểu diễn phương pháp mang lại nhiều hiệu Khi tính tốn đại số sử dụng công cụ để giải toán điều cho phép mang lại nghĩa tính tốn đại số Vậy tính tốn đại số diện thực tế dạy học trường phổ thơng Việt Nam? Các tính tốn đại số sử dụng việc nghiên cứu hàm số? Nghĩa tính tốn đại số có thể thông qua việc nghiên cứu hàm số hay không? Tính tốn đại số: hình thái hình thức hình thái hoạt động Trong [5], tác giả Yves Chevallard cho thấy vai trò cách biểu diễn khác biểu thức đại số Chẳng hạn, nghiên cứu hàm số xác định biểu thức f(x) = x3  x  x : x  5x   Việc phân tích mẫu số x2 – 5x + = (x – 2)(x – 3) (có thể thơng qua giải phương trình bậc hai tương ứng) cần thiết để xác định tập xác định hàm số x3  x  x x3  Bằng cách viết biểu thức f(x) dạng f(x) = ta xác định x2 giới hạn hàm số x tiến đến 2 2  Trong đó, biểu thức f(x) viết dạng f(x) = x + + 22 x  36 phù hợp với x2  5x  việc xác định tiệm cận xiên đồ thị hàm số 61 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 10(88) năm 2016  Nhưng để tìm nguyên hàm hàm số dừng chưa đủ mà phải tiếp tục 22 x  36 8 30 8 30 biến đổi = để có f(x) = x + +   x  5x  x  x  x  x 3 Như vậy, dạng biểu diễn biểu thức f(x) sử dụng để nghiên cứu vấn đề khác hàm số xác định f(x) Sự lựa chọn dạng biểu diễn phù hợp tạo thuận lợi cho việc nghiên cứu vấn đề hàm số Ở đây, tính tốn đại số sử dụng để đưa biểu thức f(x) dạng xem phù hợp Lựa chọn tính tốn đại số cần thực hoàn toàn yêu cầu nội nhiệm vụ giải quy định yêu cầu, dẫn cho trước Tiếp tục sâu nghiên cứu vấn đề này, Chevallard đề cập đến hai mặt hình thức hoạt động (hình thái hình thức hình thái hoạt động) tính tốn đại số Tác giả phân biệt khác hai hình thái sau: + Tính tốn hình thức tính tốn mà HS thực cách bình thường để đáp ứng dẫn, yêu cầu cổ điển tính tốn thực phép tính, rút gọn, phân tích thành nhân tử, khai triển,… Đó thao tác biến đổi biểu thức đại số khơng nhằm mục đích ngồi việc tính tốn đại số Tác giả đưa ví dụ sau để làm rõ quan điểm mình: “Tính biểu thức: (2a + 1) + (2a + 3)” Câu trả lời mong đợi câu trả lời nảy sinh qua giảng dạy, tạo thành từ kết sau: (2a + 1) + (2a + 3) = … = 4a + Một dấu hiệu hình thức tiêu chí để kết thúc phép tính: coi tính tốn trọn vẹn nhận biểu thức 4a + 4? Tại người ta không thực tiếp để viết sau: (2a + 1) + (2a + 3) = … = 4a + = 4(a + 1) Trong trường hợp dạng kết tính tốn khơng đáp ứng u cầu ngồi tính tốn, với tư cách tính tốn hình thức, việc kết thúc xác định “quy tắc hướng dẫn tính tốn đại số” thuyết phục 4a + dạng “đẹp” số tất dạng + Nhiều thay đổi tính tốn xuất “hoạt động”, tức xuất thời điểm lời giải toán mà u cầu khơng đơn tính tốn Chẳng hạn, xét toán “Chứng minh rằng: tổng số nguyên lẻ liên tiếp bội 4” 62 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trịnh Duy Trọng _ Thực thao tác biến đổi, tính tốn đại số biểu thức (2a + 1) + (2a + 3) mang lại câu trả lời cho câu hỏi Nhưng đây, việc kết thúc tính tốn giai đoạn xác định toán mà người ta cố gắng giải quyết, nằm ngồi việc tính tốn Dạng 4a + không xem dạng tối ưu mà dạng 4(a + 1) hợp thức Như vậy, mặt “hoạt động” tính tốn đại số việc sử dụng cơng cụ để giải tốn cho phép mang lại nghĩa tính tốn đại số Tính tốn đại số chương trình, sách giáo khoa Tốn phổ thơng Kết phân tích chương trình, SGK Tốn THCS hành [3] cho chúng tơi thấy rằng: Ở cấp THCS, tính tốn đại số giới thiệu tương đối đầy đủ Nó đề cập đến hai hình thái phân biệt Chevallard: hình thái hình thức hình thái hoạt động - Trong giai đoạn đầu, chương trình dành trọng tâm cho việc xây dựng quy tắc tính tốn biểu thức đại số nên yêu cầu đưa HS thực tính tốn đại số hình thái hình thức: biết cộng, trừ đa thức, thực hành tốt quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, vận dụng phương pháp thông dụng để phân tích đa thức thành nhân tử,… Các tính tốn biến đổi giai đoạn thực theo yêu cầu nêu rõ, chuẩn hóa, “thực phép tính”, “rút gọn biểu thức”, “phân tích biểu thức thành nhân tử”,… Chúng ta xét hoạt động H2, trang 22 SGK Toán [1]: “Khi thảo luận nhóm, bạn đề: Hãy phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử Bạn Thái làm sau: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) Bạn Hà làm sau: x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – 9) = (x – 9)(x3 + x) Bạn An làm sau: x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 + x2) – (9x3 + 9x) = x2(x2 + 1) – 9x(x2 + 1) = (x2 + 1)(x2 – 9x) = x(x – 9)(x2 + 1) 63 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 10(88) năm 2016 Hãy nêu ý kiến em lời giải bạn Và câu trả lời trang 28, SGV Toán [2] sau: “Bạn An làm đúng, bạn Thái bạn Hà làm chưa phân tích hết phân tích tiếp Với cách làm bạn Thái bạn Hà HS phân tích tiếp để có kết cuối kết bạn An” Tại Thái Hà làm kết An coi kết cuối cùng? Tiêu chí cho phép kết thúc việc phân tích đa thức thành nhân tử kết cuối phục vụ mục đích gì? Điều cho thấy, việc phân tích đa thức thành nhân tử hình thức, khơng có mục đích khác ngồi tính tốn Việc kết thúc q trình phân tích khơng phụ thuộc vào nội tốn mà dường phụ thuộc vào “quy tắc ngầm ẩn” giáo viên HS (kết biểu thức khơng thể phân tích tiếp được) - Sau đó, chừng mực định, chương trình yêu cầu HS thực tính tốn đại số mang hình thái hoạt động họ phải làm việc với dạng phương trình quy phương trình bậc ẩn, phương trình bậc hai ẩn hay giải toán Bài 52, trang 24 SGK Toán [1]: “Chứng minh (5n + 2)2 – chia hết cho với số nguyên n” Ở toán này, khơng u cầu thực phép tốn, khơng yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử để giải u cầu tốn địi hỏi phải thực biến đổi phù hợp: (5n + 2)2 – = (5n + 2)2 – 22 = (5n + – 2)(5n + +2)= 5n(5n + 4) hay (5n + 2)2 – = 25n2 + 20n + – = 25n2 + 20n = 5(5n2 +4n) Việc sử dụng đẳng thức việc nhân tử hóa trường hợp có mục đích rõ ràng, tính tốn đại số thực tình tốn quy định thực theo dẫn, yêu cầu cho trước Nói cách khác, tính tốn đại số thực việc giải toán mang hình thái hoạt động Chính kiểu nhiệm vụ cho thấy nghĩa tính tốn đại số biến đổi đại số Tuy nhiên, tổng kết số lượng tập SGK Toán THCS, chúng tơi nhận thấy số lượng tốn sử dụng tính tốn đại số mang hình thái hoạt động Các loại tập sử dụng tính toán đại số hình thái hình thức hồn tồn áp đảo Mối liên hệ tính tốn đại số hàm số Ta biết có bốn cách để biểu thị hàm số: lời, bảng, đồ thị biểu thức giải tích Hai cách biểu diễn có từ thuở ban đầu lịch sử tốn học, 64 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trịnh Duy Trọng _ người ta quan tâm đến phụ thuộc lẫn đại lượng biến thiên Nhưng cách biểu diễn cuối mang lại nhiều thuận lợi cho việc nghiên cứu hàm số Trong lịch sử tốn học, xuất sau hệ thống kí hiệu đại số đời Sự hình thành nên hệ thống kí hiệu giúp cho việc giải vấn đề toán học trở nên dễ dàng nhiều so với việc sử dụng hệ thống biểu đạt tồn trước Sức mạnh hệ thống biểu đạt đại số khiến Descartes Fermat tìm cách “du nhập” vào hình học từ xây dựng nên ngành Hình học Giải tích Cũng nhờ hệ thống biểu đạt mà Giải tích – ngành tốn học có hàm số đối tượng nghiên cứu – phát triển nhanh chóng Như vậy, nghiên cứu hàm số qua biểu thức giải tích biểu diễn phương pháp mang lại nhiều hiệu Có lẽ ngun nhân khiến cho Việt Nam lựa chọn truyền thống chương trình ưu tiên xem xét hàm số biểu diễn biểu thức giải tích Nghiên cứu hàm số biểu diễn dạng bắt buộc người ta phải thao tác biểu thức, phải thực tính tốn đại số Việc khai thác, sử dụng tính tốn đại số nghiên cứu hàm số giúp cho HS hiểu nghĩa tính toán đại số Tuy nhiên, điều cụ thể hóa thể chế dạy học nào? 3.1 Tính tốn đại số hàm số thể chế dạy học Toán Pháp Khi nghiên cứu vị trí, vai trị tính tốn đại số chương trình Tốn THPT Pháp, tác giả Claude Riquet [6] rằng: “Tính tốn số tính tốn đại số khơng hệ thống thành chương mà tìm thấy qua nhiều chương khác Đặc biệt, trình bày mối quan hệ hẹp với việc nghiên cứu hàm số Giống hình học, hoạt động tính tốn phải hội để phát triển suy luận chứng minh” Cụ thể, tác giả nêu mức độ cần đạt chương trình thể mối quan hệ tính tốn đại số nghiên cứu hàm số sau: Nội dung Mức độ cần đạt Ghi - Xác định biến TXĐ hàm số xác định đường cong, bảng giá trị hay biểu thức Xác định ảnh số Hàm số Nghiên cứu định tính hàm số Hàm số tăng, 65 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 10(88) năm 2016 hàm số giảm, giá trị lớn – nhỏ khoảng - Nhận biết dạng biểu thức đại số - Những hoạt động tính tốn phải hội để suy luận chứng minh Người ta tránh hoạt động máy móc cố gắng phát triển chiến lược dựa quan sát, dự đốn hiểu biết tính tốn - Nhận biết cách viết khác biểu thức đại Hàm số số chọn dạng phù hợp với công việc yêu cầu (dạng rút biểu thức đại số gọn, nhân tử hóa, ) - Những hoạt động gắn với - Biến đổi, khai triển, rút gọn hàm số, phương trình bất biểu thức theo mục đích phương trình làm bật thơng tin cho mong muốn biểu thức thúc đẩy việc tìm kiếm cách viết phù hợp Sau phân tích chương trình tài liệu kèm theo chương trình tác giả kết luận: “Qua phân tích, thấy chương trình nhấn mạnh mặt hoạt động tính tốn đại số qua nhiều nội dung khác nhau, điều thể việc sử dụng thuật ngữ “biến đổi biểu thức đại số”, “thông tin cho biểu thức”, “tìm cách viết phù hợp”,… Ở đây, dẫn (yêu cầu) khơng cịn chuẩn mực nữa, việc thao tác biểu thức đại số khơng đủ, cơng cụ để giải tốn” Như vậy, chương trình Pháp khơng đề cập cách tường minh mà nhấn mạnh vai trò tính tốn đại số, cụ thể tính tốn đại số hình thái hoạt động nghiên cứu hàm số 3.2 Tính tốn đại số hàm số thể chế dạy học Toán Việt Nam Nhằm làm rõ vai trị tính tốn đại số nghiên cứu hàm số (chủ yếu hàm số cho biểu thức giải tích), đặc biệt vai trị thay đổi phương pháp nghiên cứu chuyển từ sơ cấp sang cao cấp, chúng tơi tiến hành phân tích chương trình mơn Tốn cấp THPT hai sách Đại số 10 nâng cao Giải tích 12 nâng cao hành [3] Kết cho thấy: 66 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trịnh Duy Trọng _ + Cả chương trình SGK khơng cho biết (ngầm ẩn tường minh) tính tốn đại số đối tượng hàm số có mối liên hệ với hay không Tuy nhiên, việc nghiên cứu hàm số vấn đề cần đến tính tốn đại số Từ sử dụng phương pháp sơ cấp đến phương pháp cao cấp (sử dụng công cụ đạo hàm) để nghiên cứu vấn đề hàm số, tính tốn đại số ln thể vai trị quan trọng Bằng cách chọn lựa thực tính tốn đại số cách thích hợp, vấn đề hàm số giải chí giải nhanh hơn, thuận tiện + Trong trình nghiên cứu vấn đề hàm số, việc chọn lựa thực tính tốn đại số yêu cầu nội nhiệm vụ thực quy định không thực theo dẫn hay yêu cầu cho trước Nói cách khác, tính tốn đại số sử dụng mang hình thái hoạt động + Tuy nhiên, kết phân tích cho thấy thể chế phần muốn hạn chế chọn lựa thực tính tốn đại số, đặc biệt tính tốn đại số “phức tạp”, nghiên cứu vấn đề hàm số Như vậy, mục đích yêu cầu chương trình khơng nêu mối liên hệ, vai trị tính tốn đại số; cịn SGK hạn chế chọn lựa thực tính tốn đại số việc nghiên cứu vấn đề hàm số Những lựa chọn làm nghi ngờ tồn nơi HS nghĩa tính tốn đại số Khi đối diện với tình buộc phải tự chọn lựa thực tính tốn đại số giải vấn đề đặt liệu HS thành cơng? + Hơn nữa, hầu hết hàm số SGK cho biểu thức giải tích y=f(x) biểu thức f(x) cho dạng tắc, tối giản Các kĩ thuật giải nhiệm vụ đặt nghiên cứu vấn đề hàm số ln algorith hóa Trong quy trình, thuật tốn quan tâm, xem xét hay biến đổi biểu thức f(x) để trực tiếp giải tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải nhiệm vụ đề Khi gặp hàm số mà biểu thức f(x) khơng cho dạng tắc, tối giản HS có biết sử dụng tính tốn đại số biến đổi f(x) để tạo thuận lợi cho việc nghiên cứu (thậm chí nghiên cứu được) vấn đề hàm số? + Một vấn đề nhận thấy, cho hàm số biểu thức giải tích biểu thức f(x) ln cho trước (hoặc có hướng dẫn cách thành lập biểu thức) vấn đề hàm số cần nghiên cứu nêu tường minh Vậy, liệu HS giải kiểu nhiệm vụ mà tự họ phải thành lập biểu thức xác định hàm số chọn lựa vấn đề hàm số để nghiên cứu? 67 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 10(88) năm 2016 Kết luận Tính tốn đại số nội dung trọng tâm chương trình Tốn cấp THCS Hai hình thái tính tốn đại số xuất chương trình, sách giáo khoa cấp THCS hình thái hoạt động hồn tồn mờ nhạt so với hình thái hình thức Tính tốn đại số có vai trò quan trọng việc nghiên cứu vấn đề hàm số, mang hình thái hoạt động Tuy nhiên, lựa chọn thể chế dạy học Việt Nam làm nghi ngờ tồn nghĩa tính tốn đại số nơi HS Vì vậy, việc tiến hành thực nghiệm thực tế dạy học Việt Nam để kiểm chứng tồn giúp HS thấy rõ nghĩa tính tốn đại số thật cần thiết TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính (2008), Tốn 8, Tập 1, Nxb giáo dục Phan Đức Chính (2008), Toán 8, – Sách giáo viên – Tập 1, Nxb giáo dục Trịnh Duy Trọng (2009), Cuộc sống ngầm ẩn tính tốn đại số dạy học hàm số trường phổ thông, Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học, Đại học Sư phạm TPHCM “Commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques”, rapport d’étape sur le calcul, Grenoble Chevallard Y (1989), Le passage de l’arithmétique l’algèbre dans l’enseignement des mathématiques au collège, Petit x, n0 19, pp 43 – 72 Riquet C (2004), Un aspect fonctionnel du calcul algébrique en classe de nde, Mémoire professionnel de mathématiques (Ngày Tòa soạn nhận bài: 15-8-2016; ngày phản biện đánh giá: 15-9-2016; ngày chấp nhận đăng: 21-10-2016) 68 ... hiệu Khi tính tốn đại số sử dụng cơng cụ để giải tốn điều cho phép mang lại nghĩa tính tốn đại số Vậy tính tốn đại số diện thực tế dạy học trường phổ thông Việt Nam? Các tính tốn đại số sử dụng... chế dạy học nào? 3.1 Tính tốn đại số hàm số thể chế dạy học Toán Pháp Khi nghiên cứu vị trí, vai trị tính tốn đại số chương trình Tốn THPT Pháp, tác giả Claude Riquet [6] rằng: ? ?Tính tốn số tính. .. thái hoạt động nghiên cứu hàm số 3.2 Tính toán đại số hàm số thể chế dạy học Tốn Việt Nam Nhằm làm rõ vai trị tính tốn đại số nghiên cứu hàm số (chủ yếu hàm số cho biểu thức giải tích), đặc biệt