Đề thi olympic Toán 11 năm 2020 Trường THPT Mỹ Đức A

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường[r]

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Trường THPT Mỹ Đức A

ĐỀ CHÍNH THỨC -

KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 NĂM HỌC 2019 - 2020 Mơn: Tốn

Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) - oOo - Họ tên thí sinh: ……… … Số báo danh: ………… Câu (5 điểm)

a) Giải phương trình lượng giác: sin sin 5 2cos2 2cos2 2

4 4

x x  x   x

   

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y2sin2x3sin cosx x5cos2x Câu (4 điểm)

a) Cho n ,n2 tính tổng S sau: S 2.1Cn2 3.2Cn34.3Cn4   n n 1Cnn b) Ba bạn A, B, C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn 1;20  Tính

xác suất để tổng lập phương ba số viết chia hết cho Câu (5 điểm)

a) Một tứ giác có bốn góc tạo thành cấp số nhân số đo góc lớn gấp lần số đo góc nhỏ Tính số đo góc tứ giác

b) Cho dãy số  un xác định 1

1

2 3 ,n

n n

u

u  u n 

 

    



Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n Câu (5 điểm)

Cho mặt phẳng   hai đường thẳng chéo d d1, 2 cắt   A B, Gọi  đường thẳng thay đổi song song với   , cắt d1tạiM, cắt d2 N. Đường thẳng d qua Nluôn song song với d1cắt   N

a) Tứ giác AMNNlà hình gì? b) Tìm tập hợp điểm N.

c) Gọi Olà trung điểm AB I, trung điểm MN. Chứng minh OI đường thẳng cố định M di động

Câu (1 điểm)

Cho số thực dương x y z, , thỏa mãn điều kiện: xyz1. Tìm giá trị nhỏ biểu thức H biết:

     

2 2

2 2

x y z y z x z x y

H

y y z z z z x x x x y y

  

  

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11

Câu

5,0 đ Nội dung Điểm

a) 3,0 đ

sin sin cos cos

2

PT  x x    x      x

   

    0,5 đ

sinx sin5x sin 2x sin 4x

    0,5 đ

2sin cos 2x x 2sin cosx x

  0,5 đ

sin cos cos

x

x x

 

  

 0,5 đ

3

2

2

x k

x x k

x x k

              0,5 đ 3 k x k

x k x

k x                 0,5 đ b) 2,0 đ     2

2sin 3sin cos 5cos cos

1 cos sin

2

3

cos sin

2 2

y x x x x

x x x x x            0,5 đ

3

cos

2 x



 

   

  0,5 đ

Giá trị nhỏ hàm số :

7 2

y   đạt

5

,

x  k k

0,5 đ

Giá trị lớn hàm số : max

2

y   đạt ,

x  k k 0,5 đ

Câu

4,0 đ Nội dung Điểm

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

2,0 đ 

  

  

     

  2 

2 !

! !

1 ! ! 2 !

1

n

k n

n u k k

k n k n n n

k n k

n n C  k n

                0,5 đ

  2

2

1 n n n nn

S n n C C C  C  0,5 đ

 

1 2n

S n n  0,5 đ

b) 2,0 đ

Số phần tử không gian mẫu là:   20

n   0,25 đ

Đoạn 1; 20 có số chia hết cho 3; có số chia cho dư 1; số chia cho

3 dư 0,25 đ

Với số tự nhiên n ta ln có n3 n n n 1n1 3

Do tổng lập phương ba số chia hết tổng ba số chia hết cho

0,5 đ TH1: Cả số viết chia hết cho 3: có

6 khả xảy TH2: Cả số viết chia cho dư 1: có

7 khả xảy TH3: Cả số chia cho dư : có

7 khả xảy

TH4: Cả số viết gồm số chia hết cho 3; số chia dư số chia dư 2: có 6.7.7.3! khả xảy

0,5 đ

Số kết thuận lợi 3

6   7 6.7.7.3! 2666 0,25 đ Xác suất cần tính 63 73 733 6.7.7.3! 1333

20 4000

P     0,25 đ

Câu

5,0 đ Nội dung Điểm

a) 2,5 đ

Giả sử bốn góc A, B, C, D A  B C D theo thứ tự lập thành cấp số

nhân với cơng bội q Ta có

B qA

C q A

D q A

        0,5 đ

Ta có hệ 360

8

A B C D D A

      



 3

3

1 360

A q q q A q A

          0,5 đ 0,5 đ 24 q A     

 0,5 đ

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | b)

2,5 đ

Với n  , ta có :  

1 3

n n n

n n n n

u   u  u     u  0,5 đ Xét dãy số  vn , với vn un3 ,n  n  ta có vn12vn

Do đó, dãy số  vn cấp số nhân có cơng bội q2 số hạng đầu -2

0,5 đ 0,5 đ Suy

1

n n n

v v q    0,5 đ

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Câu

4 5,0 đ

Nội dung Điểm

a) 2,0 đ

0,5 đ

Có AM // NN’

Do d // d1 nên tồn mặt phẳng   chứa d d1 0,5 đ

   

   

'

'/ / , / /

AN

AN MN

MN MN

 

 

 

 

 

 0,5 đ

AMNN

 hình bình hành 0,5 đ

b) 2,0 đ

Gọi (P) mặt phẳng chứa d d2, d // d1 nên (P) // d1 0,5 đ Do (P) chứa đường thẳng cố định d2 song song với đường thẳng cố định d1 nên (P)

cố định 0,5 đ

N’ điểm chung (α) (P) nên N'     P 0,5 đ Gọi      P b Vậy tập hợp điểm N’ đường thẳng b 0,5 đ

c) 1,0 đ

0,5 đ

Dựng đường thẳng qua E song song với d1 cắt d2 N0, Dựng đường thẳng 0 qua

N0 song song với AE, đường thẳng cắt d1 M0 0,5 đ

d

b d2

d1

( )

α

I N

A

N'

B M

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Câu

1,0 đ

Nội dung Điểm

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

x yz y zx z xy

H

y y z z z z x x x x y y x x xyz y y xyz z z xyz y y z z z z x x x x y y

y y

x x z z

y y z z z z x x x x y y

  

  

  

  

  

  

0,25 đ

Đặt:

 

 

 

1

2

9

1

2

9

2 1

4

9

x x a b c

a y y z z

b z z x x y y a b c

c x x y y

z z a b c

    



   

      

 

   

 

   



0,25 đ

Khi

3

2 4

9

6

2

6 4.3

9

a b c a b c a b c

H

a b c

b a c c a b

a c a a b c

b a c c a b

a c a a b c

      

 

    

 

    

          

   

 

 

        

 



0,25 đ

2

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác

TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Đ