Nắm trọn chuyên đề mũ – logarit và tích phân

TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2021 NẮM TRỌN CHUYÊN ĐỀ MŨ - LOGARIT TÍCH PHÂN (Dùng cho học sinh 11,12 luyện thi Đại học năm 2021) ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ THÁNG 10/2020 LỜI NÓI ĐẦU Các em học sinh, quý thầy cô bạn đọc thân mến ! Kỳ thi THPT Quốc Gia kỳ thi quan trọng Để tham dự đạt kết cao việc trang bị đầy đủ kiến thức kĩ cần thiết điều vô quan trọng Thấu hiểu điều đó, chúng tơi cúng tiến hành biên soạn sách “ Nắm trọn chun đề mơn Tốn 2021 ” giúp em học sinh ơn luyện hồn thiện kiến thức trọng tâm phục vụ kỳ thi, làm tài liệu giảng dạy tham khảo cho quý thầy cô trước thay đổi phương pháp dạy học kiểm tra Bộ Giáo dục Đào tạo Bộ sách chúng tơi biên soạn gồm quyển: • Quyển 1: Nắm chọn chuyên đề Hàm số • Quyển 2: Nắm trọn chuyên đề Mũ – Logarit Tích phân • Quyển 3: Hình học khơng gian • Quyển 4: Hình học Oxyz Số phức Trong sách, chúng tơi trình bày cách rõ ràng khoa học – tạo thuận lợi cho em học tập tham khảo Đầu tiên tóm tắt toàn lý thuyết phương pháp giải dạng tốn Tiếp theo hệ thống ví dụ minh họa đa dạng, tiếp cận xu hướng đề kỳ thi THPT Quốc Gia năm gần bao gồm mức độ: Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng Vận dụng cao Cuối phần tập rèn luyện từ đến nâng cao để em hoàn thiện kiến thức, rèn tư rèn luyện tốc độ làm Tất tập sách tiến hành giải chi tiết 100% để em tiện lợi cho việc so sánh đáp án tra cứu thơng tin Để biên soạn đầy đủ hoàn thiện sách này, nhóm tác giả có sưu tầm, tham khảo số tốn trích từ đề thi Sở, trường Chuyên nước số toán thầy/cơ tồn quốc Chân thành cảm ơn q thầy sáng tạo tốn hay phương pháp giải toán hiệu Mặc dù nhóm tác giả tiến hành biên soạn phản biện kĩ lưỡng không tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến phản hồi đóng góp từ q thầy cơ, em học sinh bạn đọc để sách trở nên hồn thiện Mọi ý kiến đóng góp, q vị vui lịng gửi địa chỉ: • Gmail: Blearningtuduytoanhoc4.0@gmail.com • Fanpage: 2003 – ƠN THI THPT QUỐC GIA Cuối cùng, nhóm tác giả xin gửi lời chúc sức khỏe đến quý thầy cô, em học sinh quý bạn đọc Chúc quý vị khai thác hiệu kiến thức cầm tay sách ! Trân trọng./ NHÓM TÁC GIẢ MỤC LỤC A PHẦN I: MŨ VÀ LOGARIT Trang CHỦ ĐỀ 1: MỞ ĐẦU VỀ LŨY THỪA……………………………………………… Dạng 1: Tính, rút gọn, so sánh số liên quan đến lũy thừa …………………….………… CHỦ ĐỀ 2: MŨ - LOGARIT…………… ……………………………………………… 14 Dạng 1: Biến đổi mũ - logarit……………………………………………………………………… 15 CHỦ ĐỀ 3: HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LOGARIT………………………… 31 Dạng 1: Bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số logarit ……… ………………… 37 CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT … 44 Dạng 1: Bài tập phương trình mũ, phương trình logarit số 01…………………………… 58 Dạng 2: Bài tập phương trình mũ, phương trình logarit số 02…………………………… 78 Dạng 3: Bài tập phương trình mũ, phương trình logarit chứa tham số 01……………… 122 Dạng 4: Bài tập phương trình mũ, phương trình logarit chứa tham số 02……………… 148 CHỦ ĐỀ 5: BPT MŨ, BPT LOGARIT………………… ……………………………… 172 Dạng 1: Biện luận nghiệm phương trình mũ - logarit…………………………………… 183 Dạng tốn tìm GTLN GTNN hàm số mũ – logarit…………………………………… 211 Dạng toán liên quan đến hàm đặc trưng….……………………………………………………… 232 Dạng tốn tìm cặp số nguyên thỏa mãn điều kiện……………………………………………… 259 Dạng toán lãi suất…………………………………………………………………………………… 268 Dạng toán thực tế liên quan đến tang trưởng……………… ……………………………… 290 Dạng toán thường xuất đề thi Bộ……………………………………………… 307 B PHẦN II: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN……………………………………… 318 CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM………………………………………………………… 319 Dạng 1: Phương pháp tính nguyên hàm…………………………………………………… 325 CHỦ ĐỀ 2: TÍCH PHÂN… ………………………………………………………… 346 Dạng 1: Phương pháp tính tích phân………………………………………………………… 353 Dạng 2: Tích phân cho nhiều hàm…………………… ………………………………… 370 Dạng 3: Tích phân hàm ẩn phần 1…………………………………………………………… 378 Dạng 3: Tích phân hàm ẩn phần …………………………………………… …………… 403 Dạng 4: Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích……………………………………… 417 Dạng 5: Tích phân đề thi Bộ………………………………… …… …………… 432 PHẦN I MŨ VÀ LOGARIT CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT CHỦ ĐỀ 1: LŨY THỪA LÝ THUYẾT Định nghĩa • Cho n số nguyên dương Với a số thực tùy ý, lũy thừa bậc n a tích an = a.a a ( n thừa số) n thừa số a n • Ta gọi a số, n số mũ lũy thừa an • Với a  0, n = n số nguyên âm lũy thừa bậc n a số an xác định a0 = 1; a− n = an • Chú ý rằng: 0 0−n khơng có nghĩa • Cho a  số hữu tỉ r = m m ; m  ; n  , n  Khi ar = a n = n a m n Một số tính chất lũy thừa • Với a, b  m, n , ta có:  am an = an+ m ;  m m ( n an am = am−n ; n a a am    = m; b b ( a.b ) = am bm  a− n = •  * ) m ; (a ) m a    b (  a n = n am a  0, m  , n  * n −m = a m.n ; m b =  ; a ) Với a  am  an  m  n Còn với  a  am  an  m  n • Với  a  b , ta có am  bm  m  ; Căn bậc n •  a m  bm  m  Định nghĩa: cho số thực b số nguyên dương n ( n  ) Số a gọi bậc n số b an = b • Một số ý quan trọng o Nếu n lẻ a  có bậc n , kí hiệu n a o Nếu n chẵn có trường hợp sau: ▪ Với a  khơng tồn bậc n a ▪ Với a = có bậc n a số ▪ Với a  có hai bậc n  n a Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT BÀI TẬP RÈN LUYỆN DẠNG 1: TÍNH, RÚT GỌN, SO SÁNH CÁC SỐ LIÊN QUAN ĐẾN LŨY THỪA Câu 1: ( Cho a , b số thực dương Rút gọn biểu thức P = a3 b2 B a2 b A ab2 Câu 2: B 15 C a Cho a số thực dương, khác Khi A a a D a a C 3 D a a ) ( Cho  a  Giá trị biểu thức P = log a a a2 A B C D Rút gọn biểu thức P = x x với x  A P = x Câu 6: D a2 b2 B a Câu 5: kết a12 b6 C ab 15 A a Câu 4: Biểu thức T = a a với a  Viết biểu thức T dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ là: Câu 3: ) B P = x 63+ Tính giá trị biểu thức A = D P = x2 C 18 D 2 + 31+ B − A C P = x Câu 7: Rút gọn biểu thức P = x x , với x số thực dương Câu 8: A P = x 12 C P = x B P = x 12 Cho x  , y  Viết biểu thức x x D P = x m 11 D x dạng x biểu thức y : y y dạng y n Tính m − n A Câu 9: B − 11 C − Cho a  , b  x , y số thực Đẳng thức sau đúng? A ( a + b ) = a + b x x x x a B   = a x b− x b C ax+ y = ax + a y D a x b y = ( ab ) Câu 10: Rút gọn biểu thức P = x x ? Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” xy CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT 17 A x B x 10 13 C x 10 D x 2   a   −1 b Câu 11: Cho a  , b  biểu thức T = ( a + b ) ( ab ) 1 +  −   Khi đó:   b a     2 A T = B T = Câu 12: Cho hàm số f ( a ) = a a − ( ( a − a −1 ) với a  0, a  Tính giá trị M = f ( 2017 ) B M = −20171008 − A M = 20171008 − Câu 13: Rút gọn biểu thức P = a − a4 +1 a a2 − (a ) −2 A P = a D T = C T = +2 2016 ) C M = 2017 2016 − D M = − 2017 2016 C P = a4 D P = a5 với a  B P = a3 Câu 14: Cho hai số thực dương a, b Rút gọn biểu thức A = a3 b + b3 a a+ b ta thu A = am bn Tích m.n A B 21 C m Câu 15: Cho biểu thức = n , D 18 m phân số tối giản Gọi P = m2 + n2 Khẳng định n sau đúng? A P  ( 330; 340 ) B P  ( 350; 360 ) C P  ( 260; 370 ) D P  ( 340; 350 ) 11 Câu 16: Rút gọn biểu thức A = a7 a a a −5 m với a  ta kết A = a n m, n  N * m n phân số tối giản Khẳng định sau đúng? A m2 − n2 = 312 B m2 + n2 = 543 Câu 17: Cho 4x + 4− x = biểu thức A = A C m2 − n2 = −312 D m2 + n2 = 409 − 2x − 2− x a = Tích a.b có giá trị bằng: + 2x + 2− x b B −10 C −8 D  −1  a  a + a   Câu 18: Cho a số thực dương Đơn giản biểu thức P =  −1   a  a + a    A P = a ( a + 1) B P = a − C P = a Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” D P = a + CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Câu 19: Cho biểu thức P = x x x , với x  Mệnh đề đúng? A P = x B P = x  1 Câu 20: Tích ( 2017 ) ! +   1 12 C P = x  1    +   +  2  2017   2017 D P = x 24 viết dạng ab , ( a , b ) cặp cặp sau? A ( 2018; 2017 ) Câu 21: Cho f ( x) = phân số 1+ B ( 2019; 2018 ) 1 + x2 ( x +1)2 m Biết rằng: f ( 1) f ( ) f ( 2020 ) = n với m, n số nguyên dương m tối giản Tính m − n2 n A m − n2 = 2021 B m − n2 = −1 Câu 22: Cho m  , a = m m , y = A y = D ( 2016; 2015 ) C ( 2015; 2014 ) 18 a 35 m a m B y = D m − n2 = 2020 C m − n2 = Mệnh đề đúng? a2 C y = D y = a 34 a11 Câu 23: Biểu thức C = x x x x x với x  viết dạng lũy thừa số mũ hữu tỉ 15 A x 16 31 C x 16 B x D x 32 Câu 24: Rút gọn biểu thức A = m a5 a a4 a−2 với a  ta kết A = a n , m , n * phân số tối giản Khẳng định sau đúng? C 3m2 − 2n = B m2 + n2 = 43 A m2 − n2 = 25 Câu 25: Cho a, b hai số thực dương Thu gọn biểu thức A a4 b B ab Câu 26: Cho biểu thức P = a b C − ab2 D 2m2 + n = 15 , kết sau đúng? b a D 23 2 Mệnh đề mệnh đề sau đúng? 3 1 18  2 D P =   3  8   18 2 A P =   B P =   C P =   3 3 3 Câu 27: Cho a số dương khác Khẳng định sau đúng? A a−2019 = a 2019 a b 1 B a−2019 = −   a 2019 1 C a−2019 =   a 2019 D a−2019 = −a 2019 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” m n CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Câu 28: ( Cho a , b số thực dương Rút gọn biểu thức P = a3 b2 B a2 b2 A ab ) kết a12 b6 D a2 b C ab2 Câu 29: Cho biểu thức P = x x x với x  Mệnh đề đúng? A P = x B P = x 11 C P = x Câu 30: Cho a số thực dương Viết rút gọn biểu thức a 2018 2018 D P = x a dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ Tìm số mũ biểu thức rút gọn A Câu 31: 1009 B 1009 C 1009 D 2018 Cho số thực a  số thực  ,  Kết luận sau đúng? A a  1,   B a  a     Câu 32: Cho      Kết luận sau đúng? A   = B    C  0,   a D a  1,   D  +  = C    Câu 33: Với số thực a , b bất kì, mệnh đề sau đúng? ( ) A 3a b ( ) = 3a + b B 3a b ( ) = 3ab C 3a a a b ( ) = 3a − b D 3a b b = 3a 3 4 Câu 34: Cho a, b số thực thỏa điều kiện      b  b Chọn khẳng định 4  5 khẳng định sau? A a  b  C a   b  B a   b  D a  b   2 Câu 35: Cho a thuộc khoảng  0;  ,   số thực tuỳ ý Khẳng định sau sai?  e ( ) A a b = a  B a  a  a   C a a = a +  Câu 36: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A ( C 2 −1 +1 ) 2017  ( −1 ) 2018 B ( ) −1 2018  2 D  −     2  2018 D a  a     ( −1 ) 2017  2  1 −     2017 Câu 37: Cho số thực a; b thỏa mãn  a   b Tìm khẳng định đúng: A ln a  ln b B ( 0,5 )  ( 0,5 ) a b C loga b  D 2a  2b Câu 38: Khẳng định sau đúng? A ( + 2)−2017  ( + 2)−2018 B ( + 2)2018  ( + 2)2019 C ( − 2)2018  ( − 2)2019 D ( − 2)2018  ( − 2)2019 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A B C Câu 36: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − D f  ( x ) = x  f ( x )  với x  Giá trị f (1) A − 35 B − 71 20 C − 79 20 Biết f ( ) = Câu 37: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục D −  xf ( 5x ) dx = ,  x f  ( x ) dx A 15 B 23 C Câu 38: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục 123 , biết f (6) = D −25  xf (6 x)dx = Khi x f '( x)dx = ? A 107 B 34 Câu 39: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn C 24 D −36  ( x + 1) f  ( x ) dx = 10 f (1) − f ( ) = Tính B I = A I = −12 C I = 1  f ( x ) dx D I = −8 thoả mãn f ( x ) + f ( − x ) = + 2cos x , x  Câu 40: Cho hàm số f ( x ) liên tục Tính 3 I= −  f ( x ) dx A I = −6 B I = Câu 41: Biết I =  ( x + 1) P = a+b+c A P = 24 dx x + x x+1 C I = −2 D I = = a − b − c với a , b , c số nguyên dương Tính B P = 12 Câu 42: Cho hàm số f ( x ) xác định C P = 18 D P = 46 1  \   thỏa mãn f  ( x ) = , f ( ) = f (1) = Giá trị 2x −1 2 biểu thức f ( −1) + f ( 3) A + ln15 B + ln15 Câu 43: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − C + ln15 D ln15 f  ( x ) = x  f ( x )  với x  Giá trị f ( 1) 436 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A − Câu 44: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − f (1) A − 41 400 B − D − C − B − 11 f  ( x ) = x  f ( x )  với x  25 10 C − 391 400 D − Giá trị 40  Câu 45: Cho hàm số f ( x ) Biết f ( ) = f  ( x ) = cos x + , x   f ( x ) dx , A  +4 16  + 14 B 16  + 16 +  + 16 + 16 2 C 16 D Biết f ( ) = Câu 46: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục 16  xf ( x ) dx = ,  x f  ( x ) dx A 31 B −16 D 14 C  Câu 47: Cho hàm số f ( x ) Biết f ( ) = f '( x) = 2cos2 x + 3, x  ,  f ( x)dx A  +2  + 8 + B  + 8 + 2 2 C D  + 6 + 8  Câu 48: Cho hàm số f ( x ) Biết f ( ) = f  ( x ) = 2sin x + , x  ,  f ( x ) dx  + 15 A 16  + 16 − 16 2 B 16  + 16 − C 16 D 2 −4 16  Câu 49: Cho hàm số y = f ( x ) Biết f ( ) = f  ( x ) = 2sin x + , x  Khi  f ( x ) dx  −2 A B  + 8 − 8  + 8 − C Câu 50: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục 3 + 2 − 2 , biết f (3) = D  xf (3x)dx = Khi x f '( x)dx = ? A B C −9 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” D 25 437 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 11.B 2.D 12.D 3.B 13.A 4.B 14.C 5.A 15.A 6.B 16.B 7.A 17.A 8.D 18.B 9.D 19.A 10.D 20.C 21.B 31.C 41.D 22.B 32.A 42.C 23.C 33.C 43.B 24.B 34.C 44.B 25.C 35.A 45.C 26.C 36.D 46.B 27.B 37.D 47.C 28.A 38.D 48.C 29.A 39.D 49.C 30.A 40.D 50.B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn B F( x) =  f ( x)dx =  dx = ln x − + C F(2) =  ln1 + C =  C = x −1 Vậy F( x) = ln x − + Suy F(3) = ln2 + Câu 2: Chọn D Có F ( x ) =  f ( x ) dx =  ( sin x + cos x ) dx = − cos x + sin x + C     Do F   = − cos + sin + C =  + C =  C =  F ( x ) = − cos x + sin x + 2 2 Câu 3: Chọn B Áp dụng công thức Câu 4: dx dx 1 Chọn B Ta có Câu 5:  ax + b = a ln ax + b + C ( a  ) ta  5x − = ln 5x − + C  2x − ( x + 1) dx =  2 ( x + 1) − ( x + 1) dx =  −3 dx +  dx = 2ln ( x + 1) + +C x+1 ( x + 1) ( x + 1) Chọn A Ta có f ( x ) =  ( − 5sinx ) dx = 3x + 5cos x + C Theo giả thiết f ( ) = 10 nên + C = 10  C = Vậy f ( x ) = 3x + 5cos x + Câu 6: Chọn B f ( x)0 Ta có f  ( x ) = x  f ( x )  Từ f ( ) = − Câu 7: 438   = x  = −x2 + C   = −2 x  f ( x)  f ( x )   f ( x )  f ( x) suy C = − Do f (1) = 2 =−  1 −12 +  −   2 Chọn A Đặt t = x − 3(t + 1) − 3t + 2  f ( x)dx = t dt =  t dt =  t dt +  t dt = 3ln( x − 1) − x − + C Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Câu 8: Chọn D  Ta có: = 2 Câu 9: 2x + ( x + 2) d( x + 2) − x+2 dx =  ( x + 2) ( x + 2) − 3 dx −  dx dx =  2 ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2) 3  ( x + ) d ( x + ) = 2ln x + + x + + C = 2ln ( x + ) + x + + C −2 Chọn D Ta có  3x − ( x − 2) dx =  3( x − 2) + ( x − 2)    dx =  + dx = 3ln ( x − ) − +C x−2  x − ( x − 2)    Câu 10: Chọn D Cách Ta có  f ( x ) dx =  4x (1 + ln x ) dx =  xdx +  x ln xdx Tính  4xdx = 2x + C1  u = ln x du = dx Tính  x ln xdx Đặt   x dv = xdx v = x  Suy  x ln xdx = x ln x −  xdx = x ln x − x + C Do I = 2x2 ln x + x2 + C Cách ( ) ( ) ( )    Ta có x ln x + x = x ln x + x ( ln x ) + x = x.ln x + x + x = x ( + ln x ) x Do 2x2 ln x + x2 nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( + ln x ) Hay 2x2 ln x + x2 + C họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( + ln x ) Câu 11: Chọn B ( ) Ta có f ( x ) e x = F ' ( x ) = x  f ( x ) e x ' = hay f '( x)e x + f ( x)e x =  f '( x)e x + x = Suy f '( x)e x = − x nên  f ' ( x ) e 2x dx = −2 x + x + C Câu 12: Chọn D Ta có F ( x ) =  ( e x + x ) dx = e x + x + C Theo ta có: I =  x x − 1dx Câu 13: Chọn A f ( x) Chọn I =32 x 2x2 Khi đó: I =8 Đặt I =16 Ta có:  dx = Khi đó: I =4 Câu 14: Chọn C Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 439 CHUN ĐỀ: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG   f ( x ) e dx = ( x − 1) e + C , suy f ( x ) e = ( x − 1) e  = e + ( x − 1) e  f ( x ) = e + ( x − 1) e  f  ( x ) = ( − x ) e Suy  f  ( x ) e dx =  ( − x ) e dx =  (1 − x ) d ( e ) = e (1 − x ) +  e dx = e ( − x ) + C Theo đề ta có 2x −x x 2x −x x x x −x 2x x x x x x Câu 15: Chọn A Ta có I =  f  ( x ) dx = f ( x ) = f ( ) − f (1) = − = 1 Câu 16: Chọn B 1 1 = = − x + x x( x + 1) x x + Ta có: 4 dx 1  = − dx = ( ln x − ln( x + 1) ) = (ln − ln 5) − (ln − ln 4)    Khi đó: x x +1 x +x 3 = 4ln − ln − ln I= Suy ra: a = 4, b = −1, c = −1 Vậy S = Câu 17: Chọn A   2 0  Ta có I =   f ( x ) + 2sin x  dx=  f ( x ) dx +2  sin xdx   I =  f ( x ) dx − 2cosx = − ( − 1) = 0 Câu 18: Chọn B x2 Ta có: I =   x + f ( x ) − g ( x )  dx = −1 −1 2 −1 −1 +  f ( x ) dx −  g ( x ) dx = 17 + 2.2 − ( −1) = 2 Câu 19: Chọn A 1 e4 − e Ta có:  e x +1dx = e x +1 = 3 Câu 20: Chọn C Ta có dx 1 3x − = ln 3x − 2 = 1 ln − ln1) = ln ( 3 Câu 21: Chọn B 2 1 Ta có: I =  f (3x)dx =  f (3x)d3x =  f (t )dt = 12 = 30 30 Câu 22: Chọn B Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp A 15 giây, B 10 giây 440 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng vB ( t ) =  adt = at + C , lại có vB ( ) = nên vB ( t ) = at Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp quãng đường hai chất điểm Do  11  0  180 t + 18 t  dt = 0 atdt  75 = 50a  a = 15 10 Từ đó, vận tốc B thời điểm đuổi kịp A vB (10 ) = 10 = 15 ( m s ) Câu 23: Chọn C Thời điểm chất điểm B đuổi kịp chất điểm A chất điểm B 15 giây, chất điểm A 18 giây Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng vB ( t ) =  adt = at + C mà vB ( ) = nên vB ( t ) = at Do từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động chất điểm B đuổi kịp quãng đường hai chất điểm Do 18  15 58  225 0  120 t + 45  dt = 0 atdt  225 = a  a = Vậy, vận tốc chất điểm B thời điểm đuổi kịp A vB ( t ) = 2.15 = 30 ( m / s ) Câu 24: Chọn B  xdx ( x + 2) = ( x + ) − dx = dx − 2dx  x+2  x+2 ( x + 2) ( ) 0 = ln ( x + ) − 1 ( x + 2) −1 = ln − ln + −1 2 − = − − ln + ln 3 Vậy a = − ; b = −1; c =  3a + b + c = −1 Câu 25: Chọn C  Ta có: I =  cos x.sin xdx Đặt t = cos x  dt = − sin xdx  −dt = sin xdx Đổi cận: Với x =  t = ; với x =   t = −1 −1 t4 Vậy I = −  t dt =  t dt = −1 3 −1 14 ( −1) = − = 4 Câu 26: Chọn C Ta có: I =  x x − 1dx đặt u = x2 −  du = 2xdx Đổi cận x =  u = ; x =  u = nên I =  udu Câu 27: Chọn B Đặt t = 2x  dt =dx Đổi cận x =  t = ; x =  t = Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” 441 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Khi ta có I =  f (2 x)dx = 4 f (t )dt =  f ( x)dx =8  2 Câu 28: Chọn A Cách e e e e ln x ln x ln x dx =  ln xd ( ln x ) = = Vì f ( x ) = nên I = F ( e ) − F (1) =  f ( x ) dx =  x x 2 1 Câu 29: Chọn A 2 1 Ta có:  e x −1dx = e x −1 = e − e 3 ( ) Câu 30: Chọn A Đặt t = x +  t = x +  2tdt = dx Đổi cận: x t 21 x 5 dx = x+4 (t 2tdt 21 5 2dt 1  = 2  −  dt  ( t + )  ( t − )( t + )  (t − ) ) −4 t = 1  1 =  ln t − − ln t +  53 = ln + ln − ln7 2 2 2  Câu 31: Chọn C Cách Đặt t = e x  dt = e xdx Đổi cận: x =  t = 1; x =  t = e dx e xdx dt 1  = 0 e x + 0 e x e x + = 1 t ( t + 1) = 1  t − t +  dt = ln t − ln t + 1 e ( = + ln e ( ) ) = (1 − ln (1 + e )) − (− ln 2) e a = 1+ e = − ln   S = a3 + b3 = b = − 1+ e  ( ) ( ) ex + − ex 1 d ex + 1 dx 1+ e = dx =  dx −  x = x − ln e x + = − ln Cách  x x e + e + e + 0 0 Suy a = b = −1 Vậy S = a3 + b3 = Câu 32: Chọn A Đặt t = x +  t = x +  2tdt = dx Đổi cận: x t 442 16 55 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 55 x dx x+9 16 = ( 8 dt  dt dt  = = −  5 t −  5 t − 5 t +  t2 − t   2tdt ( ) = ln x − − ln x + 3 Vậy a = ) 1 = ln + ln − ln11 3 1 , b = , c = − Mệnh đề a − b = −c 3 Câu 33: Chọn C Ta có e e e e 1 1  (1 + x ln x ) dx =  1.dx +  x ln x dx = e − +  x ln x dx  u = ln x  du = x dx Đặt  dv = x.dx  v = x  e Khi  x ln x dx = e  (1 + x ln x ) dx = e − + Suy e e x2 e2 ln x −  x dx = − x 2 21 1 e = e2 e2 e2 − + = + 4 4 e2 e2 3 + = + e − nên a = , b = , c = − 4 4 4 Vậy a − b = c Câu 34: Chọn C e Ta có e e e e + x ln x d x = 2d x + x ln x d x = x + I = e − + I I = với )  1 ( 1 1 x ln xdx 1  du = x dx u = ln x  Đặt  dv = xdx v = x  e ex e x2 e e 2 x2 x2 e2 +  I = ln x −  dx = ln x − = − e −1 = 12 4 2 ( )  a = e  e2 + 1   ( + x ln x )dx = e − + = e + e −  b =  a − b = c 4  c = −  Câu 35: Chọn A du = f  ( x ) dx u = f ( x )  Cách 1: Tính:  x f ( x ) dx Đặt   x3 d v = x d x v =    Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” 443 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Ta có:  x f ( x ) dx = x3 f ( x ) = f (1) − f ( ) − 1 x f  ( x ) dx 0 1 1 −  x f  ( x ) dx = −  x f  ( x ) dx 30 30 Mà  x f ( x ) dx = 1 1 1  −  x f  ( x ) dx =   x f  ( x ) dx = −1 30 Ta có   f  ( x )  dx = x7 x d x = 0 = 1   49 x6dx = 49 = 7 1 0 3  x f  ( x ) dx = −1   14x f  ( x ) dx = −14 1 Cộng hai vế suy   f  ( x )  dx +  49 x6dx +  14 x f  ( x ) dx = + − 14 =  0     f  ( x )  + 14 x f  ( x ) + 49 x6 dx =    f  ( x ) + x  dx = 2 1 Do  f  ( x ) + x      f  ( x ) + x  dx  Mà   f  ( x ) + x  dx =  f  ( x ) = −7 x 2 0 f ( x) = − 7x x4 7 + C Mà f ( 1) =  − + C =  C = Do f ( x ) = − + 4 4 4  x4   x5  Vậy  f ( x ) dx =   − +  dx =  − + x = 4  20  0 1 Cách 2: Tương tự ta có:  x3 f  ( x ) dx = −1 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 1 1  1  1  2 2 =   x3 f  ( x ) dx     x dx      f  ( x )  dx  =     f  ( x ) dx =   f  ( x ) dx       0 0  0  0  ( ) Dấu xảy f  ( x ) = ax , với a  1 Ta có  x f  ( x ) dx = −1   x ax 3dx = −1  0 Suy f  ( x ) = −7 x  f ( x ) = − Do f ( x ) = ( ax7 = −1  a = −7 x4 + C , mà f ( 1) = nên C = 4 ) − x x  1  x4   x5  +  dx =  − + x = Vậy  f ( x ) dx =   − 4  20  0 Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục đoạn  a; b  444 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG b  b  b  Khi đó, ta có   f ( x ) g ( x ) dx     f ( x ) dx     g ( x ) dx  a  a  a  Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: b Nếu hàm số h ( x ) liên tục không âm đoạn  a; b   h ( x ) dx  a Xét tam thức bậc hai  f ( x ) + g ( x )  =  f ( x ) + 2 f ( x ) g ( x ) + g ( x )  , với   Lấy tích phân hai vế đoạn  a; b  ta  b b b  f ( x ) dx + 2  f ( x ) g ( x ) dx +  g ( x ) dx  , với   ( * ) 2 a a a Coi ( * ) tam thức bậc hai theo biến  nên ta có   b  b  b     f ( x ) dx  −   f ( x ) dx   g ( x ) dx        a  a  a  b  b  b     f ( x ) dx     f ( x ) dx   g ( x ) dx       a  a  a  Câu 36: Chọn D Ta có: f  ( x ) = x  f ( x )   f ( x) f ( x) = x3   f ( x) f ( x) dx =  x 3dx   15 1 15  − − + =  f ( 1) = −  =  f ( x)  f ( ) f (1)  1 Câu 37: Chọn D Cách 1: 5 0 2  x f  ( x ) dx = x f ( x ) −  2xf ( x ) dx = 25.1 − 2 5tf ( 5t ) d ( 5t ) = 25 − 50.1 = −25 0 Cách 2: 1 Ta có: =  xf ( 5x ) dx Đặt t = 5x  dt = 5dx  dt = dx 51 5 1  =  t f ( t ) dt  = t f ( t ) dt   t f ( t ) dt = 25   x f ( x ) dx = 25  0 25 u = x du = xdx  Đặt I =  x f  ( x ) dx Đặt:  dv = f  ( x ) dx v = f ( x ) 5  I = x f ( x ) −  xf ( x ) dx = 25 f ( ) − 2.25 = −25 0 Câu 38: Chọn D Ta có: I =  xf (6 x)dx = Đặt t = x  dt = 6dx  dx = dt Đổi cận: Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 445 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Từ t = x  x = t 6 6 t dt f (t ) =  tf (t )dt =   tf (t )dt = 36   xf ( x)dx = 36  6 36 0 0 Từ ta có: I =   du = xdx u = x J =  x f '( x)dx Đặt    dv = f '( x)dx v = f ( x) 6 Suy ra: J =  x2 f '( x)dx = x f ( x) −  xf ( x)dx) = 36 f (6) − 2.36 = −36 0 Câu 39: Chọn D u = x + du = dx  Đặt  Khi I = ( x + 1) f ( x ) −  f ( x ) dx dv = f  ( x ) dx v = f ( x ) 1 0 Suy 10 = f (1) − f ( ) −  f ( x ) dx   f ( x ) dx = −10 + = −8 Vậy  f ( x ) dx = −8 Câu 40: Chọn D Đặt x = −t Khi − 0 3  f ( x ) dx =  f ( −t ) d ( −t ) = −  f ( −t ) dt =  f ( −x ) dx 3 Ta có: I = − Hay I = 3 I=  3 0 3 3 3 0  f ( x ) d ( x ) =  f ( x ) d ( x ) +  f ( x ) d ( x ) =  f ( −x ) d ( x ) +  f ( x ) d ( x ) − 3 3 0  ( f ( −x ) + f ( x )) d ( x ) =  + 2cos xd ( x ) = 3  0 3  2(1 + cos x)d ( x )  4cos xd ( x ) =  cos x d ( x ) =  cos xd ( x ) −  cos xd ( x )   3 Vậy I = 2sin x |02 −2sin x | = Câu 41: Chọn D Ta có: x + − x  , x  1;  nên: I= 446 ( x + 1) dx x + x x+1 = x ( x + 1) dx ( x+1 + x ) Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ( x + − x ) dx ( x + − x ) dx = x ( x + 1) ( x + + x )( x + − x ) x ( x + 1)  1  =  −  dx = ( x − x + ) = − − = 32 − x+1   x 2 1 = 2 12 − 1 a = 32  Mà I = a − b − c nên b = 12 Suy ra: P = a + b + c = 32 + 12 + = 46 c =  Câu 42: Chọn C Ta có: f ( x ) =  f  ( x ) dx =  1 dx = ln x − + C , với x  \   2x − 2  1 Xét  −;  Ta có f ( ) = , suy C = 2   1 Do đó, f ( x ) = ln x − + , với x   −;  Suy f ( −1) = + ln 2  1  Xét  ; +  Ta có f ( 1) = , suy C = 2  1  Do đó, f ( x ) = ln x − + , với  ; +  Suy f ( ) = + ln 2  Vậy f ( −1) + f ( ) = + ln + ln = + ln15 Câu 43: Chọn B Ta có f  ( x ) = x  f ( x )   f '( x) = x f ( x)   f '( x) 1 dx =  xdx  −  d  = x + C  f ( x) = −  =  xdx  − 2 f ( x) ( x)  f ( x)  x +C 1 Theo giả thiết f (2) = −  C =  f ( x) = − x +1 2 Từ suy f (1) = − Do f Câu 44: Chọn B   3 = − x = −x4 + C    = −4x  f ( x)  f ( x )   f ( x )  1  f ( 1) = − Do f ( ) = − , nên ta có C = −9 Do f ( x ) = − 25 10 x +9 Ta có f  ( x ) = x  f ( x )   − f ( x) Câu 45: Chọn C ( ) Ta có f ( x ) =  f  ( x ) dx =  2cos2 x + dx =  ( cos x + ) dx = sin x + x + C Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” 447 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG f (0) =  C =  Vậy    1     + 16 + f ( x ) dx =   sin x + x +  dx =  − cos x + x + x  = 16   0 0 Câu 46: Chọn B 4 0 Cách 1:  x2 f  ( x ) dx = x f ( x ) −  xf ( x ) dx = 16.1 −  4tf ( 4t ) d ( 4t ) = 16 − 2.16.1 = −16 0 Cách 2: Đặt t = 4x  dt = 4dx Đổi cận: Khi đó:  xf ( x )dx = 4 1 tf ( t ) dt =  xf ( x ) dx  16 16 u = x du = xdx Xét: I =  x f ' ( x )dx : Đặt   dv = f ' ( x ) dx v =  f ' ( x ) dx = f ( x ) 4  I = x f ( x ) −  xf ( x ) dx = f ( ) − 2.16 = −16 0 Câu 47: Chọn C Ta có f '( x) = 2cos x + = + cos2x  f ( x) = x + sin x + C Ta lại có: f ( ) =  C =          + 8 + f ( x)dx =   x + sin x + dx =  x − cos2x+4x  =   0 0 Câu 48: Chọn C ( ) Ta có f ( x ) =  2sin x + dx =  ( − cos x ) dx = x − sin x +C Vì f ( ) =  C = hay f ( x ) = x − sin x +  Khi        2  + 16 − f ( x ) dx =   x − sin x +  dx =  x + cos x + x  = − + = 16 16     0 Câu 49: Chọn C f  ( x ) = 2sin x + = − cos x Có 1  ( − cos 2x ) dx = 4x − sin 2x + C suy f ( x ) = 4x − sin 2x + C Do f ( ) = nên C =  f ( x ) = x − sin x +          + 8 − f ( x ) dx =   x − sin x +  dx =  x2 + cos x + x  =  0  0 Câu 50: Chọn B 448 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Ta có: I =  xf (3x)dx = Đặt t = 3x  dt = 3dx  dx = Từ t = 3x  x = dt Đổi cận: 3 3 3 t dt f (t ) =   tf (t )dt =   tf (t )dt =   xf ( x)dx = 3 90 0 Từ ta có: I =   du = xdx u = x J =  x f '( x)dx Đặt    dv = f '( x)dx v = f ( x) 3 Suy ra: J =  x2 f '( x)dx = x f ( x) −  xf ( x)dx) = f (3) − 2.9 = −9 0 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 449 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 450 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” ... 3: Tích phân hàm ẩn phần …………………………………………… …………… 403 Dạng 4: Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích? ??…………………………………… 417 Dạng 5: Tích phân đề thi Bộ………………………………… …… …………… 432 PHẦN I MŨ VÀ LOGARIT. .. chuyên đề Hàm số • Quyển 2: Nắm trọn chuyên đề Mũ – Logarit Tích phân • Quyển 3: Hình học khơng gian • Quyển 4: Hình học Oxyz Số phức Trong sách, chúng tơi trình bày cách rõ ràng khoa học – tạo... 325 CHỦ ĐỀ 2: TÍCH PHÂN… ………………………………………………………… 346 Dạng 1: Phương pháp tính tích phân? ??……………………………………………………… 353 Dạng 2: Tích phân cho nhiều hàm…………………… ………………………………… 370 Dạng 3: Tích phân hàm