Tính giá trị của tích phân khi biết giá trị của một hay nhiều tích phân cho trước

CHUN ĐỀ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA TÍCH PHÂN KHI BIẾT MỘT HAY NHIỀU TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa Cho  f  là hàm số liên tục trên đoạn  [a; b]  Giả sử  F  là một nguyên hàm của  f trên  [a; b]  Hiệu số F (b)  F (a )   được  gọi  là  tích  phân  từ  a  đến  b  (hay  tích  phân  xác  định  trên  đoạn  [a; b]   của  hàm  số b f ( x), kí hiệu là   f ( x)dx   a b Ta dùng kí hiệu  F ( x) a  F (b)  F (a )  để chỉ hiệu số  F (b)  F (a ) b b Vậy   f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a ) a b b Nhận xét: Tích phân của hàm số  f  từ a đến b có thể kí hiệu bởi   f ( x)dx  hay   f (t )dt  Tích phân đó a a chỉ phụ thuộc vào  f  và các cận a, b mà khơng phụ thuộc vào cách ghi biến số Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số  f  liên tục và khơng âm trên đoạn  [a; b]  thì tích phân  b  f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số  y  f ( x) , trục Ox và hai đường a b thẳng  x  a, x  b  Vậy  S   f ( x)dx a Tính chất tích phân a  f ( x)dx  a b a  f ( x)dx    f ( x)dx a b c  b c f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx ( a  b  c  ) a b b a b  k f ( x)dx  k  f ( x)dx  (k  ) a b a b b  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx a a a  Lưu ý: a 1) f  x   là hàm số chẵn và  liên tục trên đoạn   a; a  ,  a  0   thì  f ( x)dx  2 f ( x)dx a a 2) f  x   là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn   a; a  ,  a  thì   a a f ( x)dx  0 f  x    là hàm số liên tục, tuần hồn với chu kì T thì 3) a T T T  f ( x)dx   f ( x)dx   a f ( x)dx, a  R T  B BÀI TẬP Câu   Cho hàm số  f  x   có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn  f       2    2    f   x   dx   sin xf  x  dx   Tính tích phân   f  x  dx 0 Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có     2   sin xf x d x cos xf x cos x f x d x       Suy ra  cos x f   x  dx         0  0  0     cos x  x  sin x   Hơn nữa ta tính được   cos xdx   dx        0 Do đó      2 2 2   f   x  dx  2. cos x f   x  dx   cos xdx     f   x   cos x  dx  0 0 Suy ra  f   x   cos x , do đó  f  x   sin x  C  Vì  f     nên  C      2 Ta được   f  x  dx   sin xdx  Câu Cho hàm số  f  x   có đạo hàm liên tục trên   0;1  thỏa mãn, f 1  , x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 e2   Tính tích phân   f  x  dx Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có 1 1 x x   x  1 e f  x  dx   f  x  d  xe    xe x f  x    0 xe x f   x  dx   0 xe x f   x  dx 0 Suy ra   xe x f   x  dx   e2    Hơn nữa ta tính được    xe 1 x  e2  dx   x e dx  2x Do đó    f   x   dx   xe x f   x  dx    xe x  dx  0    f   x   xe x  dx   Suy ra  f   x    xe x , do đó  f  x     x  1 e x  C Vì  f 1   nên  C    1 x Ta được   f  x  dx    x  1 e dx  e    0 Câu Cho hàm số  f  x   có đạo hàm liên tục trên   0;1  thỏa mãn  f  0  1,   f   x  dx  ,  30 1   x  1 f  x  dx    Tính tích phân   f  x  dx 30 Lời giải Bằng công thức tích phân phần ta có 1 1 2   2x 1 f  x  dx   f  x  d  x  x     x  x  f  x    0  x  x  f   x  dx 0     x  x  f   x  dx Suy ra    x  x  f   x  dx   30    Hơn nữa ta tính được   x  x dx   x  x3  x dx  1 1 30 2 Do đó    f   x   dx  2  x  x  f   x  dx    x  x  dx     f   x    x  x  dx  0 Suy ra  f   x   x  x , do đó  f  x   x x   C  Vì  f     nên  C  1  x3 x  11 Ta được   f  x  dx      1 dx  12  0 Câu Cho  hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên   0;1   thỏa  mãn  f 1  ,   f   x   dx  1  x f  x  dx    Tính tích phân   f  x  dx 36 Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có 1 1 0 4 4  x f  x  dx   f  x  d  x    x f  x     x f   x  dx    x f   x  dx 0 Suy ra   x f   x  dx  1 1  Hơn nữa ta tính được    x  dx   x8dx  0 9 2 Do đó   f   x   dx  2 x f   x  dx    x  dx     f   x   x  dx  0 Suy ra  f   x   x , do đó  f  x   1 Ta được   f  x  dx   0 x  C  Vì  f 1   nên  C     5 x5  1 dx   e Câu Cho hàm số  f  x   có đạo hàm liên tục trên  1;e  thỏa mãn  f  e   ,   f   x  dx  e   và e f  x dx   e  Tích phân   f  x  dx  bằng x e  Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có e f  x e e 1 x dx  0 f  x  d  ln x    ln xf  x    0 ln xf   x  dx   1 ln xf   x  dx   e ln xf   x  dx  e    e e e 2 Suy ra    ln x  dx   x  ln x    2 ln xdx  e  1  1 e e e e 2 Do đó   f   x   dx  2 ln x f   x  dx    ln x  dx     f   x   ln x  dx  1 1 Suy ra  f   x   ln x , do đó  f  x   x ln x  x  C  Vì  f  e    nên  C    e e Ta được   f  x  dx    x  1 ln x dx  Câu  e2   Cho hàm số  f  x   có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn  2   f    ,  2       sin x  x cos x  f  x  dx   48   2  và    f   x   dx  0  48    Tính tích phân   f  x  dx Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có      sin x  x cos x  f  x  dx   x sin x  f  x  0    x sin x  f   x  dx  Suy ra    x sin x  f   x  dx   3 48     x 1  cos x  Ta có    x sin x  dx    x sin x  dx   dx 0 2 2    2 2 x 1  cos x  3  x x cos x  d x   dx   dx   2 48 0 Do đó     2 2  2   f   x  dx  2  x sin x  f   x  dx    x sin x  dx     f   x   x sin x  dx  0 0   Suy ra  f   x   x sin x , do đó  f  x   sin x  x cos x  C  Vì  f     nên  C  1   2   2 Ta được   f  x  dx    sin x  x cos x  1 dx    0 Câu Cho hàm số  f  x   có đạo hàm liên tục trên   0;1  thỏa mãn  f 1  ,   f   x   dx   ln 2 f  x dx  2ln   Tính tích phân   f  x  dx và   2 0  x  1 Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có f  x 1 1        0  x  12 dx 0 f  x  d 1  x    1  x   f  x   0 1  x   f   x  dx 1   Suy ra   1   f   x  dx   ln   x 1 0 1   1    Lại có   1  x      dx   x  ln x     ln   d     x 1 x   x  1   x  1  0 0  Do đó  1 2       0  f   x  dx  20 1  x   f   x  dx  0 1  x   dx   0  f   x   x   1 dx    Suy ra  f   x    1 , do đó  f  x   x  ln  x  1  C  Vì  f 1   nên  C  ln  1.  x 1 Ta được   f  x  dx    x  ln  x  1  ln  1 dx  0  ln Câu Cho  hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên   0;1   thỏa  mãn  f 1  ,   f   x  1  x f  x  dx   55  Tính tích phân   f  x  dx 0 Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có 1  x5  x  x5 f   x  dx  x f x d x  f x  f x d x  Suy ra        5   0  11  0   Lại có:   x dx  1 11 2 Do đó    f   x   dx  2 x5 f   x  dx    x  dx  0    f   x   x  dx   Suy ra  f   x   x , do đó  f  x   Vì  f 1   nên  C     6 x  C   dx    11 1 Ta được   f  x  dx   0 x6  1 dx  Câu Cho hàm số  y  f  x   liên tục trên    và thỏa mãn  f   x   f  x   Biết   xf  x  dx   Tính I   f  x  dx Lời giải 3 3 Đặt  t   x  Ta có   xf  x  dx   xf   x  dx     t  f  t  dt   f  t  dt   t f  t  dt 1 3 Câu 10 Biết   ab  x3  x2  3 dx   b ln x2 a k dx  lim  1 x  2017 x  2018 x     f  t  dt    f  t  dt  1  a, b    Tìm các giá trị của  k  để   Lời giải  1 1 3 x3  x  3   Ta có:   dx    x   dx  x  3ln x    3ln x2 x2 3 0 0 a  ab    dx   dx  b  8 ab Mà   k dx  lim x   1 x  2017 x  2018 k Mặt khác ta có  lim ab Vậy để  dx  lim x  k  1 x  2017  1 x  2017 x  2018  1 x  2017 x  2018 x  x  2018 x  k   lim  k 1  thì  k     k   k  Câu 11 Cho  hàm  số  y  f  x    là  hàm  lẻ  và  liên  tục  trên   4;4   biết  f   x  dx    2  f  2 x  dx   Tính  I   f  x  dx Lời giải  Xét tích phân   f   x  dx  2 Đặt   x  t  dx  dt   Đổi cận: khi  x  2  thì  t  ; khi  x   thì  t    0 2 Do đó   f   x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt    f  x  dx  2 0 Do hàm số  y  f  x   là hàm số lẻ nên  f  2 x    f  x    2 Do đó   f  2 x  dx    f  x  dx   f  x  dx  4 1 Xét   f  x  dx 1 Đặt  2x  t  dx  dt   Đổi cận: khi  x   thì  t  ; khi  x   thì  t    Do đó   f  x  dx  1 f  t  dt  4   2 4   f  t  dt  8   f  x  dx  8 2 4 Do  I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    6 0           Câu 12 Cho hàm số  f  x   xá định trên  0;   thỏa mãn    f  x   2 f  x  sin  x    dx     2   Tính tích phân   f  x  dx Lời giải Ta có:    2       2 2sin x  d x cos x d x         0 0  0 1  sin x  d x   4         2   x  cos x   2  0 Do đó:    2           0 f x 2 f x sin x d x  2sin  x   d x        0     2               f  x   2 f  x  sin  x    2sin  x    d x  4      2        f  x   sin  x    d x         Suy ra  f  x   sin  x    , hay  f  x   sin  x     4 4     2 Vậy:   f  x  d x   0  2    sin  x   d x   cos  x      0 4     2 Câu 13 Cho hàm số  y  f  x   thỏa mãn   sin x f  x  dx  f    Tính I   cos x f   x  dx 0 Lời giải  u  f  x   du  f ( x)dx Đặt   dv  sin xdx  v   cos x    2   sin x f  x  dx    cos x f  x     cos x f   x  dx 0   2   I   cos x f   x  dx   sin x f  x  dx  cos x f  x  02    0 Câu 14 Cho  số  thực  a    Giả  sử  hàm  số  f ( x )   liên  tục  và  luôn  dương  trên  đoạn   0;a    thỏa  mãn a dx ?  f x   f ( x) f ( a  x)   Tính tích phân  I   Lời giải Đặt  t  a  x  dt  dx   a a a 1 dx   dt   dx 1 f  x 1 f a  t  1 f a  x 0 Thay vào ta được  I     f a  x  f  x Suy ra      dx    1  f  x   1  f  a  x     a Do hàm số  f ( x )  liên tục và luôn dương trên đoạn   0;a   Suy ra  f  a  x   f  x  Mà  f ( x) f ( a  x)   f  x     a a Vậy  I   dx  2 Câu 15 Cho hàm số  y  f  x   liên tục, luôn dương trên   0;3  và thỏa mãn I   f  x  dx   Tính giá  1 ln  f  x   trị của tích phân  K   e   dx Lời giải  1 ln  f  x   Ta có K   e  1 ln  f  x    dx   e 0 3 3 dx   4dx  e. f  x  dx   4dx  4e  x|  4e  12 0 0 Vậy  K  4e  12   2018 Câu 16 Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     thỏa  f  x  dx    e 2018 1  x f ln  x  1 dx   x 1   Lời giải  Tính  tích  phân e2018 1 Đặt  I   x f ln  x  1 dx   x 1   Đặt  t  ln  x  1  dt  2x dx   x 1 Đổi cận:  x     t  ;  x  e2018     t  2018   Vậy  I  2018  2018 f  t  dt   f  x  dx   Câu 17 Cho  f  x   là hàm liên tục trên    thỏa  f 1   và   f  t  dt  , tính I   sin x f   sin x  dx 0 Lời giải Đặt  sin x  t  f  sin x   f  t   cos x f   sin x  dx  f   t  dt Đổi cận: khi  x   t  ;  x    2   t    I   sin x f   sin x  dx   2sin x.cos x f   sin x  dx  2 t f   t  dt 0 u  t du  dt Đặt:      dv  f   t  dt v  f  t    1  1 I   t f  t     f  t  dt   1      0  3   Câu 18 Cho  f  x    là  hàm  số  liên  tục  trên      f  xd x  ,  f  x  d x    I  f  x   d x   1 Lời giải  Đặt  u  x   d x  d u x  1      u  1   x       u    Nên  I  3  1  1  f u d u  f u d u  f  u d u  f  u  d u    f u d u                1 1 0   1  Xét   f  x  d x   Đặt  x  u  d x   d u Khi  x   thì  u   Khi  x   thì  u  1   1 Nên    f  x  d x    f  u  d u  0  f  u  d u   1 Ta có   f  x  d x    f  u  d u  0 Tính  1 Nên  I    f  u  d u   f  u  d u        1  2 2 Câu 19 Cho   f  x  dx   và   g  x  dx  1  Tính I    x  f  x   g  x   dx 1 1 1 Lời giải 2 2 x2 Ta có:  I    x  f  x   g  x   dx   xdx   f  x  dx   g  x  dx  1 1 1 1 2 43 1 17 Câu 20 Cho hàm số  y  f  x   liên tục trên   , biết   x f  x  dx   Tính I   f  x  dx 0 Lời giải Xét tích phân   x f  x  dx  dt Đổi cận: Khi  x   thì  t  ; khi  x   thì  t    Đặt  x  t  xdx  Do đó   x f  x  dx   4 f  t  dt    f  t  dt    f  x  dx  0 0 Vậy  I    Câu 21 Cho  f ,  g  là hai hàm liên tục trên  1;3  thỏa:   f  x   g  x   dx  10 3   f  x   g  x  dx   Tính   f  x   g  x  dx 1 Lời giải  3 Ta có    f  x   g  x   dx  10   f  x  dx  3 g  x  dx  10 1 3 Tương tự    f  x   g  x   dx   2 f  x  dx   g  x  dx  1 3 u  3v  10 u  Xét hệ phương trình    , trong đó  u   f  x  dx , v   g  x  dx 2u  v  v  1 3 Khi đó    f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx    1 Câu 22 Cho hàm số  y  f ( x )  liên tục và có đạo hàm trên    thỏa mãn  f (2)  2 ,   f ( x)dx  Tính tích phân  I   f   x  dx Lời giải Đặt  x  t  dx  2tdt   Đổi cận: x   0; 4  t   0; 2 I   t f '(t )dt Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần ta được:    I  tf (t )   f (t ).dt   10       Câu 23 Cho  hàm  số  y  f ( x )   có  đạo  hàm  liên  tục  trên  đoạn  0;    Đồng  thời  thỏa  mãn  2      x  f ( x)dx  3 ,    sin x  x  f ( )dx  6  và  f ( )   Tích phân    f ( x)  dx 2 0 Lời giải    x  x 6    sin x  x  f ( )d      sin x  x  f ( x)dx 2 0     sin x  x  f ( x) 02    sin x  x  f ( x)dx    2   1  cos x  f ( x)dx   sin xf ( x)dx   sin xf ( x)dx  0 3 Cách 1:   2  Ta có   f  x  dx  3 ,  sin xf  x  dx  0 3 3 ,  sin xf  x  dx  16     2 2 Do đó   f ( x)dx   sin xd  x   16  sin xdx    f ( x)  4sin x  dx  0 0 Vậy  f ( x)  4sin x     2  2 9 9      sin xf  x  dx    sin xdx. f  x  dx  Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức 16  16 0      3 3   k sin xdx  Dấu  ''  ''  xảy ra khi  f ( x)  k sin x mà   sin xf  x  dx  16 16 0 nên  f ( x)  4sin x   Vậy  f ( x)  4sin x   cos x  nên  f ( x )  cos x  nên    3   f   x   dx  512  cos x  dx  0 Câu 24 Cho hàm số  f  x   có đạo hàm liên tục trên  1;8  thỏa mãn: 2 2 2 3 1  f  x  dx  21 f  x  dx  1 f  x  dx  1  x  1 dx  Tính tích phân 1  f '  x  dx Lời giải  Đặt  x  t  dx  3t dt   Với  x   t  1;  x   t    Ta được:  2 f  x  dx   t f  t  dt   x f  x  dx   1 1 Thay vào giả thiết ta được:  2 2 2 3   f  x  dx  2 f  x  dx  2 x f  x dx    x  1 dx 1 2 2 2    f  x   dx   f  x3  dx   x f  x dx   1  x  dx   2     f  x    f  x  1  x   1  x  dx       f  x3   1  x  dx   f  x3   1  x     f  x3   x2   f  x   x2  1  f  x  3 x Do đó :    f   x   dx  2 8 8.ln dx   ln x      27 x 27 27 Câu 25 Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     và  thỏa  mãn  f  x  dx    Tính  tích  phân 5   f 1  3x   9 dx Lời giải Đặt  t   3x  dt  3dx   Với  x   t   và  x   t  5   2 5 dt Ta có    f 1  x    dx   f 1  x  dx   9dx    f  t    x 3 0 1   f  x   dx  18   5    18  21 Câu 26 Cho  hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  dương,  liên  tục  trên  đoạn   0;1   thỏa  mãn  f      1 1  3  f   x   f  x     dx   9  f   x  f  x  dx  Tính tích phân    f  x   dx : Lời giải Từ giả thiết suy ra:  1 2   3 f   x  f  x   1 dx    f x f x  2.3 f x f x  d x           0  0      Suy ra  f   x  f  x     f  x f  x  1  f   x  f  x   1 Vì   f  x    f  x  f   x   nên suy ra   f  x     f  x   x  C 3 Vì  f     nên  f     C    Vậy   f  x   1 x 1 1  Suy ra    f  x   dx    x  1 dx   0 Câu 27 Cho  a  là hằng số thực và hàm số  f  x   liên tục trên    thỏa mãn   f  x  a  dx  2017  Tính 2 a  f  x  dx   giá trị của tích phân  I  1 a Lời giải  Xét   f  x  a  dx  2017 Đặt  t  x  a    dt  dx   Đổi cận:  + x   t  1 a + x  2t  2a 2 a Khi đó   f  x  a  dx   2a f  t  dt  1 a  f  x  dx  2017   1 a Câu 28 Cho  hàm  số  y  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên  đoạn   0;5   và  f    10 ,  xf   x  dx  30 Tính  f  x  dx Lời giải  u  x  du  dx Đặt   dv  f   x  dx  v  f  x  5 5  x f   x  dx   x f  x     f  x  dx  30  f  5   f  x  dx 0 0   f  x  dx  f    30  20 Câu 29 Kí  hiệu  F  x    là  một  nguyên  hàm  của  f  x    Biết  F  3    và   F  x  1 dx    Tính 1 I   xf  x  dx Lời giải  x  1  t  Đặt  t  x   dt  dx  Đổi cận:   x   t  3 Khi đó    F  x  1 dx   F  t  dt   F  x  dx 1 0 u  x du  dx Xét tích phân  I   xf  x  dx  Đặt     dv  f  x  dx v  F  x  3 Suy ra  I   xf  x  dx  xF  x    F  x  dx  3F  3   0  e2 Câu 30 Cho   tan x f  cos x  dx   và  e f  ln x  x ln x dx   Tính tích phân I   f  2x dx x Lời giải  ● Xét A   tan x f  cos x  dx  Đặt  t  cos x  dt  2 sin x cos xdx  2 cos x tan xdx  2t.tan xdx  tan xdx   x   t   Đổi cận:     x   t  2 Khi đó  A    f  t  1 f t  dt f  t    dt    dt    2t t t e ● Xét B  f  ln x  2  x ln x e dx  ln x ln x dx  dx  x x ln x x  e  t  Đổi cận:   x  e  t  4 4 dt f  t  Khi đó  B   f  t    dt    2t t 1 Đặt  t  ln x  dt  2t dx dt dx   x ln x x ln x 2t f t  dt    t f  2x dx x ● Xét I   dt  dx  Đặt  t  x     x  t  1  x   t  Đổi cận:    x   t  4 Khi đó  I   f t  f t  f t  dt   dt   dt    t t t 1 dt 2t Câu 31 Cho hàm số  y  f  x   có đạo hàm  f   x   liên tục trên đoạn 1; 2  thỏa mãn   xf  x  dx   và f 1  f    Tính   x f   x  dx   Lời giải du  f   x  dx u  f  x   Đặt      v x  dv  xdx   2 2 2 1 x f  x    x f   x  dx    f    f 1    x f   x  dx 21 21 Khi đó    xf  x  dx  2 1 Theo giả thiết  f 1  f    nên     x f   x  dx   x f   x  dx  2 21 Câu 32 Cho  f  x  ,  g  x    là  các  hàm  số  có  đạo  hàm  liên  tục  trên   0;1   và  thỏa  mãn  điều  kiện 1 0   g  x  f   x  dx  1 ,   g   x  f  x  dx   Tính tích phân  I    f  x  g  x  dx Lời giải Ta có   f  x  g  x    f   x  g  x   g   x  f  x  1 Và đặt  I1   g  x  f   x  dx   1; I   g   x  f  x  dx  0 Khi đó  I    f  x  g  x   dx  I1  I     Câu 33 Cho biết  16 xf  x  dx  ,    f  z  dz  ,  f t  t  dt   Tính I   f ( x)dx Lời giải   2 tx xf  x  dx     f  t  dt    f  x  dx   16 f ( z )dz    f (x)dx  f  t  dt   x t t Vậy  I     f  x  dx  3 23  2 Câu 34 Cho hàm số  f  x   có đạo hàm liên tục trên   0;1  và thỏa mãn:   x  f   x    dx  f 1  Tính giá trị của  I   f  x  dx Lời giải ux  du  dx  Đặt       dv   f  x    dx v  f  x   x  1 x  f   x    dx  f 1  x  f  x   x    ( f  x   x)dx  f 1 0 Vậy I  1   Câu 35 [THPT Nguyễn Khuyến Tp HCM 2017]  Cho  biết   f ( x)dx  15   Tính  giá  trị  1 P   [f (5  x)  7]dx Lời giải Để tỉnh  P  ta đặt  t   x  dx   dt x  0t 5  x   t  1   1 P   [f (t )  7]( 5 5  1 1 dt )   [f (t )  7]dt    f (t )dt   dt   15  7.(6)  19 3 1  1 1  Câu 36  [THPT Lạng Giang số 1-2017] Giả sử   f  x  dx   và   f  z  dz  Tính tổng   f  t  dt   f  t  dt Lời giải 1 5 Ta có   f  x  dx    f  t  dt  ;   f  z  dz    f  t  dt  0 5   f  t  d t   f  t  dt   f  t  d t   f  t  dt    f  t  d t   f  t  d t 0 3   f  t  dt   f  t  dt  Câu 37 [Sở GD&ĐT Hà Nội 2017] Cho  y  f  x   là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn   6;6  Biết  f  x  dx   và  f  2 x  dx   Tính  I  1  f  x  dx 1 Lời giải Vì  y  f  x  là hàm số chẵn nên   f   x  dx  1 Xét tích phân  K   f  x  dx 3 Đặt  u  x  du  2dx   Đổi cận: x   u  ,  x   u    3  f  x  dx 8 ,   f  2 x  dx   f  x  dx 3 1 1 K 6 1 f  u  du   f  x  dx 3   f  x  dx 6  22 22 Vậy I  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  6  14  1 1 Câu 38  [Chuyên Quang Trung-Bình Phước 2017] Cho  f ,  g   là  hai  hàm  liên  tục  trên  1;3 3 thỏa:   f  x   g  x   dx  10 ,   f  x   g  x  dx   Tính   f  x   g  x  dx 1 Lời giải 3  Ta có    f  x   g  x   dx  10   f  x  dx  3 g  x  dx  10 1 3  Tương tự    f  x   g  x   dx   2 f  x  dx   g  x  dx  1 3 u  3v  10 u   Xét hệ phương trình    , trong đó  u   f  x  dx , v   g  x  dx 2u  v  v  1 3 Khi đó   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx    1 Câu 39  [Chuyên Đại học Vinh–2018] Cho hàm số  f  x   thỏa mãn   f  x  f  x  f   x   15 x  12 x, x  R  và  f    f      Tính giá trị của  f 1 Lời giải   f   x    f  x  f   x   dx   15 x  12 x  dx  (1)   u  f  x  du  dx Đặt    dv  f   x  dx v  f   x  2 (1)      f   x    dx  f  x  f   x     f   x    dx  x  x  C     f  x  f   x   3x5  x  C   Ta có f   f     C  C  1 1  x6 1 Ta có  f  x  f   x  dx    3x  x  1 dx   f  x  d f  x     x3  x      0 0 f  x   f 1  f     f 1  Suy ra  2 Câu 40  [Sở GD&ĐT Phú Thọ 2018]  Cho  hàm  số  f  x    xác  định  trên   \ 1;1   thỏa  mãn  f  x  ,  f  2   f     và  x 1  1 1 f     f     Tính  f  3  f    f    2 2 Lời giải   x 1 ln x   C1 x  1   x 1   Ta có  f  x    f   x  dx   dx      C2   x     dx  ln x 1  x 1 x 1   x 1  x 1  C3 x  ln  x 1   f  2   f    ln  C1  ln  C3   C  C3    Khi đó       1  f     f    ln  C  ln  C  C2  2       3 Do đó  f  3  f    f    ln  C1  C2  ln  C3  ln  5 Câu 41 [PTNK ĐHQG HCM 2018] Cho hai hàm số  f  x   và  g  x   có đạo hàm trên đoạn  1; 4  và  f 1  g 1  thỏa mãn hệ thức    Tính  I    f  x   g  x   dx  g  x    x f   x  ; f  x    x.g   x  Lời giải Cách 1: Ta có  f  x   g  x    x  f   x   g   x    f   x  g  x f  x  g  x  f   x  g  x 1 dx    dx  ln f  x   g  x    ln x  C  x f  x  g  x x Theo giả thiết ta có  C  ln  ln f 1  g 1  C  ln   f  x  g  x  x Suy ra   , vì  f 1  g 1   nên  f  x   g  x   x  f  x  g  x    x  I    f  x   g  x   dx  8ln Cách 2: Ta có  f  x   g  x    x  f   x   g   x      f  x   g  x   dx    x  f   x   g   x   dx    f  x   g  x   dx   x  f  x   g  x      f  x   g  x   dx   x  f  x   g  x    C  f  x   g  x    C  Vì  f 1  g 1  C  C  4 x Do đó  f  x   g  x    Vậy I    f  x   g  x   dx  8ln x Câu 42 [ĐTK Bộ GD&ĐT 2018]  Cho  hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên   0;1   thỏa  mãn 1 1 f 1  ,    f   x   dx   và   x f  x  dx   Tích phân   f  x  dx 0 2 Lời giải Bằng cơng thức tích phân từng phần ta có  1  x3  x   x f x d x f x 0      0 f   x  dx   Suy ra   x3 f   x  dx     3 Mặt khác   x6   dx  63 Do đó    f   x   dx  2.21 0 1 x3 x6 f   x  dx  212  dx     f   x   x  dx  0 Suy ra  f   x   7 x , do đó  f  x    x  C   f 1       C  7    f  x    x4  4 1 7 Ta được   f  x  dx     x  1 dx  40 Câu 43 [HSG Phú Thọ 2018] Cho hàm số  f  x   liên tục trên đoạn   0;1  thoả mãn  Tính   f  x  dx 3x  Lời giải 1 1 d  x  1   3   I   f  x  dx    x f  x   x f x d dx      3x   3x  0  0 1  I   f  t  dt  x    f  x  dx  0 f  x   x f  x3   Vậy   f  x  dx  2 Câu 44 [THTT-12-2017]Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     thỏa  mãn  f  tan x   cos x ,  x     Tính  I   f  x  dx Lời giải  Đặt  t  tan x     tan x   t Ta có  cos x  cos x   f t   2 1  t  1 I   f  x  dx   0 2 1  x  2 1  t  dx   Đặt  x  tan u  dx  1  tan u  du   Đổi cận:  x   u  ;  x   u         1 1  2 d tan d cos d sin I  u u u u u u            0  2 cos2 u 0 2 0 1  tan u     cos u  1 Câu 45 Cho  hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên   0;3   thỏa  mãn  f    ,   f   x   dx     f  x dx    Tính tích phân   f  x  dx x 1 Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có 3 3 f  x    x  dx  f  x  d x    2 x   f  x   2     Suy ra   Lại có    x   f   x  dx   x   f   x  dx   x   dx   x   x  d x      Do đó  3   f   x  dx  2. 0   Suy ra  f   x   x   , do đó  f  x   3 x   f   x  dx     x   dx     f   x   x   1 dx   x  1 x   x  C  Vì  f  3   nên  C     3 7 97 2 Ta được   f  x  dx     x  1 x   x   dx     3 30 0 _ TOANMATH.com _ ... a Vậy  I   dx  2 Câu 15 Cho? ?hàm số  y  f  x   liên tục, luôn dương trên   0;3  và thỏa mãn I   f  x  dx  ? ?Tính? ?giá  1 ln  f  x   trị? ?của? ?tích? ?phân? ? K   e   dx Lời giải... 1 17 Câu 20 Cho? ?hàm số  y  f  x   liên tục trên   ,? ?biết? ?  x f  x  dx  ? ?Tính I   f  x  dx 0 Lời giải Xét? ?tích? ?phân? ?  x f  x  dx  dt Đổi cận:? ?Khi? ? x   thì  t  ;? ?khi? ? x   thì ...  x  1 dx   0 Câu 27 Cho? ? a  là hằng số thực và hàm số  f  x   liên tục trên    thỏa mãn   f  x  a  dx  2017 ? ?Tính 2 a  f  x  dx   giá? ?trị? ?của? ?tích? ?phân? ? I  1 a Lời giải  Xét