Tính giá trị hàm số khi cho trước các tích phân liên quan

CHUYÊN ĐỀ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI CHO TRƯỚC CÁC TÍCH PHÂN LIÊN QUAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Tính chất nguyên hàm, tích phân thường sử dụng  f   x  dx  f  x   C  udv  uv   vdu  f  u  x   u   x  dx   f  u  du b  f  x  dx   f  x   a b Tổng quát: f  x   0x   a; b ,  f  x  dx   f  x   0, x   a; b  a Nhị thức Niuton n  x  y   Cn0 x n  Cn1 x n 1 y   Cnk x nk y k   Cnn y n  Lưu ý: B BÀI TẬP 1  Bài Cho hàm số f  x  xác định  \   thỏa mãn f   x   , f    f 1  Giá trị 2x 1 2 biểu thức f  1  f  3 Lời giải dx  ln x   C Hàm số gián đoạn điểm x  Ta có  f   x  dx   2x 1 1 Nếu x   f  x   ln  x  1  C mà f 1   C  Vậy f  x   ln  x  1  x  2 Nếu x  1  f  x   ln 1  x   C mà f     C  Vậy f  x   ln 1  x   x  2 Do f  1  f  3  ln   ln   ln15  Bài Cho hàm số y  f  x  xác định  \ 1;1 thỏa mãn f   x   Biết x 1 f  3   f    Tính T  f    f    f  4  Lời giải Ta có: f  x   f  x d x    x 1 ln C x 1 1  1  1 1  d x    dx d x  d x   x 1  x 1 x    x 1 x 1  1  1  Do đó: f  3   f      ln  C    ln  C    C  2  2  x 1 Như vậy: f  x   ln x 1 1 1 1 4  1   ln ; f    ln   ln  ln 3 f    ln  ; f  4   ln 2 1 1 4  1 Từ đó: T  f    f    f  4    ln    ln  ln 3  ln  ln 2 2 , f  2   f    Bài Cho hàm số f  x  xác định  \ 1;1 thỏa mãn f   x   x 1  1 1 f     f    Tính f  3  f    f    2 2 Lời giải  x 1 ln x   C1 x  1   x 1   Ta có f  x    f   x  dx   dx      C2   x   dx  ln x 1  x 1 x 1   x 1  x 1  C3 x  ln  x 1   f  2   f    ln  C1  ln  C3   C  C3    Khi      1  f     f    ln  C  ln  C  C2  2       3 Do f  3  f    f    ln  C1  C2  ln  C3  ln  5 Bài Cho hàm số f  x  xác định  \ 1 thỏa mãn f   x   , f    2017 , f    2018 x 1 Tính S  f    f  1 Lời giải dx  ln  x    C Ta có  f  x  dx   x 1  f  x   ln  x    2017 x  Theo giả thiết f    2017 , f    2018 nên   f  x   ln  x    2018 x  Do S  f    f  1  ln  2018  ln  2017  Bài Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;    thỏa mãn điều kiện f 1  , f  x   f   x  x  với x  Tính f  2018  Lời giải Ta có: f  x   f   x  3x    f  x  e x 1  C f  x f  x  f  x dx  ln f  x   3x   C dx    f  x 3x  3x  Mặt khác ta lại có f 1  nên  e C C  Vậy f  x   e 3 x 1   f  2018   e 6055  Bài Cho hàm số f  x   thỏa mãn điều kiện f   x    x  1 f  x  f 1   Tính tổng f 1  f    f     f  2018  Lời giải Ta có : f   x    x  1 f  x    f  x f  x  2x 1   f  x f  x dx    x  1 dx   d  f  x f  x  x2  x  C 1  x2  x  C  f  x    f  x x  xC Mặt khác theo giả thiết ta lại có f 1   1  f 1      C  C2 2 1   x  x x 1 x Khi f 1  f    f     f  2018  Vậy f  x    1 1 1 1 2018          1   2018 2017 2019 2018 2019 2019 Bài Cho hàm số f ( x) có đạo hàm  thỏa mãn f ( x)  2018 f ( x)  2018.x 2017 e2018 x với x   f (0)  2018 Tính giá trị f (1) Lời giải Ta có: f   x   2018 f  x   2018.x 2017 f ( x)  2018 f ( x)  2018.x 2017 e2018 x  e2018 x 1 f   x   2018 f  x    2018.x 2017 dx 1 dx 2018 x  e 0  Xét tích phân I   f   x   2018 f  x  e 2018 x dx   f   x  e 2018 x dx   2018 f  x  e 2018 x dx u  f  x  du  f   x  dx Xét I1   2018 f  x  e 2018 x dx Đặt    2018 x dx v  e 2018 x dv  2018.e Do I1  f  x   e 2018 x  10   f   x  e 2018 x dx  I  f 1 e 2018 x  2018 Khi 1  f 1 e 2018 x  2018  x 2018  f 1  2019.e 2018 f  x Bài Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương  ; thỏa mãn f    Tính f Ta có   f  x  x x 1  2018 Lời giải d  f  x   d  x  1 f '( x) x dx   dx    ln  f  x    ln  x  1  C   x 1 f ( x) f  x x 1 Mặt khác f     C  Do f  x   x  Vậy f   2018  2019 Bài Xét hàm số f  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa f  x   f 1  x    x Tính  f  x  dx Lời giải Ta có:   f  x   f 1  x  dx    x dx  A  B  C 0 Tính: C    x dx Đặt x  sin t suy dx  cos t dt Đổi cận: x   t  ; x   t    2    cos2t 1 2  dt   t  sin 2t   Vậy: C   cos t dt   2 0 0 Tính: B   f 1  x  dx Đặt t   x  dt  dx Đổi cận: x   t  1 ; x   t  1 Vậy: B   f  t  dt   f  x  dx 0 1    Do đó:   f  x   f  x   dx   5 f  x  dx    f  x  dx  4 20 0    Bài 10 Cho hàm số f  x  xác định 0;  thỏa mãn  2     f  x  sin  x    d x       f  x   2  Tính tích phân  f  xd x Lời giải Ta có:     2 2      2  2    2sin x  d x cos x d x  1  sin x  d x   x  cos x        0   4  2    0    2           0 Do đó:   f  x   2 f  x  sin  x    d x   sin  x   d x   4 2      2              f  x   2 f  x  sin  x    sin  x    d x     f  x   sin  x    d x  4            Suy f  x   sin  x    , hay f  x   sin  x   4 4   Bởi vậy:   2  f  x d x   0  2    sin  x   d x   cos  x    0 4     Bài 11 Cho hàm số f  x  liên tục, không âm đoạn  0;  , thỏa mãn f     2   f  x  f   x   cos x  f  x  , x   0;  Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M  2    hàm số f  x  đoạn  ;  6 2 Từ giả thiết f  x  f   x   cos x  f  x  Lời giải f  x f   x f  x f  x dx  sin x  C   cos x   1 f  x 1 f  x Đặt t   f  x   t   f  x   tdt  f  x  f   x  dx Thay vào ta  dt  sin x  C  t  sin x  C   f  x   sin x  C Do f     C  Vậy  f  x   sin x   f  x   sin x  4sin x     f  x   sin x  4sin x  , hàm số f  x  liên tục, không âm đoạn 0;   2   1  Ta có  x    sin x  , Do hàm số g  t   t  4t  đồng biến  ;1 2 2    21 Suy max g  t   g 1  , g  t   g    1  1  2  ;1  ;1 2  2  21     Vậy max f  x   f    2 , f  x   g          2     ; ; 6 2 6 2     Bài 12 Cho hai hàm số f  x  g  x  có đạo hàm đoạn 1;  thỏa mãn hệ  f 1  g 1  thức   g  x    x f   x  ; Tính I    f  x   g  x   dx f  x    x.g   x  Lời giải Ta có f  x   g  x    x  f   x   g   x    f  x  g  x f  x  g  x 1   dx    dx  ln f  x   g  x    ln x  C f  x  g x x f  x  g x x Theo giả thiết ta có C  ln  ln f 1  g 1  C  ln   f  x  g  x  x Khi  , f 1  g 1  nên f  x   g  x   x  f  x  g  x    x Vậy I    f  x   g  x   dx  8ln Bài 13 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa f  x  mãn f 1  , 1   f   x  dx  Ta có:   f   x   x f  x  dx  Tích phân Lời giải  f  x  dx dx  1  d u  f   x  dx  u  f x     - Tính  x f  x  dx  Đặt   x4 v  dv  x dx  1 1  x4  1 1     x f  x  dx   f  x     x f  x  dx    x f   x  dx 40  0 1   x f   x  dx  1  18 x f   x  dx  18   0 1 Mặt khác  x dx  x   81 x8dx   3 Cộng vế với vế đẳng thức 1 ,    3 ta được: 1   f   x    18 x f   x   81x8  dx    f   x   x  dx     f   x   x  dx   0   0  0      f   x   x   f   x   9 x  f  x    f   x  dx   x  C 14 14  f  x    x5  Mà f 1   C  5  1 14  14    f  x  dx     x   d x    x  x   0 5  10 0 Bài 14 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn   x  1 f  x  dx   , 2 3 f      f   x   dx  Tính f   2 Lời giải Đặt u  f  x   du  f   x  dx , dv   x  1 dx  v   x  1 3  x  1  x  1  f  x   f  x  dx Ta có     x  1 f  x  dx  3 1 2 2 1 3       x  1 f   x  dx    x  1 f   x  dx     2.7  x  1 f   x  dx  14 31 1 2 2 Tính  49  x  1 dx     f   x   dx   2.7  x  1 f   x  dx   49  x  1 dx  2 3   7  x  1  f   x   dx   f   x    x  1  f  x     1  x  1 4 C Do f     f  x    x  1 4    105 Vậy f    64 2 Bài 15 Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  f   x   15 x  12 x , x   f    f     Tính f 1 Lời giải Ta có:  f  x  f   x   15 x  12 x   f   x  f  x    15 x  12 x  f   x  f  x   3x5  x  C1  f   x  Do f    f     nên ta có C1  Do đó: 1  f   x  f  x   x  x    f  x    x  x   f  x   x  x  x  C2 2  Mà f    nên ta có C2  Vậy f  x   x  x3  x  suy f 1  Bài 16 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 f    f 1  Biết  f  x  dx  , 2   f   x  cos  x  dx  Tính lim f  x x Lời giải x 0 u  cos  x  du   sin  x  dx Đặt   dv  f   x  dx v  f  x  Khi  1 f   x  cos  x  dx  cos  x  f  x     f  x  sin  x  dx 1    f 1  f       f  x  sin  x  dx    f  x  sin  x  dx   f  x  sin  x  dx  0 Ta có 1 2   f  x   k sin  x  dx   f  x  dx  2k  f  x  sin  x  dx  k  sin  x  dx 0  0 k2 k    k  2 Do   f  x   sin  x   dx   f  x   sin  x  Vậy lim x 0 f  x x  Bài 17 Cho f     [ f '  x   f '   x ].dx  Tính Lời giải f (3) 3 3   [ f '  x  dx   f '   x  d   x    f  x   f   x   0  f  3  f    f    f  3   f  3   f  3  Vậy f  3  Bài 18 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 1, 2 thỏa mãn  f   x  dx  10 f  x  f  x  dx  ln Biết f  x   , x  1, 2 Tính f  2 Lời giải Ta có  2 f   x  dx  f  x   f    f 1 ,  f   x  dx  10  f    f 1  10 1 f  x  f  2   ln  ln dx  ln f x  ln      ln (Vì f  x   , x  1, 2 ) 1 f  x   f 1   f 1  f     Từ 1   ta có f    20 Bài 19 Cho hàm số f  x  xác định  \ 0 thỏa mãn f   x  x   1 x3 , f ( 1)  f 1  4 Tính giá trị biểu thức f  2   f   Lời giải Ta có f   x  f  x   x x   1 x3 2  1 x  x  nên x3 x x2 1 2  dx    x    dx    ln x  C 2x x x   x2   x  ln x  C x   x    ln   x   C x   2 x • Trên khoảng  0;   , ta có f 1  4  C  4 x2 1   ln x  Suy f      ln  2x • Trên khoảng  ;0  , ta có f  1   C  Do f  x   x2 1   ln   x   Suy f  2     ln  2x Vậy f  2   f     ln Cho hàm số f  x  xác định  \ 0;1 thỏa mãn f '  x   ; f  1  f    x  x  1 Do f  x   Bài 20 1 1 f    Tính giá trị biểu thức: f  2   f    f  3 4 2 Lời giải Ta có f  x    1  dx     dx  ln x   ln x  C x  x  1  x 1 x  ln 1  x   ln   x   C1 , x   ;0   Như f  x   ln 1  x   ln x  C2 , x   0;1  ln  x  1  ln x  C3 , x  1;   Trên khoảng  ;0  , ta có f  1  ln  C1 1 1 Trên khoảng  0;1 , ta có f     ln  ln  C2   C2  2 2 1 Do đó: f  x   ln 1  x   ln x  Suy ra: f    ln  ln  4 4 Trên khoảng 1;    , ta có f     ln  C3 Lại có: f  1  f     ln  C1  ln  C3   C1  C3    1 Khi đó: f  2   f    f  3   ln  ln  C1    ln  ln  C2    ln  ln  C3    4 1  ln  C1  C2  C3  ln  Vậy f  2   f    f  3 = ln  4 Bài 21  x  f '  x   12 x  13 , f    Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm f  x  đoạn 0; 1 Cho f số y  Lời giải t Ta có f  x  f '  x   12 x  13  f  t  x  f   x  dx   12 x  3 dx f  t   6t  3t  C hay f  x   42 x  21x  7C Do f    nên Do f  x   42 x  21x  Max f  x   f 1 , Min f  x   f   hay Max f  x   65 Min f  x   7C   C  0;1 0;1 Bài 22 0;1 0;1 Cho f  x   với x   thỏa mãn điều kiện f  x  f '  x   x f  x  , f    Tính giá trị lớn M , giá trị nhỏ m hàm số y  f  x  [1;3] Lời giải t Đặt I  t f  x   1dx  f  x  f ' x  dx   x 0 t t t 2 * Ta tính I   f  x  f '  x  dx   f  x  d  f  x    f  x   f  t  1 2 0 t * Ta tính I  x  f  x   1dx Đặt u  f  x    du  f   x  f  x  f  x  dx  xdx , dv  xdx chọn v  x t t t t I   x f  x   1dx   x f  x      x3dx  t f  t     1 * Từ  2 0 f t   t 2 ta có f t     2 t4  f  t   2t f  t    t   f t    t    f t    t 1  f  t   với t   nên Do f  t    với t   Vậy f  t    t  hay  x  1 x  với 1;3 x4  x2 Vậy Max f  x   f  3 hay Max f  x   11 , Min f  x   f  x  x  2x  f  x  1;3 1;3 Bài 23 1;3 Cho hàm số f  x  thỏa mãn f 1  f  x Ta có  f  x t  2x    2018 f   x   f  x  x  1  Tính tổng S   f  k  k 1 Lời giải  f  x t t t 2 d     x x x x d x      1 f  x f t  1 1   t  t   f t   hay f  x   f  t  f 1 t t x x 1 Khi f  x    x x 1 2018  2018  1 1 1 1 1  S   f  k   1                 1 2019 2019  2  3 3 4  2018 2019  k 1  Bài 24     Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;  thỏa mãn f    ,  2 2   2   0  f   x  dx  48  ,   sin x  x cos x  f  x  dx   3 48     Tính f   2 Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có:    2   sin x  x cos x  f  x  dx   x sin x  f  x  02    x sin x  f   x  dx 0  Suy   x sin x  f   x  dx  3 48      x 1  cos x  Hơn ta tính   x sin x  dx    x sin x dx   dx 0   2 2  2 2 x 1  cos x  3  x x cos x   dx   dx   dx  48 2 0  2   2  2   f   x  dx  2  x sin x  f   x  dx    x sin x  dx     f   x   x sin x  dx  Do 0 0   Bài 25 Suy f   x   x sin x , f  x   sin x  x cos x  C Vì f    nên C  1 2    Vậy f    2 x Cho hàm số f  x  xác định khoảng  0;    đồng thời f   x    x  1 f  x  Biết f  x   với x   0;    f    Tính giá trị f  3 Lời giải t t x x   f   x  f  x  dx   dx Ta có f   x  f  x   x  x 1 0  f 3 2 f 3   f t t 2   x  2 x   f 3  x t   t  x 2   t  1 t    f 3 3 t   x  2 x  t   2   t  1 t   3 t    f  t    t  1 t     t    t  1 Vậy f  3  100 Bài 26 Cho hàm số y  f  x  có f   x  liên tục nửa khoảng  0;   thỏa mãn f  x   f   x    3.e2 x Tính giá trị biểu thức A  e3 f 1  f   Lời giải e2 x  Ta có f  x   f   x    3.e   e3 x f  x    e x e x  x e Lấy tích phân từ đến hai vế ta 2 x 1  dx  e x e x  dx  e3 x f x     e f x     0  0   3x  e3 f 1  f    e Vậy A  e  3 e    2x e 3  31  3 e   x Bài 27 Cho hàm số f  x     4t   8t dt Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số f  x  đoạn  0; 6 Tính M  m Lời giải x f  x    4t    8t dt  t  4t  x  x  x  với x  f   x   x  , f   x    x   1; 6 f    ; f    1 ; f    15 Suy M  15, m  1  M  m  16 Bài 28 Tìm hàm số f  x   a sin  x  b thỏa mãn: f 1   f  x  dx  Lời giải Ta có: f 1   a sin  x  b   b     a cos  x  f  x  dx     a sin  x   dx     2x    a      Vậy f  x    sin  x  Bài 29 Cho hàm số y  f  x  xác định  , thỏa mãn f  x   0, x   f   x   f  x   Tính f  1 , biết f 1  Lời giải f  x Ta có f   x   f  x    f   x   2 f  x   Lấy tích phân hai vế, ta  1 f  x f  x  2 (do f  x   ) 1 dx  2  dx  ln  f  x    x 1 1 f  x 1  ln  f 1   ln  f  1   4  ln1  ln  f  1   4  ln  f  1    f  1  e Bài 30 Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục đoạn 1; 4 , f 1 1  f   x  dx  Tính f   Lời giải Ta có  f ( x)dx   f ( x)   f (4)  f (1)  mà f (1)   f (4)  1 Bài 31 Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;   có f  3  , f   x    x  1 f  x  Tính f 8 Lời giải Ta có: f   x    f  x  3  x  1 f  x    x 1  f  x f  x f  8    x 1   f  3  f  x f  x dx   x  1dx 19  f  8   49 x2 Bài 32 Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục  0;   thỏa mãn  f   t  dt  x.cos  x f  4 Lời giải x2 Ta có  f '  t  dt  F  x   F    x.cos  x Lấy đạo hàm hai vế ta có: x f  x   cos  x   x.sin  x  f    cos 2  2 sin 2   f    f  x Bài 33 Cho hàm số f  x  thỏa mãn  t dt  x.cos  x Tính f   Lời giải Tính f  x Ta có:  t3 t dt  x.cos  x  f  x  x.cos  x  f  x   3x.cos  x    12.cos 4  12  f    12 Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn 2 f  x  f x d x  10   1 f  x  dx  ln Tính f   1  f Bài 34 f  x   x  1; 2 Biết Lời giải  f   x  dx  f  x  Ta có: 2  10  f    f 1  10 f  x  f  x  dx  ln  f  x   Ta có: (1)  ln  ln  f     ln  f 1   ln  f  2 f 1 2 (2) Từ (1) (2)  f    20 Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục đoạn 1; ln 3 thỏa mãn Bài 35 f 1  e ln  f   x  dx   e Tính I  f  ln 3 Lời giải ln  f   x  dx   e Ta có:  f  ln 3  f 1   e  f  ln 3  Cho hàm số y  f  x  liên tục thỏa mãn f   x    x  x  x  Bài 36 2017 f  x  , f  2   e Tính f   ? f   x    x3  3x  x   f  x 2017 Lời giải 2017 f  x   x3  x  x  f  x  f  x  f  x    x 2  3x  x   2017 dx 2  x Ta có: I   3x  x   2 2017 dx     x  1   x  1  2017 dx 2 Đặt t  x   dx  dt , đổi cận x  2  t  1, x   t  I  t  3t  2017 Xét hàm số f  t    t  3t  2017 hàm số lẻ nên I  1    f  x   ln f  x   f x 2   ln f    ln f  2   f    e2 2 e2 x Bài 37 Cho hàm số f  x    t ln t dt Xác định hoành độ điểm cực đại đồ thị hàm số f  x  ex Lời giải Tập xác định D   Gọi F  t  nguyên hàm g  t   t ln t với t  Khi e2 x f  x   ex e2 x t ln t dt  F  t  e x  F  e x   F  e x  f   x    e x  F   e2 x   e x F   e x   2e x f  e x   e x f  e x   xe x  xe2 x  xe2 x  4e2 x  1 x  x   f   x    2x ln x   e     Bảng biến thiên hàm số x   ln y   y  0    Vậy hoành độ điểm cực đại đồ thị hàm số x   ln x2 Bài 38 Cho hàm số y  f  x  liên tục  0;     f  t  dt  x sin  x  Tính f   Lời giải Gọi F  t  nguyên hàm f  t  x2 g  x   x2 f  t  dt  F  t   F  x   F    x sin  x  g   x   xF   x   sin  x    x cos  x  xf  x   sin  x    x cos  x Chọn x  ta f    sin 2  2 cos 2  2  f    Vậy f    Bài 39  2 Lấy tích phân hai vế, ta Cho hàm số f  x   ln  f  x   6  sin x2 3  x  Giải bất phương trình sau: t dt Lời giải ' Ta có f  x   3ln   x  ; f   x   3 .3  x   3 x 3 x    t  cos t dt   t  sin t   sin dt       t  dt  3  x  x   x2  x  3; x   Khi f   x   6  sin 2x    x3 x2        x  3; x    x  2 1   x3 2  x  2 Vậy nghiệm bất phương trình:    x3 2 Bài 40 1 n1 22 n  C2 n  , n  * Chứng minh C2 n  C2 n  C2 n   2n 2n  Lời giải * Nhận xét : Số hạng tổng quát tổng vế trài C2kn với k nguyên dương lẻ không k 1 2x 2n C2kn với k chẵn Do ta phải sử dụng 1  x  1  x  sử dụng phương k 1 pháp tích phân hai vế xuất Ta có 1  x  1  x  2n 2n  C20n  C21n x  C22n x   C22nn1 x n1  C22nn x n Suy 1  x  Do   C20n  C21n x  C22n x   C22nn1 x n1  C22nn x n 2n 1  x  2n  1  x    C21n x  C23n x3  C25n x5   C22nn 1 x n 1  2n  Mà 1  x  2n 2n  1  x  dx    C21n x  C23n x3  C25n x   C22nn 1 x n1  dx 2n n 1  1  x  1  x   1  x  dx  2  2n  1  C 2n 3 2n 5 2n x  C x  C x   C n 1 n 1 2n x n 1   * 22 n  1 2n  2n x2 x x n 1 x  dx  C  C2n  C2n   C2n 2n 1 2n 1 1  C21n  C23n  C25n   C22nn1   2n 1 n1 22 n  C2 n  Thay (1) (2) vào (*) ta có C2 n  C2 n  C2 n   (đpcm) 2n 2n  n Bài 41  1 n 2018 1 1 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn Cn1  Cn3  Cn4  Cn5  Cn  n 1 2019 Lời giải Nhận xét: * Số hạn tổng quát tổng vế trái  1 k 1 Ckn ( k  k   ) Số chung với Cnk k 1 phân số nên sử dụng tích phân phù hợp  1 k 1 Do k  lớn k 1 k 1 k đơn vị nên có khả ban đầu Cnk chung với x k tức x k Cnk * Số hạng tổng quát tổng vế trái Ckn có mẫu phân số n * Dấu số hạng thay đổi từ dấu  sang dấu  ta khai triển nhị thức 1  x  Vì chưa khớp dấu đề nên nhân hai vế cho 1 1 n  Ta có:   1  x    Cn0  Cn1 x  Cn3 x  Cn3 x    1 1  x    Cnn x n dx n 1 n 1 1 n 1  1 n n n 1   1 2 3   Cn x  Cn x  Cn x  Cn x   Cn x    n 1  0 n 1 Bài 42 n 1  1 n 1 1   1  Cn1  Cn2  Cn3   Cn n 1 n 1 n 1  1 n 2018 n n 1   n  2018   Cn  Cn  Cn   Cn  2019 n  n 1 n 1 Chứng minh với số ngun dương n ta ln có: n  1 n 1 1 Cn  Cn  Cn  Cn  Cn  n2  n  1 n   Lời giải Nhận xét:  1 * Số hạng tổng quát vế trái k Cnk ( k  , k   ) Số chung với Cnk phân số k 2 nên sử dụng phương pháp tích phân  1 k  1 k n k C có mẫu số phân số k  lớn k 2 k2 số chập k đơn vị  có khả ban đầu Cnk chung với x k 1 , tức x k 1Cnk * * Dấu số đổi dấu từ  sang  n n Ta xét 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x    1 Cnn x n * Số hạng tổng quát vế trái Tới ta nhận thấy số hạng vế phải chưa giống ta đoán * , ta nhân hai vế cho x n n ta x 1  x   Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x3  Cn3 x    1 Cnn x n 1 Khi n  n  2 3 n n 1  x 1  x  dx   Cn x  Cn x  Cn x  Cn x    1 Cn x dx 0 Xét  x 1  x  n dx Đặt t   x  dt  dx 1 1 1 n   n 1 0 x 1  x  dx  0 1  t  t dt   n  t  n  t   n   n  n n Mặt khác  C n  n x  Cn1 x  Cn2 x3  Cn3 x    1 Cnn x n 1 dx n 1 1 n n 1   1   Cn x  Cn x  Cn x  Cn x   Cn x  2  n 1  0 n  1 n 1 1   Cn1  Cn2  Cn3   Cn n 1 n  1 n 1 1 Cn  Vậy  Cn  Cn  Cn   n 1  n  1 n   n Bài 43  1 n 1 Tính tổng S   Cn1  Cn2  Cn3  Cn với n nguyên dương 2n  Lời giải n n Ta có 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn3   1 Cnn x n  1 n  n  2 n 2n  1  x  dx   Cn  Cn x  Cn   1 Cn x dx 0 * Ta có  C n n   Cn1 x  Cn3   1 Cnn x n dx n n  1 n n 1  1 n   1 1 0   Cn x  Cn x  Cn x  Cn x  Cn x   Cn  Cn  Cn  Cn  Cn   2n  2n   0 n Ta tính I n   1  x  dx u  1  x n du  2nx 1  x n 1 dx  Đặt  dv  dx v  x n 2  1  x  dx  x 1  x  2n  1  x n  n 1   2nx 1  x  dx  2n  1  x n 1  n 1 dx  2n  1  x  11  x  n 1 dx  dx  2n.I n  2n.I n 1 Do I n  2n.I n  2n.I n 1 2n 2n 2n I n 1  I n  I o  2n  2n  2n  2n Vậy S  2n   In  _ TOANMATH.com _ ... Bài 11 Cho hàm số f  x  liên tục, không âm đoạn  0;  , thỏa mãn f     2   f  x  f   x   cos x  f  x  , x   0;  Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M  2    hàm số f ... biến thiên hàm số x   ln y   y  0    Vậy hoành độ điểm cực đại đồ thị hàm số x   ln x2 Bài 38 Cho hàm số y  f  x  liên tục  0;     f  t  dt  x sin  x  Tính f  ...   2x e 3  31  3 e   x Bài 27 Cho hàm số f  x     4t   8t dt Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số f  x  đoạn  0; 6 Tính M  m Lời giải x f  x    4t    8t