Tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân fourier

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ TUYẾT NHUNG TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ TUYẾT NHUNG TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ NGÂN Thái Nguyên - 2016 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Lê Thị Tuyết Nhung i Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình TS Nguyễn Thị Ngân Tôi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến giáo xin gửi lời tri ân điều cô giáo dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạmĐại học Thái Nguyên Phòng- Ban chức Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên, Quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K22 (2014- 2016) Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức q báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, người thân động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn ! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Lê Thị Tuyết Nhung ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình tích phân 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị loại 1.3 Các đa thức Chebyushev 1.3.1 Đa thức Chebyushev loại 1.3.2 Đa thức Chebyushev loại hai 1.4 Hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính 1.5 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh 1.5.1 Không gian S hàm giảm nhanh 1.5.2 Biến đổi Fourier hàm 1.5.3 Các tính chất biến đổi Fourier không gian S 1.6 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.6.1 Không gian S ′ hàm suy rộng tăng chậm 1.6.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.6.3 Các tính chất biến đổi Fourier không gian S ′ 1.6.4 Biến đổi Fourier tích chập iii 3 5 11 11 11 11 12 12 13 13 14 1.7 Các không gian 1.7.1 Không gian H s (R) s (Ω), H s (Ω) 1.7.2 Các không gian Hos (Ω), Ho,o 1.7.3 Định lý nhúng 1.8 Các không gian Sobolev vectơ 1.9 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 1.10 Toán tử giả vi phân vectơ Tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier 2.1 Phát biểu toán 2.2 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier 2.3 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân (2.10) 2.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy 2.5 Đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính 14 14 15 16 16 18 19 22 22 22 24 27 33 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 42 iv Mở đầu Phương trình cặp hệ phương trình cặp xuất giải toán hỗn hợp vật lý toán Nhiều toán tiếp xúc lý thuyết đàn hồi, toán vết nứt, dị tật mơi trường, đưa đến việc giải phương trình cặp khác Trong tốn biên hỗn hợp phương trình điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp cho sau: Trên cạnh y = điều kiện biên Dirichlet cho khoảng hữu hạn (a, b), cịn ngồi khoảng cho điều kiện Neumann Trên cạnh y = h điều kiện biên Neumann cho khoảng hữu hạn (a, b), cịn ngồi khoảng cho điều kiện biên Dirichlet Bài toán giải cách đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier mà phần tử đường chéo ma trận biểu trưng cấp hai, tăngmột giảm cấp Với mong muốn tìm hiểu tính giải hệ phương trình cặp tích phân xuất giải toán biên hỗn hợp phương trình điều hịa miền hình dải, tơi chọn đề tài “Tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier” Luận văn ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo gồm có hai chương nội dung Chương trình bày tổng quan số kiến thức phương trình tích phân, phương trình tích phân kì dị, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, đa thức Chebyushev, biến đổi Fourier hàm giảm nhanh, biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm, không gian Sobolev, không gian Sobolev vectơ, phiếm hàm tuyến tính liên tục, tốn tử giả vi phân vectơ Chương trình bày tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier xuất giải tốn biên hỗn hợp phương trình điều hịa Các Định lí 2.1, Định lí 2.2 chứng minh tồn nghiệm hệ phương trình cặp tích phân Fourier khơng gian Sobolev vectơ thích hợp, đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier hệ phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy, đưa tiếp hệ phương trình tích phân hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Đánh giá hệ số hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính chứng minh hệ phương trình có nghiệm thuộc khơng gian ℓ2 , hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính hệ tựa hồn tồn quy Luận văn hồn thành Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Ngân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn, Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa học Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình tích phân Định nghĩa 1.1 Phương trình tích phân phương trình mà ẩn hàm chưa biết nằm dấu tích phân Ví dụ 1.1 Với a ≤ s, t ≤ b ta có phương trình tích phân: b f (t) = λ K(t, s)g(s)ds, (1.1) K(t, s)g(s)ds, (1.2) (K(t, s))2 ds, (1.3) a b g(t) = λ a b g(t) = λ a b K(t, s)g(s)ds g(t) = f (t) + λ (1.4) a Thấy rằng: + Hàm ẩn g(t) phải tìm nằm dấu tích phân nằm ngồi dấu tích phân +Một phương trình tích phân gọi tuyến tính hàm phải tìm bậc (ví dụ phương trình (1.1) (1.2) tuyến tính cịn (1.3) khơng phải) +Bằng biến đổi thích hợp, phương trình tích phân đưa dạng (A − λI)g = f , A tốn tử tích phân, A tốn tử tuyến tính phương trình tích phân tuyến tính Định nghĩa 1.2 Phương trình có dạng: b g(t) = f (t) + λ K(t, s)g(s)ds, a gọi phương trình Fredhom loại 2, g(t) hàm chưa biết, f (t) K(t, s) hàm cho trước, λ hàm số Phương trình có dạng: b K(t, s)g(t)ds, f (t) = λ a gọi phương trình Fredhom loại 1, g(t) hàm chưa biết, f (t) K(t, s) hàm cho trước, λ hàm số 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị loại Xét phương trình tích phân kỳ dị sau π b a ϕ(τ ) dτ = f (ξ), a < ξ < b τ −ξ (1.5) Phương trình (1.5) trường hợp riêng quan trọng phương trình tích phân kỳ dị thường gặp nhiều tốn học Vật lý tốn Trong phương trình ta giả thiết hàm f (ξ) thỏa mãn điều kiện Holder Tùy thuộc vào dáng điệu ẩn hàm đầu mút đoạn [a, b], ta có cơng thức nghiệm sau phương trình: a Nghiệm không bị chặn hai đầu mút:   b (τ − a)(b − τ )f (τ ) 1 dτ + a0  , ϕ(ξ) = − π τ − ξ (ξ − a)(b − ξ) a a < ξ < b, a0 số tùy ý (1.6) sau (a, b):  b b   v (t)    dt + v1 (t)k11 (x − t)dt +   πi x − t    a a b b b a v2 (t)k12 (x − t)dt = if1 (x), b v2 (t)   dt + v1 (t)k21 (x − t)dt + v2 (t)k22 (x − t)dt = −if2 (x),   πi x − t    a a a   v (x) ∈ L2 (a, b) ∩ H 1/2 (a, b), v (x) ∈ L2 (a, b) ⊂ H −1/2 (a, b), a < x < b, ρ−1 o ρ o (2.20) với điều kiện v2 ∈ O1 (a, b), nghĩa b (2.21) v2 (x)dx = 0, a dv1 (x) u1 (x) = , u2 (x) = dx b a v2 (t)sign(x − t)dt, x ∈ R, 2i k11 (x) = k22 (x) = π k12 (x) = k21 (x) = −i π i π ∞ ∞ ∞ (2.22) e−2ξh sin ξxdξ, + e−2ξh sin(ξx) dξ, ξ cosh(ξh) ξ sin(ξx) dξ cosh(ξh) Chứng minh Nghiệm u1 (x) = F −1 [u1 ] (x) u2 (x) = F −1 [u2 ] (x) hệ phương trình cặp tích phân (2.10) biểu diễn dạng (2.22), hàm v2 thỏa mãn điều kiện (2.21) v1 ∈ L2ρ−1 (a, b) ∩ −1/2 1/2 Ho (a, b), v2 (x) ∈ L2ρ (a, b) ⊂ Ho (a, b) Tác động biến đổi Fourier theo biến x vào hai vế (2.22), ta có u1 (ξ) = (−iξ)v1 (ξ), u2 (ξ) = 28 v2 (ξ) (−iξ) (2.23) Thế (2.23) vào (2.10) ta thu hệ phương trình  v2 (ξ)   (x) = if1 (x), x ∈ (a, b), F −1 sign(ξ) tanh(|ξ| h)v1 (ξ) + ξ cosh(|ξ| h) ξ v1 (ξ)   − sign(ξ) tanh(|ξ| h)v2 (ξ) (x) = if2 (x), x ∈ (a, b) F −1 cosh(|ξ| h) (2.24) Sử dụng công thức [2]: F −1 [sign(ξ)F [v]] (x) = πi b a v(t)dt , v ∈ L2ρ±1 (a, b), x−t sinh(|ξ|h) 2e−2|ξ|h tanh(|ξ|h) = =1− cosh(|ξ|h) + e−2|ξ|h Ta biến đổi vế trái phương trình thứ hệ phương trình (2.24): v2 (ξ) F −1 sign(ξ) tanh(|ξ| h)v1 (ξ) + (x) ξ cosh(|ξ| h) v2 (ξ) 2e−2|ξ|h v (ξ) + = F −1 sign(ξ)v1 (ξ) − sign(ξ) (x), ξ cosh(|ξ|h) + e−2|ξ|h ta có b v1 (t)dt , F −1 [sign(ξ)v1 (ξ)] (x) = πi x−t a F = −1 2e−2|ξ|h sign(ξ) v (ξ) (x) = 2π + e−2|ξ|h −2i π Đặt b ∞ v1 (t)dt a F −1 −∞ 2e−2|ξ|h v1 (ξ)e−iξx sign(ξ)dξ −2|ξ|h 1+e e−2ξh sin ξ(x − t)dξ + e−2ξh 2i k11 (x − t) = π suy +∞ ∞ e−2ξh sin ξ(x − t)dξ, + e−2ξh 2e−2|ξ|h sign(ξ) v1 (ξ) (x) = − + e−2|ξ|h 29 b a v1 (t)k11 (x − t)dt Tương tự ta có F −1 v2 (ξ) (x) = ξ cosh(|ξ|h) 2π = 2π b +∞ v2 (t)dt a −∞ +∞ b v2 (t)dt a −∞ +∞ b eiξt e−iξx dξ ξ cosh(|ξ|h) e−iξ(x−t) dξ ξ cosh(|ξ|h) cos ξ(x − t) − i sin ξ(x − t) dξ ξ cosh(|ξ|h) a −∞   b ∞ −i sin ξ(x − t)  = v2 (t)  dξ dt π ξ cosh(|ξ|h) = 2π v2 (t)dt a Đặt −i k12 (x − t) = π suy  F −1  b a ∞ sin ξ(x − t) dξ, ξ cosh(ξh)  iξt−1 e dt = v2 (t) ξ cosh(|ξ|h) b a v2 (t)k12 (x − t)dt Khi phương trình thứ hệ (2.24) trở thành πi b a v1 (t)dt + x−t b b a v1 (t)k11 (x − t)dt + a v2 (t)k12 (x − t)dt = if1 (x) Biến đổi tương tự vế trái phương trình thứ hai hệ phương trình (2.24), ta có: ξ v1 (ξ) − sign(ξ) tanh(|ξ| h)v2 (ξ) (x) cosh(|ξ| h) ξ v1 (ξ) 2e−2|ξ|h −1 v2 (ξ) (x), =F − sign(ξ)v2 (ξ) + sign(ξ) cosh(|ξ| h) + e−2|ξ|h ta có b v2 (t)dt F −1 [sign(ξ)v2 (ξ)] (x) = , πi x−t F −1 a 30 ξ v1 (ξ) (x) = cosh(|ξ| h) 2π F −1 = = b 2π +∞ v1 (t)eiξt dt a −∞ +∞ b 2π v1 (t)dt a −∞ +∞ b ∞ −∞ ξ v1 (ξ)e−iξx dξ cosh(|ξ| h) ξ e−iξx dξ cosh(|ξ|h) ξ e−iξ(x−t) dξ cosh(|ξ|h) ξ(cos ξ(x − t) − i sin ξ(x − t)) dξ cosh(|ξ|h) a  −∞  b ∞ b −i ξ sin ξ(x − t) = v1 (t)  dξ  dt = − v1 (t)k21 (x − t)dt, π cosh(|ξ|h) = 2π v1 (t)dt a F = = 2e−2|ξ|h sign(ξ) v (ξ) (x) = 2π + e−2|ξ|h −1 2π = π π +∞ −∞ b 2e−2|ξ|h −iξx e dξ + e−2|ξ|h ∞ v2 (t)dt a −∞ ∞ b v2 (t)dt a −2i = π với a b −∞ −∞ 2e−2|ξ|h v2 (ξ)e−iξx sign(ξ)dξ −2|ξ|h 1+e v2 (ξ)sign(ξ)eiξt dt a e−2|ξ|h −iξ(x−t) sign(ξ) e dξ + e−2|ξ|h sign(ξ) ∞ v2 (t)dt a b +∞ e−2|ξ|h (cos ξ(x − t) − i sin ξ(x − t))dξ + e−2|ξ|h e−2ξh sin ξ(x − t)dξ = − + e−2ξh 2i k22 (x − t) = k11 (x) = π k21 (x − t) = i π ∞ ∞ a v2 (t)k22 (x − t)dt, e−2ξh sin ξ(x − t)dξ, + e−2ξh ξ sin ξ(x − t) dξ cosh(ξh) 31 b Khi phương trình thứ hai hệ (2.24) trở thành πi b a v2 (t) dt + x−t b a b v1 (t)k21 (x − t)dt + v2 (t)k22 (x − t)dt = −if2 (x) a Như vậy, ta biến đổi phương trình (2.24) hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy (a, b):  b b b   v (t)    dt + v1 (t)k11 (x − t)dt + v2 (t)k12 (x − t)dt = if1 (x),   πi x − t    a a a b b b v2 (t)   dt + v1 (t)k21 (x − t)dt + v2 (t)k22 (x − t)dt = −if2 (x),   πi x − t    a a a   v (x) ∈ L2 (a, b) ∩ H 1/2 (a, b), v (x) ∈ L2 (a, b) ⊂ H −1/2 (a, b), a < x < b, o ρ−1 ρ o 2i k11 (x) = k22 (x) = π k12 (x) = k21 (x) = −i π i π ∞ ∞ ∞ e−2ξh sin ξ(x − t)dξ, + e−2ξh sin ξ(x − t) dξ, ξ cosh(ξh) ξ sin ξ(x − t) dξ cosh(ξh) Ngược lại, giả sử v2 nghiệm phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy (2.20) với điều kiện (2.21) Thực phép biến đổi ngược lại ta dễ dàng đưa hệ phương trình (2.20) hệ phương trình (2.24) Thay u1 (ξ), v2 (ξ) = (−iξ)u2 (ξ), vào hệ phương trình (2.24) ta thu v1 (ξ) = −iξ hai phương trình đầu hệ phương trình (2.10) Sử dụng điều kiện (2.21),(2.22) Định lý tích chập biến đổi Fourier ta nhận hệ phương trình cặp tích phân (2.10) Định lý chứng minh 32 2.5 Đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Giả sử Tk (x) Uk (x) tương ứng đa thức Chebyushev loại loại hai Ta có số cơng thức sau đây: Tn (cos θ) = cos nθ, Un (cos θ) = b a sin(n + 1)θ , sin θ (2.25) Tk [η(x)] Tj [η(x)] dx = αk δkj , ρ(x) (2.26) Uk [η(x)] Uj [η(x)] ρ(x)dx = βδkj , (2.27) −2π Tk [η(y)] dy = Um−1 [η(x)] , k = 0, 1, , (x − y)ρ(y) b − a (2.28) ρ(y)Uk−1 [η(y)] dy π(b − a) = Tk [η(x)] , k = 1, 2, , x−y (2.29) b a b a b a δkj ký hiệu Kronecker  π, k = 0, , α= π  , k = 1, 2, β= π(b − a)2 , η(x) = 2x − (a + b) b−a Trong hệ phương trình tích phân (2.20) thay hàm v1 (t) = ρ(t)χ1 (t) χ2 (t) , χ1 ∈ L2ρ (a, b), χ2 ∈ L2ρ−1 (a, b), ta thu hệ v2 (t) = ρ(t) phương trình sau 33         πi             πi            b a ρ(t)χ1 (t) dt + x−t b b a ρ(t)χ1 (t)k11 (x − t)dt + a χ2 (t) k12 (x − t)dt ρ(t) = if1 (x), a < x < b, b a χ2 (t) dt + ρ(t)(x − t) b b a ρ(t)χ1 (t)k21 (x − t)dt + a χ2 (t) k22 (x − t)dt ρ(t) = −if2 (x), a < x < b (2.30) Biểu diễn hàm χ1 (t) hàm χ2 (t) dạng chuỗi sau đây: ∞ χ1 (t) = χ2 (t) = j=0 ∞ Aj Uj [η(t)] , (2.31) Bj Tj [η(t)] , (2.32) j=1 Aj Bj số chưa biết, ngồi ta cịn có {Aj }∞ j=1 ∈ ℓ2 ∞ {Bj }j=1 ∈ ℓ2 Thế (2.31) (2.32) vào (2.30), thay đổi thứ tự lấy tích phân tổng ta thu         πi                    πi                   ∞ b Aj j=0 a ρ(t)Uj [η(t)]dt + x−t ∞ + ∞ ∞ j=1 Bj a Tj [η(t)]dt + ρ(t)(x − t) + a Aj a b Bj a ρ(t)Uj [η(t)] k11 (x − t)dt Tj [η(t)] k12 (x − t)dt = if1 (x), ρ(t) Bj j=0 j=1 a b ∞ ∞ Aj j=0 j=1 b b b ρ(t)Uj [η(t)] k21 (x − t)dt Tj [η(t)] k22 (x − t)dt = −if2 (x) ρ(t) (2.33) 34 Sử dụng (2.28) (2.29), từ (2.33) ta có  b ∞ ∞   b − a   Aj ρ(t)Uj [η(t)] k11 (x − t)dt Aj Tj+1 [η(x)] +    2π j=0  j=0  a   b   ∞  Tj [η(t)]    k12 (x − t)dt = if1 (x), Bj +   ρ(t)   j=1  a −2     i(b − a)                   ∞ ∞ Bj Uj−1 [η(x)] + b Aj j=0 j=0 + ∞ j=1 b Bj a a ρ(t)Uj [η(t)] k21 (x − t)dt Tj [η(t)] k22 (x − t)dt = −if2 (x) ρ(t) (2.34) Do có cơng thức (2.26) (2.27), từ (2.34) ta có kết sau  b b  ∞   b − a   ρ(x)Tn [η(x)] ρ(t)Uj [η(t)] k11 (x − t)dt dx Aj An−1 αn +   2i   j=0  a a   b b  ∞   Tj [η(t)]   Bj ρ(x)Tn [η(x)] + k12 (x − t)dt dx    ρ(t)  j=1  a a   b       = i ρ(x)Tn [η(x)] f1 (x)dx,      a ∞ b b −2   Aj ρ(x)Un [η(x)] ρ(t)Uj [η(t)] k21 (x − t)dt dx Bn+1 βn +   i(b − a)   j=0  a a   b b  ∞   Tj [η(t)]    k22 (x − t)dt dx Bj + ρ(x)Un [η(x)]   ρ(t)  j=1  a a    b      = −i ρ(x)Un [η(x)] f2 (x)dx      a    (2.35) 35 Ký hiệu b 2i = (b − a)αn Pnj Qnj Rnj Snj = F1n F2n i(b − a) −2βn a b−a = −2βn a b b ρ(x)Tn [η(x)] a a b b ρ(x)Un [η(x)] a b a b ρ(x)Un [η(x)] a a −2 = (b − a)αn ρ(t)Uj [η(t)] k11 (x − t)dt dx, (2.36) ρ(x)Tn [η(x)] 2i = (b − a)αn i(b − a) = −2βn b Tj [η(t)] k12 (x − t)dt dx, ρ(t) ρ(t)Uj [η(t)] k21 (x − t)dt dx, Tj [η(t)] k22 (x − t)dt dx, ρ(t) b (2.37) ρ(x)Tn [η(x)] f1 (x)dx, a b (2.38) ρ(x)Un [η(x)] f2 (x)dx a Khi hệ phương trình (2.35) biểu diễn dạng  ∞ ∞    Bj Qnj = F1n (n = 1, 2, ), Aj Pnj + A +   n−1     Bn+1 + j=0 ∞ j=0 Aj Rnj + j=1 ∞ (2.39) Bj Snj = F2n (n = 0, 1, 2, ) j=1 Định lý 2.5 [5] Hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.30) hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính (2.39) tương đương Nếu ρ(t) ∞ j=0 Ho1/2 (a, b) Aj Uj [η(t)] ∈ hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính (2.39) tương đương với hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.20) Chứng minh Giả sử v1 (t) ∈ L2ρ (a, b), v2 (t) ∈ L2ρ−1 (a, b) nghiệm hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.30) 36 Ta có v1 (t) = ρ(t)χ1 (t) = ρ(t) ∞ Aj Uj [η(t)] , j=0 v2 (t) = χ2 (t) = ρ(t) ρ(t) ∞ Bj Tj [η(t)] j=1 Sử dụng biến đổi ta đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.30) v1 (t), v2 (t) hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính (2.39) ∞ {Aj }∞ j=1 {Bj }j=1 Ngược lại, ta chứng minh từ hệ phương trình (2.39) suy hệ phương trình (2.30) ∞ Giả sử {Aj }∞ j=1 ∈ ℓ2 {Bj }j=1 ∈ ℓ2 nghiệm hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính (2.39), ta biến đổi hệ phương trình (2.39) hệ phương trình (2.34) Sử dụng biểu thức phổ (2.28) vào hệ phương trình (2.34) ta thu hệ phương trình (2.33) Tiếp theo ta hốn vị thức tự lấy tổng tích phân, với kí hiệu (2.31), (2.32) ta thu hệ phương trình (2.30) v1 (t) , χ2 (t) = v2 (t)ρ(t) ta thu hệ phương trình kỳ Ta thay χ1 (t) = ρ(t) dị (2.20) v1 (t), v2 (t) Định lý chứng minh Ta kí hiệu Y2j+1 = Aj (j = 0, 1, 2, ), Y2j = Bj (j = 1, 2, 3, ), G2n−1 = F1n (n = 1, 2, ), G2n+2 = F2n , (n = 0, 1, 2, ), (2.40) D2n−1,2j+1 = Pnj , D2n−1,2j = Qnj , (n = 1, 2, ; j = 0, 1, ), (2.41) D2n+2,2j+1 = Rnj , D2n+2,2j = Snj , (n = 0, 1, ; j = 0, 1, ) (2.42) Khi hệ phương trình (2.39) viết dạng  ∞    Yn + Dn,j Yj = Gn , j=1   n = 1, 2, 3, 37 (2.43) Bổ đề 2.3 [10], [11] Bất đẳng thức sau bất đẳng thức |Dn,j | ≤ L , (n ≥ 2, j ≥ 2), n2 j (2.44) (k) L số dương Nếu đạo hàm fm (x), m = 1, hàm liên tục [a, b] bất đẳng thức sau ln L (n = 1, 2, ; k = 0, 1, ) nk |Gn | ≤ (2.45) Chứng minh Trong biểu thức (2.36) ta sử dụng phép biến đổi biến số 1 [(b − a) cos θ + a + b] , t = [(b − a) cos ϕ + a + b] 2 x= sử dụng cơng thức (2.25), ta có Pnj = b−a π π sin θ sin(n + 1)θdθ 0 cos jϕk11 [σ(cos θ − cos ϕ)] dϕ, (2.46) b−a Kí hiệu tích phân công thức (2.46) K11 (cos θ) sử dụng phương pháp tích phân phần hai lần ta σ = σ2 K11 (cos θ) = j(j − 1) σ2 − j(j + 1) π ′′ π sin(j − 1)ϕ sin ϕk11 [σ(cos θ − cos ϕ)] dϕ ′′ sin(j + 1)ϕ sin ϕk11 [σ(cos θ − cos ϕ)] dϕ (2.47) Vì k11 (x) hàm khả vi vô hạn bị chặn [a, b], từ (2.47) ta có kết sau |K11 (cos θ)| ≤ L , (j ≥ 2) j2 Xét tích phân π (11) Hnj sin θ sin(n + 1)θK11 (cos θ)dθ := 38 (2.48) Hoàn toàn tương tự ta có L , (n ≥ 2) (2.49) n2 L Từ (2.48) (2.49) ta suy Pnj ≤ 2 (n ≥ 2, j ≥ 2) Ta có kết nj tương tự cho Qnj , Rnj , Snj Sử dụng (2.41) (2.42) ta suy (2.44) Bất đẳng thức (2.45) chứng minh hoàn toàn tương tự Bổ đề chứng minh (11) Hnj ≤ Định lý 2.6 [10], [11] Giả sử f1 (x) f2 (x) hàm số cho, giả thiết {Gn }∞ n=1 , xác định (2.37), (2.38) (2.40) thuộc không gian ℓ2 Khi hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính (2.43) có nghiệm {Yn }∞ n=1 ∈ ℓ2 Hệ phương trình hệ tựa hồn tồn quy Chứng minh Ký hiệu H ma trận vơ hạn vế trái phương trình (2.43) Từ bất đẳng thức (2.44) ta suy hệ cặp chuỗi thành phần H hội tụ, H tốn tử hồn tồn liên tục không gian Hilbert ℓ2 Do vậy, hệ vô hạn (2.43) hệ phương trình Fredhom ℓ2 Tính nghiệm hệ phương trình suy từ tính nghiệm hệ phương trình (2.10) Như vậy, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính (2.43) có nghiệm thuộc khơng gian ℓ2 Với số n = N đủ lớn, ta có ∞ L |Dn,j | ≤ n j=1 ∞ j=1 ≤ − θ < (n = N + 1, N + 2, ) j2 Do hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính (2.43) hệ tựa hồn tồn quy Định lý chứng minh 39 Kết luận Luận văn trình bày số kết sau đây: Trình bày tổng quan số kiến thức phương trình tích phân, phương trình tích phân kì dị, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, đa thức Chebyushev, biến đổi Fourier hàm giảm nhanh, biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm, không gian Sobolev, không gian Sobolev vectơ, phiếm hàm tuyến tính liên tục, tốn tử giả vi phân vectơ Trình bày tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier: - Đưa tốn biên hỗn hợp hệ phương trình cặp tích phân Fourier - Chứng minh tồn nghiệm hệ phương trình cặp tích phân Fourier khơng gian Sobolev vectơ thích hợp - Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy - Đưa tiếp hệ phương trình tích phân hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Đánh giá hệ số hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính chứng minh hệ phương trình có nghiệm thuộc khơng gian ℓ2 , hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính hệ tựa hồn tồn quy 40 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Ngô Thị Thanh (2015) “ Giải gần hệ phương trình tích phân kỳ dị hệ phương trình cặp tích phân Fourier” Tài liệu tiếng Anh [2] Brychkov U A and Prudnikov A P (1997), Generalized integral transformations, Nauka, Moscow [3] Duduchava R (1979), Integral Equations with Fixed Singlarites, Teubner Verlagsgesellscohaft, Leipzig [4] Eskin G I (1973), Boundary Value Problems for Elliptic Pseudodifferential Equations, Nauka, Moscow, (in Russia) [5] Kantorovich L.V., Krylov Yu.A (1962), Approximate Methods in Higher Analysis, Fizmatgiz, Moscow, (in Russia) [6] Krylov V.I (2006), Approximate Calculation of Integrals, Dover Publi- cation INC [7] Lions J.L., Magenes E (1968), Problems aux limites non homogenes et applications, Volume 1, Dunod- Pris [8] Nguyen Van Ngoc (1988), “On the solvability of dual integral equations involving Fourier Transforms”, Acta Math Vietnamica, 13(2), pp 21-30 41 [9] Nguyen Van Ngoc 2009, “Dual integral Equations involving Fourier transforms with increasing symbol” Acta Math Vietnamica, 24(3), pp 305- 318 [10] Nguyen Thi Ngan and Nguyen Thi Minh (2012), “Solvability of a system of dual integral equations of mixed boundary value problem for the Laplace equation”, Journal of science and technology, Thai Nguyen University, 93(5), pp 117-122 [11] Nguyen Van Ngoc and Nguyen Thi Ngan (2009), “On some systems of dual integral equations involving Fourier Transforms”, Algebraic Structures in Partial Differential Equations Related to Complex and Clifford Analysis, Ho Chi Minh City University of Education Press, pp 225-248, (Based on the selected lectures of the 17t h International Conference on Finite and Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, Ho Chi Minh City, August 1-3, 2009) [12] Popov G Ia (1982), Comtact Problems for a Linearly Deformed Base, Víhcha Shkola, Kiev (in Russia) [13] Vladimirov V.S (1979), Generalized Functions in Mathematical Phýics, Moscow, Mir (in Russia) [14] Volevich L.R and Panekh B.P (1965), “Some spaces of generalized functions and imbedding theorem” Uspekhii Math Nauk, 20(1), pp 3-74 (in Russia) 42 ... 2.2 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier 2.3 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân (2.10) 2.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy... hệ phương trình cặp tích phân Fourier khơng gian Sobolev vectơ thích hợp, đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier hệ phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy, đưa tiếp hệ phương trình tích. .. phương trình cặp tích phân Fourier khơng gian Sobolev vectơ thích hợp - Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy - Đưa tiếp hệ phương trình tích phân hệ