Hạt nhân và đẳng hóa trong phạm trù các vị nhóm

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– BÙI NHƯ THÀNH NHÂN HẠT NHÂN VÀ ĐẲNG HÓA TRONG PHẠM TRÙ CÁC VỊ NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– BÙI NHƯ THÀNH NHÂN HẠT NHÂN VÀ ĐẲNG HÓA TRONG PHẠM TRÙ CÁC VỊ NHĨM Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Bùi Như Thành Nhân LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo thầy giáo TS Trương Công Quỳnh Tôi xin phép gửi đến thầy kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tận tâm thầy khơng q trình làm khóa luận mà cịn suốt q trình học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giáo giảng dạy suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến anh chị, người thân, bạn lớp PPTSCK32 nhiệt tình giúp đỡ suốt quãng đường học tập vừa qua Tác giả Bùi Như Thành Nhân MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phạm trù - Một số khái niệm 1.1.1 Phạm trù - phạm trù 1.1.2 Phạm trù vị nhóm Mon 1.2 Phạm trù đầy đủ CMon, cCMon, rKMon, FMon 1.2.1 Phạm trù CMon 1.2.2 Phạm trù cCMon 1.2.3 Phạm trù FMon 1.2.4 Phạm trù rKMon 1.3 Vật khởi đầu - Vật tận - Vật không - Xạ không 1.3.1 Vật khởi đầu - Vật tận 1.3.2 Vật không 1.3.3 Xạ không 1.4 Hạt nhân đẳng hóa lí thuyết phạm trù 1.4.1 Đẳng hóa 1.4.2 Hạt nhân 1.5 Hạt nhân đẳng hóa phạm trù vị nhóm Mon 1.5.1 Đẳng hóa phạm trù Mon 1.5.2 Hạt nhân phạm trù Mon 1.6 Cái kéo lại - Cái đẩy MỤC LỤC 1.6.1 Cái kéo lại 1.6.2 Cái đẩy 1.7 Vị nhóm đóng 10 1.8 Nửa nhóm hỗn hợp 11 1.9 Hỗn hợp tích tự 12 1.10 Tích tenxơ vị nhóm 16 CHƯƠNG MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA HẠT NHÂN VÀ ĐẲNG HÓA TRONG PHẠM TRÙ Mon 18 2.1 Đẳng hóa phạm trù Mon 18 2.1.1 Mối liên hệ đẳng hóa, hỗn hợp tích tự tích tenxơ 18 2.1.2 Đẳng hóa điều kiện lớp trái, phải 22 2.2 Hạt nhân phạm trù Mon 28 2.2.1 Hạt nhân điều kiện lớp trái, phải 28 2.2.2 Mối liên hệ hạt nhân, đẳng hóa vị nhóm chuẩn tắc 32 2.2.3 Mối liên hệ hạt nhân đồng cấu chia 38 CHƯƠNG MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA HẠT NHÂN VÀ ĐẲNG HÓA TRONG PHẠM TRÙ CMon, cCMon, rKMon, FMon 45 3.1 Hạt nhân phạm trù cMon 45 3.2 Mối liên hệ hạt nhân đẳng hóa phạm trù cCMon 50 3.3 Hạt nhân phạm trù rKMon 55 3.4 Hạt nhân đẳng hóa phạm trù FMon 57 3.5 Ứng dụng vị nhóm thiết bị trạng thái hữu hạn 63 MỤC LỤC 3.5.1 Thiết bị trạng thái hữu hạn 64 3.5.2 Vị nhóm thương vị nhóm thiết bị 69 KẾT LUẬN 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO 76 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN N R Z M or[A, B] Mon CMon cCMon rKMon FMon ⊗ Ker(α, β) Kerf Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số thực Tập hợp số nguyên Tập hợp xạ (hay cấu xạ) từ A đến B Phạm trù vị nhóm Phạm trù vị nhóm giao hốn Phạm trù vị nhóm giao hốn có tính giản ước Phạm trù vị nhóm Krull thu gọn Phạm trù vị nhóm tự Tích tenxơ Cái đẳng hóa cặp xạ α, β Hạt nhân xạ f MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Nghiên cứu lý thuyết phạm trù có từ năm đầu kỉ XX nhiều nhà Tốn học có kết đột phá Tuy nhiên, lĩnh vực mới, nhiều vấn đề mở hấp dẫn với người u thích Tốn học Vị nhóm với nhóm nửa nhóm cấu trúc đơn giản đại số trừu tượng Vị nhóm, giống cấu trúc đại số khác, có phạm trù riêng nó, gọi Mon, vật vị nhóm, xạ đồng cấu vị nhóm Trong khn khổ luận văn, ta nghiên cứu đặc trưng tính chất hạt nhân đẳng hóa phạm trù vị nhóm, cụ thể phạm trù đầy đủ nó, phạm trù Cmon, cCMon, rKMon, FMon ứng dụng vị nhóm số thiết bị trạng thái hữu hạn Chính thế, nhằm góp phần phát triển lý thuyết phạm trù ứng dụng nó, tơi chọn đề tài cho luận văn tốt nghiệp là: “Hạt nhân đẳng hóa phạm trù vị nhóm” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu phạm trù vị nhóm phạm trù - Nghiên cứu đặc trưng, tính chất hạt nhân, đẳng hóa phạm trù vị nhóm phạm trù đầy đủ (CMon, cCMon, rKMon, FMon) - Nghiên cứu ứng dụng vị nhóm số thiết bị trạng thái hữu hạn Đối tượng nghiên cứu - Phạm trù vị nhóm phạm trù đầy đủ Phạm vi nghiên cứu - Hạt nhân đẳng hóa với tính chất đặc trưng - Ứng dụng vị nhóm số thiết bị trạng thái hữu hạn Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tư liệu: Nghiên cứu qua báo khoa học vấn đề liên quan đến đề tài, giáo trình Tốn, tài liệu Internet - Phương pháp nghiên cứu: Tổng hợp, phân tích hệ thống tài liệu sưu tầm để thực luận văn - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn, tham gia buổi seminar Bố cục luận văn Luận văn có cấu trúc sau Mở đầu Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phạm trù - Một số khái niệm 1.2 Phạm trù đầy đủ CMon, cCMon, rKMon, FMon 1.3 Vật khởi đầu - Vật tận - Vật khơng - Xạ khơng 1.4 Hạt nhân đẳng hóa lí thuyết phạm trù 1.5 Hạt nhân đẳng hóa phạm trù vị nhóm Mon 1.6 Cái kéo lại - Cái đẩy 1.7 Vị nhóm đóng 1.8 Nửa nhóm hỗn hợp 1.9 Hỗn hợp tích tự 1.10 Tích tenxơ vị nhóm Chương 2: Một số đặc trưng hạt nhân đẳng hóa phạm trù Mon 2.1 Đẳng hóa phạm trù Mon 2.2 Hạt nhân phạm trù Mon 63 Mệnh đề 3.4.7 Cho ε : E → M đẳng hóa phạm trù FMon Khi E vị nhóm tự M E thỏa mãn tính chất sau: m∈M ⇒m∈E (3.18) mk ∈ E, k ∈ N∗ Chứng minh Giả sử ε : E → M đẳng hóa cặp đồng cấu f, g : M → N với M , N vị nhóm tự Tức là: E = {x ∈ M |f (x) = g(x)} Ta chứng minh vị nhóm E M tự Giả sử với m ∈ M \ {1}, Em ∩ E = ∅ mE ∩ E = ∅ ⇒ ∃x, y ∈ E : xm = y Vì x, y ∈ E nên f (x) = g(x), f (y) = g(y) Do đó: f (x)f (m) = f (xm) = f (y) = g(y) = g(xm) = g(x)g(m) Do N vị nhóm tự nên có tính giản ước Tức f (m) = g(m) ⇒ m ∈ E Do đó, E thỏa mãn tính chất (3.13) Vậy theo Mệnh đề 3.4.5, E vị nhóm tự Phần lại định lý, ta chứng minh E có tính chất (3.18) Giả sử m ∈ M cho mk ∈ E ⇒ f (mk ) = g(mk ) ⇒ f (m)k = g(m)k Vì N vị nhóm tự nên f (m) = g(m) Suy m ∈ E 3.5 Ứng dụng vị nhóm thiết bị trạng thái hữu hạn Ngày nay, khó nói hết vai trị đại số lĩnh vực nghiên cứu ứng dụng Đại số đại chìa khố để sâu vào ngành 64 toán học Trong lý thuyết thiết bị điều khiển tự động lĩnh vực tốn cho ngơn ngữ lập trình, đối tượng đại số phát sinh cách tự nhiên tập hợp khác rỗng với phép tốn hai ngơi có tính kết hợp gọi nửa nhóm thêm phần tử đơn vị chúng gọi vị nhóm Cấu trúc thiết bị bao gồm dãy tín hiệu đầu vào đưa vào thiết bị Vì phép tốn ghép nối có thứ tự hai dãy tín hiệu đầu vào thành dãy có tính chất kết hợp nên dãy tạo thành vị nhóm tự với phần tử đơn vị dãy rỗng Nhiều tính chất định lý lý thuyết nhóm áp dụng cho đối tượng này, chúng phần tử khả nghịch Trong phần này, ta nghiên cứu số ứng dụng vị nhóm thiết bị trạng thái hữu hạn 3.5.1 Thiết bị trạng thái hữu hạn Định nghĩa 3.5.1 Một thiết bị trạng thái hữu hạn (S, I, m) bao gồm tập trạng thái S = {s1 , s2 , , sn } tập tín hiệu đầu vào I = {i1 , i2 , , it } ánh xạ chuyển tiếp m : I × S → S Ánh xạ m mơ tả tín hiệu đầu vào thay đổi trạng thái Tức là, thiết bị trạng thái sp tín hiệu đầu vào iq đưa vào thiết bị, thiết bị chuyển đến trạng thái m(iq , sp ) Ví dụ 3.5.2 Một thang máy có nút nhấn điều khiển sử dụng để di chuyển tầng trệt, tầng tầng 2, thang máy dừng tầng không sử dụng Thang máy ví dụ thiết bị trạng thái hữu hạn Ta xem thời gian để di chuyển thang máy từ tầng đến tầng khác khoảng thời gian bản, thiết bị điều khiển thay đổi trạng thái vào cuối khoảng thời gian Ta cho thiết bị có tín hiệu đầu vào, tập tín hiệu đầu vào I = {i1 , i2 , i3 } = {0, 1, 2} i1 = : khơng có nút điều khiển nhấn trước khoảng 65 thời gian i2 = : nút điều khiển số nhấn trước khoảng thời gian i3 = : nút điều khiển số hai nút điều khiển nhấn trước khoảng thời gian Vì thang máy dừng tầng không sử dụng nên ta xét trạng thái mà kết thúc thang máy xuống Cho tập trạng thái S = {stop, down, up - down, down - up - down.} Ví dụ: trạng thái “up-down”, thang máy lên phải nhớ xuống Nếu khơng có nút điều khiển nhấn nút điều khiển số nhấn thang máy lên, thiết bị phục hồi đến trạng thái “down” thang máy đến tầng Nói cách khác, thang máy đến tầng người tầng nhấn nút điều khiển số 2, thang máy chuyển đến trạng thái “down-up-down” Thiết bị mơ tả sơ đồ trạng thái sau: Hình 3.1: Sơ đồ trạng thái thang máy Nếu tín hiệu đầu vào i làm thiết bị chuyển từ trạng thái sp đến trạng thái sq sơ đồ ta vẽ mũi tên có nhãn i từ sp đến sp Ta xét ví dụ khác thiết bị trạng thái hữu hạn: Ví dụ 3.5.3 Xét thiết bị mà chức đánh dấu tính chẵn lẻ số chữ số đưa vào thiết bị Thiết bị có: Tập trạng thái S = {Khởi điểm, Chẵn, Lẻ} Tập tín hiệu đầu vào I = {0, 1} Ánh xạ chuyển tiếp m : I × S → S mô tả Bảng 3.1 66 Nếu dãy số đưa vào thiết bị trạng thái chẵn có dãy số chẵn số trạng thái lẻ trường hợp lại Trạng thái ban đầu Khởi điểm Chẵn Lẻ Trạng thái Tín hiệu đầu vào Chẵn Lẻ Chẵn Lẻ Lẻ Chẵn Bảng 3.1: Ánh xạ chuyển tiếp thiết bị đánh dấu tính chẵn lẻ Sơ đồ trạng thái thiết bị mô tả sau: Hình 3.2: Sơ đồ trạng thái thiết bị đánh dấu tính chẵn lẻ Định nghĩa 3.5.4 (Ánh xạ xác định tín hiệu đầu vào) Cho I tập tín hiệu đầu vào thiết bị trạng thái hữu hạn với tập trạng thái S ánh xạ chuyển tiếp m m : I × S → S Mỗi tín hiệu đầu vào xác định cho ta ánh xạ từ tập trạng thái S vào nó, ảnh trạng thái trạng thái tạo tín hiệu đầu vào Ta có ánh xạ: m : I → SS S S tập tất ánh xạ từ S vào ánh xạ m(i) : S → S xác định [m(i)] (s) = m(i, s) Định lý 3.5.5 Cho (A∗ , ·) vị nhóm tự (với dãy rỗng kí hiệu e) sinh tập A i : A → A∗ ánh xạ thỏa: i(a) = a, ∀a ∈ A, tức 67 biến phần tử a ∈ A thành từ có độ dài a ∈ A∗ Khi đó, (M, ∗) vị nhóm l : A → M ánh xạ tồn đồng cấu vị nhóm: h : (A∗ , ·) → (M, ∗) cho hi = l Chứng minh i A l A∗ h M Giả sử phần tử đơn vị vị nhóm M Nếu h đồng cấu thoả hi = l tập từ có độ dài 1, ta có hi(a) = h(a) = l(a) với a ∈ A Khi đó, đồng cấu h hồn tồn xác định theo cách làm sau: Gọi α từ A∗ có độ dài n, n Ta viết α dạng α = βc, β từ có độ dài n − c từ có độ dài Ta có: h(α) = h(βc) = h(β) ∗ h(c) = h(β) ∗ l(c) Do đó, h xác định cách quy nạp độ dài từ Tức là, cách làm tương tự trên, với α = a1 a2 an , ∈ A, ta đặt h(α) = l(a1 ) ∗ l(a2 ) ∗ ∗ l(an ), h(e) = Khi đó, h đồng cấu thỏa mãn yêu cầu toán Ta chứng minh h Thật vậy, giả sử tồn đồng cấu g : (A∗ , ·) → (M, ∗) thỏa mãn 68 gi = l Với α = a1 a2 an ∈ A∗ , aj ∈ A(j = 1, 2, , n) ta có: g(α) = g(a1 a2 an ) = g(a1 ) ∗ g(a2 ) ∗ ∗ g(an ) = g(i(a1 )) ∗ g(i(a2 )) ∗ ∗ g(i(an )) = gi(a1 ) ∗ gi(a2 ) ∗ ∗ gi(an ) = l(a1 ) ∗ l(a2 ) ∗ ∗ l(an ) = h(α) Vậy đồng cấu h Định nghĩa 3.5.6 (Đồng cấu vị nhóm mở rộng m) Tập tín hiệu đầu vào đưa vào thiết bị dạng dãy Tập hợp dãy tín hiệu đầu vào vị nhóm tự sinh I , kí hiệu I ∗ Theo Định lý 3.5.5, ánh xạ m mở rộng thành đồng cấu vị nhóm sau: h : (I ∗ , ·) → S S , ◦ , với · phép ghép nối dãy tín hiệu đầu vào ◦ phép hợp thành ánh xạ h(i1 i2 ir ) = m(i1 ) ◦ m(i2 ) ◦ ◦ m(ir ) Ta nói dãy tín hiệu đầu vào i1 i2 ir có ảnh hưởng đến thiết bị h(i1 i2 ir ) Chú ý dãy tín hiệu đầu vào i1 i2 ir ir đưa vào thiết bị h(i) = m(i), ∀i ∈ I Ví dụ 3.5.7 Ta xét thiết bị kiểm tra tính chẵn lẻ số chữ số dãy Tập trạng thái S = {Khởi điểm, Chẵn, Lẻ} tập tín hiệu đầu vào I = {0, 1} với ánh xạ: m : {0, 1} → S S , Đồng cấu mở rộng h xác  m(0)   h(dãy tín hiệu) = m(1)    idS h : I ∗ → SS định bởi: dãy chứa số chẵn số 1, dãy chứa số lẻ số 1, dãy rỗng S 69 3.5.2 Vị nhóm thương vị nhóm thiết bị Ta thấy rằng, dãy tín hiệu đầu vào khác có ảnh hưởng thiết bị Ví dụ, với thiết bị kiểm tra tính chẵn lẻ số số dãy đề cập thì: h(0101101) = h(0000) = h(11) = h(0) Tức là, dãy 0101101; 0000; 11; phân biệt thiết bị Với thiết bị có n trạng thái, dãy tín hiệu đầu vào có nhiều S S = nn ảnh hưởng khác Vì số lượng dãy I ∗ vơ hạn nên có nhiều dãy tín hiệu đầu vào phân biệt có ảnh hưởng thiết bị Sự ảnh hưởng tín hiệu đầu vào thiết bị trạng thái hữu hạn xác định cho ta quan hệ tương đương vị nhóm tự dãy tín hiệu đầu vào I ∗ Tức là, vị nhóm thiết bị vị nhóm thương I ∗ Vị nhóm thương ln vị nhóm hữu hạn với số phần tử nhiều nn Định nghĩa 3.5.8 (Vị nhóm thiết bị) Cho (S, I, m) thiết bị trạng thái hữu hạn ảnh hưởng dãy tín hiệu đầu vào cho ánh xạ: h : I ∗ → SS Trên I ∗ , ta xây dựng quan hệ R sau: ∀α, β ∈ I ∗ , αRβ ⇔ h(α) = h(β) Dễ thấy quan hệ R quan hệ tương đương Hơn nữa, quan hệ tương đẳng I ∗ vì: ∀x, y, z, t ∈ I ∗ : cho xRy zRt h(x) = h(y) ⇒ h(xz) = h(x) ◦ h(z) = h(y) ◦ h(t) = h(yt) ⇒ h(z) = h(t) ⇒ xzRyt Vị nhóm thương (I ∗ /R, ·) gọi vị nhóm thiết bị (S, I, m) Ta áp dụng cấu trúc nửa nhóm tự I + dãy tín hiệu đầu vào để thiết lập nửa nhóm thiết bị (I + /R, ·) 70 Trạng thái ban đầu Trạng thái h(0) h(1) s0 s0 s1 s1 s0 s0 Bảng 3.2: Bảng trạng thái Như vậy, hai dãy tín hiệu đầu vào thuộc lớp tương đẳng chúng có ảnh hưởng thiết bị Áp dụng định lí đồng cấu vị nhóm cho h : I ∗ → S S , ta I ∗ /R ∼ = Im h Đẳng cấu đánh dấu lớp tương đẳng với ánh xạ chuyển tiếp trạng thái Ví dụ 3.5.9 Cho thiết bị có tập trạng thái S = {s0 , s1 }, tập tín hiệu đầu vào I = {0, 1} Sự ảnh hưởng tín hiệu đầu vào cho ánh xạ h(0) h(1) : S → S , cho Bảng 3.2 Hãy vẽ sơ đồ trạng thái tìm vị nhóm thiết bị (S, I, m) Giải Ta tính ảnh hưởng tín hiệu đầu vào với độ dài Ta có: h(ij) = h(i) ◦ h(j) với j đưa vào thiết bị trước i Từ Bảng 3.2 Bảng 3.3 ta có h(00) = Trạng thái cuối Trạng thái ban đầu h(00) h(01) h(10) h(11) s0 s0 s0 s1 s0 s1 s0 s0 s1 s1 Bảng 3.3 h(01) = h(0) [00] = [01] = [0] Chỉ có ánh xạ từ S vào S chúng 71 h(0), h(1), h(10), h(11) Do đó, vị nhóm thiết bị gồm lớp tương đẳng [0], [1], [10], [11] Bảng vị nhóm thương cho bảng sơ đồ sau: Bảng 3.3: Vị nhóm thiết bị Hình 3.4: Sơ đồ trạng thái Ví dụ, [1] · [10] = [110] Từ h(110)(s0 ) = s0 , h(110)(s1 ) = s0 , ta suy [110] = [0] Từ bảng, ta thấy [11] phần tử đơn vị vị nhóm thiết bị này, tức [e] = [11] Ví dụ 3.5.10 Hãy mơ tả vị nhóm thiết bị (S, I, m) = ( Khởi điểm, chẵn, lẻ ; {0, 1} ; m) kiểm tra tính chẵn lẻ số số dãy tín hiệu đầu vào đề cập Ví dụ 3.5.7 Giải Ta ln nhận thấy dãy tín hiệu đầu vào với số chẵn số có ảnh hưởng đến thiết bị số dãy tín hiệu đầu vào với số lẻ số có ảnh hưởng với thiết bị số Từ Bảng 3.4, vị nhóm thiết bị chứa ba phần tử [e], [0], [1] Vị nhóm thiết bị cho Bảng 3.5 72 Trạng thái ban đầu Trạng thái h(e) Khởi điểm h(0) Khởi điểm Chẵn h(1) Lẻ Chẵn Chẵn Chẵn Lẻ Lẻ Lẻ Lẻ Chẵn Bảng 3.4 · [e] [0] [1] [e] [e] [0] [1] [0] [0] [0] [1] [1] [1] [1] [0] Bảng 3.5 Ví dụ 3.5.11 Bây giờ, ta xét thiết bị mà nhận mẫu 010 dãy tín hiệu đầu vào dạng nhị phân đưa vào thiết bị Hình 3.5 sơ đồ trạng thái thiết bị Nếu thiết bị bắt đầu trạng thái s1 , chuyển đến trạng thái s4 dãy tín hiệu đầu vào trước 010 Trong trường hợp này, thiết bị gởi báo hiệu Thiết bị có trạng thái; tổng số ánh xạ khác trạng thái 44 = 256 Hình 3.6 rằng, dãy tín hiệu đầu vào với độ dài 0; 1; có ảnh hưởng khác đến trạng thái thiết bị 73 Hình 3.5: Sơ đồ trạng thái thiết bị nhận mẫu 010 Hình 3.6: Ảnh hưởng dãy tín hiệu đầu vào đến trạng thái thiết bị Tuy nhiên, dãy tín hiệu đầu vào có độ dài có ảnh hưởng đến thiết bị dãy tín hiệu đầu vào có độ dài Chỉ dãy tín hiệu vào có độ dài có ảnh hưởng khác đến thiết bị dãy 010, dãy mà thiết bị thiết kế để nhận dãy Vì ta cần kiểm tra dãy tín hiệu đầu vào có độ dài bắt đầu 010 (ở bên phải) 0010 1010 Ta thấy hai dãy có ảnh hưởng giống dãy độ dài Ta dùng sơ đồ Hình 3.7 để kiểm tra việc ta xét hết tất ánh xạ chuyển tiếp có (tức tất ảnh hưởng dãy tín hiệu đầu vào) Cụ thể, ta gán nhãn cho nốt (node) nhị phân dãy tín hiệu đầu vào Tại nốt α bất kì, ta phân tiếp hai nhánh hướng lên 0α 1α tương ứng với hai dãy tín hiệu đầu vào 74 Hình 3.7: Sơ đồ dãy tín hiệu đầu vào Ta “cắt bỏ nhánh nhị phân” nốt α α cho ta ánh xạ chuyển tiếp với nốt β khác (dãy α có ảnh hưởng tới thiết bị với dãy β có) Cây nhị phân dừng việc phân nhánh sau số hữu hạn lần phân chia nhánh có số hữu hạn ánh xạ chuyển tiếp trạng thái Các dãy tín hiệu đầu vào có ảnh hưởng đến thiết bị nốt màu đen Hình 3.7 Những nốt cung cấp tập đầy đủ tiêu biểu cho vị nhóm thiết bị Do đó, vị nhóm thiết bị nhận dạng dãy 010 chứa phần tử: [e], [0], [1], [00], [01], [10], [11] [010], cho Hình 3.8 Hình 3.8: Vị nhóm thiết bị nhận dạng dãy 010 75 KẾT LUẬN Luận văn tổng quan làm rõ số vấn đề sau: Hệ thống kiến thức phạm trù - phạm trù con, hạt nhân, đẳng hóa số kiến thức liên quan Trình bày chứng minh chi tiết đặc trưng hạt nhân đẳng hóa phạm trù vị nhóm Mon Trình bày chứng minh chi tiết đặc trưng hạt nhân đẳng hóa phạm trù đầy đủ cMon, cCMon, FMon, rKMon Ứng dụng vị nhóm thiết bị trạng thái hữu hạn Bằng việc tham khảo tài liệu, tổng hợp lý thuyết, chứng minh số tính chất, định lý, đề tài làm rõ số vấn đề hạt nhân đẳng hóa phạm trù vị nhóm Trong đó, vài loại vị nhóm vị nhóm tự do, vị nhóm Krull, có tính chất thú vị Bên cạnh đó, ứng dụng vị nhóm cho ta thấy mối liên hệ toán học lĩnh vực khoa học khác, mối liên hệ kiến thức tưởng chừng trừu tượng toán học với vật, việc đơn giản sống ngày Qua q trình thực đề tài, tơi nhận thấy đặc trưng hạt nhân, đẳng hóa phạm trù Mon ứng dụng vị nhóm thiết bị trạng thái hữu hạn trình bày luận văn nhiều đặc trưng ứng dụng khác cần nhiều thời gian để làm rõ hoàn thiện 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trương Công Quỳnh (2016), Lý thuyết phạm trù, Tài liệu Cao học Tiếng Anh [2] J Adámek, H Herrlich, G.E Strecker (1990), Abstract and concrete categories: the joy of cats, Wiley, New York Reprinted in Reprint Theory Application Category vol.17 (2006) [3] Paul M Cohn (2003), Further Algebra and Applications, Springer, New York [4] A Facchini, F Halter-Koch (2003), Projective modules and divisor homomorphisms, J Algebra Appl 2, pp 435–449 [5] A Facchini, E Rodaro, Equalizers and kernels in categories of monoids, Semigroup Forum 95(3)(2017), 455 - 474 [6] William J Gilbert (2004), Modern Algebra with Applications, A John Wiley & Sons, Inc [7] V.S Guba, Equivalence of infinite systems of equations in free groups and semigroups to finite subsystems Mat Zametki 40 (1986), 321–324, 428 English translation: Math Notes 40 (1986), 688–690 [8] T.E Hall (1975), Free products with amalgamation of inverse semigroups, J Algebra 34, 375–385 [9] J.M Howie (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, London Mathematical Society Monographs, New Series The Clarendon Press, Oxford University Press, New York [10] J.M Howie, J.R Isbell (1967), Epimorphisms and dominions II, J Algebra 6, 7–21 77 [11] J.R Isbell (1965), Epimorphisms and dominions In: Proceedings of the Conference on Categorical Algebra, La Jolla, California Springer, New York, pp 232–246 [12] M Lothaire (1983), Combinatorics on Words, Cambridge University Press [13] S MacLane (1969-1970), Categories for the Working Mathematician, Springer-Verlag New York, Inc [14] E.L Post (1946), A variant of a recursively unsolvable problem, Bull Am Math Soc 52, 264–268 [15] A Salomaa (1978), Equality sets for homomorphisms on free monoids Acta Cybernet 4, 127–139 [16] J.B Stephen (1998), Amalgamated free products of inverse semigroups, J Algebra 208, 399–424 ... đến B Phạm trù vị nhóm Phạm trù vị nhóm giao hốn Phạm trù vị nhóm giao hốn có tính giản ước Phạm trù vị nhóm Krull thu gọn Phạm trù vị nhóm tự Tích tenxơ Cái đẳng hóa cặp xạ α, β Hạt nhân xạ... nghiệp là: ? ?Hạt nhân đẳng hóa phạm trù vị nhóm? ?? Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu phạm trù vị nhóm phạm trù - Nghiên cứu đặc trưng, tính chất hạt nhân, đẳng hóa phạm trù vị nhóm phạm trù đầy... u′ K′ Nhận xét 1.4.3 Hạt nhân xạ f đẳng hóa cặp xạ (f, 0AB ) 1.5 Hạt nhân đẳng hóa phạm trù vị nhóm Mon 1.5.1 Đẳng hóa phạm trù Mon Trong phạm trù Mon phạm trù nó, đẳng hóa cặp xạ f, g : M →