Vector ngẫu nhiên 2 chiều

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN LÊ THỊ KIM THOA VECTOR NGẪU NHIÊN CHIỀU Chuyên ngành: Xác suất thống kê KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP G.V hướng dẫn: ThS LÊ VĂN DŨNG Đà Nẵng-2013 LỜI CẢM ƠN Tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học tôi, ThS Lê Văn Dũng, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cơ khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng tận tình truyền đạt kiến thức suốt khóa học (2009 - 2013) Với vốn kiến thức tiếp thu trình học khơng tảng cho q trình nghiên cứu khóa luận mà cịn hành trang q báu để bước vào đời cách vững tự tin Cảm ơn người thân, bạn bè quan tâm, giúp đỡ động viên suốt thời gian thực đề tài Do thời gian trình độ cịn hạn chế, chắn luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận bảo tận tình thầy đóng góp ý kiến bạn bè để luận văn tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng năm 2013 Sinh viên Lê Thị Kim Thoa MỤC LỤC Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 1.2 Không gian xác suất 1.1.1 Phép thử 7 1.1.2 1.1.3 Không gian mẫu Độ đo xác suất Đại lượng ngẫu nhiên 1.2.1 Định nghĩa 8 1.2.2 Hàm phân phối xác suất 1.2.3 1.2.4 Đại lượng ngẫu nhiên độc lập Các số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên 9 1.3 1.4 Phân phối 11 Phân phối chuẩn 12 1.5 Phân phối mũ 12 Chương Vectơ ngẫu nhiên chiều 14 2.1 2.2 Định nghĩa ví dụ 14 Hàm phân phối xác suất đồng thời 14 2.3 Hàm đại lượng ngẫu nhiên hai chiều 21 2.3.1 X Y hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 21 2.4 2.3.2 X Y hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục 22 Phân phối xác suất có điều kiện kì vọng có điều kiện 26 2.5 2.6 Covarian, hệ số tương quan hàm hồi quy 32 Phân phối chuẩn chiều 39 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong phần lớn lý thuyết tập giảng dạy chương trình phổ thơng, cao đẳng, đại học ta xét đại lượng ngẫu nhiên chiều Tuy nhiên, thực tế ta gặp nhiều toán phải xét cách đồng thời hai hay chí nhiều đại lượng ngẫu nhiên Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên hai chiều hay gọi vector ngẫu nhiên hai chiều trường hợp riêng đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều bao gồm nhiều đại lượng ngẫu nhiên thành lập có thứ tự Mỗi đại lượng ngẫu nhiên thành phần Tương tự đại lượng ngẫu nhiên, quy luật phân bố đại lượng ngẫu nhiên hai chiều khảo sát thông qua hàm phân bố Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều có hai đại lượng ngẫu nhiên thành phần rời rạc gọi đại lượng ngẫu nhiên hai chiều rời rạc, ngược lại hai đại lượng thành phần liên tục đại lượng ngẫu nhiên hai chiều tương ứng liên tục Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều rời rạc phân bố bảng phân bố xác suất đồng thời, đại lượng ngẫu nhiên liên tục xác định hàm mật độ xác suất Từ bảng phân bố xác suất đồng thời đại lượng ngẫu nhiên hai chiều, dựa vào công thức cộng xác suất đồng thời ta tìm bảng phân bố xác suất hai đại lượng ngẫu nhiên thành phần Áp dụng cơng thức tính xác suất có điều kiện suy quy luật phân bố xác suất có điều kiện biến ngẫu nhiên thành phần Ngồi cịn có đặc trưng, kỳ vọng, phương sai hai biến ngẫu nhiên thành phần, biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc đặc trưng hiệp phương sai (covarian) hệ số tương quan Áp dụng cơng thức tính xác suất có điều kiện ta xây dựng phân bố xác suất có điều kiện Từ tính kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên thành phần biến ngẫu nhiên thành phần xây dựng hàm hồi quy tương quan Do tính đa dạng thực tế tốn liên quan đến đại lượng ngẫu nhiên hai chiều Đối với trường hợp vector ngẫu nhiên có số chiều nhiều hai khái quát từ trường hợp vector ngẫu nhiên hai chiều Với lý nên định chọn đề tài với tên: "Vector ngẫu nhiên hai chiều" để tiến hành nghiên cứu Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại khái niệm lý thuyết xác suất, tính chất chúng - Đưa định nghĩa, định lý, hệ vector ngẫu nhiên hai chiều - Phát huy khả tư duy, say mê sáng tạo tự tin giải toán liên quan đến vector ngẫu nhiên hai chiều Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu vector ngẫu nhiên hai chiều - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu vector ngẫu nhiên hai chiều Phương pháp nghiên cứu - Thu thập báo khoa học, tài liệu liên quan đến đề tài - Tham khảo tài liệu mạng Internet - Sử dụng phần mềm Mathcad Professional để tính tốn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn trình bày có hệ thống với mục rõ ràng, chặt chẽ vector ngẫu nhiên hai chiều Bên cạnh đó, luận văn cịn đưa ví dụ áp dụng thực tế việc tính xác suất, phân phối xác suất có điều kiện, tham số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên hai chiều Do đó, luận văn góp phần tạo tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành toán Cấu trúc luận văn Bản luận văn gồm chương Chương Nhắc lại số kiến thức lý thuyết xác suất liên quan đến vector ngẫu nhiên hai chiều Chương Các định nghĩa, định lý, hệ quả, ví dụ tập vector ngẫu nhiên hai chiều CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Khơng gian xác suất 1.1.1 Phép thử Trong tốn học có khái niệm khơng có định nghĩa mà mơ tả chúng hình ảnh tư trực quan Chẳng hạn hình học khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng khái niệm khơng có định nghĩa Trong xác suất, khái niệm phép thử khái niệm khơng có định nghĩa Ta hiểu phép thử việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng có xảy hay không Phép thử gọi ngẫu nhiên ta khơng thể dự báo trước xác kết xảy ta thực phép thử 1.1.2 Khơng gian mẫu Tập hợp tất kết xảy phép thử ngẫu nhiên Ta thường kí hiệu Ω Cho khơng gian mẫu Ω có hữu hạn vơ hạn biến cố sơ cấp Ta xét lớp F tập Ω thỏa mãn điều kiện: +∅∈F + Nếu A ∈ F Ac ∈ F + Nếu A1 , A2 , , An , ∈ F ∞ n=1 An ∈ F Lớp F gọi σ -đại số tập Ω 1.1.3 Độ đo xác suất Một hàm tập hợp P : F → R gọi độ đo xác suất thỏa mãn điều kiện sau: + Với A ∈ F , ≤ P(A) ≤ + P(Ω) = + Nếu A1 ,A2 , ,An , đôi không giao (Ai ∩ Ai = ∅ với ∞ i = j) P ( ∞ n=1 An ) P (An ) = n=1 Khi phần tử F gọi biến cố P(A) gọi xác suất xảy biến cố A Bộ ba (Ω, F, P ) 1.2 1.2.1 Đại lượng ngẫu nhiên Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian xác suất (Ω, F, P ) Hàm số X : Ω → R gọi đại lượng ngẫu nhiên X hàm đo được, tức với a ∈ R, {ω ∈ Ω : X(ω) < a} ∈ F 1.2.2 Hàm phân phối xác suất Cho đại lượng ngẫu nhiên X , hàm số F (x) = P (X < x), x ∈ R gọi hàm phân phối xác suất X Định nghĩa 1.2.2 Đại lượng ngẫu nhiên X gọi đại lượng ngẫu nhiên rời rạc hàm phân phối hàm bậc thang Đại lượng ngẫu nhiên X rời rạc X có miền giá trị tập hữu hạn vô hạn đếm Khi đó, ta lập bảng sau gọi bảng phân phối xác suất X X x1 x2 xn P p1 p2 pn đó: xi < xj i < j , pi = P (X = xi ), pi = i Hàm phân phối xác suất X lúc xác định pi P (X = xi ) = F (x) = xi trái lại Tìm f (y/x), f (x/y) Giải f (x, y) Theo hệ f (y/x) = fX x Ta có: +∞ fX (x) = x f (x, y)dy = −∞ +∞ f (x, y)dy + f (x, y)dy x +∞ 2e−x−y dy = 2e−2x =0+ x 2e−2x x > 0 x ≤ Vậy fX (x) = Ta lại có: +∞ fY (y) = +∞ −∞ f (x, y)dx f (x, y)dx = y > y ≤ −∞ = y 2e−x−y dx y > = y ≤ 2e−y (1 − e−y ) y > 0 y ≤ Vì với x > f (x, y) 2e−x−y e−y f (y/x) = = −x = ex−y y > x = −2x fX x 2e e f (y/x) = y < x Với y > 0, ta có: f (x, y) 2e−x−y e−x f (x/y) = = −y = < x < y fY y 2e (1 − e−y ) − e−y f (x/y) = x > y Định lý 2.4.8 Nếu Y đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có miền giá trị {y1 , y2 , , yn } X đại lượng ngẫu nhiên n E(X) = E(X|Y = yj )P (Y = yj ) j=1 31 Chứng minh Đặt X Xj = Y = yj Y = yj Khi ta có n X= Xj , j=1 E(X/Y = yj ) = E(Xj )/P (Y = yj ) Nên n E(X) = n E(Xj ) = E(X/Y = yj )P (Y = yj ) j=1 j=1 Định lý 2.4.9 Nếu Y đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ fY (y) X đại lượng ngẫu nhiên ∞ E(X|Y = y)fY (y)dy E(X) = −∞ Chứng minh Ta có: +∞ E(X) = +∞ +∞ xfX (x)dx = −∞ +∞ xf (x, y)dxdy = −∞ −∞ +∞ dy −∞ xf (x, y)dx −∞ Theo định nghĩa ta có: +∞ E(X/Y = y) = +∞ xf (x/y)dx = −∞ −∞ xf (x, y)dx fY y +∞ E(X/Y = y).fY (y) = −∞ +∞ xf (x, y) fY (y)dx = fY (y) xf (x, y)dx −∞ 32 Vậy +∞ E(X) = E(X/Y = y).fY (y)dy −∞ 2.5 Covarian, hệ số tương quan hàm hồi quy Định nghĩa 2.5.1 Cho đại lượng ngẫu nhiên Covarian X Y số xác định công thức cov(X, Y ) = E [(X − E(X)(Y − E(Y )))] Định lý 2.5.2 1) cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) 2) cov(aX, bY ) = abcov(X, Y ) 3) Nếu X Y độc lập cov(X, Y ) = Chứng minh 1) Giả sử f (x, y) hàm mật độ đồng thời (X, Y ) +∞ +∞ (x − µ)(y − λ)f (x, y)dxdy, cov(X, Y ) = −∞ −∞ với µ = E(X), λ = E(Y ) Ta có: 33 +∞ +∞ (x − µ)(y − λ)f (x, y)dxdy cov(X, Y ) = −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞ xyf (x, y)dxdy − λ = −∞ −∞ +∞ +∞ −µ xf (x, y)dxdy −∞ −∞ yf (x, y)dxdy + µλ −∞ −∞ +∞ +∞ xyf (x, y)dxdy − λµ − µλ + µλ = −∞ −∞ = E(X, Y ) − E(Y )E(X) − E(X)E(Y ) + E(X)E(Y ) = E(X, Y ) − E(X)E(Y ) 2) cov(aX, bY ) = E(aXbY ) − E(aX)E(bY ) = ab[E(XY ) − E(X)E(Y )] = abcov(X, Y ) 3) cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) X , Y độc lập nên E(XY ) = E(X)E(Y ) Suy cov(X, Y ) = Định lý 2.5.3 Nếu X Y đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có miền giá trị {x1 , x2 , , xm } {y1 , y2 , , yn } m n xi yj pij − E(X)E(Y ), cov(X, Y ) = i=1 j=1 pij = P (X = xi , Y = yj ) Nếu (X, Y ) có hàm mật độ xác suất đồng thời f (x, y) +∞ +∞ xyf (x, y)dxdy − E(X)E(Y ) cov(X, Y ) = −∞ −∞ 34 Chứng minh Ta có: cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) Do X, Y đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có miền giá trị m n {x1 , x2 , , xm } , {y1 , y2 , , yn } nên E(XY ) = xi yj pij i=1j=1 Vậy m n xi yj pij − E(X)E(Y ) cov(X, Y ) = i=1 j=1 Do (X, Y ) có hàm mật độ xác suất đồng thời f (x, y) nên +∞ +∞ E(X, Y ) = −∞ −∞ xyf (x, y)dxdy Vậy +∞ +∞ xyf (x, y)dxdy − E(X)E(Y ) cov(X, Y ) = −∞ −∞ Định nghĩa 2.5.4 Hệ số tương quan hai đại lượng ngẫu nhiên X Y kí hiệu ρ(X, Y ), xác định công thức: ρ(X, Y ) = cov(X, Y ) D(X) D(Y ) Ví dụ 2.5.5 Cho (X, Y ) có bảng phân phối xác suất X\Y −1 −1 1/6 1/4 1/6 1/8 1/6 1/8 Tính E(X), E(Y ), cov(X, Y ), ρ(X, Y ) Giải: Các phân phối biên X Y là: X −1 P 5/12 7/24 7/24 Y −1 P 1/2 1/2 35 + EX = xi pi = − i=1 yi pi = + EY = i=1 + cov(X, Y ) = EXY − EXEY xi yj pij = − Mà E(XY ) = i=1j=1 Suy cov(X, Y ) = − cov(X, Y ) √ + ρ(X, Y ) = √ DX DY Trong đó: DX = x2i pi − (EX)2 = i=1 133 , DY = 192 Suy ρ(X, Y ) = −0.15 Định lý 2.5.6 1) |ρ(X, Y )| ≤ 2) Nếu X Y độc lập ρ(X, Y ) = 3) Nếu Y = aX + b ρ(X, Y ) = ±1 Chứng minh |ρ(X, Y )| ≤ Đặt X = X − EX Y = Y − EY ∀t ∈ R, ta có: E(tX + Y )2 ≥ ⇔ EX t2 + 2EtX Y + EY ≥ ⇔ E(X − EX)2 t2 + 2tE(X − EX)(X − EY ) + E(Y − EY )2 ≥ ⇔ DXt2 + 2tcov(X, Y ) + DY ≥ Đây tam thức bậc hai theo t, ta có: = cov (X, Y ) − DXDY ≤ ⇔ cov (X, Y ) ≤ DXDY √ √ ⇔ |cov(X, Y )| ≤ DX DY |cov(X, Y )| √ ⇔√ ≤ DX DY |cov(X, Y )| √ Vậy |ρ(X, Y )| = √ ≤ DX DY 36 Nếu X, Y độc lập theo định lý 2.5.2, ta có: cov(X, Y ) = nên |cov(X, Y )| √ |ρ(X, Y )| = √ = DX DY Y = aX + b ⇒ DY = a2 DX ⇒ σY = |a|σX Mặt khác cov(aX + b, X) = E[(aX + b)X] − E(aX + b)EX = aEX − a(EX)2 = aDX Vậy ρ(aX + b, X) = aDX = ±1 |a|DX Ví dụ 2.5.7 Cho (X, Y ) có hàm mật độ f (x, y) = c(1 − xy ) |x| ≤ 1, |y| ≤ trái lại a) Tìm số c b) Tìm ρ(X, Y ) Giải: a) Tìm số c: Ta có +∞ +∞ +∞ +∞ c(1 − xy )dxdy = f (x, y)dxdy = ⇔ −∞ −∞ −∞ −∞ 1 (1 − xy )dxdy = ⇔c −1 −1 ⇔c 2dy = −1 ⇔ 4c = ⇔ c = b) Tìm ρ(X, Y ): +) cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) 37 * +∞ +∞ +∞ +∞ xyf (x, y)dxdy = E(XY ) = −∞ −∞ 1 = xy(1 − xy )dxdy −∞ −∞ (xy − x2 y )dxdy = −1 −1 (− y )dy −1 = (− y )|1−1 = − 15 15 * +∞ E(X) = +∞ +∞ xfX (x)dx = −∞ xf (x, y)dxdy −∞ −∞ 1 = 1 x(1 − xy )dxdy = −1 −1 = x2 x3 ( − y )|−1 ]dy −1 (− y )dy = −1 * +∞ E(Y ) = +∞ +∞ yfY (y)dy = −∞ −∞ −∞ 1 1 y(1 − xy )dxdy = = −1 −1 = yf (x, y)dxdy x2 [(xy − y )|−1 ]dy −1 0dy = −1 Suy cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = − +) DX = EX − (EX)2 15 38 * +∞ +∞ EX = x2 (1 − xy )dxdy −∞ −∞ 1 = (x2 − x3 y )dxdy −1 −1 = [( x3 x4 − y )|−1 ]dy −1 = dy = 3 −1 ⇒ DX = EX − (EX)2 = 2 +) DY = EY − (EY ) * +∞ +∞ EY = y (1 − xy )dxdy −∞ −∞ 1 = (y − xy )dxdy −1 −1 x2 [(y x − y )|−1 ]dy = −1 = 2y dy = −1 ⇒ DY = EY − (EY )2 = Vậy cov(X, Y ) √ ρ(X, Y ) = √ =− DX DY 39 Ví dụ 2.5.8 Cho (X, Y ) có hàm mật độ xác suất e−y f (x, y) = y > x > trái lại Tính E(X/Y = y), E(Y /X = x) Giải: +∞ −y e dy x e−x x > x > + fX (x) = = = trái lại trái lại y −y −y y > +∞ e dx y > = ye + fY (y) = −∞ f (x, y)dx = trái lại trái lại  f (x, y)  < x < y + f (x/y) = = y 0 trái lại fY (y) f (x, y) ex−y x > = + f (y/x) = trái lại fX (x) Suy +∞ −∞ f (x, y)dy y +∞ E(X/Y = y) = x y dx = y xf (x/y)dx = 0 +∞ +∞ Suy E(Y /X = x) = yex−y dy yf (y/x)dy = x +∞ ye−y dy = ex (e−x + xe−x ) = ex x = + x 2.6 Phân phối chuẩn chiều Định nghĩa 2.6.1 Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X Y có ρ = ρ(X, Y ) ∈ (0; 1) Vectơ ngẫu nhiên (X, Y ) gọi có phân phối chuẩn chiều với tham số (µ1 ; σ12 ), (µ2 ; σ22 ) với σ1 > σ2 > có hàm mật độ xác Q(x,y) suất đồng thời f (x, y) = e− , 2πσ1 σ2 − ρ2 40 x − µ1 x − µ1 y − µ2 y − µ2 − 2ρ + Q(x, y) = − ρ2 σ1 σ1 σ2 σ2 Trong trường hợp µ1 = µ2 = 0, σ1 = σ2 = phân phối chuẩn chiều (X, Y ) gọi phân phối chuẩn chiều chuẩn tắc Định lý 2.6.2 (xem [5]) Nếu (X, Y ) có phân phối chuẩn chiều với X − µ1 X − µ2 tham số (µ1 ; σ12 ), (µ1 ; σ12 ) (U, V ) với U = , V = có σ1 σ2 phân phối chuẩn chiều chuẩn tắc Định lý 2.6.3 (xem [5]) Nếu (X, Y ) có phân bố chuẩn hai chiều với số a, b, đại lượng ngẫu nhiên Z = aX + bY có phân bố chuẩn Ví dụ 2.6.4 Giả sử (X, Y ) có phân bố chuẩn hai chiều Biết EX = 80, σX = 9, EY = 60, σY = 4, ρ(X, Y ) = a) Tính P {X + Y ≥ 162} b) Tính P {X < Y } Giải: Theo định lý 2.6.3, ta có: a) Vậy (X, Y ) có phân bố chuẩn nên X + Y có phân bố chuẩn E(X + Y ) = EX + EY = 80 + 60 = 140 E(X + Y )2 = E(X + 2XY + Y ) = EX + 2E(XY ) + EY D(X + Y ) = E(X + Y )2 − (EX + EY )2 = DX + DY + {E(XY ) − EX.EY } = DX + DY + 2cov(X, Y ) = DX + DY + 2σX σY ρ(X, Y ) = 81 + 16 + 2.9.4 = 121 = 112 Vậy P {X + Y ≥ 162} = − Φ( 162 − 140 ) = − Φ(2) = − 0.977 = 0.023 11 b) Vậy (X, Y ) có phân bố chuẩn nên X − Y có phân bố chuẩn Ta có P (X < Y ) = P {(X − Y ) < 0} E(X − Y ) = EX − EY = 80 − 60 = 20 41 E(X − Y )2 = E(X − 2XY + Y ) = EX + EY − 2E(XY ) D(X − Y ) = E(X − Y )2 − (EX − EY )2 = DX + DY − 2cov(X, Y ) = DX + DY − 2σX σY ρ(X, Y ) = 81 + 16 − 2.9.4 = 73 Vậy −20 P (X < Y ) = P {(X − Y ) < 0} = Φ( √ ) = Φ(−2.34) = 0.01 73 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu vector ngẫu nhiên hai chiều, thu số kết sau : Trình bày cách hệ thống khái niệm, định lý lý thuyết xác suất Trình bày cách chi tiết định nghĩa, định lý, tính chất vector ngẫu nhiên hai chiều Đưa ví dụ áp dụng thực tế liên quan đến vector ngẫu nhiên hai chiều Tuy nhiên trình độ kiến thức thời gian thực khóa luận khơng nhiều, khơng tránh khỏi sai sót, tơi mong nhận góp ý kiến quý thầy cô bạn 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Văn Dũng, Tôn Thất Tú (2012), Bài giảng Lý thuyết xác suất ứng dụng [2] Đào Hữu Hồ (1999), Xác suất thống kê, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [3] Trần Lộc Hùng (1998), Lý thuyết xác suất Thống kê toán học, Nhà xuất giáo dục [4] Nguyễn Ngọc Siêng (2006), Xác suất thống kê toán, Nhà xuất giáo dục, Đà Nẵng [5] Đặng Hùng Thắng (2009), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất giáo dục [6] Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tiến Dũng (2009), Nhập môn đại xác suất thống kê, Nhà xuất đại học sư phạm 43 ... 1 .2. 3 Đại lượng ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa 1 .2. 4 Hai đại lượng ngẫu nhiên X1 X2 gọi độc lập với a1 , a2 ∈ R ta có P ({X1 < a1 } ∩ {X2 < a2 }) = P ({X1 < a1 })P ({X2 < a2 }) Nhóm n (n ≥ 2) ... X2 = 1) P (X2 = 1) P (X1 = 0, X2 = 1) 0.06 Ta có P (X1 = 0/X2 = 1) = = = P (X2 = 1) 0.54 P (X1 = 1, X2 = 1) 0.36 = = P (X1 = 1/X2 = 1) = P (X2 = 1) 0.54 P (X1 = 2, X2 = 1) 0. 12 P (X1 = 2/ X2... rạc 21 2. 4 2. 3 .2 X Y hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục 22 Phân phối xác suất có điều kiện kì vọng có điều kiện 26 2. 5 2. 6 Covarian, hệ số tương quan hàm hồi quy 32 Phân phối