Tương tự hóa, các biện pháp khai thác và sử dụng tương tự hóa trong dạy học HHKG lớp 11 THPT

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: TƯƠNG TỰ HĨA, CÁC BIỆN PHÁP KHAI THÁC VÀ SỬ DỤNG TƯƠNG TỰ HÓA TRONG DẠY HỌC HHKG LỚP 11 THPH Sinh viên thực hiện: Trương Thị Uyên Thơ Lớp: 09 ST Giáo viên hướng dẫn: ThS Nguyễn Viết Đức Đà Nẵng, tháng 5/2013 LỜI MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Tốn học mơn học địi hỏi người học suy luận lôgic , linh hoạt xác Chính thế, q trình dạy học Tốn việc hình thành rèn luyện phép suy luận : khái quát hóa, đặc biệt hóa, phân tích, so sánh, tổng hợp,… cho học sinh vơ cần thiết Bởi q trình trang bị phép suy luận , giúp học sinh nắm vững đào sâu kiến thức, góp phần phát triển tư duy, khả suy luận lôgic cho học sinh Điều khơng tốt cho q trình học Tốn học sinh mà cịn hữu ích cho việc học môn học khác em ngồi ghế nhà trường sống tương lai Trong chương trình Tốn THPT mơn Hình học khơng gian (HHKG) với đặc thù riêng có mơn , ta cần ý để khai thác đặc thù riêng HHKG lợi giúp nâng cao chất lượng dạy HHKG phát triển tư duy, trí tưởng tượng khơng gian cho học sinh Tuy nhiên HHKG phân môn học khó , với đặc trưng mơn : HHKG có tính trừu tượng cao , địi hỏi người học phải có trí tưởng tượng khơng gian phong phú suy luận lơgic cao Điều gây khơng khó khăn cho học sinh q trình tiếp thu nội dung , hình thành kỹ học tập khả vận dụng kiến thức HHKG vào q trình học tập mơn khác đời sống xã hội sau Vì trình dạy học HHKG bên cạnh ý hình thành thao tác tư khác, cần ý hình thành phép suy luận , kỹ vận dụng phép suy luận để giúp cho học sinh để học tốt HHKG Trong khai thác vận dụng phép tương tự vào trình dạy học HHKG giúp học sinh có khả khai thác kế thừa kiến thức , kỹ HHP vào trình hình thành kiến thức , kỹ HHKG , sớm vượt qua khó khăn để học tốt HHKG Với lý em xin chọn đề tài: “Tương tự hóa, biện pháp khai thác sử dụng tương tự hóa dạy học HHKG lớp 11 THPT” để làm luận văn tốt nghiệp II Mục tiêu đề tài: Tìm hiểu phép suy luận tương tự hóa, loại tương tự hóa, vai trị tác dụng phép suy luận tương tự dạy học HHKG ứng dụng phép tương tự dạy học HHKG III Phương pháp nghiên cứu: - Tìm hiểu suy luận, loại suy luận Suy luận tương tự - Nghiên cứu nội dung HHKG lớp 11 (chương trình nâng cao) , trọng nghiên cứu hệ thống tập HHKG lớp 11 - có khai thác phép tương tự nâng cao chất lượng dạy học HHKG IV Nội dung đề tài A Cơ sở lý luận: Suy Luận số phép suy luận toán học: a Suy luận : Suy luận trình suy nghĩ từ hay nhiều mệnh đề rút mệnh đề Mỗi mệnh đề có gọi tiền đề suy luận Mệnh đề gọi kết luận hay hệ suy luận b Hai loại suy luận : Có hai loại suy luận suy diễn qui nạp ( hay cịn gọi suy đốn ) Qui nạp:là phép suy luận từ riêng tới kết luận chung , từ tổng quát đến tổng quát Suy diễn : suy luận hợp lôgic từ chung đến kết luận cho riêng , từ tổng quát đến tổng quát Tương tự hóa 2.1 Tương tự loại tương tự 2.1.1 Khái niệm suy luận tương tự: Suy luận tương tự phép suy luận từ số thuộc tính giống hai đối tượng để rút kết luận thuộc tính giống khác hai đối tượng Kết luận phép tương tự có tính chất ước đốn Cũng hình thức suy luận logic, tương tự kết việc xây dựng tùy tiện, hình thành q trình hoạt động thực tiễn người Trong trình ấy, người nhận thức rằng, vật tượng hệ thống hoàn chỉnh dấu hiệu liên hệ qua lại với Các dấu hiệu khơng tồn biệt lập mà nằm mối liên hệ tất yếu bên Nếu giải thích mối liên hệ bản, sâu sắc dấu hiệu riêng biệt tác động qua lại với chuyển từ hiểu biết dấu hiệu đối tượng sang hiểu biết dấu hiệu đối tượng khác quan hệ giống với đối tượng Ví dụ: Hai đối tượng A B có thuộc tính chung (giống nhau) a, b, c, d, e Đối tượng A có thuộc tính f Có thể đối tượng B có thuộc tính f 2.1.2 Các loại tương tự: Căn vào dấu hiệu rút kết luận thuộc tính hay quan hệ người ta chia tương tự thành hai loại: -`Tương tự theo thuộc tính - Tương tự theo quan hệ 2.1.3 Giá trị nhận thức tương tự: - Tương tự có vai trò to lớn hoạt động thực tiễn, tương tự xem phương tiện cụ thể hóa khái quát hóa, tương tự xem thủ thuật bổ trợ, phương pháp kho tàng phương pháp nhận thức 2.1.4 Các qui tắc để nâng cao xác xuất kết luận theo tương tự - Các dấu hiệu so sánh có nhiều dấu hiệu chung mức độ xác xuất kết luận cao Vì giống ngẫu nhiên đối tượng so sánh gặp vài dấu hiệu - Các dấu hiệu chung phong phú mức độ xác xuất kết luận cao Vì vật so sánh xem xét đầy đủ hơn, gặp phải dấu hiệu bên ngồi, khơng chất, ngẫu nhiên - Dấu hiệu chất nhiều mức độ xác xuất kết luận cao Vì phát xác mối liên hệ có tính quy luật vật tượng giới khách quan Tuy kết luận tương tự xác xuất không tuyệt đối hóa đặc trưng xác xuất Dựa vào tương tự người ta rút nhiều luận điểm khoa học gần với chân lí 2.2 Suy luận tương tự toán học 2.2.1 Trong toán học người ta thường xét đến vấn đề tương tự khía cạnh, chẳng hạn sau: - Hai phép chứng minh tương tự, đường lối, phương pháp chúng giống - Hai hình tương tự, nội dung chúng có nhiều tính chất giống nhau, vai trò chúng giống hai vấn đề đó, phần tử tương ứng chúng có quan hệ giống Ví dụ 1: Đường thẳng HHP tương tự với mặt phẳng HHKG Vì đường thẳng đường đơn giản HHP, vai trị giống mặt phẳng mặt đơn giản không gian Có số định lý cịn ta thay từ “đường thẳng” từ “mặt phẳng” ngược lại Chẳng hạn, định lý “Nếu hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với nhau”, ta thay từ “đường thẳng” từ “mặt phẳng” ta có định lý quen thuộc HHKG Ví dụ 2: Hình chữ nhật tương tự với hình hộp chữ nhật quan hệ cạnh hình chữ nhật giống quan hệ mặt hình hộp chữ nhật Ta phát biểu mệnh đề cho hai hình: “Mỗi phần tử biên song song với phần tử biên khác phần tử đó; cịn vng góc với phần tử biên lại” Phần tử biên cạnh hình chữ nhật, mặt hình hộp chữ nhật 2.2.2 Vai trị tương tự tốn học: Tốn học mơn khoa học suy diễn Những vấn đề Tốn học trình bày hình thức hoàn chỉnh, bao gồm suy luận diễn dịch Nhưng q trình phát minh, sáng tạo Tốn học, suy diễn gắn với quy nạp tương tự Thường phải dùng quy nạp tương tự để đề giả thuyết, dự đoán định lý, ý chứng minh trước tiến hành chứng minh chi tiết Phép tương tự đóng vai trị quan trọng bước đầu hình thành kiến thức Tốn học Có nhiều lý thuyết Tốn học phát sinh sở phép tương tự; chẳng hạn khái niệm không gian n-chiều từ khái niệm không gian chiều, chiều; hay khái niệm hàm số biến phức từ khái niệm hàm số biến số thực,… Về mặt phương pháp giảng dạy Toán học THPT, phép tương tự giúp học sinh tìm tịi, phát huy sáng kiến, giúp chọn phương pháp chứng minh, giúp thấy liên hệ kiến thức, giúp tổng kết vấn đề Ví dụ, học ba trường hợp đồng dạng tam giác, học sinh thường liên tưởng thấy tương tự với trường hợp tam giác Đặc biệt, HHKG có nhiều định lý phương pháp chứng minh định lý tương tự với định lý HHP Trong trình giải tốn, học sinh gặp tốn có cách giải tương tự toán mà họ làm tốn giải cách nhanh chóng Hoặc giải tốn, có chứng minh tương tự học sinh khơng phải lặp lại lí luận trước, mà trình bày rút gọn: “Tương tự ta chứng minh (hay ta có)…” Hoặc nhiều khi, phép tương tự, từ toán có ta đề nhiều tốn Ví dụ từ tốn: “Nếu cạnh tam giác bất kỳ, phía ngồi ta dựng tam giác tâm tam giác đỉnh tam giác đều”, ta đề toán tương tự: “Nếu cạnh hình bình hành phía ngồi ta dựng hình vng tâm hình vng đỉnh hình vuông” Từ định lý Py-ta-go mặt phẳng ta đề chứng minh định lý Pyta-go không gian: “Trong hình tứ diện có góc tam diện vng đỉnh O Gọi S diện tích mặt đối diện đỉnh O A, B, C diện tích ba mặt xuất phát từ O S  A2  B  C ” Dựa vào tiên đề Ơ-clit mặt phẳng: “Qua điểm nằm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng đó” Ta chứng minh tính chất sau khơng gian: + Tính chất 1: “Trong khơng gian, qua điểm nằm ngồi đường thẳng, có đường thẳng song song với đường thẳng đó” + Tính chất 2: “Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với nhau” Tuy nhiên, ta cần lưu ý kết luận phép tương tự mang tính ước đốn, đưa đến giải sai lầm, cần phải luôn kiểm tra lại, ngăn ngừa suy luận máy móc thường mắc phải Trong lịch sử Tốn học có nhiều nhà Tốn học gặp phải sai lầm phép tương tự; ví dụ Ơ-le suy rộng phép tương tự quy tắc a b  a.b số thực vào số phức từ đến sai lầm a b  a.b a, b số thực dương Vì trình giảng dạy cần lưu ý học sinh phải luôn kiểm tra lại áp dụng phép suy luận tương tự Học sinh thường mắc phải sai lầm sau: ac a  (!) ; bc b a2  b2  a  b (!) ; log(a  b)  log a  log b (!); Các sai lầm thường xuất phát chỗ học sinh lầm tưởng biến đổi tương tự phép biến đổi sau: a.c a  ; b.c b a2 b2  a  b ; log(a.b)  log a  log b ; Hơn suy luận tương tự gắn bó chặt chẽ với phép suy luận khác toán học 2.2.3 Quan hệ tương tự với phép suy luận khác : Một số phép suy luận toán học thường dùng: phép quy nạp, phép tương tự, phép đặc biệt hóa, khái quát hóa,… Các phép suy luận quy nạp, tương tự, đặc biệt hóa,… phép suy luận dựa vào thực nghiệm Tìm tịi, mở rộng, đào sâu, kiểm tra hệ thống hóa kiến thức, đề nêu lên giả thuyết Trong học tập,trong nghiên cứu, sáng tạo toán học phép suy luận thực nghiệm thường sử dụng gắn bó với Phép quy nạp phát quy luật liên hệ ẩn giấu dằng sau tượng nhận xét bề ngồi Về mặt đó, phép khái qt phép quy nạp khơng hồn tồn phép khái qt khác với phép quy nạp khơng hồn tồn chỗ: phép quy nạp khơng hồn tồn từ số trường hợp riêng để rút quy luật chung cho trường hợp, cịn phép khái qt, từ đối tượng sang nhóm đối tượng có chứa đối tượng Hơn nữa, phép quy nạp khơng hồn tồn từ số đối tượng để rút kết luận chung cho tập hợp có chứa đối tượng phần tử tập hợp giống đối tượng đó, cịn phép khái qt từ nhóm hẹp đối tượng sang nhóm đối tượng quan trọng bao hàm nhóm đối tượng Trong trình thực phép quy nạp khơng hồn tồn hay phép quy nạp hồn tồn ta từ cá biệt đến cá biệt khác, phép tương tự lặp lặp lại nhiều lần, cuối phép khái quát rút kết luận Vì vậy, người ta thường nói, phương tiện phép quy nạp phép cá biệt, phép tương tự phép khái quát Ngược lại, thực phép khái quát ta, dùng đến phép quy nạp (đi từ trường hợp riêng đến trường hợp chung) Phép quy nạp từ trường hợp riêng đến trường hợp riêng khác cuối đến trường hợp chung Thế “phép tương tự dùng phép quy nạp” (P.M.Ecdonhiep), phép tương tự từ trường hợp riêng đến trường hợp riêng khác Cịn phép cá biệt có tác dụng kiểm nghiệm lại kết luận phép khái quát phép quy nạp Tương tự hóa với khái quát hóa đặc biệt hóa Ở xét phép tương tự chuyển từ trường hợp riêng sang trường hợp riêng khác tổng quát Ví dụ xét mệnh đề sau: (a) Tổng hai số dương lớn số hạng (b) Tổng ba số dương luôn lớn số hạng (c) Tổng n số dương luôn lớn số hạng Việc chuyển từ (a) (b) sang (c) khái qt hóa; cịn việc chuyển từ (a) sang (b) ngược lại phép tương tự Phép tương tự theo nghĩa gần gũi với khái quát hóa Phép tương tự coi tiền thân khái quát hóa, việc chuyển từ trường hợp riêng sang trường hợp riêng khác tổng quát bước để tới trường hợp riêng khác tổng quát Nhiều ta có hình dung định chung chưa có hiểu biết đầy đủ mà đưa trường hợp riêng lẻ coi đại biểu chung Vì số trường hợp đặc biệt, ta coi thực phép tương tự biểu khái quát hóa Khai thác mối liên hệ tương tự khái quát hóa nhiều trường hợp ta sử dụng phép tương tự tiền thân phép khái quát hóa, coi biểu khái quát hóa, ta nhận thức tổng quát cách đầy đủ Khái quát hóa, đặc biệt hóa tương tự hóa thường kết hợp cách tự nhiên với trình giải vấn đề Tốn học Có thể khơng có phát minh Toán học sơ cấp cao cấp hay lĩnh vực nào, ta khơng dùng phép suy luận Từ trường hợp riêng khái quát hóa tiến lên tình tổng qt từ đặc biệt hóa , ta trở lại trường hợp tương tự Ví dụ: Trong giảng dạy định lí: “Đường thẳng song song với cạnh tam giác tạo thành với hai cạnh tam giác thứ hai có độ dài ba cạnh tỉ lệ với độ dài ba cạnh tam giác thứ nhất.” Để chứng minh định lí này, ta phải xét ba trường hợp: đường thẳng tam giác, đường thẳng tam giác đường thẳng tam giác Đầu tiên ta dùng phép cá biệt (đặc biệt hóa), sau áp dụng phép tương tự sau khái quát kết luận cho trường hợp.Một trường hợp tổng quát tương đương mặt logic với trường hợp đặc biệt B Một số liên hệ HHP HHKG HHP HHKG có điểm tương chúng mơn hình học nghiên cứu bất biến Ơclit (đối với nhóm phép dời hình) Chẳng hạn như: đường thẳng 1-phẳng không gian chiều, mặt phẳng 2-phẳng không gian chiều, đoạn thẳng, tam giác, tứ diện đơn hình hình học Aphin Trong trình dạy học phổ thông chuyển việc nghiên cứu HHP sang HHKG thường nảy sinh việc so sánh hình mặt phẳng với hình khơng gian Từ khái niệm , tập phẳng ta mở rộng cho lý thuyết tập tương tự không gian Chẳng hạn khái niệm tính chất tương tự HHP HHKG sau : HHP HHKG tam giác tứ diện cạnh mặt độ dài cạnh diện tích mặt trọng tâm tam giác trọng tâm tứ diện trung tuyến tứ diện (trọng trung tuyến tam giác tuyến tứ diện ) tam giác vng tứ diện vng đường trịn ngoại tiếp tam giác mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đường tròn nội tiếp tam giác mặt cầu nội tiếp tứ diện đường phân giác góc mặt phẳng phân giác nhị diện hình vng hình lập phương hình bình hành hình hộp hình chữ nhật hình hộp chữ nhật Từ mối liên hệ tương tự HHP HHKG ta thường vận dụng kiến thức HHP vào việc giải toán HHKG Hơn ta có tính chất thừa nhận HHKG Tính chất thừa nhận số 5: Trong mặt phẳng, kết biết HHP 10 Bài toán HHP tương tự cần khai thác: Trong ABC với BC  a, CA  b, AB  c thì: a b c   sin A sin B sin C 4.2.2 Dựa sở dấu hiệu tương tự toán HHP toán HHKG, khai thác tốt lời giải toán phẳng , để giải tập HHKG theo cách phân chia toán HHKG thành nhiều toán phẳng phận Mục đích: Phần ta nghiên cứu đề xuất cách hướng dẫn học sinh tìm dấu hiệu tương tự toán HHKG cần giải với toán biết HHP biết , từ tìm lời giải cho tốn HHKG theo hướng quy toán phận tốn HHP Ví dụ 1(Bài tập 37 trang 68 SGK): Cho hình hộp ABCD A' B'C ' D' Chứng minh rằng: ' a) mp(BDA' ) / / mp(B' DC ) b)Đường chéo AC ' qua trọng tâm G1, G2 hai tam giác BDA' B ' D 'C c) G1, G2 chia đoạn AC ' thành ba phần Giải: A B O D C G1 G B' A' O' D' C' 40 a)Ta có A' B'CD hình bình hành ( A' B' / /CD A' B'  CD ) nên ta : A' D / /CB ' (1) Lại có A' BCD' hình bình hành ( A' D' / / BC A' D'  BC ) nên ta : A' B / /CD ' (2) Mà A' D A' B cắt nằm (BDA' ) ; CB' CD' cắt ' nằm (B' DC ) ' Nên từ (1) (2) ta có : (BDA' ) / /(B' DC ) b)Để chứng minh đường chéo AC ' qua trọng tâm G1, G2 hai tam giác BDA' B ' D 'C ta xét mặt phẳng ( ACC' A' ) Trong mặt phẳng ( ACC' A' ) nối A 'O cắt AC ' G1 ; nối CO ' cắt AC ' G2 Suy G1 giao điểm AC ' (BDA' ) G2 giao điểm AC ' ' ( B' DC ) A O C G1 I G2 A' O' C' Gọi I tâm hình bình hành ACC ' A' Ta có : OI / / AA' (OI đường trung bình)  Mà : OG1 OI  ( OI / / AA' ) A ' G1 AA ' 41 OI OC   AA ' AC Nên : OG1   A ' G1  A ' O A ' G1 Vậy G1 trọng tâm tam giác BDA' Tương tự ta chứng minh G2 trọng tâm tam giác B ' D 'C c) Để chứng minh G1, G2 chia đoạn AC ' thành ba phần ta xét mặt phẳng ( ACC' A' ) Xét ACG2 có OG1 / /CG2  OG1 OA 1    AG1  AG2 CG2 AC 2 Mà : AG1  GG  AG2 Suy : AG1  G1G2  AG2 ' ' Tương tự xét AC G1 ta chứng minh C 'G1  G1G2 Vậy AG1  G1G2  C'G1 Ví dụ : Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc a Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn b Chứng minh : 1 1 (H hình chiếu O (ABC))  2 2 OH OA OB OC Giải : O A C H M B 42 a Ta có : BC  OC  OB ( OBC vuông O) Ta xét tam giác OAC vuông O nên : OC  AC  OA2 Tam giác OAB vuông O nên : OB  AB  OA2 Suy BC  AC  OA2  AB2  OA2  AC  AB2 Tương tự ta chứng minh : AC  BC  AB2 AB2  BC  AC Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn b Ta có OA  OB; OA  OC OB, OC cắt nằm (OBC) nên OA  (OBC )  OA  OM (OM  (OBC )) Suy OAC vuông O Nên : 1 (1)  2 OH OA OM Xét OBC vuông O nên : Từ (1) (2) ta : 1 (2)   2 OM OB OC 1 1  2 2 OH OA OB OC Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có tâm hình cầu ngoại tiếp O Mặt phẳng ( ) vng góc với bán kính OD cắt DA; DB; DC M ; N ; P Chứng minh rằng: A; B; C; M ; N ; P nằm mặt cầu Giải: D P N I H K M O C B A Giả sử K tâm đường tròn ngoại tiếp DAB O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên OK  ( DAB) 43 Mà: MN  ( DAB) nên MN  OK Ta lại có: MN  DO (do DO  ( ) ) Suy ra: MN  ( DOK )  MN  DK Ta cần phải chứng minh ABMN nội tiếp đường tròn Ta xét mặt phẳng ( ABD) D x M N H K A B Dựng tiếp tuyến Dx đường tròn ( K ) D  Dx  KD · · Suy ra: MN / / Dx  NMD (so le trong)  MDx · · Mà: DBA ADx (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn cung) · · Nên: NMD  DBA · ·  NMA · · Ta lại có: NMD  NMA  180o (kề bù)  DBA  180o ·  NMA · Hay NBA  180o Vậy BCNM nội tiếp Tương tự ta chứng minh BCNP nội tiếp đường tròn Hai đường tròn nằm hai mặt phẳng phân biệt, có dây cung chung BN nên chúng nằm mặt cầu Vậy sáu điểm A; B; C; M ; N ; P nằm mặt cầu 44 Bài tập đề nghị : Bài tập 1: (Bài 25 trang 55 SBT) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy tứ giác lồi Gọi M, N, E, F trung điểm cạnh bên SA, SB, SC, SD Chứng minh : a ME / / AC, NF / / BD b Ba đường thẳng ME, NF SO (O giao điểm AC BD) đồng quy Bài tập :(Bài 76 trang 65 SBT) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ( AD / / BC, AD  BC ) Gọi M, N, E trung điểm AB, CD, SA a Chứng ming : MN / /(SBC );(MEN ) / /(SBC) b Trong tam giác SAD vẽ EF / / AD( F  SD) Chứng minh F giao điểm mặt phẳng (MNE ) với SD Từ suy thiết diện hình chop cắt mặt phẳng (MNE) hình gì? c Chứng minh SC / /(MNE ) Bài tập 3:(Bài 21 trang 118 SBT) Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, K, H trung điểm BC, AC, AD, BD Hãy tính góc hai đường thẳng AB CD trường hợp sau: a Tứ giác IJKH hình thoi có đường chéo IH 3IJ b Tứ giác IJKH hình chữ nhật 4.3 Hướng dẫn học sinh giải tự tìm tịi tốn tương tự tốn biết (trong HHKG) Mục đích: Phần ta nghiên cứu đề xuất cách hướng dẫn học sinh từ việc nghiên cứu lời giải tập có , tìm giải tập tương tự Sau số ví dụ : Ví dụ 1: Các tốn sau có phương pháp giải tương tự nhau: Bài tốn 1: Cho hình chóp S.ABCD; ABCD hình thoi SA  SC Chứng minh AC  (SBD) Giải: 45 S D C O A B Ta có: AC  BD (1) ( ABCD hình thoi) Gọi O tâm hình thoi ABCD ta có : AC  SO ( 2) (tam giác SAC cân nên trung tuyến đường cao) Mà SO BD cắt nằm (SBD) nên: AC  (SBD) Bài tốn : Cho hình chóp S.ABCD ; ABCD hình bình hành tam giác SAB vuông A ; tam giác SCD vuông D Chứng minh : AB  (SAD) Giải : S D C A B Ta có : AB  SA (do SAB vng A) Ta có : CD  SD    AB  SD AB / /CD  Mà : SA SD cắt nằm mp (SAD) nên : AB  (SAD) Các tập tương tự : Bài tập : Cho tứ diện ABCD (tất cạnh nhau) Chứng minh AB  CD 46 ·  90o BH đường cao Bài tập : Cho tứ diện ABCD có AB  ( BCD) ; BCD tam giác ABC Chứng minh tam giác BHD vuông Bài tập : Cho tứ diện ABCD có AB  ( BCD) ; BCD tam giác ; I trung điểm BD ; CH đường cao tam giác ACD ( H  AD ) Chứng minh tứ giác ABIH nội tiếp Ví dụ : Các tốn sau có phương pháp chứng minh tương tự : Bài tốn : Cho điểm S nằm ngồi mặt phẳng hình bình hành ABCD Gọi M N trung điểm SA SB Chứng tỏ MN / /(SCD) Giải : S M N A D B C Ta có MN / / AB (MN đường trung bình SAB ) Mà : CD / / AB (ABCD hình bình hành)  MN / /CD Ta lại có : CD  (SCD) nên MN / /(SCD) Bài toán : Cho tứ diện SABC Gọi M N trung điểm AB SB Chứng tỏ SA / /(CMN ) Xác định giao tuyến mặt phẳng (CMN ) với mặt phẳng ( SAC ) Giải: S d N A C M B 47 Ta có : SA / / MN (MN đường trung bình SAB ) Mà: MN  (CMN ) Nên : SA / /(CMN ) Hai mặt phẳng ( SAC ) (CMN ) có điểm C chung chứa SA / / MN nên giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng d qua C song song với SA Bài tập tương tự : Cho tứ diện ABCD Gọi G1, G2 trọng tâm tam giác ACD BCD Chứng tỏ G1G2 / /(CAB) Ví dụ : Các tốn sau có phương pháp chứng tương tự : Bài toán : Cho tứ diện ABCD Từ điểm M AC dựng mặt phẳng (α) song song với AB CD Mặt phẳng cắt BC, BD, AD N, P Q a Tứ giác MNPQ hình ? b Giả sử AB  CD MNPQ hình ? Tính diện tích MNPQ biết AM  x, AB  AC  CD  a Tính x để diện tích lớn Giải : A Q M D B P N C a Mặt phẳng (α) song song với AB nên (α) cắt hai mặt phẳng chứa AB ( ABC ),( ABD) theo hai giao tuyến MN / / PQ / / AB Tương tự (α) / / CD nên cắt hai mặt phẳng ( ACD),( BCD) theo hai giao tuyến MQ / / NP / /CD 48 Vậy MNPQ hình bình hành b Nếu AB  CD MN  MQ suy MNPQ hình chữ nhật Ta có : MN / / AB  MN CM   MN  CN  a  x (vì AB  AC  a ) AB CA MQ / /CD  MQ AM   MQ  AM  x (vì CD  AC  a ) CD AC Vậy : SMNPQ  MN.MQ  x(a  x)  xax a Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có : x(a  x)       Vậy Smax  a2 a , dấu "  " xảy x  a  x hay x  Bài toán : Cho điểm S nằm ngồi mặt phẳng hình bình hành ABCD Gọi M N trung điểm AD BC Mặt phẳng α qua MN song song với SD cắt hình chóp ABCD theo hình ? Giải : S P Q A B M N D C Mặt phẳng α / / SD nên α cắt (SCD) theo giao tuyến MQ / / SD Hai mặt phẳng α (SAB) có điểm Q chung chứa hai đường thẳng song song MN AB nên giao tuyến chúng PQ / / MN / / AB Tứ giác MNPQ có PQ / / MN nên MNPQ hình thang 49 Các tập tương tự : Bài tập : Cho điểm S nằm ngồi mặt phẳng hình thoi ABCD cạnh a cho tam giác SAD tam giác Từ điểm M đoạn AB ta dựng mặt phẳng α song song với SA BC Mặt phẳng α cắt CD, SC, SB N, P, Q a Tứ giác MNPQ hình ? b Tính diện tích MNPQ theo a x, ( x  AM ) c Tìm tập hợp giao điểm I MQ NP M di chuyển từ A đến B Bài tập : Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm CA CB Điểm M di động đoạn BD Mặt phẳng (IJM) cắt AD N a Chứng minh IJMN thông thường hình thang Định vị trs M để IJMN hình bình hành b Tìm tập hợp giao điểm K IM JN M di động từ B đến D c Giả sử cạnh tứ diện a đặt BM  x (0  x  a) Tính diện tích IJMN theo x a Bài tập : Cho tứ giác ABCD AB CD cắt E, AD BC cắt F Điểm S mặt phẳng tứ giác Một mặt phẳng α qua điểm M (M  SA) cắt SB , SC ,SD N, P, Q a Chứng minh α song song với SE SF MNPQ hình thang b Nếu α song song với SE SF MNPQ hình ? Bài tập đề nghị : Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình chữ nhật SA  ( ABCD) AE AF đường cao tam giác SAB SAD Chứng minh SC  ( AEF ) Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình chữ nhật SA  SC ; SB  SD Chứn minh : CD  (SIJ ) (I, J trung điểm AB CD) Bài tập : Cho hình chóp S.ABC ; ABC hình vng A ; SH  ( ABC ) H thuộc cạnh AC thỏa SH  HA.HC Chứng minh : SC  (SAB) 50 D Kết luận: Từ trình nghiên cứu phép suy luận tương tự, vai trò ứng dụng phép tương tự dạy học HHKG lớp 11, em xin rút số kết luận sau: - Dạy học HHKG đòi hỏi liên tưởng , kế thừa kiến thức học HHP, khai thác mối liên hệ tương tự HHKG HHP giúp trình dạy học HHKG có cách dễ tiếp cận lí thú nhờ khai thác sử dụng phép tương tự - Việc rèn luyện cho học sinh phép suy luận logic : khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa,… vơ cần thiết giảng dạy - Luận văn trình bày khái niệm, chất, vai trò suy luận tương tự đời sống Toán học đặc biệt q trình sử dụng tương tự hóa dạy học HHKG - Luận văn nêu số biện pháp vận dụng suy luận tương tự dạy học HHKG Mong luận văn góp phần nhỏ việc giảng dạy tốt HHKG THPT Vì kinh nghiệm trình độ cịn hạn chế nên Luận văn cịn sơ sài cịn nhiều thiếu sót Kính mong thầy cô bỏ qua bảo thêm để Luận văn hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn 51 E Tài liệu tham khảo Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân, Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo Dục Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân, Sách tập Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo Dục Khoa Thị Loan, Vận dụng phép suy luận tương tự dạy học tập HHKG lớp 11 theo hướng phát triển tư sáng tạo cho học sinh, Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học Đào Chí Thanh, Rèn luyện tư giải Tốn HHKG cho học sinh thơng qua mối liên hệ HHP HHKG, Sáng kiến kinh nghiệm trường THPT chuyên Vĩnh Phúc www.wattpad.com: Suy luận quy nạp tương tự www.VNMATH.com: Liên hệ HHP HHKG www.KiloBooks.com: Khai thác vận dụng tương tự hóa dạy học HHKG lớp 11 THPT www.TaiLieu.vn: Suy luận Toán học www.Kenh14.vn: Đương đầu với HHKG 52 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: II Mục tiêu đề tài: III Phương pháp nghiên cứu: IV Nội dung đề tài .3 A Cơ sở lý luận: Suy Luận số phép suy luận toán học: Tương tự hóa 2.1 Tương tự loại tương tự .3 2.1.1 Khái niệm suy luận tương tự: 2.1.2 Các loại tương tự: 2.1.3 Giá trị nhận thức tương tự: 2.1.4 Các qui tắc để nâng cao xác xuất kết luận theo tương tự 2.2 Suy luận tương tự toán học 2.2.1 Trong toán học người ta thường xét đến vấn đề tương tự khía cạnh, chẳng hạn sau: 2.2.2 Vai trò tương tự toán học: 2.2.3 Quan hệ tương tự với phép suy luận khác : B Một số liên hệ HHP HHKG 10 C Vận dụng suy luận tương tự dạy học HHKG trường trung học phổ thông (THPT) 11 Những yêu cầu dạy học HHKG 11 Nội dung HHKG – Hình học lớp 11 THPT( chương trình nâng cao) 12 Một số khó khăn học sinh học HHKG .13 Một số biện pháp vận dụng tương tự hóa dạy học HHKG THPT .14 4.1 Hướng dẫn học sinh tìm dấu hiệu tương tự khái niệm, tính chất, định lý HHP HHKG .14 53 4.2 Bằng biện pháp tương tự hóa hướng dẫn học sinh tìm hướng giải toán HHKG , dựa vào toán HHP biết .16 4.2.1 Giúp học sinh phân tích lời giải toán tương tự HHP biết, vận dụng lời giải tốn tương tự để tìm lời giải cho toán cần giải 16 4.2.2 Dựa sở dấu hiệu tương tự toán HHP toán HHKG, khai thác tốt lời giải toán phẳng , để giải tập HHKG theo cách phân chia toán HHKG thành nhiều toán phẳng phận 40 4.3 Hướng dẫn học sinh giải tự tìm tịi toán tương tự toán biết (trong HHKG) 44 D Kết luận: 51 E Tài liệu tham khảo 52 54 ... , kỹ HHKG , sớm vượt qua khó khăn để học tốt HHKG Với lý em xin chọn đề tài: ? ?Tương tự hóa, biện pháp khai thác sử dụng tương tự hóa dạy học HHKG lớp 11 THPT? ?? để làm luận văn tốt nghiệp II... đề tài: Tìm hiểu phép suy luận tương tự hóa, loại tương tự hóa, vai trị tác dụng phép suy luận tương tự dạy học HHKG ứng dụng phép tương tự dạy học HHKG III Phương pháp nghiên cứu: - Tìm hiểu suy... khó khăn biện pháp sư phạm cần có , nhằm dạy học tốt kiến thức HHKG Trong nội dung ta tập trung vào việc vận dụng tương tự hóa day học HHKG , xem biện pháp cần triệt để khai thác sử dụng Sau