11 dạng toán về Phương trình đường thẳng

Để giúp ích cho việc làm bài kiểm tra, nâng cao kiến thức của bản thân, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu 11 dạng toán về Phương trình đường thẳng bao gồm nhiều dạng toán về phương trình đường thẳng giúp bạn nâng cao khả năng tính toán, rèn luyện kỹ năng giải bài tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Chúc các bạn thi tốt!

11 DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I Tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳng Vectơ pháp tuyến phương trình tổng quát đường thẳng a) Vectơ pháp tuyến đường thẳng - Cho đường thẳng (d), vectơ vng góc với (d) * Nhận xét: Nếu gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) (d) giá vectơ pháp tuyến (d) VTPT (d) b) Phương trình tổng quát đường thẳng * Định nghĩa - Phương trình (d): ax + by + c = 0, a b không đồng thời tức (a + b2 ≠ 0) phương trình tổng quát đường thẳng (d) nhận vectơ pháp tuyến * Các dạng đặc biệt phương trình đường thẳng - (d): ax + c = (a ≠ 0): (d) song song trùng với Oy - (d): by + c = (b ≠ 0): (d) song song trùng với Ox - (d): ax + by = (a2 + b2 ≠ 0): (d) qua gốc toạ độ - Phương trình dạng đoạn chắn: ax + by = nên (d) qua A (a;0) B(0;b) (a,b ≠ 0) - Phương trình đường thẳng có hệ số góc k: y= kx+m (k gọi hệ số góc đường thẳng) Vectơ phương phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng a) Vectơ phương đường thẳng - Cho đường thẳng (d), vectơ gọi vectơ phương (VTCP) (d) giá song song trùng với (d) * Nhận xét: Nếu vectơ phương (d) VTPT vng góc với nhau, (d) có VTCP VTCP (d) VTCP VTPT (d) b) Phương trình tham số đường thẳng: * có dạng: ; (a2 + b2 ≠ 0) đường thẳng (d) qua điểm M0(x0;y0) nhận làm vectơ phương, t tham số * Chú ý: - Khi thay t ∈ R vào PT tham số ta điểm M(x;y) ∈ (d) - Nếu điểm M(x;y) ∈ (d) có t cho x, y thoả mãn PT tham số - đường thẳng có vơ số phương trình tham số (vì ứng với t ∈ R ta có phương trình tham số) c) Phương trình tắc đường thẳng * có dạng: ; (a,b ≠ 0) đường thẳng (d) qua điểm M0(x0;y0) nhận làm vectơ phương d) Phương trình đường thẳng qua điểm - Phương trình đường thẳng qua điểm A(x A;yA) B(xB;yB) có dạng: + Nếu: đường thẳng qua AB có PT tắc là: + Nếu: xA = xB: ⇒ AB: x = xA + Nếu: yA = yB: ⇒ AB: y = yA e) Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng - Cho điểm M(x0;y0) đường thẳng Δ: ax + by + c = 0, khoảng cách từ M đến Δ tính theo cơng thức sau: Vị trí tương đối đường thẳng - Cho đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0; (d2): a2x + b2y + c =0; + d1 cắt d2 ⇔ + d1 // d2 ⇔ và + d1 ⊥ d2 ⇔ * Lưu ý: a2.b2.c2 ≠ thì: - Hai đường thẳng cắt nếu: - Hai đường thẳng // nếu: - Hai đường thẳng ⊥ nếu: II Các dạng tốn phương trình đường thẳng Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng biết vectơ pháp tuyến điểm thuộc đường thẳng Ví dụ: Viết PT tổng quát đường thẳng (d) biết (d): qua điểm M(1;2) có VTPT = (2;-3) * Lời giải: Vì (d) qua điểm M(1;2) có VTPT = (2;-3) ⇒ PT tổng quát đường thẳng (d) là: 2(x-1) - 3(y-2) = ⇔ 2x - 3y +4 = Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng biết vectơ phương điểm thuộc đường thẳng Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) qua điểm M(-1;2) có VTCP = (2;-1) * Lời giải: Vì đường thẳng qua M (1 ;-2) có vtcp = (2;-1) ⇒ phương trình tham số đường thẳng : Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng: a) qua M(3;2) //Δ: b) qua M(3;2) //Δ: 2x - y - = * Lời giải: a) Đường thẳng Δ có VTCP qua M(3;2) = (2;-1) (d) // Δ nên (d) nhận = (2;-1) VTCP, (d) ⇒ PT đường thẳng (d) là: b) đường thẳng Δ: 2x – y – = có vtpt là VTPT (d) = (2;-1) Đường thẳng (d) //Δ nên ⇒ PT (d) qua điểm M(3;2) có VTPT = (2;-1) là: 2(x-3) - (y-2) = ⇔ 2x - y -4 = = (2;-1) Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d): a) qua M(-2;3) ⊥ Δ: 2x - 5y + = b) qua M(4;-3) ⊥ Δ: * Lời giải: a) Đường thẳng Δ: 2x - 5y + = nên Δ có VTPT =(2;-5) (d) vng góc với Δ nên (d) nhận VTPT Δ làm VTCP ⇒ ⇒ PT (d) qua M(-2;3) có VTCP b) Đường thẳng Δ có VTCP ⇒ = (2;-1) = (2;-5) = (2;-5) là: = (2;-1), d⊥ Δ nên (d) nhận VTCP ⇒ Vậy (d) qua M(4;-3) có VTPT 11 = làm VTPT = (2;-1) có PTTQ là: 2(x-4) - (y+3) = ⇔ 2x - y - Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng qua điểm - Đường thẳng qua điểm A B đường thẳng qua A nhận nhận vectơ làm vectơ phương (trở dạng tốn 2) Ví dụ: Viết PTĐT qua điểm A(1;2) B(3;4) * Lời giải: - Vì (d) qua điểm A, B nên (d) có VTCP là: = (3-1;4-2) = (2;2) ⇒ Phương trình tham số (d) là: Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng qua điểm có hệ số góc k cho trước - (d) có dạng: y = k(x-x0) + y0 Ví dụ: Viết PTĐT (d) qua M(-1;2) có hệ số góc k = 3; * Lời giải: - PTĐT (d) qua M(-1;2) có hệ số góc k = có dạng: y = k(x-x0) + y0 ⇒ Vậy PTĐT (d) là: y = 3(x+1) + ⇔ y = 3x + Dạng 7: Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng - Trung trực đoạn thẳng AB đường thẳng qua trung điểm I đoạn thẳng nhận vectơ làm VTPT (trở dạng toán 1) Ví dụ: Viết PTĐT (d) vng góc với đường thẳng AB qua trung tuyến AB biết: A(3;-1) B(5;3) * Lời giải: - (d) vng góc với AB nên nhận = (2;4) làm vectơ pháp tuyến - (d) qua trung điểm I AB, I có toạ độ: xi = (xA+xB)/2 = (3+5)/2 = 4; yi = (yA+yB)/2 = (-1+3)/2 = 1; ⇒ toạ độ I(4;1) ⇒ (d) qua I(4;1) có VTPT (2;4) có PTTQ là: 2(x-4) + 4(y-1) = ⇔ 2x + 4y -12 = ⇔ x + 2y - = Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng qua điểm tạo với Ox góc ∝ cho trước - (d) qua M(x0;y0) tạo với Ox góc ∝ (00 < ∝ < 900) có dạng: y = k(x-x0) + y0 (với k = ±tan∝ Ví dụ: Viết PTĐT (d) biết (d) qua M(-1;2) tạo với chiều dương trục Ox góc 450 * Lời giải: - Giả sử đường thẳng (d) có hệ số góc k, vây k cho bở công thức k = tan∝ = tan(450) = ⇒ PTĐT (d) qua M(-1;2) có hệ số góc k = là: y = 1.(x+1) + ⇔ y = x + Dạng 9: Tìm hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng * Giải sử cần tìm hình chiếu H điểm M lên đường thẳng (d), ta làm sau: - Lập phương trình đường thẳng (d') qua M vng góc với (d) (theo dạng tốn 4) - H hình chiếu vng góc M lên (d) ⇒ H giao (d) (d') Ví dụ: Tìm hình chiếu điểm M(3;-1) lên đường thẳng (d) có PT: x + 2y - = * Lời giải: - Gọi (d') đường thẳng qua M vng góc với (d) - (d) có PT: x + 2y - = nên VTPT (d) là: = (1;2) - (d') ⊥ (d) nên nhận VTPT (d) VTCP ⇒ =(1;2) - PTĐT (d') qua M(3;-1) có VTCP (1;2) là: - H hình chiếu M H giao điểm (d) (d') nên có: Thay x,y từ (d') PT (d): (3+t) + 2(-1+2t) - = ⇔ 5t - = ⇔ t =1 ⇒ x = 4, y = toạ độ điểm H Dạng 10: Tìm điểm đối xứng điểm qua đường thẳng * Giải sử cần tìm điểm M' đối xứng với M qua (d), ta làm sau: - Tìm hình chiếu H M lên (d) (theo dạng toán 9) - M' đối xứng với M qua (d) nên M' đối xứng với M qua H (khi H trung điểm M M') Ví dụ: Tìm điểm M' đối xứng với M(3;-1) qua (d) có PT: x + 2y - = * Lời giải: - Đầu tiên ta tìm hình chiếu H M(3;-1) lên (d) Theo ví dụ dạng ta có H(4;1) - Khi H trung điểm M(3;-1) M'(xM';yM'), ta có: ; ⇒ xM' = 2xH - xM = 2.4 - = ⇒ yM' = 2yH - yM = 2.1 - (-1) = ⇒ Điểm đối xứng M(3;-1) lên (d): x + 2y - = M'(5;3) Dạng 11: Xác định vị trí tương đối đường thẳng - Để xét vị trí đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0; (d2): a2x + b2y + c =0; ta giải hệ phương trình: (*) _ Hệ (*) vô nghiệm ⇒ d1 // d2 _ Hệ (*) vô số nghiệm ⇒ d1 ≡ d2 _ Hệ (*) có nghiệm ⇒ d1 cắt d2 nghiệm toạ độ giao điểm Ví dụ: Xét vị trí tương đối đường thằng a) d1: x + y - = 0; d2: 2x + y - = b) d1: x + 2y - = 0; d2: * Lời giải: a) Số giao điểm d1 d2 số nghiệm hệ phương trình - Giải hệ PT ta nghiệm x = 1; y =1 b) Từ PTĐT d2 ta có x = 1-4t y = 2+2t thay vào PTĐT d1 ta được: (1-4t) + 2(2+2t) - = ⇔ = ⇒ đường thẳng trùng (có vơ số nghiệm)  ... đường thẳng cắt nếu: - Hai đường thẳng // nếu: - Hai đường thẳng ⊥ nếu: II Các dạng tốn phương trình đường thẳng Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng biết vectơ pháp tuyến điểm thuộc đường thẳng. .. (1 ;-2) có vtcp = (2;-1) ⇒ phương trình tham số đường thẳng : Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng: a) qua... Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng biết vectơ phương điểm thuộc đường thẳng Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) qua điểm M(-1;2) có VTCP = (2;-1) * Lời giải: Vì đường thẳng qua