Bat dang thuc

Chuyªn ®Ò chøng minh bÊt thøc PhÇn I.[r]

Chuyên đề chứng minh bất thức Phần I kiến thức bản.

1-§inhnghÜa

0

A B A B

A B A B

   

 

   



2.Các tính chất bất đẳng thức :

1 ab,cd acbd a b an bn

    ab,cd a cb d a b an bn

 

 n ch½n

3 ab,c0 acbc a b an bn

 

 n ch½n

4 ab,c0 acbc

n n n

n

n n

b a a

b a a

b a a

n m

      

    

1 ;

1 ,

5 ab0,cd0 acbd 10

b a ab

b

a , 0 11

3.Một số bất đẳng thức

1 A2  víi  A ( dÊu = x¶y A = )

4 A B A  B ( dÊu = x¶y A.B > 0)

2 A 0 víi A (dÊu = x¶y A = )

3 A < A = A A B A  B ( dÊu = x¶y

khi A.B < 0)

4.Bất đẳng thức Cô-si:

*ĐL:Trung bình cộng n số khơng âm lớn hoắc trung bình nhân n số

n

n

n a a a a

n

a a

a a

3

2

    

,( a1.a2.a3 an không âm )

Du ng thức xảy a1 a2 a3  an

*Dạng đơn giản:

3 ;

2 abc

c b a ab b a

   



3.Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cpx-ki:

*Cho n cặp số a1,a2,a3, ,an;b1,b2,b3, ,bn, ta cã:

) )(

(

) , ,

( 12 22 32 12 22 32

3 2

1b a b a b anbn a a a an b b b bn

a           

DÊu “=” x¶y

n n

b a b

a b a b a

  



3 2 1

*Dạng đơn giản; (a1b1 a2b2)2 (a12 a22)(b12 b22) *Biến dạng: (a c)2 (b d)2 a2 b2 c2 d2

      

4.Một số bất đẳng thức đ ợc áp dụng:

2 1

  x

x 10

ab b

b a

a

   



2

1 2

2



 

 

 a b c a b c z

a b

a a

, ,

; 11

1

1

1

0

   

         

ab a bc

a

bc ac

ab c

b a

3

4 1 )

( 

  

 

 

b a b

a ;( ) 1 19

  

 

   

c b a c b

a 12

2 1 ) (

4a  a  a   a

 

 2

2

; 2

4

b a ab b a b a

ab ab

b a

  

   

 13

xy y

x    



2

1

1

2

5 2 2

2

2 

      b a b

a ;

2

2  

a a

a 14

a c b a c b

a

2    

6

ab b a

     

 

2 hay a b 4ab

 

15

0 , ; 1

 



 a b

b a b a

7

2  

a b b a

;

b a ab ab

b a

  



 2 16 2

) (

4

1

y x y

x  

8 ab 2(ab) 17

) (

2

1

k k

k k

k k

k     

  

9

) (

2 2

1

      

 k k

k k k k k

18

PhÇn II Một số ph ơng pháp bản.

Ph ơng pháp : dùng định nghĩa

KiÕn thøc : §Ĩ chøng minh A > B

Ta chøng minh A - B >

Lu ý dùng bất đẳng thức M2  với M

VÝ dô 1  x, y, z chøng minh r»ng : a) x2 + y2 + z2  xy+ yz + zx

b) x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz c) x2 + y2 + z2+3  (x + y + z)

Lêi gi¶i: a) Ta xÐt hiƯu x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx =

2

.2 ( x2 + y2 + z2- xy – yz – zx) =

=

( )2 ( )2 ( )2

 

  

 y x z y z

x với x;y;zR Vì (x-y)2 0 vớix ; y dấu xảy

ra x=y (x-z)2 0 víix ; z DÊu b»ng x¶y x=z (y-z)2 0 víi z; y, dÊu b»ng x¶y

VËy x2 + y2 + z2  xy+ yz +zx, dÊu b»ng x¶y x = y =z

b)Ta xÐt hiÖu: x2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2 - 2xy +2xz –2yz =( x –

y + z)2 0 với x;y;z Vậy x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz với x;y;zR Dấu

b»ng x¶y x+y=z

c) Ta xÐt hiÖu: x2 + y2 + z2+3 – 2( x+ y +z ) = x2 - 2x + + y2 -2y +1 + z2-2z +1 = (x-1) + (y-1) 2+(z-1)2  Dêu (=) x¶y x = y = z = 1

VÝ dô 2: chøng minh r»ng : a)

2

2

2

2 

      b a b a

; b)

2

2

3

3 

 

     

b c a b c a

c) HÃy tổng quát toán

Lời giải: a) Ta xÐt hiÖu:

2

2

2

2 

      b a b

a =  

4

2a2 b2 a2 ab b2

  

 = 2a 2b a b 2ab

4

1 2 2

   

=  

4

1

  b

a VËy

2

2

2

2 

      b a b

a ; DÊu b»ng x¶y a = b.

b)Ta xÐt hiÖu:

2

2

3

3 

 

    



b c a b c a

=       

1 2

    

 b b c c a

a VËy

2

2

3

3 

 

    



b c a b c a

DÊu b»ng x¶y a = b =c c)Tỉng qu¸t

2

1 2

2

1

   



    

  

n a a

a n

a a

a n n

Tóm lại bớc để chứng minh AB tho định nghĩa Bớc 1: Ta xét hiệu H = A - B

Bớc 2:Biến đổi H= (C + D )2hoặc H= (C + D )2 +….+ ( E + F )2

Bíc 3:KÕt luËn A  B

Ví dụ Chứng minh m,n,p,q ta có

m2+ n2 + p2+ q2+1  m ( n + p + q + )

Lêi gi¶i:

0

4

4

2 2

2

2

    

 

      

 

      

 

      

 

 

 m mn n m mp p m mq q m m

0 2

2

2

2

      

       

       

       



 m n m p m q m (ln đúng)

DÊu b»ng x¶y

   

    

 

 

 

 

 

0

0

0

0

m q m

p m

n m



        

   

2 2

m m q

m p

m n



  

  

 q p n

m

phơng pháp : Dùng phép biến đổi tơng đơng

L

u ý : Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức

đợc chứng minh

Chú ý đẳng thức sau: A B2 A2 2AB B2

   

A B C2 A2 B2 C2 2AB 2AC 2BC        

A B3 A3 3A2B 3AB2 B3  

  

VÝ dô 1: Cho a, b, c, d, e số thực chứng minh rằng:

a) a b ab

4

2

b)a2b21abab

c)a2 b2 c2 d2 e2 abcde

Lêi gi¶i: a) a b ab

4

2

2 4a2 b2 4ab

 

  4a2 4ab2 0  2a b2 0 (bất đẳng thức

luôn đúng) Vậya b ab

4

2

2 (dÊu b»ng x¶y a = b )

b) a2b21abab 2(a2 b2 1  2(ab a b)

     

0

2

2 2

2         

 a ab b a a b b  (a b)2(a1)2(b1)2 0 Bất đẳng thức cuối đúng.Vậy

b a ab b

a2 21   DÊu b»ng x¶y a = b =

c) a2b2c2d2 e2 abcde  4 a2b2 c2 d2e2 4abcde

  4 2  4 2  4 2  4 2           

 ab b a ac c a ad d a ac c

a

  2  2  2  2  

    

 b a c a d a c

a Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh

VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng: a10b10a2b2 a8b8a4b4

Lêi gi¶i: a10b10a2b2 a8b8a4 b4  a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b4 a4b8 b12

     



 a8b2a2 b2a2b8b2  a20  a2 b2 ( a2 - b2) ( a6 - b6 )  a2b2( a2 - b2 )2( a4+ a2b2+b4)  0

Bất đẳng thức cuối ta có điều phải chứng minh

VÝ dơ 3: cho x.y =1 vµ x.y ;Chøng minh

y x

y x

 

2

2

Lêi gi¶i: y x

y x

 

2

2 :x y nên x- y x2+y2 2 2( x-y)  x2+y2- 2 2 x+2 2y 0

 x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 0  x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy 0 x.y=1 nên 2.x.y=2

(x-y- 2 )2 Điều ln ln Vậy ta có điều phải chứng minh

VÝ dô 4:

1)CM: P(x,y)=9 2    

 y xy y y

x x,yR

2)CM: a2b2c2 a bc (gợi ý :bình phơng vế)

3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mÃn:

    

    



z y x z y x

z y x

1

1

Chứng minh :có ba số x,y,z lớn

Lêi gi¶i:

XÐt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(

z y x

1 1



 )=x+y+z - (111)  z y

x (v×x y z

1 1



 < x+y+z theo gt)  số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dơng

N trờng hợp sau xảy x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trờng hợp tức có ba số x ,y ,z số lớn

Ph ơng pháp : dùng bất đẳng thức quen thuộc

* số bất đẳng thức hay dùng

1) Các bất đẳng thức phụ: a) x2 y2 2xy

 

b) x2 y2  xy dÊu ( = ) x = y = c) x y2 4xy

 

d)  2

a b b a

2)Bất đẳng thức Cô sy: n n a a a an

n

a a

a a

3

2

    

Víi ai 0

3)Bất đẳng thức Bunhiacopski

    2

221 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2

2aa n xxa n axa  xaxnn

4) Bất đẳng thức Trê- b-sép:

NÕu

  

 

 

C B A

c b a



3 3

C B A c b a cC bB

aA    

  

NÕu

  

 

 

C B A

c b a



3 3

C B A c b a cC bB

aA    

  

DÊu b»ng x¶y

  

 

 

C B A

c b a

VÝ dô 1 Cho a, b ,c số không âm chứng minh ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 8 a b c

Lêi gi¶i :

Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: x y2 4xy 

 Tacã ab24ab; bc2 4bc ;

c a2 4ac 

  a b2 b c2c a2 64a2b2c2 8abc2

  (a+b)(b+c)(c+a)8abc DÊu “=” x¶y a = b = c

VÝ dô 1)Cho a,b,c > vµ a + b + c = CMR: 1119

c b

a

2)Cho x, y,z > vµ x +y + z = CMR: x + 2y + z 4(1 x)(1 y)(1 z) 3)Cho a > , b > 0, c> CMR:

2     

 a b

c a c

b c b

a

4)Cho x0,y0 tháa m·n x  y 1 ;CMR: x +y

5



VÝ dơ 3: Cho a>b>c>0 vµ 2 1

  b c

a chøng minh r»ng

3 3 1

2

a b c

b c a c a b      Lêi gi¶i:

Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc     

    

 

b a

c c a

b c b

a a b c

2 2

áp dụng BĐT Trê- b-sép ta có



  

 

     

     

 a b

c c a

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c b

a

a

3

2 2

2

=

=

VËy

2

3 3

    

 a b

c c a

b c b

a

DÊu b»ng x¶y a=b=c=

VÝ dơ 4:

Cho a, b, c, d > vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :

      10

2 2

        

b c d ab c bc d d c a a

Lêi gi¶i:

Ta cã a2 b2 2ab



 ; c2 d2 2cd; abcd =1 nªn cd =

ab

1

(dïng

2 1

 

x

x )

Ta cã 2 2( ) 2( )       

ab ab cd

ab c

b

a (1)

Mặt khác: abcbcddca =( ab + cd ) + ( ac + bd ) + ( bc + ad ) = 1 222

  

 

     

 

     

 



bc bc ac ac ab

ab VËy 2 2       10

        

b c d ab c bc d d c a a

VÝ dô 5: Cho sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:

(a c)2 (b d)2 a2 b2 c2 d2

      

Lời giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Ta có ac+bd a2 b2. c2 d2

 

mµ  2  2 2   2

2ac bd c d b

a d b c

a         a2b22 a2b2 c2d2c2d2

 (a c)2 (b d)2 a2 b2 c2 d2

      

VÝ dô 6: Chøng minh r»ng a2b2c2 abbcac

Lời giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) (a,b,c) ta cã 12 12 12(a2 b2 c2) 1.a 1.b 1.c2

     



 3a2b2c2a2b2c22abbcac

 a2b2c2abbcac §iỊu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y a=b=c

Ph ơng pháp : Sử dụng tính chất bắc cầu

L

u ý: A>B b>c A>c

0< x <1 th× x2 <x

vÝ dơ 1:

Cho a, b, c ,d > tháa m·n a > c+d , b>c+d Chøng minh r»ng ab >ad+bc

Gi¶i: Tacã

  

 

 

d c b

d c a



  

  

  

0 c d b

d c a

 ( a – c ) ( b – d ) > cd  ab – ad – bc + cd > cd

 ab > ad + bc (®iỊu ph¶i chøng minh)

vÝ dơ 2:

Cho a,b,c > tháa m·n

3

2 2b c 

a

Chøng minh

abc c b a

1 1

   Gi¶i:

Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab - ac - bc)   ac+bc-ab 

2

( a2+b2+c2)  ac+bc-ab

6   Chia hai vÕ cho abc > ta cã

c b a

1 1

  

abc

1

vÝ dô

Cho < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1 - a).(1 - b) ( 1- c).(1- d) > 1- a – b – c - d Gi¶i:

Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab

Do a>0 , b>0 nªn ab>0  (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã  (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c

 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)=1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)

vÝ dô

1- Cho < a, b, c <1 Chøng minh r»ng 2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a

      Gi¶i :

Do a <  a2 1 vµ Ta cã 1 2.1  0

 

 a b  1-b-a2+a2b >  1+a2 b2 > a2 + b

mµ 0< a,b <1  a2 > a3, b2 > b3; Tõ (1) vµ (2)  1+a2 b2 > a3+b3 ; VËy a3+b3 < 1+

a b2

T¬ng tù b3+c3 1 b2c



c 3+a3 1 c2a

Cộng bất đẳng thức ta có :

2a32b3 2c3 3a2bb2cc2a

b)Chøng minh r»ng : NÕu 2 2 1998

   b c d

a th× ac+bd =1998

Gi¶i:

Ta cã (ac + bd)2 + (ad – bc )2 = a2 c2 + b2d2 2abcd a2d 

 b2c2-2abcd=

= a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982, rá rµng (ac+bd)2  2  2 19982

 



bd ad bc ac

 acbd 1998

2-Bµi tËp : 1, Cho c¸c sè thùc : a1; a2;a3 ….;a2003 tháa m·n : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1

chøng minh r»ng : a12+a22 a32  a 20032

2003

 ( đề thi vào chuyên nga pháp 2003- 2004Thanh hóa

)

2,Cho a;b;c 0 tháa m·n :a + b + c = (?) Chøng minh r»ng: (1  1).(1  1).(1  1)8

c b

a

Ph ơng pháp 5: dùng tính chấtcủa tỷ sè

KiÕn thøc

1) Cho a, b ,c số dơng a NÕu 1

b a

th×

c b

c a b a

 

 b – NÕu 1 b a

th×

c b

c a b a

   2)NÕu b,d >0 th× tõ

d c d b

c a b a d c b a

 

  



`

vÝ dô : Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng 2

           

b a d

d a d c

c d c b

b c b a

a

Gi¶i :

Theo tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc ta cã

d c b a

d a c b a

a c

b a

a

  

      

 (1) MỈt kh¸c : a b c d

a c

b a

a

    

 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã

d c b a

a

 

 < a b c

a



 <a b c d

d a

  



(3)

T¬ng tù ta cã

d c b a

a b d

c b

b d

c b a

b

  

      

 (4) a b c d

c b a d c

c d c b a

c

  

      

 (5)

d c b a

c d b a d

d d c b a

d

  

      

 (6) céng vÕ víi vÕ cđa (3); (4); (5); (6) ta cã

1 

           

b a d

d a d c

c d c b

b c b a

a

điều phải chứng minh

ví dô 2 : Cho: b a

<

d c

vµ b,d > Chøng minh r»ng

b a

<

d c d b

cd ab

  

2

Gi¶i: Tõ

b a

<

d c

2 d

cd b ab



 

d c d cd d b

cd ab b ab

   

 2 2 2

2 VËy b

a

<

d c d b

cd ab

  

2

2 điều phải chứng minh

ví dụ 3 : Cho a;b;c;d số nguyên dơng thỏa mÃn : a+b = c+d =1000, tìm giá trị lớn của d b c a

giải : Không tính tổng quát ta giả sử :

c a

d b

 Tõ :

c a

d b



d b d c

b a c a

 

 

 1

c a

v× a+b = c+d

a, NÕu :b 998 th×

d b

998

 

d b c a

  999 b, NÕu: b=998 th× a=1 

d b c a

 =

d c

999

Đạt giá trị lớn d= 1; c=999 Vậy giá trị lín nhÊt cđa

d b c a

 =999+ 999

1

khi a=d=1; c=b=999

Ph ơng pháp 6: Phơng pháplàm trội

L u ý:

Dùng tính bất đẳng thức để đa vế bất đẳng thức dạng tính đợc tổng hữu hạn tích hữu hạn

(*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn :

S = u1u2 un

Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau:

uk ak  ak1

Khi :

S = a1 a2  a2 a3 an an1a1 an1

(*) Phơng pháp chung tính tích hữu hạn P = u1u2 un

Biến đổi số hạng uk thơng hai số hạng liên tiếp nhau:

uk=

1 

k k

a a

Khi P =

1 1

2

1.

 



n n

n

a a a

a a

a a

a

VÝ dô :

Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng

4 1

       

n n n

n

Gi¶i: Ta cã

n n n k

n

1 1

  

 với k = 1,2,3,…,n-1 Do đó:

2 2

1

1

1 1

        

 n

n n n

n n

n

VÝ dô :

Chøng minh r»ng: 2 1

1

1     n 

n Với n số nguyên

Giải : Ta cã  k k

k k k

k    12 1

2

Khi cho k chạy từ đến n ta có > 2  1

2 2

1

 

………  n n

n 2 1

Cộng vế bất đẳng thức ta có 2 1

3

1     n 

n

VÝ dô 3 : Chøng minh r»ng

1







n

k k

n Z

Gi¶i: Ta cã

k  k k k

k

1 1 1

2 

   

Cho k chạy từ đến n ta có

1

1

1

1 1

3

1

2 1

1

2

2 2

    

  

 

 

n n n n

VËy

1







n

k k

Ph ơng pháp 7: Dùng bất đẳng thức tam giác

L

u ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh tam giác : a;b;c>

Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

VÝ dơ1: Cho a;b;clµ sè đo ba cạnh tam giác chứng minh a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải

a)Vì a,b,c số đo cạnh tam giác nên ta cã

    

  

  

  

b a c

c a b

c b a 0

     

 

 

 

) (

) (

) (

2 2

b a c c

c a b b

c b a a

Cộng vế bất đẳng thức ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

b) Ta cã a > b-c   a2 a2 (b c)2

 

 >

b > a-c   2

) (c a b

b    >

c > a-b   2 ( )2    c a b c

Nhân vế bất đẳng thức ta đợc

 

       

     

a b c b c a c a b

abc

b a c a c b c b a c b a

b a c a c b c b a c b a

       

  

 

  

  

 

  

2

2

2

2

2

2

2 2

VÝ dơ2:

1) Cho a,b,c lµ chiều dài ba cạnh tam giác

Chứng minh r»ng ab bc ca a2 b2 c2 2(ab bc ca)        

2) Cho a,b,c chiều dài ba cạnh cđa tam gi¸c cã chu vi b»ng Chøng minh r»ng 2 2 2

  

b c abc

a

Ph ơng pháp 8: đổi biến số

VÝ dô1 Cho a,b,c > Chøng minh r»ng

2     

 a b

c a c

b c b

a

(1) Giải :

Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a=

x z

y 

; b =

y x

z 

; c =

z y

x 

ta cã (1) 

z z y x y

y x z x

x z y

2

2

       

2

   1  1   13 z

y z x y z y x x

z x y

 (  )(  )(  )6 z y y z z x x z y x x y

Bất đẳng thức cuối (  2; y x x y

 2

z x x z

;  2 z y y z

nªn ta có điều phải chứng minh

Ví dụ2: Cho a, b, c > vµ a + b + c < 1

Chøng minh r»ng 2

1

1

2

2 

   

 bc b ac c ab

a (1)

Giải:

Đặt x = a2 2bc

; y = b22ac ; z = c22ab Ta cã xyzabc21

(1)  1119 z y

x Với x+y+z < x ,y,z > Theo bất đẳng thức Cơsi ta có

xyz3.3 xyz ;    z y x

1 1

3 .3

xyz ;   

1 1



  

 

  



z y x z y

x Mµ x+y+z <

VËy 111 9 z y

x (®pcm)

VÝ dơ3: Cho x0 , y0 tháa m·n 2 x  y 1 CMR

5  y

x

Gỵi ý: Đặt x u , y v 2u-v =1 vµ S = x+y =u 2 v2 v = 2u-1 thay vµo tÝnh S min

Bµi tËp 1) Cho a > , b > , c > CMR: 25 16 8    

 a b

c a c

b c b

a

2)Tỉng qu¸t m, n, p, q, a, b >0

CMR  m n p m n p

b a

pc a c

nb c b

ma

     

    

2

2

Ph ơng pháp 9: dïng tam thøc bËc hai L

u ý : Cho tam thøc bËc hai f x ax2bxc

NÕu 0 th× a.f x 0 x R

NÕu 0 th× a.f x 0

a b x 

NÕu 0 th× a.f x 0 víi x x1 hc x x2 (x 2 x1) a.f x 0 víi x1xx2

VÝ dô1: Chøng minh r»ng  , 

     

x y xy x y

y x

f (1)

Gi¶i: Ta cã (1)  2 2 1     

 x y y y

x

2 12     

 y y y

 1

3 4

2

2

    

     

y

y y y

y

VËy fx,y0 víi mäi x, y

VÝ dơ2: Chøng minh r»ng fx,y x2y4 2x2 2.y2 4xy x2 4xy3

     

Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với 2 2 4

 

  

 x y xy x xy

y

x ( 1)2 1 2

  

 

 y x y y x y

Ta cã 4 21 22 4 2 12 16 0

 

  

 

 y y y y y V× a = y212 fx,y0(đpcm)

Ph ơng pháp 10: dùng quy nạp toán học

Kin thc: Để chứng minh bất đẳng thức với n n0ta thực bớc sau : – Kiểm tra bất đẳng thức với n n0

- Giả sử BĐT với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi giả thiết quy nạp )

3- Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)

– kết luận BĐT với n n0

VÝ dô1:Chøng minh r»ng

n n

1 2

1

1

2

2      nN;n1 (1)

Gi¶i :Víi n =2 ta cã

2

1   (đúng) Vậy BĐT (1) với n =2

Giả sử BĐT (1) với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) với n = k+1 Thật n =k+1

(1) 

1 ) (

1

1

1

2

2

2   k  k   k

Theo gi¶ thiÕt quy n¹p 

 

1 1 ) (

1

1

1

2

2

2

           

k k

k k

k



k  k k

k

1 1 1 ) (

1

1

2

2 

      

 2 ( 2) ( 1)2 )

1 (

1

     

 

k k

k k k

k

 k2+2k<k2+2k+1 Điều Vậy bất đẳng thức (1)đợc

chøng minh

VÝ dơ2: Cho n N vµ a+b> Chøng minh r»ng

n

b a

      

2 

n

n b

a 

(1) Gi¶i

Ta thấy BĐT (1) với n=1

Giả sử BĐT (1) với n=k ta phải chứng minh BĐT với n=k+1 Thật với n = k+1 ta có

(1) 

1

2      

ab k



1

1 



 k

k b

a



2

b a b

a k 

      



1

1 



 k

k b

a (2)

 VÕ tr¸i (2) 

2

2

1 1

1   



      

 k k k k k k k

k b a b a ab a b b a b

a



4

1

1

    

   

 k k k k k

k b a ab a b b

a

 ak  bk.a b0 (3)

Ta chứng minh (3) (+) Giả sử a b gi¶ thiÕt cho a  -b  a  b  ak bk bk



 

ak  bk.a b0

(+) Gi¶ sư a < b theo giả thiết - a<b k k k k

b a b

a     ak  bk.a b0

Vậy BĐT (3)ln ta có (đpcm)

Ph ơng pháp 11: Chứng minh phản chứng

L u ý :

1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta giả sử bất đẳng thức sai kết hợp với giả thiết để suy điều vô lý , điều vô lý điều trái với giả thiết , điều trái ngợc Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh

2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G  K” phép toán mệnh đề cho ta :

Nh để phủ định luận đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết luận Ta thờng dùng hình thức chứng minh phản chứng sau :

A - Dùng mệnh đề phản đảo : G

K  

B – Phủ định rôi suy trái giả thiết : C – Phủ định suy trái với điều D – Phủ định suy điều trái ngợc E – Phủ định suy kết luận :

VÝ dô 1:

Cho ba sè a,b,c tháa m·n a +b+c > , ab+bc+ac > , abc > Chøng minh r»ng a > , b > , c > Gi¶i :

Giả sử a  từ abc >  a a < 0, Mà abc > a <  cb < Từ ab+bc+ca >  a(b+c) > -bc > 0, Vì a < mà a(b +c) >  b + c <

a < vµ b +c < a + b +c < trái giả thiết a+b+c > 0, VËy a > t¬ng tù ta cã b > , c >

VÝ dô 2: Cho sè a , b , c ,d tháa m·n ®iỊu kiƯn

ac  2.(b+d) Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: a2 4b

 , c2 4d Gi¶i :

Giả sử bất đẳng thức : a2 4b

 , c2 4d cộng vế ta đợc, a2c24(bd)(1) Theo giả thiết ta có 4(b+d)  2ac (2), Từ (1) (2)  a2c22ac hay  2 0

  c

a (vô lý) Vậy bất đẳng thức a2 4b

 c2 4d có bất đẳng thức sai

VÝ dơ Cho x,y,z > vµ xyz = Chøng minh r»ng

NÕu x+y+z >

z y x

1 1

có ba số lớn Giải :

Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1=x + y + z – (

z y x

1 1



 ) xyz =

theo giả thiết x+y +z >

z y x

1 1



 nªn (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 chØ cã mét sè d¬ng

Thật ba số dơng x,y,z >  xyz > (trái giả thiết) Cịn số dơng (x-1).(y-1).(z-1) < (vơ lý) Vậy có ba số x , y,z lớn hn

Phần II Bài tập áp dụng.

Bài tập (Sử dụng phơng pháp làm trội)

Cho a,b,c số dơng chứng minh rằng:1      

a c

c c b

b b a

a HD *Ta lu«n cã:

a c

c c b a

c c b

b c b a

b b a

a c b a

a

          

 ; ; , cộng vế ví vế ta đợc;

  

               

 a b c

c b a c b a

c c b a

b c b a

a a c

c c b

b b a

a

*Ta l¹i cã: ; c b a c a b a a b a a       

 t¬ng tù ta cã: a b c

b c a c c c b a a b c b b           ; ,

Cộng vế với vế ta đợc: 2( )2

                    

 a b c

c b a c b a b c c b a a b c b a c a a c c c b b b a a

Bài tập (Sử dụng phơng pháp làm trội)

Chøng minh r»ng víi mäi n > th× 1 2 2

2     n 

HD Víi n > ta cã

n n n n n 1 ) ( 1    

 , nªn ta cã:

1 1 1 1 4 3 2 1 1 2 2 2                       n n n n n n

Bµi tËp (Sư dơng phơng pháp làm trội)

Chng minh cỏc bt ng thức với n số tự nhiên

a) ) ( 3 2 1       n n ;

b) 1( 1);

4 1 2 2

2     n   n n

c)

3 1 2 2

2     n 

HD a) 1 1

1 4 3 2 1 ) ( 3 2 1                       n n n n n n n

Víi n > th×  11

n n

, víi n = th×  11

n n

Vậy BĐT với n số tự nhiên

b) Víi n > ta cã

n n n n n 1 ) ( 1    

 , nªn ta cã:

n n n n n 1 1 4 3 2 1 1 2 2

2     

                ;

c)Víi n = th× <

Víi n > 1ta cã:

n n n n n 1 ) ( 1    

 , nªn ta cã:

n n n n n n 1 1 1 4 3 2 1 1 2 2 2                     

Ta ®i chøng minh 3 3,( 1)

3 3 3              n n n n n n n n n n ,

VËy

3 1 2 2

2    n với n số tự nhiên

Bµi tËp 4.(Sư dơng tÝnh chÊt hai biĨu thøc cã tử thức BT có MT lớn nhỏ hơn)

a)Cho a > b > Chøng minh r»ng:

2 2 b a b a b a b a      ;

từ áp dụng so sánh giá trị phân thức: b) 2 2 1999 2000 1999 2000 1999 2000 1999 2000      ;

c)

1996 1997 1996 1997 1996 1997 1996 1997 2 2     

HD a) 2 2

2 2 2 ) ( ) )( ( ) )( ( b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a             

v× ab1vµ a b2 a2 b2

 



b)VT VP             

 2 2

2 2 2 1999 2000 1999 2000 ) 1999 2000 ( 1999 2000 ) 1999 2000 )( 1999 2000 ( ) 1999 2000 )( 1999 2000 ( 1999 2000 1999 2000

V× hai BT cã tư thøc b»ng vµ (2000 1999)2 20002 19992

 



c)T¬ng tự câu a

Bài tập 5.( Sử dụng BĐT C« Si)

Chứng minh bất đẳng thức sau: a)a2 b2c2abbcca;

b)(ab)(bc)(ca)8abc, víi a,b,c d¬ng; c)a2 b21abab

d)Với a, b, c số dơng ta cã:   1 19          c b a c b a ;

e) Với a, b, c số dơng ta có:

2   

 a b

c a c b c b a

HD a) a2b2c2abbcca2a2 2b2 2c22ab2bc2ca

0 ) ( ) ( )

( 2

     

 a b b c c a v× (a b)2 0;(b c)2 0;(c a)2 0víi mäi a,b,c

b)Với a,b,c dơng áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có:

abc c b a ca bc ab a c c b b

a )( )( ) 2 8

( 2

     

c) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 0

                   

b ab a b a b ab a b a ab b a a b b

a ) ( ) ( )

( 2

     

 a b a b v× ( )2 0;( 1)2 0;( 1)2     

 b a b

a víi mäi a,b

d) Với a,b,c dơng áp dung bất đẳng thức Cơ Si ta có:

33 , 1 33 1.1.1   1 193 1.1.1 9                 c b a abc c b a c b a c b a c b a abc c b a

e)Đặt Aab,Bbc,Cca, ta cã ( )

1 )

(

2 a b c a b c A B C C

B

A           ,

ta cã: 1 ) ( 1 ) ( 3 1                                                        C B A C B A b a a c c b c b a b a c b a a c c b a c b c b a b a c a c b c b a b a c a c b c b a

ta cã ( ) 1 19          C B A C B

A nªn

2 3       

 a b

c a c b c b a

Bµi tËp 6.( Sư dơng BĐT Cô Si)

a) Cho x,y0, Chứng minh:

y x y x  

4 1

;

b) Cho x0,y1, Chøng minh:x y 1 y x1xy;

c) Cho x0,y1,z2, Chøng minh: ( )

1

1 z x y z

y

x      

HD a)Víi x,y0ta cã(x y)2 x2 2xy y2 x2 2xy 4xy y2 4xy (x y)2 4xy                 y x y x y x xy y xy x y x xy y x xy y x y x               

( ) 4 1

b) Víi x0,y1ta cã: 1 1  1  11 1 11

x x y y xy x y xy y x xy x y y x ,

áp dụng BĐT Cô Si ta có:

2 1 ; 2 1

1 x  x x y  y y ,nªn ta cã: 2 1 1         y y x x y y y x

;VËy x y 1y x 1xy

c) Víi x0,y1,z2, nªn ta cã:      (   )

1

1 z x y z

y x 2 1 1 2 2

2                   

  

 x y z x y z x x y y z z

 x 12  y112  z 12 0v×  x12 0, y112 0, z 212 0

Bài tập 7.( Sử dụng BĐT Cô Si)

Cho a, b, c số không âm thoả mÃn: abc1.Chøng minh: a) a1 b1 c13,5;

b) ab bc ca

HD.a)Ta nhìn tổng a + dới tích 1.( a + ) áp dụng bất đẳng thức Cô-si

2

y x

xy với x,y không âm

ta c: 1,

2 1 ) ( 1 , 2 1 ) (

1              

 a a a b b b b

a 2 1 ) (

1      

 c c c

c ,cộng vế ba bất đẳng thức ta đợc:

2 1 1 1 1 2 1                                   c b a c b a c b a c b a c b a c b a

b) áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki với hai ba số ta đợc:

  6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 (

1 2

                                    a c c b b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a

Bµi tËp 8.( Sư dơng H§T)

Choa,b,c0,Chøng minh r»ng:

ca bc ab c b a 1 1 1     

HD Víi a,b,c0, ta cã: 11    222   0

ca bc ab c b a ca bc ab c b a 1 1

1 2

                        a c c b b

a v×

1 , 1 ,

1 2

                        a c c b b a

Bµi tËp

Cho a, b, c số dơng tuỳ ý.Chứng minh rằng:

2 c b a a c ca c b bc b a

ab  

     

HD.Ta cã (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 4ab (a b)(a b) 4ab              b a ab b a    

2 ,t¬ng tù ta cã: c a

ca a c c b bc c b       2 ,

2 , cộng vế với vế ta đợc:

2 2 2 ) ( 2 2 2 c b a a c ca c b bc b a ab c b a a c ca c b bc b a ab a c ca c b bc b a ab c b a a c ca c b bc b a ab a c c b b a                                            

Bµi tËp 10 ( Sư dơng BĐT Cô-Si)

Cho a, b, c l cỏc s dơng.Chứng minh bất đẳng thức: a)

2

2

2 a b c

b a c a c b c b

a  

      b) 2

2 a b c

a c c c b b b a

a  

c) ,( 0) 2 2             d d c b a a d d d c c c b b b a a . HD

a)áp dụng bất đẳng thức Cô-si: x y2 xy,x,y0.Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có:

; ; 2 ; 2 2 2 2 a c b a c b b b a c a c b a c a c b c b a c b a a a c b c b a c b c b a                           2 2 b a c b a c c c b a b a c b a b a c             

Cộng vế với vế ta đợc:

4 4

2

2 b c c a a b

c b a b a c a c b c b a               2 2

2 a b c a b c

c b a b a c a c b c b

a  

          

 vËy

2

2 a b c

b a c a c b c b

a  

b)Tơng tự câu a) ta cã:

; 2 ; 2 ; 2 2 2 2 2 a c c a c c c c a c a c c a c a c c c b b c b b b b c b c b b c b c b b b a a b a a a a b a b a a b a b a a                                       

Cộng vế với vế ta đợc:

4 4

2

2 b c c a a b

c b a a c c c b b b a a               2 2

2 a b c a b c

c b a a c c c b b b a

a  

          

 vËy

2

2 a b c

a c c c b b b a

a  

    

c) Làm tơng tự câu a, b

Bài tập 11 ( Sử dụng BĐT Cô-Si)

Cho a, b, c số dơng.Chứng minh bất đẳng thức:

2     

 a b

c c a b c b a

HD áp dụng bất đẳng thức Cơ-si: x y2 xy,x,y0.ta có:

c b a a c b a a c b a a c b a c b                   2 : 1

T¬ng tù ta cã:

c b a c b a c c b a b c a b         ;

, cộng vế với vế ta đợc:

2 ) ( 2 2                   

 a b c

c b a c b a c c b a b c b a a b a c c a b c b a

DÊu (=) x¶y vµ chØ khi:                c b a b a c c a b c b a

, trái với giả thiết a,b,c ba s dng.Vy ng thc

không xảy ra.Vậy

   

 a b

c c a b c b a

Bµi tËp 12 ( Sử dụng BĐT Cô-Si)

Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác.Chứng minh rằng:

a)ab bc ca a2 b2 c2 2(ab bc ca);        

b)abc(ab c)(ac b)(bc a);

c) 2

   

 a b

c a c

b c b

a

;

d)2 2 2 2 2 ( 4 4)     

 b c c a a b c b

a ;

e)a(b c)2 b(c a)2 c(a b)2 4abc a3 b3 c3

   

   

 ;

f) ( ) ( ) ( )

  

 

 b b c b c c a c a a

b

a ;

g)a3 b3 c3 abc a(b2 c2) b(c2 a2) c(a2 b2) a3 b3 c3 2ab            



HD a) * a2b2c2abbcca2a2 2b2 2c22ab2bc2ca

0 ) ( ) ( )

( 2

     

 a b b c c a v× (a b)2 0;(b c)2 0;(c a)2 0víi mäi a,b,c

*a2 b2 c2 2(ab bc ca);     

Ta cã:a b c 0 c(a b c) 0 ac bc c2

         

2

2

0 ) (

0

0 ) (

0

b ab bc b

a c b c

b a

a ac ab a

c b a a

c b

         

         

Cộng vế với vế ta đợc:a2 b2 c2 2(ab bc ca)    



Bài tập 13 ( Bài tập dùng định nghĩa)

HD 1) Cho abc = vµ a3 36 Chøng minh r»ng 

3

2

a

b2+c2> ab+bc+ac

Ta cã hiÖu: 

2

a

b2+c2- ab- bc – ac = 

4

2

a

 12

2

a

b2+c2- ab- bc – ac = ( 

4

2

a

b2+c2- ab– ac+ 2bc) +

 12

2

a 3bc =(

2

a

-b- c)2 +

a abc a

12 36

3

 =(

2

a

-b- c)2 +

a abc a

12 36

3

 >0 (vì abc=1 a3 > 36 nên a >0 )

VËy : 

2

a b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh

2) Chứng minh r»ng a) 4 2 ( 1)    

 

y z x xy x z

x

b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã 5 4 2 6 3 0

    

 b ab a b

a

c) a22b2 2ab2a 4b20

Gi¶i :

a) XÐt hiÖu H = x4 y4 z2 2x2y2 2x2 2xz 2x    

 

 =  2 22  2  2

1    

 y x z x

x

H0 ta có điều phải chứng minh

b) VÕ tr¸i cã thĨ viÕt H =  12  12    

 b b

a  H > ta cã ®iỊu phải chứng minh c) vế trái viÕt H =  12  12

  

 b b

a  H  ta có điều phải chứng minh

Bi 14 ( Bài tập dùng biến đổi tơng đơng)

HD 1) Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng  

 2 2

 



y x

y x

Gi¶i :

Ta cã 2  2  2      

y x y xy x y

x (v× xy = 1)   2 22  4 4. 2     

y x y x y

x

Do BĐT cần chứng minh tơng đơng với x y4 4x y2 4 8.x y2      

  4 4 2    

 y x y

x   2 22 0

   y

x BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh

2) Cho xy  Chøng minh r»ng:

xy y

x    



2

1

1

2

Gi¶i : Ta cã

xy y

x    



2

1

1

2

2  1

1

1

1

1

2

2 

  

 

       

 

 

x y y xy



1 .1  1 2.1 

2

2

  

 

 



xy y

y xy xy

x x xy



   1 .1 

) (

) (

2

2 

 

 

 



xy y

y x y xy

x x y x

    

1  .1 .1 

1

2

2

  



 

xy y

x

xy x y

BĐT cuối xy > Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài tập 15 ( Bài tập dùng bất đẳng thức phụ )

HD 1) Cho a , b, c số thực a + b + c = 1Chøng minh r»ng

3

2 2

  b c

a

Giải áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho sè (1,1,1) vµ (a,b,c) Ta cã 1.a 1.b 1.c2 1 1 1.a2 b2 c2

  

  

  abc2 3.a2b2c2



3

2 2

  b c

a (v× a+b+c =1 ) (đpcm)

2) Cho a,b,c số d¬ng : Chøng minh r»ng   1 19   

 

  



c b a c b

a (1)

Gi¶i : (1)  1   1   19

a c a c c b a b c a b a

 9

    

       

       

 

b c c b a c c a a b b a

áp dụng BĐT phụ x y y x

Với x,y > Ta có BĐT cuối ln

VËy   1 19   

 

  



c b a c b

a (đpcm)

Bài tập 16 ( Bài tập dùng Phơng pháp bắc cầu)

HD 1) Cho < a, b,c <1 Chøng minh r»ng :2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a

     

Gi¶i Do a <1 a2<1 b <1, nên 1 a2 .1 b20 1a2b a2 b0

hay 1a2ba2b (1) Mặt khác <a,b <1 a 2 a3 ; b b3  1a2 a3b3 VËy a3b3 1a2b

T¬ng tù ta cã

a c c

a

c b c

b

2

3

2

3

1   

  

 2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a

    

 (®pcm)

2) So sánh 3111 1714

Giải :Ta thÊy 3111 <

 11

11 55 56

32  2 2 , Mặt khác 25624.14 24 141614 1714

Vậy 3111 < 1714 (đpcm)

Bài tập 17 ( Bµi tËp dïng tÝnh chÊt tØ sè)

HD 1) Cho a ,b ,c ,d > Chøng minh r»ng 2 a b b c c d d a 3

a b c b c d c d a d a b

   

    

   

Giải :Vì a ,b ,c ,d > nªn ta cã:

a b a b a b d

a b c d a b c a b c d

   

 

        (1)

b c b c b c a

a b c d b c d a b c d

    

 

        (2)

d a d a d a c

a b c d d a b a b c d

   

 

        (3 Cộng vế bất đẳng thức ta có :

a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

   

    

        (®pcm)

2) Cho a ,b,c số đo ba cạnh tam giác, Chứng minh a b c b c c a a b

   

  

Giải :Vì a ,b ,c số đo ba cạnh tam giác nên ta có a,b,c > 0, Vµ a < b +c ; b <a+c ; c < a+b Tõ (1) a a a 2a

b c a b c a b c 

  

     Mặt khác

a a

b c a b c  VËy ta cã a a 2a

a b c  b c a b c  T¬ng tù ta cã

2

b b b

a b c  a c a b c 

c c 2c

a b c  b a a b c  Cộng vế ba bất đẳng thức ta có :

a b c

b c c a a b

   

(đpcm)

Bài tập 18 ( Bài tập áp dụng phơng pháp làm trội) HD 1) Chøng minh B§T sau :

a) 1 1

1.3 3.5  (2n1).(2n1) 2 ; b)

1 1

1

1.2 1.2.3 1.2.3 n

    

Gi¶i : a) Ta cã

   

2 1 (2 1)

1 1 1

2 2 (2 1).(2 1) 2

k k

n n k k k k

    

    

       

Cho n chạy từ đến k Sau cộng lại ta có

1 1

1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) 2n

 

      

     (®pcm)

b) Ta cã

 

1 1 1

1

1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 n n

        



< 1 1 1 2

2 n n n

     

          

      (®pcm)

Bài tập 19 ( Bài tập áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị) HD dùng bất đẳng thức để tìm cc trị

L u ý

- NÕu f(x) A f(x) có giá trị nhỏ A - Nếu f(x) B f(x) có giá trị lớn B Ví dụ :

Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Gi¶i :Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|  |x-1+4-x| = (1) Vµ x  x  x 3 x  x 3  x 1 (2) VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|  1+3 =

Ta cã tõ (1)  DÊu b»ng x¶y 1 x 4 (2)  DÊu b»ng x¶y 2 x Vậy T có giá trị nhỏ 2 x

VÝ dô : Tìm giá trị lớn S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > x+y+z =1 Giải : Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Côsi ta cã x+ y + z 3 xyz3 1

3 27

xyz xyz

   

áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có  2 3 3x y  . y z  . z x 

DÊu b»ng x¶y x=y=z=1

3, VËy S 

8

27 27 729 Vậy S có giá trị lớn

729 x=y=z=

VÝ dơ : Cho xy+yz+zx = 1, T×m giá trị nhỏ x4y4z4 Giải : ¸p dơng B§T Bunhiacèpski cho sè (x,y,z) ;(x,y,z)

Ta cã xy yz zx  2 x2y2z22 1x2y2z22 (1) Ap dơng B§T Bunhiacèpski cho (x y z2, 2, 2) vµ (1,1,1)

Ta cã

2 2 2 2 4

2 2 4

( ) (1 1 )( )

( ) 3( )

x y z x y z

x y z x y z

      

     

Tõ (1) vµ (2)  3( x4y4z4) 4

x y z

  

Vậy x4y4z4 có giá trị nhá nhÊt lµ

3 x=y=z= 3 

VÝ dơ :Trong tam gi¸c vuông có cạnh huyền , tam giác vuông cã diƯn tÝch lín nhÊt Gi¶i : Gäi cạnh huyền tam giác 2a

Đờng cao thuộc cạnh huyền h

Hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền x Ta cã S =1. 

2 x y h a h a h   a xy Vì a khơng đổi mà x+y = 2a Vậy S lớn x.y lớn  xy

VËy c¸c tam gi¸c có cạnh huyền tam giác vuông cân có diƯn tÝch lín nhÊt

Bài tập 20 ( Bài tập áp dụng bất đẳng thức để giải PT, HPT

1) Giải phơng tr×nh sau 4 3x2 6x 19 5x2 10x 14 2x x2

       

Gi¶i :Ta cã 3x2 6x 19

  3.(x22x1) 16 3.(x1)216 16 5x210x14 5. x12 9 9

VËy 4 3x2 6x 19 5x2 10x 14 5

       

DÊu ( = ) x¶y x+1 =  x = -1

VËy 4 3x2 6x 19 5x2 10x 14 2x x2

        x = -1 Vậy phơng trình có nghiệm x = -1

Ví dụ :Giải phơng tr×nh x 2 x2 4y2 4y 3

 

Giải :áp dụng B§T BunhiaCèpski ta cã :x 2 x2  121 x22 x2  2 2

DÊu (=) xảy x = , Mặt khác 4y24y 3 2y12 2 2, DÊu (=) x¶y y = -1

VËy x 2 x2 4y2 4y 3 2

      x =1 vµ y =-1

2, Vậy nghiệm phơng trình

1 x y

   

 Ví dụ :Giải hệ phơng tr×nh sau: 4 x y z4 4

x y z xyz

   



  

4 4 4 4 4

2 2 2

2 2 2 2 2 2

x

2 2

2 2

x y y z z x

y z

x y y z z x

x y y z z y z z x z y x

  

    

  

  

  

2 2

.( )

y xz z xy x yz xyz x y z

  

  

Vì x+y+z = 1, Nên x4y4z4 xyz , Dấu (=) x¶y x = y = z =1 VËy 4 x y z4 4

x y z xyz

   



  



cã nghiÖm x = y = z =1

VÝ dụ : Giải hệ phơng trình sau

2

2

4

xy y

xy x

   



  

(1) (2)

Từ phơng trình (1) y2 hay y

Từ phơng trình (2)  x2 2 x y 2 x

2

2

2 2

( 2)

2

x x

x x x

   

  

 

 

NÕu x = 2 th× y = 2 NÕu x = - 2 th× y = -2 2

Vậy hệ phơng trình có nghiệm 2 x y

 

 

  

vµ 2 2 x

y

 

 

  

Bài tập 20 ( Bài tập áp dụng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên

1) Tìm số nguyên x,y,z thoả mÃn x2y2z2 xy3y2z Giải :Vì x,y,z số nguyên nênx2 y2z2 xy3y2z

 

2 2

2

2

3

3

3

4

x y z xy y z

y y

x xy y z z

       

   

          

   

 

2

2

3 1

2

y y

x z

   

          

   

(*) Mµ  

2

2

3 1

2

y y

x z

   

     

   

   

x y R, 

 

2

2

3 1

2

y y

x z

   

         

   

C¸c sè x,y,z phải tìm x y z

  

     Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng tr×nh 1 1

x y z 

Giải : Không tính tổng quát ta giả sử x y z Ta cã 1 2z

x y z z

     

Mà z nguyên dơng z = 1, Thay z = vào phơng trình ta đợc 1 xy 

Theo giả sử xy nên = 1 x y

1 y

  y2 mµ y nguyên dơng Nên y = y =

Víi y = kh«ng thÝch hỵp Víi y = ta cã x =

VËy (2 ,2,1) lµ mét nghiƯm phơng trình

Hoỏn v cỏc s ta đợc nghiệm phơng trình (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2)

VÝ dô : Tìm cặp số nguyên thoả mÃn phơng trình x x y (*) Gi¶i : (*) Với x < , y < phơng trình nghĩa (*) Với x > , y >

Ta cã x x y x y2 x 0

 

Đặt x k (k nguyên dơng x nguyên dơng Ta cóNhng k2 k k 1  k12  k y k 1 Mà k k+1 hai số nguyên dơng liên tiếp không tồn số nguyên dơng

Nên cặp số nguyên dơng thoả mÃn phơng trình Vậy phơng trình có nghiƯm nhÊt lµ :

0 x y

  

 

Bµi tËp 21 CMR : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2

( BĐT Bunhiacôpxki cho số a, b, c x, y, z) GiảI Xét hiệu : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) - (ax + by +cz)2

=a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2- a2x2- b2y2- c2z2-2abxy-2acxz-2bcyz

=(a2y2-2abxy+b2x2)+(a2z2–2acxz+c2x2)+(b2z2-2bcyz+ c2y2)

=(ay - bx)2+ (az - cx)2+ (cy - bz)2 ≥

DÊu “=” x¶y

z c y b x a

 

B»ng cách làm tơng tự ta phát triển toán BĐT Bunhiacôpxki tổng quát: (a2

1 + a22 +…+ a2n)(x21 + x22 +…+ x2n) ≥ (a1x1 + a2x2 +…+ anxn )2

DÊu “=” x¶y

n n

x a x

a x a

 



2 1

Để ý a x số nghịch đảo ax = (x =

a

1 ) Từ toán ta đặt tốn:

Bµi tËp 22 Cho ba sè a, b, c lµ sè d¬ng Chøng minh r»ng: (a + b + c)(

a

1 +

b

1 +

c

1 ) ≥

Gi¶I Theo toán (BĐT Bunhiacôpxki): (a + b + c)(

a

1 +

b

1 +

c

1

) ≥ ( 1 )

c c b b a

a    (a + b + c)(

a

1 +

b

1 +

c

1

) ≥ 32 = 9

Dấu “=” xảy a = b = c.Từ bất đẳng thức (x+ y+ z)(

x

1 +

y

+

z

1 )≥

Đặt a + b = X; b + c = Y; c + a = Z ta đợc BĐT: 2(a + b + c)(

b a 

1 +

c b 

1 +

a c 

1 )≥

 (

c b

a

 +a c

b

 +b a

c

 +3) ≥  b c

a

 +a c

b

 +b a

c

 ≥