Dạy học khái niệm đạo hàm và tích phân theo quan điểm liên môn trường hợp liên môn toán – vật lí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGÔ MINH ĐỨC DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN THEO QUAN ĐIỂM LIÊN MƠN: TRƯỜNG HỢP LIÊN MƠN TỐN – VẬT LÍ LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGÔ MINH ĐỨC DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN THEO QUAN ĐIỂM LIÊN MƠN: TRƯỜNG HỢP LIÊN MƠN TỐN – VẬT LÍ Chun ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn tốn Mã số : 62.14.01.11 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2021 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu Các số liệu kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận án Ngô Minh Đức MỤC LỤC DANH MỤC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN DANH MỤC CÁC BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, SƠ ĐỒ MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài 1.1 Một số vấn đề đặt cho dạy học giải tích 1.2 Dạy học liên mơn Tốn Vật lí, xu hướng để khắc phục 1.3 Lựa chọn đối tượng tri thức Tổng quan vấn đề nghiên cứu 2.1 Cách hiểu người học hai khái niệm đạo hàm tích phân 2.2 Nghiên cứu theo hướng dạy học đạo hàm tích phân để hỗ trợ cho việc ứng dụng Vật lí 2.3 Nghiên cứu việc sử dụng Vật lí để hỗ trợ việc dạy học khái niệm Giải tích 2.4 Các chương trình dạy học theo hướng liên mơn Giải tích với Vật lí 2.5 Nghiên cứu dạy học giải tích theo quan điểm liên môn Việt Nam 2.6 Kết luận định hướng nghiên cứu 3.Cơ sở lí luận 4.Mục tiêu câu hỏi nghiên cứu 5.Giả thuyết khoa học 6.Phương pháp nghiên cứu Những luận điểm cần bảo vệ 8.Các đóng góp luận án 9.Cấu trúc luận án CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Liên mơn Các mơ hình, chiến lược liên mơn Toán Khoa học 1.1.1 Về khái niệm liên môn 1.1.2 Liên mơn Tốn mơn khoa học: số mơ hình cách tiếp cận 1.1.3 Ba chiến lược dạy học liên mơn Tốn – Khoa học 1.2 Về việc hiểu ứng dụng khái niệm toán học 28 1.2.1 Hiểu khái niệm toán học 29 1.2.2 Ứng dụng khái niệm toán học 31 1.2.3 Tiểu kết 32 1.3 Thuyết nhân học Didactic Toán 33 1.3.1 Về thuyết nhân học 33 1.3.2 Lý thuyết chuyển hóa sư phạm 34 1.3.3 Phân tích tri thức luận 36 1.3.4 Quan hệ thể chế quan hệ cá nhân 37 1.3.5 Tổ chức tri thức 39 1.4 Lý thuyết tình 39 1.4.1 Những điểm đặc trưng lý thuyết tình 39 1.4.2 Tình lí tưởng 41 1.4.3 Biến dạy học 42 1.5 Đồ án dạy học 43 1.5.1 Khái niệm đồ án dạy học 43 1.5.2 Các bước để xây dựng đồ án dạy học 44 1.6 Kết luận chương 1: nghiên cứu cần triển khai 46 CHƯƠNG ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN: MỐI QUAN HỆ GẮN KẾT GIỮA GIẢI TÍCH VÀ VẬT LÍ NHÌN TỪ LỊCH SỬ 50 2.1 Mục tiêu chương định hướng thực .50 2.2 Quan hệ gắn kết Toán học với Vật lí học lịch sử hình thành tiến triển đạo hàm, tích phân 51 2.2.1 Thời kì cổ đại 51 2.2.2 Thời kì tiền Giải tích (sau Archimedes trước Newton – Leibniz) 53 2.2.3 Cơ học cổ điển Newton vai trị cơng cụ Giải tích 58 2.2.4 Những đóng góp Giải tích vào phát triển sau Vật lí 62 2.3 Đặc trưng tri thức luận đạo hàm tích phân 63 2.3.1 Các toán động lực nảy sinh tiến triển đạo hàm, tích phân 63 2.3.2 Các nghĩa hai khái niệm đạo hàm tích phân .66 2.4 Kết luận chương gợi ý sư phạm rút 66 CHƯƠNG ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ TỪ QUAN ĐIỂM LIÊN MƠN GIỮA GIẢI TÍCH VÀ VẬT LÍ 70 3.1 Mục tiêu chương định hướng thực 70 3.2 Nghiên cứu mối quan hệ thể chế khái niệm đạo hàm nhìn từ định hướng liên môn 71 3.2.1 Đạo hàm thể chế IVL 71 3.2.2 Đạo hàm thể chế IT 75 3.3 Nghiên cứu mối quan hệ thể chế khái niệm tích phân nhìn từ định hướng liên mơn 80 3.3.1 Tích phân thể chế IVL 81 3.3.2 Tích phân thể chế IT 88 3.4 Kết luận chương 3: mối quan hệ liên mơn Tốn – Vật lí việc dạy học hai khái niệm đạo hàm tích phân 95 CHƯƠNG CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠM 97 4.1 Cơ sở đề xuất giải pháp 97 4.1.1 Cách hiểu đầy đủ khái niệm đạo hàm, tích phân 98 4.1.2 Ứng dụng khái niệm đạo hàm, tích phân Vật lí .102 4.1.3 Vận dụng chiến lược liên môn Toán – Khoa học dạy học khái niệm đạo hàm, tích phân .105 4.1.4 Sự liên môn thể chuyển hóa sư phạm hai tri thức đạo hàm, tích phân 107 4.2 Các giải pháp sư phạm 109 4.2.1 Nhóm 1: Nhóm giải pháp xây dựng cách hiểu đầy đủ cho người học hai khái niệm đạo hàm tích phân .110 4.2.2 Nhóm 2: Nhóm giải pháp nhằm tăng cường vai trị cơng cụ đạo hàm tích phân giúp người học ứng dụng hiệu chúng vấn đề Vật lí 114 CHƯƠNG NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .126 5.1 Đồ án dạy học khái niệm đạo hàm 126 5.1.1 Mục tiêu xây dựng đồ án 126 5.1.2 Các giải pháp vận dụng 127 5.1.3 Các phân tích ban đầu .128 5.1.4 Các toán sở đồ án .130 5.1.5 Phân tích tiên nghiệm .133 5.1.6 Phân tích hậu nghiệm 140 5.1.7 Kết luận cho thực nghiệm dạy học khái niệm đạo hàm .149 5.2 Đồ án dạy học khái niệm tích phân 149 5.2.1 Mục tiêu xây dựng đồ án 149 5.2.2 Các giải pháp vận dụng 150 5.2.3 Các phân tích ban đầu .151 5.2.4 Các toán sở đồ án .155 5.2.5 Phân tích tiên nghiệm .158 5.2.6 Phân tích hậu nghiệm 172 5.2.7 Kết luận cho thực nghiệm dạy học khái niệm tích phân 189 5.4 Kết luận chương 189 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN 191 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ .194 TÀI LIỆU THAM KHẢO 195 CÁC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN VIẾT TẮT VIẾT ĐẦY ĐỦ DH Dạy học GT Giải tích GV Giáo viên HS Học sinh LM Liên môn SGK Sách giáo khoa SV Sinh viên TN Thực nghiệm tr Trang PL13 PHIẾU HỌC TẬP PHA Tên nhóm:………………… Bài tốn Trong xứ sở thần tiên, bạn nhỏ tí hon có tổ chức thi chạy tiếp sức Mỗi đội gồm số vận động viên chạy nối tiếp tổng thời gian giây ▪ Đội gồm bạn X, Y Z chạy tiếp sức theo thứ tự Mỗi bạn chạy giây chuyền gậy cho bạn Vì bạn chạy thời gian ngắn nên xem chạy với vận tốc không đổi sau: Bạn X: / , bạn Y: 1,5 / , bạn Z: / Đồ thị hàm số vận tốc ba bạn vẽ hình dưới: ▪ Đội gồm bạn: A, B, C, D, E, F chạy tiếp sức theo thứ tự Mỗi bạn chạy giây chuyền gậy cho bạn Vận tốc bạn cấp số cộng với công sai 0,25 cm / s bạn A chạy với vận tốc cm / s a Hãy tính tổng quãng đường đội chạy Đội chạy quãng đường dài hơn? b Tơ màu phần diện tích hình biểu diễn quãng đường chạy đội PL14 PHIẾU HỌC TẬP PHA Tên nhóm:………………… Bài tốn Các bạn nhỏ tí hon tổ chức thi chạy cá nhân tính thành tích, bạn tham gia thi đấu chạy giây so sánh quãng đường chạy với Trong trình thi chạy bạn Tom, người ta ghi nhận vận tốc bạn 0,5 giây lần Dữ liệu cho theo bảng sau: Thời điểm (giây) Vận tốc (cm/s) Hãy tính xấp xỉ quãng đường mà Tom chạy giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động PHIẾU HỌC TẬP PHA Tên nhóm:………………… Bài tốn Bạn Jerry thi chạy sau biết vận tốc Jerry biến đổi theo hàm số v (t ) = 25 t +1 (cm/s) Đồ thị hàm số cho đây: Hãy tính gần quãng đường mà Jerry chạy giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động PL15 PHỤ LỤC THỰC NGHIỆM KIỂM TRA KHẢ NĂNG VẬN DỤNG CƠNG CỤ TÍCH PHÂN VÀO CÁC BÀI TỐN VẬT LÍ CỦA SINH VIÊN NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN 1.Đối tượng thực nghiệm mục tiêu thực nghiệm Ba tốn ví dụ kiểu nhiệm vụ LM Tốn – Vật lí mà chúng tơi dùng để minh hoạ cho giải pháp (ví dụ 8.3; 8.4; 8.5) TN tiến hành đối tượng SV năm thứ ba khoa toán trường đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Có 32 SV lựa chọn cho TN, em học nhiều học phần GT trước chuẩn bị tham gia kì kiến tập sư phạm trường phổ thông Với kiến thức tốn trang bị vậy, TN chúng tơi muốn kiểm tra xem SV Sư phạm tốn có khả vận dụng chúng để giải tốn với ngữ cảnh vật lí hay khơng 2.Các tốn thực nghiệm phân tích tiên nghiệm kết Bài tốn Hai xe tơ xuất phát đồng thời từ vị trí bắt đầu chuyển động đường thẳng theo hướng với vận tốc cho đồ thị sau: a Theo em, vào thời điểm = phút, xe quãng đường dài hơn? Giải thích câu trả lời em b Tại thời điểm = phút, xe quãng đường dài hơn? Giải thích Phân tích: Hàm số vận tốc cho theo biểu diễn đồ thị vận tốc xe A nội suy biểu thức đại số xe B khơng Một ý nghĩa vật lí tích phân đưa vào chương trình tốn phổ thơng qng đường tích phân hàm vận tốc Bên cạnh tích phân có ý nghĩa hình học diện tích đường cong Chúng tơi muốn kiểm tra xem SV có biết so sánh quãng đường thơng qua so sánh hai tích phân nối kết với việc so sánh diện tích đường cong vận tốc hay khơng? Việc sử dụng diện tích để tính tốn so sánh đại lượng kĩ thuật PL16 quan trọng Vật lí đại lượng cần so sánh lúc cho trước biểu thức đại số Các chiến lược giải xuất hiện: ): So sánh hai qng đường thơng qua so sánh hai diện tích đường cong vận tốc Chiến lược tích phân – diện tích ( ệ í sánh Chiến lược tích phân – đại số ( Đạ ố): Tìm biểu diễn đại số cho hàm vận tốc tính quãng đường tích phân so Chiến lược vật lí ( lớn hơn…) ậ í): So sánh quãng đường lí lẽ ngữ cảnh vật lí (vận tốc lớn quãng đường Kết với toán 1: Bài toán Chiến lược Số SV Tỉ lệ Ở câu a, hầu hết SV (87,5%) sử dụng Vật lí để giải thích quãng đường xe B dài vận tốc lớn cách giải cho thấy cơng cụ tích phân chưa tác động Tuy nhiên với câu b Vật lí khơng sử dụng được, lúc có 19% (6/32) số SV biết sử dụng Diện tích để giải thích xe A qng đường dài diện tích hình phẳng đồ thị lớn Đa số không gợi cơng cụ tích phân tình cố gắng sử dụng lí lẽ vật lí để trả lời khơng thành cơng Ngồi ra, có SV nghĩ đến việc sử dụng tích phân để so sánh hai quãng đường được, nhiên thay kết nối với diện tích họ lại cố gắng nội suy hàm số vận tốc để tính tốn đại số Như vậy, tình hàm số vận tốc cho theo biểu diễn đồ thị thay biểu diễn đại số nhiều SV TN chúng tơi khơng thể gợi tích phân nối kết quãng đường cần so sánh với diện tích để có câu trả lời hợp lí PL17 Bài tốn Đồ thị gia tốc – thời gian hai vật cho đây: Vật Vật c Cho biết vật có hàm số gia tốc đoạn [0; 2] ( ) = − + Vận tốc vật thay đổi lượng từ thời điểm = đến thời điểm = giây d Trong hai vật, vật có thay đổi vận tốc lớn khoảng thời gian chuyển động từ thời điểm = giây đến thời điểm = giây? Giải thích Phân tích Các SV quen thuộc với công thức Newton – Leibniz, vốn dạng phát biểu định lí giải tích Trong đó, tích phân tính hiệu hai nguyên hàm hai cận: b f '( x ) dx = f (b ) − f ( a ) = f Ở chương trình phổ thông, a SV biết gia tốc đạo hàm vận tốc: v '(t ) = a (t) Vì ngữ cảnh tốn cơng thức Newton – Leibniz trở thành: v = b v '(t) dt = b a (t )dt a a Nghĩa lượng thay đổi vận tốc tích phân hàm gia tốc Ở tốn đặt câu hỏi lượng thay đổi vận tốc hai thời điểm, liệu SV có sử dụng kiến thức tích phân vật lí họ để giải hay khơng? Các chiến lược giải xuất - Chiến lược tích phân ( í â ): Vận tốc thay đổi lượng là: v = b a (t ) dt = ( −t + 2) dt = 2( m / s) - a Chiến lược tính tích phân diện tích ( ệ í ): Vì hàm số gia tốc cho theo biểu diễn đồ thị nên tính tích phân diện tích hình phẳng đồ thị Kết với toán 2: PL18 Bài toán Chiến lược giải Số SV Tỉ lệ Ở câu a, kết thu cho thấy tỉ lệ đáng kể (56,3%) SV không sử dụng tích phân để tính lượng thay đổi vận tốc ∆ Trong số 14 SV vận dụng cơng cụ tích phân vào việc giải tốn có đến 11 em thực việc tính tích phân theo nguyên hàm ba em lại sử dụng diện tích để đến kết Với câu b, hàm số gia tốc cho biểu diễn đồ thị, có 18,8% (6/32) SV tìm chiến lược tối ưu Diện tích để giải thành cơng tốn Đáng ý xem xét lời giải câu b 14 SV áp dụng tích phân câu a, chúng tơi nhận thấy có đến em tìm cách nội suy hàm số gia tốc vật để tìm biểu thức GT cho chúng Đa số em thừa nhận đường cong gia tốc vật có dạng parabol để nội suy tính giá trị số tích phân trước so sánh Kết TN với toán cho thấy, SV sở hữu kiến thức tốn vật lí cần thiết nhiên phần lớn vận dụng chúng vào toán yêu cầu xác định lượng thay đổi vận tốc Nhưng khó khăn mà SV gặp phải khơng bắt nguồn từ thiếu kiến thức tốn vật lí, bắt nguồn từ đâu? Theo nguyên nhân nằm dạng kiến thức cô lập mà SV sở hữu Việc học kiến thức toán SV thường diễn cách tách biệt với ngữ cảnh vật lí thực tiễn mà áp dụng Bên cạnh đó, dường SV sư phạm xa lạ với kiểu nhiệm vụ đòi hỏi ứng dụng kiến thức tích phân vào ngữ cảnh ngồi tốn học, đặc biệt vật lí Điều dẫn đến việc cách hiểu tích phân theo hiệu nguyên hàm kích hoạt dễ dàng kiểu nhiệm vụ tính tốn lại “ít hoạt động” với tốn có ngữ cảnh ứng dụng PL19 Bài tốn Công lực F không đổi kéo vật dịch chuyển độ dời (cùng phương với lực) tính công thức: = a Một vật dịch chuyển đoạn đường thẳng tác dụng lực kéo khơng đổi có độ lớn F = 10N phương với chiều chuyển động Tính cơng lực kéo vật từ vị trí ban đầu = đến vị trí = (m) b Trong thực tế, kéo vật di chuyển quãng đường lớn người kéo mệt nên lực kéo giảm dần theo hàm số F ( s ) = 10 − 25 s2 (đơn vị lực Newton đồ thị cho bên) Hãy tìm cách tính gần công lực kéo vật dịch chuyển từ vị trí = (m) đến vị trí = (m) Giải thích cách tính - Bạn đề nghị phương pháp tốn học cho phép tính xác cơng cần tìm Hãy giải thích đề nghị bạn Kết với toán 3: Từ đầu tốn chúng tơi cung cấp cơng thức tính cơng trường hợp lực tác động khơng đổi Vì không ngạc nhiên tất HS SV tham gia TN dễ dàng áp dụng đưa kết cho yêu cầu câu a Đối với yêu cầu câu b, kết chúng tơi ghi nhận với nhóm SV sau: Khơng có SV đưa chiến lược Riemann yêu cầu tính gần Với yêu cầu tính xác, có SV (18,8%) tổng số 32 SV biết sử dụng tích phân để tính cơng cần tìm em cịn lại khơng đưa câu trả lời Đáng nói hơn, tiến hành vấn SV thành công phát có em biết lí sử dụng tích phân dựa cấu trúc tổng Riemann Các em lại cho biết rằng, họ biết cơng thức tính cơng theo tích phân từ sách tham khảo vật lí chưa hiểu có cách tính Kết luận cho thực nghiệm Để dạy học tích phân theo hướng LM Tốn – Vật lí, điều quan trọng GV phải dạy tích phân theo cách mà người học sử dụng để giải vấn PL20 đề Vật lí Mà SV sư phạm trở thành GV tương lai liệu có sử dụng tích phân tốn Vật lí hay khơng? Kết TN cho thấy SV gặp khó khăn việc áp dụng kiến thức tốn học vào ngữ cảnh vật lí Hơn nữa, điều đáng ý khó khăn họ gặp phải lại khơng đến từ thiếu hụt kiến thức tốn hay vật lí Thật vậy, tốn đa số SV biết ý nghĩa vật lí tích phân quãng đường giới thiệu SGK tốn lớp 12 Bên cạnh đó, SV biết ý nghĩa hình học tích phân diện tích hình phẳng đường cong Tuy nhiên, tình mà hàm số vận tốc cho theo biểu diễn đồ thị thay biểu diễn đại số nhiều SV TN chúng tơi khơng thể gợi tích phân nối kết qng đường cần so sánh với diện tích để có câu trả lời hợp lí Đến tốn 2, SV sở hữu kiến thức toán vật lí cần thiết cơng thức Newton – Leibniz hay mối quan hệ gia tốc vận tốc Phần lớn em vận dụng chúng vào tốn vật lí mà u cầu xác định lượng thay đổi vận tốc Nhưng khó khăn mà SV gặp phải không bắt nguồn từ thiếu kiến thức tốn vật lí, bắt nguồn từ đâu? Theo chúng tơi ngun nhân có lẽ dạng kiến thức cô lập mà SV sở hữu SV học kiến thức toán, kiến thức toán họ học tập nhận thức cách tách biệt với ngữ cảnh thực tế khoa học mà kiến thức áp dụng Vì có đủ kiến thức tốn khoa học SV gặp khó khăn việc nối kết hiểu biết mà họ có để giải vấn đề Điều tương tự xảy kết với toán SV sư phạm toán bậc đại học dạy tích phân theo định nghĩa giới hạn tổng Riemann, nhiên việc tách biệt dạng kiến thức khỏi ứng dụng đa dạng làm cho quan niệm SV tích phân bị hạn chế Hầu hết SV sử dụng cách hiểu tích phân theo tổng Riemann vào ngữ cảnh ứng dụng khơng quen thuộc tốn tính cơng lực biến đổi PL21 4.Hình ảnh minh hoạ số làm sinh viên thực nghiệm Bài toán Bài làm Bài làm PL22 Bài làm Bài làm PL23 Bài làm PL24 Bài toán Bài làm PL25 Bài làm Bài làm PL26 Bài toán Bài làm Bài làm PL27 Bài làm ... hiểu đầy đủ khái niệm đạo hàm, tích phân 98 4.1.2 Ứng dụng khái niệm đạo hàm, tích phân Vật lí .102 4.1.3 Vận dụng chiến lược liên mơn Tốn – Khoa học dạy học khái niệm đạo hàm, tích phân ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGÔ MINH ĐỨC DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN THEO QUAN ĐIỂM LIÊN MƠN: TRƯỜNG HỢP LIÊN MƠN TỐN – VẬT LÍ Chun... lẫn Toán học Vật lí học diễn lịch sử hình thành tiến triển hai khái niệm đạo hàm, tích phân? Chúng tơi dùng từ Tốn học Vật lí học với tư cách ngành khoa học để phân biệt với mơn học Tốn Vật lí dạy