Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.. Tính nghiệm kép đó... b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
A/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN:I/ Khái niệm phương trình bậc hai ẩn số:
Phương trình bậc hai ẩn số (x) phương trình có dạng: ax2 + bx + c = (với a, b, c R a 0) II/ Cách giải phương trình bậc hai ẩn số:
1 Dạng khuyết c (c=0) – Dạng ax 2 + bx = 0:
ax2 + bx = x.(ax+b)=0
0
0 x x
b
ax b x
a
2 Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax2 + c = 0:
* Trường hợp c>0: phương trình vơ nghiệm (vì ax2 + c > x )
* Trường hợp c<0, ta có: ax2 + c = ax2
c x
c a
c x
a c
x
a
3 Dạng đầy đủ – Dạng ax2 + bx + c = (với a, b, c0 :
- Bước 1: Xác định hệ số a,b,c
- Bước 2: Lập = b2 - 4ac (hoặc ' = b'2 – ac) so sánh với 0
(Trong trường hợp >0 (hoặc '>0) ta tính (hoặc tính ') - Bước 3: Xác định kết luận nghiệm theo bảng sau:
C«ng thøc nghiƯm C«ng thøc nghiƯm thu gän = b2 - 4ac
-NÕu > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: a
b x
2
;
a b x
2
- NÕu = : Phơng trình có nghiệm kép :
a b x x
2
2
- NÕu < : Phơng trình vô nghiệm
' = b'2 - ac (víi b’ = b
2b')
- Nếu ' > : Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt: a
b x
' '
;
a b x
' '
- Nếu ' = : Phơng trình cã nghiÖm kÐp:
a b x
x1 2 '
- NÕu ' < : Phơng trình vô nghiệm
* Chỳ ý: Nếu a.c < phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) III/ Định lí Vi-ét:
1/ Vi-ét thuận: NÕu x1, x2 lµ nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) th×:
1
1
b S x x
a c P x x
a
2/ Vi-ét đảo: Hai sè u vµ v thỏa mãn u + v = S; u.v = P thỡ u,v l nghim ca phơng trình: x2 - Sx + P = 0
(§iỊu kiƯn: S2 - 4P 0)
3/ Nhẩm nghiệm ph ơng trình bËc hai ax2 + bx + c = (a 0):
*/ NÕu a + b + c = phơng trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = c a */ NÕu a - b + c = phơng trình có hai nghiÖm: x1 = -1 ; x2 =
(2)* Chú ý: NÕu x1, x2 lµ nghiƯm cđa phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) th×:
ax2 + bx + c = a(x-x
1)(x-x2)
IV/ Giải phương trình quy phương trình bậc hai:
1/ Phương trình tích: ( ) ( ) ( )
( ) A x A x B x
B x
2/ Phương trình chứa ẩn mẫu:
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình (là ĐK ẩn để tất mẫu khác 0) - Bước 2: Qui đồng khử mẫu hai vế
- Bước 3: Giải phương trình nhận bước
- Bước 4: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm với ĐKXĐ kết luận nghiệm 3/ Phương trình trùng phương:
ax4 + bx2 + c = ( a 0 )
+ Đặt : x2 = y , ta có PT cho trở thành : ay2 + by + c = (*) + Giải phương trình (*)
+ Chọn giá trị y thỏa mãn y0 thay vào: x2 = y x= y
+ Kết luận nghiệm phương trình ban đầu
4/ Phương trình sau đặt ẩn phụ quy phương trình bậc hai: + Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện ẩn phụ có
+ Giải phương trình ẩn phụ
+ Chọn giá trị ẩn phụ thỏa mãn điều kiện thay vào chỗ đặt để suy giá trị ẩn ban đầu + Kết luận nghiệm phương trình ban đầu
V/ Cách giải số dạng toán phương trình bậc hai:
Bài tốn 1: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( đó
a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiƯm.
Có hai khả để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm: Hoặc a = 0, b
2 Hc a 0, hc '
Tập hợp giá trị m toàn giá trị m thoả mÃn điều kiện điều kiện
Bi toỏn 2: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c
phô thuéc tham sè m ) có nghiệm phân biệt.
Điều kiện có hai nghiƯm ph©n biƯt
0
0
a
hc
0
0
'
a
Bài tốn 3: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( trong
đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.
§iỊu kiƯn cã mét nghiƯm:
0
0
b
a
hc
0
0
a
hc
0
0
'
a
Bài toán 4: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( trong
đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép.
§iỊu kiƯn cã nghiƯm kÐp:
0
0
a
hc
0
0
'
a
Bài tốn 5: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( trong
đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm.
§iỊu kiƯn cã mét nghiƯm:
0
0
a
hc
0
0
'
a
Bài toán 6: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( trong
(3)§iỊu kiƯn cã mét nghiÖm:
0
0
b
a
hc
0
0
a
hc
0
0
'a
Bài tốn : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c
phơ thc tham sè m ) cã hai nghiƯm cïng dÊu. §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm cïng dÊu:
0
0
a
c
P
hc
0
0
'a
c
P
Bài tốn : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c
phô thuộc tham số m) có nghiệm dơng.
Điều kiƯn cã hai nghiƯm d¬ng:
0 a b S a c
P hc
0
0
0
'a
b
S
a
c
P
Bài tốn : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( trong
đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm âm. Điều kiện có hai nghiệm âm:
0 a b S a c
P hc
0
0
0
'a
b
S
a
c
P
Bài tốn 10 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b,
c phơ thc tham sè m) cã nghiƯm trái dấu. Điều kiện có hai nghiệm trái dấu:
P < hc a.c<0
Bài tốn 11 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (*) ( a,
b, c phô thuéc tham sè m) có nghiệm x = x1.
Cách giải:
- Thay x = x1 vào phơng trình (*) ta cã:ax12 + bx1 + c = m - Thay giá trị m vào (*) x1, x2
- Hc tÝnh x2 = S - x1 hc x2 =
1
x P
Bài tốn 12 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c
phô thuéc tham số m) có nghiệm x1, x2 thoả mÃn ®iỊu kiƯn:
a x1x2 b x x22 k
2
Điều kiện chung: ' (*) Theo định lí Viet ta có:
)
2
(
.
)1
(
2P
a
c
x
x
S
a
b
x
x
(4)Gi¶i hƯ
1 22
x
x
a
b
x
x
Thay x1, x2 vµo (2) m
Chän giá trị m thoả mÃn (*) b Trờng hỵp: x x k x x x1x2 k
2 2
2
1 ( )
Thay x1 + x2 = S = a
b
vµ x1.x2 = P = a c
vào ta có: S2 - 2P = k Tìm đợc giá trị m thoả mãn (*) B/ BÀI TẬP:
Dạng 1: Giải phương trình: Bài 1: Giải phương trình
a) 2x2 + 5x = 0 b) x - 6x2 = 0 c) 2x2 + = 0 d) 4x2 -1 = 0
e) 2x2 + 5x + = 0 f) 6x2 + x + = 0 g) 2x2 + 5x + = 0 h) 25x2 20x 0 i) 3x2 2 3x 0
j) 3x2
3 x
0 k) x2
2 x 0
Bài 2: Giải phương trìnha)3x4 + 2x2 – = 0 b) 2x4 + x2 – = 0 c) 3x4 5x2 2 0 Bài 3: Giải phương trình
a) 16 x3 – 5x2 – x = 0 b)
x2 3x 5
2 2x 12
2 0 c)
3x 6x
x x
d)
2
x 3x
x x x
e)
16 2
x
x Bài 4: Giải phương trình
a) x – x 0 b) x 5 x 0 c)
2x2x
213 2x
2x 12 0
d)
8x2 2x 11
2 2 8x
2x 11 0
e)( x – 6)4 + (x – 8)4 = 16
f) (x2 – 3x – )4 – 13x2 (x2 – 3x – 1)2 + 36x4 = 0
Dạng 2: Khơng giải phương trình tính tổng, tích hai nghiệm; tính nghiệm cịn lại biết trước một nghiệm PTBH:
Bài 1: Cho phương trình: x2 8x 15 0
, khơng giải phương trình tính:
a) x1x2 b) x x1 c)
2
1
x x
d)
x1x2
2 e)1
1
x x f)
1
2
x x x x Bài 2: Cho phương trình: x2 3x 15 0
, khơng giải phương trình tính: a) x1x2 b) x x1
Bài 3: a) Cho phương trình: x2 2mx 0
có nghiệm 2, tìm m tính nghiệm cịn lại b)Cho phương trình: x2 5x q 0
có nghiệm 5, tìm q tính nghiệm cịn lại Dạng 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm: Bài 1: Tìm hai số u v biết:
a) u+v=3 u.v=2 b) u+v= -3 u.v=6 c) u-v=5 u.v=36 d) u2+v2=61 u.v=30 Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
a) x18 x2 3 b) x15 x2 7 c) x1 1 x2 1 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để thỏa mãn có nghiệm phương trình bậc hai: Bài 1: Cho phương trình: x2 2x m 0
, tìm m để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt
b) Có nghiệm kép
(5)c) Vơ nghiệm
d) Có hai nghiệm trái dấu
e) Có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x12x22 5
Bài 2: Cho phương trình: 3x2 2x m 0 , tìm m để phương trình: a) Có nghiệm
b) Có hai nghiệm trái dấu c) Có hai nghiệm dương
Dạng 5: Chứng minh phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt (có nghiệm kép; vơ nghiệm) với tham số:
Bài 1: a) Chứng minh phương trình: x2 2x m2 4 0
có hai nghiệm phân biệt m b) Chứng minh phương trình: x2 2 m x m 0
ln có hai nghiệm phân biệt m c) Chứng minh phương trình: x2 2 m x 4m 12 0
ln có nghiệmm
d) Chứng minh phương trình: c x2 2
a2 b2 c x b2
0vô nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giácDạng 6: Toán tổng hợp:
Bài 1: Cho phương trình: x2 m x 4m 0
.a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép
b) Xác định m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
d) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn: x1= 2x2 e) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn: x12x22 5