Vì vậy nếu bình phương biểu thức A thì ta có được hạng tử cộng là hai lần tích của hai căn thức.[r]
(1)GTLN _GTNN
*phương pháp 1: Phương pháp dựa vào lũy thừa bậc chẵn. Biến đổi hàm số f(x) cho:
* y = M – [g(x)]2n , n Z
+ y M Do ymin = M g(x) =
* y = m + [h(x)]2n , n Z
+ y M Do ymax = m h(x) =
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) Bài 2: Tìm max biểu thức S = x6 + y6 biết x2 + y2 = 1
Bài 3: Tìm biểu thức A =2x2 + 2xy + y2 – 2x + 2y + 1 * Phương pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm
Bài 4: Tìm max biểu thức
1 2
x x x
Giải: Đặt y =
2
2
x 3x
x
Hàm số xác định với x (Vì x
2 + 0 x) Gọi y0 giá trị hàm Thì:
Phương trình y0 =
2
x 3x
x
có nghiệm
y0 (x2 + 1) = x2 + 3x + có nghiệm (y0 - 1).x2 - 6x + y0 - = có nghiệm Nếu y0 = x = thích hợp
Nếu y0 1; ' (y01)2 0 (y01)2 9
y01 3 3 y0 1
Vậy: ymin = - ymax = Khi ………
* Phương pháp 3: Dựa vào bất đẳng thức Bunhiacốpski
Bài 5: CMR (ac + bd)2 (a2 + b2)( c2 + d2)( Đẳng thức Bunhiacốpski) Bài 6: Tìm giá trị lớn biểu thức y = 6 x x2
Bài 7: Tìm giá trị lớn biểu thức y = 3x(3 – 2x) * Phương pháp 4: Dựa vào bất đẳng thức Cơsi:
* Ghi nhớ:
Ta có: a + b ab (Với a, b hai số không âm) Dấu xãy a = b
a1 + a2 + a3 + + an n a1a2a3 an (với: a1; a2 ; a3 ; ; an không âm)
Dấu xãy a1 = a2 = a3 = = an
Vậy:
Nếu a.b = k (khơng đổi) thì: Min(a + b) = 2 k (khi a = b).
Nếu a + b = k (khơng đổi) thì: Max(a.b) =
2
k
(khi a = b).
(2)Bài 8: Cho x > 0; y> thỏa mãn đẳng thức 1 y
x Tìm giá trị nhỏ biểu thức
A = x y Hướng dẫn:
Vì: x > 0; y > nên 0;1 0; x 0; y 0
y
x VẬn dụng bất đẳng thức Cosi đối
với số dương
y x
1 ;
ta có:
y x y x 1 1
Suy ra: 41 xy 4
xy
Vận dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương x; y ta được:
A = x y 2 x y 2 4(Dấu “=” xãy x = y = ) Vậy: MinA = (khi x = y = 4)
* Lưu ý phương pháp giải:
Trong bất đẳng thức ta vận dụng bất đẳng thức Cosi theo hai chiều ngược Lần thứ ta “làm trội”
y x
1
cách vận dụng
2
b a
ab để vận dụng giả thiết 1 y
x , từ xy 4
Lần thứ hai ta “làm giảm” tổng ( x y ) cách vận dụng bất đẩng thức Cô_si theo chiều a + b 2 ab để dùng kết xy 4
Biện pháp 1: Đơi để tìm cực trị biểu thức ta cần phải tìm cực trị bình
phương biểu thức đó.
Bài 9: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 3x 5 7 3x Giải
Cách 1:
Biểu thức A cho dạng tổng hai thức Hai biểu thức lấy có tổng khơng đổi Vì bình phương biểu thức A ta có hạng tử cộng hai lần tích hai thức Đến vậm dụng bất đẳng thức Cơ_si
ĐKXĐ: x
A2 = (3x – 5) + (7 – 3x) + 2 (3x 5).(7 x) = + 2 (3x 5).(7 3x)
A2 + (3x – 5) + (7 – 3x) = 4( Dấu “=” xãy 3x – = – 3x x = 2). Vậy: maxA2 = maxA = 2( x =2).
Cách 2:
Theo BĐT Bunhiacopski ta có: ab cd2 (a2 c )(b2 d )2
Dấu “=”xãy ad = bc ĐKXĐ: x
Ta có: A = 2 2
1 3x 3x 1 3x 5 3x 2 maxA = Khi: 3x 5 7 3x x 2
(3)* Phương pháp 3: Bài 1:
a) CMR: a 0, b 0, : a b a b Dấu “=” xãy nào?
b) CMR: a 0, b a b Thì : a b a b Dấu “=” xãy nào? Áp dụng:
1 Tìm GTNN biểu thức: A = 3x 5 7 3x Điều kiện xác định biểu thức A là:
3
5 x
Ta có: A = 3x 5 3x 3x 3x Dấu “=” xãy Khi 3x - = Hoặc - 3x = x
3
x
3
Vậy: Amax =
5 x
3
x
3 Tìm GTLN biểu thức: B 3x 5 3x 7
Điều kiện xác định biểu thức B là: x
Ta có: B = 3x 5 3x 7 3x 3x
Dấu “=” xãy Khi 3x - = 3x - 7(vơ lí) Hoặc 3x - = <=>x Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức A =
x x
5 Bài 2: Tìm GTNN biểu thức:
a) A = x x 3
b) 2
B (x 2007) x 1
c) 2 2
C x 2y 6x 4y 11 x 3y 2x 6y 4 Bài 3: Tìm GTLN biểu thức:
a) D x x
b) E 2 x2 x
c) F 1 6x x2 7
Bài 4: Cho x, y dương,
a) CMR: 1
xyx y Dấu “=” BĐT xãy nào?
b) Áp dụng: Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c chu vi 2p = a + b + c
Chứng minh rằng: 1 1
p a p b p c a b c
(4)