Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó ∆ là trục của đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC. Đường trung trực của cạnh bên SA qua trung điểm J và cắt ∆ tại I. Một mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.[r]
(1)UBND TỈNH TUYÊN QUANG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÂN CÔNG BIÊN SOẠN TÀI LIỆU ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH NĂM HỌC 2017-2018
MƠN: Tốn
STT Tên bài/chun đề Dự kiến
số tiết Đơn vị phụ trách biên soạn Ghi
1
Ứng dụng Đạo hàm - Tính đơn điệu hàm số - Cực trị hàm số
- GTLN, GTNN hàm số Bài toán tối ưu
- Đường tiệm cận đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số
- Sự tương giao đồ thị Tiếp tuyến đồ thi hàm số
12
THPT Chuyên THPT Hòa Phú THPT Yên Hoa
2
Lũy thừa - Mũ – Logarit - Lũy thừa, Mũ, Logarit
- Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ, Hàm số logarit
- Bài toán lãi suất
- Phương trình, Bất phương trình mũ
- Phương trình, Bất phương trình logarit
12
THPT Dân tộc Nội trú tỉnh THPT Sơn Nam
THPT Minh Quang
3
Nguyên hàm -Tích phân ứng dụng
- Nguyên hàm - Tích phân
- Ứng dụng tích phân
12
THPT Tân Trào THPT Thái Hịa THPT Lâm Bình
4
Số phức
- Dạng đại số phép toán tập số phức
- Phương trình bậc hai với hệ số thực
- Biểu diễn hình học số phức
12
THPT Nguyễn Văn Huyên THPT Tháng 10
THPT Thượng Lâm
5
Khối đa diện Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu
- Khối đa diện thể tích khối đa diện
- Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu
12
(2)STT Tên bài/chuyên đề Dự kiến
số tiết Đơn vị phụ trách biên soạn Ghi - Hệ tọa độ không gian
- Phương trình mặt cầu - phương trình mặt phẳng - Phương trình đường thẳng - Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu - Góc khoảng cách
7
Lượng giác
- Cung góc lượng giác Giá trị lượng giác cung Công thức lượng giác
- Hàm số lượng giác
- Phương trình lượng giác thường gặp
9 THPT Đông Thọ THPT Kim Bình
8
Tổ hợp - xác suất - Quy tắc đếm
- Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp - Nhị thức Niu-Tơn
- Phép thử biến cố - Xác suất biến cố
9 THPT Kim Xuyên THPT Sông Lô
9
Dãy số - Giới hạn
- Phương pháp quy nạp toán học Dãy số Cấp số cộng Cấp số nhân
- Giới hạn dãy số - Giới hạn hàm số - Hàm số liên tục
9 THPT Kháng Nhật THPT Xuân Huy
10
Đạo hàm
- Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm - Quy tắc tính đạo hàm
- Đạo hàm hàm số lượng giác - Vi phân
- Đạo hàm cấp cao
9 THPT Hàm Yên THPT Xuân Vân
11 Phép dời hình, phép đồng dạng
trong mặt phẳng
THPT Chiêm Hóa THPT Trung Sơn
12
Hình học khơng gian lớp 11 - Quan hệ song song không gian
- Quan hệ vng góc khơng gian
- Khoảng cách Góc
9 THPT Phù Lưu THPT ATK Tân Trào
(3)Ghi chú:
YÊU CẦU ĐỐI VỚI TÀI LIỆU
- Tài liệu ôn tập xây dựng theo chủ đề/chuyên đề lớp 11 lớp 12; mỗi chủ đề/chuyên đề bao gồm phần: Kiến thức bản, Luyện tập Các câu hỏi trắc nghiệm (trừ môn Ngữ văn theo hình thức tự luận)
- Tài liệu ôn tập phải đảm bảo phù hợp với chuẩn kiến thức, kĩ chương trình; bao quát toàn nội dung lớp 11 lớp 12; đảm bảo tính xác, khoa học; câu hỏi trắc nghiệm đạt yêu cầu theo quy định đề thi trắc nghiệm chuẩn hóa
- Thời lượng chương trình ơn tập: Tối đa thời lượng chương trình khóa của mơn
QUY ĐỊNH CÁCH THỨC TRÌNH BÀY CÁC CHUYÊN ĐỀ - Đặt lề trái, phải, trên, dưới: 2cm (Paper size: A4)
- Font chữ: Times New Roman - Cỡ chữ:
Tên chuyên đề (in hoa đậm cỡ 18);
Tên chủ đề chuyên đề (in hoa đậm cỡ 16); Các chữ in hoa khác: in đậm cỡ 14
Nội dung: cỡ 12
- Cơng thức tốn: Dùng phần mềm MathType, cỡ chữ công thức 12
- Hình vẽ bảng biểu phải trực quan, xác, rõ ràng Phải group lại để khơng bị vỡ hình di chuyển
- Về nội dung cách trình bày chuyên đề: (Xem phần minh họa) Chú ý:
- Mỗi chuyên đề ấn định số tiết cụ thể Các thầy cô biên soạn tách buổi (mỗi buổi tiết) Trong tiết học gồm đủ nội dung:
A Kiến thức bản;
B Kĩ (bao gồm kĩ sử dụng máy tính cầm tay); C Bài tập luyện tập;
D Bài tập TNKQ (25 câu hỏi trắc nghiệm khách quan đủ mức độ: nhận biết (khoảng câu), thông hiểu (khoảng 10 câu), vận dụng (khoảng đến câu), vận dụng cao (khoảng đến câu))
(4)Buổi
CHỦ ĐỀ 1+2 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CƠ BẢN
A Tính đơn điệu của hàm số
1. Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( )xác định K, với K khoảng, nửa khoảng
đoạn
• Hàm số y= f x( )đồng biến (tăng) K ∀x x1, 2∈K x, 1<x2 ⇒ f x( )1 < f x( )2 • Hàm số y= f x( )nghịch biến (giảm) K ∀x x1, 2∈K x, 1 <x2 ⇒ f x( )1 > f x( )2 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f x( )có đạo hàm khoảng K
• Nếu hàm sốđồng biến khoảng K f′( )x ≥ ∀ ∈0, x K • Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f′( )x ≤ ∀ ∈0, x K
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f x( )có đạo hàm khoảng K • Nếu f′( )x > ∀ ∈0, x Kthì hàm sốđồng biến khoảng K
• Nếu f′( )x < ∀ ∈0, x Kthì hàm số nghịch biến khoảng K • Nếu f′( )x = ∀ ∈0, x Kthì hàm sốkhơng đổi khoảng K Chú ý
Nếu K đoạn nửa khoảng phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y= f x( ) liên tục
đoạn nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y= f x( )liên tục đoạn [ ]a b; có đạo hàm f′( )x > ∀ ∈0, x Ktrên khoảng ( )a b; hàm sốđồng biến đoạn [ ]a b;
Nếu f′( )x ≥ ∀ ∈0, x K( f′( )x ≤ ∀ ∈0, x K) f′( )x =0chỉ số điểm hữu hạn K hàm sốđồng biến khoảng K ( nghịch biến khoảng K)
4 Kĩ
4.1 Lập bảng xét dấu biểu thức P x( )
Bước Tìm nghiệm biểu thức P x( ), giá trị x làm biểu thức P x( ) không xác định Bước Sắp xếp giá trị x tìm theo thứ tự từ nhỏđến lớn
Bước Sử dụng máy tính tìm dấu P x( ) khoảng bảng xét dấu 4.2 Xét tính đơn điệu hàm số y= f x( ) tập xác định
Bước Tìm tập xác định D Bước Tính đạo hàm y′= f x′( )
Bước Tìm nghiệm f x′( ) giá trị x làm cho f x′( ) không xác định Bước Lập bảng biến thiên
Bước Kết luận
4.3 Tìm điều kiện tham số m để hàm số y= f x( ) đồng biến, nghịch biến khoảng (a b; )
cho trước
(5) Hàm sốđồng biến ( ; )a b ⇔ y'≥ ∀ ∈0, x ( ; )a b Chú ý: Riêng hàm sốy a x b1
cx d + =
+ :
Hàm số nghịch biến ( ; )a b ⇔ y'< ∀ ∈0, x ( ; )a b Hàm sốđồng biến ( ; )a b ⇔ y'> ∀ ∈0, x ( ; )a b * UNhắc lại số kiến thức liên quanU:
Cho tam thức g x( )=ax2+bx c a+ ( ≠0)
a) ( ) 0,
0 > ≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤
a
g x x b) ( ) 0,
0 < > ∀ ∈ ⇔ ∆ >
a
g x x
c) ( ) 0,
0 < ≤ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤
a
g x x d) ( ) 0,
0 < < ∀ ∈ ⇔ ∆ <
a
g x x
Chú ý: Nếu gặp tốn tìm m để hàm sốđồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng ( ; )a b :
UBước 1U: Đưa bất phương trình f x′( )≥0 (hoặc f x′( )≤0), ∀ ∈x ( ; )a b dạng ( )g x ≥h m( ) (hoặc ( )≤ ( )
g x h m ), ∀ ∈x ( ; )a b
UBước 2U: Lập bảng biến thiên hàm số g x( ) ( ; )a b
UBước 3U: Từ bảng biến thiên điều kiện thích hợp ta suy giá trị cần tìm tham số m
B Cực trị của hàm số
1. Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( )xác định liên tục khoảng ( ; )a b (có thể a −∞; b +∞)
và điểm x0∈( ; )a b
• Nếu tồn số h>0 cho f x( )< f x( )0 với x∈(x0−h x; 0+h) x≠x0 ta nói hàm số ( )
f x đạt cực đại x0
• Nếu tồn số h>0 cho f x( )> f x( )0 với x∈(x0−h x; 0+h) x≠ x0 ta nói hàm số ( )
f x đạt cực tiểu tại x0
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục K =(x0−h x; 0+h)và có đạo hàm K K \ { }x0 , với h>0
• Nếu f '( )x >0 khoảng (x0−h x; 0) f x'( )<0 ( ;x x0 0+h) x0 điểm cực đại hàm số f x( )
• Nếu f′( )x <0 khoảng (x0−h x; 0) f x′( )>0 ( ;x x0 0+h) x0 điểm cực tiểu hàm số f x( )
Minh họa bảng biến thiên
Chú ý
x x0−h x 0 x0+h x x0−h x 0 x0+h ( )
f x′ + − f x′( ) − +
( ) f x
CÑ f
( ) f x
CT
(6) Nếu hàm sốy= f x( ) đạt cực đại (cực tiểu) x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f x( 0) gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, kí hiệu
( CT)
fCĐ f , cịn điểm M x( ; (0 f x0)) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số
Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)
còn gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trịcủa hàm số 3 Kĩ
3.1.Quy tắc tìm cực trị hàm số • UQuy tắc 1:
Bước 1. Tìm tập xác định hàm số
Bước 2. Tính f′( )x Tìm điểm f′( )x f′( )x không xác định Bước Lập bảng biến thiên
Bước Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị • UQuy tắc 2:
Bước 1. Tìm tập xác định hàm số
Bước 2. Tính f′( )x Giải phương trình f′( )x ký hiệuxi (i=1, 2, 3, )là nghiệm Bước Tính f′′( )x f′′( )xi
Bước 4. Dựa vào dấu f′′( )xi suy tính chất cực trị điểm xi
3.2 Kỹ giải nhanh toán cực trị hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx+d a( ≠0)
Ta có
3
y′ = ax + bx c+
• Đồ thị hàm sốcó hai điểm cực trịkhi phương trình y′ =0 có hai nghiệm phân biệt
3
b ac ⇔ − >
Khi đường thẳng qua hai điểm cực trịđó :
2
2
3 9
c b bc
y x d
a a
= − + −
• Bấm máy tính tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị :
( )
3 2
3
3
x i x b
ax bx cx d ax bx c Ai B y Ax B
a =
+ + + − + + + → + ⇒ = +
Hoặc sử dụng công thức 18 y y y
a ′ ′′ −
• Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba là:
4e 16e AB
a +
= với
2 b ac e
a − = 3.3 Kỹ giải nhanh toán cực trị hàm trùng phương
Cho hàm số: ( )
y=ax +bx +c a≠ có đồ thị ( )C
3
2
4 ;
2 x
y ax bx y b
x
a =
′= + ′= ⇔
= −
( )C có ba điểm cực trị y′ =0có nghiệm phân biệt
2 b
a ⇔ − >
Khi ba điểm cực trị là: ( )0; , ; , ;
2 4
b b
A c B C
a a a a
∆ ∆
− − − − −
với
2 b ac
(7)Độdài đoạn thẳng:
4
2 ,
16 2
b b b
AB AC BC
a a a
= = − = −
Các kết cần ghi nhớ:
• ∆ABC vng cân ⇔BC2 = AB2+AC2
4 3
2
2
2 1
16 16 2 8
b b b b b b b b
a a a a a a a a
⇔ − = − ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =
• ∆ABC ⇔BC2 =AB2
4 3
2
2
0 3
16 16 2 8
b b b b b b b b
a a a a a a a a
⇔ − = − ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =
• BAC=α , ta có:
3
3
8
cos tan
8
b a a
b a b
α
α = + ⇔ = −
−
•
4
ABC
b b
S
a a
∆ = −
• Bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC
3 8
b a
R
a b − =
• Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC
2
2
4
2
4
4 16
16 2
b b
a a b
r
b b b a a ab
a a a
−
= =
+ −
− + −
• Phương trình đường trịn ngoại tiếp ∆ABC là: 2 2
4
x y c y c
b a b a
∆ ∆
+ − − + + − =
II LUYỆN TẬP
A Tính đơn điệu của hàm số
Bài 1: Xét sựđồng biến, nghịch biến hàm số:
1/ y=x4+8x2+5; 2/
x y
x
− =
−
3/
1
x x
y x
+ − =
− ; 4/
2 25
y= −x
Bài 2: Cho hàm số y ( 1)m x3 mx2 (3m 2)x
= − + + − (1)
Tìm tất giá trị tham số m để hàm số(1) đồng biến tập xác định HD giải Tập xác định: D = R y′=(m−1)x2+2mx+3m−2
(1) đồng biến R ⇔ y′≥ ∀0, x ⇔ m≥2 Bài 3: Cho hàm số y x= 3+3x2−mx−4 (1)
Tìm tất giá trị tham sốm để hàm số(1) đồng biến khoảng ( ;0)−∞ HD giải Tập xác định: D = R y′=3x2+6x m− y′ có ∆′ =3(m+3)
+ Nếu m≤ −3 ∆′ ≤0 ⇒ y′ ≥ ∀0, x ⇒ hàm số đồng biến R ⇒ m≤ −3 thoả YCBT
(8)Do hàm số đồng biến khoảng ( ;0)−∞ ⇔ 0≤x1<x2 ⇔ P S
0 0
∆′ >
≥ >
⇔ mm 30 > −
− ≥ − >
(VN) Vậy: m≤ −3
Bài 4: Cho hàm số y= −2x3+3mx2−1 (1)
Tìm giá trị m để hàm số(1) đồng biến khoảng ( ; )x x1 2 với x2−x1=1 HD giải y'= −6x2+6mx, y' 0= ⇔ = ∨ =x x m
+ Nếu m = ⇒ ≤ ∀ ∈y′ 0, x ⇒ hàm số nghịch biến ⇒ m = không thoả YCBT + Nếu m≠0, y′ ≥ ∀ ∈0, x (0; )m m>0 hoặc y′ ≥ ∀ ∈0, x ( ;0)m khi m<0
Vậy hàm số đồng biến khoảng ( ; )x x1 2 với x2−x1=1 =
⇔ x xx x1 = mm
( ; ) (0; )
( ; ) ( ;0) x2 −x1 = ⇔1 − =0m− =m0 11⇔ = ±m B Cực trị của hàm số
Bài 1: Tìm cực trị hàm số: 1) y =
3x − x 2) y =
4
1
4 4x − x − 3) y =
2
− +
x x
x 4) y =
2
4
+ +
x x 5)
2 2 2
1
x x
y
x
− +
=
− 6)
3 x y
x+
= −
Bài 2: Tìm m để hàm số: 1) y =
m x
mx x
+ +
+
2
đạt cực đại x =
2) y =
1
+ − + −
x m mx x
đạt cực tiểu x =
3)
2
x x m
y
x
+ +
=
+ đạt cực tiểu x =
4)
3
y=mx + x + x m+ đạt cực tiểu x =
5) ( 2) (2 ) 2
3
1 + − + − +
= mx m x m x
y đạt cực đại x = –1
Bài 3: Cho hàm số y=2x2−3(m+1)x2+6mx m+
Tìm m đểđồ thị hàm sốcó hai điểm cực trị A, B cho AB=
HD giải Ta có: y′ =6(x−1)(x m− ) Hàm số có CĐ, CT ⇔ y′ =0 có nghiệm phân biệt ⇔ m≠1 Khi điểm cực trị A m(1; 3+3m−1), ( ;3 )B m m2
AB= 2 ⇔ (m−1)2+(3m2−m3−3m+ =1) 2⇔ m=0;m=2 (thoả điều kiện) Bài 4: Cho hàm số y x= 3−3(m+1)x2+9x m− , với m tham số thực
Xác định m để hàm sốđã cho đạt cực trị x x1 2, cho x1−x2 ≤2
HD giải Ta có y' 3= x2−6(m+1)x+9
(9)⇔ PT x2−2(m+1)x+ =3 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 m
m
m
2
' ( 1)
1
∆ > − +
⇔ = + − > ⇔
< − −
(1) + Theo định lý Viet ta có x1+x2 =2(m+1);x x1 2=3. Khi đó:
( ) ( )
x1−x2 ≤ ⇔2 x1+x2 2−4x x1 2≤ ⇔4 m+12−12 4≤ ⇔(m+1)2≤ ⇔ − ≤ ≤4 m 1 (2) + Từ (1) (2) suy giá trị m cần tìm − ≤ < − −3 m 3 − +1 3< ≤m III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hàm số = + −
1
x y
x Khẳng định khẳng đinh đúng?
A Hàm số nghịch biến khoảng (−∞ ∪ +∞;1) (1; ) B Hàm sốđồng biến khoảng (−∞;1) (∪ +∞1; ) C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞;1) (1;+∞) D Hàm sốđồng biến khoảng (−∞;1) (1;+∞)
Câu 2. Cho hàm số y= − +x3 3x2−3x+2 Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến
B Hàm số nghịch biến khoảng (−∞;1) (1;+∞)
C Hàm sốđồng biến khoảng (−∞;1) nghịch biến khoảng (1;+∞) D Hàm sốluôn đồng biến
Câu 3. Cho hàm số y= − +x4 4x2+10 khoảng sau:
(I): (−∞ −; 2); (II): (− 2; 0); (III): (0; ; ) Hàm sốđồng biến khoảng nào?
A Chỉ (I) B (I) (II) C (II) (III) D (I) (III) Câu 4. Cho hàm số
4 x y
x − =
− + Khẳng định sau khẳng định đúng?
A Hàm số nghịch biến
B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm sốđồng biến khoảng (−∞; 2)và (2;+∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (−∞ −; 2) và(− +∞2; ) Câu 5. Hỏi hàm sốnào sau nghịch biến ?
A h x( )=x4−4x2+4 B g x( )=x3+3x2+10x+1 C ( )
5
f x = − x + x −x D k x( )=x3+10x−cos2x Câu 6. Hàm số
2
3
x x
y
x
− +
=
(10)C. (−∞ −; 1) (− +∞1; ) D (− −4; 1) (−1; 2) Câu 7. Hàm số 4
5
y= x − x + x − đồng biến khoảng nào?
A (−∞; 0) B C. (0; 2) D (2;+∞) Câu 8. Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d Hàm sốluôn đồng biến trên nào?
A 20,
0;
a b c
a b ac
= = >
> − ≤
B
0,
0;
a b c
a b ac
= = >
> − ≥
C 20,
0;
a b c
a b ac
= = >
< − ≤
D
0
0;
a b c
a b ac
= = =
< − <
Câu 9. Cho hàm số y=x3+3x2−9x+15 Khẳng định sau khẳng định sai? A. Hàm số nghịch biến khoảng (−3;1)
B. Hàm sốđồng biến C. Hàm sốđồng biến (− −9; 5)
D. Hàm sốđồng biến khoảng (5;+∞)
Câu 10. Tìm điều kiện để hàm số y=ax4+bx2+c (a≠0) có điểm cực trị A. ab<0 B. ab>0 C. b=0 D. c=0 Câu 11. Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên:
Khẳng định sau đúng?
A. Hàm sốđạt cực đại x=2 B. Hàm sốđạt cực đại x=3 C. Hàm sốđạt cực đại x=4 D. Hàm sốđạt cực đại x= −2 Câu 12. Cho hàm số y=x3−3x2+2 Khẳng định sau đúng?
A. Hàm sốđạt cực đại x=2 đạt cực tiểu x=0 B Hàm sốđạt cực tiểu x=2 đạt cực đại x=0 C. Hàm sốđạt cực đại x= −2và cực tiểu x=0 D. Hàm sốđạt cực đại x=0và cực tiểu x= −2
Câu 13. Cho hàm số y=x4−2x2+3 Khẳng định sau đúng?
A. Hàm sốcó ba điểm cực trị B. Hàm số chỉcó điểm cực trị C. Hàm số khơng có cực trị D. Hàm số chỉcó điểm cực trị Câu 14. Biết đồ thị hàm số y=x3−3x+1có hai điểm cực trị A B, Viết phương trình đường
thẳng AB
A. y= −x B. y=2x−1
C. y= − +2x D. y= − +x
x −∞ +∞
y′ + − +
y −∞
3
2 −
(11)Câu 15. Gọi M n, giá trị cực đại, giá trị cực tiểu hàm số
2
3
x x
y x
+ +
=
+ Tính giá trị biểu thức M2−2n ?
A. M2−2n=8. B. M2−2n=7 C. M2−2n=9 D. M2−2n=6 Câu 16. Cho hàm số y=x3+17x2−24x+8 Kết luận sau đúng?
A. xCD=1 B. CD
x = C. xCD = −3 D. xCD = −12 Câu 17. Cho hàm số y=3x4−6x2+1 Kết luận sau đúng?
A. yCD = −2 B. yCD =1 C. yCD = −1 D. yCD =2 Câu 18. Trong hàm số sau, hàm sốnào đạt cực đại
2 x= ? A. 3
2
y= x −x +x − x B. y= − +x2 3x−2 C. y= 4x2−12x−8 D.
2 x y
x − =
+
Câu 19. Trong hàm số sau, hàm số có cực đại mà khơng có cực tiểu? A. y= −10x4−5x2+7 B. y= −17x3+2x2+ +x C.
1 x y
x − =
+ D.
2
1 x x y
x + + =
−
Câu 20. Cho hàm số y=x3−6x2+4x−7 Gọi hoành độ điểm cực trị đồ thị hàm số 1,
x x Tính x1+x2 ?
A. x1+x2 = −6 B. x1+x2 = −4 C. x1+x2 =6 D. x1+x2 =4 Câu 21. Tính hiệu số giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số y=x3−3x2+4
D. −4 B. −2 C. A.
Câu 22. Xác định hàm số y=ax3+bx2+cx+d Biết đồ thị hàm sốcó điểm cực trị gốc tọa độ
và điểm A( 1; 1)− −
A. y=2x3−3x2 B. y= −2x3−3x2 C. y=x3+3x2+3x D. y=x3−3x−1 Câu 23. Hàm sốnào có cực trị?
A. y=x4+1 B. y=x3+x2 +2x−1
C. y=2x−1 D.
2 x y
x + =
−
Câu 24. Tìm giá trị tham sốm đểđồ thị hàm số: y=x4−(3m−1)x2+2m+1 có ba điểm
cực trị Đồng thời ba điểm cực trị với điểm D( )7;3 nội tiếp đường
(12)Câu 25. Tìm tất giá trị tham sốm đểđồ thị hàm số: y=x4−2mx2+ −m có ba điểm cực trị Đồng thời ba điểm cực trịđó ba đỉnh tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp
A.
2 m
m =
− + = ±
B.
2 m
m =
− + =
C.
m= ±− + D. m=1
IV ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D B C D D B A A D A B A A D B B B D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B C C A B
Buổi
Chủđề 3+4 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I KIẾN THỨC CƠ BẢN
A Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
1 Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( ) xác định miền D • Số M gọi giá trị lớn hàm số y= f x( ) D nếu:
0
( ) , , ( )
f x M x D
x D f x M
≤ ∀ ∈
∃ ∈ =
Kí hiệu: max ( ) x D
M f x
∈
= max ( ) D
M = f x
• Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y= f x( ) D nếu:
0
( ) , , ( ) f x m x D
x D f x m
≥ ∀ ∈
∃ ∈ =
Kí hiệu: ( ) x D
m f x
∈
= ( ) D m= f x 2 Kĩ bản
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y= f x( )liên tục trên K (K khoảng, đoạn, nửa khoảng, )
2.1 Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sử dụng bảng biến thiên Bước Tính đạo hàm f x′( )
Bước 2. Tìm nghiệm f x′( ) điểm f x′( )trên K Bước 3. Lập bảng biến thiên f x( ) K
Bước Căn vào bảng biến thiên kết luận ( ), max ( ) K f x K f x
2.2 Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số không sử dụng bảng biến thiên
(13) Bước Tìm tất nghiệm xi∈[ ; ]a b phương trình f x′( )=0 tất
điểm α ∈i [ ; ]a b làm cho f x′( ) không xác định Bước 3. Tính ( )f a , ( )f b , ( )f xi , (f αi)
Bước So sánh giá trịtính kết luận
[ ]; max ( )
a b
M = f x ,
[ ]; ( )
a b
m= f x Trường hợp Tập K khoảng ( ; )a b
Bước Tính đạo hàm f x′( )
Bước 2. Tìm tất nghiệm xi∈( ; )a b phương trình f x′( )=0 tất
điểm α ∈i ( ; )a b làm cho f x′( ) khơng xác định Bước 3. Tính lim ( )
x a A + f x
→
= , lim ( )
x b B − f x
→
= , ( )f xi , (f αi) Bước So sánh giá trịtính kết luận
( ; ) max ( )
a b
M = f x ,
( ; ) ( )
a b
m= f x Chú ý: Nếu giá trị lớn (nhỏ nhất) A B ta kết luận khơng có giá trị lớn
nhất (nhỏ nhất)
B.Đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1 Đường tiệm cận ngang
• Cho hàm số y= f x( ) xác định khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( ;a +∞), (−∞; )b hoặc (−∞ +∞; )) Đường thẳng y= y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y= f x( ) điều kiện sau thỏa mãn
0
lim ( ) , lim ( ) x→+∞ f x = y x→−∞ f x = y
• Nhận xét: Như để tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số ta cần tính giới hạn hàm sốđó vô cực
2 Đường tiệm cận đứng
• Đường thẳng x=x0 là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số ( )
y= f x điều kiện sau thỏa mãn
0 0
lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) , lim ( )
x→x+ f x = +∞ x→x− f x = −∞ x→x+ f x = −∞ x→x− f x = +∞ Ngoài cần nhớ kiến thức giới hạn sau:
3) Quy tắc tìm giới hạn vơ cực
Quy tắc tìm giới hạn tích f x g x( ) ( ): Nếu
0
lim ( )
x→x f x = ≠L xlim ( )→x0g x = +∞ (hoặc −∞)
0
lim ( ) ( )
x→x f x g x được tính theo quy tắc cho bảng sau
0
lim ( )
x→x f x xlim ( )→x0g x xlim→x0 f x g x( ) ( )
L> +∞ +∞
−∞ −∞
0
L< +∞ −∞
−∞ +∞
Quy tắc tìm giới hạn thương ( ) ( ) f x
g x : Nếu
lim ( )
x→x f x = ≠L xlim ( )→x0g x = +∞ (hoặc −∞) lim f x g x( ) ( )
(14)0
lim ( )
x→x f x xlim ( )→x0g x
Dấu g x ( )
0
( ) lim
( ) x x
f x g x →
0 ±∞ Tùy ý 0
0 L>
0
+ +∞
− −∞
0
L< + −∞
− +∞
(Dấu g x( ) xét khoảng K tính giới hạn, với x≠ x0) Chú ý: Các quy tắc cho trường hợp x→x0+,x→x0−,x→ +∞ x→ −∞
+) Nếu
x→ +∞ ⇒ > ⇒x x = x =x +) Nếu x→ −∞ ⇒ < ⇒x x2 = x = −x II LUYỆN TẬP
A Giá tri ̣ lớn nhất và giá tri ̣ nhỏ nhất của hàm số Bài 1: Tı̀m giá tri ̣ lớn nhất và giá tri ̣ nhỏ nhất của các hàm số sau:
a/ y f x 3x3 x2 7x 1 đoa ̣n 0;2
b/ y f x x3 8x2 16x 9trên đoa ̣n 1;3
c/ y f x 2x4 4x2 3trên đoa ̣n 0;2
d/ y f x 2x3 6x2 1trên đoa ̣n 1;1
HD giải a/ UTı̀m max – của hàm sốU:
3
3 0;2
y f x x x x trên Hàm sốđã cho liên tu ̣c và xác ̣nh đoa ̣n0;2
Ta có: y' f x' 9x2 2x 7
2 0;2
' 7
0;2
x N
y x x
x L
Tı́nh
khi [0;2]
[0;2]
0 1; 9;
max ( )
min ( )
f f f
f x x
f x x
b/ UTı̀m max – của hàm sốU:
3 8 16 9 1;3
y f x x x x trên Hàm sốđã cho liên tu ̣c và xác ̣nh đoa ̣n1;3
Ta có:
2 1;3
' ' 16 16 ' 16 16 4
1;3
x L
y f x x x y x x
x N
(15) khi [1;3] [1;3] 13
1 0; 6;
3 27
13
max ( )
27
min ( )
f f f
f x x
f x x
c/ UTı̀m max – của hàm sốU:
4
2 0;2
y f x x x trên
Hàm sốđã cho liên tu ̣c và xác ̣nh đoa ̣n0;2 Ta có:
3 0;2
' ' 8 ' 8 0;2
1 0;2
x N
y f x x x y x x x L
x N
Tı́nh:
khi 0;2 0;2
0 3; 13;
max
min 13
f f f
f x x
f x x
d/ UTı̀m max – của hàm sốU:
3
2 1;1
y f x x x trên Hàm sốđã cho liên tu ̣c và xác ̣nh đoa ̣n1;1
Ta có:
2 1;1
' ' 12 ' 12
2 1;1
x N
y f x x x y x x
x L Tı́nh:
khi 1;1 1;1
1 7; 3;
max
min
f f f
f x x
f x x
Bài 2: Tı̀m giá tri ̣ lớn nhất và giá tri ̣ nhỏ nhất của các hàm số sau: a/ y x , x 0
x
b/ 2
1 x y x x
c/ y x 1,x 0;2
x
d/
2
2
1 , 0
8 x x y x x
HD giải a/ UTı̀m max – của hàm sốU:
4 , 0
y x x
x
* Hàm sốđã cho xác ̣nh và liên tu ̣c 0;
∗ Ta có:
2
2
4
' x , 0; '
(16)x 2
'
y
y
∗Dựa vào bảng biến thiên
0;
minf x x
và hàm số không có giá tri ̣ lớn nhất b/ UTı̀m max – của hàm sốU:
2
1
x y
x x
∗Hàm sốđã cho xác ̣nh và liên tu ̣c trênD ∗Ta có:
2
2
2
0
' '
2
x
x x
y y x x
x
x x
∗Bảng biến thiên:
x
'
y
y
3
1 ∗Dựa vào bảng biến thiên, ta được: max
3
y x
và
1
min
3
y x
c/ UTı̀m max – của hàm sốU:
1, 0;2
y x x
x
∗Hàm sốđã cho xác ̣nh và liên tu ̣c trên0;2
∗Ta có:
2
2
1
' x , 0;2
y x
x x
∗Cho y' 0 x2 1 x ∗Bảng biến thiên:
x 1 '
y
y
3
∗Dựa vào bảng biến thiên:
0;2
minf x x
d/ UTı̀m max – của hàm sốU:
2
,
8
x x
y x
x
(17) Hàm sốđã cho xác ̣nh và liên tu ̣c khoảng0, Ta có:
2 2
2 2 2 2
1 9 1
8 8 1 9 1 9 1
x x x x
y f x
x x x x x x
Hàm sốy f x đa ̣t giá tri ̣ lớn nhất khoảng0,khi và chı̉ hàm số:
9 1
g x x x đa ̣t giá tri ̣ nhỏ nhất khoảng0,
Ta có 2
2
0
9
' ' 9
72 6 2
9
x x
g x g x x x x
x x
Vâ ̣y:
0; 0;
2 1
min ( ) max ( )
3 6 2 2 2 6 2
3
g x x f x x
Bài 3:
a/ Chu vi của mô ̣t tam giác là16 cm , đô ̣ dài của mô ̣t ca ̣nh tam giác là6 cm Tı̀m hai ca ̣nh còn la ̣i của tam giác cho tam giác có diê ̣n tı́ch lớn nhất
b/ Cho Parabol P y: x2 vàđiểm A3;0 Xác ̣nh điểm M ( )P cho khoảng cách AM là ngắn nhất Tı̀m khoảng cách đó
HD giải a/ Go ̣i đô ̣ dài ca ̣nh thứ nhất của tam giác làx cm , ca ̣nh thứ hai cóđô ̣ dài lày cm ca ̣nh thứ ba là6 cm
Theo đề bài ta có:
0, 10 ; 0;10
2 16 16
x y y x x
Chu vi p x y p
Công thức tı́nh diê ̣n tı́ch Δ theo Hêrông:
6 8 8 8 8 6 4 10 16
S x p px py p x y x x Ta có: '
2
5
4 ; 0;10
10 16
x
S x
x x
'
2
5
0 5; 0;10
10 16
x
S x x
x x
Bảng biến thiên:
x 10 '
S + –
( )
S x
12
Dựa vào bảng biến thiên: MaxS 12 cm2 mỗi ca ̣nh còn la ̣i dài5 cm ; khi x y 5
(18)Khoảng cách: AM d x o xo 32 xo2 xo4 xo2 6xo 9
Ta có:
3
3
4
2
' ; '
6
o o
o o o o o
o o o
x x
d x d x x x x
x x x
Bảng biến thiên: o
x 1
' o
d x
o
AM d x
Dựa vào bảng biến thiên: AMmin 5khi điểmM1;1 P :y x2
II Đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1) Tìm giới hạn theo quy tắc
Ví dụ 1 Tìm lim ( ) x→−∞ x − x
Giải Ta có lim ( ) lim 22 x→−∞ x x x→−∞x x
− = − = −∞
(vì
3 lim
x→−∞x = −∞ 2
lim 1
x→−∞ x
− = >
)
Ví dụ 2 Tìm
3
2
2
lim x x x x x →+∞ − + − + Giải Ta có
3 2
2
2
2
lim lim
1 1
1
x x
x x x x
x x x x x →+∞ →−∞ − + − + = = +∞ − + − +
(vì lim
x→+∞x= +∞
2
2
lim
1 1 x x x x x →+∞ − + = > − + )
Ví dụ 3 Tìm lim x x x + → − − Giải Ta có
1
lim( 1) x
x +
→ − = , x− >1 0∀ >x
lim(2 3) x
x +
→ − = − < Do
2 lim x x x + → − = −∞ −
Ví dụ 4 Tìm lim x x x − → − − Giải Ta có
1
lim( 1) x
x −
→ − = , x− <1 0∀ <x
lim(2 3) x
x −
→ − = − < Do
2 lim x x x + → − = +∞ −
2) Kĩ sử dụng máy tính Ý tưởng: Giả sử cần tính lim ( )
x→a f x ta dùng chức CALC để tính giá trị f x t( ) ại giá trị x gần a
a) Giới hạn hàm số điểm lim ( )
x a f x +
→ nhập f x( ) tính giá trị
(19)lim ( ) x a
f x −
→ nhập f x tính giá tr( ) ị
9 10 x= −a − lim ( )
x→a f x nhập f x tính giá tr( ) ị
9 10
x= +a − x= −a 10−9 b) Giới hạn hàm số vô cực
lim ( )
x→+∞ f x nhập f x tính giá tr( ) ị
10 10 x= lim ( )
x→−∞ f x nhập f x tính giá tr( ) ị
10 10 x= − Ví dụ Tìm giới hạn
2 lim x x x x + → + − − Giải Nhập biểu thức
2 x x x + −
− Ấn tổ hợp phím: Máy số Vậy
2 lim x x x x + → + − = −
Ví dụ Tìm giới hạn lim x x x + → − − Giải Nhập biểu thức
1 x x
−
− Ấn tổ hợp phím: Máy số -999999998 Vậy
1 lim x x x + → − = −∞ −
Ví dụ Tìm giới hạn
2
2
lim x x x x →+∞ + − + Giải Nhập biểu thức
2
2
1
x x
x
+ −
+ Ấn tổ hợp phím: Máy số Vậy
2
2
lim x x x x →+∞ + − = +
3) Dạng toán thường gặp: Tìm đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số ( )
y= f x Phương pháp:
- Tìm TXĐ hàm số
- Tìm giới hạn hàm số x→ +∞ → −∞ →,x ,x x0+,x→x0− dựa vào định nghĩa đường tiệm cận để kết luận
Chú ý
• Đồ thị hàm số y= f x( ) có tiệm cận ngang TXĐ khoảng vơ hạn hay nửa khoảng vơ hạn (nghĩa biến x dần tới +∞ −∞)
• Đồ thị hàm số y= f x( ) có tiệm cận đứng TXĐ có dạng sau ( ; ),[ ; ), ( ; ], ( ;a b a b a b a +∞ −∞), ( ; )a hợp tập hợp TXĐ khơng có dạng sau ,[ ;c +∞ −∞), ( ; ],[ ; ]c c d
• Đối với hàm phân thức ( ) ( ) P x y
Q x
= P x Q x( ), ( ) hai đa thức x ta thường dùng
phương pháp sau đểtìm đường tiệm cận đồ thị hàm số
i) Tiệm cận đứng
CALC 10
10
= CALC 1 10+ −9 =
CALC
(20)Nếu 0 ( ) ( ) P x Q x
≠
=
đường thẳng x= x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số
ii) Tiệm cận ngang
Nếu bậc P x( ) bé bậc Q x( ) đường thẳng y=0 (trục hồnh) tiệm cận
ngang đồ thị hàm số
Nếu bậc ( )P x bậc Q x( ) đường thẳng y A B
= tiệm cận ngang đồ thị hàm số P x( ) A B, hệ số số hạng có sốmũ lớn P x( ) Q x( )
Nếu bậc P x( ) lớn bậc Q x( ) đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang
Đặc biệt, hàm phân thức hữu tỉ bậc bậc y ax b cx d
+ =
+ đồ thịđều có hai tiệm cận
Tiệm cận đứng x d
c −
= ; tiệm cận ngang y a c
= Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm
tâm đối xứng
Ví dụ Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số x y
x − =
−
Giải TXĐ: D=\ {1} Ta có
lim lim
x→+∞y=x→−∞y= nên đồ thị nhận đường thẳng y=2 làm tiệm cận ngang
1
lim , lim
x x
y y
+ −
→ = −∞ → = +∞ nên đồ thị nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng
Chú ý: Có thể cho HS áp dụng nhận xét phần để luyện tập Ví dụ 2 Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số
2 2016
2016 x
y x
+ =
−
Giải TXĐ: D= −∞ −( ; 12 14)∪(12 14;+∞) Ta có
lim
x→+∞y= xlim→−∞y = −1 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=1 y= −1
Ví dụ 3 Tìm đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số x y
x + =
−
Giải TXĐ: D=[0; 4)∪(4;+∞) Ta có
lim lim
x→+∞y=x→−∞y= nên đồ thị nhận đường thẳng y=1 làm tiệm cận ngang
4
lim , lim
x x
y y
+ −
→ = +∞ → = −∞ nên đồ thị nhận đường thẳng x=4 làm tiệm cận đứng
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Gọi y y1; giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số
1
1
y
x x
= +
− −
đoạn[ ]3; Tính tích y y1 2 A.
2 B.
5
6 C.
5
4 D.
(21)Câu 2. Tìm giá trị lớn hàm số 1
1
y
x x x
= + +
+ + đoạn [− −5; 3]
A Giá trị lớn 13 12
− B. Giá trị lớn 11 C Giá trị lớn 47
60
− D. Giá trị lớn 11 − Câu 3. Cho hàm số y= −x x−1 Khẳng định sau đúng?
A. Hàm số có giá trị nhỏ
4 khơng có giá trị lớn B. Hàm số có giá trị nhỏ
4 giá trị lớn C. Hàm số khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ
D. Hàm sốđạt giá trị lớn điểm có hồnh độ x=1 giá trị lớn Câu 4. Hàm số y= 1+x2 + 1−x2 đạt giá trị nhỏ điểm có hồnh độ bao nhiêu?
A. B. ±1 C. ± D.
Câu 5. Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ N hàm số y=sin4 x+cos4 x A. N = −2; M =1 B. N =0; M =2 C. 1;
2
N = M = D. N =0; M =1 Câu 6. Tìm giá trị lớn hàm số y=sin4x−cos4x
A. B. C. 1− D. Khơng tồn Câu 7. Tìm điểm có hồnh độ 0;
2 π
để hàm số y= sin cos+ x x đạt giá trị nhỏ A
4
x=π B
6
x=π C x=0 x=π D
3 x=π Câu 8. Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ N hàm số y=sin6 x+cos6 x A. M =1; N = −1 B. M =2;N =0 C. 1;
4
M = N= − D. 1; M = N =
Câu 9. Tìm giá trị lớn hàm số
3
y=x − x+ 1;3
−
A.
3 1;
2 maxy x∈ −
= B. 1;
2 maxy x∈ −
= C. 1;
2 maxy x∈ −
= D. 1;
2 maxy x∈ −
=
Câu 10. Hàm số y=x3−2x2−7x+5 có giá trị nhỏ m giá trị lớn M [ ]1;3 Tính tổng m + M
A. 338
27
m+M = − B. 446
(22)Câu 11. Tìm giá trị tham số m > để hàm số y=x3−3x+1 đạt giá trị nhỏ
[m+1;m+2] bé
A. m∈(0;1) B. ( ;1)1
2 m∈ C. m∈ −∞( ;1) \{ }−2 D. m∈(0; 2)
Câu 12. Một cơng ti bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với
giá 2.000.000 đồng tháng hộ có người thuê lần tăng giá
cho thuê, hộ thêm 50.000 đồng tháng có thêm hộ bị bỏ trống
Cơng ti tìm phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn Hỏi thu nhập cao cơng
ti có thểđạt tháng bao nhiêu?
A. 115.250.000 B. 101.250.000 C. 100.000.000 D. 100.250.000
Câu 13. Doanh nghiêp Hồng Anh cần sản xuất mặt hàng 10 ngày phải sử dụng hai máy A B Máy A làm việc x ngày cho số tiền lãi x3+2x ( triệu đồng ), máy B làm việc y ngày cho số tiền lãi 326y−27y2 ( triệu đồng ) Hỏi doanh nghiệp Hồng Anh cần sử dụng máy A làm việc ngày cho số tiền lãi nhiều nhất? (Biết hai máy A B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không ngày)
A. B. C. D. Câu 14. Một người thợ xây cần xây bể chứa 108 mP
3
Pnước có dạng hình hộp chữ nhật với đáy hình vng khơng có nắp Hỏi chiều cao lòng bể để số viên gạch dùng xây bể Biết thành bể đáy bể xây gạch, độ dày thành bể đáy bể nhau, viên gạch có kích thước số viên gạch đơn vị diện tích
A. 9m B. 6m C. 3m D. 2m Câu 15. Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016 vừa kết thúc, Nam đỗvào trường đại học kinh tế quốc
dân Hà Nội Kỳ I năm thứ gần qua, kỳ II đến Hoàn cảnh khơng tốt nên
gia đình lo lắng việc đóng học phí cho Nam, kỳI khó khăn, kỳII khó khăn
hơn Gia đình định bán phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50m, lấy tiền
lo cho việc học Nam tương lai em Mảnh đất cịn lại sau bán hình vng cạnh chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu Tìm số tiền lớn
nhất mà gia đình Nam nhận bán đất, biết giá tiền 1mP
2
P đất bán 1500.000
VN đồng
A.112687500VN đồng B.114187500VN đồng C.115687500VN đồng D.117187500VN đồng Câu 16 Đồ thị hàm số y=x4−2x2+5có đường tiệm cận ?
A. B. C. D.
Câu 17 Đồ thị hàm sốnào sau nhận đường thẳng y=2là đường tiệm cận ? A.
2 x y
x
=
− B.
2
x y
x − =
− C.
2
x y
x − + =
(23)Câu 18 Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số 1 x y
x + =
−
A x= −1 B x=1 C x=3 D x= −3 Câu 19 Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số
1 x y
x + =
−
A y= −1 B y=1 C y= −2 D y=2
Câu 20 Tìm tất giá trị tham số m đểcác đường tiệm cận đồ thị hàm số y 2x m x m
+ =
+ tạo với trục tọa độ hình vng
A m=2 B m= −2 C. A B sai D A B Câu 21 Tìm tất giá trị tham số m để khoảng cách từ giao điểm đường tiệm cận
của đồ thị hàm số
1 mx y
x + =
+ tới gốc tọa độ O
A m= ±4 B m= ±2 C. A B sai D A B Câu 22 Cho hàm số
3 x y
x m − =
− Tìm tất giá trị tham số m để tiệm cận đứng đồ thị hàm số nằm bên trái trục tung
A m<0 B m=0 C. m tùy ý D m∈ ∅ Câu 23. Cho hàm số y f x có lim
x f x xlim f x 1 Khẳng định sau
khẳng định ?
A.Đồ thị hàm sốđã cho khơng có tiệm cận ngang B.Đồ thị hàm sốđã cho có tiệm cận ngang
C.Đồ thị hàm sốđã cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng y1 y1 D.Đồ thị hàm sốđã cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng x1 vàx1 Câu 24 Tìm tất giá trị thực tham số m đểđồ thị hàm số
2
1 x y
mx
có hai đường tiệm
cận ngang
A. m B m0 C m0 D m0 Câu 25 Cho hàm số
1 mx m y
x
+ =
− Tìm tất giá trị thực tham số m để đường tiệm cận
đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích
A m=2 B
m= ± C m=4 D m= ±4 IV ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
(24)Buổi
CHỦ ĐỀ5 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Sơ đồ khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số
a) Tập xác định: Tìm tập xác định hàm số
b) Sự biến thiên hàm số
• Tìm giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực tiệm cận (nếu có) • Xét chiều biến thiên hàm số:
Tính đạo hàm Tìm điểm đạo hàm khơng xác định
Lập bảng biến thiên kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến cực trị hàm số
c) Đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên yếu tốxác định ởtrên để vẽđồ thị 2 Đồ thị hàm số bậc ba: y=ax3+bx2 +cx+d a ( ≠0)
• Các dạng đồ thị hàm số bậc 3:
a> a<0
Phương trình
y’ = có hai nghiệm
phân biệt
Phương trình
y’ = có nghiệm kép
Phương trình
y’ = vơ nghiệm
(25)• Các dạng đồ thị hàm số bậc trùng phương:
a > a <
y’= có nghiệm (a.b > 0)
y’= có nghiệm (a.b<0)
4) Đồ thị hàm số y ax b (c 0,ad bc 0) cx d
+
= ≠ − ≠
+ Các dạng đồ thị hàm số:
Chú ý: Cần hướng dẫn học sinh cách “đọc” đồ thịđể suy chiều biến thiên, lập bảng biến thiên trường hợp chỉra đường tiệm cận đồ thị (nếu có)
5) Các phép biến đổi đồ thị
Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị ( )C Khi với số a>0, ta có
+ Hàm số y= f x( )+a có đồ thị ( ')C cách tịnh tiến đồ thị ( )C theo phương Oy lên trên a đơn vị
+ Hàm số y= f x( )−a có đồ thị ( ')C cách tịnh tiến đồ thị ( )C theo phương Oy lên trên a đơn vị
O x
y
x O
y
x O
y
x O
(26)+ Hàm số y= f x( +a) có đồ thị ( ')C cách tịnh tiến đồ thị ( )C theo phương Ox sang trái a đơn vị
+ Hàm số y= f x( −a) có đồ thị ( ')C cách tịnh tiến đồ thị ( )C theo phương Ox sang
phải a đơn vị
+ Hàm số y= −f x( ) có đồ thị ( ')C đối xứng đồ thị ( )C qua trục Ox + Hàm số y= f(−x) có đồ thị ( ')C đối xứng đồ thị ( )C qua trục Oy + Hàm số ( ) ( )
( )
f x x y f x
f x x ≥
= =
− <
có đồ thị ( ')C suy từ đồ thị ( )C cách: Giữ nguyên phần đồ thị ( )C nằm bên phải trục Oy bỏ phần đồ thị ( )C nằm bên trái Oy Lấy đối xứng phần đồ thị ( )C nằm bên phải Oy qua Oy
+ Hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x y f x
f x f x ≥
= =
− <
có đồ thị ( ')C suy từ đồ thị ( )C cách: Giữ nguy ên phần đồ thị ( )C nằm phía trục Ox
Lấy đối xứng phần đồ thị ( )C nằm bên phía Ox qua Ox bỏ phần đồ thị ( )C nằm Ox
II LUYỆN TẬP (KĨ NĂNG CƠ BẢN) Dạng Nhận dạng đồ thị hàm số
Ví dụ Đường cong hình bên đồ thị hàm sốnào đây?
A y =x4 −2x2 +2 B y =x3 +3x+1 C y= −x4 +4x2 +2
D
2 x y
x − =
−
Hướng dẫn giải Đây dạng đồ thị hàm bậc trùng phương với hệ số a > Chọn A
Ví dụ 2 Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm liệt kê bốn
phương án A, B, C, D Hỏi hàm sốđó hàm số nào?
A y =x2 +2x−3 B y= −x3 +3x+1 C y=x4 −2x2 +1 D y =x3 −3x+1
Hướng dẫn giải
Ta thấy đường cong đồ thị hàm bậc ba, lim
x
y
(27)Ví dụ 3 Hàm số x y
x − =
− có đồ thị hình vẽnào đây?
A Hình B Hình C Hình D Hình
Hướng dẫn giải
Do hàm sốđã cho hàm phân thức nên loại đáp án B D ( )2
1
'
2 2
x
y
x x
y= − ⇒ = − <
− − nên hàm số nghịch biến khoảng xác định Đáp án C Dạng Dựa vào đồ thị bảng biến thiên số nghiệm phương trình
Ví dụ 4 Cho hàm số y= f x( ) xác định \ 0{ }, liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau:
x −∞ 0 2 +∞ '
y − + 0 −
y +∞
2
− −∞
4
−∞
Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m cho phương trình f x( )=mcó ba nghiệm thực phân biệt
A [−2; ] B.(−2; ) C.(−2; ] D.(−∞; ] Hướng dẫn giải
Phương trình có nghiệm chỉkhi đồ thị hàm số y= f x( ) cắt đường thẳng d y: =m
điểm phân biệt Từ bảng biến thiên suy − <2 m< ⇒ ∈ −4 m ( 2; 4) Chọn B Ví dụ 5 Cho hàm số y= f x( ) xác định, liên tục có bảng biến thiên:
x −∞ −1 0 1 +∞ '
y − 0 + 0 − +
y +∞
0
4
3 0
+∞
Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m cho phương trình f x( )=m có hai nghiệm thực phân biệt
A m=0 B
3
m> C.0 m
(28)Phương trình có nghiệm chỉkhi đồ thị hàm số y= f x( ) cắt đường thẳng d y: =m
điểm phân biệt Từ BBT suy m=0
m> Chọn D
Ví dụ 6 Xét hàm số y=x3 −3x2 +2 có đồ thị(C) cho hình bên Tìm tất giá trị tham số thực m cho phương trình x3 −3x2 + =2 m có nghiệm thực phân biệt
A − ≤ ≤2 m B m= −2 m=2
C m< −2 hoặcm>2 D m≤ −2 m≥2
Ví dụ 7 Cho hàm số y = f x( ) xác định, liên tục có bảng biến thiên :
Tìm tất giá trị tham số thực m cho phương trình f x( )= − +m có nghiệm thực
A − < <1 m B.− ≤ ≤1 m C m m
≤ − ≥
D 31
m m
< − >
Hướng dẫn giải
Số nghiệm phương trình sốgiao điểm đồ thị hàm số y= f x( ) đường thẳng
y = − +m TừBBT ta
3
m m
m m
− + > ⇔ < − − + < >
Chọn D
Ví dụ 8 Cho hàm số y = f x( ) xác định, liên tục có bảng biến thiên: x – +
'
y – 0 + 0 – y
+
–1 –
Tìm tất giá trị tham số thực m cho phương trình f x( )=m−1 có nghiệm thực lớn
hơn
A m≤4 B.m<4 C m≤0 D 0< <m 4 Hướng dẫn giải
x y’ y
-∞ -1 1 +∞
0
+ - +
4 +∞
(29)Nghiệm phương trình f x( )= −m 1 hoành độgiao điểm đồ thị hàm số y = f x( )
đường thẳng y= −m 1 TừBBT ta m− < ⇔ <1 3 m 4 Chọn B
Ví dụ Cho hàm số y = f x( ) xác định \ 0{ }, liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau:
x −∞ −1 0 2 +∞ '
y + − − 0 +
y
−∞
2
−
−∞ +∞
2
+∞
Tìm tất giá trị tham số thực m cho phương trình f x( )= −m 1có hai nghiệm thực phân biệt
A m m
> < −
B.− < <1 m 3. C.− ≤ ≤1 m 3. D
1 m m
≥ ≤ −
Hướng dẫn giải
Số nghiệm phương trình sốgiao điểm đồ thị hàm sốgiao điểm đồ thị hàm số ( )
y= f x đường thẳng y= −m 1 TừBBT ta
1
m m
m m
− > > ⇔
− < − < −
Chọn A Ví dụ 10 Cho hàm số y =x3−3x+2có đồ thịđược cho ởhình Đồ thịởhình đồ thị hàm sốnào đây?
A y=|x3| | | 2.− x + B y= x3 −3x+2
C y =x3 −3x+2.
D y= −x 1(x2 + −x 2 )
Hình Hình
Hướng dẫn giải
Cách Đồ thịởhình vẽnhư sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía trục hồnh Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) ởdưới Ox qua Ox, bỏđi phần đồ thị (C) ởdưới Ox
+ Đồ thịthu nằm hoàn toàn Ox Đây đồ thị hàm số y= x3 −3x+2 Chọn B
(30)x y
O
x y
1 -1O
x y
1
O
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.(ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017)
Đồ thị hình bên hàm số nào? A.
1
y x x B.
3
y x x C.
1
yx x
D.
3
yx x
Câu 2.Đồ thị hình bên hàm số nào? A. yx1 2 1x
B. yx1 2 1x C. 2
1
y x x D. 2
1
y x x
Câu 3.Đồ thịsau hàm số nào?
A.
1
y x
B.
3
y x x
C.
2
y x x
D.
2
y x Câu 4. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau:
y x
'
y
1
2
2
1
(31)x y
1
-1O
-2
x y
O
2
1 -1
x y
1
x y
1
-1O
-2
x y
1
-1O
-2
Đồ thị thể hàm số y f x ?
x y
1
-1 O
-2 A
x y
1
-1 O
4
B
x y
1
-4
-1
O
-2
C
x y
1
-1
O
-2
D
(Đáp án : A).
Câu 5. Cho hàm số
yax bx cx d có đồ thịnhư hình bên
Chọn đáp án đúng?
A. Hàm số có hệ số a0
B. Hàm sốđồng biến khoảng 2; 1 1;2 C. Hàm số khơng có cực trị
D. Hệ số tự hàm số khác Câu 6.Đồ thị hình bên hàm số nào?
A.
2
y x x
B.
2
yx x C.
4
yx x
D.
2
yx x
(32)x -1
O
y
1
x -1
O
y
1
x
2
1 y
O
B.
2
y x x
C.
2
y x x
D.
2
y x x Câu 8.Đồ thị hình bên hàm số nào?
A.
2
y x x B.
2
y x x C.
2
y x x D.
2
yx x
Câu 9.Đồ thịsau hàm số nào?
A.
2
yx x
B.
2
yx x
C.
1
yx x
D.
1
yx x
Câu 10. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau Chọn phát biểu sai?
A Hàm sốđồng biến khoảng 1;0 1; B Hàm sốđạt cực đại x0
C Đồ thị hàm sốđã cho biểu diễn hình bên D Hàm sốđã cho
2
yx x Câu 11 Đồ thịsau hàm số nào?
A
2
x y
x
B
2
x y
x
C
2
x y
x
D
2
x y
x
Câu 12. Cho hàm số
6
yx x x có đồ thịnhư Hình Đồ thị Hình hàm sốnào
y x
'
y
-1
-4
-3
0
0
1
-4
x
O
-3 -4
1 -1
(33)x y
1
-1 O
đây?
x y
4
3
O
x y
4
3
O -3 -1
Hình Hình
A
6
y x x x B y x36x29x C
3
6
y x x x
D
6
y x x x
Câu 13. Cho hàm số
3
yx x có đồ thị Hình Đồ thị Hình hàm số
đây?
x y
2
3
O -2 -1 -2
x y
2
1 O -1 -2 -3
Hình Hình
A
3
y x x
B
3
3
y x x C
3
y x x D
3
y x x
Câu 14. Cho hàm số y f x liên tục có đồ thịnhư hình (I) Hàm số nghịch biến khoảng 0;1
(II) Hàm sốđồng biến khoảng 1;2 (III) Hàm sốcó ba điểm cực trị
(IV) Hàm số có giá trị lớn
Số mệnh đềđúng mệnh đề là:
A B C D Câu 15. Cho hàm số
2
x y
x
(34)
x
1
1
y
O
x
1
1
y
O
Hình Hình
A
2
x y
x
B
x y
x
C
x y
x
D
x y
x
Câu 16. Cho hàm số
2
x y
x
có đồ thịnhư Hình Đồ thị Hình hàm sốnào đây?
x
1 2
y
O
-2
-2
x
1 2
y
O
-2
-2
Hình Hình
A
2
x y
x
B 2
x y
x
C
2
2
x y
x
D
2
x y
x
Câu 16. Cho hàm số
yx bx cx d
x y
x y
x y
x y
(I) (II) (III) (IV)
Các đồ thị có thểlà đồ thị biểu diễn hàm sốđã cho?
A (I) B (I) (III) C (II) (IV) D (III) (IV) Câu 17. Cho hàm số
y f x ax bx cx d O
O
O
(35)x y
x y
x y
x y
(I) (II) (III) (IV) Trong mệnh đề sau chọn mệnh đềđúng:
A Đồ thị (I) xảy a0 f ' x 0 có hai nghiệm phân biệt B Đồ thị (II) xảy a0 f' x 0 có hai nghiệm phân biệt
C Đồ thị (III) xảy a0 f ' x 0 vô nghiệm có nghiệm kép D Đồ thị (IV) xảy a0 f' x 0 có có nghiệm kép
Câu 18 Cho đường cong C có phương trình
1
y f x x Tịnh tiến C sang phải đơn vị,
ta đường cong có phương trình sau đây?
A
4
y x x B
4
y x x C
1
y x D
1
y x Câu 19. Tịnh tiến đồ thị hàm số
2
x y
x
sang phải đơn vị, sau lên đơn vị ta đồ
thị hàm sốnào đây? A 11
2
x y
x
B
5
x y
x
C
3
x y
x
D
11 22
x y
x
Câu 20. Bảng biến thiên sau hàm số
x −∞ -1 +∞ y’ - + - +
y +∞ -3 +∞
- - A y =x4 −3x2 −3 B 3
4
1 4 2
− + −
= x x
y C y =x4 −2x2 −3 D y= x4 +2x2 −3 Câu 21. Bảng biến thiên sau hàm số nào?
x −∞ +∞ y’ - +
y +∞ +∞
A y =x4 −3x2 +1 B y= − +x4 3x2 +1 C y= x4 +3x2 +1 D y= − −x4 3x2 +1
Câu 22. Bảng biến thiên sau hàm số nào?
x −∞ - +∞ y’ + +
∞ +
O
O
O
(36)−∞ A
1 x y
x + =
+ B
1
x y
x − =
+ C
2 x y
x + =
− D
2 x y
x + =
+
Câu 23 Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+dcó đồ thịnhư hình vẽ bên Mệnh đềnào đúng? A.a<0, 0, 0, 0b> c> d<
B a<0, 0, 0, 0b< c> d< C a>0, 0, 0, 0b< c< d > D a<0, 0, 0, 0b> c< d<
Câu 24. Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị y= f x′( ) cắt trục Ox
tại ba điểm có hồnh độ a< <b c hình vẽ Mệnh đề
dưới đúng?
A. f c( )> f a( )> f b( ) B. f c( )> f b( )> f a( ) C. f a( )> f b( )> f c( ) D. f b( )> f a( )> f c( )
Câu 25 Cho hàm số y= f x( ) xác định \ 0{ }, liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau
x −∞ −1 0 2 +∞ '
y + − − 0 + y
−∞
2
−
−∞ +∞
2
+∞
Tìm tất giá trị tham số thực m cho đường thẳng d y: =2m−2 cắt đồ thị hàm số
( )
y= f x điểm có tung độ nhỏhơn
A m<0. B.m>0 C.m≤0. D Không có giá trị thực m thỏa mãn
IV ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1 10 11 12 13 D C D A B B B A D D C D B 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
(37)Buổi
CHỦĐỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐỒ THỊ TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Cho hai đồ thị (CR1R): y f x= ( )và (CR2R): y g x= ( ) Để tìm hồnh độ giao điểm (CR1R) (CR2R) ta giải phương trình: f x( )=g x( ) (*) (gọi phương trình hồnh độ giao điểm)
Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ thị
Nghiệm x0của phương trình (*) hồnh độ giao điểm Thay giá trị vào hai hàm số ban đầu ta tung độ giao điểm
Điểm M x( 0; )y0 là giao điểm (CR1R) (CR2R)
2) Các dạng tập thường gặp phương pháp giải Bài tốn Tìm tọa độgiao điểm hai đồ thị hàm số Phương pháp:
Cho hàm số y=f x , y( ) =g x( ) có đồ thị (C) (C’)
+) Lập phương trình hồnh độgiao điểm (C) (C’): f x( )=g x( )
+) Giải phương trình tìm x từđó suy y tọa độgiao điểm +) Số nghiệm (*) sốgiao điểm (C) (C’)
Bài toán Tương giao đồ thị hàm bậc ba
y=ax +bx +cx+d (a≠0) Phương pháp 1: Bảng biến thiên (phương pháp đồ thị)
+) Lập phương trình hồnh độgiao điểm dạng F x, m( )=039T(phương trình ẩn x tham số m)
+) Cơ lập m đưa phương trình dạng m=f x( ) +) Lập BBT cho hàm số y=f x( )
+) Dựa vào giả thiết BBT từđó suy m
*) Dấu hiệu: Sử dụng phương pháp m độc lập với x
Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc
39T+) Lập phương trình hồnh độgiao điểm F x, m( )=0
39T+) Nhẩm nghiệm (Khử tham số): Giả sử
x=x nghiệm phương trình
39T+) Phân tích ( ) ( ) ( )
( )0
x x F x, m x x g x
g x =
= ⇔ − = ⇔
=
(g x( )=0 phương trình bậc ẩn x
tham số m )
39T+) Dựa vào u cầu tốn để xửlý phương trình bậc hai g x( )=0 Phương pháp 3: Cực trị
*) Nhận dạng: Khi tốn khơng lập m không nhẩm nghiệm *) Quy tắc:
(38)+) Để (1) có nghiệm đồ thị ( )
y=F x, m cắt trục hoành
điểm (2TH)
- Hoặc hàm số đơn điệu ⇔ hàm số khơng có cực trị ⇔y '=0 vơ nghiệm có nghiệm kép
y ' ⇔ ∆ ≤
- Hoặc hàm sốcó CĐ, CT y ycd ct >0 (hình vẽ)
y
x q x( ) = x3 + x + 1
O
y
x
f x( ) = x3 3∙x 3
O
+) Để (1) có nghiệm đồ thị
( )
y=F x, m cắt trục hoành điểm phân biệt ⇔ Hàm số có cực đại, cực tiểu y ycd ct <0
y
x
f x( ) = x3 3∙x + 1
O
y
x
f x( ) = x3 + 3∙x + 1
O
+) Để (1) có nghiệm đồ thị
( )
y=F x, m cắt trục hoành điểm phân biệt ⇔ Hàm số có cực đại, cực tiểu y ycd ct =0
y
x y
x
g x( ) = x3 3∙x + 2
f x( ) = x3 + 3∙x + 2 O O
Bài tốn Tìm m đểđồ thị hàm bậc cắt trục hoành điểm lập thành cấp số cộng a) Định lí Vi-ét
*) Cho bậc 2: Cho phương trình ax2+bx+ =c có nghiệm x , x ta có: 1 2
1 2
b c
x x , x x
a a
+ = − =
*) Cho bậc 3: Cho phương trình ax3+bx2+cx+ =d có nghiệm x , x , x ta có: 1 2 3
1 2 3 1
b c d
x x x , x x x x x x , x x x
a a a
+ + = − + + = = −
c) Tính chất cấp số cộng
+) Cho số a, b, c theo thứ tựđó lập thành cấp số cộng thì: a+ =c 2b d) Phương pháp giải toán:
+) Điều kiện cần: 0
3 b x
a
= − nghiệm phương trình Từđó thay vào phương trình để tìm m
+) Điều kiện đủ: Thay m tìm vào phương trình kiểm tra
(39)Cho hàm số y ax b ( )C cx d
+ =
+ đường thẳng d : y=px+q Phương trình hồnh độ giao điểm
(C) (d): ax b px q F x, m( ) cx d
+ = + ⇔ =
+ (phương trình bậc ẩn x tham số m)
*) Các câu hỏi thường gặp:
1.Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt ⇔( )1 có nghiệm phân biệt khác d
c −
2.Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt thuộc nhánh phải (C) ⇔( )1 có nghiệm phân
biệt x , x th1 2 ỏa mãn : d x1 x2 c
− < <
3.Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt thuộc nhánh trái (C) ⇔( )1 có nghiệm phân
biệt x , x th1 2 ỏa mãn x1 x2 d c < < −
4. Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt thuộc nhánh (C) ⇔( )1 có nghiệm phân biệt
1
x , x thỏa mãn x1 d x2 c < − <
5 Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt A B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:
+) Đoạn thẳng AB=k
+) Tam giác ABC vuông
+) Tam giác ABC có diện tích S * Quy tắc:
+) Tìm điều kiện tồn A, B ⇔ (1) có nghiệm phân biệt
+) Xác định tọa độ A B (chú ý định lý Vi-ét)
+) Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m Từđó suy m *) Chú ý: Công thức khoảng cách:
+) ( ) ( ) ( ) ( )
B
2
A A B B B A A
A x ; y , B x ; y : AB= x −x + y −y
+) ( 0) ( ) 0
2
0
Ax By C
M x ; y
d M,
: Ax By C A B
+ +
⇒ ∆ =
∆ + + =
+
Bài toán Tương giao hàm bậc trùng phương: y=ax4 +bx2 +c a ( ≠0) 39TNGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC TRÙNG PHƯƠNG: 39T
4
( 0) y =ax +bx +c a≠ 39T (1) 1 Nhẩm nghiệm:
39T- Nhẩm nghiệm: Giả sử
x=x nghiệm phương trình
39T- Khi ta phân tích: ( ) ( ) ( )
( ) 2
0
x x
f x, m x x g x
g x = ±
= − = ⇔
= 39T- Dựa vào giả thiết xửlý phương trình bậc hai g x( )=0 39T2 Ẩn phụ - tam thức bậc 2:
39T - Đặt ( )
t=x , t≥0 Phương trình: at2+ + =bt c (2)
(40)39T - Để(1) có nghiệm (2) có nghiệm
t , t thỏa mãn: 2 t t t t < <
< =
39T- Để(1) có nghiệm (2) có nghiệm
1
t , t thỏa mãn: 0= <t1 t2
39T- Để(1) có nghiệm (2) có nghiệm
1
t , t thỏa mãn: 0< <t1 t2
39T3 Bài tốn: Tìm m đểđồ thị hàm bậc bốn trùng phương (1) cắt Ox điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng
39T- Đặt ( )
t=x , t≥0 Phương trình: at2+ + =bt c (2)
39T- Để (1) cắt Ox điểm phân biệt (2) phải có nghiệm dương ( ) 2
t , t t <t thỏa mãn t2 =9t1 39T- Kết hợp
2
t =9t vơi định lý Vi – ét tìm m
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài toán 1: Tiếp tuyến điểm M x ; y( 0 0) thuộc đồ thị hàm số:
Cho hàm số ( )C : y=f x( ) điểm M x ; y( 0 0) ( )∈ C Viết phương trình tiếp tuyến với (C) M
- Tính đạo hàm f ' x Tìm h( ) ệ số góc tiếp tuyến f ' x( )0
- Phương trình tiếp tuyến điểm M là: y=f ' x( )(0 x−x0)+y0
Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ sốgóc k cho trước - Gọi ( )∆ tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k
- Giả sử M x ; y( 0 0) tiếp điểm Khi x th0 ỏa mãn: f ' x( )0 =k(*) - Giải (*) tìm x Suy 0 y0 =f x( )0
- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=k x( −x0)+y0
Bài toán 3: Tiếp tuyến qua điểm
Cho hàm số ( )C : y=f x( ) điểm A a; b( ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua A
- Gọi ( )∆ đường thẳng qua A có hệ sốgóc k Khi ( )∆ : y=k x( − +a) b(*)
- Để ( )∆ tiếp tuyến (C) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x k x a b
f ' x k
= − +
⇔
=
có nghiệm
- Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có
phương trình tiếp tuyến cần tìm
Cách khác: Gọi M x y( ; )0 0 tiếp điểm Vì M∈( )C ⇒y0 = f x( )0 PTTT (C) M có dạng: y=y '(x ) x0 ( −x0)+f (x )0 (1) Tiếp tuyến qua A a b( ; ) nên b=y '(x ) a0 ( −x0)+f (x )0
Giải phương trình với ẩn x0, thay vào (1) ta PTTT
Chú ý:
1 Hệ số góc tiếp tuyến với (C) điểm M x ; y( 0 0) thuộc (C) là: k=f ' x( )0
(41)+) ( ) ( )∆ / / d ⇒k∆ =kd +) ( ) ( )∆ ⊥ d d
d k k k
k
∆ ∆
⇒ = − ⇔ = −
+) ( ) d
d k k
, d tan
1 k k ∆
∆ − ∆ = α ⇒ α =
+ +) (∆, Ox)= α ⇒k∆ = ±tanα
3 Tiếp tuyến điểm cực trị đồ thị (C) có phương song song trùng với trục hoành
4 Cho hàm số bậc 3: y=ax3+bx2+cx+d, a( ≠0)
+) Khi a>0: Tiếp tuyến tâm đối xứng (C) có hệ số góc nhỏ +) Khi a<0: Tiếp tuyến tâm đối xứng (C) có hệ số góc lớn
II LUYỆN TẬP
Ví dụ 1. Biện luận sốgiao điểm hai đồ thị hàm số sau:
1 x y
x + =
− (C) y = m – x (d) HD giải Phương trình hồnh độgiao điểm (C) (d) là:
1 x
m x x
+ = −
−
1
1 ( )( 1)
x
x mx m x x
x m x x
≠
⇔ + = − ⇔ + = − − +
−
2 1 0
x mx m
⇔ − + + =
Biện luận:
Nếu ∆ > ⇔ < −0 m 2 m> +2 (C) d có hai điểm chung Nếu ∆ = ⇔ = −0 m 2 m= +2 (C) d có điểm chung Nếu ∆ < ⇔ −0 2 < < +m 2 (C) d khơng có điểm chung
Chú ý: Nhấn mạnh cho HS tùy theo yêu cầu toán để chọn phương án thích hợp hỏi ý
Ví dụ 2. Tìm tất giá trị thực m đểđồ thị hàm số (C): y=x3+mx+5 cắt đường thẳng d: y = 6x + m ba điểm phân biệt
A
21 m m < ≠
B 21
m< C 21
m> D
21 m m > ≠
HD giải Phương trìnhhồnh độgiao điểm (C) (d) là:
3 5 6
x +mx+ = x+m (*)⇔ x3+(m−6)x+ − = ⇔5 m (x−1)(x2+ + − =x m 5)
2
1 (1)
5 (2) x
x x m
= ⇔
+ + − =
(42)Đồ thị (C) cắt đường thẳng d ba điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt ⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác
2
21 21
4
1 3
m m
m m
∆ = − >
<
⇔ ⇔
+ + − ≠
≠ Chọn A
Ví dụ 3. Cho hàm số y=x4−(3m+2)x2+3m có đồ thị (CRmR) Xác định tất giá trị thực tham sốm để (CRmR) cắt đường thẳng y = - bốn điểm phân biệt
A m m ≠ < −
B
1
m> − C
m< − D
0 m m ≠ > −
HD giải Phương trình hồnh độgiao điểm:
4 (3 2) 3 1
x − m+ x + m= − ⇔ x4−(3m+2)x2+3m+ =1 (1)
Đặt t=x2, t≥0, phương trình (1) trở thành: t2−(3m+2)t+3m+ =1 (2)
Đồ thị (CRmR) cắt đường thẳng y = - bốn điểm phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm
dương phân biệt
0 0 P S ∆ > ⇔ >
>
2
9 0
1
3 1
3
3 2
3 m m m m m m m m ≠
> ≠
⇔ + > ⇔ > − ⇔ > −
+ >
> −
Chọn D
Ví dụ 4. Cho hàm số x y x + =
+ Biết đồ thị hàm sốđã cho cắt đường thẳng
1
y= x+m hai
điểm phân biệt A B Tìm giá trị m cho độdài đoạn thẳng AB nhỏ A.m= −1 B m=1 C.m=2 D.m= −2
HD giải Phương trình hoành độgiao điểm (C) (d) là: 2 x x m x + = + +
3 ( 2)
2 x
x x m x
≠ − ⇔ + = + +
2 (*)
x mx m
⇔ + + −
Ta có ∆ =/ m2−1(4m− =6) m2−4m+ =6 (m−2)2+ > ∀2 0, m Suy (C) cắt d A B với m Gọi (A xA;yA), (B xB;yB) Ta có ;
2
A A B B
y = x +m y = x +m
Lại có xA,xB nghiệm phương trình (*) nên
A B A B
x x m
y y m
+ = −
= −
2
( B A) ( B A)
AB= x −x + y −y = ( )2 1( )2
B A B A
x −x + x −x = 5( )2 xB −xA = 5( 2 . )
4 xA xB x xA B
= + − = ( )2 ( )
5
(( ) ) 4
4 xA xB x xA B m m
+ − = − − −
(43)= 5(m−2)2+2≥ 10
Do đó, độdài đoạn AB nhỏ 10 ⇔ − = ⇔ =m m Chọn C
Ví dụ 5. Cho hàm số y=x4−2(m+1)x2+2m+1 (Cm) Tìm tất giá trị tham số m để (Cm) cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng
A m= −4 B m=4 C 4; m∈ −
D m= HD giải Phương trình hồnh độgiao điểm (CRmR) trục hoành là:
4 2( 1) 2 1 0
x − m+ x + m+ = (1)
Đặt t=x2, t≥0, phương trình (1) trở thành t2−2(m+1)t+2m+ =1 (2)
Đồ thị (Cm) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
/
0 0 P S
∆ > ⇔ >
>
2 0
0
2 1
2
2( 1) 1
m
m m
m m
m m
m ≠
> ≠
⇔ + > ⇔ > − ⇔ > −
+ >
> −
Với
0 m m
≠ > −
đồ thị (Cm) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt
Gọi t1<t2 hai nghiệm (2) Khi (1) có bốn nghiệm − t2 < − t1 < t1< t2 hoành độ
giao điểm (CRmR) trục hoành Các hoành độ lập thành cấp số cộng
1
9t =t (3)
Ta có t t1 2, nghiệm (2) nên
1
2( 1) (4) (5)
t t m
t t m
+ = +
= +
Từ (3) ⇒t2=9t1vào (4) (5) ta được:
1
2
1
1 (6)
10 2( 1)
1
9
9 (7)
5 m t
t m
m
t m
m +
=
= +
⇔
+
= +
= +
Ta có (7)
4 ( )
9 18 50 25 9
( )
m tm
m m m
m l
=
⇔ + + = + ⇔
= −
Chọn B
Ví dụ 6. Cho hàm số y=x3−2x2+ −(1 m x) +m(1) Tìm tất giá trị thực m đểđồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x x1, 2,x3 thỏa mãn điều kiện
2 2
1
(44)A 1;1 \ {0}
m∈ −
B
1 ;1 m∈ −
C
1 1; \ {0}
4 m∈ −
D
1 1;
4 m∈ −
HD giải Phương trình xác định hồnh độgiao điểm đồ thị với trục hoành là:
3 2 (1 ) (1)
x − x + −m x+ m=
⇔(x−1).( (x x− −1) m)= ⇔0 (x−1)(x2− −x m)=0
2
1
- (2) x
x x m = ⇔
− =
Đặt xR3R = Yêu cầu toán sẽđược thực (2) có hai nghiệm phân biệt
1,
x x ≠
thỏa mãn điều kiện: 12+x12+x22<4 (3)
Điều kiện để (2) có nghiệm phân biệt khác là:
2
1
1
( )
1 0
m m
a
m m
∆ = + >
> −
⇔
− − ≠
≠
Theo Viet ta có: x1+x2 =1,x x1 2 = −m nên ( )2
1 2
(3)⇔ x +x −2x x < ⇔ +3 2m< ⇔ <3 m ( )b
Tổng hợp điều kiện (a) (b) ta 1;1 \ {0}
4 m∈ −
Chọn A
Ví dụ 7. Cho hàm số y=x3−3x2+2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
a) Tại điểm có hồnh độ –
b) Tại điểm có tung độ
c) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + d) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
45 y= − x HD giải Gọi M x( 0;y0) tiếp điểm
a) Ta có y/ =3x2−6x Từ x0= − ⇒1 y0 = −2, y/( 1)− =0⇒phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + = 9(x + 1)⇔y = 9x +
b) Ta có y/ =3x2−6x
Cho yR0R =
0
3
0 0
0
0
3 2
3 x
x x x x
x
=
⇔ − + = ⇔ − ⇔
=
Với x0=0, yR0R = 2, /
(0)
y = ⇒phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – = 0( x – 0)⇔y =
Với x0=3, yR0R = 2,
/(3) 9
y = ⇒phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – = 9( x – 3)⇔y = 9x – 25
c) Gọi M(xR0R; yR0R) tiếp điểm Ta có
/ 3 6
(45)/
0 0
( )
y x = x − x
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + nên / 0 02 0 0
1
( ) 9
3 x
y x x x
x
= −
= ⇔ − = ⇔
=
Với x0= − ⇒1 y0= −2, y/( 1)− = ⇒0 phương trình tiếp tuyến là: y + = 9(x + 1)⇔y = 9x + (l)
Với x0= ⇒3 y0=2, y/(3)= ⇒9 phương trình tiếp tuyến là: y – = 9( x – 3)⇔y = 9x – 25
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x – 25
d) Gọi M(xR0R; yR0R) tiếp điểm Ta có
/ 3 6
y = x − x Hệ số góc tiếp tuyến y x/( 0)=3x02−6x0 Do tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
45
y= − x nên
0
/
0 0
0
5
( ) 45 45
1
45
x
y x x x
x = −
= = ⇔ − = ⇔
= − −
Với x0= ⇒5 y0 =52⇒phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 52 = 45( x – 5)⇔y = 45x – 173
Với x0= − ⇒3 y0= −52⇒phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 52 = 45( x + 3)⇔y = 45x + 83
Ví dụ 8. Cho đồ thị (C) hàm sớ
1 x y
x − =
− Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từđiểm I(1; 2) đến tiếp tuyến
A.x+ − =y B.x+ − =y x+ − =y C x+ + =y x+ + =y D x+ − =y
HD giải Tiếp tuyến (C) điểm M x( 0; (f x0))∈( )C có phương trình
0 0
'( )( ) ( )
y= f x x−x + f x hay x+(x0−1)2y−2x02+2x0− =1 (*) Khoảng cách từđiểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*)
0
2
2 ( 1)
x x −
=
+ − ⇔ x0=0 x0=2 Suy tiếp tuyến cần tìm là: x+ − =y x+ − =y Chọn B Ví dụ 9. Cho hàm số
1 x y
x − =
+ (C) Tìm tất cảcác điểm M thuộc đồ thị(C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc -9
(46)HD giải Ta có I(-1; 2) Gọi 0
2
0 0
3
( ) ( ; )
1 ( 1)
M I
IM
M I
y y
M C M x k
x x x x
− −
∈ ⇒ − ⇒ = =
+ − +
Hệ số góc tiếp tuyến M:
( )
0 2
0
3 '( )
1
M
k y x
x
= =
+
M IM
ycbt⇔k k = −
2
0
3
(x 1) (x 1) −
⇔ = −
+ + ⇔xR0R = 0; xR0R = -2
Suy có điểm M thỏa mãn: M(0; -3) M(-2; 5) Chọn C
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1 Cho hàm số y=x3−4x Tìm sốgiao điểm đồ thị hàm số trục Ox
A B C D
Câu 2 Tìm sốgiao điểm đường cong
2
y=x − x + x+ đường thẳng y= −1 x
A B C D
Câu 3 Gọi M, N giao điểm đường thẳng y= +x đường cong x y
x + =
− Tìm hồnh độ
trung điểm I đoạn thẳng MN
A
− B C D
Câu 4(ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017). Biết đường thẳng y 2x2 cắt đồ thị hàm số
2
yx x điểm nhất; ký hiệu x y0; 0 toạđộ điểm Tìm y0
A y04 B y00 C y02 D y0 1
Câu 5 Tìm tất giá trị tham sốm đểđồ thị hàm số y=x3−3x2+1 cắt đường thẳng
y=m điểm phân biệt
A − < <3 m B − ≤ ≤3 m C m>1 D m<-
Câu 6 Tìm tất giá trị tham sốm đểđường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y=x3−3x+2
tại điểm phân biệt
A m>4 B 0≤ <m C 0< ≤m D 0< <m
Câu 7 Tìm tất giá trị tham sốm đểđường thẳng y=m không cắt đồ thị hàm số
4
2
y= − x + x +
A 0< <m B m>4 C m<0 D m=0; m=4
Câu 8 Tìm tất giá trị tham số m đểphương trình x3+3x2− =2 m có nghiệm phân biệt A m<-2 B m>2 C 2− < <m D m = -2
Câu Tìm tất giá trị tham số m đểphương trình x x2 2− =2 m có nghiệm thực phân biệt
(47)Câu 10 Cho đường cong ( ): x C y
x
− =
− Có điểm đồ thị ( )C cho tổng khoảng
cách từđiểm đến đường tiệm cận ( )C 6?
A.4 B C D
Câu 11 Cho hàm số y=x4−2(m+1)x2 + +m có đồ thị ( )C Gọi ( )∆ tiếp tuyến với đồ thị
( )C điểm thuộc ( )C có hồnh độ Tìm tất giá trị tham số m để ( )∆ vng góc
với đường thẳng ( ) : 2016
4 d y= x−
A.m= −1 B.m=0 C m=1 D.m=2 Câu 12. Gọi M giao điểm đồ thị hàm số
R
2 x y
x − =
− R
với trục Oy Viết phương trình tiếp
tuyến với đồ thị điểm M
A
4
y= − x+ B
4
y = x+ C
2
y = − x− D
2
y= x− Câu 13 Tìm sốcác tiếp tuyến qua gốc toạđộ O đồ thị ( ) :C y=x4−2x2 A.0 B.1 C.2 D.3
Câu 14 Cho hàm số ( ) x
y C
x − =
− Tìm hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị (C) cho tiếp
tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A, B thoả mãn OA=4OB
A
k = − B
4
k = C.k = −1 D k =1
Câu 15 Tìm tất giá trị tham số m đểđường thẳng y6xm tiếp tuyến đường cong yx33x1
A
1 m m
B
1 m m
C
1 m m
D
1 m m
Câu 16 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
2
3
3 x
y= + x − biết tiếp tuyến có hệ số góc
k= −
A y– 16=–9(x– 3) B y+16=–9(x+3) C.y– 16=–9(x+3) D y=–9 – 27x
Câu 17 Cho hàm số 1 x y
x + =
+ cóđồ thi ̣( )C Tı̀m các điểm M đồ thi ̣( )C cho khoảng cách
từhai điểm A( )2; vàB(− −4; 2)đến tiếp tuyến của ( )C ta ̣i M là bằng
A.M( )0;1 B 1;3 M
5 2;
2 M
(48)Câu 18 Tìm hệ số góc nhỏ tiếp tuyến điểm đồ thị hàm số y=x3−3x2+2 A.−3 B 3 C −4 D 0
Câu 19 Tìm tất giá trị tham số mđểqua điểm M(2; m) kẻđược ba tiếp tuyến phân biệt
đến đồ thị hàm số
3 y= x − x
A.m∈(4; 5) B.m∈ −( 2; 3) C.m∈ − −( 5; 4) D.m∈ −( 5; 4)
Câu 20 Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d y: =mx– 2m– cắt đồ thị
( )
: – –
C y=x x + x điểm phân biệt
A.m> −3 B m<1 C m< −3 D m>1
Câu 21 Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d y: –= x+m cắt đồ thị
( )
:
1 x y C
x
− + =
+ hai điểm A B, cho AB=2
A.m=1;m= −7 B m=1;m=2 C m= −7;m=5 D m=1;m= −1 Câu 22 Tìm tất giá trị tham số mđể phương trình 2( )
–
x x + =m có nghiệm phân biệt
A m<3 B m>3 C m>3 D.m>3hoặcm=2 Câu 23 Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị hàm số
1 x y
x −
= hai điểm phân biệt có hồnh độ x x1; 2 thỏa mãn x1−x2 =
A.m∈ −{ 3;1} B.m∈ − −{ 2; 1} C.m∈{0; 2} D m=3 Câu 24 Gọi ( ):
1 x
M C y
x
+
∈ =
− có tung độ Tiếp tuyến ( )C M cắt trục tọa độ
Ox, Oy A B Tính diện tích S tam giác OAB
A S 121
= B 119
S = C 123
S = D 125 S =
Câu 25. Cho hàm số 1 x y
x + =
+ ( )C đường thẳng dm:y= +x m Tìm giá trị tham số m để
( )C cắt dm hai điểm phân biệt A, B cho ∆OAB vuông O
A
m= B
m= C
m= D m= − IV ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1 10 11 12 C D B C A D B C A A C A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
(49)ĐỀ LUYỆN TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ
MA TRẬN ĐỀ (Chuyên đề hàm số) 1 Ma trận
Cấp độ
Chủđề Nhận biết Thông hiểu
Vận dụng
Cộng Cấp độ thấp Cấp độ cao
Tính đơn điệu hàm số
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 1,6
(16%)
0BCực trị hàm số
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 0,8
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 1,6
(16%) 1BGiá trị lớn nhỏ
nhất hàm số
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 1,2
(12%) 2BĐường tiệm cận đồ
thị hàm số
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 1,2
(12%) 3BKhảo sát biến thiên
và vẽđồ thị hàm số
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 0,8
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 1,6
(16%) 4BMột sốbài toán thường
gặp vềđồ thị
Số câu: Sốđiểm: 1,2
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 2,0
(20%)
5BỨng dụng thực tế
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 0,4
Số câu: Sốđiểm: 0,8
(8%) Tổng
Số câu: Sốđiểm: 2,0
( 20%)
Số câu: 10 Sốđiểm: 4,0
(40%)
Số câu: Sốđiểm: 2,8
(28%)
Số câu: Sốđiểm: 1,2
(12%)
Số câu: 25 Sốđiểm: 10
(100%)
2 Các chuẩn đánh giá
Chủđề Chuẩn đánh giá
Tính đơn điệu của hàm số
I Mức độ nhận biết:
- Nhớđược điều kiện để hàm sốđồng biến, nghịch biến khoảng
- Biết mối liên hệ tính đồng biến, nghịch biến hàm số dấu
đạo hàm cấp
- Nhận dạng bảng biến thiên số hàm sốđơn giản
Ví dụ. Phát biểu sau đúng?
(50)
'
0, ;
f x x a b
B Nếu f' x 0, x a b; hàm số y f x nghịch biến a b; C Hàm số y f x nghịch biến a b;
'
0, ;
f x x a b
D Nếu f' x 0, x a b; hàm số y f x nghịch biến a b; II Mức độ thông hiểu
- Biết xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số khoảng dựa vào
dấu đạo hàm cấp
Ví dụ: Chỉ khoảng nghịch biến hàm số y = x - 3x - 9x+ m3 2
khoảng đây:
A 1;3 B ; 3 1; C D ; 1 3; III Mức độ vận dụng thấp
-Vận dụng khái niệm, điều kiện hàm sốđồng biến, nghịch biến tìm điều kiện tham sốđể hàm sốthường gặp đơn điệu khoảng
Ví dụ:
Hàm số y x
x m
nghịch biến khoảng ; 2 khi:
A m2 B m1 C m2 D m1 IV Mức độ vận dụng cao
-Vận dụng khái niệm, điều kiện hàm sốđồng biến, nghịch biến kết hợp phương
pháp đổi biến tìm điều kiện tham sốđể hàm sốđơn điệu khoảng
Ví dụ:Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số tan tan
x y
x m
đồng biến khoảng 0;
A. m0 1 m B. m0 C. 1 m D. m2
Cực trị hàm số
I Mức độ nhận biết:
-Nhớ khái niệm: Điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị hàm số
-Nhớcác điều kiện đủđểcó điểm cực trị hàm số
- Từ bảng biến thiên nhận dạng điểm cực trị hàm số, đồ thị hàm số
Ví dụ. Cho hàm số y f x xác định, liên tục có bảng biến thiên
(51)Khẳng định sau khẳng định ? A Hàm sốcó cực trị
B Hàm số có giá trị cực tiểu
C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ -1 D Hàm sốđạt cực đại x=0 đạt cực tiểu x=1
II Mức độ thông hiểu
- Tìm điểm cực trị hàm số, giá trị cực trị hàm số cực trị đồ
thị hàm số
- Tìm điều kiện tham số cho hàm bậc ba có hai cực trị, khơng có cực
trị
- Tìm điều kiện tham số cho hàm bậc bốn có ba cực trị, cực trị
Ví dụ: Đồ thị hàm số 3
yx x có hai điểm cực trị là:
A (0;0) (1;-2) B (0;0) (2;4) C (0;0) (2;-4) D (0;0) (-2;-4) III Mức độ vận dụng thấp
Vận dụng khái niệm, điều kiện hàm số có cực trịtìm điều kiện tham sốđể hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Ví dụ: Cho hàm số y2x33m1x26mxm3 Tìm m đểđồ thị hàm
số có hai điểm cực trịA,B cho độ dài AB
A m=0 B m=0 m=2 C m=1 D m=2
Giá trị lớn và nhỏ
hàm số
I Mức độ nhận biết:
-Nhớ khái niệm giá trị lớn, giá trị nhỏ hàm số tập hợp số
-Từ bảng biến thiên nhận dạng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất( có) hàm số tập hợp số
- Từ tính chất đơn điệu hàm số đoạn, nhận dạng GTLN, GTNN hàm sốtrên đoạn
Ví dụ: Giá trị lớn hàm số yx35x7 đoạn 5; 0 A B -143 C D
II Mức độ thơng hiểu
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất( có) hàm số tập hợp
số
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ hàm số
2 x y
x
(52)A 2;4
miny6 B 2;4
miny 2 C 2;4
miny 3 D 2;4
19
3 y III Mức độ vận dụng thấp
Vận dụng khái niệm giá trị lớn, giá trị nhỏ hàm số tập hợp số tìm giá trị tham sốđể hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện
nào
Ví dụ: Tìm giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số
1
x m m
f x
x
đoạn 0;1 2 ?
A m m
B
1 m m
C
1 m m
D
1 m m
Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
I Mức độ nhận biết:
-Nhớ khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số
- Nhận dạng tiệm cận đồ thị hàm số biết số giới hạn
- Nhận biết số tiệm cận sốđồ thị hàm sốđơn giản
Ví dụ: Cho hàm số y f x có lim
x f x xlim f x 2 Khẳng
định sau khẳng định ?
A.Đồ thị hàm sốđã cho khơng có tiệm cận ngang B.Đồ thị hàm sốđã cho có tiệm cận ngang
C.Đồ thị hàm sốđã cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng y2
y
D.Đồ thị hàm sốđã cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng x2
x
II Mức độ thơng hiểu
Tìm tiệm cận đồ thị hàm số cách tính giới hạn từđó suy
số tiệm cận đồ thị hàm số
Ví dụ: Đồ thị hàm số
2
1 x x y
x
có:
A Tiệm cận đứng x 1, tiệm cận xiên yx
B Tiệm cận đứng x1, tiệm cận xiên yx
C Tiệm cận đứng x1, tiệm cận xiên y x
D Kết khác
III Mức độ vận dụng thấp
Vận dụng khái niệm tiệm cận đồ thị hàm số tìm giá trị tham sốđểđồ thị hàm số có tiệm cận
Ví dụ: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số
2 x y
mx
có hai tiệm cận ngang
(53)x y
-2 -2 -1O
x
2
1 y
O
thiên vẽđồ thị hàm số
- Nhận dạng đồ thị sốhàm thường gặp qua sốđặc điểm đặc
trưng đồ thị loại hàm cho biết nhiều loại hàm
Ví dụ: Đồ thịsau hàm số nào?
A.
3
y x x
B.
3
yx x C. yx43x22
D. x y
x
II.Mức độ thông hiểu
Nhận dạng đồ thị sốhàm thường gặp qua số dấu hiệu
nhánh vơ cực, điểm đồ thị, tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận cho biết số hàm loại…
- Từđồ thị, biện luận theo tham số số nghiệm phương trình Ví dụ:
Đồ thịsau hàm số nào?
A
2 x y
x
B
2 x y
x
C
2 x y
x
D
2 x y
x
III Mức độ vận dụng thấp
Từđồ thị hàm số y f x tìm đồ thị hàm chứa dấu trị tuyệt đối liên quan
(54)x
-1
O
y
1 -1
1
x y
4
3
O
x y
4
3
O -3 -1
Hình Hình
A y x3 6x29 x B y x36 x29 x C y x36x29x D y x36x29 x
Một số toán thường gặp vềđồ
thị
I.Mức độ thông hiểu
- Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị
- Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm thuộc đồ thị hàm
số
- Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong tiếp điểm
Ví dụ: Cho đồ thị hàm số y= f x( ) hình vẽ Giá trị m để phương trình
( )
f x =m có hai nghiệm phân biệt là:
A. m>1 B m=1 C m< −1 D.m= −1 II Mức độ vận dụng :
- Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết điều kiện hệ số góc
hoặc qua điểm
-Vận dụng kiến thức tương giao hai đồ thị kiến thức phương
trình tìm điều kiện tham giao điểm hai đồ thị thỏa mãn điều
kiện cho trước
(55)Tìm tất giá trị tham số m đểđường thẳng y= −x 2m cắt đồ thị hàm
số
1 x y
x − =
+ hai điểm phân biệt có hồnh độdương
A 0< <m B m m
< − >
C
3
2 m
< < D m < < Ví dụ 2: Tìm tất giá trị tham số m đểđường thẳng d y: = − +x m
cắt đồ thị hàm số
1 x y
x =
− hai điểm phân biệt A B cho độ dài
AB ngắn
A m= −3 B m= −1 C m=3 D m=1
Ứng dụng thực tế
Giải số toán ứng dụng thực tế liên qua tới nhiều kiến thức tổng
hợp đạo hàm, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhât, diện tích, thể tích,
Ví dụở mức độ vận dụng thấp:
Sau phát bệnh dịch, chuyên gia y tếước tính sốngười nhiễm bệnh kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ t
( ) 45
f t = t −t (kết khảo sát tháng vừa qua) Nếu xem
( ) '
f t tốc độ truyền bệnh (người/ngày) thời điểm t Tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày thứ:
A 12 B. 30 C 20 D 15 Ví dụở mức độ vận dụng cao:
Một bác thợ gò hàn muốn làm thùng hình hộp chữ nhật (khơng nắp) tơn thể tích 62, 5dm3 Chiếc thùng có đáy hình vng cạnh
( )
x dm , chiều cao h dm( ) Để làm thùng, bác thợ phải cắt miếng tơn
như hình vẽ Tìm x để bác thợ sử dụng ngun liệu
A.7( )dm B.6( )dm C.4( )dm D.5( )dm
x
h
h
h h
(56)ĐỀ LUYỆN TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ
Các câu hỏi sau có phương án trả lời Hãy khoanh trịn vào phương án trả lời Câu 1: Cho hàm số y= f x( ) có lim ( )
x→+∞ f x = vàxlim→−∞ f x( )= −1 Khẳng định sau khẳng
định ?
A.Đồ thị hàm sốđã cho khơng có tiệm cận ngang B.Đồ thị hàm sốđã cho có tiệm cận ngang
C.Đồ thị hàm sốđã cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng x = x = −1 D.Đồ thị hàm sốđã cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng y = y = −1 Câu 2: Tìm đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số
1 x y
x − =
−
A x=2;y=1 B x=1;x=2 C x=1;y=2 D x=1;y=1 Câu 3: Tìm tất giá trị tham số m đểphương trình x4−4x2+ =m có nghiệm
A m=4 B m<0 C m m
≤ =
D
0 m m
< = Câu 4: Tìm khoảng đồng biến hàm số
1 x y
x
− =
−
A B \ {1} C (−∞;1) (1;+∞) D (−∞ ∪ +∞;1) (1; ) Câu 5: Tìm tất giá trị tham số m đểđồ thị hàm số y=x4−2(m+1)x2+m2 có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông
A m= ±1 B m= −1 C m=0 D m=1 Câu 6:Xác định hàm sốcó đồ thị sau
A 1 x y
x − =
− B
2 x y
x + =
− C
1 x y
x + =
− D
2 x y
x + =
+ Câu 7: Tìm điểm cực đại hàm số y=x3−3x2+4
A x=1 B x=0 C x=2 D x= −2 Câu 8: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số
2
x m m
y
x m
− +
=
− nghịch biến khoảng (−∞;1)
(57)A y=x3+3x2+2 B y=x3+3x+2 C y=x3−3x+2 D y=x3−3x2+2 Câu 10: Tìm giá trị nhỏ hàm số
1 x y
x − =
+ đoạn [ ]0;1
A -1 B 0 C 1 D 1 Câu 11: Cho đồ thị (C) có phương trình
1 x y
x − =
+ Tịnh tiến đồ thị (C) theo vectơ v=(2;1)
ta
được đồ thị (C’) Tìm phương trình đồ thị (C’)
A x y
x
− =
− B
3 x y
x
− =
+ C
3 x y
x
− =
− D
3
x y
x
+ =
−
Câu 12: Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng (d): y= +x m cắt đồ thị (C):
1 x y
x − =
− hai điểm phân biệt A, B cho độdài đoạn AB ngắn
A m= −1 B m=1 C m=0 D m=2
Câu 13: Tìm tất giá trị tham số m để tiếp tuyến đồ thị hàm số 2mx
y
x m + =
− (C) tạo với hai đường tiệm cận (C) tam giác có diện tích 10 A m=2 B m= ±1 C m=0 D m= ±2
Câu 14: Một công ty sữa cần làm hộp sữa hình trụ, tích 0,2 (lít) Tính bán kính đáy hộp để cơng ty tốn nguyên liệu làm hộp
A 3 200
π (cm) B 3
150
π (dm) C 3
250
π (dm) D 3
100
π (cm)
Câu 15: Tìm hàm số khơng có cực trị hàm sốcho A y=x3−3x+2 B
2 x y
x =
− C
3
y=x − x + x+ D
1 y=x −x + Câu 16: Cho hàm số
4
y=x − x + có đồ thị (H1) hình vẽ Tìm hàm số có đồ thị (H2)
(58)(H1) (H2)
A y=(x−1)4−4(x−1)2+3 B y=x4−4x2+2 C y=(x+1)4−4(x+1)2+3 D y=x4−4x2+4
Câu 17: Cho y≥0;x2+ + =x y Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M của
4
P= x+ −y xy+
A m=6 M =10. B. m= −10 M =6 C m= −6 M =10 D m= −10 M =10
Câu 18: Tìm tất giá trị tham số m hàm số y=x3−3x2−(m2− −m 2)x+9 đồng biến khoảng ( 1; 0).−
A − < <1 m B − ≤ ≤1 m C m m
≤ − ≥
D
1 m m
< − > Câu 19: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
3
3
x x
y= − − biết tiếp tuyến cắt trục hồnh A, cắt trục tung B cho OB=2OA (O gốc tọa độ)
A 3 y x y x
= −
= +
B
2
2
y x
y x
= +
= −
C 3
y x
y x
= − −
= − +
D
2
2
y x
y x
= − +
= − −
Câu 20: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số 2
2
y=x − m x + m+ đạt cực tiểu
điểm x=1
A m=0 B m= ±1 C m=2 D m= −2 Câu 21: Tìm sốđường tiệm cận đồ thị hàm số
2 1 x y
x + =
−
A 2 B 1 C 0 D 3
Câu 22: Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng (d) : y= − +x m cắt đồ thị hàm số
3
3 10
y=x − x − x+ (C) ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng A m=1 B m= −1 C m= −2 D m=0 Câu 23: Tìm khoảng nghịch biến hàm số y=x4−2x2+3
A (−∞ −; 1) (0;1) B
C (−∞ − ∪; 1) (0;1) D \ ( 1; 0){− ∪ +∞(1; ) }
(59)A 400(cm3) B 300(cm3) C 250(cm3) D 200(cm3) Câu 25: Tìm giá trị lớn M của hàm số y=x4−4x2+3 đoạn 0; 5
A M =0 B M =9 C M =3 D M =8 - HẾT -
ĐÁP ÁN -
Câu D Câu A Câu 11 A Câu 16 A Câu 21 D Câu C Câu B Câu 12 B Câu 17 D Câu 22 D Câu D Câu A Câu 13 B Câu 18 B Câu 23 A Câu C Câu C Câu 14 D Câu 19 B Câu 24 C Câu C Câu 10 A Câu 15 C Câu 20 B Câu 25 D
Tên trường thực Chuyên đề Hàm số: 1) Trường THPT Chuyên Tuyên Quang 2) Trường THPT Yên Hoa
(60)CHUYÊN ĐỀ II:
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
Chủ đề 2.1:Lũy thừa, mũ, logarit
A.Kiến thức bản
I Lũy thừa
1 Định nghĩa lũy thừa
Sốmũ α Cơ số a Lũy Thừa aα *
N n∈ =
α a ∈ R aα =an=a a .a(n thừa số a)
=
α a≠0 aα =a0 =1
) (n N*
n ∈
− =
α a≠0 n n
a a
aα = − = )
, (m Z n N* n
m ∈ ∈
=
α a>0 a an n am (n a b bn a)
m
= ⇔ = =
= α
* limr rn ( n Q n, N )
α = ∈ ∈ a>0 aα =limarn
2 Tính chất của lũy thừa • với a > 0, b > ta có :
α α α α
α α β
α β α β
α β α β
α β α
b a b
a b
a ab a
a a
a a a
a
a =
=
= =
= + −
; )
( ; )
( ; ;
• a > : aα >aβ ⇔ >α β; < a < : aα >aβ ⇔ <α β • Với < a < b ta có :
0
m m
a <b ⇔ >m ; am >bm ⇔ <m
Chú ý: + Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác + Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun số a phải dương
3 Định nghĩa tính chất bậc n
• Căn bậc n (n ∈ N*, ) a số b cho bn =a
• n số nguyên dương lẻ na xác định ∀a , n số nguyên dương chẵn na xác định ∀ ≥a
• n số nguyên dương lẻ n na =a a ∀ , n số nguyên dương chẵn = = − ∀ ∀ ≥
a a<0 n na a a
a
(61)nab =na bn
; ( 0)
n n
n
a a b
b = b > ; ( ) ( 0)
p n pa = na a>
; m na =mna • Nếu n số nguyên dương lẻ a < b na<nb
Nếu n số nguyên dương chẵn < a < b na <nb II. LƠGARIT
1.Định nghĩa
• Với a > 0, a ≠ 1, b > ta có : logab= ⇔α aα =b
chú ý : logab có nghĩa 0,
a a
b
> ≠ >
• Loogarit thập phân : lgb=logb=log10b
• Loogarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb=logeb (với lim 1 2,718281 n
e
n
= + ≈
)
2 Tính chất
• log 0a = ; logaa=1; logaab=b; alogab =b b( >0)
• Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > Khi :
+ Nếu a > logab>logac⇔ >b c + Nếu < a < logab>logac⇔ <b c 3 Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có :
• log ( ) loga bc = ab+logac • loga b logab logac c
= −
• logab = logab α α
4 Đổi số
Với a, b, c > a, b ≠ 1, ta có : • log log
loga b
a
c c
b
= hay log logab bc=logac
• log log a
b
b
a
= • logaα c= logac (α ≠0)
(62)- Tìm điều kiện rút gọn biểu thức - Đưa biểu thức dạng lũy thừa - So sánh lũy thừa
- Tính giá trị biểu thức logarit theo biểu thức cho - Chứng minh đẳng thức
C.Bài tập luyện tập
Bài 1 Viết biểu thức sau dạng lũy thừa a) 3x x ,(x>0) b) b a3 , ,(a b 0)
a b ≠ c) 32 2
Bài 2Tìm điều kiện rút gọn biểu thức sau
a)
1,5 1,5
0,5 0,5
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
2
a b a b
b
a b
a b a b
+ −
+ +
− + b)
1 1
2 2 2
1 1
2 2
2
x y x y x y y
x y x y xy x y xy x y
− +
+ −
+ −
+ −
c)
3 6
a b a b
−
− (a,b>0 , a ≠ b) Bài 3 So sánh m n
a) ( ) ( )2
m n
> b) 1
9
m n
> Bài 4Tìm điều kiện a x biết
a) ( ) ( )
2
3
1
a− − < a− − b)
−
>
0,2
1 a
a
c) 4x =51024 d)
1
5
2 125
x+
=
e) 0,1x >100 f) 30,04
x
> Bài 5. Rút gọn biểu thức :
a) loga3 a (a > 0) b ) 1/3
log log
log
a a
a
a a
a ( 0< ≠a 1)
Bài 6: Tính giá trị biểu thức logarit theo biểu thức cho : a) Cho log 142 =a Tính log 3249 theo a
(63)a) Cho log 725 =a ; log 52 =b Tính 35
49 log
8 theo a, b b) Cho log 330 =a; log 530 =b Tính log 135030 theo a, b
Bài 7: Chứng minh biểu thức sau (với giả thuyết biểu thức có nghĩa ) :
a) blogac =clogab b) log ( ) log log
1 loga a ax
a
b x
bx
x
+ =
+
c) log 1(log log )
3
ca b+ = ca+ cb , với a2+b2=7ab
D.Bài tập TNKQ
Câu 1: Cho a > a ≠ Tìm mệnh đềđúng mệnh đề sau : A log xa có nghĩa ∀x B logRaR1 = a logRaRa = C logRaRxy = logRaRx.logRaRy D
n
a a
log x =n log x (x > 0,n ≠ 0)
Câu 2: Cho a > a ≠ 1, x y hai sốdương Tìm mệnh đềđúng mệnh đề sau :
A a a
a
log x x
log
y = log y B a a
1
log
x = log x C log x ya( + )=log x log ya + a UD.U
b b a
log x log a.log x= Câu 3: 1
a
log a (a > 0, a ≠ 1) :
UA.U -7
3 B
3 C
3 D câu :
3 2 a 15 7
a a a
log
a
:
UA.U3 B 12
5 C
9
5 D Câu 5: a3 log b− a (a > 0, a ≠ 1, b > 0) bằng :
UA.U
(64)A
5 B
5 C.
5 D
Câu 7: Nếu log x log a log b2 = 2 + 2 (a, b > 0) x : A a b5 B a b4 C 5a + 4b D 4a + 5b Câu : log x 8log ab7 = 7 2−2 log a b7 (a, b > 0) x :
A a b4 UB.U 14
a b C a b6 12 D a b8 14
Câu 9: Cho log2 = a Tính log25 theo a?
A + a B 2(2 + 3a) UC.U 2(1 - a) D 3(5 - 2a) Câu 10 : Cho log25 a; log b= 3 = Khi log 56 tính theo a b :
A
a b+ UB.U
ab
a b+ C a + b D
2 a +b
Câu 11 : Cho hai số thực dương a b, với a≠1 Khẳng định khẳng định ? A 2( )
1
log log
2 a
a ab = b B 2( )
log log
4 a
a ab = b C log ( ) 2 log
2 ab ab
a = +
UD.U 2( )
1
log log
2 a
a ab = + b
Câu 12 Cho log2a Tính log432
5 theo a, ta được:
A
4 a
B
1 5 1
4 a UC.U
1 6 1
4 a D
1 6 1
4 a
Câu 13 Rút gọn biểu thức 32log3 log 2.log 25 (0 1)
a
P a a a , ta được:
A
4
Pa B
2
Pa UC.U
2
4
Pa D
2
Pa
Câu 14: Cho a sốdương, biểu thức
a a viết dạng luỹ thừa với sốmũ hữu tỷ là: UA.U
7
a B
a C
a D
11
a
Câu 15: Biểu thức a
3
3: a viết dưới dạng luỹ thừa với sốmũ hữu tỷ là: A
5
a UB.U
2
a C
5
a D
7
a
(65)A
x B
5
x C
2
x D.
5 x
Câu17:Trong phương trình sau đây, phương trình có nghiệm? A
1
x + = B x 0− + = C ( )
1
5 6
x + x 1− =0 D.
1
x − =1
Câu18: Cho K =
1
1
2 y y
x y
x x
−
− − +
biểu thức rút gọn K là: UA.U x B 2x C x + D x - Câu19: Rút gọn biểu thức: 81a b4 , ta được:
A 9aP
Pb B -9aP
Pb UC.U
9a b D Kết khác Câu20: Rút gọn biểu thức: x x 18( + )4 , ta được:
A xP
P(x + 1) UB.U
x x 1+ C -x x 14( + )2 D x x 1( + )
Câu21: Nếu 1(a a )
α+ −α =
giá trị α là:
A UB.U C D
Câu22: Cho 3α <27 Mệnh đềnào sau đúng?
A. -3 < α < B α > C α < D α ∈ R
Câu23: Rút gọn biểu thức
2
a a
−
(a > 0), ta được:
A. a B 2a C 3a D 4a Câu24: Rút gọn biểu thức ( )
2
3 2 3
b − : b− (b > 0), ta được: A b B bP
2
P C bP
P D. bP
Câu25: Cho 9x +9−x =23 Khi đo biểu thức K =
x x x x
5 3
1 3
− − + +
− − có giá trị bằng: A.
2
− B
2 C
3
(66)Chủ đề 2.2: Hàm số lũy thừa, mũ, logarit
A.Kiến thức cơ bản
I. HÀM SỐ LŨY THỪA a) ĐN: Hàm số có dạng y x= α với α ∈R b) Tập xác định:
• D = R với α nguyên dương
• D R \ 0= { } với α nguyên âm • D = (0;+∞) với αkhông nguyên
c) Đạo hàm
Hàm số y x= α (α∈R) có đạo hàm với x > ( )xα '=αxα−1 d) Tính chất hàm sốlũy thừa khoảng (0;+∞)
Đồ thịluôn qua điểm (1; 1)
Khi α > hàm sốluôn đồng biến, α < hàm số ln nghịch Biến
Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận α > α < đồ thị hàm số có tiệm cận ngang trục Ox, tiệm cận đứng trục Oy
II HÀM SỐ MŨ
a) ĐN: Hàm số có dạng y a= x (0 a 1)< ≠ b) Tập xác định: D = R, tập giá trị (0;+∞)
c) Đạo hàm: Hàm số y a= x (0 a 1)< ≠ có đạo hàm với x ( )ax ' a ln a= x , Đặc biệt: ( )ex ' e= x
d) Sự biến thiên:
Khi a > 1: Hàm sốđồng biến Khi < a < 1: hàm số nghịch biến
e) Đồ thị: đồ thị hàm số có tiệm cận ngang trục Ox qua điểm (0; 1), (1; a) nằm phía trục hồnh
f) Lãi kép: tiền lãi kì hạn trước người gửi khơng rút tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau
Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n∈* ) là:
(1 )n
n
S =A +r (2)
(67)( )1
log n
r S n
A +
=
(3)
% n Sn r
A
= − (4)
(1 )
n n S A
r =
+ (5)
III HÀM SỐ LÔGARIT
a) ĐN: Hàm số có dạng y log x (0 a 1)= a < ≠ b) Tập xác định: D = (0;+∞), tập giá trị R
c) Đạo hàm: Hàm số y log x (0 a 1)= a < ≠ có đạo hàm với x > (log x 'a )
x ln a
= , Đặc biệt: (ln x ') x = d) Sự biến thiên:
Khi a > 1: Hàm sốđồng biến Khi < a < 1: hàm số nghịch biến
e) Đồ thị: thị hàm số có tiệm cận đứng trục Oy điqua điểm (1; 0), (a; 1) nằm phía phải trục tung
B.Kĩ bản
- Tìm tập xác định hàm sốlũy thừa ,hàm số logarit
- Tính đạo hàm hàm sốlũy thừa , hàm sốmũ , hàm số logarit
- Tính tiền lãi , thời gian giửi tiết kiệm tăng trưởng … , lãi suất hay % tăng trưởng toán lãi suất
- Khảo sát hàm sốlũy thừa , hàm sốmũ , hàm số logarit
C.Bài tập luyện tập
Bài 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: a, y= eP
3x P
b, y=2P x
P c, y=
2
1 3−x
HD:
(68)c,(31−x2)’ = 31−x2 (ln3) (1-xP
P)’ = -2x
2
1
3−x ln3 Bài 2: Tìm TXĐ hàm số sau:
a, y = xP
P
b, y = x P -3
P c, y =
x d, y = x− HD:
a, y = xP
P có D = R (vì α = nguyên dương) b, y = x P
-3
P có D = R\{0} (vì α = - nguyên âm) c, y =
2
x (α hữu tỉ);
d, y = x− (α vơ tỉ) nên có D = RP +
P = (0;+∞) Bài 3:Tìm đạo hàm hàm số sau: a, y=
3
x (x>0) b, y= 1−x2 ( 1− < <x 1) HD:
+
3
3
4 )'
(x = x − =
4 −
x = 4
3 x
= 4
3 x
+(3 1−x2 )’=[
)
( −x ]’=
2
) (
1 −
−x (-2x) =
3 2
) (
2 x x − −
Bài 4:Tìm đạo hàm hàm số sau:
a,y 2= 2x 3+ b, y=(x2 −2x e+ ) x HD
a , y’ = 2.22x+3.ln 2 b, y'= x e2 x
Bài 5: Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 5%/năm
a) Tính số tiền gốc lẫn lãi Việt nhận sau gửi ngân hàng 10 năm b) Với số tiền 10 triệu đó, Việt gửi ngân hàng với lãi kép %
12 /tháng sau 10 năm Việt nhận số tiền gốc lẫn lãi nhiều hay hơn?
(69)a) Số tiền gốc lẫn lãi nhận sau 10 năm với lãi kép 5%/năm 10
10
5
10 16, 28894627 100
S = + ≈
triệu đồng
b) Số tiền gốc lẫn lãi nhận sau 10 năm với lãi kép %
12 /tháng 120
120
5
10 16, 47009498 12 100
S = + ≈ ×
triệu đồng Vậy số tiền nhận với lãi suất %
12 /tháng nhiều
Bài 6: Bạn An gửi tiết kiệm số tiền ban đầu 1000000 đồng với lãi suất 0,58%/tháng (không kỳ hạn) Hỏi bạn An phải gửi tháng vốn lẫn lãi vượt 1300000 đồng ? HD
Ta có log1,0058 1300000 45, 3662737 1000000
n= ≈
nên để nhận số tiền vốn lẫn lãi vượt q 1300000 đồng bạn An phải gửi 46 tháng
Bài 7: Một người có 58 000 000đ gửi tiết kiệm ngân hàng (theo hình thức lãi kép ) tháng lĩnh vềđược 61 329 000đ Tìm lãi suất hàng tháng?
HD lãi suất hàng tháng % 61329 000 1 0.7% 58000 000
r = − ≈
Bài 8: Tìm tập xác định hàm số sau:
2
3 5
2
, log ( 1); , log ; , log ; , ln(1 );
a y x b y c y x d y x
x
= + = = − = −
+
HD: a, D=(-1;+∞) b, D=( 3; )
− +∞ c, D=(−∞;1) d, D=(-1;1) Bài 9:Tính đạo hàm hàm số sau:
a, y= ln x b, y=logR2R(3xP
P - 5) HD:
(70)b, [logR2R(3xP
P - 5)]’ =
2 ln ) (
)' (
2 −
− x
x
=
2 ln ) (
6 − x
x
D. Bài tập TNKQ
Câu 1:Đạo hàm hàm số y=(3x−1) là:
UA U ( )
3 3x−1 − B −3 3( x−1) 1− C 3 3( x−1)1−
D ( )
3x−1 − Câu 2: Tập xác định hàm số ( )
3
3
y= x+ − −x là: A D= − +∞( 3; ) B D= −( 3; 5)
C D= − +∞( 3; ) { }\ UD UD= −( 3; 5]
Câu Hàm số y=(4x2 −1)4 có tập xác định là:
A R B (0; +∞) C R\ 1; 2 −
D
1 ; 2 −
Câu Hàm sốnào sau đạo hàm hàm số ?
UA U B C D
Câu 5: Hàm số y=2lnx x+ có đạo hàm y' là: A 2x 2lnx x2
x
+
+
UB.U
2
ln
2x x x ln x
+
+
C
2
ln
ln
x x+
D
2
ln
1
2
ln x x x x
+ +
Câu 6:Đạo hàm hàm số y=e xs inxlà:
UA.U
s inx
' + cos
2
x
y x e
x
=
B ' (s inx + cos )
x
y = x e
C ' s inx - cos
x
y x e
x
(71)Câu 7:Đạo hàm hàm số y=22x+3 là:
A 22x+3.ln B (2x+3 2) 2x+2ln2 C 2.22x+3 UD.U
2 2.2 x+.ln
Câu 8:Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 6,8% năm lãi hàng năm nhập vào vốn, hỏi sau năm người thu gấp đơi số tiền ban đầu?
A. B C. 10 UD.U 11
Câu 9: Một khu rừng có trữlượng gỗ 4.105 mét khối Biết tốc độsinh trưởng khu rừng 4% năm Tìm khối lượng gỗ khu rừng sau năm
UA.U
5
4,8666.10 (m ) B 4,0806.10 (m ).5 C 4,6666.10 (m ).5 D 4,6888.10 (m ).5
Câu 10: Tập xác định hàm số y=log2(2x2− −x 3) là: A ; (1; )
2
−∞ − ∪ +∞
UB U( )
3
; ;
2 −∞ − ∪ +∞ C 1;3
2 −
D
;1 − Câu11: Tập xác định hàm số ln 12
3 x y
x x
− =
− là:
A ( )0;1 ∪(3;+∞) B (−∞ ∪;1) (3;+∞) UC.U (−∞;0) ( )∪ 1;3 D ( )0;1
Câu 12 Đạo hàm hàm số y=(x3+x) (ln x2+1) là: UA.U ( ) ( )
2 2
' ln
y = x + x + + x B. y'=(3x2+1 ln) (x2+ −1 ) x2
C. y'=(3x2+1 ln) (x2+ +1 ) x D. y'=(3x2+1 ln) (x2+ −1 ) x Câu 13:Đạo hàm hàm số y=log 13( + x) :
A. =
+
1
'
(1 )ln
y
x B. = +
1
'
(1 )ln
y
x x
(72)Câu 14: Hàm số y = 2x2− +x có đạo hàm f’(0) là: UA.U
1
− B
3 C D
Câu 15: Cho hàm số y = 42x x− Đạo hàm f’(x) có tập xác định là:
A R UB.U(0; 2) C (-∞;0) ∪ (2; +∞) D R\{0; 2} Câu 16: Hàm số y = a bx+ có đạo hàm là:
A y’ =
3
bx
3 a bx+ UB.Uy’ =
( )
2
2 3
bx a bx+
C y’ = 3bx23 a bx+ D y’ =
2
3
3bx a bx+ Câu 17: Cho f(x) = x23x2 Đạo hàm f’(1) bằng:
A
8 UB.U
8
3 C D Câu18: Cho f(x) = x
x −
+ Đạo hàm f’(0) bằng:
A UB.U
1
4 C
3 2 D
Câu19: Trong hàm sốsau đây, hàm sốnào đồng biến khoảng xác định? A y = xP
-4
P B y =
x− C y = xP
P
UD.Uy = x
Câu20: Cho hàm số y = (x 2+ )−2 Hệ thức y y” không phụ thuộc vào x là: A y” + 2y = UB.Uy” - 6yP
2
P = C 2y” - 3y = D (y”)P
P - 4y = Câu21: Cho hàm số y = xP
-4
P Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A Đồ thị hàm số có trục đối xứng
B Đồ thị hàm sốđi qua điểm (1; 1) C Đồ thị hàm sốcó hai đường tiệm cận UD.UĐồ thị hàm số có tâm đối xứng Câu 22:Trên đồ thị (C) hàm số y = x2
π
(73)A y = x π
+ UB.Uy = x
2
π π
− + C y = π − π +x D y = x
2
π π
− + +
Câu23:Trên đồ thị hàm số y = x2 π+
lấy điểm MR0Rcó hồnh độ xR0R =
2π Tiếp tuyến của (C) tại điểm MR0R có hệ số góc bằng:
UA.Uπ + B 2π C 2π - D Câu 24: Trong hình sau hình dạng đồ thị hàm số y=a ax, >1
Câu 25:Cho đồ thị hai hàm số y=ax y=log xb hình vẽ: Nhận xét đúng?
A a>1, b>1 UB Ua>1, 0< <b
C 0< <a 1, 0< <b D 0< <a 1, b>1
y
x y=logbx
y=ax
-1 4 2
(74)Chủ đề 2.3: Phương trình mũ , bất phương trình mũ A KIẾN THỨC CƠ BẢN
U1 Một số tính chất hàm sốmũ. a) Luỹ thừa:
* Các công thức cần nhớ:
0
1; ;
m n
n n m
n
a a a a
a −
= = =
* Tính chất lũy thừa:
m n m n
a a =a + ; ( )am n =amn;
n n n
a a
b b
=
; m
m n n
a a a
−
= ; ( )ab n =a bn n * Quy tắc so sánh:
+ Với a > am>an ⇔ >m n + Với < a < am>an ⇔ <m n
b) Căn bậc n
n n n
a b = a b;
n n
n
a a
b = b ( )
m n m n
a = a m n mn a = a
(ax)y =(ay)x =ax y , ( )
x x
x x x
x
a a
a b a b
b b
= =
1 ; x
y x y
y y
a = a a = a U2 Phương trình mũ bảnU:
Là phương trình dạng: aP x
P = b (*) với a, b cho trước < a ≠ + b ≤ 0: (*) VN
+ b > 0: ax = ⇔ =b x logab (0<a≠1 b>0) Minh họa đồ thị
Phương trình aP x
P= b (a > 0, a≠ 1)
(75)b ≤ Vô nghiệm
B KĨ NĂNG CƠ BẢN
I Phương trình mũ
1 Phương pháp đưa vềcùng số 2 Phương pháp dùng ẩn phụ
Khi sử dụng phương pháp ta nên thực theo bước sau: B1: Đưa pt, bpt dạng ẩn phụ quen thuộc
B2: Đặt ẩn phụ thích hợp tìm điều kiện cho ẩn phụ
B3: Giải pt, bpt với ẩn phụ tìm nghiệm thỏa điều kiện B4: Thay giá trịt tìm vào ⇒ giải PT, bpt mũ B5: Kết luận
USau số dấu hiệu
Loại 1: Các số hạng pt, bpt biểu diễn qua af x( ) ⇒ đặt t = af x( ) Hay gặp số dạng sau:
+ Dạng 1: A a ( )f x +B a f x( )+ =C ⇒ bậc ẩn t
+ Dạng 2: A a ( )f x +B a ( )f x +C a f x( )+ =D ⇒ bậc ẩn t + Dạng 3: ( ) ( )
f x f x
A a +B a + =C ⇒ trùng phương ẩn t
Lưu ý: Trong loại ta gặp sốbài mà sau đặt ẩn phụta thu phương trình, Bpt chứa x ta gọi tốn đặt ẩn phụ khơng hồn tồn
Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc n af x( ) bf x( ) Hay gặp số dạng sau:
+ Dạng 1: A a ( )f x +B a b.( )f x( )+C b ( )f x =0
⇒ Chia vế cho ( )f x
a ⇒ loại 1(dạng 1)
+ Dạng 2: A a ( )f x +B a b.( )f x( )+C a b( )2 f x( )+D b ( )f x =0
⇒ Chia vế cho a3 ( )f x ⇒ loại 1(dạng 2) UTổng quátU: Với dạng ta chia vế Pt cho
( ) nf x
(76)+ Dạng 1: A a f x( )+B b f x( )+ =C với a.b = + Dạng 2: A a f x( )+B b f x( )+C c f x( ) =0 , với a.b = cP
2
Với dạng ta đặt ẩn phụ t = af x( ) ⇒ bf x( )= 1/t ; với dạng ta chia vế pt cho cf x( ) đểđưa dạng 1.
3 Phương pháp logarit hóa
Đơi ta khơng thể giải PT, BPT mũ cách đưa số hay dùng ấn phụđược, ta thể lấy logarit hai vế theo sơ số thích hợp ⇒ PT, BPT mũ (phương pháp gọi logarit hóa)
UDấu hiệu nhận biết:U PT loại thường có dạng
( ) ( ) ( ) f x g x h x
a b c =d ( nói chung phương trình có chứa nhiều số khác sốmũ khác nhau) ⇒ ta lấy logarit vếtheo số a (hoặc b, c)
II Bất phương trìnhmũ
1 Bất phương trìnhmũ Xét bất phương trình aP
x P > b
- Nếu b≤0, tập nghiệm bất PT R aP x
P
> ≥ ∀ ∈b, x R - Nếu b > BPT tương đương với ax >alogab
Nếu a > nghiệm bất PT x > logRaRb Nếu <a < nghiệm bất PT x < logRaRb
2 Giải bất phương trình phương pháp đưa số 3 Giải bất phương trình mũ phương phápđặt ẩn phụ
C Bài tập luyện tập
1 Phương pháp đưa vềcùng số
Ví dụ: Giải phương trình sau:
1) 2−x =28 2) 2x2− +3x =2x+2 3) 3− −2 x2 =33x 4) 2−x =8
LG 1) Pt⇔ − = ⇔ = −x x
2) 2 0
4 x
PT x x x x x
x =
⇔ − + = + ⇔ − = ⇔
(77)3) 2 3 2 x
PT x x x x
x = − ⇔ − − = ⇔ + + = ⇔
= − 4)Pt⇔2−x =23 ⇔ = −x
Ví dụ: Giải phương trình sau : 2 x+ −x =
HD: 2 2 2
x+ −x = ⇔ x + −x = − 2
3 2
3 x
x x x x
x = ⇔ + − = − ⇔ + = ⇔
= − Vậy phương trình có nghiệm: x=0,x= −3
Ví dụ: Giải phương trình sau :
2 3 1
1
3
x − +x
=
HD:
2
2
3
( 1) 1
3 3
3 x x
x x − +
− − +
= ⇔ =
2
( 1)
2 x
x x x x
x =
⇔ − − + = ⇔ − + = ⇔
= Vậy phương trình có nghiệm: x=1,x=2
Ví dụ: Giải phương trình sau : 2x+1+2x−2 =36 HD: 2 36 2.2 36
4 x x+ + x− = ⇔ x+ =
x x x
8.2
36 9.2 36.4 16 2
4 x x
x +
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
2 Dùng ẩn phụ
Ví dụ: Giải phương trình 1)9x−4.3x+ =3
2) 9x−3.6x+2.4x =0 3) 5x− +6 51−x =0
LG 1) 9x−4.3x+ =3 ⇔32x−4.3x+ =3
Đặt 3x
t= với t>0 ta phương trình:
4
t − + =t
3 t t
= ⇔ =
(78)2) 9x−3.6x+2.4x =0
2
3
3
2
x x
⇔ − + =
Đặt
2 x t= >
ta phương trình:
2
3
2 t t t
t = − + = ⇔ =
Với t=1 ta có
2 x
x = ⇔ =
Với t=2 ta có 3
2 log
2 x
x = ⇔ =
Ví dụ: Giải phương trình sau : 32x+8−4.3x+5+27=0
HD: 38 2x−4.3 35 x+27=0 ⇔6561 3( )x 2−972.3x+27=0 (*) Đặt t=3x >0 Phương trình (*)
1 6561 972 27
1 27 t
t t
t =
⇔ − + = ⇔
=
Với 3 2
9 x
t= ⇔ = − ⇔ = −x
Với 33
27 x
t= ⇔ = − ⇔ = −x
Vậy phương trình có nghiệm: x= −2,x= −3
Ví dụ: Giải phương trình sau : 25x−2.5x−15=0 HD: 25x−2.5x−15= ⇔0 ( )5x −2.5x−15=0
(*) Đặt t=5x >0Phương trình (*) 2 15
3 (loai) t
t t
t =
⇔ − − = ⇔
= −
Với t= ⇔5 5x = ⇔ =5 x
Vậy phương trình có nghiệm: x=1
Ví dụ: Giải phương trình sau : 3x+2−32−x =24
HD: 2 ( )2
3 24 9.3 24 24.3
3
x x x x x
x
(79)Đặt t=3x >0 Pt (*)
3
9t 24 1
( loai)
t t
t =
⇔ − − = ⇔
= − Với t= ⇔3 3x = ⇔ =3 x
Vậy phương trình có nghiệm: x=1
3 Phương pháp logarit hóa
Ví dụ: Giải phương trình sau:
1) 3x=2 2) 3x x=1
LG 1) Pt ⇔log 33 x =log 23 ⇔ =x log 23
( )
2 2 2
2
2) log log log log log (1 log 3) 0
x x x x
x x
x x
= ⇔ + = ⇔ + =
⇔ + = ⇔ =
4 Bất phương trình
UBài 1:U Giải bất phương trình sau:
a) 2x−1<5 b) 0, 3x+2 >7 U
Lời giải: a) Ta có: log 52 log 52
x
x x
− < ⇔ − < ⇔ < +
- Bất phuơng trình cho có tập nghiệm là: S= −∞ +( ;1 log 52 ) b) Ta có: 0, 3x+2 > ⇔ + <7 x log0,37⇔ < − +x log0,37
- Bất phương trình cho có tập nghiệm là:S= −∞ − +( ; log0,37) UBài 2:U Giải bất phương trình :
2 3 4 1
2x + −x >4x− U
Lời giải: Ta có:
2 3 4 1 3 4 2( 1) 2 2
2x+ −x >4x− ⇔2x + −x >2 x− ⇔x +3x− >4 2(x− ⇔1) x + − > ⇔ ∈ −x x ( 2;1) Bất phuơng trình cho có tập nghiệm là:S = −( 2;1)
UBài 3:U Giải bất phương trình:
1 27
(80)Ta có 271 33(1 ) 3(1 )
3
x x
x x x
− < ⇔ − < − ⇔ − < − ⇔ − < − ⇔ >
Bất phuơng trình cho có tập nghiệm là: 2; S = +∞
UBài 4:U Giải bất phương trình: ( ) 2
9 x −x
>
U
Lời giải: Ta có: ( )
2
9 x −x
> 4 16
3 16
4
x
x x
x x x x
−
⇔ > ⇔ > − ⇔ > − ⇔ <
Bất phuơng trình cho có tập nghiệm là: ;16 S = −∞
UBài 5:U Giải bất phương trình: ( ) ( )
2
1
5
x− − +x
+ ≥ −
U
Lời giải:
Ta có: ( )( ) ( )
1
5 5
5
−
+ − = ⇔ − = = +
+ Khi ( 2) (1 2)
x− − +x
+ ≥ − ( ) (1 )
5
x x
x x
− −
⇔ + ≥ + ⇔ − ≥ −
UBài 6:U Giải bất phương trình:
2
5x+5−x <26
U
Lời giải:
- Ta có: 25 ( )2
5 26 26 26.5 25
5
x x x x x
x −
+ < ⇔ + − < ⇔ − + < - Đặt t=5x >0 Điều kiện: t >
- Ta có: t2−26t+25<0 ⇔ < <1 t 25
- Khi đó: 5< x<25⇔50 <5x<52 ⇔ < <0 x - Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S=( )0;
UBài 7:U Giải bất phương trình:
2x+1
3 −10.3x+ ≤3 ULời giải:
(81)- Ta có: 32 10 3
t − t+ ≤ ⇔ ≤ ≤t 3 3 31 1
x x
x −
⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
- Vậy bất phương trình có tập nghiệm là:S = −[ 1;1] UBài 8:U Giải bất phương trình: 5.4 2.25 7.10 (1)
x+ x− x > U
Lời giải: - Ta có: 5.4x+2.25x−7.10x >0 (1)
Chia hai vế (1) cho 4x>0 ta đượ
c: (1) ⇔
2
5
5
2
x x
+ − >
(2)
- Đặt
x t= >
Điều kiện: t >
- Khi (2) có dạng
0
2 5
2 t t t
t < < − + > ⇔
>
- Với 0< <t 1ta có:
2 x
x < ⇔ <
- Với
t> ta có: 5
2
x
x > ⇔ >
- Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm: S= −∞( ; 0) (∪ +∞1; ) * Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải phương trình: 1) 2−x =28
2) 2x2− +3x =2x+2 3) 3− −2 x2 =33x 4) 2−x =8 5)
(82)8) 9x−4.3x+ =3 9) 9x−3.6x+2.4x =0 10) 5x− +6 51−x =0 11) 25x−6.5x+ =5
12) 36x−3.30x+2.25x =0 13)
6.5x−5−x− =1 14) 2P
x - P = 15) 3P
x + 1 P = 5P
x – 2
P 16) 3P
x – P =
2 7 12
5x − +x
17) 2 2x− =5x − +x 18)
1 500
x x x
−
= 19) 5P
2x + P - 7P
x + 1 P = 5P
2x P + 7P
x
Bài 2: Giải bất phương trình:
1)
2−x >2 2) 2x2− +3x >2x+2 3) 2
3− −x >3 x 4) 2−x >8 5) 32x−3 >9 6) 23x2−2x >32 7) 32
9 x − x >
8)9x−4.3x+ >3 9) 9x−3.6x+2.4x >0
10)
5x− +6 5−x >0
11) 25x−6.5x+ >5
(83)D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1:Phương trình
4 x− =16
có nghiệm là: A x =
4 B x =
4
3 C D
Câu 2: Tập nghiệm phương trình: 22 16 x − −x =
là:
A Φ B {2; 4} C { }0; D {−2; 2} Câu 3:Phương trình 42x+3 =84−x có nghiệm là:
A 6
7 B
3 C
5 D
Câu 4:Phương trình 0,125.42
x x
− − =
có nghiệm là:
A 3 B C D 6
Câu 5:Phương trình: 2x+2x−1+2x−2 =3x−3x−1+3x−2 có nghiệm là:
A 2 B C D
Câu 6:Phương trình: 22x+6+2x+7 =17 có nghiệm là: A -3 B C D Câu 7: Tập nghiệm phương trình: 5x−1+53−x =26 là:
A { }2; B { }3; C. { }1; D Φ Câu 8:Phương trình: 3x+4x=5x có nghiệm là:
A B. C D
Câu 9:Phương trình: 9x+6x =2.4x có nghiệm là:
A B C D 0
Câu 10:Phương trình: 2x = − +x có nghiệm là:
A B 2 C D
(84)Câu 12: Tập nghiệm bất phương trình:
4
1
2
x−
< là: A ( )0; B 1;
4
C (2;+∞) D (−∞; 0) Câu 13: Bất phương trình: ( )
2 2
2
2 x− x ≤2 có tập nghiệm là:
A ( )2;5 B [−2; 1] C. [−1; 3] D Kết khác Câu 14: Bất phương trình:
2
3
4
x x
−
≥
có tập nghiệm là: A. [ ]1; B [−∞; 2] C (0; 1) D Φ Câu 15: Bất phương trình: 4x <2x+1+3 có tập nghiệm là:
A ( )1; B (2; ) C (log 3; 2 ) D (−∞; log 32 ) Câu 16: Bất phương trình: 9x− − <3x có tập nghiệm là:
A (1;+∞) B (−∞;1) C (−1;1) D Kết khác Câu 17: Bất phương trình: 2P
x P > 3P
x
P có tập nghiệm là:
A (−∞; 0) B (1;+∞) C ( )0;1 D (−1;1) Câu 18: Nghiệm bất phương trình 9x−1−36.3x−3+ ≤3 là:
A 1≤ ≤x B. 1≤ ≤x C x≥1 D x≤3 Câu19: Tập nghiệm bất phương trình:
1
4
1
2
x−
<
là:
A ( )0; UB.U 1;
4
C (2;+∞) D (−∞; 0) Câu20: Bất phương trình: ( ) ( )
2 2 3
2
x − x
≤ có tập nghiệm là: A ( )2;5 B [−2; 1] UC.U [−1; 3] D ( )1;5 Câu21: Bất phương trình:
2
3
4
x x
−
≥
(85)A ( )1; B (2; ) C (log 3; 2 ) UD.U ( ) ; log −∞ Câu23: Bất phương trình: 9x− − <3x
có tập nghiệm là: A (1;+∞) UB.U (−∞;1) C (−1;1) D ( )2;5 Câu 24:Bất phương trình: 2P
x P > 3P
x
Pcó tập nghiệm là:
A (−∞;0) B (1;+∞) C ( )0;1 D (−1;1) Câu 25: Nghiệm bất phương trỡnh 9x−1−36.3x−3+ ≤3 là:
A 1≤ ≤x B. 1≤ ≤x C x≥1 D x≤3
Chủ đề 2.4: Phương trình lơgarit , bất phương trình lôgarit
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I phương trình lơgarit
U1 Phương trình lơgarit bảnU:
PT logRaRx = b ( a > 0, a≠1) ln có nghiệm x = aP b
P với b U2.cách giải sốphương trình loogarit đơn giản U:
a Đưa vềcùng số:
1 loga f x( )=loga g x( ) ⇔ f(x) = g(x) loga f x( )=b ⇔ f(x) = aP b
Lưu ý với PT, BPT logarit ta cần phải đặt điều kiện để biểu thức logRaRf(x) có nghĩa f(x) ≥
b Đặt ẩn phụ
Với PT, BPT mà biểu diễn theo biểu thức logRaRf(x) ta sử dụng phép đặt ẩn phụ t = logRaRf(x)
Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức logRaRf(x) có nghĩa f(x) > 0, cần phải ý đến đặc điểm PT, BPT xét ( chứa căn, có ẩn mẫu) ta phải đặt điều kiện cho PT, BPT có nghĩa
c Mũ hóa
Đôi ta giải PT, BPT logarit cách đưa số hay dùng ấn phụ được, ta thểđặt x = aP
t
(86)UII Bất phương trình lơgarit
U1 Bất phương trình lơgarit bản
Xét bất phương trình logRaRx > b : - Nếu a > log
b a x> ⇔ >b x a
- Nếu <a < logax> ⇔ < <b x ab U2.cách giải số bất phương trình loogarit đơn giản U:
a Đưa vềcùng số:
b Đặt ẩn phụ
c Mũ hóa
C BÀI TẬP LUYỆN TẬP U1 Đưa vềcùng sốU:
Ví dụ: Giải phương trình sau: a log3(2x+ =1) log 53 (*) Đk: 1
2 x+ > ⇔ > −x
(*)⇔2x+ = ⇔ =1 x (t/m đk) b log (3 x+ =3) log (23 x2− −x 1) (*)
Đk: 2
3
1
3 1
1
2 1
2
x
x
x x
x x x
x > −
>
+ >
⇔ > ⇔
− < < −
− − >
< −
Khi PT (*)
3
x x x
⇔ + = − − 2
2x 2x x x
⇔ − − = ⇔ − − =
2 x x
= − ⇔ =
(t/m đk) c log x3( − =1) (*)
Đk: x− > ⇔ >1 x Khi PT
(*)⇔ − =x ⇔ =x 10 (t/m đk)
d log(x− −1) log(2x−11)=log (*) Đk:
1
11 11
2 x x
x x
> − >
⇔
− >
>
11 x
(87)Với điều kiện PT (*) log log 2 11
x x
−
⇔ =
−
1
2 2(2 11) 21
2 11 x
x x x
x −
⇔ = ⇔ − = − ⇔ =
− ⇔ =x (t/m đk)
e log (2 x− +5) log (2 x+2)=3 (*)
Đk: 5
2
x x
x
x x
− > >
⇔ ⇔ >
+ > > −
Với điều kiện PT m(*)⇔log (2 x−5)(x+2)=3
( 5)( 2) 23 18 x
x x x x
x =
⇔ − + = ⇔ − − = ⇔
= − So sánh với điều kiện ta thấy PT cho có nghiệm x=6
U2 Đặt ẩn phụ
Ví dụ: Giải phương trình sau: a log23 x+2 log3x− =3
Với điều kiện x>0 đặt t=log3x ta PT t2+ − =2t ⇔ =t t= −3 + t=1 ta có log3x= ⇔ =1 x
+ t= −3 ta có log3 27 x= − ⇔ =x b 4log9x+log 3x =3 (*) Với đk: 0< ≠x (*) 3
3
2 log
log x
x
⇔ + =
Đặt t=log3x t≠0 Ta PT: 2t t
+ =
1
2 1
2 t t t
t =
⇔ − + = ⇔
= + t=1 ta có log3x= ⇔ =1 x (t/m đk)
+
t= ta có log3
x= ⇔ =x (t/m đk)
Vậy BPT cho có hai nhghiệm làx=3 x= VD: Giải phương trình sau: + =1
(88)Giải
ĐK : x >0, logR3Rx ≠5, logR3Rx ≠-1
Đặt t = logR3Rx, (ĐK:t ≠5,t ≠-1) Ta phương trình : +
1
=1 5+t 1+t t
P
P - 5t + = t =2, t = (thoảĐK)
Vậy logR3Rx = 2, logR3Rx = Phương trình cho có nghiệm : xR1R = 9, xR2R = 27 UVí dụU: Giải phương trình sau :
2
2
log x+2 log x− =2 HD: log22 x+2 log2 x− =2 (1)
Điều kiện: x>0 Phương trình (1)⇔log22x+log2 x− =2
Đặt t=log2 x ta có
2
log x+log x− = ⇔2 2
2
2 log
1
t 1
2 log
4 x x
t t
t x x
= =
=
+ − = ⇔ ⇔ ⇔
= − = − =
Vậy phương trình có nghiệm 2, x= x= UVí dụU: Giải phương trình sau :
2
1 log (+ x− =1) logx− HD: log (+ 2 x− =1) logx−14 (2)
Điều kiện: 1 (*)
1
x x
x x
− > >
⇔
− ≠ ≠
Phương trình
2
2
log
(1) log ( 1) log ( 1)
log ( 1) log ( 1)
x x
x x
⇔ + − = ⇔ + − =
− −
[ ]2
2
log (x 1) log (x 1)
⇔ − + − − = (2)
Đặt t=log (2 x−1) phương trình (2) 2 t t t
t = ⇔ + − = ⇔ = −
2
1
log ( 1)
1
log ( 1)
4
x x
x
x x x
− = =
− =
⇔ ⇔ ⇔
− = − − = =
tm đk (*)
Vậy phương trình có nghiệm 3, x= x= U3 Mũ hóa
(89)a log (2 x+2)=2
Đk: x+ > ⇔ > −2 x (*)
Với đk (*) PT cho tương đương với PT x+ = ⇔ =2 x (t/m đk (*)) b ln(x+ = − +3)
Đk: x+ > ⇔ > −3 x (*)
Với đk (*) mũ hóa vế PT cho ta PT eln(x+3) =e− +1 ⇔ + =x e− +1 ⇔ =x e− +1 −3 (t/m) c log (2 x− +5) log (2 x+2)=3
Đk: 5
2
x x
x
x x
− > >
⇔ ⇔ >
+ > > −
(*)
Với đk (*) PT cho tương đương với PT
2
log (x−5)(x+2)=3⇔(x−5)(x+2)=23 ⇔x2−3x−18=0 x x
= ⇔ = −
Kết hợp với đk (*) ta thấy PT cho cố nghiệm x=6
VD: Giải phương trình sau: logR2R(5 – 2P x
P
) = – x Giải ĐK : – 2P
x P >
+ Phương trình cho tương đương – 2P x
P = 2x 2
P 2x
P – 5.2P x
P + = Đặt t = 2P
x
P, ĐK: t > 0.Phương trình trở thành:tP
P -5t + = phương trình có nghiệm : t = 1, t =
Vậy 2P x
P = 1, 2P x
P= 4, nên phương trình cho có nghiệm : x = 0, x = U* Bất phương trình lơgarit
1 Giải BPT bản: Bài Giải BPT
a) log (2 x−2)>3
2
b) log (x +7 )x > −3 UBài giải: a) log (2 x−2)> ⇔ − >3 x 23 ⇔ >x 10
(90)b) 2
log (x +7 )x > −3
3
2
0 7 ( 8;1)
2
x x x x x
−
⇔ < + < ⇔ < + − < ⇔ ∈ −
bất phương trình có tập nghiệm: S = −( 8;1)
U2 Giải BPT PP đưa vềcùng số: UBài 1U: Giải bất phương trình sau:
2
2
log (x+ +5) log (3−x)≥0
ULời giải: - Điều kiện: 5
3
x
x x
+ >
⇔ − < < − >
- Khi đó: 2 1 2 2
2
log (x+ +5) log (3−x)≥ ⇔0 log (x+ −5) log (3−x)≥0 ⇔log (2 x+ ≥5) log (32 −x)⇔ + ≥ − ⇔ ≥ −x x x
- Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm: S= −[ 1;3) UBài 2:U Giải bất phương trình:
0,5
log (x+ ≤1) log (2−x) ULời giải: - Điều kiện: 1
2
x x
x
x x
+ > > −
⇔ ⇔ − < < − > <
- Khi đó: log0,5(x+ ≤1) log (22 −x) ⇔ −log (2 x+ ≤1) log (22 −x)
2
log (2 x) log (x 1)
⇔ − + + ≥ ⇔log2(2−x)(x+1)≥0 ⇔(2−x)(x+ ≥1)
2 5
1
2
x x − x +
⇔ − + + ≥ ⇔ ≤ ≤
- Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm : 1;
2
S= − +
UBài 3:U Giải bất phương trình:
5 5
log (x+ +2) log (x− <2) log (4x+1) U
(91)- Điều kiện:
2
1
4
4
2 x x
x x x
x
x > − + >
+ > ⇔ > − ⇔ >
− >
>
- Khi đó: log (5 x+ +2) log (5 x− <2) log (45 x+1)
( )( )
5 5
log x x log (4x 1) log (x 4) log (4x 1)
⇔ + − < + ⇔ − < +
2
4 4 5
x x x x x
⇔ − < + ⇔ − − < ⇔ − < <
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm : S =( )2;5 3 Giải BPT PP đặt ẩn phụ:
UBài 1:U Giải bất phương trình:
0,5 0,5 log x+log x≤2
ULời giải: - Điều kiện: x>0
- Đặt : t=log0,5x
- Khi đó: t2+ ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤t t2 t 2 t
- Với − ≤ ≤2 t ta có: ( )
2
0,5
4 0,
2 log 1
0,
2 x x
x
x x
− ≤
≤
− ≤ ≤ ⇔ ⇔
≥ ≥
- Kết hợp với điều kiện, bất phương trình cho có tập nghiệm : 1; S =
UBài 2:U Giải bất phương trình:
log x−13logx+36>0 ULời giải: - Điều kiện: x>0
- Đặt : t=logx
- Khi đó: t2−13t+36>0 t t
< ⇔ >
- Với t < ta có:logx< ⇔ <4 x 104 - Với t > ta có:logx> ⇔ >9 x 109
ế ợ ới điề ệ ất phương trình có tậ ệ =( 4) ( +∞)
(92)Bài 3:Giải bất phương trình: a)
2
2
log log 8 x
x+ > ; Với ĐK : x > ta có :
2
2
log log 8 x
x+ > <=>(log log2 + 2x)2+log2 x2−log 22 3>8 Đặt t=log2 x BPT trở thành : (2+t)2+ − > ⇔ + − >2t t2 6t
<=>
7
2
log
7
1 log
x
t x
t x x
−
< −
< − <
⇔
⇔
> > >
Kết hợp với đk :x>0 ta có nghiệm BPT cho : (0; 2−7)∪(2;+∞) Bài 4: Giải bất phương trình :
a) 3( ) 1( )
3
2.log 4x− +3 log 2x+ ≤3 (1)
Với ĐK :
x> (1) <=> ( ) 1( )
2
3
log 4x−3 +log − 2x+ ≤3
<=> ( ) ( ) ( )
2
3 3
4
log log log
2 x
x x
x −
− − + ≤ ⇔ ≤
+ <=>
( )2
2
3
x x
− ≤ + <=> (4x−3)2 ≤9 2( x+ ⇔3) 8x2−21x− ≤9 0<=> 3
8 x − ≤ ≤
Kết hợp với ĐK :
x> ta nghiệm BPT : 3 4≤ ≤x b)
2 0,7
log log
4 x x
x
+
<
+
(2)
(2)⇔
2 2
0
6
log (0, 7) log
4 4
x x x x x x
x x x
+ + +
> ⇔ > ⇔ >
+ + +
2
6 24 24
0
4
x x x x x
x x
+ − − − −
⇔ > ⇔ >
+ +
4
8 x x
− < < −
⇔ >
D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1:Phương trình: l go x+l go (x−9)=1 có nghiệm là:
A B C D 10
(93)A B C. D Câu 3:Phương trình: lnx+ln 3( x−2) = có nghiệm?
A B 1 C D
Câu 4:Phương trình: ln(x+ +1) ln(x+3)=ln(x+7)
A B. C D
Câu 5:Phương trình: log2x+log4x+log8x=11 có nghiệm là: A 24 B 36 C 45 D 64 Câu 6:Phương trình: log2x+3log 2x =4 có tập nghiệm là:
A { }2; B { }4; C {4; 16 } D Φ
Câu 7:Phương trình: lg(x2−6x+7)=lg(x−3) có tập nghiệm là: A { }5 B { }3; C { }4; D Φ
Câu 8:Phương trình:
4 lg− x+2 lg+ x = có tập nghiệm là: A {10; 100 } B {1; 20 } C ; 10
10
D Φ Câu 9:Phương trình: x− +2 logx =1000 có tập nghiệm là:
A {10; 100} B {10; 20 } C ; 1000 10
D Φ
Câu 10:Phương trình: log2 x+log4x=3 có tập nghiệm là: A. { }4 B { }3 C { }2; D Φ Câu 11:Phương trình: log2 x= − +x có tập nghiệm là:
A { }3 B { }4 C { }2; D Φ Câu 12: Nghiệm phương trình : log 2(3x−11)=4 là:
UA.U x = B 13
3
x= C 17
(94)Câu 14.Phương trình 3( ) 1
log 3x+ − =1 2x+log có hai nghiệm x x1, 2 Khi tổng S=27x1 +27x2 là:
A S =180 B S =45 C S =9 D Câu 15 Giá trị m đểphương trình log22x−log2x2+ =3 m có nghiệm
[ ]1;8 x∈ là:
A ≤ m ≤ B ≤ m ≤ C ≤ m ≤ UD.U ≤ m ≤ Câu 16. Phương trình sau log (2 x− +5) log (2 x+2)=3có nghiệm là:
UA.U x=6 B x=3 C x=6 ,x=1 D x=8 Câu 17.Cho phương trình log (2 − −x2 2x m− + =5) để phương trình có nghiệm thực phân biệt trái dấu điều kiện m là:
A.m>1 B.m>2 C m<1 D.m<2 Câu 18 Nghiệm phương trình log3(x+ =1) 2.là:
A x=5 B x=8 C x=7 D x=10 Câu 19 Nghiệm bất phương trình log2(3x−2)<0 là:
A x>1 B x<1 C 0< <x D log 23 < <x Câu 20. Tập nghiệm S bất phương trình ( )
1
log x −5x+7 >0 là: A S = −∞( ; ) B S =( )2;3
C S =(3;+∞) D S = −∞( ; 2) (∪ 3;+∞) Câu 21: Tập nghiệm S bất phương trình 1( ) 1( )
5
og og
l x− >l x+ là: A 5;
3 S = +∞
B S = −∞( ;3 ) C
3 ;3 S =
UD.U
5 ;3 S =
Câu 22 Phương trình 3 1 1
3
log 3x 2x log có hai nghiệm x x1, 2 Khi tổng
27x1 27x2
S là:
A S 180 B S 45 C S 9 D Câu 23. Tập nghiệm S bất phương trình 1 2
2
(95)A S ;2 B S 2;
C S 3; D S ;2 3; Câu 24 Giá trị m đểphương trình 2
2
log x−log x + =3 m có nghiệm
1;
x là:
A m B m C m UD.U m Câu 25 Nghiệm bất phương trình log2(3x−2)<0 là:
A x>1 B x<1 C 0< <x D log 23 < <x Câu 26: Phương trình sau log (2 x− +5) log (2 x+2)=3có nghiệm là:
UA.U x=6 B x=3 C x=6 ,x=1 D x=8 Câu 27. Cho phương trình
2
log (− −x 2x− + =m 5) để phương trình có nghiệm thực phân biệt trái dấu điều kiện m là:
A.m>1 B.m>2 C m<1 D.m<2 Câu 28 Nghiệm phương trình log3(x+ =1) 2.là:
A x=5 B x=8 C x=7 D x=10
KIỂM TRA 45 PHÚT I MỤC TIÊU KIỂM TRA
1 Kiến thức: Kiểm tra kiến thức luỹ thừa, logarit, hàm sốmũ, hàm số logarits, hàm số luỹ thừa, phương trình bất PT mũ logarit
2 Kĩ năng: Kiểm tra kỹnăng: Tìm tập xác định hàm số logarit, ĐK xác định lũy thừa, kỹ tính đạo hàm HS mũ HS logarit kỹ giải PT, bất PT mũ logarit
(96)III MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA
MA TRẬN NHẬN THỨC
Chủđề mạch kiến thức, kĩ năng
Tầm quan trọng (Mức trọng
tâm KTKN)
Trọng số (Mức độ nhận thức Chuẩn KTKN)
Tổng
điểm
Điểm theo thang
điểm 10
Lũy thừa 15 30
Hàm số Luỹ thừa
logarit
Hàm số logarit 20 60
Hàm sốmũ 15 30
Phương trình mũ 25 75
Phương trình logarit
Bất PT mũ 25 75
Bất phương trình logarit
Tổng 100 270 10
MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA
Chủđề\ Mức độ 1 2 3 4 Tổng
Lũy thừa Câu Câu11 Câu 21,25
Hàm số Luỹ thừa Câu Câu 16,17
logarit Câu Câu12
Hàm số logarit Câu 3,5,7 Câu13 Câu22
Hàm sốmũ Câu14, 15
Phương trình mũ Câu Câu19,18 Câu 23
Phương trình logarit Câu Câu 24
Bất PT mũ Câu10
(97)Tổng 10 10 25
BẢNG MƠ TẢ TIÊU CHÍ LỰA CHỌN CÂU HỎI, BÀI TẬP Câu 1.Tı́nh chất lũy thừa
Câu 2: Tìm tập xác định hàm sốlũy thừa Câu 3: Tı́nh chát của hà số mũ và HS logarit
Câu 4: tı́nh giá tri ̣ logarit
Câu Tı́nh đa ̣o hàm của mô ̣t tı́ch : Hàm sốy= lnx và y=x Câu 6: Giải PT mũ bằng PP đă ̣t ẩn phu ̣
Câu 7: Tâ ̣p xác ̣nh của hàm số logarit Câu Giải Pt logarit : PP đưa về cùng số
Câu Giải BPT logarit cùng số và cócơ số 0<a<1 Câu 10 Quan ̣ giữa hàm số mũ và logarit
Câu 11 Đa ̣o hàm của hàm sốcăn thức
Câu 12.Biểu diễn logarit theo mô ̣t logarit khác Câu 13.Tı̀m TXĐ của hàm số logarit
Câu14 So sánh logarit và lũy thừa
Câu 15 ĐK có nghı̃a của biểu thức gồm có chứa thức và lũy thừa Câu 16 So sánh logarti
Câu 17.Tı́nh đồng biến nghi ̣ch biến của hàm số lũy thừa Câu 18 Giải PT mũđẳng cấp
Câu 19.Giải PT mũ bằng logarit hóa vế
Câu 20 Giải bất PT logarit phối hợp số a<1 và 0<a<1 Câu 21.Bài toán thu ̣c tế về Pt mũ
Câu 22 Kết hợp đa ̣o hàm của hàm số và giải PT
Câu 23 Tı̀m ĐK của tham sốm để PT có mũ có nghiê ̣m (a;b) Câu 24.Tı̀m ĐK của tham sốm để PT có logarit có nghiê ̣m (a;b)
(98)Câu Cho a số thực dương Rút gọn biểu thức a(1− 2)2.a2(1+ 2) kết là: A a B a3 C a5 D
Câu Tập xác định hàm số y=(2−x) là:
A D= R\{ }2 B.D=(2;+∞) C D=(−∞;2) D D =R
Câu 3: Cho a > ; a ≠1 Tìm mệnh đềđúng mệnh đề sau: A Tập xác định hàm số y=ax khoảng (0;+∞)
UB.U Tập giá trị hàm số y x a log
= tập ℜ C Tập xác định hàm số y=loga x tập ℜ D Tập giá trị hàm số y=axlà tập ℜ Câu 4: Giá tri ̣ của loga3 a(0<a≠1) bằng
A.3 B
3
C.-3 D
3
−
Câu 5: Đa ̣o hàm của hàm số y=x.lnx là: A
x
B.lnx C.1 D lnx+1
Câu 6: Số nghiê ̣m của phương trı̀nh 3P x
P -3P
1-x P=2 là:
A.0 B.1 C.2 D.3
Câu 7: Tâ ̣p xác ̣nh của hàm số y=log(1-2x+xP
P ) là:
A D = R B D =(0;+∞) C D =(1;+∞) D D = R\{1} Câu 8:Tâ ̣p nghiê ̣m phương trı̀nh log2 x+log2(x+1)=1 là
A S={1} B S={1;-2} C S=
− ±
2
D S=
− +
2
Câu 9: Tâ ̣p nghiê ̣m của bất phương trı̀nh log0,2(x+1)>log0,2(3−x) là:
A.S =(1;3) B S=(-1;1) C S=(1;+∞) D S=(−∞;1)) Câu 10:Đồ thi ̣ hàm số y=3xvà y=log3x nhâ ̣n đường thẳng nào sau làm tru ̣c đối xứng:
A.y=0 B x=0 C y=x D y=-x
(99)A ( ) ' x y x = + B 3 ' x y x =
+ C
2 3 ' x y x =
+ D ( )
2 ' x y x = + Câu 12:Nếu log126=a và log127=b thı̀:
A log2 − = a a B b a − =
log2 C
1 log2 + = b a
UD.U
a b − = log2
Câu 13: Tâ ̣p xác ̣nhcủa hàm số
2 10 log3 2
+ − − = x x x
y là
A D =(1;+∞) B D=(−∞;10) C D =(−∞;1) (∪ 2;10) D D =(2;10) Câu 14: Nếu
4
a a > và
3 log
logb < b thı̀:
A a>1; b>1 B 0<a<1; b>1 C a>1; 0<b<1 D 0<a<1; 0<b<1 Câu 15: Đồ thị hàm số
5 x y=
y = 5P x
P
nhận đường thẳng sau làm trục đối xứng: A y = UB.U x = C y = x D y = -x
Câu 16: Với < a < và b > 1, bất đẳng thức nào sau đúng A b b a a log
log > B.logab>−logab C
b
b a
a
1 log
log < D
b b a a log log ≤ Câu 17: Hàm sốnào sau chỉđồng biến khoảng (0;+∞)?
UA.U
y=x B y=x−2 C y x
x
− =
D y=x6 Câu 18: Tâ ̣p nghiê ̣m của 12.9P
x P- 35.6P
x P + 18.4P
x P= là
A S={1;2} B S={1;-2} C S={-1;-2} UD.U S={-1;2}
Câu 19: Số nghiệm phương trình 2x x2 =1 là:
A.0 B C D
Câu 20: Tâ ̣p nghiê ̣m của bất phương trı̀nh log log
2 x< là A S= ;
81
B S= ∪( +∞)
∞− 1;
81
(100)Câu 21:Dân số tı̉nh A năm 2014 là khoảng 15 triê ̣u người với mức độtăng hàng năm là1,3%/năm Hỏi nếu với mức độtăng vâ ̣y thı̀ vào năm nào dân số tı̉nh A khoảng 20 triê ̣u người:
A Năm 2034-2035 B Năm 2036-2037 C Năm 2037-2038 D Năm 2039-2040 Câu 22:Cho hàm số f(x) = xP
2 P.ln
3
x Phương trình f ’(x) = x có tất nghiệm thuộc khoảng: A (0; 1) B (1; 2) C (2; 3) D Một khoảng khác Câu 23: Giá tri ̣ của m đểphương trı̀nh 4|x| −2|x|+1 +3=m cóđúng nghiê ̣m là:
A m ≥2 B m ≥ -2 C m > -2 UD.U m > 3, m = Câu 24: Để phương trình: 21 1
3
log x−4 log x+ − =3 m có nghiệm thuộc khoảng (1; +∞) giá trị m là:
A m > B m > - C m ≥ - D m < Câu 25: Điều kiê ̣n có nghı̃a của ( )
1
2 2
f x =(x −3x+2) + x+1 là A
≠ < ≤ −
2 1
x x
UB.U
> < ≤ −
2 1
x x
C
> < < −
2 1
x x
(101)CHUYÊN ĐỀ
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
A KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1 Nguyên hàm
+ Định nghĩa : ∫ f x dx( ) =F x( )+ ⇔C F x'( )= f x( ) + Tính chất : 1/ ∫ f x dx'( ) = f x( )+C
2/∫kf x dx( ) =k f x dx∫ ( )
3/ [ ( )∫ f x ±g x dx( )] =∫ f x dx( ) ±∫g x dx( ) + Bảng nguyên hàm
dx= +x C
∫ ( 0, 1)
ln x
x a
a dx C a a
a
= + > ≠
∫
1
1 x
x dx C
α α
α +
= +
+
∫
1
t anx
os dx C
c x = +
∫
ln dx
x C
x = +
∫
1
cot sin xdx= − x C+
∫
x x
e dx=e +C
∫ ∫0dx=C
osx s inx c dx= +C
∫ ∫s inxdx= −cosx+C
2 Tích phân: + Định nghĩa : + Tính chất : 1/∫ ( ) =0
a
a
f x dx ; 4/ [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x ±g x dx= f x dx± g x dx
∫ ∫ ∫
2/∫ ( ) = −∫ ( )
b a
a b
kf x dx f x dx 5/ ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx= f x dx+ f x dx
∫ ∫ ∫ ( a < c < b )
3/ ( ) ( )
b b
a a
kf x dx=k f x dx
∫ ∫
3 Các phương pháp tìm ngun hàm, tính tích phân.
Dạng : Tìm ngun hàm, tính tích phân định nghĩa
Dạng : Xác định nguyên hàm, tính tích phân phương pháp đổi biến số
Dạng : Xác định nguyên hàm, tính tích phân phương pháp nguyên hàm phần
B KỸ NĂNG CƠ BẢN
( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dx=F x =F b −F a
(102)+ Áp dụng phương pháp đổi biến số, phương pháp phần để tính tích phân + Sử dụng máy tính cầm tay để giải tập nguyên hàm, tích phân
C BÀI TẬP
UDạng 1U: Áp dụng ĐN, tính chất,bảng nguyên hàm để tìm ngun hàm, tính tích phân Bài 1.Tìm nguyên hàm hàm số.
a f(x) = 2 2 ) ( x x −
=> f(x) = x2 12 x
− + ĐS F(x) = C x x x − + 1+
2
3
b f(x) = x x
x+ + => f(x) =
1
1
3
2
x +x +x ĐS F(x) = x + x + x +C 4 3
c f(x) =
3
x
x − => f(x) =
1
3 2
x− − x− ĐS F(x) = x−33 x2 +C
d f(x) = x x 1)2 ( −
=> f(x) =
1 1 2x
x
−
− + ĐS F(x) = x−4 x+lnx+C e f(x) =
3 x x−
=> f(x) = ( )
1
1
x− x− ĐS F(x) = x −x3 +C
g f(x) =
2 sin
2 x => f(x) = - cosx ĐS F(x) = x – sinx + C
h f(x) = tanP
Px => f(x) =
1
cos x− ĐS F(x) = tanx – x + C i f(x) = e2x+1 ĐS F(x) =
2 x
e + +x C Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau :
a) ( )
5
4
3
5 x
x − x + x+ dx= x dx− x dx+ xdx+ dx= − +x x + +x C
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b)∫(x+1 () x−2)dx = ∫(x2 − −x 2)dx =
3 2 x x x C − − +
c) 2 ( 1 ) ln ln
3 2dx dx x x C
x − x+ = x− − x− = − − − +
∫ ∫ = ln
1 x C x − + −
d) 12 os
x x e dx c x
− +
∫ = tanx−x2+ +ex C
e) ( os3 5s inx) os3x s inxdx = s in3x + 5cosx + C1
c x− dx= c dx−
∫ ∫ ∫ g) sin2
2 x
dx
∫ = 1 .
2
cosx dx
−
∫ = 1
2 2cosx dx
− ∫ = 2 x sinx C − + Bài Tìm hàm số f(x) biết:
a) f’(x) = 2x + f(1) =
Ta có f x( )=∫(2x+1)dx=x2+ +x C; Vì f(1) = nên C = 3; Vậy : f(x) = xP
(103)b) f’(x) = – xP
P f(2) = 7/3; Ta có: f(x) = ( )
3
2
3 x
x dx x C
− = − +
∫ Vì f(2) = 7/3 nên C = 1; Vậy: f(x) =
3 + − x x Bài Tính tích phân sau
a)
3
0
(x −1)dx
∫ =
1 1
3
0
0 0
3
( 1) ( )
4
x
x − dx= x dx− dx= −x = −
∫ ∫ ∫
b) ( )
2 2
1 4
x x x
dx x dx x
x
+ = + = +
∫ ∫ = (2 8) 11
2
+ − + =
c)∫ +
1
(ex 2)dx
= ( )1 1
x
e + x = + − = +e e Bài Tính tích phân sau:
a)
0
( osc x 3sinx)dx π − ∫ = ( ) 2 0
( osc x 3sinx)dx s inx + 3cosx π π − = = − ∫ b) π + ∫2
(3 cos2 ).x dx = 1sin
2 x x π π + =
c) ( )
2 2
0 0
2 cosx sin 2x dx cosxdx sin xdx2
π π π
− = +
∫ ∫ ∫ = sin 2
2
0
x cos x
π π
+ =
d) [ ]
2
0
1
3 cos
2
sin x xdx sin x sin x dx
π π
= + =
∫ ∫ 2
0
1
4
2 sin xdx sin xdx
π π + ∫ ∫
1 1
4
2 4cos x 2cos x
= − −
=
1 1 1
2 0
2 4cos π 2cosπ 4cos 2cos
− − − − −
= 1 1 1
2 4 2
− + + + =
Bài Tính tích phân sau:
a) ( ) ( )
2 3
2 2
0
1
1 1
0
3
x x
x − dx= − x − dx+ x − dx=x− + −x
∫ ∫ ∫ = 1 1
3 3
− + − − + = b) 3 2
sin sin sin cos cos
0
x dx xdx xdx x x
π π π π π π − − = − + = − −
∫ ∫ ∫ = 1
2
− + =
c) ( )
2
2
0
cosx sinx dx cosx sinx dx
π π
− = −
∫ ∫ = ( ) ( )
4
0
cosx sinx dx sinx cosx dx
π π
π
− + −
(104)= (sin cos ) (cos sin ) 2 2
4
x x x x
π π
π
+ − + = −
D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Tìm nguyên hàm ∫4x dx2 A 3
4x +C B
3
3
4x +C C
2
4
3x +C UD.U
3
4
3x +C
Câu 2. Nguyên hàm ∫5(x2−2x+3)dx
A 5x3 −10x2 +15 x B 5x3 −10x2 +15x C+ UC.U
3
5 5 15
3x − x + x C+ D
3
5 10 15
3x − x + x C+
Câu 3. Nguyên hàm ∫5(3x2−1)2dx UA.U
5
9x −10x +5x C+ B 9x5+10x3−5x C+ C 15x5−10x3+5x C+ D 15x5+10x3−5x C+ . Câu 4. Nguyên hàm ∫(cosx+sin )x dx
A sinx + cosx + C UB.U sinx – cosx + C C –sinx + cosx + C D –sinx – cosx + C Câu Nguyên hàm (x2 2x 4)dx
x − +
∫
A
3
2 4 ln | |
3
x −x + x C+
B
3
2 4 ln
3
x −x + x C+ C
3
2 4 ln | |
3
x −x − x C+
D
3
2 4 ln
3
x −x − x C+ Câu 5. Nguyên hàm
2
2
2
x x x dx
x + + + ∫ A 3
x x x C
x
+ + − + B
3
2 2
3
x x x C
x + + − + C 2
x x x C
x
+ + − + D
3
2
3
x x x C
x − + − + Câu Nguyên hàm ∫( x +3 x+5 x dx4)
A
4
3
3
2
3
2x +3x +5x +C B
9
3
5
2
3
2x +4x +5x +C
C
4
3
3
2
2
3x +4x +9x +C D
2
3
2
3x +4x +9x +C
Câu Nguyên hàm
2 2
(x 1) dx
x +
∫
A
3
2 3
3
x x C
x
+ − + B
3 3
3
x x C
(105)C
3
2 2
3
x x C
x
+ − + UD.U
3 1
2
x x C
x + − + Câu Nguyên hàm A=∫2 3x 2xdx
A 12
ln12 x
C
+ B 14
ln14 x
C
+ C 16
ln16 x
C
+ UD.U 18 ln18
x
C + Câu Nguyên hàm ∫cot2x dx
A. tanx + x + C B. –tanx + x + C UC.U –cotx – x + C D. cotx + x + C Câu 10. Nguyên hàm ∫tan2 x dx
A. cotx – x + C B. cotx + x + C UC.U tanx – x + C D. tanx + x + C Câu 11 Nguyên hàm 3sin2
2x dx
∫
A 3 ( sin )
2 x− x C+ B
3 sin
2x− x C+ C 3 sin2x x C+ D
3
sin 2x C+
Câu 12 Giả sử
1 ln
dx c
x− =
∫ Giá trị c
A B. C. D. 16 Câu 13 Tích phân 2
1 (x −2x+3)dx
∫
A 4
3 B
5
3 C
7
3 D
8 3
Câu 14 Tích phân
2 x−2dx
∫
A 14
3 B
16
3 C
17
3 D
18
Câu 15. Tích phân 3
0(1 ) dx
x +
∫
A 3
8 B
5
8 C
7
8 D
9 8
Câu 16. Tích phân
0 xx dx+1
∫
A. ln2 B ln3 UC.U 1 – ln2 D 1 – ln3 Câu 17 Tích phân
0
2
3
x dx x
+ +
∫
A ln2 – ln3 B. ln3 – ln2 C 6ln3 – 3ln2 UD.U + 6ln2 – 3ln3 Câu 18 Tích phân 2
0 4−x dxx
∫
A ln4
3 B
3 ln
5 UC.U
3 ln
4 D
3 ln
5
Câu 19. Tích phân
0 cosx dx π
∫
A. UB.U C
π
D π
(106)UA.U B. C
π
D π
Câu 21: Giả sử
0
sin sin ( )
I x xdx a b
π
=∫ = + , Khi giá trị a+b là: A
5 B
10 C
− D
Câu 22. Tính∫cos2xdx A 1 sin 2 .
4 2
x
x C
+ +
B ( )
1
2 sin 2 .
4 x+ x +C C 1( sin 2 ) .
2 x+ x +C UD U
1 1
( sin ) . 2 x+ 2 x +C Câu 23. Tính lnxdx
x
∫
A ln lnx +C. B ( )
2
ln 1 .
2
x
x− +C UC.U
2
1
ln .
2 x+C D
2
ln .
2
x C
+
Câu 24. Giá trị m để hàm số F(x) =mxP 3
P +(3m+2)xP 2
P-4x+3 là nguyên hàm hàm số
( ) 10 f x = x + x− là:
A m = B m = UC.U m = D m = Câu 25 Nếu dx4 a3 C
x = −bx +
∫ b−a bằng: UA.U2.
(107)
BUỔI 2
DẠNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1 Nguyên hàm
Tính I = ∫ f[u(x)].u'(x)dx cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)⇒dt =u'(x)dx I = ∫ f[u(x)].u'(x)dx=∫ f(t)dt 2 Tính tích phân f[ (x)] '(x)dx
b
a
ϕ ϕ
∫ bằng phương pháp đổi biến. UBước 1U: Đặt t = ϕ(x) ⇒ dt = ϕ'( ) dxx
UBước 2U: Đổi cận: x = a ⇒t =ϕ(a) ; x = b ⇒t = ϕ(b)
UBước 3U: Viết tích phân cho theo biến mới, cận tính tích phân tìm
B KỸ NĂNG CƠ BẢN + Biết cách đặt ẩn phụ
+ Biết biểu diễn nguyên hàm theo ẩn phụ, đổi cận tích phân. + Biết sử dụng tính chất, cơng thức vào giải tốn.
C BÀI TẬP
1 NGUYÊN HÀM
UBài 1.UTìm nguyên hàm hàm số sau:
a) ∫ x2 +1.xdx Đặt 2
u= x + =>du= xdx=>xdx= du
=> ∫ x2 +1.xdx =
3
1 2
2.1 2.2
2 2 3
u
u du = u du= u = +C
∫ ∫ = ( 1)3 x + +C
b) ( )
4
3
5
x + x dx
∫ Đặt 2
5
3
u=x + =>du= x dx=>x dx= du
=> ( )
3
5
x + x dx
∫ =
5
4
1 1
3 3 15
u u
u du= u du= + =C +C
∫ ∫ = ( )
5 5
15 x
C
+ + c)∫
+ dx
x x
5
2 Đặt
2
5
2
u= x + =>du= xdx=> xdx= du
=>∫
+ dx
x x
5
2 = ( )
2
1 1
ln ln
2 udu= u + =C x + +C
∫
d)∫
−1 2x
dx
Đặt u = 2x-1=>du = 2dx
=>∫
−1 2x
dx
=
1 1
2 2
1
.2
2 u du u C u C u C x C
−
= + = + = + = − +
∫
e) ( )
2 2 3
1 x x
x− e − + dx
∫ ; Đặt ( )
2 2( 1)
(108)=> ( )
2 2 3
1 x x
x− e − + dx
∫ =
2 2 3
1 1 1
.
2 2 2
u u x x
e du= e + =C e − + +C
∫
Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau:
a)
sinx dx cos x
∫ Đặt u=cosx=>du= −sinxdx => sin5xdx
cos x
∫ =
4
5 4
1
4 4
du u
u du C C C
u u cos x
− −
−∫ = −∫ = + = + = +
b) cot cos sin x
xdx dx
x
=
∫ ∫ Đặt u = sinx => du = cosxdx => cot cos
sin x
xdx dx
x
=
∫ ∫ = 1du ln u C ln sinx C
u = + = +
∫ c) 3 sin sin sin x x
dx dx x cos xdx
cos x cos x
−
= =
∫ ∫ ∫ Đặt u=cosx=>du= −sinxdx => 3 3 sin
3 cos
x
dx u du u C x C
cos x
−
= − = − + = − +
∫ ∫
d)∫(1 cot 2+ x e) cot 2xdx Đặt 2
2
cot 2(1 cot )
sin
u x du dx du x dx
x
= => = − => = − +
=>∫(1 cot 2+ x e) cot 2xdx= 1 cot
2
u x
e du e C
− ∫ = − +
2 TÍCH PHÂN
Bài Tính tích phân sau : a)
1
2
0
A=∫x +x dx Đặt
1
t= +x =>dt= xdx; Đổi cận: Khi x = 0=> t = 1; Khi x = 1=> t =
=> ( )
2
2
1
2
1 1 1
2
1
2 2 3
A= ∫ t dt = ∫t dt = t = t t = −
b) ( )
1
5
0
1 B=∫x x − dx
Đặt
1
t=x − =>dt= x dx; Đổi cận: Khi x = => t = -1; x = => t = =>
0
5
1
0
1 1
1
4 24 24
t
B t dt t
− = = = = − − − ∫ c) 1 x x e dx C e = − ∫ ;
Đặt t =ex − =>1 dt =e dxx Đổi cận: Khi x = 1=> t = e – 1;Khi x = 2=> t = e −
=> ( ) ( )
2
1
2
1
1
ln ln ln
1 e
e
e dt
C t e e
t e − − − = = = − − − − ∫ = ( )
ln ln
(109)d) D =
2
0
4−x xdx
∫ Đặt
4
2 dt t= −x =>dt= − xdx=>xdx= − Khi x = 0=> t = ; x = => t =
=> ( ) ( )
0
2
4
4
1 1 1
4.2
0
2 2 3 3
D= − tdt = t dt= t = t t = − =
∫ ∫ e) x e E dx x
=∫ Đặt
2
dx
t x dt dx dt
x x
= => = => =
Khi x = 1=> t = ; x = => t = ; => ( )
2
1
2
2 2
1
t t
E=∫ e dt= e = e −e
f) 2 sin x F dx sin x π = +
∫ Đặt t=sin x2 =>dt =2 sin cosx xdx=sin xdx2
Khi x= =>0 sin20= => =0 t 0; 1
2
x=π =>sin π = => =t
=>
0
1
ln ln ln1 ln dt F t t = = + = − = + ∫
g) G = ( )
ln
2
1
x x
e − e dx
∫ ( Đề thi TN năm 2011-2012)
Đặt t e= − => =x 1 dt e dxx ; Đổi cận : Khi x = => t = ; x=ln 2=> =t => G =
1 0 3 t t dt = =
∫
D CÂU HỎI TRẮCNGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Nguyên hàm ∫(5x+3)5dx A
6
30
x +C
B
5
25
x +C
C
4
24
x +C
D
3
20
x +C Câu 2 Nguyên hàm ∫sin osx4 x c dx
A
5
cos
5 x C+ B
5
sin
5 x C+ C.
5
cos x C+ D sinP
Px + C
Câu 3. Nguyên hàm
1 x x
e dx e +
∫
A lneP x
P + C B ln ln x
x
e + C C ln(eP x
P – 1) UD.Uln(eP x
P + 1)
Câu 4. Nguyên hàm
3
4
(6 5)
x dx x +
(110)A 46 4
85(6x 5) C
−
+
+ B 4
2
55(6x 5) C
−
+
+
UC.U
4
1
96(6x 5) C
−
+
+ D 4
1
75(6x +5) +C
Câu 5. Nguyên hàm ∫ cosx−1.sinxdx UA.U
3
1 (2cos 1)
3 x C
− − + B (3cos 2)3
3 x C
− − +
C 1 (2cos 1)3
3 x− +C D
3
1 (3cos 2)
3 x− +C
Câu 6. Nguyên hàm cos2 sin x dxx
∫
A
cosx C
− + B
sinx C
− + C
sinx +C D
1
cosx+C Câu Nguyên hàm sinx2
cos xdx
∫
A
cosx C
− + B
sinx C
− + C
sinx +C UD.U
cosx+C Câu 8. Nguyên hàm ∫(tanx+tan )3 x dx
UA.U
2
1 tan
2 x C+ B
2
tan x C+ C 1 tan3
3 x C+ D
3
tan x C+ Câu 9. Nguyên hàm ∫[ (3x −x4 3)]dx
A
4
3 16
x C − +
B
4 3
16
x − +C
UC.U
4
(3 )
16
x C
−
− + D
4
(3 )
16
x C
− +
Câu 10. Nguyên hàm e dxx
x
∫
A −e x+C B e x +C C 2e x +C D 3e x+C Câu 11. Nguyên hàm lnxdx
x
∫
UA.U
2
1 ln
2 x C+ B
2
1 ln
2 x +C C
2
1 ln
2 x +C D
2
lnx +C
Câu 12 Tích phân 2
0 x x +1.dx
∫
A 43
7 B
47
8 C
52
9 D
57 10
Câu13 Tính tích phân
− +
∫0
(111)A
28
− B
15
− C
12 D
9 17
Câu 14 Tính tích phân ∫1 + + + + +
0(x 1)(x 2x 2) x 2x dx
A 5
5
−
B 25
5
−
UC.U
25 5
−
D 5
5
− Câu 15. Tính tích phân ∫1 +
0x x dx
A 5
3
− B 64
15 C
5 64 15
− − D 5 64
3 15
− +
Câu 16. Tính tích phân −
− ∫ 3 2 . x xdx x A 21
25
− B 21
23
− UC.U
19 24
− D 19
22
−
Câu 17 Tính tích phân ∫ −
2
1
4 x dx.
x
A − ln 2− ( + 3) B ln 2− ( + 3)
C ln 2+ ( + 3) D − ln 2+ ( + 3)
Câu 18. Tính tích phân
2
5
dx x x +
∫
A 1 5ln
4 B
1 3ln
4 C
3 ln D ln
Câu 19. Tính tích phân
− −
∫2 2 2x x dx
A 0 B 15
19 C
21
28 D 2π
Câu 20. Tích phân
1
x
x x
e dx e +e−
∫ A. 1 ln e e + + + B. 1 ln e e − + +
C ln
1
e e + +
+
D.
1 ln e e − + +
Câu 21 Cho
2
1
2x x −1dx
∫
1
u=x − Chọn khẳng định sai?
A
2
1
I =∫ udu B
3
0
I =∫ udu C 27
I = D
(112)Câu 22: Biết sin x cos a
o
xdx=
∫ Tìm giá trị a A
2
π
B
π
UC.U
π
D
π
Câu 23 Biết
2
1
ln ln
dx a b
x −x = +
∫ Tìm giá trị S = +a b
A S= −2 B S=0 C S=2 UD.U S =1 Câu 24. Cho
2017 2017
1
( ) 2, g( ) f x dx x dx
Tìm
2017
1
2 ( ) ( ) J f x g x dx
A J 1 B J 1 C J 0 D J2 Câu 25. Giả sử 2
0
2
ln bln
x
dx a
x x
−
= +
+ +
(113)BUỔI 3
DẠNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Nguyên hàm
Nếu u(x), v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I
∫u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)−∫v(x).u'(x)dx
Hay ∫udv=uv−∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
2 Tính tích phân phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b a
a a
x d =u x v x − v x u x dx
∫ ∫
B KỸ NĂNG CƠ BẢN
+ Phân dạng
UDa ̣ng 1U:
sin ( )
ax ax f x cosax dx
e β
α
∫ Đặt
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
= =
⇒
= =
∫
UDa ̣ng 2U: f x( ) ln(ax dx) β
α∫
Đă ̣t ln( ) ( )
( ) dx du
u ax
x dv f x dx
v f x dx
= =
⇒
=
=
∫
UDa ̣ng 3U:
sin .
∫ ax ax
e dx
cosax
β α
đặt:
sin x
u e
dv axdx
=
=
C BÀI TẬP
1.NGUYÊN HÀM
UBài 1:UTìm nguyên hàm hàm số sau: a)∫x.sinxdx Đặt
sin cos
u x du dx
dv xdx v x
= =
=>
= = −
=>∫x.sinxdx = -xcosx + ∫cosxdx = −xcosx+sinx C+ b)∫(x−1)e dxx Đặt u x x1 du xdx
dv e dx v e
= − =
=>
= =
=>∫(x−1)e dxx = (x-1).ex- ∫e dxx =(x−1)ex− + =ex C e xx( − +2) C c)∫xlnxdx Đặt 2
1 ln
2
du dx
u x x
dv xdx x
v
= =
=>
=
=
(114)=>∫xln xdx=
2 2 2
1
ln ln ln
2 2 2
x x x x x
x dx x xdx x C
x
−∫ = − ∫ = − +
d)∫(1−x)cosxdx Đặt
1
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= − = −
=>
= =
=>∫(1−x)cosxdx= (1−x)sinx+∫sinxdx= −(1 x)sinx−cosx C+ UBài 2.UTìm nguyên hàm hàm số sau:
a)∫(1 2− x e dx) x Đặt u 2x x du x 2dx dv e dx v e
= − = −
=>
= =
=>∫(1 2− x e dx) x = (1 2− x e) x+∫2e dxx = −(1 2x e) x +2ex+ =C ex(3 2− x)+C
b)∫ xlnxdx Đặt ln
2
du dx
u x x
dv xdx
v x
=
=
=>
=
=
=> ∫ xlnxdx=
3 3
2 2
2 2
ln ln
3 3
dx
x x x x x x dx
x
− ∫ = − ∫ = =
3 3
2 2
2 2
ln ln
3x x−3 3x + =C 3x x−9x +C
c) 2
sin
xdx dx x
∫ Đặt
2 sin
u x
du dx
v cotx
dv dx
x
=
=
=>
= = −
=> 2
sin
xdx dx x
∫ = -xcotx + cos cot ln sin sin
x
dx x x x C
x = − + +
∫
d)∫(2x+3)e dx−x Đặt
x x
u x du dx
dv e dx− v e−
= + =
=>
= = −
=>∫(2x+3)e dx−x = −e−x(2x+ − −3) ∫ e−x.2dx= −e−x(2x+ +3) ∫2e dx−x = −e−x(2x+ −3) 2e−x+ = −C e−x(2x+ +1) C
2 TÍCH PHÂN
Bài 1. Tính tích phân sau:
a/ I=
2
.cos x x dx
π
∫ Đặt :
cos sin
u x du dx
dv x dx v x
= =
⇒
= =
Vậy : I = x sinx π
-
2
sin x dx
π
∫ =
2
π
+ cosx π
=
π
(115)b/ J=
1
.ln e
x x dx
∫ Đặt :
2 ln du dx
u x x
dv x dx v x = = ⇒ = = Vậy : J = lnx
2
2 x
1e -
2 2
2
1
1 1
2 2 4
e e
e
x dx e xdx e x e
x + = − = − = ∫ ∫ c) . x
x e dx
∫ Đặt u x x du xdx
dv e dx v e
= = => = = Vậy : 1 1 0 0
x x x x ( 1)
x e dx =x e − e dx= −e e = − − =e e
∫ ∫ Bài Tính tích phân sau:
a ) A = xdx cos x π
∫ Đặt
2 tan u x du dx dx v x dv cos x = = => = = xdx cos x π ∫ = ( ) 4 0 sin tan tan cos x
x x xdx dx
x
π π
π π
−∫ = −∫
=
2
(ln cos ) ln ln1 ln
4 x 4
π
π π π
+ = + − = +
b) B =
1
. x x e dx
∫ Đặt 2 2
2 x x du dx u x v e
dv e dx
= = => = = . x x e dx
∫ =
1
2 2 2
0 0
0
1 1 1 1
2 2 4 4
x x x x e
x e − ∫e dx= x e − e = e − e + = +
c) C =
2 cos x xdx π
∫ Đặt
2 sin cos du xdx u x v x dv xdx = = => = = 2 cos x xdx π ∫ = 2 2 2 0
sin sin sin
4
x x x xdx x xdx
π π
π π
− ∫ = − ∫
* Tính : I =
0
xsinxdx
π
∫ Đặt
sin cos
u x du dx
dv xdx v x
= =
=>
= = −
(116)I =
0
xsinxdx
π
∫ =
2
2 2
0 0
0
cos cos cos sin
x x xdx x x x
π
π π π
− +∫ = − + =
Thế I = vào C ta :
2
cos
x xdx
π
∫ =
2
π −
D CÂU HỎI TRÁC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Tìm nguyên hàm ∫x xdxln
A 1 2ln
2x x−4x +C B
2ln
4
x x− x +C
C 1 2ln
3x x−2x +C D
2ln
2
x x− x +C Câu Nguyên hàm∫x dx.2x
A 22
ln ln x
x C
− + UB.U
2
.2 1 2
ln ln x
x
x − +C
C 22
ln ln x
x C
+ + D 22
ln ln x
x
x + +C
Câu 3. Nguyên hàm ∫ x.lnx dx
A 2 ln
3 x x−9x x C+ B
2 ln
3x x−9x x C+ UC.U
2 ln
3x x x−9x x C+ D
2 ln
3x x x+9x x C+
Câu 4. Nguyên hàm∫xln(x+2)dxbằng A
2
2ln( 2) 2 4 ln( 2)
2
x
x x+ − − x+ x+ +C B
2 1
ln( 2) ln( 2)
2 2
x x x x C
+ − + + +
C
2 1
ln( 2) ln( 2)
2 2
x x x x x C
+ − − + + +
D
2
1
ln( 2) ln( 2)
2
x
x+ − − x+ x+ +C
Câu Nguyên hàm∫x e x2+1dx bằng: UA.U
2 1
1
x
e + +C B. ex2+1+C C. 2ex2+1+C D. x e2 x2+1+C Câu 6 Nguyên hàm lnx dx
x
∫ bằng: A. ( )ln
2 x +C B. ( )
2 lnx +C UC.U ( )
ln
3 x +C D. ( ) 3 lnx +C Câu Nguyên hàm 15
.ln dx
x x
(117)A. ln x C
− + B. 44 ln x C
− + C. 14
4 ln x+C UD.U
4 ln x C
− +
Câu 8. Nguyên hàm ∫xcosxdx bằng: A.
2 sin x
x C+ UB.U xsinx+c x Cos + C. xsinx−sinx C+ D
2 os x
c x C+ Câu 9: Nguyên hàm
x xe dx
∫ bằng: UA.U ( )
3
3
x
x− e +C B ( 3)
x x+ e +C C. 1( 3)
3
x
x− e +C D. 1( 3)
3
x x+ e +C Câu 10 Tìmnguyên hàm ∫(x−1)ex2− +2x 3dx
A. 2 x x x
x e − + C
− +
B. ( )
3
1 3 x x x x− e − + +C C. 2
2 x x
e − +C UD.U
2 2 3
1
x x e − + +C Câu 11. Tích phân
1
0 x xe dx
∫ bằng:
A. e B e−1 UC.U D.
1 2e− Câu 12. Tích phân
4
0 os2 xc xdx π
∫ bằng:
UA.U
π−
B
π −
C.
π
− D.
2
π
− Câu 13. Tích phân ( ) ( )
3
0
1 ln x+ x+ dx
∫ bằng:
A. ln
− B 10 ln 16
+ C. ln
+ UD.U
15 16 ln
4
− Câu 14. Tích phân ( )
1
2
0
ln
x x + dx
∫ bằng:
A. 1ln
2 − B ln 1−
UC.U
1 ln
2
− D. 1(ln 1) − Câu 15. Tính tích phân
1
ln
∫ex xdx A.
2 e +
UB.U e + C. 3 e + D. 2 3 e +
Câu 16 Tìm tích phân
0
(2x 1) cos xdx
π
− ∫
(118)Câu 17 Tínhtích phân
0
(x 1) sin 2xdx
π
+ ∫
A
π −
UB.U
4
π + C
2
π + D
2
π −
Câu 18 Tính tích phân
0
I (2x 1) sin 3xdx
π
=∫ −
A 9
5 B
9
− C 5
9
UD.U
5
−
Câu 19 Tính tích phân
0
x(1 sin 2x)dx
π
+ ∫
A
1 32
π + B
1 32
π − C
1 32
π + D
1 32
π −
Câu 20 Tích phân
2
0
x s dx
π
∫ inx
A π −1 B π −2 C π −3 D π −4
Câu 21. Tính tích phân
0
x
I =∫xe dx
UA.U I =1. B I =2 C I =3 D I =4 Câu 22. Giả sử 2
0
2
ln bln
x
dx a
x x
− = +
+ +
∫ , với a b, ∈Q Khi a – b bằng: UA.U B 1 C 5 D
Câu 23 Tính tích phân
0
−
=∫ x I x e dx A B
e
− C
e D 2e−1 Câu 24 Tính tích phân ( )
2
1
1 ln
=∫ −
I x xdx
A I =2 ln
+
B I = ln 2
+
C I = ln
−
D I = ln 2
−
Câu 25. Tích phân
cos
x
e xdx a e b π
π
= +
∫ Khi tổng S = a + b bằng: A
2
S= − UB
U S= −1 C
(119)
BUỔI 4
CHỦ ĐỀ ỨNGDỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Diện tích hình phẳng
+ Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f(x) liên tục, trục hoành, hai đường thẳng x = a, x = b tính theo công thức ( )
b
a
S =∫ f x dx (1)
+ Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y=fR1R(x), y = fR2R(x) liên tục [a;b] đường thẳng x = a; x = b là: S = 1( ) 2( )
b
a
f x − f x dx
∫ (2)
+ Chú ý: 1( ) 2( ) [ ( )1 2( )]
c c
a a
f x − f x dx= f x − f x dx
∫ ∫
2 Thể tích vật thể
Cho vật thể (T) giới hạn mp song song (α), (β) Xét hệ tọa độ Oxy cho Ox vng góc với (α), (β) Gọi giao điểm (α), (β) với Ox a, b (a<b) Một mp( γ) vng góc với Ox x cắt (T) theo thiết diện có diện tích S(x)
Giả sử S(x) hàm liên tục [a; b] Khi thể tích (T) : V = ∫b a
dx x
S( ) (3)
3.Thể tích khối trịn xoay quay quanh trục Ox
= ∫ ( )
b
a
dx x f
V π (4)
B KỸ NĂNG CƠ BẢN
+Tính diện tích hình phẳng giớihạn đường cong, hai đường cong, ba đường cong;
+Tính thể tích vật thể trịn xoay;
+ Giải số toán thực tế. C BÀI TẬP
UBài 1.UTính diện tích hình phẳng giới hạn : a) Đồ thị hàm số y = xP
3
P, trụchoành hai đường thẳng x = -2, x = Ta có [-2;0], x3≤0 Trên [0; 2], x3≥0
( )
2 4
3 3
2
2 4
x x
S x dx x dx x dx −
− −
= ∫ = ∫ − +∫ = − + = 1.( 16) 1.16
4
− − + = ( ĐVDT) b) Đồ thị hàm số y = x + x P
-1
P , trục hoành , đường thẳng x = x = Ta có:
2
2 1
1
ln ln ln1 ln
2 2
x
S x dx x
x
= + = + = + − − = −
∫
c) Đồ thị hàm số y = eP x
(120)Ta có: ( ) ( )
1 0
1 1
x x
S =∫ e + dx= e +x = + − =e e
d) Đồ thị hàm số y = xP
P - 4x , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = Ta có: ( )
4
3
2
4 36
4 x
S = x − x dx= − x =
∫ (ĐVDT)
UBài 2:UTính diện tích hình phẳng giới hạn a) Đồ thị hàm số y = xP
3 P
- x; y = x - xP
P Đặt fR1R(x) = xP
P - x, fR2R(x) = x - xP
Ta có fR1R(x) - fR2R(x) = <=> xP
P + xP
P - 2x = có nghiệm x = -2; x = ; x = Vậy : Diện tích hình phẳng cho :
( ) ( ) 12 37 2 2 2 2
3 + − = + − + + − =
= ∫ ∫ ∫ − − dx x x x dx x x x dx x x x S
b) Đồ thị hàm số y = cosx, y = sinx , đường thẳng ;
2
x=π x= π Đặt fR1R(x) = cosx, fR2R(x) =sinx ; Ta có fR1R(x) - fR2R(x) = <=> cosx - sinx = <=>
5
;
4 2
x= π ∈ π π
Diện tích hình phẳng cho là:
3
2
5
2
osx-sinx sinx-cosx osx-sinx
S c dx dx c dx
π π π π π π = ∫ = ∫ + ∫ ( ) ( ) 5
sinx-cosx dx cosx-sinx dx π
π
π π
= ∫ + ∫ = ( ) 54 ( ) 32
5
2
cosx sinx sinx cosx
π π π π − + + + = 2 2 = − − − + +( ) 2 2 − − − −
= 1+ + − +1 =2
c) Đồ thị hàm số (H) :
= = − = − + − = , 1 3 x x x y x x x y
S(H)=∫ − + − − −
2 ) ( ) 3
(x x x x dx=∫ − + −
2
3x x dx x
=
3
0
(− +x 3x −4x+2)dx+
∫
1
(x −3x +4x−2)dx
∫
=
1
0
4
3 2 2 2 2
4 − + − + + − + − x x
(121)= 1 2 (4 8 4) 1 2 4 − + − + + − + − − − + − =
3 3 4+ =4 UBài 3.U Tính diện tích hình phẳng giới hạn :
a)Trục tung, trục hoành đồ thị hàm số : 1 x y x + =
+ (Đề thi TN năm 2004-2005)
Đồ thị giao với trục hoành điểm 1;
−
trục tung : x =
Diện tích hình cần tìm S =
0 0
1 1
2 2
2 2 1
2
1 1
x x
dx dx dx
x x x
− − −
+ = + − + = −
+ + +
∫ ∫ ∫
( )
1 2x ln x
−
= − + ln1 ln1 ln ln
2
= − − − = + − = −
(ĐVDT)
b) Đồ thị hàm số :y =e yx; =2và đường thẳng x=1 (Đề thi TN năm 2005-2006) Giải PT : ex = ⇔ =2 x ln ; Diện tích hình phẳng cần tìm :
S =
ln 2 x
e − dx
∫ = ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 ln
ln ln
2 2 ln
x x
e − dx= e − x = − −e e −
∫
= (e− − −2) (2 ln 2)= +e ln 4− (ĐVDT) UBài 4.U Tính thể tích khối trịn xoay quay quanh Ox a) Đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành, đường thẳng x =
π
, x =π
Ta có: ( )
2
sin cos
2
V xdx x dx
π π π π π π = ∫ = ∫ − 1 sin 2 2 x 2 x
π π π = − =
2
ππ−π=π
(ĐVTT)
b) Đồ thị hàm số y = cosx, y = 0, x = , x =
π
Ta có: V = ∫ = ∫ + 4 ) cos ( cos π π π
π xdx x dx=
4
0
1
sin
2 x x
π
π + =π π +
(ĐVTT)
c) Đồ thị hàm số y =x e. x , y = 0, x = 0, x =
Ta có : V = ∫
1 2 dx e x x
π Đặt :
= = ⇒ = = x
x v e
xdx du dx e dv x u 2 2 V = 1 2 0 2 x x
x e xe dx
π −π ∫ = 2 x
e x e dx
π −π
∫ Tính I =
1
0 . x
x e dx
∫ Đặt 2x 1 2x
du dx
u x
v e
dv e dx
(122)=> I =
1
2 2 2
0
0
1 1 1
2 2 4
x x x
x
e − ∫e dx= e − e = e − e +
Thay I vào V ta có : V =
1
2
0
2
x
e x e dx
π −π
∫ = ( )
2 2
2
1
2 4
e e e
e
π π π
− − + = −
(ĐVTT) d) Đồ thị hàm số :
3
y= x −x đường y = 0, x = 0, x =
V =
2
3
3
0
1
3x x dx 9x 3x x dx
π − =π − +
∫ ∫ =
7
3
81
63 35
x x x π
π − + =
( ĐVTT)
D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Cho hình (H) giới hạn y = sin x; x = 0; x = π y = Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình (H) quanh trục Ox
A V = π/2 UB.UV = π²/2 C V = 2π D V = π²/4 Câu 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x²; x = 1; x = y =
A 4
3 B
8
UC.U
3 D 1
Câu 3. Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x1( ),y= f2( )x liên tục hai đường thẳng x=a x, =b a( <b) tính theo cơng thức:
UA U ( ) ( )
1 dx
b
a
S=∫ f x − f x B 1( ) 2( )dx
b
a
S= ∫ f x − f x
C 1( ) 2( ) dx b
a
S =∫f x − f x D 1( )dx 2( )dx
b b
a a
S =∫ f x −∫ f x
Câu 4. Cho hình (H) giới hạn đường y = x y = x Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình (H) quanh trục Ox
UA.Uπ/6 B π/3 C π/2 D π
Câu 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x4−4x2+1 đồ thị hàm số
3
= −
y x
A 6 B 4 C 2 UD.U8
Câu 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = –x³ + 3x + đường thẳng y = A 57/4 UB.U27/4 C 45/4 D 21/4
Câu Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn ba đồ thị hàm số y=xln ,x x=e, trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox
UA.U
3
5
27 e
V = − π B
3
5
27 e V = − C
3
5
27 e
V = + π D
3
5
27 e V = − π
Câu 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( )C :y=x2+2 ;x y− − =x A
2 B
7
2
UC.U
2 D 11
(123)Câu 9: Cho hình thang cong (H)giới hạn bới đường y=e yx, =0,x=0 x=ln Đường thẳngx=k(0< <k ln 4) chia (H) thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm
x=kđể S1=2S2
A 2ln
k= B k=ln
C ln8
k= UD.U k =ln
Câu 10. Với giá trị m>0 diện tích hình phẳng giới hạn
y=x y=mx đvdt ?
UA.Um=2 B.m=1 C.m=3 D.m=4
Câu 11.Tính diện tích hình phẳng giới hạn y=x.ln2x ,trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = e
A. 1( 1)
= +
S e UB.U
2
( 1)
= −
S e C. 1(1 2)
= −
S e D.S = −(1 e2)
Câu 12. Tìm diện tích S hình phẳng (H) giới hạn y= − +x3 3x2−2, hai trục tọa độ đường thẳng x=2
A. S = 19
2 (đvdt)
UB.U S =
2 (đvdt) C. S =
3 (đvdt) D. S =
2 (đvdt) Câu 13.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x3−3x2+4 đường thẳng
1 x− + =y
A. (đvdt) B. (đvdt) C. (đvdt) D. (đvdt)
Câu 14.Thể tích hình phẳng giới hạn y=(x−2) ,2 y=0,x=0, x=2 xoay quanh trục hoành A. 32
5
V = B V =32π C 32
V = π D 32
Câu 15. Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng ( )H giới hạn bởiy=x2 ;y= +x quanh trục Oxlà
A. 72
π (đvtt).
B. 81 10
π (đvtt).
C. 81
π (đvtt).
D.72 10
π (đvtt).
Câu 16. Cho hình phẳng (H) giới hạn y=2x−x2, 0y= Tính thể tích khối trịn xoay thu quay (H) xung quanh trục Ox ta V a
b
= π +
Khi
A. ab=15 B. ab=20 C. ab=28 D. ab =54
Câu 17.Diện tích hình giới hạn
2
3
, 0, 0,
2
+ −
= = = = −
−
x x
y y x x
x
2 ln
3+
a b Khi đó,
+
a blà:
A. UB.U 40 C.
61
2 D. -2 Câu 18. Nếu f ( )1 =12, f '( )x liên tục ( )
1 ' =17
(124)UA.U ( ) ( )
0
3
f x dx f x dx
−
+
∫ ∫ B ( ) ( )
1
3
f x dx f x dx
−
+
∫ ∫
C. ( ) ( )
3
0
f x dx f x dx
−
+
∫ ∫ D ( )
4
3
f x dx
−∫
Câu 20. Cho hình phẳng giới hạn đường cong y=2x−x2,y=x Thể tích khối trịn xoay thu quay hình quanh trục trục Ox:
A 25
π
B
6
π
U C.U
5
π
D 6
π
Câu 21. Cho hình phẳng giới hạn đường cong y=x x2, = y2 Thể tích khối trịn xoay thu quay hình quanh trục trục Ox:
A 8
π
B.2
5
π
C
π
U
D.U 10
π
Câu 22. Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y= +(e 1)x y= +(1 ex)x là: A.2
2 e
− B UC.U e
− D 3 e−
Câu 23.Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y= −2x2+ +x trục hoành là:
UA.U
125
24 B
125
34 C
125
14 D
125 44
Câu 24.Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y= −2 x2,y= 1−x2 trục hoành là:
A.3 2−2π B 2 2
π
− UC.U
8
3
π
− D 4 2−π
Câu 25. Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=mxcosx; Ox ; x=0;x=π 3π Khi đó:
A. m= −3 B. m=3 C m= −4 UD.Um= ±3
(125)KIỂM TRA 45 PHÚT
I MA TRẬN ĐỀ
Chủ đề mạch
kiến thức kĩ năng
Mức độ nhận thức
Tổng Nhận biết
1
Thông hiểu
2
Vận dụng thấp
3
Vận dụng cao
4
Tích phân
Câu 1,2,3,4
1,6
Câu 9,10,11, 12, 13, 14
2,4
Câu19,20,21
1,2
Câu 22
0,4 14
5,6
Ứng dụng hình học của tích phân
Câu5,6,7,8
1,2
Câu15,16,17,18
1,2
Câu 23
0,4
Câu24,25
0,8 11
4,4
Tổng
8
3,2
10
4,0
1,6
1,2 25 10
II ĐỀ KIỂM TRA
Câu 1 Cho hàm số f(x) liên tục [a; b] Giả sử F(x) ngun hàm f(x) [a; b] Khi tích phân b f x dx( )
a∫ là:
A F(a)- F(b) B F(a)+ F(b) C F(b)- F(a) D - F(a)- F(b)
Câu 2 Nếu d f x dx( ) 5,b f x dx( )
a∫ = d∫ = với a < d < b ( ) b
f x dx a∫ bằng:
A -3 B C D -7
Câu 3. Cho ( ) 4, ( )
2
f x dx= g x dx=
∫ ∫ Tính 6( ( ) ( ))
2
f x +g x dx
∫ ?
A B C D
Câu Nếu ( ) 5,3 ( )
1
f x dx= f x dx=
∫ ∫ ( )
1
f x dx ∫ bằng:
A -2 B C D
Câu 5 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= - xP
P, trục Ox, hai đường thẳng x= 0, x=
A
= − ∫
S x dx B
= ∫
S x dx C S = ∫x dx2 D
π = ∫
(126)Câu 6. Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y=fR1R(x), y = fR2R(x) liên tục [a;b] đường thẳng x = a; x = b là:
A ∫[ 1( )− 2( )] b
a
f x f x dx B.∫[ 1( )+ 2( )] b
a
f x f x dx C ( ) ( ) −
∫ a
f x f x dx b
D ∫ 1( )− 2( ) b
a
f x f x dx
Câu 7 Cho đồ thị hàm số y= f x( ) Diện tích hình phẳng (phần gạch hình) UA.U ( ) ( )
0
3
−
+
∫ f x dx ∫ f x dx B ( ) ( )
1
3
−
+
∫ f x dx ∫ f x dx
C. ( ) ( )
3
0
−
+
∫ f x dx ∫ f x dx D ( )
3
−∫
f x dx
Câu 8 Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y= sinx, y= 0, x= 0, x=π quay quanh trục 0x là:
A
sin
π
π∫ x dx B
s
π
∫ inx dx C
0
sin
π
∫ x dx D
0
sin
π
π∫ x dx Câu 9 Đẳng thức đúng?
A 1
0
− = −
∫ ∫
−
x dx x dx B 3( 2)
0
− = −
∫ x dx ∫ x dx
C ( ) ( )
3
0
2 2
− = − − −
∫ x dx ∫ x dx ∫ x dx D ( ) ( )
3
0
2 2
− = − + −
∫ x dx ∫ x dx ∫ x dx
Câu 10 Tìm tích phân I = 4tan2
π
∫ xdx A B
4
π
− C ln2 D
π
Câu 11. Cho I=
2
1
2x x −1dx
∫ u = xP
P- Chọn khẳng định sai ?
A I= 3 2
0
u B 27
=
I C I= 0∫
u du D I= 1∫
u du
Câu 12 Cho
= ∫ −
I x x dx Đặt t= 31−x4 I bằng: A 3
−∫ t dt B 3
∫ t dt C
1
0
∫t dt D
1
0
−∫t dt Câu 13 Tìm tích phân 2(2 1)
1
= ∫ − x
I x e dx
(127)Câu 14. Đổi biến u = sinx 2sin4 cos
x x dx
π
∫ thành:
A
4
0
1−
∫u u du B
4
0
π
∫u du C
4
0
∫u du D π − ∫u u du Câu 15 Diện tích hình phẳng giới hạn y= xP
2 P
+ 1, x= -1, x= trục Ox là:
A B C D
Câu 16 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y= 2 x x
− + −
, y = 0, x = 0, x = A
6 B
12 C
3 D
−
Câu 17. Gọi S miền giới hạn (C): y= xP
P, trục Ox hai đường thẳng x= 1, x= Thể tích vật thể trịn xoay quay S quanh trục Ox là:
A 31
π
+1 B 31
5
π +
C 31
π
D 31
5
π −
Câu 18. Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y= xP
P- 2x, y = 0, x = 0, x = quanh trục Ox có giá trị bằng:
A 15
π
B
8
π
C 15
π
D
π
Câu 19 Tìm m biết (2 5)
+ =
∫
m
x dx
A m= -1, m= -6 B m= 1, m= -6 C m= 1, m= D m= -1, m= Câu 20. Đổi biến x= 2sint
1 dx I dx x = −
∫ trở thành: A
2
0
π
∫dt B
6
0
π
∫tdt C
6 π ∫ dt
t D
3
0
π
∫dt Câu 21. Biết ( )
1
0
2x+1 e dxx = +a be
∫ Tính tích ab
A -1 B C -15 D
Câu 22. Tích phân 2(1 cos ) sin
n
I x xdx
π
= ∫ − bằng: A
1+n B
−
n C
1
2n D
1 n Câu 23. Diện tích hình phẳng giới hạn y = xP
2
P y = 2x là: A
3 B
3
2 C
5
3 D
23 15
Câu 24.Diện tích hình phẳng giới hạn y= −4 x Parabol
(128)A 22
3 B
26
3 C
25
3 D
28
Câu 25. Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên quay hình phẳng giới hạn đường y= xP
P- 4, y = 2x - quay quanh trục Ox
A 16
π
B 6π C 6− π D 16 15
π
(129)Nhóm trường:
THPT Nguyễn Văn Huyên THPT Tháng 10
THPT Thượng Lâm
CHUYÊN ĐỀ
SỐ PHỨC (12 tiết)
Tiết 1, 2, 3
DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
A Kiến thức bản.
1 Khái niệm số phức
• Số phức (dạng đại số) : z= +a bi
(a, b∈R, a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, iP
P = –1)
•z số thực ⇔phần ảo z (b = 0) z ảo ⇔phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo
•Tập hợp số phức: , ,={z= +a bi a b∈,i2 = −1} •Hai số phức nhau:
a a '
a bi a’ b’i (a, b, a ', b ' R) b b '
=
+ = + ⇔ = ∈
UChú ýU:
4k 4k 4k 4k i =1; i + =i; i + =-1; i + =-i
2 Số phức liên hợpcủa số phức z = a + bi z= −a bi
• 1
2
z z
z z ; z z ' z z ' ; z.z ' z.z ';
z z
= ± = ± = =
;
2 z.z=a +b • z số thực ⇔ z=z ; z số ảo ⇔ z= −z
3 Môđun số phức : z = a + bi • z = a2+b2 = zz = OM
• z ≥ ∀ ∈0, z C , z = ⇔ =0 z
• z.z ' = z z ' • z z
z ' = z ' • z −z ' ≤ ±z z ' ≤ +z z '
4 Các phép toán số phức.
* Phép cộng phép trừ, nhân hai số phức.
Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:
' ( ') ( ')
' ( ') ( ')
' ' ' ( ' ' )
z z a a b b i
z z a a b b i
zz aa bb ab a b i
• + = + + +
• − = − + −
• = − + −
* Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ (tức aP 2
P+bP 2
P> ) Ta định nghĩa số nghịch đảo zP
-1
Pcủa số phức z ≠ số zP -1
P=
2 2
1
z z
a +b = z
• Chia hai số phức: 2 2
a + bi aa' - bb' ab ' a ' b i a'+ b'i a ' b ' a ' b '
+
= +
+ +
B Kĩ bản.
(130)Biến đổi số phức dạng đại số, áp dụng cơng thức tính
Thực phép toán tập số phức
Phương pháp giải
Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, ý tính chất giao hốn, kết hợp phép toán cộng nhân
C Bài tập luyện tập.
UBài 1U: Tìm phầnthực phần ảo , mơ đun, số phức liên hợp số phức )
a z = + i b z) 2= +( i) (+i 4− i) c z) 1= +( ) (i 2− −5 2i)
Giải:
a) 2z = + i
Phần thực: 1, phần ảo 2, số phức liên hợp 2z = − i, mô đun: 5z =
( ) ( )
) 5
b z = + i +i − i = + i
Phần thực: 5, phần ảo : 5, số phức liên hợp 5z= − i, mô đun: 2z =
( ) (2 )
) 5
c z= +i − − i = − + i
Phần thực: -5, phần ảo : 4, số phức liên hợp 4z= − − i, mô đun: 41z = UBài 2:UTìm số phức liên hợp của:
1 (1 )(3 )
3
z i i
i
= + − +
+
Giải:
Ta có 5
(3 )(3 ) 10
i i
z i i
i i
− −
= + + = + +
+ −
Suy số phức liên hợp z là: 53 10 10 z= − i
UBài 3:UTìm phần ảo số phức z biết ( ) ( )
2
z= +i − i
Giải:
(1 2 )(1 )
z = + i − i = + i Suy ra, z= −5 2i Phần ảo số phức z= −
UBài 4:UTìm mơ đun số phức
(1 )(2 )
i i
z
i
+ −
= +
Giải: Ta có: 1
5
i
z= + = + i Vậy mô đun z bằng:
2
1 26
1
5
z = + =
UBài 5:UCho số phức z =
3
2 −2i Tính số phức sau: z; z P
P; (z)P
P; + z + zP
Giải:
*Vì z =
2 −2i ⇒ z =
3 +2i *Ta có zP
2 P =
2 2i
−
=
2
3
4+4i − i=
1
(131)⇒ (z)P
P =
2
2
3 3
2 2i 4i i 2 i
+ = + + = +
(z)P
P =(z)P
P z =
1 3 3
2 i 2i 2i 4i i
+ + = + + − =
Ta có: + z + zP
P =
3 1 3 3
1
2 2i 2 i 2 i
+ +
+ − + − = −
UBài 6:UCho số phức z thỏa mãn
( )3
1 i z i − =
− Tìm mơđun số phức z+iz
Giải:
Ta có: ( )
1− 3i = −8 Do 4 4
1
z i z i
i
−
= = − − ⇒ = − +
−
( )
4 4 8
z iz i i i i
⇒ + = − − + − + = − − Vậy z+iz =8
* Hai số phức nhau:
UBài 7:UTìm số thực x y, thỏa mãn đẳng thức: a) 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i
b) (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i c) x(3 5+ i) (+ y 2− i)3 = − +35 23i
Giải:
a) Theo giả thiết:
3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i
⇔ (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i ⇔
5
x y y
x x y
+ = − = − ⇔ 7 x y = − =
b) Theo giả thiết ta có:
9
2 3 2 11
2 3
11 x
x y x y x y
x y x y x y
y = + + = − + − + = ⇔ ⇔ − + = − − − + = − = c) Ta có (1 2− i) (3 = −1 2i) (2 2− i) (= − −3 4i)(1 2− i)= −2i 11
Suy x(3 5+ i) (+ y 2− i)3 = − +35 23i ⇔ x(3 5+ i) (+y 2i−11)= − +35 23i
(3 11 ) (5 ) 35 23 11 35
5 23
x y x
x y x y i i
x y y
− = − =
⇔ − + + = − + ⇔ ⇔
+ = =
* Tı́nh in áp dụng: Chú ý:
• iP 4n
P = 1; iP 4n+1
P = i; iP
4n+2 P = -1; iP
4n+3
P = -i; ∀ n ∈ NP *
PVậy iP n
P∈ {-1;1;-i;i}, ∀ n ∈ NP *
•
(1+i) =2i; (1−i)2 = −2i UBài 8:U Tính: iP
105 P + iP
23 P + iP
20 P – iP
34
Giải:
Ta có iP 105
P+ iP 23
P + iP 20
P – iP 34
P = iP 4.26+1
P + iP 4.5+
PP
P + iP 4.5
P – iP 4.8+2
(132)UBài 9:UTính số phức sau: a) z = (1+i)P 15
P b) z =
16
1
1
i i
i i
+ −
+
− +
Giải:
a) Ta có: (1 + i)P
P = + 2i – = 2i ⇒ (1 + i)P 14
P = (2i)P
P = 128.iP
P= -128.i nên z = (1+i)P
15
P = (1+i)P 14
P(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i b) Ta có: (1 )(1 )
1 2
i i i i
i i
+ = + + = =
−
⇒
1 i
i i
− = −
+ Vậy
16
1
1
i i
i i
+ −
+
− +
=iP
16 P +(-i)P
8 P =
UBài 10:U(Vận dụng)Tìm phần thực, phần ảo số phức sau:
( ) ( ) (2 )3 ( )20
1+ + + +1 i i + +1 i + + + i
Giải:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
21
2 20
20
21 10 10
10
10 10
1
1 1
1 1 2
2 1
2
i
P i i i
i
i i i i i i
i
P i
i
+ −
= + + + + + + + =
+ = + + = + = − +
− + −
⇒ = = − + +
Vậy phần thực 10
− phần ảo 10 +1 * Tı̀m số phức dựa vào dạng đại số số phức.
Nếu hệ thức tı̀m số phức z xuất hay nhiều đại lượng sau: z z z, , , ta sẽsử dụng Dạng đại số z z= +x yi với x y, ∈R
UBài 11:UTìm số phức z biết z−(2 3+ i z) = −1 9i Giải:
Giả sử z= a+ bi (a,b ∈R) ta có:
(2 ) (2 )( )
z− + i z = − ⇔ + −i a bi + i a bi− = − i
( )
3 3
3
a b a
a b a b i i
a b b
− − = =
⇔ − − − − = − ⇔ ⇔
− = = −
Vậy z = – i
UBài 12(TH)UCho số phức z thỏa mãn:
2(1 2i)
(2 i)z 8i (1) i
+
+ + = +
+ Tìm mơđun số phức
z i
ω = + +
Giải:
2(1 2i)
(2 i)z 8i (2 i)z i 8i i
4 7i
(2 i)z 7i z 2i
2 i
+
+ + = + ⇔ + + + = +
+
+
⇔ + = + ⇔ = = +
+
Do ω = + + + = +3 2i i 3i⇒ ω = 16 9+ =5
UBài 13:U (TH)Tính mơ đun số phức z biết rằng: (2z−1 1)( + +i) ( )z+1 1( − = −i) 2i
(133)( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 1 1 2
2 1 2
2 2 1 2
1
3 3 1
3 2
2 3
3
z i z i i
a bi i a bi i i
a b a b i a b a b i i
a
a b
a b a b i i z i
a b
b
− + + + − = −
⇔ − + + + + − − = −
⇔ − − + + − + − + − + + = −
=
− =
⇔ − + + − = − ⇔ ⇔ ⇒ = −
+ − = −
= −
Suy mô đun: 2
3 z = a +b =
UBài 14:UTìm số phức z thỏa mãn:
2
2
z + z z+ z = z+ =z
Giải
Gọi z = x + iy (x, y∈R), ta có
2
2 2 2
;
z= −x iy z = z =z z =x +y
2 2 2 2 2
2 4( ) ( ) (1)
z + z z+ z = ⇔ x +y = ⇔ x +y =
2 2 (2)
z+ = ⇔z x= ⇔ =x
Từ (1) (2) tìm x = ; y = ±1 Vậy số phức cần tìm + i - i UBài 15:UTìm số phức z thỏa mãn z = 2và zP
2
Plà số ảo
Giải:
Gọi z= a+ bi (a, b ∈R) Ta có z = a2+b2 z2 =a2−b2+2abi Yêu cầu toán thỏa mãn
2 2
2 2
2 1
1
0
a b a a
b
a b b
+ = = = ±
⇔ ⇔
= ±
− = =
Vậy số phức cần tìm 1+i; 1-i; -1+i; -1-i
UBài 16:U (Vận dụng) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z− + + =2 z 10
Hướng dẫn giải
Gọi M x y( ); điểm biểu diễn số phức z= +x yi, x y, ∈ Gọi A điểm biểu diễn số phức
Gọi B điểm biểu diễn số phức −2 Ta có: z+ + − =2 z 10⇔MB+MA=10
Ta có AB=4 Suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z Elip với tiêu điểm A( )2; ,
( 2; 0)
B − , tiêu cự AB= =4 2c, độ dài trục lớn 10=2a, độ dài trục bé
2
2b=2 a −c =2 25 4− =2 21
Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z− + + =2 z 10là Elip có phương trình 2
25 21
x y
(134)UBài 17:U(Vận dụng)Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z+ −1 2i = + +z 4i
z i
z i
−
+
số ảo
Giải
Đặt z= x+ yi (x,y ∈R) Theo ta có
( ) ( )
( ) (2 ) (2 ) (2 )2
1
1
x y i x y i
x y x y y x
+ + − = + + −
⇔ + + − = + + − ⇔ = +
Số phức ( )
( ) ( )( ( ) () )
2
2
2 2
2 w
1
x y i x y y x y i
z i
x y i
z i x y
+ − − − − + −
−
= = =
+ −
+ + −
w số ảo
( )( )
( )
2
2
12
2
7
1
23
7
x y y
x
x y
y
y x
− − − = = −
+ − > ⇔
= + =
Vậy 12 23
7
z= − + i
UBài 18:U(Vận dụng)Tìm số phức z biết
5
1 i
z
z
+
− − =
Giải:
Gọi z= a+ bi (a, b ∈R) a2+b2 ≠0 ta có
2
5
1
i i
z a bi a b i a bi
z a bi
+ +
− − = ⇔ − − − = ⇔ + − − − − =
+
( 2 ) ( ) 2
5
3
a b a
a b a b i
b
+ − − =
⇔ + − − − + = ⇔
+ =
2 1;
3 2;
a a a b
b a b
− − = = − = −
⇔ ⇔
= − = = = −
Vậy z= − −1 i z= +2 i
D Bài tập TNKQ.
Câu 1.(Đề thi thức THPT QG năm 2017)Cho hai số phức z1= −5 7i z2 = +2 3i Tìm số phức z= +z1 z2
UA.U z= −7 4i B z= +2 5i C z= − +2 5i D z= −3 10i
Câu 2. ((Đề thi thức THPT QG năm 2017)Cho số phức z= +a bi a b, ( , ∈) thỏa mãn
1
z+ + −i z i= Tính S = +a 3b A
3
S = UB.U S= −5 C S=5 D
7 S = −
Giải : Đáp án B
Ta có: 2
2
1 ( 3)
3 1, (1) a
z i z i a b i a b i
b b
= −
+ + − = ⇔ + + + = + ⇔
+ = +
Với b≥ −3 (1) tương đương với: 2
( 3)
(135)Câu 3. (Đềthi thức THPT QG năm 2017)Có số phức z thỏa mãn z− =3i
z
z− số ảo ?
A 0 B Vô số UC.U D 2
Giải:Đáp án C
Đặt z= +x yi x y, ( , ∈)
2 2
3 ( 3) 16
z− i = x + y− = ⇔ x +y − y=
2
2 2 2
( )( ) 4
4 ( 4) ( 4) ( 4)
z x yi x yi x yi x x y yi
z x yi x y x y x y
+ + − − − +
= = = −
− − + − + − + − +
4 z
z− số ảo nên
2
2
2
0
( 4)
x x y
x x y
x y
− +
= ⇔ − + =
− +
Ta có hệ:
2
2
4 ( )
6 16 16
4 13
24 13 x
loai y
x y y
x
x y x
y
=
=
+ − =
⇔
+ − = =
= −
16 24 13 13
z i
⇒ = −
Vậy có số phức z thỏa mãn
Câu 4. (Vận dụng)Trong số phức thỏa mãn điều kiện z+3i = + −z i Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất?
A z= −1 2i B 5
z= − + i UC.U
1 5
z= − i D z= − −1 i
Hướng dẫn giải Chọn C.
Phương pháp tự luận
Giả sử z= +x yi x y( , ∈)
( ) ( ) ( ) 2 ( ) (2 ) (2 )2
3 3
z+ i = + − ⇔ +z i x y+ i = x+ + y− i ⇔x + y+ = x+ + y− 6y 4x 2y 4x 8y x 2y x 2y
⇔ + = + − + ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ = +
( )2
2 2 2
2 5
5 5
z = x +y = y+ +y = y + y+ = y+ + ≥
Suy
5
z =
5
y= − ⇒ =x Vậy
5 z= − i
Phương pháp trắc nghiệm
Giả sử z= +x yi (x y, ∈)
( ) ( ) ( ) 2 ( ) (2 ) (2 )2
3 3
z+ i = + − ⇔ +z i x y+ i = x+ + y− i ⇔x + y+ = x+ + y− 6y 4x 2y 4x 8y x 2y
⇔ + = + − + ⇔ − − = ⇔ − − =
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z+3i = + −z i đường thẳng
:
(136)Phương án B: 5
z= − + i có điểm biểu diễn 2; 5 d
− ∉
nên loại B
Phương án C:
5 5
z= − i⇒ z = có điểm biểu diễn 1;
5 d
− ∈
Phương án D: z= − − ⇒1 i z = có điểm biểu diễn (− − ∈1; 1) d
Do phương án C thỏa mãn
Câu 5. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017)Cho số phức z∈ thỏa mãn z =4 Biết tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w= +(3 4i z) +i đường trịn I, bán kính R Khi A I( )0;1 ,R=2 B I( )1; ,R=20 UC.U I( )0;1 ,R=20 D I(1; ,− ) R=22
Hướng dẫn giải Đặt w= +a bi với a b c; ; ∈
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (2 )2
1
3
3 25
3 4
3
3 4
25 25 25
a b i i
a b i
w i z i z
i
a b b a
b a a b
z i z
+ − −
+ −
= + + ⇔ = =
+
+ − + − −
− − + −
⇔ = + ⇒ =
Mà
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2
2
2 2
3 4
4
25
3 4 100
2 399 20
a b b a
z
a b b a
a b b a b
+ − + − −
= ⇒ =
⇔ + − + − − =
⇔ + − = ⇔ + − =
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn I( )0;1 ,R=20
Câu 6.Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z− +1 2i = w= + +z i có mơđun lớn Số phức z có mơđun bằng:
A 2 UB.U C D 5
Hướng dẫngiải:
Gọi z= +x yi (x y, ∈) ⇒ − + =z 2i (x− +1) (y+2)i
Ta có: z− +1 2i = 5⇔ (x−1) (2+ y+2)2 = 5⇔(x−1) (2+ y+2)2 =5
Suy tập hợp điểm M x y( ); biểu diễn số phức z thuộc đường trịn ( )C tâm I(1; 2− ) bán kính
R= :
Dễ thấy O∈( )C , N(− − ∈1; 1) ( )C Theo đề ta có:
( ) ( );
M x y ∈ C điểm biểu diễn cho sốphức zthỏa mãn:
( ) ( )
1 1
w= + + = + + + =z i x yi i x+ + y+ i
( ) (2 )2
1 1
z i x y MN
⇒ + + = + + + =
Suy z+ +1 i đạt giá trị lớn ⇔MNlớn
Mà M N, ∈( )C nên MNlớn MN đường kính đường trịn ( )C I
⇔ trung điểm ( ) 2 ( )2
3; 3 3 3
MN⇒M − ⇒ = − ⇒z i z = + − =
(137)UA.U1 B 2 C 1 và2 i D 1 i
Câu 8.Cho số phứcz= +1 i Số phức z2có phần thực
UA.U−8 B 10 C 8 + 6i D −8 + 6i
Câu 9.Phần thực số phức 4
i z
i
− =
−
UA.U 16
17 B
3
4 C
13 17
− D
4
−
Câu 10. Phần ảocủa số phức ( )
( )( )
2
3
i z
i i
− =
+ +
UA.U 10
− . B
10
− . C
10 i
− . D
10
Câu 11. Tìm z biết z= +(1 2i)( )1−i 2?
UA.U B 2 C 5 D 20
Câu 12. Cho
1
z i
=
+ Số phức liên hợp zlà
UA.U
1
2+ i B
1
4+ i C
1
4− i D
1
2− i
Câu 13. Cho số phức 1
1
i i
z
i i
+ −
= +
− + Trong kết luận sau kết luận sai?
A z∈ B z số ảo
C Mô đun z UD.U z có phần thực phần ảo
Câu 14. Cho số phứcz= +m ni≠0 Số phức
z có phần thực A 2m 2
m −n . B 2
n
m n
−
− . UC.U
2 m
m +n D 2
n
m n
−
+
Câu 15. Cho số phức z, Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai ?
A z = z UB.U z+z số ảo
C z z số thực D mođun số phức z số thực dương
Câu 16. Cho sốphứcz= +x yi Số phức z2có phần thực A x2+y2 UB.U
2
x −y C x2 D 2xy
Câu 17. Cho số phức z thỏa mản ( ) (2 ) ( )
1+i 2−i z= + + +8 i 2i z Phần thực phần ảo số phức zlần lượt là:
A 2;3 UB.U 2; 3.− C −2;3 D − −2;
Câu 18. Tính
2017
2 i z
i
+ =
+
UA.U
5+5i B
5−5i C
5+5i D 5−5i
Câu 19. Trên tập sốphức, tính 20171 i
A i UB.U −i C 1 D −1
(138)Câu 21. Phần thực phầnảo số phức 20122017 20132018 20142019 20152020 20162021
i i i i i
z
i i i i i
+ + + +
=
+ + + + là:
UA.U 0; 1.− B 1; C −1; D 0;1
Câu 22. Sốphứcz thỏa mãn z+2( )z+z = −2 6i có phần thực A −6 UB.U
2
5 C −1 D
3 4
Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z+3 1( )−i z= −1 9i Môđun zbằng:
UA.U 13. B 82. C 5. D 13
Câu 24. Phầnthực số phức ( ) (2 ) ( ) 1+i 2−i z= + + +8 i 2i zlà
A −6 B −3 UC.U2 D −1
Câu 25. Cho số phức z= +6 7i Số phức liên hợp z có điểm biểudiễn là:
A ( )6; UB.U (6; − ) C (−6; ) D (− −6; )
Tiết 4, 5, 6
BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
A Kiến thức bản.
Biểu diễn hình học: Sốphức z = a + bi (a, b∈R) biểu diễn điểm M(a; b) mp(Oxy) (mp phức)
Trong dạng này, ta gặp tốn biểu diễn hình học số phức hay cịn gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thỏa mãn hệ thức (thường hệ thức liên quan đến môđun số phức) Khi ta giải tốn sau:
Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M
B Kĩ bản.
Tìm điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước:
+ Số phức z = a + bi (a, b ∈) biểu diễn M(a; b) mặt phẳng toạ độ Oxy hay gọi mặt phẳng phức
+ Trục Ox biểu diễn số thực gọi trục thực, trục Oy biểu diễn số ảo gọi trục ảo
+ Số phức z = a + bi (a, b ∈) biểu diễn vectơ u=( ; )a b , M(a; b) điểm biểu diễn số phức z = a + bi (a, b ∈) có nghĩa OM biểu diễn số phức
Ta có: Nếu u v , theo thứ tự biểu diễn số phức z, z' u +v biểu diễn số phức z + z',
O
M(a;b) y
x a
(139)u −v biểu diễn số phức z - z', ku (k∈) biểu diễn số phức kz,
OM = u = z , với M điểm biểu diễn z
C Bài tập luyện tập.
UBài 1:UTìm điểm biểu diễn số phức z biết:
a) Điểm biểu diễn số phức z= −2 3i có tọa độ là:: (2; 3− ) b) Điểm biểu diễn số phức z= −2i có tọa độ là: (0; 2− )
c) Cho số phức z= +6 7i Số phức liên hợp z có điểm biểu diễn là: (6; 7− ) d) Điểm biểu diễn số phức
2 z
i
=
− là:
2 13 13
;
e) Cho số phứcz=2016−2017i Số phức đối zlà − = −Z 2016 2017+ i có điểm biểu diễn là: (−2016; 2017)
f) Cho số phứcz=2017−2018i Số phức liên hợp z=2017+2018icó điểm biểu diễn điểm có tọa độ (2017; 2018 )
g) Điểm biểu diễn số phức (2 )(4 )
i i
z i
i
− −
= = − −
+ có tọa độ (− −1; 4)
h) Trong mặt phẳng 0xy, điểm biểu diễn số phức
2016 (1 )
i z
i
=
+ điểm nào?
2018 4.504 2
1
(1 ) ( ) ( ) ( ) 25 25
i i i
z i
i i i i
+ −
= = = = = +
+ − + − + − +
Điểm biểu diễn số phức 2016 (1 )
i z
i
=
+ điểm
3 ; 25 25
Bài 2:Cho số phức z = 1+ 3i số phức z’ = + i Hãy: a) Biểu diễn số phức z z’ mp phức
b) Biểu diễn số phức z + z’ z’ – z mp phức
Giải:
a) Biểu diễn số phức z = + 3i điểm M(1;3) Biểu diễn số phức z’ = + i điểm M’(2;1) b) z + z’ = + 4i, biểu diễn mp phức P(3;4 z’ – z = – 2i, biểu diễn mp phức Q(1;-2)
Bài 3: (Vận dụng)Xác định số phức biểu diễn cácđỉnh lục giác có tâm gốc tọa độ O mặt phẳng phức, biết đỉnh biểu diễn số i
Giải:Gọi D điểm biểu diễn số i ⇒A biểu diễn số −i Dễ thấy điểm E có tọa độ cos ;sin 1;
6 2
π π
=
(140)C đối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số phức 1i 2
− + ; F biểu diễn số phức 1i
2 −2 ; B biểu diễn số phức
3 i 2
− −
Bài 4: Xác định tập hợp điểm mp phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau:
a) zP
Plà số thực âm b) zP
2
Plà số ảo c) zP
2 P = (z)P
2
P d)
1
z i− số ảo
Giải:
a) zP
Plà số thực âm ⇔z số ảo Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trục ảo (Oy), trừ điểm O
b) Gọi z = a + bi ⇒ zP
P = aP
P – bP
P+ 2abi số ảo ⇔ aP
P – bP
P = ⇔ b = ±a Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm hai đường phân giác gốc tọađộ
c) zP
P = (z)P
P⇔ (z + z)(z −z) = ⇔ (trục thực)
(trục ảo)
z + z =
z -z = Vậy tập hợp điểm trục tọa độ d)
z i− số ảo⇔ z – i số ảo ⇔ x + (y – 1)i số ảo
⇔x = y ≠
Vậy tập hợp điểm biểu diễn nằm trục Oy (trừ điểm có tung độ 1)
UBài 5:UGiả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau đây:
a) z− +1 i =2 b) 2+ = −z i c) z−4i + +z 4i =10
Giải:
Đặt z = x +yi (x, y ∈R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y) a) Xét hệ thức: z− +1 i =2 (1)
Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) ⇒ z – + i = (x – 1) + (y + 1)i
Khi (1) ⇔ 2
(x−1) +(y+1) =2
⇔ (x-1)P
P + (y + 1)P
P =
⇒Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) đường trịn có tâm I(1;-1) bán kính R =
b) Xét hệ thức 2+ = −z z i ⇔ |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i|
⇔ (x+2)P
P + yP
P = xP
P
+ (1-y)P
P⇔ 4x + 2y + =
Vậy tập hợp điểm M đường thẳng 4x + 2y + =
Nhận xét:Đường thẳng 4x + 2y + = đường trung trực đoạn AB
c)Xét hệ thức: z−4i + +z 4i =10
Xét FR1R, FR2Rtương ứng biểu diễn điểm 4i -4i tức FR1R (0;4) FR2 R=(0;-4) Do đó:
4 10
z− i + +z i = ⇔ MFR1R + MFR2R = 10
(141)Phương trình (E) là: 2 16 x y
+ =
UBài 6:UTìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho
2
z i
u
z i
+ + =
− số ảo
Giải
Đặt z= x+ yi (x, y ∈R), đó:
( ) ( )
( ) ( ) ( 2 () )2 ( )
2
2
1 1
x y i x y i
x y i
u
x y i x y
+ + + − −
+ + +
= =
+ − + −
( ) ( )
( )
2
2
2 2
1
x y x y x y i
x y
+ + + − + − +
=
+ −
u số ảo
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2 1
1 ; 0;1
x y x y x y
x y x y
+ + + − = + + + =
⇔
+ − > ≠
Vậy tập hợp điểm biểu diễn z đường trịn tâm I(-1;-1), bán kính trừ điểm (0;1) UBài 7:UTrong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
z− =i (1+i z) Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y ∈R) Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (2 ) (2 )2
2
1
1
z i i z x y i x y x y i
x y x y x y
− = + ⇔ + − = − + +
⇔ + − = − + +
( )2
2 2
2 1
x y xy x y
⇔ + + − = ⇔ + + =
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn có phương trình 2 ( )2
1
x + y+ =
UBài 8:U(Vận dụng)Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z− −2 4i = −z 2i Tìm số phức z có môđun nhỏ
Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ∈R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y) Ta có x− +2 (y−4)i = +x (y−2)i (1) ⇔ (x−2)2+(y−4)2 = x2+(y−2)2
4
y x
⇔ = − + Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (1) đường
thẳng x + y = Mặt khác 2 2
8 16 16
z = x + y = x +x − x+ = x − x+
Hay z = 2(x−2)2+ ≥8 2
Do zmin ⇔ = ⇒ =x y Vậy z= +2 2i
UBài 9:U(Vận dụng)Biết số phức z thỏa mãn u=(z+ −3 i)(z+ +1 3i)là số thực Tìm giá trị nhỏ z
Giải
Đặt z= x+ yi (x, y ∈R) ta có
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )
3 1 4
(142)Tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) điểm biểu diễn z mơ đun z nhỏ độ dài OM nhỏ ⇔OM ⊥d Tìm M(-2;2) suy z=-2+2i
UBài 10:U (Vận dụng)Tìm số phức Z có mơ đun lớn thỏa mãn điều kiện
( ) 13
1
2
z + − +i i =
Giải
Gọi z= +x yi x y( , ∈R)⇒ = −z x yi
2
13 39
(1 )
2
z + − +i i = ⇔ x + y − −x y+ =
Gọi M (x;y) điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Oxy⇒M ∈( )C đường trịn có tâm
( ; ) 2
I bán kính 26 R=
Gọi d đường thẳng qua O I ⇒d y: =5x Gọi MR1R, MR2Rlà hai giao điểm d (C)
1 15 ( ; )
4 M
⇒ 2( ; )1 4 M
Ta thấy
1 ( ( ))
OM OM
OM OI R OM M C
>
= + ≥ ∈
⇒số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn MR1R hay
3 15
4
z= + i
D Bài tập TNKQ.
Câu 1.( Đề thi thức THPT QG năm 2017)Cho số phức z= −1 2i Điểm điểm biểu diễn số phứcw=iz mặt phẳng tọa độ ?
A Q(1; 2) UB.U N(2;1) C M(1; 2)− D P( 2;1)−
Giải : w= =iz i(1 )− i = +2 i Vậy điểm biểu diễn w có tọa độ là: (2;1)
Câu 2.(Vận dụng)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z− +3 4i ≤2 Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w=2z+ −1 i hình trịn có diện tích A S=9π B
12
S = π UC.U S=16π D S =25π
Hướng dẫn giải
1
2
w i
w= z+ − ⇒ =i z − +
( )
1
3 4
2
w i
z− + i ≤ ⇔ − + − + i ≤ ⇔ w− + − +i i ≤ ⇔ w− + i ≤
Giả sử w= +x yi (x y, ∈), ( ) (1 ⇔ x−7) (2+ y+9)2≤16
Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức w hình trịn tâm I(7; 9− ), bán kính r=4 Vậy diện tích
cần tìm
.4 16 S=π = π
Câu 3.Điểm biểu diễn hình học số phức z= +a ai nằm đường thẳng:
UA.U y=x B y=2x C y= −x D y= −2x
Câu 4.Gọi Alà điểm biểu diễn số phức 8i+ Blà điểm biểu diễn số phức − +5 i Chọn mệnh đề mệnh đề sau
(143)Câu 5.Gọi Alà điểm biểu diễn số phức z= +2 5ivà Blà điểm biểu diễn số phức
z′ = − + i Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A Hai điểm A B đối xứng với qua trục hoành UB.UHai điểm A B đối xứng với qua trục tung C Hai điểm A B đối xứng với qua gốc toạ độ O D Hai điểm A B đối xứng với qua đường thẳng y=x
Câu 6.ĐiểmM biểu diễn số phức z 4i2019 i
+
= có tọa độ
A M(4;−3 ) B M(3; 4− ) C M( )3; UD.U M(−4;3)
Câu 7.Trong mặt phẳng phức, gọi A B C, , điểm biểu diễn số phức
1
z = − + i, z2 = +1 5i, z3 = +4 i Số phức với điểm biểu diễn D cho tứ giác ABCD hình bình hành là:
UA.U 3i+ B 2−i C 2 + i D 3 + i
Câu 8.Gọi z1và z2là nghiệm phức phương trình
2
4
z − z+ = Gọi M N, điểm biểu diễn z1và z2trên mặt phẳng phức.Khi độ dài MN là:
A MN =4 B MN =5 C MN = −2 UD.U MN =2
Câu 9.Gọi z1và z2là nghiệm phương trình z2−4z+ =9 Gọi M N P, , điểm biểu diễn z z1, 2và số phức k= +x yi mặt phẳng phức.Khi tập hợp điểm
P mặt phẳng phức để tam giác MNP vuông P là: A đường thẳng có phương trình y= −x
B là đường trịn có phương trình x2−2x+y2− =8
C là đường trịn có phương trình x2−2x+y2− =8 0,nhưng khơng chứa M N, UD.Ulà đường trịn có phương trình
2
4
x − x+y − = không chứa M N,
Câu 10. Biết z i− = (1+i z) , tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phương trinh A x2+ + +y2 2y+ =1 B x2+y2−2y+ =1 UC.U
2
2
x +y + y− = D x y2 2−2y− =1
Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độOxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z− =1 (1+i z) là:
A Đường trịn có tâm I(0; 1)− , bán kính r= B Đường trịn có tâm I(0;1), bán kính r= C Đường trịn có tâm I(1; 0), bán kính r= UD.UĐường trịn có tâm I( 1; 0)− , bán kính r=
Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2+ = −z i z là:
UA.UĐường thẳng có phương trình 4x+2y+ =3 B Đường thẳng có phương trình 4x−2y+ =3 C Đường thẳng có phương trình − +4x 2y+ =3 D Đường thẳng có phương trình 4x+2y− =3
Câu 13. Gọi A B C D, , , lần lượtlà điểm biểu diễn cho số phức z1 = −7 3i, z2 = +8 4i,
(144)Câu 14. Gọi A B C, , lần lượtlà điểm biểu diễn cho số phức 1 ; ;
z = − + i z = − − i z = +i Chọn kết luận sai:
A Tam giác ABC vuông cân B Tam giác ABC cân C Tam giác ABC vuông UD.UTam giác ABC
Câu 15. Tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thoả mãn z i− + + =z i có dạng UA.U
2 x + y =
B
2 16
x + y = C
2 16
x y
− = D
2
x y
− =
Câu 16. Cho thỏa mãn z∈ thỏa mãn (2 i z) 10 2i z
+ = + − Biết tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w= −(3 4i z) − +1 2i đường trịn I , bán kính R Khi
A I(− −1; 2),R= B I( )1; ,R= UC.U I(−1; ,) R=5 D I(1; ,− ) R=5
Hướng dẫn giải Đặt z= +a bi z = >c 0, với a b c; ; ∈
Lại có (3 ) 2
3
w i
w i z i z
i
+ −
= − − + ⇔ =
−
Gọi w= +x yivới x y; ∈
Khi 2
3 4
w i
w i
z c c c x yi i c
i i
+ − + −
= ⇒ = ⇔ = ⇔ + + − =
− −
( ) (2 )2 ( ) (2 )2
1 25
x y c x y c
⇔ + + − = ⇔ + + − =
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn I(−1; 2) Khi có đáp án C có khả theo R= ⇒5 5c= ⇒ =5 c Thử c=1 vào phương trình (1) thỏa mãn
Câu 17. Số phức z biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vẽ: Hỏi hình biểu diễn cho số phức i
z
ϖ = ?
A. B
x O
1
1
y
z
x y
ω
1
1
O O x
1
1
y
(145)C. D.
Hướng dẫn giải
Gọi z= +a bi a b; , ∈
Từ giả thiết điểm biểu diễn số phức z nằm góc phần tư thứ nên a b, >0 Ta có i i i a bi(2 2) 2b 2 2 a 2 i
a bi a b a b a b
z
ϖ = = = + = − +
− + + +
Do a b, >0 nên
2
2 0 b a b
a a b
− <
+ ⇒
> +
điểm biểu diễn số phức ω nằm góc phần tư thứ hai.Vậy chọn C
Câu 18. Trong số phức zthỏa z 3 4i 2, gọi z0 số phức có mơ đun nhỏ Khi A Không tồn số phứcz0 B z0 2
C z0 7 UD.U
0 z
Hướng dẫn giải Cách 1:
Đặt z a bi ( ,a b) Khi 2
3 ( 3) ( 4)
z i a b
Suy biểu diễn hình học số phức z đường tròn ( )C tâm I(− −3; 4) bán kính R=5 Gọi M z( ) điểm biểu diễn số phức z
Ta có: M z( ) ( )∈ C z =OM ≥OI − =R
Vậy z bé M z( ) ( )= C ∩IM
Cách 2:
Đặt cos cos
4 sin sin
a a
b b
2 2
(2 cos 3) (2 sin 4) 29 12 cos 16 sin
z a b
3
29 20 cos sin 29 20 cos( )
5
z
Câu 19. Tính 2017 1009 2017 S = + +i i + i + + i
x O
1
1 y
ω
x O
1
1
y
(146)Hướng dẫn giải
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2017
4 2016 2017
2 10 2014 11 2015
504 505 504 504
1 1
1009 2017
1009 2016 2017
2 10 2014 11 2015
1009 4 4
1009
n n n n
S i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i i
n i n n i n
= = = =
= + + + + + +
= + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
= + + − − − − −
=
∑ ∑ ∑ ∑
509040 509545 508032 508536 2017 1009
i i
i
+ + − −
= +
Cách khác: Đặt
( ) ( )
( ) ( )
2 2017
2 2016
2 2017
1
1 2017
2 2017
f x x x x x
f x x x x
xf x x x x x
= + + + + +
′ = + + + +
′ = + + + +
Mặt khác:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2018
2 2017
2017 2018
2
2017 2018
2
1
1
1
2018 1
1
2018 1
1 x
f x x x x x
x
x x x
f x
x
x x x
xf x x
x
−
= + + + + + =
−
− − −
′ =
−
− − −
′
⇒ =
−
Thay x=i vào ( )1 ( )2 ta được:
( ) ( )
( )
2017 2018
2
2018 1 2018 2018 2
1009 1009 2017 1009
2
i i i i
S i i i
i i
− − − − − +
= + = + = +
− −
Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z− =1 Tìm giá trị lớn
T = + + − −z i z i
A maxT =8 UB UmaxT =4 C maxT =4 D maxT =8
Hướng dẫn giải
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1
T = + + − − =z i z i z− + + +i z− − +i Đặt w= −z Ta có w =1 T = + + + − +w (1 i) w (1 i) Đặt w= +x y i Khi w2 = =2 x2+y2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )(( ) ( ) ( ) ( ) )
( )
2 2
2 2
2
2
1 1
1 1 1
1 1 1
2 2 4
T x y i x y i
x y x y
x y x y
x y
= + + + + − + −
= + + + + − + −
≤ + + + + + − + −
= + + =
(147)Tiết 7, 8, 9
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC A Kiến thức bản.
Phương trình bậc hai với hệ số thực AzP
2
P + Bz + C = 0 (*) ( A ≠0)
B 4AC
∆ = −
• ∆ >0: PT có hai nghiệm phân biệt 1,2 B z
2A
− ± ∆ =
• ∆ =0: PT có nghiệm kép: z1 z2 B 2A
= = −
•∆ <0: PT có hai nghiệm phức phân biệt 1,2
B i z
2A
− ± ∆ =
Chú ý: Nếu zR0R∈C nghiệm (*)
z cũng nghiệm (*)
B Kĩ bản.
Biết cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực
Biết giải phương trình qui phương trình bậc hai với hệ số thực
C Bài tập luyện tập.
UBài 1:UTìm nghiệm phức phương trình sau :
a) iz + – i = b) (2 + 3i)z = z – c) (2 – i) z - = d) (iz – 1)(z + 3i)( z - + 3i) = e) zP
2
P + =
Giải:
a) z =i 2i i
− = +
b) z = 1 i 3i 10 10
− = − + +
c) z = 4i z = 4i
2 i− = +5 ⇒ 5−5 d) z = −i, z =−3i, z = + 3i e) z = ±2i
UBài 2:UGiải phương trình sau tập số phức
)
a z − + =z b x) 2+2x+ =5 c z) 4+2z2− =3
Giải:
2
)
a z − + =z
2 3i
∆ = − = − = , bậc hai ∆ ±i
Phương trình có nghiệm: 1 3 , 2
2 2 2
i
z = + = + i z = − i
2
)
b x + x+ =
2 20 16 16i
∆ = − = − = ; Căn bậc hai ∆ ±4i Phương trình có nghiệm: x1 = − −1 ,i x2 = − +1 2i
4
)
c z + z − = Đặt t = zP
P Phương trình trở thành:
2
2
1
1
2
3 3
z
t z
t t
t z z i
= ±
= =
+ − = ⇔ = − ⇔ ⇔
= ± = −
(148)UBài 3U: Giải phương trình bậc hai sau: a) zP
2
P + 2z + = a) zP
2
P + (1-3i)z – 2(1 + i) = (tham khảo)
Giải:
a)Xét phương trình: zP
P + 2z + = Ta có: ∆ = -4 = 4iP
2
P⇒phương trình có hai nghiệm: zR1R = -1 +2i zR2R = -1 – 2i b) Ta có: ∆ = (1-3i)P
2
P +8(1+i) = 2i = (1+i)P
nên 1+i bâ ̣c hai số phức 2i
⇒Phương trình có hai nghiệm là: zR1R =
3 1 2
i i
i
− + + =
; zR2R =
3 1
1
i i
i
− − − = − +
UBài 4:UGọi zR1R zR2Rlà hai nghiệm phức phương trình
2
2 10
z + z+ = Tính giá trị biểu thức
2
1
A= z + z
Giải:
Ta có z2+2z+10= ⇔0 (z+1)2 = − ⇔9 (z+1) ( )2 = 3i
1
z i
z i
= − +
⇔ = − −
( )2 2
1
2
1 3 10
1 10
z i z
z i z
= − + ⇒ = − + =
= − − ⇒ =
Vậy 2
1 20
A= z + z =
UBài 5U: Cho
z , z2 nghiệm phức phương trình 2z2−4z+11=0 Tính giá trị biểu thức A =
2
1
2
( )
z z
z z
+
+
UBài 6:UCho số phức z thỏa mãn
6 13
z − z+ = Tính z z i
+ +
Giải:
( )2 ( ) ( )2
2
6 13
3
z i
z z z z i
z i
= +
− + = ⇔ − = − ⇔ − = ⇔
= −
Với z= +3 2i ta có 6 17 3
z i i
z i i
+ = + + = + =
+ +
Với z= −3 2i ta có 6 24
3
z i i
z i i
+ = − + = − =
+ −
UBài 7:U Tìm số thực b, c để phương trình (với ẩn z) : zP
P + bz + c = nhận z = + i làm nghiệm
Giải:
Theo H2 trang 195, với z = + i nghiệm thì: (1 + i)P
2
P + b(1 + i) + c = ⇔ b + c + (2 + b)i =
⇔ b + c = + b = 0, suy : b = −2, c = UBài 8:UGiải phương trình tập hợp số phức:
4
2
z i
z i
z i
− +
= −
− (tham khảo)
(149)Phương trình cho tương đương với ( )
4
z − + i z+ + =i
Phương trình có biệt thức ( )2 ( )
4 3i 7i 4i
∆ = + − + = − ( )2
2 i
= −
Phương trình có hai nghiệm là: z= +1 2i z= +3 i * Phương trình quy bậc hai
UBài 9:U Giải phương trình: zP
P
– 27 =
Giải: zP
P – 27 = ⇔ (z – 1) (zP
P + 3z + 9) = ⇔
2,3 1
3 3
2 z
z
i
z z z
= =
⇔
+ + = = − ±
Vậy phương trình cho có nghiệm
UBài 10:U Giải phương trình tập hợp số phức:
4
6 16
z − +z z − z− =
Giải:
Nhận biết hai nghiệm z=-1 z=2
Phương trình cho tương đương với ( )( )( )
2
z− z+ z + =
Giải ta bốn nghiệm: z= −1; z=2; z= ±2 2i Bài 11:(Đặt ẩn phụ) Giải phương trình sau tập số phức (zP
2 P + z)P
2 P + 4(zP
2
P + z) -12 =
Giải:
Đặt t = zP
P+ z, phương trình cho có dạng:
tP
P + 4t – 12 = ⇔
2
2
1 23
6 1 23
2 2
1
i z
t z z i
z
t z z
z z
=− +
= − + − =
⇔ ⇔ − −
=
= + − =
= = −
Vậy phương trình cho có nghiệm
Bài 12:Giải phương trình:(z2−z z)( +3)(z+2)=10,z∈C
Giải:
PT⇔ z z( +2)(z−1)(z+ =3) 10⇔ (z2+2 )(z z2+2z− =3) Đặt
2
t = z + z Khi phương trình (8) trở thành: Đặt
2
t =z + z Khi phương trình (8) trở thành t2− −3t 10=0
5
z i
t
t z
= − ±
= −
⇔ = ⇒
= − ±
Vậy phương trình có nghiệm: z= − ±1 6;z= − ±1 i
Bài 13:Gọi z , z , z , z1 2 3 4là bốn nghiệm phương trình
z − −z 2z +6z− =4 tập số phức tính tổng: 2 2 2 2
1
1 1
S
z z z z
= + + +
Giải:
(150)Khơng tính tổng quát ta gọi nghiệm của(1)là z z
z i z i
= = − = + = −
Thay biểu thức ta có:
( ) (2 )2
2 2
1
1 1 1 1
S
z z z z i i
= + + + = + + + =
− +
D Bài tập TNKQ.
Câu 1. Trong , phương trình iz+ − =2 i có nghiệm là:
A z= −1 2i B z= +2 i C z= +1 2i D z= −4 3i
Câu 2. Trong , phương trình (2 )+ i z= −z có nghiệm là: A
10 10
z= + i B
10 10
z= − + i C 5
z= + i D 5 z= − i
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn: (1 )z + i = +7 4i Tìm mơ đun số phức ω = +z 2i
A 4 B 17 C 24 D 5
Câu 4. Trong , phương trình (2−i z) − =4 có nghiệm là: A
5
z= − i B
5
z= − i C
5
z= + i D 5 z= − i
Câu 5. Trong , phương trình ( )(iz z− +2 3i)=0 có nghiệm là: A
2 z z i = = −
. B
0 z z i = = +
. C
0 z z i = = +
D
0 z z i = = −
Câu 6.Cho số phức thỏa mãn z+ −(1 2i z) = −2 4i Tìm mơđun w= −z2 z
A 10 B 10 C 2 D
Câu 7.Trong , phương trình z2− + =z có nghiệm A 3 z i z i = + = −
B
1 2 2 z i z i = + = − C 5 z i z i = + = −
D
1 2 2 z i z i = + = −
Câu 8.Gọi z1 z2là nghiệmcủa phương trình z2−2z+ =5 Tính 4 P=z +z
A −14 B 14 C −14i D 14i
Câu 9.Gọi z z1, nghiệm phức phương trình
2
z + z+ = Giá trị A= z12 + z22 A 6 B 8 C 10 D 10
Câu 10. Gọi z1là nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z2+2z+ =3 Tọa độ điểm M biểu diễn số phức z1 là:
A M( 1; 2)− B M( 1; 2)− − C M( 1;− − 2) D M( 1;− − )i
Câu 11. Gọi z1 z2lần lượt nghiệmcủa phươngtrình: z2−2z+ =5 Tính F= z1 + z2
A 2 B 10 C 3 D 6
(151)A 2; 1− B ± 2;±i C ± ±1; i D 2,±i
Câu 13. Cho số phức z= +3 4i z số phức liên hợp z Phương trình bậc hai nhận z z làm nghiệm
A z2−6z+25=0 B z2+6z−25=0 C
2
z − z+ i= D z − z+ =
Câu 14. Trong , Phương trình z3+ =1 có nghiệm A −1 B 1;1
2 i
±
− C −1;
i
±
D 1;2
i
±
−
Câu 15. Trong , phương trình z4− =1 có nghiệm A
2 z
z i
= ± = ±
B
3 z
z i
= ± = ±
C
1 z z i
= ± = ±
D
1 z
z i
= ± = ±
Câu 16. Trong , biết z z1, nghiệm phương trình
3
z − z+ = Khi đó, tổng bình phương hai nghiệm có giá trị bằng:
A 0 B 1 C D 2
Câu 17. Tìm số phức z thỏa mãn: z− + =(2 i) 10 z z =25
A z= +3 4i z=5 B z= − +3 4i z= −5 C z= −3 4i z=5 D z= +4 5i z=3
Câu 18. Phương trình iz i 0+ − = (với ẩn z) có nghiệm là:
A 1 1i+ B 1 2i+ C 1 2i− D 1 i−
Câu 19. Các bậc hai số phức 3i+ là:
A ± i( − ) B ± −(2 i 3) C ± +(2 i 3) D ± i( + )
Câu 20. Phương trình z z
+ = có nghiệm là: A 2(1 i)
2 ± B ( )
2 i
− ± C 1(1 i)
2 ± D ( )
1 i
− ±
Câu 21. Phương trình z4+ =4 0
có nghiệm là:
A ± +(1 i) ± −(1 i) B ± +(1 i) ± −(2 i) C ± +(2 i) ± −(1 i) D ± +(2 i) ± −(2 i)
Câu 22. Phương trình iz i 0+ − = (với ẩn z) có nghiệm là:
A 1 1i+ B 1 2i+ C 1 2i− D 1 i−
Câu 23. Các bậc hai số phức 3i+ là:
A ± i( − ) B ± −(2 i 3) C ± +(2 i 3) D ± i( + )
Câu 24. Phương trình z z
+ = có nghiệm là: A 2(1 i)
2 ± B ( )
2 i
− ± C 1(1 i)
2 ± D ( )
1 i
− ±
Câu 25. Phương trình z4+ =4 0
có nghiệm là:
(152)Tiết 10, 11, 12
LUYỆN TẬP – KIỂM TRA
CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM- LUYỆN TẬP Câu 1: Tìm số phức z P
– PP
Pbiết
2
(2 ) (3 )
z= −i − i
A 325 18 325
z− = − i B 1 325
325 18
z− = − i
C 1 18 325 325
z− = − i D 325 325
18
z− = − i
Câu : Tìm số phức z + biết z= +(1 i)2010
A z+ =2 21005i B z+ = −2 21005i
C z+ = −2 21005i D z+ = −2 21004i
Câu 3:Cho số phức
2010
1005
5 (1 )
1 2
i z
i
+
= +
+ Tìm số phức
1 2z− +3z A 2z−1+3z= +4 i B 2z−1+3z= −4 i C 2z−1+3z= +3 i D 2z−1+3z= +1 i Câu 4:Tìm phần thực a phần ảo b số phức 10
(1 ) i
i
+
A a = b = 32 B a = 32 b = C a = b = - 32 D a = - 32 b = Câu 5:Tìm phần thực a phần ảo b số phức (3 )(1 ) (2 )
1
i i
i i
+ − + −
+
A
17 11
4 a
b
+
=
+ = −
B
17 11
4 a
b
−
=
− = −
C
17 11
4 a
b
−
=
+ = −
D
17 11
4 a
b
− −
=
− + = −
Câu 6: Tìm phần ảo a số phức z, biết z=( 2+i) (12 − )i
A a= B a= −2
C a= − D a= −2 Câu 7:Cho số phức z thỏa mãn
3 (1 )
1
− =
−
i z
i Tìm mơđun số phức z+iz
A z iz+ = B z iz+ =4
C z iz+ =8 2i D z iz+ =8
Câu 8:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện: z+ −1 2i =2là:
(153)Câu 9:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện: z−2z =6 là:
A
2
( ) :
36
x y
E + = B
2
( ) :
6
x y
E + =
C
2
( ) :
9
x y
E + = D
2
( ) :
4 36
x y
E + =
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z – (3 – 4i)= là:
A đường trịn tâm I(- 3; - 4), bán kính R = B đường tròn tâm I(3; - 4), bán kính R = C đường trịn tâm I(3; 4), bán kính R = D.đường trịn tâm I(3; - 4), bán kính R = Câu 11 : Tìm số phức z thỏa mãn phương trình: z2 − +2z | |z 2= +4 6i
A z = + i B z =
C z = - i D z = i
Câu 12:Tìm số phức z thoả mãn hệ phương trình
( )2
| | (1)
9 (2)
z z
z z
+ =
+ =
A z = + i B z = 2i
C z = + i z = – i, z = – + i z = – – i
D z = - 3i
Câu 13:Tìm tất số phức z thỏa mãn hai điều kiện |z + i – | = z.z=5 A z = - i z = – 2i B z = + i z = – i
C z = i z = – – 2i D z = + i z = – – 2i Câu 14:Tìm tất số phức z thoả mãn : z (2 i)− + = 10 z.z=25
A z = - 4i B z = + 4i z = C z = + 4i z = D z = 4i z =
Câu 15: Tìm số phức z = x + yi, biết hai số thực x, y thỏa mãn phương trình phức sau: x(2 – 3i) + y(1 + 2i)P
3
P = (2 – i)P
A 50 37 37
z= − i B 37 37
50
z= − i
C 37 37
z= − i D 50
37 37
z= − + i
Câu 16:Trên tập số phức, tìm x biết : – 2ix = (3 + 4i) (1 – 3i) A 5
2
x= − i B 5
2 x= + i C 5
2
x= + i D 5
2 x= − i
Câu 17:Trên tập số phức, tìm x biết: (3 + 4i) x = (1 + 2i) (4 + i) A 25 19
25
x= + i B 42 19
25 25
x= + i
C 25 19 42 25
x= + i D 25 25
42 19
x= + i
Câu 18:Gọi zR1R zR2Rlà hai nghiệm phương trình zP
(154)C A = 102 D A = 100
Câu 19:Gọi zR1R, zR2Rlà hai nghiệm phức (khác số thực) phương trình zP
P+ = Tính giá trị biểu thức:A =
| |
1 | | | |
2 2
z z z
z + +
A 33
A= B
4 A= C
33
A= D 35
4 A= Câu 20: Gọi zR1R zR2R nghiệm phức phương trình: zP
2 P
+ 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức
M = zR1RP
P+ z2P
P
A M = 21 B M = 10
C M = 20 D M =
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu
số Đáp án Lời giải
1 C Ta có:
2 2
1
(2 ) (3 ) (4 )(3 ) (3 )(3 ) 18 18 18
1 18 18
1 18 (1 18 )(1 18 ) 325 325 −
= − − = − + − = − − = − + = −
⇒ = +
−
⇒ = = = −
+ + −
z i i i i i i i i i i
z i
i
z i
i i i
2 C ( )2 1005 ( )1005
2010 1005 1005 1004 1005
1005 1005
(1 ) 1 (2 )
2 2
z i i i i i i i i
z i z i
= + = + = + + = = =
⇒ = − ⇒ + = −
3 A
( ) ( )
2010 1005
1005
2 2
1005 1005 1005
1005 1005 1004 4.201
1005 1005
1
1
5 (1 ) 1
1 1 2
1 2 2
1
1 (2 ) 2
2
1
1
1
2 3(1 ) 4
i
z i i i i i
i
i i i i i i i i i
i
z i z
i
z z i i i
−
−
+
= + = − + + = − + + +
+
= − + = − + = − + = −
+
⇒ = + = =
−
⇒ + = + + + = +
4 B Ta có: 2
(1+i) = + + =1 2i i 2i Do đó:
( )5 ( )5
10 5
10
(1 ) (1 ) 2 32
1
(1 ) 32 32
+ = + = = =
⇒ = =
+
i i i i i
i i
i i
(155)
(3 )(1 ) (9 )(1 3)
(2 ) (2 )
4
1
(9 3) (7 3) 4(2 ) 17 11
4 4
+ − + − = − − + −
+
− − + + − − +
= = −
i i i i
i i
i
i i
i Vậy phần thực số phức 17
4
−
và phần ảo số phức 11
+
−
6 C
z=( 2+i) (1− 2i)= +(1 2i)(1− 2i)= +5 2i Do đó: z= −5 2i ⇒Phần ảo số phức z −
7 D
(1 3i) 1 3i 9i 3 3i 8 8(1 i)
z 4 4i z 4
1 i 1 i 1 i 2
z iz 4 4i i( 4i) 8(1 i) z iz 8 2
− − + + − − +
= = = = = − − ⇒ = −
− − −
⇒ + = − − + − + = − + ⇒ + =
8 A Gọi z= +x yi x y( , ∈), ta có: z+ − =1 2i (x+yi) 2+ − =i (x+ +1) (y−2)i
Do đó: 2 2
1 2 ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)
+ − = ⇔ + + − = ⇔ + + − =
z i x y x y
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(–1; 2) bán kính R =
9 A Gọi z= +x yi x y( , ∈), ta có:z−2z=(x−yi)−2(x+yi)= − −x 3yi
Do đó: 2 2 2
2 ( ) (3 ) 36
36
− = ⇔ − + = ⇔ + = ⇔ x + y =
z z x y x y
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip có phương trình tắc là:
2
1 36
x + y =
10 D Gọi z= +x yi x y( , ∈) Ta có z – (3 – 4i) = x – + (y + 4)i Do đó: z – (3 – 4i) = ⇔ (x−3)2 +(y+4)2 =2
⇔ (x – 3)P
P + (y + 4)P
P =
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I(3; 4)− , bán kính R =
11 A Gọi z = a + bi (a, b ∈ R), ta có:
2 2 2
2 | | 2( ) ( )
− + = + ⇔ − + − − + + = +
z z z i a b abi a bi a b i
2
2 2
2 2 ( 1)
2 ( 1)
− =
⇔ − + + = + ⇔
+ =
a a
a a b a i i
b a
1 2
2 ( 1) ( 1)
a a a
b a b a b
= − = =
⇔ ∨ ⇔
+ = + = =
Vậy z = + i
12 C Gọi z= +a bi x y( , ∈) thì:
( )2
|z z| | | 4a a 2
+ = = = ±
⇔ ⇔
= = ±
(156)Do số phức cần tìm là: + i, – i, – + i – – i 13 D Gọi z = a + bi (a, b ∈ ) Ta có:
2
2 2
2
2 2
2 2
| ( 1) ( 1) |
| 1|
5
1
( 1) ( 1) 2
5
5
1
1
( 1) 2
+ − = − + + = ⇔ + = = − = − + + = + − + = ⇔ ⇔ ⇔ + = + = + = = + = + = = − ⇔ ⇔ ⇔ ∨ = = − + + = + − =
a b i
z i
a b
z z
a b
a b a b a b
a b
a b a b
a b a b a a
b b
b b b b
Vậy có hai số phức thỏa mãn đề toán z = + i z = – – 2i 14 B Đặt z = a + bi với a, b ∈ z – – i = a – + (b – 1)i
Ta có: { { { { 2 2 2
z (2 i) 10 (a 2) (b 1) 10 4a 2b 20 a b 25 a b 25
z.z 25
b 10 2a a a
b b a 8a 15
− + = ⇔ − + − = ⇔ + = + = + = = = − = = ⇔ − + = ⇔ = ∨ =
Vậy z = + 4i z =
15 A (1) ⇔ x(2 – 3i) + y(1 + 6i – 12 – 8i) = – 4i –
⇔ (2x – 11y) + ( – 3x – 2y)i = – 4i
⇔ − = = ⇔ − = − − = − 37 37 50 3 11 y x y x y x
Vậy số phức z cần tìm là: 50 37 37
z= − i
16 C (1) (3 )(1 ) (3 12)
5
2 (15 ) 10 5
2
⇔ = − + − ⇔ = − − + +
⇔ = − − ⇔ = − + ⇔ = +
ix i i ix i i
ix i ix i x i
17 D 2 9 42 19
(2) (3 ) (4 2) (3 )
3 25 25
+
⇔ + = + + − ⇔ + = + ⇔ = = +
+
i
i x i i i x i x i
i 18 B
Phương trình cho có hai nghiệm là:
2 19 , 19 i z i
z = − = +
1 50 19 19 50 19 19 2 2 2 2 2 = + ⇒ = + = ⇒ + − = + = = ⇒ − − = − = z z z z z i i z z i i z
⇒ A = |z1|P
P + |z2|P
2
P + |z1+ z2|P
P = 101 19 A Xét phương trình: zP
3
P + = Ta có:
zP
P + = ⇔ (z + 2)(zP
(157)
= + −
− = ⇔
0
2
z z z
⇒Hai nghiệm phức (khác số thực) (1) nghiệm phương trình: zP
2
P – 2z + =
4 1 ) )( (
3 ,
2
1
2
= ⇒ = + −
= ⇒
+ = −
= ⇒
z z i
i z
z
i z
i z
Do đó: 2 2 2 ( )2 2
1
1
1 33
| | | | 3
| | 4
z z
z z
+ + = + − + + + = .
20 C 1 2
2 2 2 2 2
1
1 ,
( 1) ( 3) ( 1) (3) 20
z i z i
z z
= − − = − +
⇒ + = − + − + − + =
KIỂM TRA TIẾT: Chuyên đề số phức
I MỤC TIÊU
Kiểm tra mức độ đạt chuẩn KTKN chương trình mơn Tốn lớp 12 sau học xong chương số phức
1 Kiến thức.
Củng cố định nghĩa số phức Phần thực, phần ảo, môđun số phức Số phức liên hợp Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phức Biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ
2 Kĩ năng.
Tìm phần thực, phần ảo, môđun số phức Điểm biểu diện số phức Thực phép cộng, trừ, nhân, chia số phức
Giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phức
3 Thái độ.
Rèn luyện tính cẩn thận, xác Độc lập làm kiểm tra
II HÌNH THỨC ĐỀ KIỂM TRA
Hình thức kiểm tra: TNKQ Học sinh làm lớp
III MA TRẬN ĐỀ
Chủ đề Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Tổng
Dạng đại số phép toán
trên tập số phức Số câu: Số điểm:1,6 Số câu: Số điểm:1,6 Số câu: Số điểm: 0,8 Số câu: 10 Số điểm: 4,0 Phương trình bậc hai với
hệ số thực Số câu: Số điểm: 1,2 Số câu: Số điểm: 1,2 Số câu: Số điểm: 1,2 Số câu: 10 Số điểm: 4,0 Biểu diễn hình học số
phức
Số câu:
Số điểm:0,4 Số câu: Số điểm: 0,4 Số câu: Số điểm: 1,2 Số câu: Số điểm: 2,0 Tổng Số câu: Số điểm: Số câu: Số điểm: Số câu: Số điểm: Số câu: Số điểm:
IV CÁC CHUẨN ĐÁNH GIÁ
Chủ đề Câu Chuẩn đánh giá
Dạng đại số phép toán
trên tập số
(158)phức Hiểu tính mođun số phức Biết cách tính tổng hai số phức 10 Biết cách nhân hai số phức
11 Hiểu tính tích số phức 12 Hiểu tính lũy thừa số phức 13 Hiểu thực phép chia số phức
14 Vận dung tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
15 Vận dung phép tốn số phức tìm phần ảo số phức thỏa mãn biểu thức cho trước
Phương trình bậc hai với hệ
số thực
16 Biết tính bậc hai mơt số âm cho trước 17 Biết cơng thức tính bậc hai môt số thực âm
18 Nhận biết cơng thức nghiệm phương trình bậc hai với ∆ <0 19 Hiểu giải phương trình bậc hai với hệ số thực
20 Hiểu giải phương trình bậc hai với hệ số thực (dạng đặc biệt) 21 Hiểu giải phương trình chứa ẩn mẫu
22 Vận dụng giải phương trình bậc hai để tính tổng bình phương hai nghiệm
23 Vận dụng giải phương trình bậc hai để tính tổng bình phương mơđun hai nghiệm
24 Vận dụng giải phương trình bậc hai để tính mođun số phức thỏa mãn biểu thức cho trước
25 Vận dụng giải phương trình bậc hai ; tính khoảng cách hai điểm biểu diễn nghiệm phương trình
Biểu diễn hình học số
phức
2 Nhận biết điểm biểu diễn số phức
4 Hiểu xác định tâm bán kính đường trịn biểu diễn số phức cho trước
6 Vận dụng xác định phương trình đường thẳng biểu diễn số phức cho trước
7 Vận dụng xác định phương trình đường thẳng biểu diễn số phức thỏa mãn biểu thức cho trước
8 Vận dụng kiến thức tổng hợp số phức xác định điều kiên để điểm biểu diễn số phức nằm đường trịn có tâm bán kính cho trước
V ĐỀ KIỂM TRA
Câu 1:Số phức z = - 4i có phần thực bằng?
(159)Câu 2:Số phức z = + 3i biểu diễn điểm M có tọa độ là: A (2;-3) B (2;3) C (2 ; 3i) D.(2 ; i) Câu 3: Số phức liên hợp số phức z = a + bi a b, ∈ số phức:
A.z= -a + bi B z = b - C.z = -a - bi D z = a – bi Câu 4:
Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường trịn tơ đậm hình vẽ
Tập hợp điểm biểu diễn số phứcz−1 A đường trịn tâm I(1;2), bán kính R=2 B đường trịn tâm I(2;2), bán kính R=2 C đường trịn tâm I(-3;-2), bán kính R=2 D đường trịn tâm I(2;-2), bán kính R=2
Câu 5:Cho số phức z = + 4i, z bằng?
A B -5 C 25 D
Câu 6:Điểm biểu diễn số phức z = + bi với b ∈R, nằm đường thẳng có phương trình là:
A x = B y = C y = x D y = x +
Câu 7:Điểm biểu diễn số phức z = a + với a ∈R, nằm đường thẳng có phương trình là:
A y = x B y = 2x C y = 3x D y = 4x
Câu 8:Cho số phức z = a + bi ; a b, ∈ Để điểm biểu diễn z nằm hình trịn tâm O bán kính R = 2, điều kiện a b là:
A a + b = B aP
P + bP
P > C aP
P + bP
P = D aP
P + bP
P < Câu 9:Cho số phức z = a + bi a b, ∈, z + z bằng?
A a B -2a C 2b D 2a
Câu 10:Cho số phức z = a + bi a b, ∈, z z bằng? A aP
2
P B bP
P C aP
P + bP
P D aP
P bP
P Câu 11:Thu gọn z = i(2 - i)(3 + i) ta được:
A z = + 5i B z = + 7i C z = D z = 5i Câu 12:Nếu z = - 3i zP
3 Pbằng:
A -46 - 9i B 46 + 9i C 54 - 27i D 27 + 24i Câu 13:Số phức z = 4i
4 i
−
− bằng?
A 16 13i
17 17− B
16 11 i
15 15− C
9
i
5 5− D
9 23
i 25 25− Câu 14:Cho số phức z = 1− 3i
2 Số phức - z + zP
Pbằng: A 3i
2
(160)Câu 15:Cho số phức z = x + yi ≠ (x, y ∈R) Phần ảo số z
z
+ − là:
A
( )2 2
2x
x y
−
− + B ( )2 2
2y
x y
−
− + C ( )2 2
xy
x 1− +y D ( )2 2
x y
x y
+
− +
Câu 16:Căn bậc hai -5 là:
A B − C ± −5 D.±i Câu 17:Căn bậc hai số thực a âm là:
A a B − a C ± −a D.±i a
Câu 18:Cho phương trình bậc hai ax2+bx+ =c 0, có ∆ =b2−4ac, ∆ <0, phương trình có hai nghiệm phức xác định theo công thức:
A 1,2
2 b x
a
− ± ∆
= B.x1,2 b a
− ± ∆
= C 1,2
2 b i x
a
− ± ∆
= D.x1,2 b a
− ± ∆ =
Câu 19: Trong phương trình zP
P+ 2z + = có nghiệm là:
A z1,2 = − ±1 B.z1,2 = − ±1 C.z1,2 = − ±1 i D.z1,2 = ±1 i Câu 20:Trong C, phương trình zP
2
P + = có nghiệm là: A z 2i
z 2i
= = −
B
z 2i z 2i
= + = −
C
z i z 2i
= + = −
D
z 2i z 5i
= + = −
Câu 21:Trong C, phương trình i
z 1+ = − có nghiệm là:
A z = - i B z = + 2i C z = - 3i D z = + 2i
Câu 22: Gọi z z1, 2 hai nghiệm phức phương trình: z2−4z+ =5 Khi phần thực 2
1 z +z là:
A 6 B C.4 D.7
Câu 23:Gọi z z1; 2 hai nghiệm phương trình z2+2z+ =4 0 Khi P= z12 + z2
bằng:
A B -7 C D
Câu 24:Cho số phức z có phần ảo âm thỏa mãn z2 −3z+ =5 0 Modun số phức w =2z− +3 14
A 13 B 17 C 11 D
Câu 25:Gọi z z1; 2 hai nghiệm phương trình − +z2 4z− =9 0 A,B điểm biểu diễn z z1, Độ dài AB là:
A 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5
VI ĐÁP ÁN Mỗi câu 04, điểm
Câu 10 11 12 13
Đ.A A B D A A A A D D C B A A
Câu 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Đ.A D B D D C C A D A D D B
(161)CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHỦĐỀ 1: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Một số công thức tính thể tích: - Thể tích khối chóp: 1 .
3
V = B h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao
- Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S.ABCD.Trên đoạn thẳng SA,SB, S lấy điểm A’,B’,C’ khác với S Ta có:
' ' '
' ' '
. . S A B C
S ABC
V SA SB SC
V = SA SB SC
2 Một số kiến thức bổ trợ: *) Diê ̣n tı́ch hı̀nh phẳng 2.1 Tam giác thường:
* sinC ( )( )( )
2
abc
S AH BC ab p p a p b p c pr
R
= = = − − − = =
* p nủa chu vi, R bán kính đường trịn ngỗi tiếp , r bán kính đường tròn nọi tiếp 2.2 Tam giác cạnh a:
a) Đường cao: h = a 3
2 ; b) S = a 3
4
c) Đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 2.3 Tam giác vuông:
a) S = 1
2ab (a, b cạnh góc vng)
b) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền 2.4 Tam giác vng cân (nửa hình vng):
a) S = 1 2a
P
P(2 cạnh góc vng nhau) b) Cạnh huyền a 2 2.5 Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vng có góc 30P o
Phoặc 60P o
b) BC = 2AB c) AC = a 3
2 d) S = a 3
8 2.6 Tam giác cân: a) S = 1ah
2 (h: đường cao; a: cạnh đáy)
60o 30o
C B
A
C A
S
H
C
B A
S
A'
(162)2.8 Hình thoi: S = 1 2d
R1R.dR2R (dR1R, dR2Rlà đường chéo) 2.9 Hình vng: a) S = aP
2
P b) Đường chéo a 2 2.10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 2.11.Hình Thang: S= ½.h.(đáy lớn + đáy bé)
Chúý : Các ̣ thức lượng tam giác *) Xác định góc đường thẳng d mp(P)
• Nếu d⊥( )P ( ,( )) 90d P =
• Nếu khơng vng góc với ( )P thì:
- Xác định hình chiếu vng góc d’ d (P) Khi : ( ,( )) ( , ') d P = d d =α
*) Xác định góc hai mặt phẳng cắt (P) (Q)
( ) ( ) ( ),
(( ),( )) ( , ) ( ),
P Q d
a P a d
P Q a b
b Q b d
a b I d
∩ =
⊂ ⊥
⇒ =
⊂ ⊥
∩ = ∈
*) Khoảng cách đường thẳng chéo a b * Nếu a⊥b
- Dựng mp(P)⊃b mp(P)⊥a tại A - Dựng AB vng góc với b B
Khi đó: d a b( , )=AB
a
b A
B
* Nếu a b không vng góc Cách 1:
- Dựng mp(P)⊥a tại O ( )P ∩ =b { }I
- Dựng hình chiếu vng góc b’ b (P) -Trong (P) dựng OH vng góc với b’tại H -Từ H kẻ đường thẳng // với a cắt b B -Từ B kẻ đường thẳng // với OH cắt a A Khi đó: d a b( , )=AB
Cách 2:
- Dựng (P)⊃b mp(P)//a
- Dựng (Q) thỏa mãn A∈(Q), A∈a, (Q)⊥(P),(Q)∩(P)= c
- Trong (Q) kẻ AB vng góc với c B Khi đó: d a b( , )=AB
a b
b' O
I H
B A
a
c
b A
(P) (Q)
(163)B KỸNĂNG CƠ BẢN
B 1: Xác định đáy đường cao khối chóp B2: Tính diện tích đáy B chiều cao h
B 3: Áp dụng công thức V =
1 .
3B h
Chúý: Đường cao hình chóp
1/ Chóp có cạnh bên vng góc, đường cao cạnh bên
2/ Chóp có hai mặt bên vng góc với đáy; đường cao giao tuyến hai mặt bên vng góc đáy 3/ Chóp có mặt bên vng góc đáy đường cao nằm mặt bên vng góc đáy
4/ Chóp đều, đường cao từ đỉnh đến tâm đa giác đáy
5/ Chóp có hình chiếu vng góc đỉnh xuống mặt đáy , đường cao từ đỉnh tới hình chiếu C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài tâ ̣p 1.
Cho khối tứ diện ABCD cạnh 2a, M trung điểm AD a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD
b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC) Giải:
a) Gọi E trung điểm BC O tâm ABC
∆ Vì ABCD tứ diện nên DO⊥(ABC)
AE⊥BC và , 2
3
∈ = = a
O AE AO AE
Trong ∆vuông DAO: = 2−
DO AD AO
2 2
(2 ) ( )
3
= a − a = a
Mặt khác: ( )
2
2
2
3
= =
ABC a
S a ,
Vậy thể tích khối tứ diện ABCD
1 . 3 ABC
V = S DO
3
1 2 6 2 2
. 3.
3 3 3
= a a = a
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC)
MH ;
2
a MH = DO=
A
B
C D
E O
H M
(164)Giải:
a Gọi O giao điểm AC BD Vì ABCD hình
vng cạnh 2a nên ta có: AC⊥BD
1
AO AC a
2
= =
Vì SA⊥(ABCD) Khi AO hình chiếu vng góc SO (ABCD) mà BD⊥AO nên SO⊥BD Do
((SBD),(ABCD)) ( ,= SO AO)=SOA=600 Trong tam giác vng SAO ta có:
SA=AO.tanSOA 2. 1 6
6 3
a a
= = ;
( )2 2
2 4
= =
ABCD
S a a (đvdt)
Vậy
1
. 3
=
S ABCD ABCD
V S SO
3
1 6 2 6
.4
3 6 9
= a a = a
O A
D C
B S
b Vì SA⊥(ABCD) nên AC hình chiếu vng góc SC (ABCD).Do
( ,(SC ABCD)) ( ,= SC AC)=SCA=300.Trong tam giác vng SAC ta có:
SA=AC.tanSCA 2 1 2 3
3 3
a a
= = ; Gọi b độ dài cạnh hình vng ABCD Ta có
2=2 ⇒ = 2
b a b a Khi ( )
2
2
= =
ABCD
S a a (đvdt)
Vậy
1
. 3
=
S ABCD ABCD
V S SO
3
1 2 3 4 3
.2
3 3 9
= a a = a (đvtt)
Bài tâ ̣p 3:Tính thể tích khối chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB=a,BC=3a, ( )
SA⊥ ABCD Góc SD ABCD 450 Giải:
a) Vì SA⊥(ABCD) nên AD hình chiếu vng góc SD (ABCD).Do
( ,(SD ABCD)) ( ,= SD AD)=SDA=45
Xét tam giác SAD có SDA =450 SAD =900nên SA=AD=3a
Ta có SABCD =AB BC. =a a.3 =3a2, Vậy thể tích khối tứ diện ABCD
2
1 1
. .3 . 3
3 3
= = =
S ABCD ABCD
V S SA a a a
A
D C
B S
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD hình vng cạnh 3a Mặt bên (SAB) tam giác vuông góc với mặt đáy.Gọi H trung điểm AB
a CMR SH ⊥(ABCD)
(165)c Gọi M điểm nằm AD cho
=
AM AD.Tính VS ABM. theo a Giải:
a Vì ABC tam giác cạnh 3a H trung điểm AB nênSH⊥AB SH 3a 3
2
=
Khi Ta có :
( ) ( )
( ) ( )
SAB ABCD
SH AB SH ABCD
SH SAB
⊥
⊥ ⇒ ⊥
⊂
b Mặtkhác: ( )2
3 9
= =
ABCD
S a a
Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD
1
. 3
=
S ABCD ABCD
V S SH
3
1 3 3 9 3
.9
3 2 2
= a a = a
A
B
D
C S
H M
c.Vì M điểm nằm AD thỏa mãn
4
=
AM AD nên.Tính
2
1 1 1 1 9
. .
4 4 2 8 8
= = = =
ABM ABD ABCD ABCD
a
S S S S
Vậy Thể tích khối tứ diện S.ABM
2
1 1 9 3 3 9 3
. . .
3 3 8 2 16
= = =
S ABM ABM
a a a
V S SH
Bài tâ ̣p 5: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy góc 60P
0
P Tính thể tích khối chóp * HạSH ⊥(ABC) kẻ HM ⊥AB, HN⊥BC, HP ⊥AC * Góc tạo mặt bên (SAB) với đáy (ABC) ϕ = SMH
∧
= 60P
P * Ta có: Các ∆vng SMH, SNH, SPH (vì có
chung cạnh
góc vng góc nhọn 60P
P)
* Suy ra: HM = HN = HP = r bán kính đường trịn nội tiếp ∆ABC
* Tính: VRS.ABCR = 1 3Bh =
1 3S
RABC R.SH
* Tính: SRABCR = p(p a)(p b)(p c)− − −
= p(p AB)(p BC)(p CA)− − − (cơng thức Hê-rơng* Tính: p = 5a+6a+7a =9a Suy ra: SRABCR =
2 6 6a
7a
6a 5a
N M
H P
C A
(166)SH
MH ⇒SH = MH tan60P
* Tính MH: Theo cơng thức SRABCR = p.r = p.MH ⇒MH = SABC
p =
2 6 3
a
Suy ra: SH = 2a 2 Vâ ̣y: VRS.ABCR = 8a 3 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đề UsaiU? A.Hình lập phương đa điện lồi B.Tứ diện đa diện lồi
C.Hình hộp đa diện lồi
UD.UHình tạo hai tứ diện ghép với đa diện lồi
Câu 2:Khối đa diện loại {4;3} cósố đỉnh là: A. B C. D 10 Câu 3: Khối mười hai mặt thuộc loại
UA.U {5, 3} B. {3, 5} C. {4, 3} D. {3, 4}
Câu 4:Khối đa diện sau có mặt khơng phải tam giác đều?
UA.UThập nhị diện B.Nhị thập diện C.Bát diện D.Tứ diện Câu 5:Kim Tự Tháp Ai Cập có hình dáng khối đa diện sau
A.Khối chóp tam giác B Khối chóp tứ giác
C.Khối chóp tam giác UD.UKhối chóp tứ giác
Câu 6:Số đỉnh hình mười hai mặt : UA U 20 B. 12 C. 18 Câu 7:Số mặt phẳng đối xứng hình lập phương là: A B C. UD.U Câu 8:Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung nhất:
A Hai mặt UB.UBa mặt C.Bốn mặt D Năm mặt Câu 9:Cho khối chóp tích V Khi giảm diện tích đa giác đáy xuống
3 lần thể
tích khối chóp lúc bằng: A V
9 B V
6 UC U
V
3 D 27 V
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a Biết SA⊥(ABCD)
SA a= Thể tích khối chóp S.ABCD là: A a3 B a
3
4 C a3
3 UD.U
a3 12
Câu 11: Cho khối tứ diện ABCD Lấy điểm M nằm A B, điểm N nằm C D Bằng hai mặt phẳng (MCD) (NAB) ta chia khối tứ diện cho thành bốn khối tứ diện:
A AMCN, AMND, AMCD, BMCN UB.U AMCD, AMND, BMCN, BMND C AMCD, AMND, BMCN, BMND D BMCD, BMND, AMCN, AMDN
Câu 12 Cho hình chóp S ABCcó đáy ABC tam giác vng cân A AB, 2= cm tích
8cm Chiều cao xuất phát từ đỉnh Scủa hình chóp cho
(167)Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có SA=a, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Thể tích khối chóp S.ABC là:
A. 6a
4 B.
3 6a
24
UC.U 6a
12 D.
3 6a
Câu 14:Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 3cm Cạnh bên tạo với đáy góc 60P
0
P Thể tích khối chóp là: A
2
UB.U
6
C
3
D
6
Câu 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B với AC=a, biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 600 Thể tích khối chóp S.ABC
A. a3 B
6 a
UC.U
6 12 a
D
6 24 a
Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a SA vng góc với đáy, mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 600 Thể tích khối chóp S.ABCD
A. a3 B.
3 a
UC.U
3 a
D.
3 a
Câu 17. Cho tứ diện ABCD Gọi B’ C’ lần lượt trung điểm AB AC Tỉ số thể tích khối tứ diện AB’C’D và khối tứ diện ABCD
A.
2 UB.U
1
4 C.
1
6 D.
1
Câu 18: Cho hình chóp tam giác có đường cao 100 cm cạnh đáy 20 cm, 21 cm, 29 cm Thể tích hình chóp
A.6000cm3 B 6213cm3 UC.U
3
7000cm D. 7000 2cm3
Câu 19: Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy a Thể tích khối chóp S.ABC ( biết cạnh bên 2a)
UA.U
3
11 12 S ABC
a
V = B.
3
3 S ABC
a
V = C.
3
12 S ABC
a
V = D
3
4 S ABC
a
V =
Câu 20: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vng cạnh 3a Tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vng góc với đáy Thể tích khối chóp S.ABCD là (biết góc SC (ABCD) 60P
0 P)
A. VS ABCD. =18a3 UB.U
3
9 15 S ABCD
a
V = C. VS ABCD. =9a3 D. VS ABCD. =18a3 15 Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành có M N theo thứ tựlà trung điểm SA, SB Khi .
.
V
S CDMN V
S CDAB
(168)A.3
4 B
1
8 C
3
8 D
1 4 Câu 22: Cho tứ diện ABCD có cạnh BA, BC, BD đơi vng góc với nhau:
BA = 3a, BC =BD = 2a Gọi M N trung điểm AB AD Thể tích khối chóp C.BDNM
A V =8a3 B
3
3 a
V = UC.U
3
2 a
V = D. V =a3
Câu 23:Cho hình chóp S.ABCD biết ABCD hình thang vng A D; AB = 2a; AD = DC = a Tam giác SAD vuông S Gọi I trung điểm AD Biết (SIC) (SIB) vng góc với mp(ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
A. 3
a
UB U
a
C 3
4
a
D 3
3
a
Câu 24: Cho khối chóp S.ABC có đườngcao SA a, đáy tam giác vng cân đỉnh B có BA = BC = a Gọi BP
’
Plà trung điểm SB, CP ’
Plà chân đường cao hạ từ A tam giác SAC Thể tích khối chóp S.ABP
’ PCP
’ P A.
36 a
V = B.
12 a
V = UC.U
36 a
V = D.
4 a V =
Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60P
0
P Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Thể tích khối chóp S.ABCD theo a
A.
3 13 a V
7
= UB.U
3 15 a V
5
= C.
3 a V
5
= D.
3 15 a V
15
(169)CHỦĐỀ 2: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Kiến thức bản
- Thể tích khối hộp chữ nhật: V =a b c . Trong a,b,c ba kích thước Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: V =a3
Trong a độ dài cạnh khối lập phương
- Thể tích khối lăng trụ: V =B h. Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao Kiến thức bổ trợ
Tương tự chủ đề B KỸNĂNG CƠ BẢN
B1: Xác định đáy đường cao khối hộp,khối lăng trụ B2: Tính diện tích đáy B chiều cao h
B3: Áp dụng công thức V = B h.
C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài tâ ̣p 1: Tính thể tích khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao 2a 15 Giải: Giả sử khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy
a chiều cao 2a 15 ABCA’B’C’ Khi Thể tích khối lăng trụ
2
ABCA'B'C' ABC a 3a
V AA'.S 2a 15
4
= = =
6 12
=a (đvtt)
A'
B'
C'
A
B
C
Bài tâ ̣p 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.AP ’
PBP ’
PCP ’
Pcó đáy ABC tam giác cạnh a điểm AP ’
P cách điểm A, B, C Cạnh bên AAP
’
Ptạo với mp đáy góc 60P
P Tính thể tích lăng trụ Giải:
a Gọi H hình chiếu ⊥ A’trên (ABC) Do A’A=A’B=A’C nên H tâm tam giác ABC Ta có AH=a 3
3
A'AH=60 Trong ∆ vng AA’H ta có
A’H = AH tan60P
P = 3
3 3
a . =a
ABC
S =
3 4
a
Vậy Thể tích khối lăng trụ
A
B
C A'
B'
C'
(170)2 ' ' '
3
'
4
= = =
ABCA B C ABC
a a
V S A H a
Bài tâ ̣p 3: Tính thể tích khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo AC'=2a 6 Giải:
Gọi b độ dài cạnh khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ Ta có
A'C'=a 2;AA'=b AC; '=b 3
Mặt khác Theo giả thiết ta có AC'=2a 6 nên 3
b =2a 6⇒ =b 2 2a
Khi ( )2
2 2 8
ABCD
S = a = a Vậy Thể tích khối lăng trụ
' ' ' '
2
. '
2 2.8 16 2
= =
= =
ABCD A B C D ABCD
V S AA
a a a
D
A B
C
D'
A'
C'
B'
Bài tâ ̣p 4: Cho lăng trụ đứng ABC.AP ’
PBP ’
PCP ’
P, đáy ABC tam giác vuông A, AC = a, BC = 2a AAP
’
P= 3a Tính thể tích lăng trụ * Đường cao lăng trụ AAP
’ P = 3a * Tính: VABC.A B C′ ′ ′ = Bh = SABC.AAP
’
* Tính: SABC = 1
2AB.AC (biết AC = a) * Tính AB: Trong ∆VABC A, ta có: ABP
2 P = BCP
2 P – ACP
2 P = 4aP
2 P – aP
2 P = 3aP
2
ĐS: VABC.A B C′ ′ ′ =
3 3
2
a
Bài tâ ̣p 5: Cho hình hộp ABCD.AP ’
PBP ’
PCP ’
PDP ’
Pcó đáy hình thoi cạnh a, góc A
∧
= 60P
P Chân đường vng góc hạ từ BP
’
Pxuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo đáy Cho BBP ’
P = a a) Tính góc cạnh bên đáy
b) Tính thể tích hình hộp
a)Gọi O giao điểm đướng chéo AC BD * BP
’
PO ⊥(ABCD) (gt) * Góc cạnh bên BBP
’
Pvà đáy (ABCD)
=B BO'
ϕ
* Tính ϕ =B BO' Trong ∆VBBP ’
P
O O, ta có: cosϕ = OB
BB′ =
OB a
+ ∆ABD cạnh a (vì A
∧
= 60P
P AB = a) ⇒DB = a
ϕ
a
60° O D'
C'
B' A'
D C
2a 3a
a
C' B'
A'
C B
(171)⇒OB = 1
2DB = 2
a
Suy ra: cosϕ = 1 2 ⇒
ϕ = 60P
b) * Đáy ABCD tổng ∆đều ABD BDC ⇒ SABCD=
2 3 4 a = 3 2 a
* VABCD.A B C D′ ′ ′ ′ = Bh = SABCD.BP ’
PO = 3 2 a BP ’ PO
* Tính BP ’
PO: BP ’
PO = 3 2
a
(vì ∆BP ’
PBO nửa tam giác đều) ĐS:
3 3
4
a
Bài tâ ̣p 6: Cho lăng trụ đứng ABC.AP ’
PBP ’
PCP ’
P, đáy ABC tam giác vuông A, AC = a, C
∧
= 60P
P, đường chéo BCP
’
Pcủa mặt bên (BCCP ’
PBP ’
P) hợp với mặt bên (ACCP ’
P AP
’
P) góc 30P
P a) Tính độ dài cạnh ACP
’ P
b) Tính thể tích lăng trụ * Xác địnhϕ góc cạnh BCP
’
P mp(ACCP ’
PAP ’
P) + CM: BA ⊥( ACCP
’ PAP
’ P )
BA ⊥AC (vì ∆ABC vng A) BA ⊥AAP
’
P (ABC.AP ’
PBP ’
P CP
’
Plăng trụ đứng) + ϕ = BC A
∧
′ = 30P
P Tính ACP
’
P: Trong ∆VBACP ’
Ptại A (vì BA ⊥ACP
’ P) tan30P
0 P =
AB
AC′ ⇒ACP ’
P =
0 30
AB
tan = AB 3
* Tính AB: Trong ∆VABC A, ta có: tan60P
P =
AB AC
⇒AB = AC tan60P
P = a 3 (vì AC = a) ĐS: ACP ’
P = 3a b) VABC.A B C′ ′ ′ = Bh = SABC.CCP
’ P Tính: SABC = 1
2AB.AC = 1
2.a 3.a =
3 2
a
Tính CCP ’
P: Trong ∆VACCP ’
Ptại C, ta có: CCP ’2
P = ACP ’2
P – ACP
P = 8aP
2
P ⇒CCP ’
P = 2a 2 ĐS: VABC.A B C′ ′ ′ = aP
P 6 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1:Khi tăng độ dài tất cạnh khối hộp chữ nhật lên gấp đơi thể tích khối hộp tương ứng sẽ:
A tăng lần B tăng lần C tăng lần D tăng lần
(172)UA UV Bh= B
V = Bh C
V = Bh D
V = Bh
Câu 3.Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi O giao điểm AC' B D' Phép đối xứng tâm O biến lăng trụ ABD A B D ' ' ' thành hình đa diện sau đây:
A ABD A B D ' ' ' B BCD B C D ' ' ' C ACD A C D ' ' ' D ABC A B C ' ' ' Câu 4:Cho khối lập phương biết tăng độ dài cạnh khối lập phương thêm 2cm thể tích tăng thêm 98cmP
3
P Hỏi cạnh khối lập phương cho bằng:
UA.U cm B cm C cm D cm
Câu 5:Một khối hộp chữ nhật ( )H có kích thước a b c, , Khối hộp chữnhật ( )H′ có kích thước tương ứng ,2 3,
2 a b c
Khi tỉ số thể tích ( )
( )
H
H
V V
′
A
24 B
12 C
2 UD U
Câu 6:Cho hình lăng trụ tam giác có cạnh a .Thể tích khối lăng trụ là: A
3
2
3 a
B
3 a
C
3 a
UD.U
3 a
Câu 7:Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C 1 1 1 có đáy ABC tam giác vng cân A, AB=2 2cm AA1=2cm Tính thể tích V khối chóp BA ACC1 1
A 16 3
V = cm B 18 3
V = cm C 12 3
V = cm UD.U
3 V = cm
Câu 8: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có cạnh đáy a , diện tích mặt bên ABB A' '
bằng
2a Tính thể tích lăng trụ ABC A B C ' ' ' UA.U
3 a
B
3 a
C
3 a
D
3 12 a
Câu 9: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A B C ' ' 'có đáy ABClà tam giác vng cân A, có cạnh
BC =a A B' =3a Thể tích khối lăng trụ
A a3 B a3 UC.U
3
2a D 3a3
Câu 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’có đáy tam giác vng cân B, AC =a 2, cạnh bên AA'=2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’
A
a
B
3 a
C.a3 D.
3
a
Câu 11: Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' 'có đáy tam giác cạnh a, góc cạnh bên
mặt đáy
30 Hình chiếu A' mặt phẳng đáy (ABC)trùng với trung điểm cạnh BC Thể tích khối lăng trụ
A
3 a
UB.U
3 a
C
3 a
D
(173)Câu 12: Với bìa hình vng, người ta cắt bỏ góc bìa hình vng cạnh 12cm gấp lại thành hình hộp chữ nhật khơng có nắp Nếu dung tích hộp
4800cm cạnh bìa có độ dài
A 42cm B 36cm UC.U 44cm D 38cm
Câu 13: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A B C ' ' 'có đáy ABClà tam giác vng cân A, có cạnh
BC =a A B' =3a Tính thể tích khối lăng trụ
A a3 B a3 UC.U
3
2a D 3a3
Câu 14: Tổng diện tích mặt hình lập phương 96 Thể tích khối lập phương là:
A 84 B 91 UC.U 64 D 48 Câu 15: Thể tích khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ (biết AD’ = 2a) A V =a3 B V =8a3 UC U
3 2
V = a D 2 3
V = a
Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a AA’ a 2 Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
A
7
= a
V B
6 a
V = C
6 12 a
V = UD.U
6
=a
V
Câu 17: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' 'có đáy tam giác cân, AB= AC=a, BAC=1200 Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc 60P
0
P Thể tích lăng trụ ABC.A'B'C' bằng A
3
3 2
a
B
3
3 3 2
a
C a3 U D U 3
8
a
Câu 18: Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C' có đáy tam giác cân, AB = AC =a, BAC=60 Mặt
phẳng (AB’C’) tạo với đáy góc 60P
P Tính thể tích khối trụ A
3
a 3 8
UB.U
3
3a 3
8 C
3
a 3
4 D
3
2a 3 4 Câu 19: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn 60P
0
PĐường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Thể tích hình hộp là
A
3
a 3
8 B
3
3a 3
2 UC U
3 a 6
2 D
3
a 3 4
Câu 20:Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng A với AC = a , ACB= 60 P
o
Pbiết BC' hợp với (AA'C'C) góc 30P
P
Thể tích lăng trụ A
3
a 2
6 B
a 7 C a 6
2 UD U
3 a 6
Câu 21: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60P
o
P Thể tích khối hộp chữ nhật UA.U
3
a
2 B
3
a
2 C
3 a 6
3 D
(174)Câu 22: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A' cách A,B,C biết AA' = 2a 3
3 Thể tích lăng trụ A
3
a
2 UB U
3
a
4 C
3 a 3
3 D
3 a 3
Câu 23: Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có đáy tam giác cạnh a , Hình chiếu vng góc điểm
A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC a
4 Khi thể tích khối lăng trụ UA.U
3 12 a
B
3 a
C
3 a
D
3
a
Câu 24: Cho lăng trụ tam giác ABC.AP ’
PBP ’
PCP ’
Pcó đáy ABC tam giác cạnh a ,
a AA'=
2 hình chiếu A (A’B’C’) trung điểm B’C’ Tính thể tích lăng trụ
UA.U 3
8 a
B
8 a
C
3 a
D 3a3
Câu 25: Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A' lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A C' mặt đáy 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
UA.U
3 3
8 a
B
3
8 a
C 3
4 a
D 3
8 a
(175)CHỦ ĐỀ III : MẶT NÓN, MẶT TRỤ
A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Mặt nón trịn xoay
+ Diện tích xung quanh mặt nón: Sxq =πrl
+ Diện tích tồn phần mặt nón: STP =πrl+πr2 =πr l( +r)
+ Thể tích khối nón: 1
3
n
V = Bh= πr h
2 Mặt trụ trịn xoay
+ Diện tích xung quanh mặt trụ: Sxq =2πrl
+ Diện tích tồn phần mặt trụ : ( )
2 2
TP
S = πrl+ πr = πr l+r
+ Thể tích khối trụ :
Tr
V = Bh=πr h * Chú ý :
- Mặt trụ có độ dài đường sinh chiều cao
- Diện tích xung quanh mặt trụ diện tích hình chữ nhật có hai kích thước chu vi đường trịn đáy độ dài đường sinh
- Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác trùng với trọng tâm tamgiác - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông trùng với trung điểm cạnh huyền
- Tâm đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp hình vng trùng với tâm hình vng - Tâm đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật trùng với tâm hình chữ nhật
B KĨ NĂNG CƠ BẢN
- Xác định bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp đa giác đáy hình nón, hình trụ - Xác định độ dài đường sinh
- Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần mặt nón, mặt trụ - Tính thể tích khối nón, khối trụ
C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1) Mặt nón
(176)vng A AC, , = a ABC= °30 Tính độ dài đưịng sinh hình nón nhận quay tam
giác ABC quanh trục AB
Lời giải: Độ dài đường sinh
sin AC
l BC a
B
= = =
Bài tập 2: Cho hình nón, mặt phẳng qua trục cắt hình nón tạo thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung
quanh hình nón thể tích khối nón Lời giải
Mặt phẳng qua trục cắt hình nón tạo tam giác cạnh 2a
⇒ =2R=2a ⇒ h= 2−R2 = (2 )a 2−a2 =a 3
Diện tích xung quanh : .2 2
xq
S =πRl=π a a= πa Thể tích khối trụ : ( ) = = 32 = 3
3 3
π π π
non
R h a a a
V
Bài tập 3: Một hìnhnón có đường sinh 2a thiết diện qua trục tam giác vng a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón
b) Tính thể tích khối nón Lời giải
a) Thiết diện qua trục tam giác SAB vuông cân S nên A∧ = B
∧
= 45P
⇒ SO = OA = h=R= 2 =a
⇒ SRxqR =
2 2 2 2 2
R .a a a
π = π = π
⇒ SRtpR = SRxqR + SRđáyR =
2 2
2 2πa +2πa =(2 2)+ πa b) V =
3
2
1 1 2 2
2 2
3 3 3
a R h a a π π = π =
Bài tập 4: Cho khối chóp S.ABCD có AB = a, gọi O tâm đáy, 60 SAO= a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
b) Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S, đáy đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD
Lời giải
a) Vì S.ABCD nên SO⊥(ABCD) Ta có :SABCD =a2;
SOA
∆ vng O có :
2
tan tan 60
2 2
a a a
SO= AO SAO= = =
=2a
S
B A
O
=2a
45o
S
B A
O
S
A
B C
D
O
2a 30°
A C
(177)3
S.ABCD ABCD
1 a a
V S SO a
3
⇒ = = = (đvtt)
b) Gọi l, r đường sinh,bán kính đáy hình nón
Ta có :
2 a r=OA= ;
2
2
2
2
2 2
a a a a
l=SA= SO +AO = + = + =a
2 xq
a
S rl a a
2
⇒ = π = π = π (đvdt)
Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc SAC 45P o
P a) Tính thể tích khối chóp
b) Tính diện tích xung quanh mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Lời giải
a) Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ SO ⊥ (ABCD)
= ; ; = = = .tan 450 = 2.
3
V B h B a h SO OA a ⇒
3 2
6
a V=
b) Ta có R =OA, l =SA= a Vậy =π =π
2
2
xq
a a
S a
2) Mặt trụ
Bài tập 1: Cho hình trụ có bán kính R = a, mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo thiết diện có diện tích 6aP
2
P Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ
Lời giải
Mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo hình chữ nhật ⇒ S = .2R=6a2
⇒
a a
R
= =
Diện tích xung quanh : 2 2 3 6
xq
S = πRl= π a a= πa
Thể tích khối trụ : 2
( )T 3
V =πR h=π a a= πa
Bài tập 2: Một thùng hình trụ tích 48 ,π chiều cao Tính diện tích xung quanh thùng
Lời giải: 2 48
V R h 48 R 4
3
= π = π ⇒ = = xq
S = π = π2 Rl 2 4.3=24π (do l =h)
Bài tập 3:Người ta cần đổ ống thoát nước hình trụ với chiều cao , độ dày thành ống , đường kính
(178)của ống 80cm Tính lượng bê tơng cần phải đổ Lời giải:
Gọi V ,V1 2 thể tích khối trụ bên ngồi bên Do lượng bê tơng cần phải đổ là:
2 3
1 40 200 25 200 195000 0,195
V = −V V =π −π = πcm = πm
Bài tập 4: Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O;r) (O’;r) Khoảng cách hai đáy OO '=r Một hình nón có đỉnh O’ có đáy đường trịn (O;r) Gọi SR1Rlà diện tích xung quanh hình trụ, SR2Rlà diện tích xung quanh hình nón Tính tỉ số
1 S S Lời giải :
2
1 3
S = πr r = πr
Gọi O’M đường sinh hình nón 2
' '
O M = OO +OM = r
2 2
S =πr r= πr
Vậy
2
2
3
S r
S r
π π
= =
Bài tập 5: Trong không gian cho hình lập phương cạnh a
a) Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt hình lập phương cạnh a Tính thể tích khối trụ
b) Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn ngoại tiếp hai mặt hình lập phương cạnh a Tính thể tích khối trụ
Lời giải:
a) Ta có: r = a; h a
= =
Vậy 2
.( )
=π =π a ⇒
V r h a
3
4
=πa
V b) Ta có: r = a 2; h a
2
= =
Vậy 2
.( ) a
V =πr h=π a⇒
3
2 a V =π
Bài tập 6:Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy tam giác cạch a, mặt phẳng A’BC hợp với mặt phẳng đáy (ABC) góc 60P
0 P
a) Một trụ tròn ngoại tiếp hình lăng trụ Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ b) Một trụ trịn nội tiếp hình lăng trụ Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ Lời giải
a) Ta có: AM a r AG a
2
= ⇒ = = ; h = AA’ = AM.tan 600 3a
=
O
O
M
3 r r
200 cm 40 cm
15 cm
_
D ' _C '
_ B ' _
A '
_
D _C
_ B _
A
_ C' _
B' _
A'
_ C _
A
(179)Vậy SRxqR =
2 a 3a
2 r.l a 3
π = π = π ; V =
2
3
2 a 3a a
r h
3 2
π
π = π =
b) Ta có: r GM a
= = Vậy SRxqR =
2 a 3a a r.l
6 2
π π = π = ; V =
2
3
2 a 3a a
r h
6
π
π = π =
D BÀI TẬP TRĂC NGHIỆM
Câu Cho hình nón đỉnh S đáy hình nón hình trịn tâm O bán kính R Biết SO=h Đường sinh hình nón :
A 2
2 R +h UB.U
2
R +h C 2
h −R D 2 h −R
Câu Đườngtrịn đáy hình nón có đường kính 8cm, đường cao 3cm Giao mặt phẳng chứa trục hình nón hình nón tam giác cân Chu vi tam giác : A 12cm B 14cm C 16cm U D.U 18cm
Câu Cho tam giác ABC vuông A, AB = 2cm, AC = 3cm Quay hình tam giác ABC quanh trục AB ta hình nón có diện tích xung quanh :
UA.U
2
3π 13cm B π 13cm2 C 3π 5cm2 D π 5cm2
Câu Cho hình trụ có hai đường trịn đáy (O cm; ) (O'; 2cm) Mặt phẳng (P) vng góc với
OO’ cắt OO’ (P) cắt hình trụ theo đường trịn có chu vi :
A 2πcm U B.U 4πcm C 6πcm D 8πcm
Câu Cho hình trụ có hai đường trịn đáy (O; R) (O'; R), OO '=h Mặt phẳng (P) chứa OO’ Thiết diện tạo mp(P) hình trụ có chu vi :
UA.U 2h+4R B 2h+2R C h+4R D h+2R Câu Cho hình nón có độ dài đường cao a 3, bán kính đáy a Tính độ dài đường sinh l và độ lớn góc đỉnh α
A l = a α = 30P
PR R UB.U l = 2a α = 60P
PC l = a α = 60P
P D l = 2a α = 30P Hướng dẫn:
Đường sinh 2 2
( 3) 2a
l = h +r = a +a =
Ta có góc đỉnh 2α, với 0
sin 30 60
2a
r a
l
α = = = ⇒ =α ⇒ α = Đáp án: B
Câu Một hình nón có bán kính đáy R, đường cao
R
Khi góc đỉnh hình nón
2α UA U α =
3 sin
5 B α = cos
5 C α = tan
5 D α = cot
(180)Hướng dẫn: sin
5
3
= R =
R
α
Câu Cho tam giác ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên hình nón Diện tích xung quanh hình nón là:
A πa2 B aπ UC U π
1 a
2 D a4π
Hướng dẫn : Ta có: l a= ; r= a
2 Vậy xq = π = π
S r.l a
2
Câu 9.Trong không gian cho tam giác ABC vuông cân A, AB = AC = 2a Độ dài đường sinh l hình nón, nhận quay tam giác ABC xungquanh trục AC
A l =a UB Ul =2a C l =2a D l =a Hướng dẫn: l = 4a2+4a2 =2a 2
Câu 10 Cho hình nón, mặt phẳng qua trục cắt hình nón tạo thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón
A 6πa2; 9πa3 B. πa2; 9πa3 UC.U
3
3 3 2
2πa ; πa D 2πa2; 3πa3 Hướng dẫn: Ta có bán kính r = a, độ dài đường sinh l = 2a, chiều cao h = a Vậy
3
3 3 2
2 ;
= =
xq V
a
S πa π
Câu 11 Một hình tứ diện cạnh a có đỉnh trùng với đỉnh hình nón trịn xoay cịn ba đỉnh cịn lại tứ diện nằm đường tròn đáy hình nón Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay
A 2
3 xq
S = πa B 3
xq
S = πa C Sxq =πa2 U D U
2
3
xq
S = πa Hướng dẫn: Độ dài đường sinh l =a, bán kính 3
3 a
r = Vậy 1 3
3 xq
S = πa
Câu 12.Gọi S diện tích xung quanh hình nón tròn xoay sinh đoạn thẳng AC’ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b quay xung quanh trục AA’ Diện tích S là:
A b
π B πb2 C
3 b
π UD U
2 b
π
Hướng dẫn:
2;
= =
= =
r b l b
S πr l πb
Câu 13 Cho hình lập phương
(181)A’B’C’D’ Diện tích xung quanh hình nón là: A. 3 a π
; B.
2 a
π
; UC.U
5 a
π
; D.
6 a
π
Hướng dẫn:Độ dài đường sinh bằng: 2 a
l a ( a)
2
= + =
Diện tích xung quanh hình nón bằng: xq
a a a S rl
2
π = π = π =
Câu 14 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, góc mặt bên với mặt đáy 60P
0
P Một hình nón có đỉnh trùng với đỉnh S hình chóp, đáy nón ngoại tiếp đáy hình chóp Diện tích xung quanh hình nón
A. a 21 π B. a π C. a π
UD.U a
6
π
Hướng dẫn: Ta có AH = a 3; r OA a 3; OH a
2 = = =
Góc mặt bên với mặt đáy góc SHO = 60P
Suy SO OH tan 600 a l SA OA2 SO2 a 21
2
= = ⇒ = = + =
Vậy xq
a a 21 a S r.l
3 6
π
= π = π =
Câu 15.Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cmP
P Với chiều cao h bán kính đáy r Tìm r để lượng giấy tiêu thụ
A 3 2 r π
= UB U
8 3 2 r π = C 3 2 r π = D 6 3 2 r π =
Hướng dẫn :
4
2
2
4
2 2
2
8
2 6
8
1. . 3
3
3
3
3 (3 )
' ;
xq
xq
V
V R h h
R R
R
S Rl R h R R R R
R R
R R
R R R
S
R R R R
π π π π π π π π π π π π π π π π = ⇒ = = + = = + = + = + = − + − = = + + 8
2 6
2
3
' ( 0)
2
xq
S π R R R R
π π
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = >
Lập bảng xét dấu S’ ta đc S đạt
3 R
π
= Chọn B
_
a _O _H
(182)A 10π B.12π C 4π UD.U 16π Hướng dẫn: Ta có r = 4; l = Vậy sxq =2 4.2 16π = π
Câu 17.Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD có AB = BC = Gọi P, Q điểm cạnh AB CD cho: BP = 1, QD = 3QC Quay hình chữ nhật APQD xung quanh trục PQ ta hình trụ Tính diện tích xung quanh hình trụ
A 10π UB.U12π C 4π D 6π Hướng dẫn: Ta có r= 3; l = Vậy Sxq =2πrl =2 3.2 12 π = π Chọn B
Câu 18. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi S diện tích xung quanh hình trụ có hai đường trịn đáy ngoại tiếp hai hình vng ABCD A’B’C’D’ Diện tích S :
UA.U a
π B πa2 C πa2 D
2 a
π
Hướng dẫn:
;
2
a a
r= l = ⇒ =a S π r l = π a=πa
Câu 19 Một hình trụ có hai đáy hai đường tròntâm O O’, bán kính R, chiều cao hình trụ 2
R Tính diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ
A 2 ( 1)π + R2; πR3 UB.U
2 3
2 ( 1)π + R ; πR 2 C. π( 1)+ R2; πR3 2 D π( 1)+ R2; πR3
Hướng dẫn:Áp dụng cơng thưc có đáp án phương án B
Câu 20 Cho hình lập phương có cạnh a hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt đối diện hình lập phương Gọi SR1Rlà diện tích mặt hình lập phương, SR2Rlà diện tích xung quanh hình trụ Tính tỉ số
1 S S A
1 S S
π
= B
1 S
S = C S
S =π UD.U
2 S S
π =
Hướng dẫn: SR1R = 6a2; SR2 R= R
2
2 a
a a
π =π RPP => S S
π
= PP Đáp án : D
Câu 21 Một hình trụ có đáy hình trịn nội tiếp hai mặt hình lập phương cạnh a Thể tích khối trụ là:
A.
2aπ UB.U
3
4aπ C.
3aπ D. aπ Hướng dẫn:Ta có r = a
2 ; h = a Vậy π π π
3
2
4 )
(a a a h
r
V = = =
Câu 22 Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, góc mặt phằng (A’BC) với mặt đáy 45P
0
P Một hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ Thể tích khối trụ tròn
A. a 21
6
π
UB.U a
6
π
C. a
18
π
D. a
6
π
Hướng dẫn: Ta có: AM a r AG a
2
= ⇒ = =
C' B'
A'
C A
(183)h = AA’ = AM.tan 450 a
= Vậy V =
2
3
2 a a a
r h
3
π
π = π =
Câu 23 Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, góc mặt phằng (A’BC) với mặt đáy 30P
0
P Một hình trụ nội tiếp hình lăng trụ Thể tích khối trụ trịn A.
2 a 24
π
B. a
24
π
C. a 72
π
UD.U a 24
π
Hướng dẫn: Ta có: AM a r GM a
2
= ⇒ = =
h = AA’ = AM.tan 300 a
= Vậy V =
2
3
2 a a a
r h
6 24
π
π = π =
Câu 24.Người ta bỏ bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn lớn bóng bàn chiều cao lần đường kính bóng bàn Gọi S1là tổng diện tích bóng bàn, S2là diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số S1/S2bằng:
UA.U1 B 2 C
2 D
Hướng dẫn: Nếu gọi r bán kính bóng bán kính trụ r đường sinh trụ 6r S2 = 2π.r.l = 2πr.6r = 12πrP
2
P S
P1 = 3(4πrP
P) = 12πrP
P Vậy tỉ số Chọn A
Câu 25 Cần thiết kế thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng sản phẩm chế biến có dung tích định sẵn V (cm3) Hãy xác định bán kính đáy hình trụ theo V để tiết kiệm vật liệu
A
2 V r=
π B 2V r=
π C 3V r
2
=
π UD.U V r
2
= π
Hướng dấn: Ta có:
V= πr h; chu vi đường tròn đáy AB = 2 rπ chiều cao h = BC Để tiết kiệm vật liệu hình chữ nhật ABCD phải hình vng hay BC = AB ⇔ h = rπ
Nên ta có:
2
3 V
V r r r
2
= π π ⇔ =
π
_ a
_ C' _
B' _
A'
_ C
_ B _
A
_ M _ G
A
C B
(184)CHỦ ĐỀ 4: MẶT CẦU
A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Định nghĩa mặt cầu
•Mặt cầu: S(O; R)={M OM=R} •Khối cầu: V(O; R)={M OM≤R}
2 Vị trí tương đối mặt cầu vàmặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) mặt phẳng (P) Gọi d = d(O; (P))
• Nếu d < R (P) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn nằm (P), có tâm H bán kính 2
r= R −d
•Nếu d = R (P) tiếp xúc với (S) tiếp điểm H ((P) gọi tiếp diện (S))
•Nếu d > R (P) (S) khơng có điểm chung
Khi d = (P) qua tâm O gọi mặt phẳng kính, đường trịn giao tuyến có bán kính R gọi đường trịn lớn
3 Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) vàđường thẳng ∆ Gọi d = d(O; ∆)
•Nếu d < R ∆cắt (S) hai điểm phân biệt
•Nếu d = R ∆tiếp xúc với (S) (∆được gọi tiếp tuyến (S))
•Nếu d > R ∆và (S) khơng có điểm chung
4 Diện tích mặt cầu thể tích khối cầu
+ Diện tíchcủa mặt cầu : C
S = πr + Thể tích khối cầu :
3 C
(185)I J
M A
C
B S B KĨ NĂNG CƠ BẢN
1 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
a) Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
– Xác định trục ∆của đáy (∆là đường thẳng vng góc với đáy tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy)
– Xác định mặt phẳng trung trực (P) cạnh bên
– Giao điểm (P) ∆là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Cách tìm bán kính mặt cầu ngoại hình chóp
- Nếu hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy áp dụng cơng thức Pitago - Nếu hình chóp hình chóp áp dụng tỉ lệ đồng dạng hai tam giác
2.Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng:
- Xác định trục ∆của hai đáy (∆là đường thẳng vuông góc với đáy tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy)
- Trung điểm đoạn nối hai tâm đa giác đáy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng
C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài tập 1: Cho mặt cầu có bán kính R=a Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu
Lời giải : Ta có ( )2
S= π4 R = π4 a = π12 a V = ( )
3
3
4
R a a
3π = π3 = π
Bài tập 2: Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác vuông A, AB=3,AC=4, SA vuông góc với đáy, SA=2 14 Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
Lời giải
Gọi M trung điểm củaBC Từ M kẻ đường thẳng ∆/ /SA Khi ∆ trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Đường trung trực cạnh bênSA qua trung điểm J cắt ∆ I Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Có bán kính
2
9
2 2
SA BC
R=IA= + =
Vậy
3
4 729
3
V = π = π
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 60P
0
P Một mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu
Lời giải
Gọi O tâm hình vng ABCD Từ O kẻ đường thẳng ∆ ⊥(ABCD) Khi ∆ trục đường trịn ngoại tiếp hình vng
ABCD Đường trung trực cạnh bênSA qua trung điểm cắt ∆
S
A B
C
D O
I J
(186)và bán kính R = IS Ta có: OA a
2
= a a 2
OM SO OM tan 60 SA SO OM a
2
= ⇒ = = ⇒ = + =
Do SJI∆ đồng dạng với ∆SOA ta có:
2
SI SJ SJ.SA SA a a
SI
SA =SO ⇔ = SO =2.SO =a = Vậy
2
2 a
S R a
3
= π = π = π
; V =
3
3
4 a
R a
3 3 27
π = π = π
Bài tập 4: Trong không gian cho hình lập phương cạnh a a) Một mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a
Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu b) Một mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Lời giải
Ta có tâm I mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp hình lập phương ABCDA’B’C’D’ giao hai đường chéo A’C với D’B
a) Ta có BD=a 2; DD '= ⇒a BD '= BD2+DD '2 =a Bán kính R 1BD ' a
2
= =
Vậy
2
2 a
S R a
2
= π = π = π
; V =
3
3
4 a
R a
3 2
π = π = π
b) Ta có OO ' a R IO a
= ⇒ = = Vậy
2
2 a
S R a
2
= π = π = π
; V =
3
3
4 a
R a
3
π = π = π
D BÀI TẬP TRẮC NGIỆM
Câu Cho điểm O cố định điểm M thỏa mãn OM =6cm Phát biểu sau
A.M thuộc đường tròn tâm O bán kính 3cm B.M thuộc mặt cầu tâm O bán kính 3cm UC.UM thuộc mặt cầu tâm O bán kính 6cm D.M thuộc mặt cầu tâm O bán kính 12cm
Câu Cho mặt cầu tâm O bán kính 10cm Điểm M cách O khoảng 5cm Phát biểu sau ?
A.Điểm M nằm mặt cầu UB.UĐiểm M nằm mặt cầu
C Điểm M nằm mặt cầu D.Khoảng cách từ M đến O nhỏ bán kính mặt cầu
Câu Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R điểm H thỏa mãn OH =R, mp(P) chứa H vng
góc với đường thẳng OH Phátbiểu sau ? UA.UMặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
B.Mặt phẳng (P) mặt cầu (S) khơng có điểm chung
_
D ' _C '
_ B ' _
A '
_
D _C
_ B _
A O
O’
(187)C.Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S), giao tuyến đường thẳng D.Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S), giao tuyến đường tròn
Câu Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R điểm I thỏa mãn OI <R, (P) mặt phẳng chứa I Phát
biểu sau ?
A.Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
B.Mặt phẳng (P) mặt cầu (S) khơng có điểm chung
C.Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S), giao tuyến đường thẳng UD.UMặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S), giao tuyến đường tròn
Câu Cho mặt cầu tâm O qua hai điểm phân biệt A, B Phát biểu sau ? A OA≠OB
UB.UO thuộc mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB C.O, A, B ba đỉnh tam giác vuông D.O, A, B ba đỉnh tam giác cân
Câu Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R điểm I thỏa mãn OI <R, đường thẳng (d) chứa điểm I
Phát biểu sau đâylà ?
A.Đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S)
B.Đường thẳng (d) mặt cầu (S) khơng có điểm chung
UC.UĐường thẳng (d) cắt mặt cầu (S), (d) mặt cầu có hai điểm chung
D.Đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S), (d) mặt cầu có điểm chung
Câu Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính 3cm Điểm A nằm mặt cầu cách O khoảng 5cm Đường thẳng AB tiếp xúc với mặt cầu, B tiếp điểm Độ dài đoạn thẳng AB
A. 3cm UB.U4cm C. 5cm D 3 2cm
Câu Cho mặt cầu tâm O qua ba điểm phân biệt A, B, C Hình chiếu vng góc O lên mp(ABC) :
A.Trọng tâm tam giác ABC B.Trực tâm tam giác ABC
C.Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC UD.UTâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu Cho hai điểm A, B thuộc mặt cầu tâm O bán kính R (O khơng thuộc đoạn thẳng AB), H hình chiếu vng góc O lên AB Phát biểu sau ?
A. AB2+OH2 =R2 B. AB2+OH2 =4R2 UC.U
2 2
4
AB + OH = R D. AB2+4OH2 =R2 Câu 10 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai ?
(188)Câu 11 Mp(P) cắt mặt cầu (O, R) theo đường tròn Phát biểu sau ? A.O tâm đường tròn giao tuyến
B.Tâm đường trịn giao tuyến khơng thuộc (P)
C.Tâm đường tròn giao tuyến điểm đối xứng với O qua (P) UD.UTâm đường trịn giao tuyến hình chiếu vng góc O lên (P)
Câu 12 Mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính R A Phát biểu sau ? UA.UĐường thẳng OA vng góc với mp(P) B Hình chiếu vng góc O lên (P) khác A C.Khoảng cách từ O đến (P) khác R D OA>OM, với M điểm thuộc (P) Câu 13 Một khối cầu có bán kính 2R tích bằng:
A
3
4 R
π B
4 Rπ UC U
3 32 R
3
π
D
3 16 R
3
π
Hướng dẫn: ( )3
V 2R
3
= π =
3 32 R
3
π
Đáp án: C
Câu 14 Cho hình hộp chữ nhật ABCDA B C D' ' ' 'có :AB=a AD, =2 , AA 'a =2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB D' ' :
A a B 2a C a
UD.U
2 a
Câu 15 Một địa cầu có bán kính 22 cm Diện tích xung quanh địa cầu : UA.U
2
1936πcm B.
936πcm C.
484πcm D.
5324πcm Câu 16 Cho hình cầu có bán kính R=a Thể tích khối cầu tương ứng :
A 4a3 3 UB.U
3
4πa C 4 3
3a D
3
4 3πa
Câu 17.Cho tam giác ABC vuông A, AB=a AC, 3=a Quay đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC quanh trục BC ta mặt cầu có diện tích : A.16πa2 B.12πa2 UC.U
2
4πa D. 2πa2
Câu 18 Xếp viên bi bán kính r vào lọ hình trụ cho tất viên bi tiếp xúc với đáy, viên bi nằm tiếp xúc với viên bi xung quanh viên bi xung quanh tiếp xúc với đường sinh hình trụ Khi diện tích đáy lọ hình trụ :
A. 36πr2 B. 18πr2 C. 16πr2 UD.U
9πr Câu 19 Cho điểm I nằm mặt cầu tâm O bán kính R Đường thẳngd1 qua I cắt mặt cầu
hai điểm phân biệt A B Đường thẳngd2 qua I cắt mặt cầu hai điểm phân biệt C D Độ dài IA=3cm, IB=8 cm, IC=4 cm Độ dài đoạn ID :
A. 3cm B. 4cm UC.U 6cm D. 8cm
Câu 20 Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R = Mặt phẳng (P) cách tâm I khoảng 5, cắt mặt
cầu theo giao tuyến đường trịn (C) Tính chu vi (C)
(189)Câu 21.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho
A. V =
π
UB.U V =
π
C. V = 3
π
D. V =
π
Hướng dẫn: Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: 2
2
R= ⇒ =V π
Câu 22 Cho hình chóp D ABC có DA⊥(ABC),đáy ABC tam giác vng B Đặt
, ,
AB=c BC =a AD=b Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A 1 2
3 a +b +c U B.U
2 2
1
2 a +b +c C
2 2
a +b +c D 2 2 a +b +c Hướng dẫn: Gọi M trung điểm AC, Gọi I trung điểm DC, ta có:
2 2 2
( )
4 4
R = IM + AM = b + a +c Đáp án: B
Câu 23:Cho tứ diện ABCD có cạnh a Thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện ABCD bằng:
A
3
8 a
π
UB.U
3
24 a
π
C
3 2
9 a
D 3 24
a Hướng dẫn: Gọi M, N trung điểm AB CD
Ta có 2
2 a MN = AN −AM =
=> Bán kính khối cầu là:
2
MN a
r= = => Thể tích khối cầu là:
3
24 a V = π
Câu 24 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và cạnh bên tạo với đáy góc 60P
0
P Diện tíchcủa mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S.ABC A
2 16
3 a
S = π UB.U
2 16
9 a
S = π C
2
3 a
S = π D
2
9 a S = π
Hướng dẫn: Ta có AH = a 3; OA a
2 =
Góc cạnh bên với mặt đáy góc SAO = 60P
Suy SO OA tan 600 a SA OA2 SO2 2a
= = ⇒ = + =
SKI
∆ đồng dạng SOA SI SK R SI SA.SK SA2
SA SO SO 2.SO
∆ ⇒ = ⇔ = = =
Bán kính mặt cầu 2a R=
Thể tích 16 a2
S R
9
π = π =
Câu 25.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác
_
a _O _H
_ C
_ B _
A
_ S
_ K
(190)A π
5 a 15
18 UB.U
π
5 a 15
54 C
π
4 a
27 D
π
5 a
3
Hướng dẫn : Gọi H trung điểm AB Gọi G, GP '
P trọng tâm tam giác ABC, SAB Dựng d trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; dP
'
P trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
d dP '
P cắt I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC Ta có: G H′ = a 3;GH=a 3⇒IH=a
6 6
Bán kính mặt cầu: r= IH2+HA2 =a 15
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: = π = π 3
4 a 15
V r
3 54
(191)KIỂM TRA 45 PHÚT THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN MẶT NÓN- MẶT TRỤ- MẶT CẦU
I MỤC TIÊU
1.Về kiến thức :
Nắm vững kiến thức
+ Khối đa diện thể tích khối đa diện, cơng thức tính thểtích khối hộp chữ nhật, khối chóp, khối lăng trụ
+ Các cơng thức tính diện tích xung quanh, tính thể tích mặt nón, mặt trụ mặt cầu + Biết vận dụng tính thể tích giải số tốn liên quan tới thể tích
2 Về kĩ :
+ Tính thể tích khối đa diện đơn giản
+ Tính diện tích thể tích khối trịn xoay vận dụng giải số tốn hình học
3.Về thái độ : Nghiêm túc làm bài, cẩn thận xác
II HÌNH THỨC KIỂM TRA.
- Hình thức: Kiểm tra trắc nghiệm - Học sinh làm lớp
III MA TRẬN
MA TRẬN NHẬN THỨC
Chủ đề mạch kiến thức, kỹ năng Tầm quan trọng(mức
bản trọng tâm
KTKN)
Trọng số (mức độ nhận thức của chuẩn
KTKN)
Tổng điểm
Theo ma
trận nhận thức
Theo thang
điểm
1 Khái niệm khối
đa diện Khối đa diện lồi
Khối đa diện 10 10 0,8
2 Thể tích khối chóp 15 45
3 Thể tích khối lăng trụ 15 45
4 Mặt nón 20 40 1,6
5 Mặt trụ 20 40 1,6
6 Mặt cầu 20 40
Tổng 100% 220 10
MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA
Chủ đề mạch kiến
thức, kỹ năng Nhận biết Mức độ nhận thức Tổng
1
Thông hiểu
2
Vận dụng
3
Khả năng cao
hơn
4 Khái niệm
khối
đa diện Khối đa diện lồi Khối đa diện
Câu 1,2 0,8
(192)
2 Thể tích khối chóp
Câu 0,4
Câu 4,5 0,8
Câu
0,4
Câu 0,4
5
3 Thể tích khối
lăng trụ Câu
0,4
Câu 9,10 0,8
Câu 11
0,4
Câu 12 0,4
5
4 Mặt nón Câu 13
0,4
Câu 14 0,4
Câu 15
0,4
Câu 16 0,4
4
1,6
5 Mặt trụ Câu 17
0,4
Câu 18 0,4
Câu 19,20
0,8
1,6
6 Mặt cầu Câu 21
0,4
Câu 22 0,8
Câu 23,24,25
0,4
Tổng
2,8
7
3,2
3
1,2 25
10 ĐỀ KIỂM TRA
Câu 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đề UsaiU? A Hình lập phương đa điện lồi
B Tứ diện đa diện lồi C Hình hộp đa diện lồi
D Hình tạo hai khối lăng trụ có chung mặt bên hình đa diện lồi Câu 2: Số đỉnh hình bát diện là:
A B C.8 D.12 Câu 3:Thể tích khối chóp có diện tích đáy Bvà chiều cao h
A
3
V = Bh B V =Bh. C
V = Bh D V = Bh
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác cạnh a,cạnh bên tạo với đáy góc 60o Tính thể tích hình chóp
A
2 a
B
2 a
C
a
D
6 a
Câu 5: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA⊥(ABC)và
(193)A 3
a
B
a
C 3
a
D 3
a
Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a Biết SA⊥(ABCD)
SA a= Tính thể tích khối chóp S ABCD A a3 B
3
a C 3
3
a D 3
12 a
Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB=a AD, =2a Biết
( )
SA⊥ ABCD SD=3a Tính thể tích khối chóp S ABCD A
3
2
a
B
3 a
C
2 a
D.
3 15 a
Câu 8: Thể tích hình lập phương cạnh a là: A 2a3 B a
3
2 C
a3
3 D a
3
Câu 9: Một bể nước hình hộp chữ nhật có số đo chiều dài, chiềurộng, chiều cao 3m, 2m, 2m Thể tích bể
A mP
P B 12 mP
P C mP
P D mP
P
Câu 10: Tổng diện tích mặt hình lập phương 96 m2 Thể tích khối lập phương
A 84 m3 B 91m3 UC.U 64m
D 48m3
Câu 11:Cho hình lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’
A
a
B
3 a
C a 3 D
3 a
Câu 12:Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’có đáy tam giác vuông cân B, AC=a 2, cạnh bên AA'=2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’
A
a
B
3 a
C.a 3 D.
3
a
Câu 13:Với Sxq diện tích xung quanh hình nón trịn xoay có bán kính đường trịn đáy r đường sinh l cho công thức sau đây:
A Sxq = π2 rl B Sxq = πrl C Sxq = π2rl D.Sxq= πr l2 Câu 14:Cho hình nón đỉnh O, tâm đáy I, đường sinh OA = 4, Sxq = 8π Tìm kết luận Usai:U
A R = B h=2 C Sday = π4 D V
3
π
=
(194)quanh hình nónđó là:
A.2 aπ B πa2 C
a
π
D
2
3 a
π
Câu 16: Một phễu rỗng phần có kích thước hình vẽ Diện tích xung quanh phễu là:
A. Sxq =360πcm2 B. Sxq =424πcm2 C. Sxq =296πcm2 D. Sxq =960πcm2
Câu 17:Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi I, H trung điểm AB CD Cho hình vng quay quanh trục IH tạo nên hình trụ.Tìm kết luận Usai:U
A
xq
S = πa B l = a C
3 a V
4
π
= D
day
S = πa Câu 18:Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt hình lập phương cạnh a Thể tích khối trụ là:
A.1 a
2 π B
a
4 π C
a
3 π D a π
Câu 19:Một hình trụ có bán kính đáy a A B điểm đường tròn đáy cho AB = 2a tạo với trục hình trụ góc 30P
0
P Tìm kết luận Uđúng:U A.h a
2
= B.h=a C h a
3
= D h a
6
=
Câu 20:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi S diện tích xung quanh hình trụ có hai đường trịn đáy ngoại tiếp hai hình vng ABCD A’B’C’D’ Diện tích S : A.πa2 B.πa2 C.πa2 D
2 a
2
π
Câu 21:Diện tích S mặt cầu có bán kính r xác định cơng thức sau đây: A S= π4 r B S= π4 r2 C S= π4 2r D.S=4r2 Câu 22:Thể tích V mặt cầu có bán kính r xác định công thức sau đây: A V r
3
π
= B
2
4 r V
3
π
= C
3
4 r V
3
π
= D
2
4 r V
3
π =
Câu 23:Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a,b,c Khi mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có bán kính r bằng:
A a2 b2 c2
2 + + B
2 2
a +b +c C 2(a2+b2+c )2 D a2 b2 c2
3 + +
10cm
8cm
(195)Câu 24:Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi vng góc OA = a,OB = 2a, OC= 3a Diện tích mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng:
A
S 14 a= π B
S 12 a= π C
S 10 a= π D
S= π8 a Câu 25:Cho hình tứ diện S.ABC có cạnh SA, SB, SC đơi vng góc SA=a,
SB=SC=2a Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Gọi S’ diện tích mặt cầu (S) V thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu (S) Tỉ số V
S' bằng:
A a B 4a C 2a D 3a
(196)CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1 Tọa độ vectơ: Cho a=(a , a , a1 2 3), b=(b , b , b1 2 3) Ta có
a ± =b (a1±b ;a1 2 ±b ;a2 3±b3) k.a=(ka ; ka ; ka1 2 3)
1
2
3
a b
a b a b
a b
=
= ⇔ =
=
; a phương
1
a
a a
b
b b b
⇔ = =
a.b =a b1 1+a b2 2+a b3 3 ; a ⊥ ⇔b a b1 1+a b2 2+a b3 3 =0
2
1
a = a +a +a
( ) 1 2 3
2 2 2
1 3
a b a b a b cos a, b
a a a b b b
+ +
=
+ + + +
2 Tọa độ điểm: Cho A(x y ; z ), B(x y ; z ), C(x y ; z )A; A A B; B B C; C C AB=(xB−x ; yA B−y ; zA B−zA)
AB =AB= (xB−xA) (2+ yB−yA) (2+ zB−zA)2 M trung điểm AB M xA xB;yA yB;zA zB
2 2
+ + +
⇔
G trọng tâm tam giác ABC M xA xB xC;yA yB yC;zA zB zC
3 3
+ + + + + +
⇔
3 Tích có hướng hai vectơ: a=(a , a , a1 3), b=(b , b , b1 3)
Tích có hướng hai vec tơ a b vectơ, k/h: 3 1 2 3 1
a a a a
a a
a, b ; ;
b b b b b b
=
- Điều kiện để vectơ đồng phẳng: a, b, c đồng phẳng ⇔ a, b c =0 - a phương b ⇔ a, b =0
- Diện tích hình bình hành ABCD : SABCD = AB, AD - Diện tích tam giác ABC : SABC AB, AC
2
= - Thể tích tứ diện ABCD : VABCD AB, AC AD
6
= - Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D': VABCD.A ' B ' C ' D ' = AB, AD AA ' B KỸ NĂNG.
- Rèn luyện kĩ tìm tọa độ điểm, tọa độ vecto, độ dài vecto
(197)CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
phương trình mặt cầu để giải dạng tốn có liên quan
- Rèn kĩ tính tích có hướng, tích vơ hướng áp dụng vào giải toán liên quan C BÀI TẬP
Bài Cho tam giác ABC, biết A(2; 0; 1), B(1; -1; 2), C(2; 3; 1)
a) Tam giác ABC có góc A nhọn hay tù?
b) Tính chu vi tam giác ABC
c) Tìm tọa độ điểm M trục tung cho tam giác MBC vuông M
Bài Cho tam giác ABC biết A(3;4; -1), B(2; 0; 3), C(-3; 5; 4) Tính độ dài cạnh tam giác ABC
Tính cosin góc A, B, C diện tích tam giác ABC
Bài 3 Cho điểm A(3 ; ; -1), B(-2 ; ; 3), C(0 ; ; 2)
a Xác định tọa độ trọng tâm G trực tâm H tam giác ABC
b Xác định tọa độ điểm A' làchân đường cao tam giác ABC kẻ từ A
c Gọi I điểm chia đoạn HG theo tỉ số k = Chứng minh I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
Bài 4 Cho điểm A(a ; ; 0), B(0 ; a ; 0), C(0 ; ; b), D(a ; a; b) với 0< ≤a b
a Chứng minh AB vng góc với CD
b Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh IJ đoạn vng góc chung AB
CD
Bài 5. Cho điểm A(-1; 2; 0), B(-3; 0; 2), C(0; 2; -1) D(1; 4; 0) Chứng minh ABCD tứ
diện Tính thể tích
Bài 6. Cho A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) D∈Oy Biết thể tích tứ diện ABCD Tìm
tọa độ D Tìm tọa độ hình chiếu H O lên mp(ABC)
Bài Cho hình chóp S.ABC, biết A(1; 2; -1), B(5; 0; 3), C(7; 2; 2),SA⊥(ABC),S∈(Oyz) Tìm tọa
độ điểm S
Bài 8. Cho điểm cố định A(1 ; 1; 0), B(0 ; ; 1) điểm di động M(m ; ; 0), N(0 ; n ; 0) *
(m, n∈R )+
a) Tìm quan hệ m, n để OA ⊥MN b) Tính thể tích hình chóp B.OMAN
c) M, N di động cho m.n = Tính m, n để VRB.OMANRnhỏ Bài 9. Cho điểm A(1 ; 1; 1), B(2 ; -1 ; 3), C(2 ; 1; 1) D(3 ; ; 2)
a Chứng minh A, B, D, C đồng phẳng
b Cho E(1 ; ; 3) Chứng minh EA⊥(ABC) Tính thể tích tứ diện E.ABC c Tính khoảng cách từ B đến (ACE)
Bài 10 Cho điểm A(2 ; -1 ; 3), B(1 ; ; -2), C(-1 ; ; 3) D(0 ; m ; p) Xác định m p để điểm
A, B, C, D theo thứ tự tạo thành hình bình hành
Bài 11 Cho điểm A(-2 ; ; 2) B(1 ; -2 ; 2)
a Chứng minh OAB tam giác vng cân
b Tìm M thuộc Ox nhìn đoạn AB góc vng
(198)CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu1: Trong không gian Oxyz , cho x 2i3j4k
Tìm tọa độ x
A.x (2;3; 4). B.x ( 2; 3;4) C.x (0;3; 4). D.x (2;3;0)
Câu 2:Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;2;3) Tìm tọa độ điểmM’ hình chiếu M trục Ox
A. M’(0;1;0) B.M’(0;0;1) C M’(1;0;0) D M’(0;2;3)
Câu 3:Viếtphương trình mặt cầu (S) có tâm I(1 ; ; -2) , bán kính R = UA.U(S) :(x- 1)P
2
P + yP
2
P + (z + 2)P
2
P =
B (S): (x- 1)P
2
P + yP
2
P + (z- )P
2
P =
C (S): (x- 1)P
2
P + yP
2
P + (z- )P
2
P =
D (S): (x+ 1)P
2
P + yP
2
P + (z – 2)P
2
P =
Câu :Cho mặt phẳng ( ) :P x−2y+ − =3z 0.Một véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (P) A.n
(1; 2;3) U B.Un
(1; 2;3− ) C n=(1;3; 2− ) D n =(1; 2; 3− − )
Câu 5: Cho mặt phẳng ( )P 2x−3y+ − =z 10 Trong điểm sau, điểm năm mặt phẳng (P)
A (2; 2; ) B (2; 2; 0− ) C (1; 2; 0) D (2;1; 2)
Câu 6:Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(1;2;-1) nhận vec tơ u(1; 2;3) làm vec tơ chỉphương
UA.U
1
2 ( ) x t y t z t d = + = + = − + B
( ) 2
1
x t
d y t
z t = − = + = − + C
( ) 2
x t
d y t
z t = + = − = − + D
( ) 2
1
x t
d y t
z t = + = + = +
Câu 7:Viết phương trình đường thẳng qua A(4;2;-6) song song với đường thẳng : :
2
x y z
d
A.
4
2
6 x t y t z t B 2
3 x t y t z t C 2
1
3 x t y t z t D
2
6 x t y t z t
Câu 8:Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
5
x y z
mặt phẳng sau đây,
mặt phẳng song song với đường thẳng (d) ?
A.5x 3y z 0.B x y 2z 9 0.C.5x3y z D 5x3y z 9
Câu 9: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng ( ) : x 2y3z 7 0và ( ) : 2 x 4y6z 3 0.Trong khẳng định sau khẳng định ?
(199)CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A
8
x y z
B
x y z
C x 4y2z 0 D x 4y2z 8 Câu 11Trong khằng định sau, khẳng định đúng?
UA.UPhương trình mặt phẳng (Oxy) là: z 0 B.phương trình mặt phẳng (Oxy) là: y 0
C.phương trình mặt phẳng (Oxy) là: x 0
D.phương trình mặt phẳng (Oxy) là: x y
Câu 12
Cho đường thẳng (d) :
1
2
1
x t
y t
z t
.Viết phương trình tắc đường thẳng d
A.x 2y z UB.U
1
1
x y z
C
1
x y z
D
1
x y z
Câu 13:Cho vectơ OM 2i5j 3k
Tìm tọa độ điểm M ?
UA.UM(2;5;3) B.M( 2; 5; 3). C.M(2; 5;3). D M( 2;5; 3). Câu 14: Trong không gian Oxyz cho a(3; 1;2); (4;2; 6) b
Tính tọa độ vectơ a b
A.a b
(1;3; 8). U
B.Ua b
(7;1; 4). C.a b
( 1; 3;8). D.a b
( 7; 1;4).
Câu 15 Trong khơng gian Oxyz cho M(1;-2;4) N(-2;3;5) Tính tọa độ MN
UA.UMN
(-3;5;1) B.MN
(3;-5;-1) C.MN
(-1;1;9) D.MN
(1;-1;-9)
BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b; c), bán kính R: +(S) : (x−a)2+(y−b)2+ −(z c)2 =R2
+Phương trình: xP 2
P + yP
2 P+ zP
2
P -2ax -2by -2cz + d = với aP 2
P + bP 2
P +cP 2
P - d > phương trình mặt cầu tâm
I(a ; b; c), bán kính R = a2+b2+c2−d 2) Giao mặt cầu mặt phẳng - Phương trình đường tròn:
Cho mặt cầu 2 2
(S) : (x−a) +(y−b) + −(z c) =R với tâm I(a ; b; c), bán kính R mặt phẳng
(P): Ax + By + Cz + D =
+ d(I, (P)) > R: (P) (S) khơng có điểm chung
(200)CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN + d(I, (P)) < R: (P) cắt (S) theo đường trịn có tâm H hình chiếu I xuống (P), bán kính
2 r= R −d
( H hình chiếu vng góc I lên mp(P) ) B KỸ NĂNG.
- Tìm tâm bán kính mặt cầu - Viết phương trình mặt cầu
- Tìm giao mặt cầu với mặt phẳng C BÀI TẬP.
Bài 1 Tìm tâm bán kính mặt cầu sau:
a x² + y² + z² – 8x + 2y + = b x² + y² + z² + 4x + 8y – 2z – = c x² + y² + z² –6x + 2y – 2z + 10 = d 2x² + 2y² + 2z² + 12x – 6y + 30z – = Bài 2 Viết phương trình mặt cầu có
b Tâm I(0; 3; –2) qua điểm A(2; 1; –3) c Đường kính AB với A(3; –2; 1) B(1; 2; –3)
Bài 3 Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
a A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1) b A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6) Bài 4 Viết phương trình mặt cầu có
a Tâm thuộc mặt phẳng Oxz qua điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3), C(2; 0; –1) b Có tâm I(–5; 1; 1) tiếp xúc với mặt cầu (T): x² + y² + z² – 2x + 4y – 6z + = Bài 5: Xác định tâm bán kính đường tròn (C):
2 2
2x 2y z
x y z 6x 4y 2z 86
− − + =
+ + − + − − =
Bài 6: Cho (S): xP
2 P + yP
2 P + zP
2 P
-2mx + 2my -4mz + 5mP
P
+ 2m + =
a) Định mđể (S) mặt cầu Tìm tập hợp tâm I (S)
b) Định m để (S) nhận mặt phẳng (P): x + 2y + = làm tiếp diện c) Định m để (S) cắt d:
x t y 2t
z t
= +
=
= − +
tại hai điểm A, B cho AB=2
Bài 7: Viết phương trình mặt cầu (S) cótâm thuộc Ox tiếp xúc với hai mặt phẳng (Oyz) (P): 2x + y - 2z + =
Bài 8 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề vng góc Oxyz, cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;1), C(1;6;-1), D(-1;6;2)
a CMR: ABCD tứ diện có cặp cạnh đối b Tính khoảng cách AB CD
c Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Bài 9 Cho điểm I(1;2;-2) mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + =
a Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I cho giao (S) mp (P) đường trịn có chu vi π
b CMR Mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng (Δ): 2x – 2y = – z
c Tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (CMN)
Bài 10 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề vng góc Oxyz cho hai đường thẳng (dR1R) (dR2R) có
phương trình ( )
= = = :
z t y
t x
d ( )
= − + +
= − +
0 12 4
0 :
2
z y x
y x d