Vì vậy, tôi xin giới thiệu một mẹo nhỏ xem như là thuật toán để giải một lớp các bài toán bất đẳng thức thường gặp đó là: Từ vế trái, quan sát vế phải, thử điều kiện dấu “=” xảy ra để ch[r]
(1)LỜI MỞ ĐẦU Lâu nay, người dạy và học toán, biết bất đẳng thức là bài toán khó, ẩn chứa nhiều thủ thuật đòi hỏi người làm toán phải biến đổi không theo trình tự định Vì từ lâu người ta phải mượn đến bất đẳng thức Cô si để làm vơi khó khăn đó Tuy nhiên quá trình phát triển, ngày càng gặp nhiều khó khăn việc dùng bất đẳng thức Cô si Vì vậy, tôi xin giới thiệu mẹo nhỏ xem là thuật toán để giải lớp các bài toán bất đẳng thức thường gặp đó là: Từ vế trái, quan sát vế phải, thử điều kiện dấu “=” xảy để chọn hạng tử dùng Cô si A TÓM TẮT LÝ THUYẾT: BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI ( CAUCHY) 1/ Đối với hai số không âm: ab Với a 0, b 0, ta có: ab Dấu đẳng thức xảy và a = b Hệ : + Nếu hai số dương thay đổi có tổng không thay đổi thì tích chúng lớn và hai số đó + Nếu hai số dương thay đổi có tích không thay đổi thì tổng chúng nhỏ và hai số đó 2/ Đối với ba số không âm: abc abc Với a 0, b 0, c 0, ta có: Dấu đẳng thức xảy và a = b = c 3/ Đối với n số không âm: Với a1 0, a2 0, , an 0, ta có: Lop12.net (2) a1 a2 an n a1.a2 .an n Dấu đẳng thức xảy và a1 = a2 = = an B BÀI TẬP a 3b b3c c3 a abc a b c Bài Cho a, b, c > CMR: HD: + Quan sát VT và VP + Từ a3b, muốn xuất a2bc, áp dụng cô si cho hai số a3b và abc2 + Các hạng tử còn lại tương tự Bài Cho x y z CMR: x2 y y z z x2 1 z2 x y HD: + VP = x y z 2 2 x2 y 2, áp dụng cô si cho hai số x y ; x z , muốn xuất x z2 y2 z2 + Các hạng tử còn lại tương tự + Từ Bài Cho a, b, c > CMR: a b3 c3 a bc b ca c ab HD: + Từ a3, muốn xuất a bc , áp dụng cô si cho số a3; abc + Các hạng tử còn lại tương tự Bài Cho a, b, c CMR: a b2 c2 a b c b2 c2 a b c a HD: Lop12.net (3) a2 a2 a , muốn xuất , áp dụng cô si cho số và b2 b2 b + Các hạng tử còn lại tương tự + Từ Bài Cho a, b > CMR: a3 a b3 b a b a b HD: 1 , muốn xuất , áp dụng cô si cho số: ; 1; a a a + Các hạng tử còn lại tương tự + Từ Bài Cho a, b, c > CMR: a2 b2 c2 abc bc ca ab HD: + Quan sát VT và VP, VP = a b c 2 a2 + Từ hạng tử , muốn xuất a, áp dụng cô si cho hai số bc a2 bc và bc + Các hạng tử còn lại tương tự Bài CMR: x x x 12 15 20 x x x , x R x x 12 15 + Muốn xuất 3x, áp dụng cô si cho hai số ; 5 4 + Các hạng tử còn lại tương tự Bài Cho a, b, c > CMR: a3 b3 c3 a b c b3 c3 a b3 c a Lop12.net (4) HD: a a3 + Từ , muốn xuất , áp dụng cô si cho số b b + Các hạng tử còn lại tương tự Bài Cho a + b + c = CMR: 8a 8b 8c 2a 2b 2c a3 ; b3 a3 ; b3 1 HD: Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c x y.z + (1) x3 y z x y z , với x, y , z + Từ x , muốn xuất x, áp dụng cô si cho số x3 ; ; + Các hạng tử còn lại tương tự Bài 10 Cho a b c CMR: a3 b3 c3 bc ca ab HD: 1 + VP (a b c ) 2 a a a (b c) ; + Từ , muốn xuất a , áp dụng cô si cho hai số bc bc + Các hạng tử còn lại tương tự Bài 11 Cho x, y, z > 0; x3 y z CMR: a) x y z b) x y z HD: a) + Từ x3, muốn xuất x2, áp dụng cô si cho ba số x3; x3; Lop12.net (5) + Các hạng tử còn lại tương tự b) + Từ x3, muốn xuất x, áp dụng cô si cho ba số x3; 1; + Các hạng tử còn lại tương tự Bài 12 Cho x, y và x y x3 y CMR: a) x y x3 y b) x y x y HD: a) + Từ y2, muốn xuất y3, áp dụng cô si cho hai số y2 và y4 b) + Từ x, muốn xuất x2, áp dụng cô si cho hai số x và x3 + Hạng tử còn lại tương tự Bài 13 Cho a > CMR: HD: + Từ a, muốn xuất + Từ a, muốn xuất a a2 a 1 a , áp dụng cô si cho số: a; 1; a , áp dụng cô si cho số: a; a; Bài 14 Cho x, y, z > 0; x + y + z CMR: x5 y z 1 y z x4 HD: x5 x5 + Từ , muốn giảm dần bậc x, áp dụng cô si cho số và x y y x3 y z x5 y z x y z y z x4 y x y x x3 + Từ , muốn giảm dần bậc x, áp dụng cô si cho số ; x y y Lop12.net (6) x2 y z x3 y z x y z y z x2 z x y x2 x2 + Từ , muốn xuất x, áp dụng côsi cho số và y y y x2 y z x yz y z x Bài 15: Cho x, y, z > CMR: x y 1 1 1 y z x yz z 1 x xyz HD: + BĐT x2 x x y y z z y2 z2 2 3 3 yz y z x z x y zx xy x x x2 , áp dụng cô si cho số ; ; y z yz + Các hạng tử còn lại tương tự + Từ VT, muốn xuất Bài 16 Cho x, y > 0, thỏa x + y = Tìm GTNN Q xy xy HD: + Từ x + y, muốn xuất xy, áp dụng cô si cho số x, y ta xy + Từ xy, muốn xuất số, thử điều kiện dấu “=” xảy ra, áp xy dụng cô si cho số: xy và 16xy 15 15 + xy xy 16 64 Lop12.net (7) 17 Bài 17 Cho x, y > 0; x2, y2 Tìm GTNN 10 E 2x 3y x y HD: + Từ , muốn xuất số, thử điều kiện dấu “=” xảy ra, áp dụng x y 10 3x ; ; và cô si cho số y x y 10 3x y2 ) ( x2 ; y x 3x y 10 10 x y + ( ) ( ) (2 x y ) x y x y 2 + ĐS: MinE = 18 + ĐS: MinQ = Bài 18 Tìm nghiệm dương hệ phương trình: (1) xyz 32 2 2 x xy y z 96 HD: + Muốn xuất xyz PT (1), áp dụng cô si cho số x2; z2 và z2; 4y2 + x xy y z xy xz yz 2.3 4( xyz ) + ĐS: x = z = 4, y = Bài 19 Cho x > 0, y > 0; x2 + y2 = 1 Tìm giá trị nhỏ P x y HD: + Từ x2 và , muốn xuất số, áp dụng cô si cho số: x Lop12.net (8) 1 ; ;x x x + Hạng tử còn lại tương tự Bài 20 Cho x 0, y ; x3 + y3 Tìm giá trị lớn P = x + y2 HD: + Từ x3, muốn xuất x2, áp dụng cô si cho số x3; x3; + Hạng tử còn lại tương tự Bài 21 Cho x, y, z > CMR y x z 1 x3 y y z z x x y z HD: + Từ 23 x , muốn xuất và rút gọn x , áp dụng cô si cho xy x y số x3 và y2 + Các hạng tử còn lại tương tự Bài 22 Cho a, b, c > CMR: a b2 c2 d 1 1 b5 c d a a b3 c d HD: + Từ VT, muốn xuất , áp dụng cô si cho số: b 2 a a a 1 ; ; ; ; b5 b5 b5 a a + Các hạng tử còn lại tương tự x3 y Bài 23 Tìm nghiệm dương hệ phương trình: 3 x y HD: Lop12.net 1 2 (9) + Muốn xuất x3y phương trình (1), áp dụng cô si cho số x; x; x; y + 3x y x x x y 4 x3 y + ĐS: Hệ phương trình vô nghiệm Bài 24 Cho a, b, c > 0, thỏa: a 2000 b 2000 c 2000 Tìm GTLN T = a b2 c2 HD: + Từ a 2000 , muốn xuất a2, áp dụng cô si cho 2000 số gồm: 1998 số và số a2000 + Các hạng tử còn lại tương tự + ĐS: Max T = Bài 25 Cho x, y, z > 0, thỏa: x + y + z = 2004 x30 y 30 z 30 P 21 21 21 Tìm GTNN y z x HD: x30 + Từ 21 , muốn xuất x, áp dụng cô si cho 30 số dương gồm: y x30 ; 21 số y và số 668 y 21.6688 + Các hạng tử còn lại tương tự + (Ví dụ: Áp dụng cô si cho 30 số dương gồm: x30 ; 21 số y và số a > nào đó y 21 2004 668 ) Dấu xảy x = y = z = a = + ĐS: Min P = 3.(668)9 Lop12.net (10) 10 Lop12.net (11) 11 Lop12.net (12)