Phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực - Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn

Tài liệu Phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực trình bày một số cách giải phương trình lượng giác không có trong các sách giáo khoa, có phần bài tập và hướng dẫn giải. Đây là tài liệu bổ ích cho các em học sinh để vận dụng linh hoạt trong cách giải Toán.

Trường THPT chun Lê Q Đơn Math 08-11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ CÁCH GIẢI KHƠNG MẪU MỰC A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số tốn phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù phương trình, không nằm phương pháp nêu hầu hết sách giáo khoa Một số phương trình lượng giác thể tính khơng mẫu mực dạng chúng, có phương trình ta thấy dạng bình thường cách giải lại khơng mẫu mực Sau phương trình lượng giác có cách giải khơng mẫu mực thường gặp I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG Phương pháp nhằm biến đổi phương trình lượng giác dạng vế tổng bình phương số hạng (hay tổng số hạng không âm) vế cịn lại khơng áp dụng tính chất: A  A2  B    B  Bài Giải phương trình: tan x  sin x  tan x  sin x   GIẢI tan x  sin x  tan x  sin x   2  tan x  tan x   sin x  sin x    ( tan x  1)  (2 sin x  1)   tan x    2 sin x    tan x   sin x      x   m m, n  Z    x    n  Nguyễn Văn Tuấn Anh Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn ĐS x   Math 08-11  2k (k  Z ) II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP Phương pháp xây dựng tính chất: Để giải phương trình f ( x)  g ( x) , ta nghĩ đến việc chứng minh tồn A → R: f ( x)  A, x  (a, b) g ( x)  A, x  (a, b) đó:  f ( x)  A f ( x)  g ( x)    g ( x)  A Nếu ta có f ( x)  A g ( x)  A , x  (a, b) kết luận phương trình vơ ngiệm Bài Giải phương trình: cos x  x  GIẢI cos x  x   x   cos x Vì   cos x  nên  x   1  x     mà  1,1   ,   cos x  0, x   1,1   cos x  0, x   1,1  2 Do x   cos x  nên phương trình vơ nghiệm 2 Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài Giải phương trình: sin1996 x  cos1996 x  (1) GIẢI (1)  sin1996 x  cos1996 x  sin x  cos x  sin x(sin1994 x  1)  cos x(1  cos1994 x) (2)  sin x  Ta thấy  1994  sin x(sin 1994 x  1)  0, x  x 1 sin  cos x  Mà   cos x(1  cos 1994 x)  0, x 1994  x0 1  cos  x  m  sin x   x    m  sin x   sin x(sin 1994 x  1)    Do (2)     (m, n  Z ) 1994 cos x(1  cos x)  cos x   x    n cos x  1    x  n  Nguyễn Văn Tuấn Anh Trường THPT chuyên Lê Quý Đơn  Math 08-11 Vậy nghiệm phương trình là: x  k (k  Z )  ĐS x  k (k  Z ) Áp dụng phương pháp đối lập, ta suy cách giải nhanh chóng phương trình lượng giác dạng đặc biệt đây: sin ax   sin bx   sin ax sin bx    sin ax  1  sin bx  1 sin ax   sin bx  1  sin ax sin bx  1   sin ax  1  sin bx  Cách giải tương tự cho phương trình thuộc dạng: cos ax cos bx  cos ax cos bx  1 sin ax cos bx  sin ax cos bx  1 III PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM Tuỳ theo dạng điều kiện phương trình, ta tính nhẩm nghiệm phương trình, sau chứng tỏ nghiệm cách thông sụng sau:  Dùng tính chất đại số  Áp dụng tính đơn điệu hàm số Phương trình f ( x)  có nghiệm x    (a, b) hàm f đơn điệu (a, b) f ( x)  có nghiệm x   Phương trình f ( x)  g ( x) có nghiệm x    (a, b) , f (x) tăng (giảm) (a, b) , g (x) giảm (tăng) (a, b) phương trình f ( x)  g ( x) có nghiệm x   Bài Giải phương trình: cos x   x2 với x  Nguyễn Văn Tuấn Anh Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 GIẢI Ta thấy phương trình có nghiệm x  x2  biểu thức hàm số có đạo hàm f ' ( x)   sin x  x  0, x  (vì x  sin x , x ) Đặt f ( x)  cos x   Hàm f đơn điệu tăng 0,  f ( x)  có nghiệm 0, Vậy phương trình cho có nghiệm x  B.CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN Bài 1: Giải phương trình: x  x cos x  sin x   (1) GIẢI Ta có (1)  x  2x cos x  cos x  sin x  sin x   2  ( x  cos x)  (sin x  1)   x  cos x   sin x   cos x  x  sin x  Phương trình vơ nghiệm Bài 2: Giải phương trình: sin x  cos15 x  GIẢI Ta có: sin x  cos x  15  sin x  cos15 x  sin x  cos x  sin x(sin x  1)  cos2 x(1  cos13 x) (1) Vì sin x(sin x  1)  0, x Và cos x(1  cos13 x)  0, x 2  sin x(sin x  1)  Do (1)   13  cos x(1  cos x)  Nguyễn Văn Tuấn Anh Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 sin x   sin x  1  cos x  cos x    x  m   x    m   (m, n  Z )  x    n   x  2n  ĐS x    k hay x  2k , (k  Z ) C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI Bài 3: Giải phương trình:  (1) sin x  cos ( x  (tan x  cot x) n  cos n x  sin n x(n  2,3,4, ) 4 ) GIẢI Ta có: (1)     cos(2 x  )  (1  cos x)     4 2  (1  cos x)  (1  sin x)   cos x  sin x   cos(2 x   2 )  x  k  (k  Z )  x    k  2.Với điều kiện x  k  ta có tan x cot x dấu nên: n 1 1 tan x  cot x  tan x  cot x  tan x  cot x   tan x  cot x  4 4 Nguyễn Văn Tuấn Anh Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 4 Dấu "=" xảy  tan x  cot x  tan x   tan x   2  Với n  : phương trình  tan x  cot x   có nghiệm cho bởi:   1 tan x    x   arctan  k (k  Z ) 2  Với n  Z , n  thì: cos n x  sin n x  cos x  sin x     x  k n  2m Dấu xảy   (k , m  Z )  x  2k hay x    2k n  2m   (đều không thoả mãn điều kiện x  k  phương trình) Vậy với n  2, n  Z phương trình vơ nghiệm ĐS x   arctan  k (k  Z ) Bài 4: Giải phương trình: cos x 1   cos 3x   (1) cos x cos 3x GIẢI cos x  cos 3x  Điều kiện:  Khi (1)  cos x  cos x  cos 3x  cos 3x  1 Vì a  a   (a  )   a  a  1 cos 3x  cos 3x  4 1  cos x  cos x  cos 3x  cos 3x  2 1   cos x  cos x  cos x    x  Dấu xảy   cos 3x  cos 3x  cos 3x    Do cos x  cos x  Vậy phương trình (1) vơ nghiệm D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Nguyễn Văn Tuấn Anh Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Bài 1: Giải phương trình: sin x  cos x   sin x HƯỚNG DẪN sin x  sin x , x cos x  cos x , x  sin x  cos x  , x  sin x  , x 3  sin x  cos x  Vậy phương trình tương đương:   2  sin x  ĐS x    2k (k  Z ) Bài 2: Giải phương trình: sin x  tan x  x  với  x   HƯỚNG DẪN Dễ thấy phương trình có nghiệm x   Đặt f ( x)  sin x  tan x  x liên tục 0;   2 (cos x  1)(cos x  cos x  1)   Có đạo hàm: f ' ( x)   , x  0;  cos x  2 1 1   cos x    cos x  cos x   2    f đơn điệu tăng 0;   2 Bài 3: Giải phương trình: cos 4x  cos x2   sin 3x ĐS x    2k (k  Z ) Bài 4: Giải phương trình: cos x  sin x  cos x  sin x ĐS x  k (k  Z ) Bài 5: Giải phương trình: x  sin xy   Nguyễn Văn Tuấn Anh Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn x  ĐS    y   2k hay Nguyễn Văn Tuấn Anh  x  1     y   2k Math 08-11 (k  Z ) ... Anh Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn  Math 0 8-1 1 Vậy nghiệm phương trình là: x  k (k  Z )  ĐS x  k (k  Z ) Áp dụng phương pháp đối lập, ta suy cách giải nhanh chóng phương trình lượng giác. . .Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn ĐS x   Math 0 8-1 1  2k (k  Z ) II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP Phương pháp xây dựng tính chất: Để giải phương trình f ( x)  g ( x) , ta nghĩ... trình: cos x   x2 với x  Nguyễn Văn Tuấn Anh Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 0 8-1 1 GIẢI Ta thấy phương trình có nghiệm x  x2  biểu thức hàm số có đạo hàm f ' ( x)   sin x  x  0, x 