Tham khảo chuyên đề luyện thi Đại học: Ôn tập lượng giác phương trình lượng giác - Huỳnh Chí Hào dành cho các bạn học sinh lớp 12 và quý thầy cô, để giúp cho các bạn học sinh có thể chuẩn bị ôn tập tốt hơn và hệ thống kiến thức học tập. Mời các thầy cô và các bạn tham khảo.
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ƠN TẬP LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Chuyên đề TĨM TẮT GIÁO KHOA A CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC I Đơn vị đo góc cung: Độ: 180 o Góc 10 = góc bẹt 180 x O y Radian: (rad) 1800 = π rad Bảng đổi độ sang rad ngược lại số góc (cung ) thông dụng: 00 Độ Radian 300 450 600 900 π π π π 1200 2π 1350 3π 1500 5π 1800 π II Góc lượng giác & cung lượng giác: Định nghóa: (tia ngọn) y 3600 2π y (điểm ngọn) + + B α α t α O x O (tia gốc) t M x A (điểm gốc) (Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z) AB = α + k 2π 32 Chuyên đề LTĐH Đường tròn lượng giác: Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Số đo số cung lượng giác đặc biệt: AM = α + k2π y → 2kπ B → π + 2kπ C → D → A M B + π + 2kπ - π + 2kπ A, C → kπ B, D → π + kπ C x A O − D y B III Định nghóa hàm số lượng giác: u' Đường tròn lượng giác: • A: điểm gốc • x'Ox : trục côsin ( trục hoành ) • y'Oy : trục sin ( trục tung ) • t'At : trục tang • u'Bu : truïc cotang x' −1 C t u + A R =1 O − −1D y' x t' Định nghóa hàm số lượng giác: a Định nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM = α Gọi P, Q hình chiếu vuông góc M x'Ox vàø y'Oy T, U giao điểm tia OM với t'At u'Bu Ta định nghóa: t y t Trục sin Trục cotang u' U B M Q t x' O P + T α α u sin α = OQ x tanα A − Trục cosin −1 y' cos α = OP Trục tang t' 33 = AT cot α = BU Chun đề LTĐH b Các tính chất : • Với α ta có : −1 ≤ sin α ≤ hay sinα ≤ Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn −1 ≤ cosα ≤ hay cosα ≤ tanα xác đinh ∀α ≠ π + kπ • cotα xác đinh ∀α ≠ kπ c Tính tuần hoàn • sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cos α tan(α + kπ ) = tan α cot(α + kπ ) (k ∈ Z ) = cot α IV Giá trị hàm số lượng giác cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ giá trị đặc biệt y t - - /3 -1 u' 2π/3 3π/4 5π/6 x' π -1 B /3 π /2 u π/3 /2 π/4 /2 π/6 /3 1/2 1/2 - /2 - /2 -1/2 /2 /2 + x A (Điểm gốc) O − -1/2 - /3 -π/6 - /2 -π/4 - /2 -1 -π/3 -1 π/2 -π y' t' 34 - Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 00 Goùc Hslg sin α cos α tan α cot α kxñ 300 450 π π π π 2 2 3 2 kxñ 3 3 600 900 3 1200 2π 3 − − − 1350 3π 2 − -1 -1 3 1500 5π 1800 3600 π 2π 3 − − 0 -1 0 kxñ kxđ − V Hàm số lượng giác cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó cung : Cung đối : α -α Cung bù : α π -α Cung phụ : α π : α π Cung π 2 (tổng 0) −α ( tổng π ) ( tổng +α Cung π : α π + α cos(−α ) = cos α = − sin α tan(−α ) = − tan α cot(−α ) = − cot α ) π (Vd: π (Vd: π (Vd: π (Vd: π &− 6 & 6 ,…) 5π ,…) & π π ,…) & 2π ,…) & 7π ,…) Cung bù : Cung đối nhau: sin(−α ) π (Vd: cos(π − α ) = − cos α Đối cos Bù sin 35 sin(π − α ) = sin α tan(π − α ) = − tan α cot(π − α ) = − cot α Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Cung phụ : Cung π sin( − α ) = cos α π = cotα tan( − α ) 2 π cos( − α ) = sin α π π Phụ chéo Hơn π sin cos cos trừ sin π cot( − α ) = tan α Cung π : cos( + α ) = − sin α π = cos α tan( + α ) π = − cotα π = − tan α sin( + α ) cot( + α ) cos(π + α ) = − cos α sin(π + α ) = − sin α tan(π + α ) = tanα cot(π + α ) = cot α Hơn π tang , cotang VI Công thức lượng giác: Các hệ thức bản: cos2α 1 + cot 2α = sin α tanα cotα = 1 + tan 2α = cos α + sin α = tanα cotα sinα cosα cosα = sinα = Công thức cộng : cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cos α sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cos α tanα +tanβ − tan α tan β tanα − tanβ tan(α − β ) = + tan α tan β tan(α +β ) = 36 Chun đề LTĐH Công thức nhân đôi: Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn cos2 α = + cos 2α sin2 α = − cos 2α cos 2α = cos2 α − sin α = cos2 α − = − 2sin α = cos4 α − sin α sin 2α = sin α cos α tan 2α = tan α − tan α sin α cos α = Công thức nhân ba: cos α = cos 3α + cos α sin α = sin α − sin 3α cos 3α = cos α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin α Coâng thức hạ bậc: cos2 α = + cos 2α ; sin2 α = 6.Công thức tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tan sin α = 2t ; + t2 − cos 2α ; 2 − t2 ; + t2 tan α = Công thức biến đổi tích thành tổng : [ cos(α + β ) + cos(α − β )] sin α sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] cosα cos β = 37 tan2 α = α cos α = sin 2α 2t − t2 − cos 2α + cos 2α Chun đề LTĐH Công thức biến đổi tổng thành tích : Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn cos α + cos β = cos α +β cos α −β 2 α +β α −β cos α − cos β = −2sin sin 2 α +β α −β sin α + sin β = sin cos 2 α +β α −β sin α − sin β = cos sin 2 sin(α + β ) tan α + tan β = cos α cos β sin(α − β ) tan α − tan β = cos α cos β Caùc công thức thường dùng khác: π π cosα + sin α = cos(α − ) = sin(α + ) 4 π + cos 4α + cos 4α cos6 α + sin α = cos α + sin α = π cosα − sin α = cos(α + ) = − sin(α − ) 4 B PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Các bước giải phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghóa Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận I Định lý bản: ( Quan troïng ) sinu=sinv cosu=cosv u = v+k2π ⇔ u = π -v+k2π u = v+k2π ⇔ ⇔ u = ± v + k2π u = -v+k2π tanu=tanv ⇔ u = v+kπ cotu=cogv ⇔ u = v+kπ (u;v ≠ π + kπ ) (u;v ≠ kπ ) ( u; v biểu thức chứa ẩn k ∈ Z ) 38 Chuyên đề LTĐH Ví dụ: (B.2013) Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Ví dụ: (CĐ.2013) II Các phương trình lượng giác bản: Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( ∀m ∈ R ) * Gpt : sinx = m (1) • Nếu m > pt(1) vô nghiệm • Nếu m ≤ ta đặt m = sin α ta có x = α +k2π (1) ⇔ sinx=sinα ⇔ x = (π -α )+k2π * Gpt : cosx = m (2) • Nếu m > pt(2) vô nghiệm • Nếu m ≤ ta đặt m = cos β ta có x = β +k2π (2) ⇔ cosx=cosβ ⇔ x = − β +k2π * Gpt: tanx = m (3) ( pt có nghiệm ∀m ∈ R ) • Đặt m = tan γ (3) ⇔ tanx = tanγ ⇔ x = γ +kπ * Gpt: cotx = m (4) • ( pt có nghiệm ∀m ∈ R ) Đặt m = cot δ (4) ⇔ cotx = cotδ ⇔ x = δ +kπ Các trường hợp đặc biệt: sin x = −1 ⇔ x = − sinx = ⇔ x = kπ sin x = ⇔ x = π cosx = ⇔ x= π π + k 2π + k 2π cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π cos x = y B C + kπ 39 x A O D ⇔ x = k 2π + − Chuyên đề LTĐH Bài tập rèn luyện 1) cos10 x + cos x + cos x.cos x = cos x + 8cos x.cos3 x 2) cos x.cos3 x + s in3x.sin x = 3) tan x + cot x = + s in2x tan x + sin x x 4) = cos tan x − sin x cos x 5) = + s in4x π 2 cos x + 4 s in3x + cos x = 3cos x + sin x 6) + 2sin x Daïng 2: a sin x + b sin x + c = a cos2 x + b cos x + c = Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ( x = k 2π ) (x=± (x= π π + kπ ) 2π + k 2π ) (x=± (x=± + kπ ) π + kπ ) 12 π (x=− + kπ ) ( a ≠ 0) a tan x + b tan x + c = a cot x + b cot x + c = Cách giải: Đặt ẩn phuï : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx) Ta phương trình : at + bt + c = (1) Giaûi phương trình (1) tìm t, suy x Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) Bài tập rèn luyện s in3x + cos x 1) + sin x = cos x + + sin x (x=± cos5 x sin x − sin x cos x = sin x 3) 4) (x= cos x + 3cot x + s in4x =2 cot x − cos x ( sin x + ) cos x − cos + sin x π (x= =1 40 + k 2π ) kπ π kπ ,x = + ) (x=− x −1 π 12 π + kπ , x = + k 2π ) 7π + kπ ) 12 Chuyên đề LTĐH Daïng 3: Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn a cos x + b sin x = c (1) ( a;b ≠ 0) (Phương trình bậc cosx sinx) Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a + b pt a b c (1) ⇔ cos x + sin x = a2 + b a2 + b2 a2 + b • • Đặt a a2 + b2 = cosα vaø b a2 + b = sin α với α ∈ [ 0;2π ) : (2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα = ⇔ cos(x-α ) = c c a2 + b (3) a2 + b Pt (3) có dạng Giải pt (3) tìm x Chú ý : (2) Pt acosx + bsinx = c có nghiệm ⇔ a2 + b ≥ c Bài tập rèn luyện 1) 3sin x − cos12 x = + sin x ( (x= ) 2) cos x + sin x = sin x + cos x + cos x + 4sin x ( ) 3) sin x + cos x + 3 s in4x = + = 8sin x sin x cos x 3x x π 5) sin cos − 2sin x + = ( cos x − cos x ) + 2 3 4) 41 π + kπ 7π kπ + ) ;x = 72 24 2π (x= + k 2π ; x = k 2π ) π kπ π kπ (x= + ;x = − + ) 12 π π kπ ( x = + kπ ; x = − + ) 12 π 7π ( x = + kπ ; x = + kπ ) 12 Chuyên đề LTĐH d Daïng 4: Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn a sin x + b sin x.cos x + c cos2 x = (a;c ≠ 0) (1) (Phương trình đẳng cấp bậc hai sin cos) Cách giải 1: − cos x + cos x vaø cos2 x = 2 công thức nhân ñoâi : sin x.cos x = sin x thay vào (1) ta biến đổi pt (1) dạng p dụng công thức hạ bậc : sin x = Cách giải 2: ( Quy pt theo tang cotang ) Chia hai vế pt (1) cho cos2 x ta pt: a tan2 x + b tan x + c = Đây pt dạng biết cách giải Chú ý: Trước chia phải kiểm tra xem x = π + kπ có phải nghiệm (1) không? Ví dụ : Giải phương trình: sin x + (1 − ) sin x cos x − cos x + − = Nói thêm: Phương trình dạng đẳng cấp bậc ba: a sin x + b sin x cos x + c sin x cos x + d cos3 x = đẳng cấp cao thực theo cách giải d Daïng 5: a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = (1) Cách giải : π Đặt t = cos x + sin x = cos( x − ) với - ≤ t ≤ t2 − Do (cos x + sin x ) = + sin x.cos x ⇒ sinx.cosx= • Thay vào (1) ta phương trình : t2 − at + b + c = (2) • • Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện giải pt: 42 π cos( x − ) = t tìm x Chuyên đề LTĐH Chú ý : Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Ta giải tương tự cho pt có dạng : a(cos x − sin x ) + b sin x.cos x + c = Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a Phương pháp 1: Biến đổi pt cho dạng pt lượng giác biết Ví dụ 1: (B-2012) Ví du 2ï: Giải phương trình: =0 2) sin 3x − cos 3x = s in2x 3) tan x − = cos x 1) sin x + cos x + sin x − b Phương pháp 2: Biến đổi pt cho dạng tích số Cơ sở phương pháp dựa vào định lý sau đây: A=0 A.B = ⇔ B=0 hoaëc A.B.C = A=0 ⇔ B=0 C=0 Ví du 1ï : (D-2013) Ví du 2ï: (A-2012) Ví du : (D-2012) Ví dụ 4: (A-2013) Ví du 5: Giải phương trình : a sin2 x + sin2 x + sin2 x = b 2sin3 x + cos x − cos x = c Phương pháp 3: Biến đổi pt dạng đặt ẩn số phụ Một số dấu hiệu nhận biết : • Phương trình chứa một hàm số lượng giác ( cung khác lũy thừa) Ví dụ : Giải phương trình : a cos x + cos x − cos x − = b cos x − cos x − cos x + = 43 Chuyên đề LTĐH • Phương trình có chứa (cos x ± sin x ) sinx.cosx Ví dụ : Giải phương trình : + sin3 x + cos3 x = sin 2x Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Giải phương trình lượng giác sau 1 7π + = sin − x 1) 4 sin x sin x − 3π 2 2) sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = + cos x 3) sin x − cos3 x = sin x cos2 x − sin2 x cos x Bài 2: Giải phương trình lượng giác sau 1) (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = + s in2x 2) sin2 2x + sin 7x − = sin x x x 2 3) sin + cos + cos x = 2 Bài 3: Giải phương trình lượng giác sau (cos6 x + sin x ) − sin x cos x 1) =0 − sin x x 2) cot x + sin x 1 + tan x tan = 2 3) cos 3x + cos 2x − cos x − = Bài 4: Giải phương trình lượng giác sau 1) cos2 3x cos 2x − cos2 x = 2) + sin x + cos x + s in2x+cos2x=0 π π 3) cos4 x + sin x + sin 3x − cos x − − = 4 4 Bài 5: Giải phương trình lượng giác sau cos 2x 1) cot x − = + sin2 x − s in2x + tan x 2 2) sin x − = (1 − sin x ) tan x 3) (2cosx − 1)(2 sin x + cos x ) = s in2x − sin x Hết 44 ... /3 1/2 1/2 - /2 - /2 -1 /2 /2 /2 + x A (Điểm gốc) O − -1 /2 - /3 -? ?/6 - /2 -? ?/4 - /2 -1 -? ?/3 -1 π/2 -? ? y'' t'' 34 - Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 00 Góc Hslg sin α cos α tan α cot α kxñ... Chun đề LTĐH • Phương trình có chứa (cos x ± sin x ) sinx.cosx Ví dụ : Giải phương trình : + sin3 x + cos3 x = sin 2x Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Giải phương trình lượng giác. .. số lượng giác cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ giá trị đặc biệt y t - - /3 -1 u'' 2π/3 3π/4 5π/6 x'' π -1 B /3 π /2 u π/3 /2 π/4 /2 π/6 /3 1/2 1/2 - /2 - /2 -1 /2