Tham khảo tài liệu ''chuyên đề luyện thi đh phần số phức'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
ồ Văn Hồng Chun đề số phức Vd 4: Tính (1 i ) Chủ đề 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 100 A/ Kiến thức bản: 1) Các định nghĩa: * Cho a b hai số thực i đơn vị ảo ( i = -1), đó: z = a + bi gọi số phức a: gọi phần thực ; b: gọi phần ảo Ta có (1− i) Cmr: z z 0; a2 b2 zz' = z z' , zz=a +b z ,z+z'=z+z', zz'=z z', z= z z số thực z = z 2) Các phép tốn tính chất bản: a c (a + bi) = (c + di) b d (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i (a + bi).(c + di) = nhân bình thường nhân đa thức a bi (a bi )(c di ) (nhân tử, mẫu cho số phức liên hợp mẫu) c di (c di )(c di ) 3) Biểu diễn hình học số phức Số phức z = a + bi (a, b ) biểu diễn M(a; b) mặt phẳng toạ độ Oxy hay gọi mặt phẳng phức Trục Ox biểu diễn số thực gọi trục thực, Trục Oy biểu diễn số ảo gọi trục ảo Số phức z = a + bi (a, b ) biểu diễn vectơ u (a; b ) , M(a; b) điểm biểu diễn số phức z = a + bi (a,b ) có nghĩa OM biểu diễn số phức Ta có:Nếu u,v theo thứ tự biểu diễn số phức z, z' u v biểu diễn số phức z + z', u v biểu diễn số phức z − z', k u ( k ) biểu diễn số phức kz, OM u z , với M điểm biểu diễn z Đặt z = x + yi, z z ( x yi )2 x y x y x y x y x y xyi 2 xy x y y y x x 0 Vậy tập hợp điểm M(z) mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I(1; − 1) bán kính R = b) Gọi A (− ; 0), B(0 ; 1) Khi z i z z ( 2) z i M(z)A = M(z)B Vậy tập hợp điểm M(z) đường trung trực đoạn thẳng AB Nhận xét: Với phần b ta thức cách giải làm phần a Tuy nhiên để thể thực cách giải ta dựa váo nhận xét sau: Nếu véctơ u mặt phẳng phức biểu diễn số phức z độ dài vectơ u u z , từ điểm A, B theo thứ tự biểu diễn số phức z, z' AB z z ' 2010 Mà − i Ví dụ 2: Trong số phức z thoả mãn điều kiện z 3i Tìm số phức z có modul nhỏ Xét biểu thức z 3i (1) Đặt z = x + yi Khi (1) trở thành ( x 2) ( y 3)i ( x 2)2 ( y 3)2 Do điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm i 2 =2 Nên i i i i 2009 2009 x 0, y x 0, y x 0, y 1 y 0, x z i ( x 1)2 ( y 1)2 ( x 1)2 ( y 1)2 Kết quả: + 10i x y y x (do x 0) y a) Đặt z = x + yi suy z − + i = (x − 1) + (y + 1)i 3 i i 2 1 3i 2 1 i i 2 2 2010 x y (1 y ) y x (1 x ) Biểu diễn số phức mặt phẳng toạ độ Ví dụ 1: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) z i ; b) z i z a) z = (0 + − 3) + (1 − + 2)i = −1 − i Vậy số phức cho có phần thực − 1, phần ảo − b) (-1 i )3 (-1)3 3(-1)3 i 3(-1)i i 2i ; Ví dụ 3: Tính i i i i 2009 Ta có 1 i (1 i )(1 i i i i Vậy có ba số phức thoả điều kiện z = 0; z = i; z = − i B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP Xác định tổng, hiệu, tích, thương số phức Ví dụ 1: Tìm phân thực, phần ảo số phức sau a) z =i + (2 − 4i) − (3 − 2i); b) z’ = ( 1 i )3 (2i )3 Ta có : ; z Với z i 2 z i 2 3 i ) ( i) 1 ; Nên z z ( 2 2 i 1 2 Lại có i z 2 i 2 Suy z z Hơn ta có z = z z = z Ví dụ 6: Tìm số phức z, z z Số phức có phần thực gọi số ảo = + 0i số vừa thực vừa ảo * z = a - bi số phức liên hợp z = a + bi ngược lại Ví dụ 2: Tính z z2 Do z Số phức có phần ảo gọi số thực nên R (-2i )3 (-2)3 (i )3 8i = ((1 i )2 )50 ( 2i )50 ( 2)50 (i )50 250 Ví dụ 5: Tập số phức kí hiệu * Mô đun số phức z = a + bi | z | = 100 ) đường trịn (C) tâm I(2; −3) bán kính R = 2 = + i 1 i Ta có |z| đạt giá trị nhỏ điểm M(C) gần O Hồ Văn Hoàng Chuyên đề số phức Do M giao điểm (C) đường thẳng OI, với M giao điểm gần O y Ta có OI = 13 Kẻ MH Ox H O Theo định lí ta lét có x 13 MH OM M OI 13 I -3 b 2a b = : pt (1) có nghiệm (thực) kép: x1 x2 2a < : pt (1) có nghiệm phức phân biệt: b i | | b i | | , x1 x2 2a 2a 4.Công thức nghiệm ph trình bậc hai hệ số phức Cho phương trình : ax bx c 0; (1) (a, b, c , a 0) >0:pt(1) có nghiệm thực phân biệt x1 13 2 13 78 13 MH 26 13 13 OH OH 13 26 13 Lại có 13 13 13 13MH 13 có b 4ac b b ; x2 2a 2a Trong bậc hai b Nếu = pt có nghiệm kép: x1 x2 2a Nếu pt có hai nghiệm x1 26 13 78 13 i 13 26 Ví dụ 3: Chứng minh với số phức z, w, ta có z w z w Đẳng thức xảy nào? B CÁC DẠNG BÀI TẬP Giải phương trình bậc Biến đổi phương trình B dạng Az + B = 0; A, B , A ≠ Viết nghiệm z A Ví dụ : Giải phương trình 2iz + - i = (1 i ) 1 1 i Nghiệm phương trình z 2i 2i 2 2.Tính bậc hai giải phương trình bậc hai Ví dụ 1: Tìm bậc hai số phức sau: a ) 12i b ) 6i c ) 33 56i d ) 4i Vậy số phức cần tìm z Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z, w, z + w Ta có z OA, w OB, z w OC Từ OC OA + AC suy z w z w Hơn OC = OA + AC O, A, C thẳng hàng A thuộc đoạn thẳng OC Khi O A (hay z 0) điều có nghĩa có số k để AC kOA tức w = kz (Còn z = 0, rõ ràng z w z w ) a) Gọi z = x + iy bậc hai -5 + 12i tức x iy Vậy z w z w z = z 5 12i x y 2ixy 5 12i x y 5 x x y 5 x 2 2 x y 13 y y 3 2 xy 12 x x 2 Do b = 12 > x, y dấu y y 3 Vậy -5 + 12i có bậc hai z1 =2+3i z2 = -2-3i b) Tương tự gọi z = x + iy bậc hai 8+ 6i tức tồn k R để w = kz Chủ đề 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ Phức A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Căn bậc hai số thực âm: Mỗi số thực âm a có bậc hai i | a | - i | a | x iy 6i x y 2ixy 6i x y x x y x 3 2 x y 10 y y 1 2 xy x x 3 Do b= 6> x, y dấu y y 1 Vậy + 6i có bậc hai 3+i -3-i c) Gọi z = x + iy bậc hai 33 - 56i tức Ví dụ: số -7 có bậc hai i - i số -9 có bậc hai 3i -3i Định nghĩa bậc hai số phức Cho số phức w số phức z thoả mãn z = w gọi bậc hai số phức w a) Nếu w số thực + w < có hai bậc hai: i w & i w x iy + w có hai bậc hai: w & w b) Nếu w số phức ta thực bước: + Giả sử w = a + ib, đặt z = x + iy bậc hai x y a (1) w tức là: z w ta có hệ: (2) 2 xy b Bình phương vế (1) (2) cộng lại ta 2 x y a (1) x y a b Ta có hệ: 2 2 x y a b (2') Giải hệ tìm x y suy x y để tìm z Chú ý: Theo (2) ta có : b > x, y dấu b < x, y trái dấu Phương trình bậc hai với hệ số thực: ax + bx + c = , (a,b,c R ) (1) 33 56i x y 2ixy 33 56i x y 33 x y 33 x 7 x 49 2 x y 65 y 16 y 4 2 xy 56 x x 7 Do b = -56 < x, y trái dấu y y Vậy bậc hai 33 - 56i 7- 4i -7+i4 d) Gọi z = x + iy bậc hai -3 +4i tức x iy 3 4i x y 2ixy 3 4i x y 3 x y 3 x 2 x y y 2 xy x Do b = > x, y dấu y Vậy bậc hai -3 + 4i + 2i x 1 4 y 2 x 1 y 2 -1-2i 1 Hồ Văn Hoàng Chuyên đề số phức i 3i 3i z i 3i 2i 2 Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a ) x 4i x 5i 0; (1) x 1 i x i 0; b) Vậy ta có (2) a) Ta có 4i 5i 1 3 4i 1 i z Theo kết ví dụ 1d) có hai bậc hai 1+ 2i -1 - 2i Do pt (1) có hai nghiệm là: 4i 2i 4i 2i x1 3i ; x2 1 i 2 Theo kết ví dụ 1b) có hai bậc hai + i -3 - i Do pt (2) có hai nghiệm là: 1 i i 1 i i 1; x2 2 i 2 Chú ý: PT (2) dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = Ví dụ 3: Giải phương trình : a ) x x (1); 2 32 23 11 30 i i i 3 9 b) B z1z2 z1 z2 a) Ta có = - 4.3.2 = −23 = − 23 i < nên ta có hai bậc hai là: i 23 & i 23 Từ nghiệm pt (1) 2 5 2 10 i i i 3 9 z12 z22 A 6 26 i z1z2 18 1 1 i 3 Ví dụ 9: Giải pt: z 6z 25 (1) Đặt z t Khi (1) có dạng: t 6t 25 (2) Ta có: ' 16 = 16.i có hai bậc hai 4i - 4i nên pt (2) có hai nghiệm t1 4i t 4i Mặt khác + 4i có hai bậc hai là: + i -2 - i cịn - 4i có hai bậc hai là: - i -2 + i nên pt (1) có nghiệm là: z1 i ; z2 2 i ; z3 i ; z4 2 i 1 i 23 1 i 23 ; x2 6 b) Tương tự ta có = − = −3i < có hai bậc hai là: i & i nên (2) có nghiệm là: c) Ta có C x1 x2 1 i x c) Ta có (3) x 1 x x x x 0; (*) 2i 32 23 i z1 z2 3 1 i 1 i 1 1 z1z2 i i a) Ta có A z1 z2 2z1z2 = b ) x x (2); c ) x (3) 1 i ; 2i z i Theo Vi-et ta có: x1 x1 Khơng giải pt tính giá trị biểu thức sau: z z a ) A z12 z22 ; b ) B z12 z2 z1z22 ; c ) C z2 z1 b) Tương tự ta có 1 i i 6i là: z 2i z2 i Ví dụ 8: Cho z1, z2 nghiệm phương trình 2 z1 1 i 1 i ; x2 2 Từ ta có nghiệm pt (3) là: Theo b) (*) có hai nghiệm x1 Bài 1: Thực phép tính : 3 a) ĐS: i 2i 5 1 i 1 i x1 1; x2 ; x3 2 ( Các nghiệm pt (3) gọi bậc ba 1) Ví dụ : Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: 3i ; 2 5i c) m i m ĐS: −i m e) 3i (1 2i )(1 i ) ĐS: i 5 b) 1 i 1 i ĐS: i d) ai a ai a ĐS: f) (1 2i )2 (1 i )2 (3 2i )2 (2 i )2 ai b b ĐS: h) (2 – i)6 i a a i a Bài 2: Giải phương trình trùng phương: g) Theo ta có: 8i 23 14i kết pt bậc hai cần lập là: x 8i x 14i 23 a ) z 1 i z 63 16i 0; Ví dụ 6: Tìm m để phương trình: x mx 3i có tổng bình phương nghiệm a 1 a i a 1 a 1 ĐS: 21 i 34 17 ĐS: -117 – 44i b ) z 24 1 i z 308 144i Bài 3: Cho z1, z2 nghiệm phương trình: z i z 3i Khơng giải pt tính giá trị biểu thức sau: z z a ) A z12 z22 b ) B z12 z2 z1z22 c) C z2 z1 Theo ta có: x12 x22 x1 x2 x1x2 (1) x x m Theo Vi-et ta có Thay vào (1) ta x1x2 3i m 6i m 6i m bậc hai 8+6i Theo kết VD1b/ có giá trị m là: + i -3 - i 2 z z2 2i (1) Ví dụ 7: Giải hệ phương trình (2) z1 z2 i d ) D z13 z23 e ) E z2 z13 z1z23 1 2 2 f ) F z1 z2 z z z z 1 Bài 4: Giải hệ phương trình: z1 z2 i a) ĐS:(3 – i; + 2.i) (1 + 2.i; – i) z1 z2 2i z1.z2 5 5.i ĐS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; – i), b) 2 (-2 + i; + 3i), (1 + 3i; -2 + i) z1 z2 5 2.i Bài 5: Lập phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm là: a) i i b) 2i 2i Từ (2) ta có z12 z22 2z1z2 15 8i Kết hợp với (1) ta có z1z2 5i ta có hệ phương z z2 i trình: Do z1, z2 nghiệm z1z2 5i phương trình z i z 5i Ta có 5 12i Bài 6: Lập phtrình bậc hai hệ số thực nhận số phức z z làm nghiệm Bài 7: Trên mặt phẳng toạ độ tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z = a + bi , thoả mãn điều kiện: a) Phần thực phần ảo b) phần thực < a < c) |z| = Bài tập 4: Tìm nghiệm phương trình z2 = z , z số phức liên hợp số phức z theo VD1a/ ta biết có hai bậc hai là: + 3i -2 - 3i Hồ Văn Hoàng Chuyên đề số phức sin sin i cos hay z = 2sin (sin - icos ) (*) Chủ đề : DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Nếu sin , từ (*) có z = 2sin cos( ) i sin( ) 2 dạng số phức cần tìm Nếu sin < 0, từ (*) ta có z 2sin ( sin i cos ) A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Số phức dạng lượng giác Acgumen số phức z Cho số phức z Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Khi số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi Acgumen z Chú ý: + Nếu Acgumen z Acgumen z có dạng: + k2 , k Z + Acgumen z xác định sai khác k2 , k Z Dạng lượng giác số phức 2sin cos( ) i sin( ) dạng lượng giác cần tìm 2 Nếu sin = 0, z = 0, nên khơng có dạng lượng giác xác định Các tập tính toán tổng hợp dạng lượng giác Phương pháp: Đưa số phức dạng lượng giác sử dụng cơng thức Moivre để tính tốn đại lượng theo u cầu tập Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo số phức sau a) 5 5 25 (cos i sin ) 2(cos i sin ) (1 i )10 2 9 3 3 29 (cos i sin ) a) ( i ) 2(cos i sin 2 6 1 (cos i sin ) 16 10 Cho số phức z = a+bi, (a, b R), với r = a b modun số phức z Acgumen số phức z Dạng z = r (cos +isin ) gọi dạng lượng giác số phức z 0, dạng z = a + bi gọi dạng đại số số phức z II Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z=r(cos +isin ), z'=r'(cos '+isin ')(r & r' ) 2 b) cos i sin i (1 3i )7 = cos( ) i sin( ) i 2(cos i sin ) 3 3 3 27 cos( ) i sin( ) (cos i sin )i 27 cos 2 i sin2 i 27 i 3 3 zz' = rr ( cos ( ') i sin( ' )) z r cos( ') i sin( ') (khi r' > 0) z' r ' III Công thức Moa-Vrơ ứng dụng Công thức Moa- Vrơ 3i cos i sin z 3 c) Từ z z z z 3i cos( ) i sin( ) z 3 Với z cos i sin , ta có z 2009 2009 3 z 2009 (cos i sin ) ( )2009 3 cos i sin 3 r (cos i sin ) r n (cos n i sin n ) n cos i sin cos n i sin n, n N * n Căn bậc n số phức Với z = r(cos +isin ), r > 0, có hai bậc hai z r (cos r (cos (cos i sin ) r (cos( ) i sin( )) 2 i 2(cos i 2(cos a) i cos( ) i sin( ) ; i cos i sin 3 4 (1 i )2008 c) Ta có z sin i cos cos( Vậy z cos( ) i sin( 2 ) i sin( ) ) i 2sin cos )(2cos2 i 2sin cos ) 2 2 sin cos (sin i cos )(cos i sin ) 2 2 2 i sin ) (1 i )2008 21004 (cos502 i sin502 ) i sin ) 2(cos( ) i sin( )) 4 4 1004 (cos( 502 ) i sin( 502 )) r Khi z r (cos3 i sin3 ) 3 k 2, k Do phương trình có ba nghiệm ứng với ba giá trị k Với k = ta có z = cos0 + isin0 = 1; dạng lượng giác (1 cos i sin )(1 cos i sin ) Xét phương trình z , có nghiệm dạng z r (cos i sin ) Xét số phức z = (1 cos i sin )(1 cos i sin ) , ta có Ví dụ 3: Chứng minh điểm biểu diễn bậc ba lập thành tam giác Ví dụ 2: Tuỳ theo góc , viết số phức sau z (2sin2 Do S 21005 cos(502 ) 21005 Do (1 i 3)(1 i ) 2 cos( ) i sin( ) 12 12 b) Từ phần ta có kết 1 i 7 7 cos i sin 1 i 12 12 Ví dụ 2: Tính tổng sau S (1 i )2008 (1 i )2008 Viết số phức dạng lượng giác Ví dụ 1: Viết số phức sau dạng lượng giác 1 i a )(1 i 3)(1 i ); b ) ; c )z sin i cos 1 i i sin )2009 (cos( ) i sin( ))2009 3 3 2009 2009 2009 2009 (cos i sin )(cos i sin ) 3 3 2 2 2cos(669 ) 2cos 3 i sin ) ; 1 (1 i )10 ; b) cos i sin i (1 3i )7 ; c )z 2009 2009 ,nếu z z z 3 ( i )9 2sin (sin cos sin cos i (cos2 sin2 )) 2 2 2 Với k = ta có z = cos 2 2 i sin i ; 3 2 Với k = ta có z = cos 4 4 i sin i 3 2 Hồ Văn Hoàng Chuyên đề số phức Nên có ba bậc ba số phức xác định Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức OA OB OC 1; 2 ; z , z , z Khi AOB 2 BOC Từ suy tam giác ABC tam giác ... hai 33 - 56i tức Ví dụ: số -7 có bậc hai i - i số -9 có bậc hai 3i -3i Định nghĩa bậc hai số phức Cho số phức w số phức z thoả mãn z = w gọi bậc hai số phức w a) Nếu w số thực + w < có hai bậc... 10 Cho số phức z = a+bi, (a, b R), với r = a b modun số phức z Acgumen số phức z Dạng z = r (cos +isin ) gọi dạng lượng giác số phức z 0, dạng z = a + bi gọi dạng đại số số phức z... sin i cos ) A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Số phức dạng lượng giác Acgumen số phức z Cho số phức z Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Khi số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox,