Chuyên đề luyện thi ĐH phần số phức

Tham khảo tài liệu ''chuyên đề luyện thi đh phần số phức'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

ồ Văn Hồng Chun đề số phức Vd 4: Tính (1  i ) Chủ đề 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 100 A/ Kiến thức bản: 1) Các định nghĩa: * Cho a b hai số thực i đơn vị ảo ( i = -1), đó: z = a + bi gọi số phức a: gọi phần thực ; b: gọi phần ảo Ta có (1− i) Cmr: z  z   0; a2  b2 zz' = z z' , zz=a +b  z ,z+z'=z+z', zz'=z z', z= z z số thực z = z 2) Các phép tốn tính chất bản: a  c  (a + bi) = (c + di)   b  d  (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i  (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i  (a + bi).(c + di) = nhân bình thường nhân đa thức a  bi (a  bi )(c  di )  (nhân tử, mẫu cho số phức liên hợp mẫu)  c  di (c  di )(c  di ) 3) Biểu diễn hình học số phức Số phức z = a + bi (a, b   ) biểu diễn M(a; b) mặt phẳng toạ độ Oxy hay gọi mặt phẳng phức  Trục Ox biểu diễn số thực gọi trục thực,  Trục Oy biểu diễn số ảo gọi trục ảo Số phức z = a + bi (a, b   ) biểu diễn  vectơ u  (a; b ) , M(a; b) điểm biểu diễn số  phức z = a + bi (a,b   ) có nghĩa OM biểu diễn số phức   Ta có:Nếu u,v theo thứ tự biểu diễn số phức z, z'    u  v biểu diễn số phức z + z',    u  v biểu diễn số phức z − z',   k u ( k   ) biểu diễn số phức kz,    OM  u  z , với M điểm biểu diễn z Đặt z = x + yi, z  z   ( x  yi )2  x  y   x  y  x  y   x  y  x  y  xyi     2 xy     x     y  y      y    x  x 0   Vậy tập hợp điểm M(z) mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I(1; − 1) bán kính R = b) Gọi A (− ; 0), B(0 ; 1) Khi  z  i  z  z  ( 2)  z  i M(z)A = M(z)B Vậy tập hợp điểm M(z) đường trung trực đoạn thẳng AB Nhận xét: Với phần b ta thức cách giải làm phần a Tuy nhiên để thể thực cách giải ta dựa  váo nhận xét sau: Nếu véctơ u mặt phẳng phức biểu diễn số   phức z độ dài vectơ u u  z , từ điểm  A, B theo thứ tự biểu diễn số phức z, z' AB  z  z ' 2010 Mà − i Ví dụ 2: Trong số phức z thoả mãn điều kiện z   3i  Tìm số phức z có modul nhỏ Xét biểu thức z   3i  (1) Đặt z = x + yi Khi (1) trở thành ( x  2)  ( y  3)i   ( x  2)2  ( y  3)2  Do điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm  i 2 =2 Nên  i  i  i   i 2009 2009   x  0, y     x  0, y    x  0, y  1   y  0, x  z   i  ( x  1)2  ( y  1)2   ( x  1)2  ( y  1)2  Kết quả: + 10i  x    y   y      x  (do x   0)     y  a) Đặt z = x + yi suy z − + i = (x − 1) + (y + 1)i 3  i  i 2  1 3i  2 1   i   i     2  2 2010   x     y (1  y )      y     x (1  x )   Biểu diễn số phức mặt phẳng toạ độ Ví dụ 1: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) z   i  ; b)  z  i  z a) z = (0 + − 3) + (1 − + 2)i = −1 − i Vậy số phức cho có phần thực − 1, phần ảo − b) (-1  i )3  (-1)3  3(-1)3 i  3(-1)i  i   2i ; Ví dụ 3: Tính  i  i  i   i 2009 Ta có 1 i  (1 i )(1 i  i  i   i  Vậy có ba số phức thoả điều kiện z = 0; z = i; z = − i B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP Xác định tổng, hiệu, tích, thương số phức Ví dụ 1: Tìm phân thực, phần ảo số phức sau a) z =i + (2 − 4i) − (3 − 2i); b) z’ = ( 1  i )3  (2i )3 Ta có : ; z  Với z    i 2 z  i 2 3 i )  (  i) 1 ; Nên z  z   (   2 2   i 1 2 Lại có     i z 2   i 2 Suy z  z  Hơn ta có z = z z = z Ví dụ 6: Tìm số phức z, z  z   Số phức có phần thực gọi số ảo = + 0i số vừa thực vừa ảo * z = a - bi số phức liên hợp z = a + bi ngược lại Ví dụ 2: Tính z  z2  Do z    Số phức có phần ảo gọi số thực nên R   (-2i )3  (-2)3 (i )3  8i = ((1  i )2 )50  ( 2i )50  ( 2)50 (i )50  250 Ví dụ 5: Tập số phức kí hiệu  * Mô đun số phức z = a + bi | z | = 100 ) đường trịn (C) tâm I(2; −3) bán kính R = 2  = + i 1 i Ta có |z| đạt giá trị nhỏ  điểm M(C) gần O Hồ Văn Hoàng Chuyên đề số phức Do M giao điểm (C) đường thẳng OI, với M giao điểm gần O y Ta có OI =   13 Kẻ MH  Ox H O Theo định lí ta lét có x 13  MH OM M   OI 13 I -3 b   2a b   = : pt (1) có nghiệm (thực) kép: x1  x2  2a   < : pt (1) có nghiệm phức phân biệt: b  i |  | b  i |  | , x1  x2  2a 2a 4.Công thức nghiệm ph trình bậc hai hệ số phức Cho phương trình : ax  bx  c  0; (1) (a, b, c  , a  0)   >0:pt(1) có nghiệm thực phân biệt x1  13   2 13  78  13  MH   26 13 13  OH  OH  13   26  13 Lại có  13 13 13  13MH  13  có   b  4ac b   b   ; x2  2a 2a Trong  bậc hai  b  Nếu  = pt có nghiệm kép: x1  x2   2a  Nếu   pt có hai nghiệm x1  26  13 78  13  i 13 26 Ví dụ 3: Chứng minh với số phức z, w, ta có z  w  z  w Đẳng thức xảy nào? B CÁC DẠNG BÀI TẬP Giải phương trình bậc Biến đổi phương trình B dạng Az + B = 0; A, B   , A ≠ Viết nghiệm z   A Ví dụ : Giải phương trình 2iz + - i = (1  i ) 1 1     i Nghiệm phương trình z  2i 2i 2 2.Tính bậc hai giải phương trình bậc hai Ví dụ 1: Tìm bậc hai số phức sau: a )   12i b )  6i c ) 33  56i d )   4i Vậy số phức cần tìm z  Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z, w, z + w Ta có z  OA, w  OB, z  w  OC Từ OC  OA + AC suy z  w  z  w Hơn OC = OA + AC O, A, C thẳng hàng A thuộc đoạn thẳng OC Khi O  A (hay z  0) điều   có nghĩa có số k  để AC  kOA tức w = kz (Còn z = 0, rõ ràng z  w  z  w ) a) Gọi z = x + iy bậc hai -5 + 12i tức  x  iy  Vậy z  w  z  w z = z   5  12i  x  y  2ixy  5  12i  x  y  5  x   x  y  5  x  2      2  x  y  13  y   y  3 2 xy  12 x   x  2 Do b = 12 > x, y dấu   y    y  3 Vậy -5 + 12i có bậc hai z1 =2+3i z2 = -2-3i b) Tương tự gọi z = x + iy bậc hai 8+ 6i tức tồn k  R để w = kz Chủ đề 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ Phức A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Căn bậc hai số thực âm: Mỗi số thực âm a có bậc hai i | a | - i | a |  x  iy    6i  x  y  2ixy   6i  x  y   x  x  y   x  3      2  x  y  10  y   y  1 2 xy  x   x  3 Do b= 6>  x, y dấu   y    y  1 Vậy + 6i có bậc hai 3+i -3-i c) Gọi z = x + iy bậc hai 33 - 56i tức Ví dụ: số -7 có bậc hai i - i số -9 có bậc hai 3i -3i Định nghĩa bậc hai số phức Cho số phức w số phức z thoả mãn z = w gọi bậc hai số phức w a) Nếu w số thực + w < có hai bậc hai: i w &  i w  x  iy  + w  có hai bậc hai: w &  w b) Nếu w số phức ta thực bước: + Giả sử w = a + ib, đặt z = x + iy bậc hai  x  y  a (1) w tức là: z  w ta có hệ:  (2) 2 xy  b Bình phương vế (1) (2) cộng lại ta 2  x  y  a (1) x  y  a  b Ta có hệ:  2 2  x  y  a  b (2') Giải hệ tìm x y suy x y để tìm z Chú ý: Theo (2) ta có : b > x, y dấu b < x, y trái dấu Phương trình bậc hai với hệ số thực: ax + bx + c = , (a,b,c  R ) (1)  33  56i  x  y  2ixy  33  56i  x  y  33  x  y  33  x  7  x  49      2  x  y  65  y  16  y  4 2 xy  56 x   x  7 Do b = -56 <  x, y trái dấu   y    y  Vậy bậc hai 33 - 56i 7- 4i -7+i4 d) Gọi z = x + iy bậc hai -3 +4i tức  x  iy   3  4i  x  y  2ixy  3  4i  x  y  3  x  y  3  x     2  x  y   y 2 xy  x  Do b = > x, y dấu  y  Vậy bậc hai -3 + 4i + 2i  x  1  4  y  2  x  1   y  2 -1-2i 1 Hồ Văn Hoàng Chuyên đề số phức  i   3i 3i z   i   3i   2i  2  Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a ) x    4i  x  5i   0; (1) x  1  i  x   i  0; b)  Vậy ta có  (2) a) Ta có     4i    5i  1  3  4i 1  i  z Theo kết ví dụ 1d)  có hai bậc hai 1+ 2i -1 - 2i Do pt (1) có hai nghiệm là:  4i   2i  4i   2i x1    3i ; x2   1 i 2 Theo kết ví dụ 1b)  có hai bậc hai + i -3 - i Do pt (2) có hai nghiệm là: 1  i   i 1  i   i  1; x2   2  i 2 Chú ý: PT (2) dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = Ví dụ 3: Giải phương trình : a ) x  x   (1); 2 32 23      11  30   i     i    i  3 9     b) B  z1z2  z1  z2  a) Ta có  = - 4.3.2 = −23 = − 23 i < nên ta có hai bậc hai  là: i 23 &  i 23 Từ nghiệm pt (1)   2      5  2  10    i   i   i   3 9    z12  z22 A 6  26 i   z1z2 18 1 1  i 3 Ví dụ 9: Giải pt: z  6z  25  (1) Đặt z  t Khi (1) có dạng: t  6t  25  (2) Ta có:  '  16 = 16.i có hai bậc hai 4i - 4i nên pt (2) có hai nghiệm t1   4i t   4i Mặt khác + 4i có hai bậc hai là: + i -2 - i cịn - 4i có hai bậc hai là: - i -2 + i nên pt (1) có nghiệm là: z1   i ; z2  2  i ; z3   i ; z4  2  i 1  i 23 1  i 23 ; x2  6 b) Tương tự ta có  = − = −3i < có hai bậc hai là: i &  i nên (2) có nghiệm là: c) Ta có C  x1  x2  1  i x   c) Ta có (3)   x  1 x  x      x  x   0; (*)    2i 32 23   i z1  z2  3  1 i  1 i 1 1  z1z2   i   i  a) Ta có A   z1  z2   2z1z2 = b ) x  x   (2); c ) x   (3) 1  i ;    2i  z   i  Theo Vi-et ta có: x1  x1  Khơng giải pt tính giá trị biểu thức sau: z z a ) A  z12  z22 ; b ) B  z12 z2  z1z22 ; c ) C   z2 z1 b) Tương tự ta có   1  i    i     6i là: z   2i  z2   i Ví dụ 8: Cho z1, z2 nghiệm phương trình 2 z1   1  i 1  i ; x2  2 Từ ta có nghiệm pt (3) là: Theo b) (*) có hai nghiệm x1  Bài 1: Thực phép tính : 3 a) ĐS:  i  2i 5 1  i 1  i x1  1; x2  ; x3  2 ( Các nghiệm pt (3) gọi bậc ba 1) Ví dụ : Lập phương trình bậc hai có nghiệm là:    3i ;   2  5i c) m i m ĐS: −i m e) 3i (1  2i )(1  i ) ĐS:  i 5 b) 1 i 1 i ĐS: i d) ai a ai a ĐS: f) (1  2i )2  (1  i )2 (3  2i )2  (2  i )2 ai b b ĐS: h) (2 – i)6 i a a i a Bài 2: Giải phương trình trùng phương: g) Theo ta có:      8i    23  14i kết pt bậc hai cần lập là: x    8i  x  14i  23  a ) z  1  i  z  63  16i  0; Ví dụ 6: Tìm m để phương trình: x  mx  3i  có tổng bình phương nghiệm a 1 a  i a 1 a 1 ĐS: 21  i 34 17 ĐS: -117 – 44i b ) z  24 1  i  z  308  144i    Bài 3: Cho z1, z2 nghiệm phương trình: z   i z   3i  Khơng giải pt tính giá trị biểu thức sau: z z a ) A  z12  z22 b ) B  z12 z2  z1z22 c) C   z2 z1 Theo ta có: x12  x22    x1  x2   x1x2  (1)  x  x  m Theo Vi-et ta có  Thay vào (1) ta  x1x2  3i m  6i   m   6i m bậc hai 8+6i Theo kết VD1b/ có giá trị m là: + i -3 - i 2 z  z2   2i (1) Ví dụ 7: Giải hệ phương trình  (2) z1  z2   i d ) D  z13  z23 e ) E  z2 z13  z1z23  1 2 2 f ) F  z1     z2    z z z z  1   Bài 4: Giải hệ phương trình: z1  z2   i a)  ĐS:(3 – i; + 2.i) (1 + 2.i; – i) z1  z2   2i z1.z2  5  5.i ĐS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; – i), b)  2 (-2 + i; + 3i), (1 + 3i; -2 + i) z1  z2  5  2.i Bài 5: Lập phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm là: a)  i  i b)  2i  2i Từ (2) ta có z12  z22  2z1z2  15  8i Kết hợp với (1) ta có z1z2   5i ta có hệ phương z  z2   i trình:  Do z1, z2 nghiệm z1z2   5i phương trình z    i  z   5i  Ta có   5  12i Bài 6: Lập phtrình bậc hai hệ số thực nhận số phức z z làm nghiệm Bài 7: Trên mặt phẳng toạ độ tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z = a + bi , thoả mãn điều kiện: a) Phần thực phần ảo b) phần thực < a < c) |z| = Bài tập 4: Tìm nghiệm phương trình z2 = z , z số phức liên hợp số phức z theo VD1a/ ta biết  có hai bậc hai là: + 3i -2 - 3i Hồ Văn Hoàng Chuyên đề số phức  sin   sin   i cos   hay z = 2sin  (sin  - icos  ) (*) Chủ đề : DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC      Nếu sin   , từ (*) có z = 2sin  cos(  )  i sin(  ) 2   dạng số phức cần tìm  Nếu sin  < 0, từ (*) ta có z  2sin  (  sin   i cos  ) A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Số phức dạng lượng giác Acgumen số phức z  Cho số phức z  Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Khi số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi Acgumen z Chú ý: + Nếu  Acgumen z Acgumen z có dạng:  + k2  , k  Z + Acgumen z  xác định sai khác k2  , k  Z Dạng lượng giác số phức      2sin  cos(  )  i sin(  ) dạng lượng giác cần tìm 2    Nếu sin  = 0, z = 0, nên khơng có dạng lượng giác xác định Các tập tính toán tổng hợp dạng lượng giác Phương pháp: Đưa số phức dạng lượng giác sử dụng cơng thức Moivre để tính tốn đại lượng theo u cầu tập Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo số phức sau a)     5 5 25 (cos  i sin )  2(cos  i sin ) (1  i )10   2   9 3 3    29 (cos  i sin ) a) (  i ) 2(cos  i sin  2 6   1  (cos   i sin  )   16 10 Cho số phức z = a+bi, (a, b  R), với r = a  b modun số phức z  Acgumen số phức z Dạng z = r (cos  +isin  ) gọi dạng lượng giác số phức z  0, dạng z = a + bi gọi dạng đại số số phức z II Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z=r(cos  +isin  ), z'=r'(cos  '+isin  ')(r  & r'  ) 2            b)  cos  i sin  i (1  3i )7 = cos(  )  i sin(  ) i 2(cos  i sin ) 3 3   3           27 cos(  )  i sin(  ) (cos  i sin )i  27 cos 2  i sin2  i  27 i 3  3  zz' = rr ( cos (    ')  i sin(   ' )) z r  cos(   ')  i sin(   ') (khi r' > 0) z' r ' III Công thức Moa-Vrơ ứng dụng Công thức Moa- Vrơ   3i    cos  i sin z  3 c) Từ z    z  z      z  3i    cos(  )  i sin(  ) z  3    Với z  cos  i sin , ta có z 2009  2009 3 z   2009  (cos  i sin ) ( )2009   3 cos  i sin 3 r (cos   i sin )  r n (cos n  i sin n ) n cos   i sin    cos n  i sin n, n  N * n Căn bậc n số phức Với z = r(cos  +isin  ), r > 0, có hai bậc hai z  r (cos    r (cos  (cos     i sin )  r (cos(   )  i sin(   )) 2  i  2(cos  i  2(cos        a)  i  cos(  )  i sin(  ) ;  i  cos  i sin  3  4    (1  i )2008 c) Ta có z  sin  i cos   cos( Vậy z  cos(    )  i sin(  2   )  i sin(    )  )      i 2sin cos )(2cos2  i 2sin cos ) 2 2         sin cos (sin  i cos )(cos  i sin ) 2 2 2       i sin )  (1  i )2008  21004 (cos502  i sin502 )     i sin )  2(cos(  )  i sin(  )) 4 4 1004  (cos( 502 )  i sin( 502 )) r  Khi z   r (cos3  i sin3 )    3  k 2, k   Do phương trình có ba nghiệm ứng với ba giá trị k Với k = ta có z = cos0 + isin0 = 1; dạng lượng giác (1  cos   i sin  )(1  cos   i sin )  Xét phương trình z   , có nghiệm dạng z  r (cos   i sin  ) Xét số phức z = (1  cos   i sin  )(1  cos   i sin  ) , ta có   Ví dụ 3: Chứng minh điểm biểu diễn bậc ba lập thành tam giác Ví dụ 2: Tuỳ theo góc  , viết số phức sau z  (2sin2  Do S  21005 cos(502 )  21005     Do (1  i 3)(1  i )  2 cos(  )  i sin(  ) 12 12   b) Từ phần ta có kết  1 i  7   7    cos     i sin    1 i  12   12      Ví dụ 2: Tính tổng sau S  (1  i )2008  (1  i )2008 Viết số phức dạng lượng giác Ví dụ 1: Viết số phức sau dạng lượng giác 1 i a )(1  i 3)(1  i ); b ) ; c )z  sin   i cos  1 i    i sin )2009  (cos(  )  i sin(  ))2009 3 3 2009 2009 2009 2009  (cos  i sin )(cos  i sin ) 3 3 2 2  2cos(669  )  2cos  3   i sin ) ;  1 (1  i )10    ; b)  cos  i sin  i (1  3i )7 ; c )z 2009  2009 ,nếu z   z z 3 (  i )9    2sin  (sin cos  sin cos  i (cos2  sin2 )) 2 2 2 Với k = ta có z = cos 2 2  i sin  i ; 3 2 Với k = ta có z = cos 4 4  i sin  i 3 2 Hồ Văn Hoàng Chuyên đề số phức Nên có ba bậc ba số phức xác định Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức    OA  OB  OC  1;   2 ; z , z , z Khi AOB   2 BOC Từ suy tam giác ABC tam giác ... hai 33 - 56i tức Ví dụ: số -7 có bậc hai i - i số -9 có bậc hai 3i -3i Định nghĩa bậc hai số phức Cho số phức w số phức z thoả mãn z = w gọi bậc hai số phức w a) Nếu w số thực + w < có hai bậc... 10 Cho số phức z = a+bi, (a, b  R), với r = a  b modun số phức z  Acgumen số phức z Dạng z = r (cos  +isin  ) gọi dạng lượng giác số phức z  0, dạng z = a + bi gọi dạng đại số số phức z... sin   i cos  ) A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Số phức dạng lượng giác Acgumen số phức z  Cho số phức z  Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Khi số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox,