Chuyên đề luyện thi ĐH phần giải tích tổ hợp

Tham khảo tài liệu ''chuyên đề luyện thi đh phần giải tích tổ hợp'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

ồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số tổ hợp Giai thừa : n! = 1.2 n; 0! = 1; n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n Quy tắc cộng : Trường hợp có m cách chọn, trường hợp có n cách chọn; cách chọn thuộc trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn : m + n Quy tắc nhân : Hiện tượng có m cách chọn, cách chọn lại có n cách chọn tượng Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai tượng : m x n Hốn vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác Số cách xếp : Pn = n ! Chỉnh hợp : Có n vật khác Chọn k vật, xếp vào k chỗ n! , Ank  Cnk Pk (n  N; k ≤ n) khác số cách : Ank  (n  k )! Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn k vật n! Số cách chọn : Cnk  k !(n  k )! Chỉnh hợp = tổ hợp hoán vị Cnk  Cnn  k ; Cnk11  Cnk1  Cnk Công thức nhị thức Niutơn a) Chẵn gồm chữ số ĐS : 3.63 b) Lẻ gồm chữ số ĐS : 3.63 c) Chẵn không chữ số không vượt chữ số d) chữ số khác có mặt số ? e) chữ số khác có mặt số ? f) chữ số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị HD: c) Xét trường hợp TH1 : Gồm chữ số TH2 : Gồm chữ số TH3 : Gồm chữ số ĐS : 3(63 + 64 + 65) d) Chữ số có có vị trí có A52  120 5= 600 số e) Số 1và có A52 , xếp số vào vị trí cịn lại A43 ĐS A52 A43 = 480 f) Vì tổng tất số 21 nên tổng ba số đầu 10, ba số cuối 11 Có cặp số thoả mãn là: + Cặp số đầu gồm 1, 4, ba số cuối gồm 2, 3, Có 3!.3! = 36 số + Cặp số đầu gồm 2, 3, ba số cuối gồm 1, 4, Có 3!.3! = 36 số + Cặp số đầu gồm 1, 3, ba số cuối gồm 2, 4, Có 3!.3! = 36 số Vậy có: 3.36 = 108 số Bài 3: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh HD: Coi hai số cặp Xét trường hợp: + TH1: cặp 2,3 đứng đầu, có: 2.4! = 48 số + TH2: cặp 2, đứng vị trí khác, có:4.2.3.3! = 144 ĐS: 192 Bài 4:Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn Bài 5: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác thiết phải có chữ số Bài 6: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người, biết nhóm phải có nữ ĐS 4: A63 3!  1440 ĐS B5: 5.4 A53  1200 ĐS6: C53 C105  C54 C104  C55 C310 n (a+b)n = Cn0 a n  Cn1 a n 1b   Cnk a n  k b k   Cnn b n =  Cnk a k b n  k k 0 Chú ý: Vế phải có n+1 số hạng  Mũ a b mỡi số hạng có tổng n  Số hạng tổng quát thứ k+1 có dạng : Tk+1= Cnk ann  k b k  Tổng hệ số : n Một số công thức đặc biệt: (1  x) n  Cn0  Cn1 x   Cnk x k   Cnn x n Bài 7: Có nhà tốn học nam, nhà toán học nữ, nhà vật lí nam Lập đồn cơng tác gồm nguời có nam nữ, cần có nhà tốn học nhà vật lí Hỏi có cách? ĐS: 90 cách Bài 8: Có cầu xanh đánh số từ đến 6, cầu đỏ đánh số từ đến cầu vàng đánh số từ đến Hỏi có cách lấy cầu vừa khác màu vừa khác số? ĐS: 64 cách Bài 9: Có cách phân phối đồ vật khác cho người, cho người nhận đồ vật ĐS: 150 cách Bài 10: Cho hình thập giác 1) Hỏi lập tam giác có đỉnh đỉnh thập giác, cạnh tam giác không cạnh thập giác đó? ĐS: 50 tam giác; 10 hcn 2) Hỏi lập hình chữ nhật có đỉnh đỉnh thập giác? Bài 11: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói trên, Hỏi có cánh xếp trường hợp sau: 1) Bất hai học sinh ngồi cạnh ngồi đối diện khác trường ĐS: 1) 2.6!.6! 2) 12.10.8.6.4.2.6! 2) Bất hai học sinh ngồi đối diện khác trường Bài 12: Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em Trong có học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có học sinh chọn HD: C188  (C118  C128  C138 )  41811 Cn0  Cn1   Cnn  2n ; Cn0  Cn1  Cn2   (1) k Cnk   (1) n Cnn  Đặt P(x) = (1  x) n  Cn0  Cn1 x   Cnn x n P(x) đa thức bậc n nên ta tính giá trị điểm bất kì; lấy đạo hàm; tích phân đoạn Khi ta có tốn Ví dụ: P(2001) = Cn0  2009Cn1   2009n Cnn  2010n  P'(x)=C1n +2xC 2n +3x C 3n + +nx n-1C nn = (1+x) n  '=n(1+x) n-1  P '(1)  Cn1  2Cn2  3Cn3   nCnn  n.2 n1  P '(1)  Cn1  2Cn2  3Cn3   (1)n nCnn   P '(a)  Cn1  aCn2  3a Cn3   na n1Cnn  n(1  a)n1  xP '( x )  xCn1  x Cn2  3x 3Cn3   nx nCnn  nx (1  x )n1 Các tốn nhị thức, phương trình bất phương trình tổ hợp, chỉnh hợp 1) Giải PT, BPT: a) Cn4  Cn5  3Cn61 (n = 6) b) Cnn21  Cnn  2,5 An2 (n=5)  Cn1  2 xCn2  32 x Cn3   n x n1Cnn  n(1  x )n1  n(n  1) x (1  x )n2  P ''( x )  2C  3.2 xC  4.3x C   n(n  1) x n   n(1  x ) n n 1 n  '  n(n  1)(1  x ) n 2 n n C n 2  P ''(1)  2Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4   n(n  1)Cnn  n(n  1)2 n2 a a a 0 c) 23 An4  24( An31  Cnn  ) (n ≥ 2) d) An3  2Cnn   9n (n{3;4})   P( x )dx   (Cn0  Cn1 x   Cnn x n )dx   (1  x )n dx 2) Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k  0: 1 n1 n (1  a)n1   aCn0  a Cn1  a3Cn2   a Cn  n 1 n 1 Pn   60 Ank32 (n  k )! ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3) 3) Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  4) Biết số tập hợp gồm phần tử A 20 lần số tập hợp gồm phần tử A ĐS: A có 18 phần tử 4) CMR : Cn1  2Cn2  3Cn3  nCnn  n.2 n 1 Các toán phép đếm: PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Thường lập luận để coi việc mà ta phải đếm chọn việc lấy k phần tử từ tập hợp A có n phần tử (k≤ n)  Nếu k phần tử lấy từ tập A vấn đề thứ tự dùng số tổ hợp chập k n phần tư tập A  Nếu k phần tử lấy từ A có vấn đề thứ tự phải ý  Nếu vai trò phần tử lấy từ A nhau(nghĩa phần tử A có hội đồng lựa chọn) dùng số chỉnh hợp k< n dùng hoán vị k = n  Nếu vai trò phần tử lấy từ A khác lý luận qui tắc đếm HD: (1  x) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnn x n Lấy đạo hàm hai vế ta có : chọn x =  đpcm 22 23 2n 1 n 3n 1  5) CMR : Cn0  Cn1  Cn2   Cn  n 1 n 1 HD: Xét : I   (1  x )n dx = Bài 1: Có số tự nhiên chia hết cho mà số có chữ số khác HD: Xét trường hợp ĐS: 9.8.7  8.8.7  952 Bài 2: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên (1  x )n 1 n 1 = 3n 1  (1 ) n 1 1 Mà I  (C x  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n 1 ) n 1 n Hồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số tổ hợp I  2Cn0  n 1 2 2 Cn  Cn   Cnn n 1 (2) Từ (1) (2)  đpcm A D.2005 Tính giá trị biểu thức : M  1 1 6) Tính : I   (1  x) n dx S = Cn0  Cn1  Cn2   Cnn n  n 1 n 1  x2 x n1  I   (Cn0  Cn1 x   Cnn )dx  Cn0 x  Cn1   Cnn  n  10  1 Cnn  Cn0  Cn1  Cn2   n 1 n   A2006 Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển   x  , x  n 20 biết C2 n 1  C2 n 1  C2 n 1   C2 n 1   ĐS: n =10, hệ số = 210 D2006 Có 12 HS : dó HS lớp A; HS lớp B HS lớp C Cần HS trực cho HS nầy không lớp Hỏi có cách chọn HD : Số cách chọn HS: C124 n1 => S =  n 1 n 1 n 1 n 7) CMR:  4C  C   C  n  5n HD : Khai triển : ( 1+x ) n thay x=  đpcm 8) CMR: 316 C160  315 C161  314 C162  C1616  216 HD: Khai triển : ( 3x-1)16 chọn x =  đpcm Cy C y 1 C y 1 9) Tìm x ; y thuộc N* : x 1  x  x ĐS : x=8 ; y = 10) CMR : Cn1  2Cn2  3Cn3  nCnn  n 2n 1 n 2 n * 1A,1B;2C: C51.C41 C32 =60; *1A,2B;1C: C51.C42 C31  90 ; * 2A,1B;2C: C52 C41 C32  120 ĐS : C124 - ( 60+90+120) = 495-270=225 HD: Xét : (1+x) n khai triển Lấy đạo hàm vế Chọn x =  đpcm   28 n 1 22 n  C2 n  C2 n  C2 n   C22nn  20 2n  B2007 Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức (2+x)n , biết 3n Cn0  3n 1 Cn1  3n  Cn2  3n  Cn3   (1) n Cnn  2048 ĐS: n = 11, hệ số = 22 D2007 Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức sau: P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 ĐS: 3320  Ax2  C y3  22 Bdb07 Tìm x, y  N thỏa mãn hệ   Ay  Cx  66 11) Trong khai triển : x x  x 15 tìm số hạng khơng chứa x Biết : Cnn  Cnn 1  Cnn    79 HD: k =  C125  792 A2007 Cm n 1 Đổi biến: u= 1+x3 có I   12) Tính I   x (1  x ) n dx 3(n  1) Mặt khác ta có : (1  x )  C  C x  C x   C x Nhân hai vế cho x2 , lấy tích phân hai vế Tìm nguyên hàm cận từ −> ta vế trái n n A-2002 Cho khai triển :  2 n x1 n  x n n 3n  Biết : C n 1 2 n  5Cn số hạng thứ tư 20 Hãy tìm n x ? ĐS : n = x= D-2002 Tìm n  N*: Cn0  2Cn1  4Cn3   n Cnn  243 ĐS : Xét (1+x ) n chọn x= => n= ĐK: x  2, y   6 x  x  y  3y  y  132  x  x  1  y  y  1 y    22   2  y  y  1 y    x  x  1  66  y  3y  y  x  x  132   n   A- 2003 Tìm hệ số x8 khai triển   x  x   Biết : Cnn41  Cnn  7(n  3) HD : K= => C124  495 Ddb07 Tìm hệ số x8 khai triển (x2 + 2)n, biết: An3  8Cn2  Cn1  49 Xét : (1+x) n 1 Khai triển tính hai vế ta có  (1) (2)  x  hay x  3 (l ) x  6 x  x  y  3y  y  132     y  y  y  60 11x  11x  132  y  n 1 B-03 Cho nN* tính: S  Cn0   Cn1   Cn2    Cnn n n Cn21  2Cn2  2Cn2  Cn2  149 HD: n = 5; n = − 9(l) M= ¾ CĐ05 Cho ( 1-x)n +x(1+x) n-1=Px Biết : a0+a1+a2+…+an = 512 Tìm a 3=? HD: Khai triển Px= a0+a1x+a2x2+….+ anxn Cho x=1 thì: 2n-1 = a0 + a1 + a2 +…+ an = 512 = 29  n = 10 ( 1-x)10 +x(1+x)  a3 = C92  C103  84 n1 n1 HD : I   (1  x )n dx = (1  x ) 10   1  3A Biết : (n  1)! n 1 N 1 n 1 : S  2 n 1 Điều kiện n  Ta có:  x     Cnk x k 2n  k n n k 0 D2003 Với n  N*, gọi a3n - hệ số x3n -3 khai triển thành đa thức biểu thức (x2 +1)n(x+2)n Tìm n để a3n-3 = 26n ĐS: n = A-2004 Tìm hệ số x8 khai triển :[1+x2( 1-x)]8 Hd:Số hạng thứ thứ 5: C83 x (1  x )3 ; C84 x (1  x )4 KQ : 3C83  C84  238 Hệ số số hạng chứa x8 Cn4 2n  Ta có: An3  8Cn2  Cn1  49  (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49  n3 – 7n2 + 7n – 49 =  (n – 7)(n2 + 7) =  n = Hs x8 C74 23  280   D04 Tìm số hạng không chứa x:  x   (x > 0)ĐS : k =  35 x  B- 2004 Thầy giáo có 30 câu hỏi khác : câu khó ;10 câu tb ; 15 câu dễ Hỏi từ 30 câu lập đề kiểm tra cho đề có câu khác đề thiết phải có loại câu hỏi : khó ; tb ; dễ câu dễ khơng hai B2008 Chứng minh số nguyên dương, n 1  1     n   Cnk1 Cnk11  n 1  1  (n, k    n   Cnk1 Cnk11  Cnk k ≤ n, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) C k 1 = n  k n2 k 1 = n  Cn1.Cn1 k !(n  k )!  k n! Cn D2008 Tìm n  N* thoả hệ thức C21n  C23n   C22nn 1  2048 Giải : Có ba THợp 2dễ + 1TB + khó: 10500  2d + 2TB +1khó: 23625  3d + 1TB + khó: 22750 Tổng : 56.875 A- 2005Tìm số nguyên dương n cho : (1  x) n  C20n  xC21n  x C22n  x 3C23n   x n 1C22nn 1  x n C22nn C21n 1  2.2C22n 1  3.22 C23n 1  4.23 C24n 1   (2n  1)22 n C22nn11  2005 x=1: Xét:( 1-x) 22 n  C20n  C21n  C22n  C23n   C22nn 1  C22nn (1) x = - :  C20n  C21n  C22n  C23n   C22nn 1  C22nn (2) 2n+1 Khai triển, lấy đạo hàm hai vế, chọn x=2: (2n+1)=2005n=1002 B2005 Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ ĐS: C124 C31 C84 C21 C44 C11  207.900 (1) - (2) : 22 n  2(C21n  C23n   C22nn 1 )  4096  212  n = Bài tập tham khảo Hồ Văn Hoàng Trường hợp 3: a0 chẵn khác x hai vị trí a3a2 a2a1 Có 24 cách Vậy ta có: 18  18  24   360 số n Chuyên đề đại số tổ hợp Câu 1: Một lớp có 33 học sinh, có nữ Cần chia lớp thành tổ, tổ có 10 học sinh, tổ có 11 học sinh, tổ có 12 học sinh cho tổ có học sinh nữ Hỏi có cách chia vậy? Giải: Có trường hợp: Trường hợp 1: Tổ có nữ, nam  C73C26 Tổ có Câu 5: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số khác nhau? Tính tổng tất số tự nhiên Giải: Cách 1: Gọi n  a4 a3 a2a1a0  a4 104  a3 103  a2 102  a110  a0 số cần lập Ta có cách chọn a4, cách chọn a3, cách chọn a2, cách chọn a1, cách chọn a0 Vậy có: 4.4.3.2.1  96 số n Cách 2: Ta có cách chọn 4! Cách xếp số cịn lại Vậy có: 4! = 96 số n * Tính tổng 96 số n lập được: Cách 1: Có 24 số n n  a4 a3 a2a1a0 , có 18 số n  a4 a3 a2 a11 , 10 nữ, nam  C42C19 Tổ có nữ, 10 nam  C22C10 Vậy ta có: C73C26 cách C42C19 Trường hợp 2: Tổ có nữ, nam  C72C26 Tổ có nữ, nam  C53C18 , C C 2 10 10 Tổ có nữ, 10 nam 8 Vậy ta có: C72C26 cách C53C18 Trường hợp 3: Tổ có nữ, nam  C72C26 , Tổ có nữ, nam  C52C18 , Tổ có nữ, nam  C33C99 , Vậy ta có: C72C26 cách C52C18 Theo quy tắc cộng ta có: 8 + C72C26 + C72C26 cách C73C26 C42C19 C53C18 C52C18 Câu 2: Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2 có n điểm phân biệt  n   Biết 2800 tam giác có có 18 số n  a4 a3 a2a1 , có 18 số n  a4 a3 a2a1 , có 18 số n  a4 a3 a2 a1 Tổng chữ số hàng đơn vị là: 18(1    4)  180 Tương tự: Tổng chữ số hàng chục 1800, tổng chữ số hàng trăm 18000, tổng chữ số hàng nghìn 180000 Có 24 số n  1a3 a2 a1a0 , có 24 số n  2a3 a2a1a0 , có 24 số đỉnh điểm cho Tìm n thoả mãn điều kiện Giải: Số tam giác có đỉnh thuộc d1, hai đỉnh thuộc d2 là: 10Cn2 Số tam giác có đỉnh thuộc d2, hai đỉnh thuộc d1 là: nC10 Theo đề ta có: 10Cn2  nC10  2800  n  8n  560   n  20 Câu 3: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác số lập nhỏ 25000 Giải: Gọi n  a1a2a3 a4 a5 chẵn,  a j  i  j , n  25000  n  3a3 a2a1a0 , có 24 số n  4a3 a2a1a0 Tổng chữ số hàng chục nghìn 24(1    4).10000  2400000 Vậy tổng 96 số n là: 180  1800  18000  180000  2400000  2599980 Cách 2: Có 24 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng vị trí a4 Có 18 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng vị trí ai, với i = 0, 1, 2, Vậy tổng 96 số n là: (1    4)  24.10  18(103  10  101  100 )  Vì n  25000  a1  1;2 ta có trường hợp sau: Câu 6: áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn Trường hợp 1: a1 = Ta có cách chọn a1 Ta có cách chọn a5 ( n chẵn) A53 cách chọn a2 a3 a4 Vậy ta có: x x  100 chứng minh rằng: 99 100  1  1 100C100    101C101   2 2 1.4.A  240 số n Trường hợp 2: a1 = 2, a2 chẵn nhỏ Ta có cách chọn a1 Ta có cách chọn a2 Ta có cách chọn a5 A42 cách chọn a3a4 198 99     199C100   2 199 100    200C100   2 0 k n ( C tổ hợp chập k n phần tử) Giải: Ta có: x Vậy ta có: 1.2.2.A42  48 số n Trường hợp 3: a1 = 2, a2 lẻ nhỏ Ta có cách chọn a1 Ta có cách chọn a2 Ta có cách chọn a5 A42 cách chọn a3a4 x  100 100 200  C100 x100  C100 x101  C100 x102   C100 x , lấy đạo hàm hai vế, cho x   nhân hai vế với ( -1), ta có kết quả: Vậy ta có; 1.2.3.A42  72 số n 99 100  1  1 100C100    101C101       Theo quy tắc cộng ta có: 240  48  72  360 số n Câu 4: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số chẵn, số có chữ số khác có chữ số lẻ chữ số lẻ đứng cạnh Giải: Số cách chọn hai chữ số lẻ đứng cạnh từ chữ số 1, 3, là: A53  cách Ta xem cặp số lẻ phần tử x.Vậy số cần lập gồm phần tử x chữ số chẵn 0, 2, 4, Gọi n  a4 a3 a2a1a0 ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: a0 = Đưa x vào vị trí đầu: Có cách Đưa chữ số chẵn 2,4, vào vị trí cịn lại có A32 cách 198 99     199C100 2   199 100    200C100 2   0 Câu 7: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn Giải: Gọi n  a1a2 a3 a4 a5 a6 số cần lập Yêu cầu toán: a3  a4  a5   a3 , a4 , a5  1,2,5 hay a3 , a4 , a5  1,3,4 a) Khi a3 , a4 , a5  1,2,5 Có cách chọn a1; có cách chọn a2 Có 3! Cách chọn a3, a4, a5 Có cách chọn a6 Vậy ta có: 6.5.6.4  720 số n b) Khi a3 , a4 , a5  1,3,4 tương tự ta có 720 số n Vậy có: 3.A32  18 cách Trường hợp 2: a0 chẵn khác x hai vị trí a3a4 Có 3.A32  18 cách Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n , Hồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số tổ hợp Cách khác: * Khi a3 , a4 , a5  1,2,5 Có 3! = cách chọn 2005! 2005!   k !(2005  k )!  ( k  1)!(2004  k )! k   2005  k    2005! 2005! 2006  k  k    k !(2005  k )! ( k  1)!(2006  k )! a3 a4 a5 , có A cách chọn a1, a2, a6 Vậy ta có: 6.5.6.4  720 số n * Khi a3 , a4 , a5  1,3,4 , tương tự ta có 720 số n k  1002  k  1002   1002  k  1003, k  N   k  1003  k  1003 Câu 12: Tìm số nguyên n lớn thoả mãn đẳng thức: 2Pn  An2  Pn An2  12 ( Pn số hoán vị n phần tử Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n Câu 8: Tìm hệ số x khai triển đa thức 2  3x  2n , n số nguyên dương thoả mãn: C C  C25n 1   C22nn11  1024 ( Cnk tổ hợp chập k n phần tử) Giải:Ta có: n 1 1  x  n 1 n 1 Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử) Giải: Ta có: 2Pn  An2  Pn An2  12  n  N, n  1  C20n 1  C21n 1x  C22n 1x  C23n 1x   C22nn11x n 1 Cho x = 1, ta có: 22n 1  C20n 1  C21n 1  C22n 1  C23n 1   C22nn11 Cho x = -1, ta có:  C20n 1  C21n 1  C22n 1  C23n 1  C24n 1   C22nn11 Lây (1) – (2)  2 n 1  C n 1 C n 1 C n 1 2.n ! 1   C  2 n 1 n 1 6  n !    n!   2   (n  2)! ( Vì n  )  22n  C21n 1  C23n 1  C25n 1   C22nn11  1024  210 Vậy 2n = 10 Ta có:   x  10 10   ( 1) C k k 0 k 10 10  k n !  n(n  1)     n    n  n   n  n    Ax2  Cy3  22 Câu 13: Tìm x, y  N thoả mãn hệ:   Ay  Cx  66 Giải: Với điều kiện: x  2, y  , ta có: k (3 x ) Suy hệ số x là: C10 37.23 hay C10 37.23 Câu 9: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người biết phải có nữ Giải: Ta có trường hợp: * nữ nam: có C53C10  2520 cách  Ax2  Cy3  22    Ay  Cx  66 * nữ nam: Có C54C10  1050 cách  x ( x  1)  y ( y  1)( y  2)  22     y ( y  1)( y  2)  x ( x  1)  66  2 6 x  x  y  y  2y  132   11x  11x  132  * nữ nam: có C C  120 cách Theo quy tắc cộng, ta có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách Câu 10: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác thiết phải có chữ số 1, Giải: Gọi n  a1a2a3 a4 a5 số cần lập 5 6.n ! n! n! 6.n !  n!  12   2(6  n !)  (n  2)! (n  2)! (n  2)! (n  2)! 10 6 x  x  y  y   y  y  2y    x  hay x  3   y  y  2y  60 x  x    ( y  5)( y  y  12)  y   Câu 14: Trên cạnh AB, BC, CD, DA hình vng ABCD cho 1, 2, n điểm phân biệ khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có đỉnh lấy từ n + điểm cho 439 Giải: Nếu n  n   Do dó số tam giác có đỉnh lấy từ n + điểm không vượt C83  56  439 ( loại) Vậy n  Vì tam giác tạo thành ứng với tổ hợp chập n + phần tử Nhưng cạnh CD có đỉnh, cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là: (n  4)(n  5)(n  6) (n  2)(n  1)n Cn3  C33  Cn3   1  439 6 Ta xếp 1, vào vị trí  A52  4.5  20 cách Xếp 1, ta có cách chọn chữ số cho cịn lại cách chọn chữ số cho ô lại thứ cách chọn chữ số cho cịn lại thứ * Theo quy tắc nhân ta có: A52 5.4.3  20.60  1200 số n Cách khác: Bước 1: Xếp 1, vào vị trí: Ta có: A52  4.5  20 cách Bước 2: Có A53  3.4.5  60 cách bốc số lại xếp vào vị trí cịn lại Vậy có 20 60 = 1200 số n thoả mãn yêu cầu toán k Câu 11: Tìm k  0;1;2; ;2005 cho C2005 đạt giá  (n  4)(n  5)(n  6)  (n  2)(n  1)n  2540  n  4n  140   n  10 hay n  14  loai  Đáp số: n = 10 Câu 15: Có số tự nhiên chẵn lớn 2007 mà số gồm chữ số khác nhau? Giải: Gọi n  a1a2 a3 a4 số cần lập * Trường hợp 1: a4 = 0, ta có: cách chọn a1 ( Vì a1  ) trị lớn ( với Cnk tổ hợp chập k n phần tử) Giải: k k 1 C2005  C2005 k lớn   k C2005 k  N  k 1 C2005  C2005   loai  Hồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số tổ hợp cách chọn a2, cách chọn a3; cách chọn a4 Vậy ta có: 8 7.1 = 448 số n * Trường hợp 2: a4  a4 chẵn Ta có: cách chọn a4; cách chọn a1; cách chọn a2; cách chọn a3 Vậy ta có: = 1568 số n Vậy hai trường hợp ta có: 448 + 1568 = 2016 số n Câu 16: Chứng minh rằng: 1 1 2n 1 22n  ( n số C2n  C23n  C25n   C2n  2n 2n  nguyên dương, Cnk tổ hợp chập k n phần tử) Giải: Ta có: 1  x   C20n  C21n x   C22nn x n , 1  x  2n  1  x    2n 2n  (1  x )  (1  x ) 2n   C 2n  C 2n số nguyên dương, k  n , Cnk tổ hợp chập k n phần tử) Giải: Ta có: n 1 1  n  k !(n   k )! (k  1)!( n  k )!  k  k 1   n   Cn 1 Cn 1  n  (n  1)!   (1  x )2n  (1  x )2n (1  x )2n 1  (1  x )2n 1  2(2n  1)  k !(n  k )! k !( n  k )!  k (n   k )  (k  1)  n2 n! n! Cn Câu 21: Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức: C21n  C23n   C22nn 1  2048 ( Cnk tổ hợp chập k n phần tử) Giải: (1  x )2n  C20n  C21n x  C22n x  C23n x   C22nn 1x n 1  C22nn x n  22 n  1 2n   x  C23n x   C22nn 1x 2n 1 dx   x2 x4   C21n  C23n   C22nn x 2n   0 1 2n 1  C21n  C23n   C2n  2 2n Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Câu 17: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức: * x  1: 22n  C20n  C21n  C22n  C23n   C22nn 1  C22nn * x  1:  C 2n C 2n n 1 2n   C C 2n 2n 1 2 18 Hệ số x khai triển x (1  x )10 33.C10 5 ( 2)4 C54  33.C10  3320 10 Câu 18: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niu tơn (2  x )n , biết 3n Cn0  3n 1Cn1  3n  Cn2  3n  Cn3   ( 1)n Cnn  2048 (n số nguyên dương, Cnk tổ hợp chập k n phần tử) Giải:Ta có: 3n Cn0  3n 1Cn1  3n  Cn2  3n  Cn3   ( 1)n Cnn  (3  1)n Từ giả thiết suy n = 11 k n n n 1 x x 1 x 1 x 1  x21     x   x  0 1 n 1      Cn  2   Cn  2      Cn  2               ( n số nguyên dương) Biết khai triển Cn3  5Cn1 số hạng thứ 20n, tìm x n 11 k 21 k x k Suy hệ số số hạng Ta có:   x    C11 Giải: Từ Cn3  5Cn1 ta có: n  k 0 n  n! n! n(n  1)(n  2) 5   5n  n  3n  28    3!(n  3)! (n  1)! n  4 khai triển nhị thức Niutơn (2  x )x là: 10 C11 21110  22 Với n = ta có: Câu 19: Cho khai triển 1  x   a0  a1x   an x n , n  x 1    x  C73  2     140  35.22 x  2.2 x  140  x    x     n  N * hệ số a0, a1, ….,an thoả mãn hệ thức a a a0    nn  4096 Tìm hệ số lớn số 2 a0, a1, …., an Giải: n Đặt f ( x )  1  x   a0  a1x   an x n  a0  ( x > 0) 18 18 18  k  1  k k   C18 (2 x )18  k  x    C18 218  k x k 0 k 0   Yêu cầu toán  18  k   k  15 15 Vậy số hạng không chứa x là: 23.C18  6528 Câu 23: Cho khai triển nhị thức: 18    2x   x  Hệ số x khai triển x (1  x )5  x (1  x )10 10 C 2n   thức Niutơn  2x   x  Giải: Giải: Hệ số x khai triển x (1  x )5 ( 2)4 C54 chứa x C 2n Lấy (1) – (2): 22n  2(C21n  C23n   C22nn 1 )  4096  212  n  Câu 22: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị x 1  x   x (1  x )10 11 n 1 1   k  k 1   k ( n, k n   Cn 1 Cn 1  Cn Câu 20: Chứng minh rằng:  k 1 23  1 k  2(12  k )  1 Mà k  Z  k  Do a0 < a1 < ….< a8 a Tương tự : k   k  Do a8 > a9 > ….> a12 ak 1 Số lớn số a0, a1, ……, an là: a8  28 C12  126720 x  C23n x   C22nn 1x 2n 1 dx  k 12 k 1 12 ak C   k 1 ak 1 C  C20n  C21n x   C22nn x n  (1  x )2n  C21n x  C23n x   C22nn 1x 2n 1 2n k Câu 24: Cho đa giác A1A2… A2n ( n nguyên) nội tiếp đường trịn (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1, A2, …., A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1,A2, …, A2n Tìm n Giải: Số tam giác có đỉnh 2n điểm A1A2… A2n là: C2n Gọi đường chéo đa giác A1A2… A2n qua tâm đường trịn (O) đường chéo lớn đa giác cho có n a1 a  1   nn  f    2n 2 2 Từ giả thiết suy ra: 2n  4096  212  n  12 k k 1 Với k  0;1;2;3 ;11 ta có: ak  2k C12 , ak 1  2k 1C12 n 1 C Hồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số tổ hợp đường chéo lớn Mỗi hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1,A2, …, A2n có đường chéo hai đường chéo lớn Ngược lại, với cặp đường chéo lớn ta có đầu mút chúng đỉnh hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật nói số cặp đường chéo lớn đa giác A1A2… A2n tức Cn2 3n 3 Vậy a3 n   26n  n n Cho x = ta được:   Cnk 2k  3n  243  35  n    x  2 k 0 Câu 26: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị Do a3 n   26n  n   thức Niutơn   x  , biết rằng: x  Cnn41  Cnn  7(n  3) ( n số nguyên dương, x > 0, Cnk tổ hợp chập k n phần tử) Giải:Ta có: Cnn41  Cnn  7(n  3)  Cnn31  Cnn  Cnn  7(n  3)   1 (1  x )n 1 n 1 Bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn 8 Vậy x có số hạng thứ 4, thứ với hệ số tương ứng là: C83 C32 ,C84 C40   Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n dx Suy ra: a8  168  70  238 Câu 31: Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) số câu hỏi dễ khơng 2? Giải:Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ nên có trường hợp sau: * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, số cách 2 chọn là: C15 C10 C51  23625 * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, số cách chọn là: C15 C10 C52  10500 * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, số cách chọn là: C15 C10 C51  22750 Vì cách chọn đôI khác nên số đề kiểm tra lập là: 23625 + 10500 + 22750 = 56875 n Tìm n để a3 n 3  26n Giải: Cách 1: Ta có:  1 n 1  x 1  x    C80  C81 x (1  x )  C82 x (1  x )2  C83 x (1  x )3 C84 x (1  x )4  C85 x 10 (1  x )5  C86 x 12 (1  x )6  C87 x 14 (1  x )7  C88 x 16 (1  x )8 x n 3 khai triển thành đa thức  x  1 ( x  2)n x  1  x 1  x   Giải:  x2 x3 x n 1    Cn0 x  Cn1  Cn2   Cnn 1 n  1  22  1 23  2 n 1  n n   n   Cn  Cn  Cn   Cn  2 n 1 n 1 Câu 28: Với n số nguyên dương, gọi a3 n 3 hệ số     n n   n  C   26n  n  (do n + 2n + 5) > , n) Kết hợp điều kiện nghiệm bất phương trình cho n = , n = Câu 30: Tính hệ số x khai triển thành đa thức Ta có: 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n n  (1  x ) dx     n   n  2n    n    n  60  11k  x8  8k 4 Ta có: x Do hệ số số hạng chứa x là: 12! C12   495 4!(12  4)! Câu 27: Cho n số nguyên dương Tính tổng: 22  1 23  2 n 1  n Cn0  Cn  Cn   Cn ( Cnk tổ hợp 2 n 1 chập k n phần tử) Giải: n (trong C số tổ hợp chập k n phân tử Ank chỉnh hợp tập k n phân tử ) Giải : Điều kiện n  N n  Bất phương trình cho có dạng : n2  n! n! n! 2 2  n  !4!  n  !3!  n  ! 60 11k Suy ra:   2   x 3n 1   1   x x    2n 2n  3n   60 11k k  C12 x n n k n (n  2)(n  3)  7(n  3)  n   7.2!  14  n  12 2! Số hạng tổng quát khai triển là:  52  x    n Vậy n = giá trị cần tìm (vì n nguyên dương) Câu 29: Giải bất phương trình: n  Cn4  2Cn3  An3  k   26n  n  i k n n n   1 n 2   x n   Cni    Cnk     x n   Cni x 2i  Cnk 2k x  k  x x k 0  i 0   i 0   k 0    Trong khai triển , luỹ thừa x 3n – -2i – k = hay 2i + k = Ta có trường hợp thoả mãn đk i = , k = i = , k = 3n-3 Vậy hệ số x a3 n   Cn0 Cn3 23  Cn1 Cn1 k 0    n k C12 x 3  2n 2n  3n  Cách 2: Ta có : x  Giải: Ta có:  x  1   Cnk x k 12  k n 1 n   Vậy n = giá trị cần tìm (vì n nguyên dương) (2n )! n!  20 3!(2n  3)! 2!( n  2)! 2n.(2n  1)(2n  2) n(n  1)   20  2n   15  n  Câu 25: Tìm số nguyên dương n cho: Cn0  2Cn1  4Cn2   2n Cnn  243  2n 2 Với n  x x x x x 3n-3 Do hệ số x khai triển thành đa thức (x n n 3 1 + 1) (x + 2) a3 n   Cn Cn  2.Cn Cn Theo giả thiết thì: C23n  20Cn2  n n 3 2n  Cn0 x 2n  Cn1 x 2n   Cn2 x 2n    Cnn ( x  2)n  Cn0 x n  2Cn1 x n 1  22 Cn2 x n    2n Cnn Dễ dàng kiểm tra n = , n = khơng thoả mãn đk tốn Hồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số tổ hợp Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị Giải: Từ giả thiết suy ra: C20n 1  C21n 1  C22n 1   C2nn 1  220   thức Niutơn  x   với x > x  Giải:Ta có: 7  3 k  x     C7 x  k 0  x 7k k   k     C7 x  x k 0 7k x  k n 1 Vì C k  C x k 0 k Từ (1), (2), (3) suy ra: 2n 2 20 n   26 là: C10  210 Vậy hệ số x  3  hay n = 10 Câu 37: Cho tập hợp A gồm n phần tử  n   Biết  x  R  Lấ y đạo hàm hai vế ta có: x  R  Thay x = - 2, ta có: C21n 1  2.2C22n 1  3.22 C23n 1  4.23 C24n 1   (2n  1).22n C22nn11  2n  Theo giả thiết ta có: 2n   2005  n  1002 Câu 34: Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ? Giải: Có C31 C12 cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ Với cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ có C21C84 cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ hai Với cách phân công niên tình nguyện tình thứ tỉnh thứ hai có C11C44 cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ Số cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh theo yêu cầu toán là: C31 C12 C21 C84 C11C44  207900 k phần tử A lớn Giải: Số tập k phần tử tập hợp A Cnk Từ giả thiết suy ra: Cn4  20Cn2  n  5n  234   n  18 ( n  ) k 1 C18 18  k    k  nên k k 1 C18 9 10 18 C18  C18   C18  C18  C18   C18 Vậy số tập gồm k phần tử A lớn  k = Câu 38: Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy? Giải:Số cách chọn học sinh 12 học sinh cho là: C12  495 Số cách chọn học sinh mà lớp có nhấtmột em tính sau: - Lớp A có học sinh, lớp B, C lớp có học sinh Số cách chọn là: C52 C41 C31  120 - Lớp B có học sinh, lớp A, C lớp có học sinh Số cách chọn là: C51 C42 C31  90 - Lớp C có học sinh, lớp A, B lớp có học sinh Số cách chọn là: C51 C41 C32  60 Số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270 Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 Câu 39: Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 1 ( 1)n 1 n       Cn1  Cn2  Cn3   Cn n n Giải:Xét tích phân: 1  (1  x )n n 1 n n dx  0 x 0 Cn  Cn x   (1) Cn x dx An41  3A n3 Biết (n  1)!  149 ( n số nguyên dương, Ank chỉnh hợp tập k n phân tử Cnk số tổ hợp chập k n phân tử) Giải: Điều kiện: n  Ta có: Cn21  2Cn2  2Cn2  Cn2  149 (n  1)! (n  2)! (n  3)! (n  4)! 2 2   149 2!(n  1)! 2! n ! 2!( n  1)! 2!( n  2)! số tập hợp gồm phần tử gấp 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k  1;2;3 n cho số tập gồm Do Câu 35: Tính giá trị biểu thức: M  n   n  4n  45    n  9 Vì n nguyên dương nên n =  10 10 10  k   k k Ta có:   x    C10 x 4 ( x )k   C10 x 11k  40 x  k 0 k 0 26 k Hệ số x C10 với k thoả : 11k  40  26  k  ( Cnk số tổ hợp chập k n phân tử) Giải:Ta có:  , k ,0  k  2n  nên: C20n 1  C21n 1   C22nn11  (1  1)2n 1  22n 1 C21n 1  2.2C22n 1  3.2C23n 1  4.2C24n 1   (2 x  1).22 n C22nn11  2005 (2 x  1)(1  x )2n  C21n 1  2C22n 1x  3C23n  x   (2n  1)C22n 1x 2n 1 C2n 1  C21n 1   C22nn11   Từ khai triển nhị thức Niutơn (1  1)2n 1 suy ra: Số hạng không chứa x số hạng tương ứng với k 28  7k 0k 4  k  Z,0  k   thoả mãn: 12 Số hạng không chứa x cần tìm là: C47  35 Câu 33: Tìm số nguyên dương n cho: Cn21  2Cn2  2Cn2  Cn2 C C20n 1  C21n 1  C22n 1   C2nn 1  28  k 12 (1  x )2 n 1  C20n 1  C21n 1x  C22n 1x  C23n 1x   C22nn11x n 1 n 1 k n 1  6! 5! A64  3A 53 2!  2! M   6! 6! 26 Câu 36: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển  ( 1)n 1 n  Cn1  Cn2   Cn 1 n Mặt khác, đặt x = – t, ta có: 1 n  (1  x )n 1 t n t 1 dx  (  1) dt   0 x 0  t 0 t  dt n   nhị thức Niutơn   x  , biết x  C21n 1  C22n 1   C2nn 1  220  ( n số nguyên  1  t  t  1    n Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh  k n dương, C số tổ hợp chập k n phân tử)   t n 1 dt   2 Hồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số tổ hợp Câu 40: Rút gọn tổng: 1 1 18 19 S  C19  C19  C19   C19  C19 20 21 Giải:Theo nhị thức Niutơn thì: 7) Gọi số có chữ số khác là: abcd Do số lớn 3000 nên a  hay a  3;4;5;6 Vậy  18 18 19 19 x (1  x )19  x C19  C19 x  C19 x   C19 x  C19 x  C x  C x  C x   C x 19 19 2 19 18 19 19 C x 19 19  20 8) Gọi số có chữ số khác abc số khơng  x  x x 18 x 19 x   x(1  x )19 dx   C19  C19  C19   C19  C19  20 21   1 1 18 19  C19  C19  C19   C19  C19  S 20 21 Do S  có cách chọn a, số cịn lại coi chỉnh hợp chập phần tử Suy số thoả mãn đề là: 4.A53  240 ( số) 20 nhỏ 243 ( hay abc  243 ) nên a  Vậy a  2;3;4;5;6 21 + Với a = để 2bc  243  b   b  4;5;6 Nếu b = 4, lập luận tương tự, cần c  4, c  có 420 Câu 41: Tính tích phân: I   x (1  x ) dx n cách chọn c Vậy số có dạng 24c là: x = ( số) Nếu b = 5, c chọn số cịn lại số số có dạng 25c 26c là: x x = (số) + Với a = 3; 4; 5; ta chọn b, c số số cịn lại sau chọn a Tất dạng là: 4.A52  80 ( số) Vậy từ số cho, ta lập + + 80 = 91 ( số)có chữ số khác khơng nhỏ 243 9) Ta có: abc  243  *   n  N  Từ * cmr: 1 1 ( 1)n Cn  Cn  Cn  Cn   Cnn  2(n  1) 2(n  1) Giải: Ta có; I    1 x2 0  n d (1  x )   (1  x )n 1 n 1  2(n  1) Mặt khác:  n   n  I    x. Cnk ( 1)k x 2k  dx     Cnk ( 1)k x 2k 1  dx    k 0  k 0 1 Từ số cho, thành lập A63  120 ( số) có chữ số khác Trong số số khơng nhỏ 243 91 số Vậy số số thoả mãn (*) là: 120 – 91 = 29 ( số) Câu 43: Một lớp 12 có 15 học sinh nữ 25 học sinh nam Hỏi có cách chọn tổ có người: 1) Nam, nữ tuỳ ý, khơng phân biệt nhiệm vụ 2) Có nam, khơng phân biệt nhiệm vụ 3) Có nữ, khơng phân biệt nhiệm vụ 4) Tổ trưởng nữ, số lại không phân biệt nhiệm vụ 5) Tổ trưởng nam có nam nữ 6) tổ trưởng, tổ phó tổ viên 7) Mỗi người phụ trách đội thiếu niên cụ thể phường Giải: 1) Số học sinh lớp là: 15 + 25 = 40 ( học sinh) Do số cách chọn tổ người theo yêu cầu đề là: C40  658008 ( Cách) n Cnk x 2k  k k  C (  1)  n 2k  2(k  1) k 0 k 0 Từ ta có điều phải chứng minh Câu 42: Cho chữ số 1, 2, 3, 4, 5, Hỏi có cách viết số: 1) Có chữ số 2) Có chữ số đơi khác 3) Có chữ số 4) Có chữ số đôi khác 5) Chia hết cho có chữ số khác 6) Có chữ số khác số lẻ 7) Có chữ số khác lớn 3000 8) Có chữ số khác khơng lớn 243 9) Có chữ số khác nhỏ 243 Giải: 1) Để viết số có chữ số từ số cho, ta có cách chọn số hàng trăm nghìn, tương tự với số hàng cịn lại có cách chọn Theo quy tắc nhân ta lập được: = 46656 số thoả mãn điều kiện đề 2) Do yêu cầu chữ số đơi khác nên có cách chọn số hàng trăm nghìn, cách chọn số hàng vạn, cách chọn số hàng nghìn, …., cách chọn số hàng đơn vị Vậy có tất x x x x x = 720 ( số) thoả mãn đề 3) Lập luận tương tự câu ta lập được: = 1296 số thoả mãn đề 4) Lập luận tương tự câu 2, có cách chọn số hàng nghìn, cách chọn số hàng trăm, cách chọn số hàng chục, cách chọn số hàng đơn vị Vậy có tất cả: x x x = 360 ( số) thoả mãn đề 5) Gọi abc số thoả mãn đề bài, số chia hết có mọt cách chọn c = 5, số a, b coi chỉnh hợp chập số cịn lại sau chọn số c Vậy có tất 1.A52  20 số 6) Do số thành lập số lẻ nên số hàng đơn vị phải là: 1, 3, có cách chọn Các số cịn lại coi hốn vị năm phần tử Vậy có tất cả: 3.P5  3.5!  360 ( số) n   Cnk ( 1)k 2) Để chọn tổ có người: Gồm nam: có C25  2300 ( Cách chọn) nữ: có C15  150 ( cách chọn) Theo quy tắc nhân, số cách chọn tổ là: C25 C15  241500 ( cách) 3) Cách 1: Số học sinh nữ tổ là: 2, 3, Số cách chọn tổ gồm nữ, nam là: C15 C25  241500 Số cách chọn tổ gồm nữ, nam là: C15 C25  136500 Số cách chọn tổ gồm nữ, nam là: C15 C25  34125 Số cách chọn tổ gồm nữ là: C15  3003 Cách 2: Tính số tổ có nữ số tổ khơng có nữ là: 5 Số tổ phải tìm là: C40 C25  15C25  (C25  15C25 ) 4) Để tổ trưởng nữ, có C15  15 cách chọn Bốn tổ viên chọn 39 học sinh cịn lại, có: C39  82251 cách chọn Vậy số cách chọn tổ là: C15 C39  1233765 ( cách chọn) 5) Để tổ trưởng nam, có C25  25 cách chọn Bốn người lại tổ gồm: Hồ Văn Hồng 3) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển Chuyên đề đại số tổ hợp 24 15  28980 ( cách chọn) 24 15  30360 ( cách chọn) + nam, nữ: C C + nam, nữ: C C 10 1   2x  x    4) Xét khai triển ( x  xy )15 a) Tìm hai hạng tử b) Tính hệ số hạng tử chứa x 21y 12 Giải: + nam: C24  10626 ( cách chọn) Tổng số cách chọn là: 25  28980  30360  10626   1749150 6) Một tổ trưởng tổ phó coi chỉnh hợp chập 40 học sinh lớp: A40  1560 ( cách chọn) Ba tổ viên tổ hợp chập 38 học sinh lại ( sau chọn tổ trưởng tổ phó ) : C38  8436 ( cách chọn) 1) Số hạng chứa x khai triển  x  1 8x 3 Số hạng chứa x khai triển  x  1 là: C41 (3 x )3  108 x Số hạng chứa x khai triển  x  1 là: Vậy số cách chọn tổ là: A 240 C38  13160160 7) Do người phụ trách đội thiếu niên khác nên tổ chỉnh hợp chập 40 học sinh Vậy số cách chọn tổ là: A40  78960960 Câu 44: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, viết số? 1) Có chữ số khác 2) Có chữ số 3) Có chữ số khác 4) Có chữ số khác số lẻ 5) Có chữ số khác thiết có mặt chữ số Giải: 1) Gọi số có chữ số khác là: abcde a  nên C74 x  35 x 3 Vậy hệ số x đa thức P(x) là: – 108 + 35 = - 65 n k n n 1   1 2) Ta có:  x     ( 1)k Cnk x n  k     ( 1)k Cnk x n  2k x  x k 0 k 0 Theo giả thiết ta có: Cn0  Cn1  Cn2  38 Điều kiện: n(n  1) n  N  n  2   28  n  3n  54  Phương trình có nghiệm n = thoả mãn điều kiện Khi số hạng thứ khai triển là: ( 1)4 C94 x  2.4  126 x 3) Ta có: có cách chọn Bộ số bcde coi hốn vị số cịn lại sau chọn số a, có P4  4!  24 ( Số) Số cách thành lập số có chữ số khác là: x 24 = 96 ( cách) 2) Để thành lập số có chữ số, ta chọn hàng, a  nên có cách chọn a; cách chọn b; cách chọn c; cách chọn d; cách chọn e Vậy số số có chữ số thành lập từ chữ số cho là: 4.5  2500 ( số) 10 k n n 1  k k 10  k   k 10  k k 10  k  x  x    ( 1) C10 (2 x )  x    ( 1) C10 x     k 0 k 0 Do số hạng không chứa x tương ứng với 10  2k   k  5 Vậy số hạng cần tìm là: ( 1)25.C10  8064  4) Khai triển x  xy  15 gồm 16 hạng tử: Số hạng tổng quát khai triển là: k k C15 ( x )15  k ( xy )k  C15 x 45  k y k a) Hai hạng tử khai triển số hạng thứ thứ dãy: C15 x 45  2.7 y  6435.x 31.y ;C15 x 45  2.8 y  6435.x 29 y 3) Gọi số có chữ số khác là: abc Vì a  nên có cách chọn Bộ số bc coi chỉnh hợp chập phần tử, số chỉnh hợp là: A42  12 Vậy số thoả mãn đề bài: x 12 = 48 ( số) 4) Gọi số có chữ số khác abc , đề số số lẻ c  1;3 , có cách chọn c Còn lại số b) Hạng tử chứa x 21y 12 tương ứng với k = 12 Vậy hệ số 12 hạng tử là: C15  455 ( gồm số 0) để chọn a b; a  nên có cách chọn số a, từ cịn cách chọn b Vậy số số lẻ có chữ số khác là: x x = 18 (số) 5) Gọi số phải tìm abc , thiết có vị trí số 2: + Số vị trí a; số b, c chọn số lại nên chỉnh hợp chập số nên có A42  12 số loại + Số vị trí số b; có cách chọn a; cách chọn c nên có x = số loại + Số vị trí c; tương tự, ta số Vậy có tất cả: 12 + + = 30 số thoả mãn đề Câu 45: 1) Tính hệ số số hạng chứa x khai triển của: P ( x )  (2 x  1)  (3 x  1)  ( x  1) n 1  2) Khai triển  x   có tổng hệ số số hạng x  đầu 28 tìm số hạng thứ khai triển ... nguyên dương Tính tổng: 22  1 23  2 n 1  n Cn0  Cn  Cn   Cn ( Cnk tổ hợp 2 n 1 chập k n phần tử) Giải: n (trong C số tổ hợp chập k n phân tử Ank chỉnh hợp tập k n phân tử ) Giải : Điều kiện... lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thi? ??t phải có đủ loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) số câu hỏi dễ khơng 2? Giải: Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ nên có trường hợp sau: * Đề. .. thành tổ, tổ có 10 học sinh, tổ có 11 học sinh, tổ có 12 học sinh cho tổ có học sinh nữ Hỏi có cách chia vậy? Giải: Có trường hợp: Trường hợp 1: Tổ có nữ, nam  C73C26 Tổ có Câu 5: Từ chữ số 0,