Chuyên đề luyện thi ĐH phần tích phân

Tham khảo tài liệu ''chuyên đề luyện thi đh phần tích phân'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

ồ Văn Hồng Chun đề tích phân & ứng dụng Bảng nguyên hàm hàm số Các phương pháp tính tích phân: a) Phương pháp đổi biến số: * Loại 1:   Dạng:      a  x dx , 2 dx a x  dx  Dạng:  đặt x = atant,  x a HD: Đặt t = x2 + hay x = tant ĐS I =1/2(1-ln2) ln đặt x = asint b  dx  (ax  b)2  c đặt ax  b  ctant HD: Đặt t = mẫu đưa dạng a b ĐS I=3/4e-2 - 4/7 Bài 4: Tính tích phân I    cos3 x sin x.cos5 dx a HD: t = b a  cos x  cos x = 1- t6 3 Bài 5: Tính tích phân I  a HD: nhân tử mẫu với x đặt b x x  Dạng:  dx,  dx, a cos x a sin x  Dạng e a x dx  cos 2x HD:Đưa dạng tích phân phần HD: Biến đổi dạng I    tgx cos2 x tg x  Bài :Tính tích phân : I   Đặt t   Bài 10:Tính tích phân : I   Kết ta  a Bài 11 : Tính tích phân : I   f ( x) dx   f ( x)dx x 1  2  2t    t t   16     34                    1      27   a f) Tích phân dạng: dx  f ( x) dx đổi biến số x = -t x 1   3cos x Đặ t t   3cos x  t   3cos x  2tdt  3sin xdx  2tdt  sin xdx   Đổ i cậ n : x   t  2; x   t   t    2tdt     1     2 cos x  sin xdx   2sin x cos x  sin x   I dx    t  3cos x  3cos x 0 f ( x)dx   a sin x  sin x  a  x   t  x   x  t   dx  2tdt x   t  0; x   t  a f ( x)dx  2 f ( x)dx f ( x) dx f(x) hàm số chẵn x 1  Cách giải: Tách thành tích phân :   f ( x) f ( x) f ( x) dx  dx   a x   a x  0 a x  dx  dx  1 x 1  t3 t2  1  11     2t  ln t        ln    ln 3  3 0 a Xét tích phân x  t 1 t t  2tdt   dt    t  t    dt  t t  t 1 0 0 I  a e) Tích phân dạng dx Đặt t   tg x Đặt u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx Tích phân phần lần d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ: Nếu y = f(x) liên tục đoạn [-a; a] và:  dx a + y = f(x) lẻ thì: cos x  cos x   sin(ln x)dx,  cos(ln x)dx a tgx  b  Đặt u = sinx (u = cosx), dv = e dx Tích phân phần lần a Bài 8: Tính tích phân I   a + y = f(x) chẵn  sin xdx,  e cos xdx a ĐS I = /8-1/4.ln2 Bài 7: Tính tích phân I   x  x dx ; J   x  x dx x  Dạng: t  x  ĐS I=1/4.ln5/3 x b dx Bài 6: Tính tích phân I   b x x x   dx dx Đặt u = x, dv = dv = cos x sin x Một số tích phân thường gặp: b P( x) dx P(x), Q(x) đa thức a) Tích phân hữu tỉ:  Q ( x) a + Nếu bậc P(x)  bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x) + Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) dùng phương pháp đổi biến phương pháp hệ số bất định b) Tích phân chứa hàm số lượng giác + Nắm vững cơng thức biến đổi c) Tích phân hồi quy: b ĐS I =12/91  Đặt u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = exdx) b   x )dx  x a 2x HD Tách thành tích phân  P( x) sin xdx,  P( x) cos xdx,  P( x) e dx,  Dạng:  x (e 1 f (u ( x))u '( x )dx   f (u ( x ))d (u ( x )) b du ĐS I   Bài 3: Tính tích phân I  b) Phương pháp tích phân phần: b  a a  u dx (e x  1)3 + Nhiều phải biến đổi xuất u’(x)dx b ex  Bài 2: Tính tích phân I   f (u ( x))u '( x)dx Đặt t = u(x) + Ta biến đổi: dx x 1 b * Loại 2: x Bài 1: Tính tích phân I   sin x cos x  4sin x dx Ñaë t t  cos2 x  4sin x  t   3sin x  2tdt  6sin x cos xdx 2tdt   3sin xdx  sin xdx  Đổ i caä n : x   t  1; x   t  2tdt 2 2  2 I     dt   t     t 3 3   1 a f (a  x)dx   f ( x)dx f(x) hàm số liên tục [0; a] Đổi biến x = a - t Hồ Văn Hồng Chun đề tích phân & ứng dụng DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY S b  a 2) Miền (D) giới hạn đường: y=f(x);y=0;x=a;x=b quay quanh trục Ox tạo vật trể trịn xoay tích : VOx=   f ( x )dx  a 3) Miền (D) giới hạn đường: x=f(y);x=0;y=a;y=b quay quanh trục Oy tạo vật trể trịn xoay tích : VOy=   f ( y )dy a S   dx , x  1;2  ,  x x x 1 dx  x x 1   1  x    x x 1   x x 1 2 1 x2  dx      dx x x 1 1    3k  90  18k  2k   k  5    54 k  12k  60 3.18   54  VOx     x   x  x   x e e  0  x  x  e  e                 x2    cos x   3  dx   xdx   x cos xdx    I   I 20 20  0 e 1  ex   e  e  S   x ex  e x    ex  e x dx     e x      e    1    1 ñvdt   0   0     x sin x dx    x sin xdx (Đại học khối A – 2007)    x  (loạ i) Pt hoà nh độ giao điể m củ a đườ ng : x ln x     ln x   x  du  dx u  x Đặ t   x x x dv  e  e dx  v   e  e dx  ex  e  Vaä y Smin  k  Ví dụ 7: Cho hình phẳng H giới hạn đường : y = xlnx , y = , x = e Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox x   0;1 , ta luô n có x e  e x  0, vaä y S    x e  e x  dx         24    x  1  3 I   sin x    sin xdx    cos x  0  VOx   ñvtt  2 0 4 0 S    e  1 x   e x x dx   x e  e x dx ; du  dx u  x  Đặ t   dv  cos xdx v  sin x  Pt hoaø nh độ giao điể m củ a đườ ng laø :  e  1 x   e x x   k  6  x 0 x  Pt hoà nh độ giao điể m củ a đườ ng : x sin x     x   sin x  Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x x   541  Ox đường y  x sin x   x     3x x  27 neâ n S   x  x dx         ñvdt  0 2   k  12k  60 Ví dụ 6: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn trục Vậ y S    x  x  x dx   x  x dx x   0;3 , x  x      x   x  x  x  3x   x   x    y2 9y y   y9  27 27   Vaä y : S     y  dy       18   ñvdt   12 6  4  0  0 Phương trình hoà nh độ giao điể m củ a đườ ng : k k k k    5 k        y  x2  x  y  x  0  Diệ n tích cầ n tìm giớ i hạ n bở i đườ ng :  y9 y  6x   x   y9 pt tung độ giao điể m củ a đườ ng y   y  9   36 y  y  18y  81 y9 y9  y  18y  81   y  S   y  dy y   0;9  : y  0 6 0 Diệ n tích cầ n tìm giớ i hạ n bở i đườ ng : y   x , y   x  x    y   2.3  x  3  y  x  Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : x + y = x2 – 2x + y =  pt tiế p tuyế n tạ i điể m M laø : y  yM  y '  x M  x  x M    1 x3  '   1 3x  dx   ln x  ln x      dx       3  x x 1  x x 1  1 1         ln  ln     ln  S  ln  ln  ñvdt  3      Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y = x2, trục Ox, tiếp tuyến điểm M có hồnh độ Vd : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : x = 1, x = 2, trục Ox đường cong y  x x3  Ta coù : S     b  kx   dx    5  k  x  x3     xA    kx   kx    B    k  x B  x B3    A    k  x A  x A3          k  xB2  x A2    k  xB  x A   x B3  x A3 k    xB  x A    x B  x A    k  x A2  x A x B  x B2  2  SD=  f ( x )  g( x ) dx b  k  x  1   3x xA 1) Miền (D) giới hạn đường : y = f(x); y = g(x); x = a; x = b có diện tích: xB xB Ví dụ 4: Cho parabol (P) : y = 3x2 đường thẳng (d) qua M(1;5) có hệ số góc k d P Tìm k để hình phẳng giới hạn (P) (d) có diện tích nhỏ 1  ln x du  dx u  ln x  x Đặ t   dv  x dx v  x dx  x   e  x3  2e e3 I1   ln x    x ln xdx   I 3 3  1 dx x3 ; dv '  x dx  v '   x dx  x e e  x3  1e e  x  e  e  2e  I   ln x    x dx            1  9  3 1 Pt hoà nh độ giao điể m củ a (P) (d) : x  kx  k   x  kx  k   k  xA    k  12k  60  0, k    (d ) luô n cắ t (P) A B k  xB  Đặ t u '  ln x  du '  Ta coù pt ñt (d) : y   k  x  1  y  kx  k  e Vaä y VOx     x ln x  dx    x ln xdx   I1    e3 2e3    5e  VOx      ñvtt    27 3 Hồ Văn Hồng Chun đề tích phân & ứng dụng Bài 17 CĐ Bến Tre – 2005 2005 Bài ĐH, CĐ Khối A – 2005  cos 3x KQ:  3ln dx sin x 1 Bài 18 CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 I  I sin x  sin x KQ: dx  3cos x Bài ĐH, CĐ Khối B – 2005 34 27 I  sin x cos x dx  cos x Bài ĐH, CĐ Khối D – 2005 I KQ: e   sin x  cos x.cos I   x ln xdx 1 I 141 KQ: 10 KQ: ln   1 e I Bài Tham khảo 2005 KQ: sin 2004 x dx x  cos 2004 x sin Bài 25 CĐSP KonTum – 2005 I Bài CĐ Xây Dựng Số – 2005 x3 I dx KQ: ln  x  1 x3 1 Bài 10 CĐ GTVT – 2005 I   x5  x dx KQ: 4sin x dx  cos x 105 I 848 105 dx KQ: 1 KQ: ln 2 KQ: Bài Tham khảo 2006 I    x  1 sin x dx KQ: Bài Tham khảo 2006 I    x   ln x dx KQ: dx 3 KQ: 1 x  x  18 Bài 15 CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005 e ln x I   dx KQ: 1 x e Bài 16 CĐSP Vĩnh Long – 2005 I Bài ĐH, CĐ Khối B – 2006 ln dx I  x e  e x  ln 10 Bài Tham khảo 2006 I  KQ:  46 15 e Bài Tham khảo 2006 I  x dx x 1  ln x  ln x 1  ln 4 KQ: ln  x2 3x   3e 2 0 dx KQ: ln  12   2sin x I dx  sin x Bài 14 CĐSP Tp.HCM – 2005 x 1 sin x I    x   e x dx  KQ: cos x  4sin x Bài Tham khảo 2006 dx I  4x  2x   Bài ĐH, CĐ Khối D – 2006 Bài 13 CĐ Truyền Hình Khối A – 2005 I    3 2006 Bài ĐH, CĐ Khối A – 2006 3.e  I   e sin xdx KQ: 34 Bài 12 CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005 KQ:  3x x  1.x dx KQ: 2004 I 4  Bài 11 CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005   8 KQ: KQ: 2 I   x x  3dx  dx Bài CĐ Khối A, B – 2005 I x  ln x Bài 24 CĐSP Hà Nội – 2005 e  9 2 Bài 21 CĐSP Hà Nội – 2005 x  2x2  4x   I  dx KQ:  x 4 Bài 22 CĐ Tài Chính – 2005 xdx KQ: I   x  1 Bài 23 CĐSP Vĩnh Phúc – 2005 I    tgx  esin x cos x  dx KQ: ln  e e KQ: x sin xdx  e2  2 Bài Tham khảo 2005 I   x ln xdx KQ: Bài 20 CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005  ;J   e I    esin x  cos x  cos xdx I   sin xtgxdx I  ln x sin xdx KQ:  J  sin x cos x sin xdx x Bài 19 CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005 KQ: ln   Bài Tham khảo 2005 x2 I 3 dx x 1 Bài Tham khảo 2005   KQ: ln  dx KQ: 10 11 2 3 Hồ Văn Hồng Chun đề tích phân & ứng dụng Bài CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006 Bài 27 CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006  1 I   x ln 1  x  dx (Đổi biến t   x , phần)KQ: ln  Bài 10 CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006 ln 1 x  KQ: 3ln  ln I  dx 2 x Bài 11 CĐ Nông Lâm – 2006 I   x x  1dx KQ: sin x KQ: Không tồn dx cos 3x  Bài 28 CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006 I I   x ln 1  x  dx 2 1 x x 1 32 KQ: dx  10 ln x  Bài 30 CĐ Xây dựng số – 2006 I    x  cos3 x  sin x dx KQ: I  1 x dx KQ: ln 2  x  sin x  cos x  sin x  dx KQ: ln  cos x dx KQ: ln  2sin x Bài 31 CĐ GTVT III – 2006 I   Bài 14 CĐ Tài Chính Kế Tốn – 2006 I   x ln  x   dx KQ: 14 ln14  5ln   J    x   ln  x  1 dx Bài 32 CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006   cos x  sin x  cos x  3 I   1  tg x  dx KQ: 32 dx  I    x  1 cos x dx KQ:  1 Bài 17 CĐ KTKT Đông Du – 2006 76 105  sin x  sin 3 x 1 dx KQ:   ln  cos x Bài 35 CĐSP Hưng Yên - Khối D1 , M– 2006  I cos x KQ: ln dx  2sin x Bài 18 CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 2006 ln e2 x KQ:  I  dx x e  Bài 19 CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 I ln x  ln x 3 dx KQ: 3  22 x Bài 36 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006  e I     I    cos x  sin x  dx Bài 37 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006 4sin x KQ: dx  cos x Bài 20 CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006 I KQ:   cos x dx  2sin x Bài 38 CĐSP Trung Ương – 2006 I  x  ln I dx KQ: cos x Bài 21 CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006 x3 I dx KQ: ln  1 x   x  Bài 22 CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006 468 I   x  x dx KQ:  Bài 24 I   x 2  x dx KQ:  32   Bài 26 I   x e x  x  dx KQ: ln KQ: I   sin x sin xdx Bài 39 CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006 x KQ : ln  I  dx  x  3 Bài 40 CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006  I   x cos xdx 2 2 Bài 41 CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006 e  dx KQ: I  x 1  ln x   KQ:  Bài 25 I    x  1 cos xdx KQ:  e  x3   2e3 11 Bài 23 CĐ Bến Tre – 2006 I      ln x dx KQ: 18 x  1 KQ: Bài 33 CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006 4x  I  dx KQ: 18 ln  ln 3 x  3x  Bài 34 CĐSP Hưng Yên - Khối B– 2006 Bài 16 Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006 KQ: 24 ln  14 Bài 15 CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 I Bài 29 CĐ Xây dựng số – 2006 Bài 12 ĐH Hải Phòng – 2006 I   Bài 13 CĐ Y Tế – 2006 I   KQ: ln   12    1  2   Bài 42 CĐKT Y Tế I – 2006 I   sin x  cos x dx KQ: ln 2 e2  KQ: 14  4  sin x Hồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng Bài 43 CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006  I  ln  tgx  sin x Bài Tham khảo khối D – 2007  2 KQ: ln 16 dx x 15 Bài 10 CĐ GTVT – 2007  1 1 x 1  x  46 KQ: dx 15 x  Bài 48 CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006  x dx KQ:  ln cos x Bài 49 CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – 2006   x sin x  2 dx  5e3   27 KQ: y  x , y  x  cos x , x  , x   ln 3 384  2 32  KQ:  Bài 16 CĐ Khối D – 2007 x  dx KQ: Bài 17 CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007 dx  x x 2  1 x x  dx KQ:  x e   5e   2x   x  dx 1 KQ: 27 5e  32  xe x dx KQ: 2 31 e  60 Bài 20 CĐ Công nghiệp Phúc Yên – 2007 KQ: 14 Bài 19 CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007 Bài ĐH, CĐ khối D – 2007 e   12 KQ:  Bài 18 CĐ Hàng hải – 2007 KQ:  2 2007 Bài ĐH, CĐ khối A – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: e KQ:  y   e  1 x , y  1  e x  x Bài ĐH, CĐ khối B – 2007 Cho hình phẳng H giới hạn đường y  x ln x , y  0, y  e Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành 2008 Bài ĐH, CĐ Khối A – 2008 Bài Tham khảo khối A – 2007 dx KQ:   1 dx Bài 15 CĐ Khối B – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường Bài 50 CĐSP Hà Nội Khối D1 – 2006 2x   KQ: ln  Tính tích phân I   x ln x dx 32008  22008 2008 1 dx Bài 14 CĐSP Vĩnh Phúc – 2007 quay hình H quanh trục Ox KQ: 2007 e   x ln x  I KQ: KQ: dx I    sin x.sin  x   3  cos3 x   sin x dx Bài 13 CĐ Cơ khí luyện kim – 2007  2 Bài 11 CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007 x2 231 KQ: 0 x  dx 10 Bài 12 CĐ Khối A – 2007 I    x  1 ln x dx x2 I  2  Bài 45 CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006 e ln x KQ:  e I  dx x Bài 46 CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006  I  dx KQ: x  x  Bài 47 CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006 KQ: Bài CĐSPTW – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình y  x  ; y  x ; x  1; x  KQ:  cos x dx Bài 44 CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006 I   sin x 1  sin x  dx KQ:  KQ:  ln tg x  cos xdx 2x  Bài Tham khảo khối B – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường x 1  x   KQ:  ln  y  y  x 1 Bài Tham khảo khối B – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường  KQ:  y  x y   x Bài Tham khảo khối D – 2007 x  x  1 KQ:  ln  ln 0 x  dx  10 ln   KQ: 43 Bài ĐH, CĐ Khối B – 2008    sin  x   dx 4  0 sin x  1  sin x  cos x   KQ: ln x  ln dx KQ: 16 x Bài CĐ Khối A, B, D – 2008 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P  : y   x  x đường thẳng d : y  x KQ: (đvdt) 2 Bài ĐH, CĐ Khối D – 2008  Hồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng Một số bí tìm ngun hàm tích phân   2t  =   ln   dt   I  I    2t  1 Dùng biến đổi vi phân tìm nguyên hàm Các tính chất ngun hàm bạn đọc sách giáo khoa Chỉ lưu ý tính chất đậm nét quan hệ nguyên hàm vi phân:  d  F ( x)   F ( x)  C Đặt t = -x  x = -t  dx = - dt Đổi cận x = -2  t = x =  t = -2 Từ đó, phép biến đổi vi phân, bạn dễ dàng tìm nguyên hàm Xem lại tự luyện đáp án số để theo dõi thí dụ (các biến đổi vi phân trung gian lược bớt gọn viết) Thí dụ 1: Tìm ngun hàm   x  1  x   x  1  x  s inx.cos x.dx 2  x   dx   x  dx   =         Đặt t = dx  x 1  x x 1 x.dx x 1  x2      x   d 2 ln     x  1   d x2    x2  1 1    x2  2   dx   =  1  tg x  d (tgx )   d tgx  tg x  =      0 I  cosx  sinx  dx  x = J    I J   0   0     t  sin t.sin 3t.dt  cos2t-cos4t  dt  I      cos2t-cos4t  dt  4  21 sin 2t  14 sin 4t   CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Các bạn cần nắm phương pháp trình bày Sử dụng định nghĩa (định lý Newton - Leibnitz)  Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục [a ; b] F(x) nguyên hàm f(x) dx  cos x b  f ( x)dx  F ( x) b a  F (b)  F (a) a  Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục [a ; b] điều kiện bắt buộc phải có để sử dụng định lý Nhiều bạn tưởng có F(x) tính tích phân Chẳng hạn, có bạn viết : I 3  tgx  tg3 x  C Nhiều bạn muốn tính tích phân  f ( x).dx dx  tan x cos x xác định x  3 ( x  1)dx a tìm nguyên hàm f(x) Có nhiều đường xử lí, xin gợi ý cách đổi biến đặc biệt, đặt t = a + b – x không cos x  3  nên I không tồn   0;   Thí dụ : Tính I   mà  1 (?) Lưu ý : f ( x)   b t0  x.s inx.sin3x.dx =   sin t.sin 3t.dt  t.sin t.sin 3t.dt =    Dùng đổi biến đặc biệt để tính tích phân Thí dụ 1: Tính cosx  sinx    x  d tg         d  ln tg x   ln tg x  C     x tg d  tgx  dx dx  cos4 x   cos2 x.cos2 x   cos2 x   cosx.dx  + x x d  d  2  2 = x x  x x sin cos tg cos2 2 2 2 cosx.dx cost  sint I     t  sin   t  sin   t  (dt ) = x 1  x  C     s inx x   3  d x     d  x  4    cost.dt 2 sinx  cosx Thí dụ 4: Tính C Thí dụ 3: Tìm ngun hàm dx   s inx   Đặt t =  − x  x =  − t  dx = − dt Đổi cận: x =  t =  , x =   t =0 Do đó:  1    s inx.dx  x   x   ln   1 cos5x - cosx + C 10 2d   t  dx   dt Đổi cận: x =  t   1  1     sin   t   cos   t  2  2  Vì I + J =  sin 3x.cos2x.dx   sin 5x  s inx  dx =  d    cos5x-cosx  =  x x 1 sinx  cosx   sin   t  ( dt ) 2  x.dx x x  Do đó:   s inx.dx    t dt 2 2t  = I dx    t   1 t dt 2t.t dt   =    t 2t  2  2 2 Thí dụ 2: Tìm ngun hàm  sin 3x.cos2x.dx 2 t  Thí dụ 3: Tính ln x.dx    ln x.d (ln x )  ln x  C x 2   (cos x).d(cosx)= d - cos x   - cos x+C  t   dt   t dt 1 32 2 t dt  2 2t   t 2  I  I  t 2  x  x  d x  x  = x  x   C  2 2 Do đó: I  ln x.dx  s inx.cos x.dx  x 7 x dx x 1 2 2 Thí dụ 2: Tính 3x  (ĐH Ngoại ngữ HN-1999)  [(3x  1)  2]dx I    [(3x  1)  2(3 x  1) ]d(3x  1) 30 90 3x    2x   ln   x  dx  1 Đặt t = -x  x = -t  dx = - dt Đổi cận: x = -1  t = x =  t = -1  3  (3 x  1)  3(3 x  1)  5   46 15 dx (ĐH Ngoại thương HN-1999) ( x  x  2) Thí dụ : Tính I   1 1 1   2x    2t    2t    2t  I   ln   dx   ln   (dt )   ln   dt   ln   dt   2x    2t    2t    2t  1 1 1 1 Hồ Văn Hồng Chun đề tích phân & ứng dụng 1 1    1  dx dx  I      2    dx    dx 2  x 1 x  2  x 1 x  2 0 ( x  1) ( x  2) I   x 1    ( x  1)1  ( x  2)1  ln  x2    2    ln   u u   d   I    d    I   2 4 2u  u u 2 cos     sin  cos  2 4 2  u   Do : I =   tg     2 2 4  x x  x dx 1 b Chú ý : Nếu gặp tích phân I   x x  x dx   x x  x dx   x x  x dx   x x  x dx 1 1       x 2x   x 2x   x 2x           4  1  0  2  4 4 mà tính khơng được, bạn nên nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b - x Các thí dụ chứng tỏ phép đổi biến có tác dụng Thí dụ : Cminh : Nếu f(x) hàm số liên tục, tuần   x x  x dx   x  x  x dx   x x  x dx 1  f ( x)dx a  x  u dx     u  ( du)   du   du  s inx  s inu  s inu  sin   u   0 Chú ý : Khi gặp hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối cần tách cận tích phân để khử dấu trị tuyệt đối Thí dụ : Tính I   a T hồn với chu kỳ T với a ta có : T  f ( x)dx   f ( x)dx a a T Phương pháp biến đổi số : Nếu t = u(x) đơn điệu [a ; b] f [u(x)].u'(x)dx  a   I x x2  (Học viện KTQS - 1999) dt  d (3t )  (3t )2  1 1  1  ln  (3t )2   3t  0  7  ln  ln 1 I  2 2007  2006  0   s inx dx  5014 Sử dụng cơng thức tích phân phần : b Ta có :  udv  u.v b a b   vdu a Nguyên tắc chọn u, v bạn tương tự sử dụng phương pháp nguyên hàm phần, lưu ý thêm có bạn phải kết hợp với phương pháp đổi biến : I  I  5 2 Thí dụ 10 : Tính I  khơng thiết phải tìm ngun  sin xdx (Đề ĐH Đà Lạt - 1999) Đặt t  x  x  t  dx = 2tdt Đổi cận x =  t = ; x    t =  nên : hàm F(x) f(x)  - Cách tích phân dạng      I   t sin tdt  2  t.d (cos t )  2 t cos t 0  g ( x)dx với a > g(x) hàm số ax 1 chẵn, làm Thí dụ : Tính  ln 1 2 x dx 2 x Giải : Xét I n   x n e x dx Đặt u  x n  du  nu n1; dv  e x dx  v  e x -1 1  2-t   2-t  2-x 2+t 2+t I=  ln dx=  ln (-dt)=  ln dt= ln   dt=- ln  dt=-I  I = 2+x 2-t 2-t 2+t    2+t  -1 -1 -1 -1 Theo cơng thức tích phân phần ta có : 1 1 1 I n   x n e x dx   udv  uv   vdu  x n e x  n  x n1e x dx  e  nI n1 0 0 0 Chú ý : + Tích phân miền đối xứng hàm số lẻ + Tích phân khơng phụ thuộc ký hiệu đối số : với n nguyên n >1.Ta có : I1   x.e x dx  xe x b a 1 x  e dx  e e x  0 I  e  I1  e  2; I  e  3I  e  3(e  2)   2e; = I  e  I  e  4(6  2e)  9e  24; I  I  e  5I  e  5(9e  24)  120  44e a       cos tdt  = 2    sin t   2  1  f ( x)dx   f (u)du   f (t )dt -1 b  Thí dụ 11 : Tính I =  x e x dx Đặt t = - x dx = - dt Với x = -1 t = 1, với x = t = -1.Do : Thí dụ : Tính   a a s inx dx  2007 s inx dx 2007 s inx.dx   2007cosx b b  s inx dx   s inx dx   s inx dx   a  f ( x)dx a 2007 Do : x dx 1  2x (Đề Học viện BCVT - 1999) a Chứng minh dễ dàng hàm số y = s inx hàm số tuần hoàn với chu kỳ  (t )4 (dt ) 2t.t dt t dt    t dt    t t t 1 1  1 1  Chú ý : - Để tính f ( x )dx , T Đặt t = x  x = t  dx = dt Đổi cận : x = 1  t = ; x =  t = 1 ta có : I  2007 Thí dụ : Tính I  f ( x )dx (*) Xét J  a Thí dụ : Tính 9t  T  Chú ý : Có thể áp dụng kết để tính tích phân hàm số tuần hoàn 1 dt Đặt t   x   dx   x t t 1 Đổi cận : x   t  ;x=4 t Do : a f ( x )dx   f ( x )dx  a T : J   f (u  T ) du   f (u)du   f ( x )dx Thay vào (*) ta có đpcm dx a T đặt u = x - T  x = u + T  dx = du.Đổi cận : x = T  u = ; x = a + T  u = a, f (t )dt u(a) Thí dụ : Tính I   a u (b ) b  Ta có T x   s inx dx Chú ý : Bài thay làm nhiều lần tích phân phần tương tự nhau, ta làm lần tổng quát áp dụng cho n = 2;3;4;5 Đổi biến số u =   x  x    u Ta có : x   u   ; x    u  Mặt khác : dx = -du Hồ Văn Hồng Chun đề tích phân & ứng dụng CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC (A – 2003) x x2  Đặ t t  x   t  x   2tdt  xdx  tdt  xdx I  xdx x2 x2   t tdt   4 t t  2  t  2 dt 3  t   t   dt  t   t    4 2   2 0  Tính A   esin x cos xdx : Đặ t t  sin x  dt  cos xdx 0 Đổ i caä n : x   t  0, x  Đặ t t   x  t   x  x   t  xdx  2tdt  xdx  tdt Đổ i cậ n : x   t  1; x   t  2 2 1  t3 t5  1 I   x  x xdx    t t  tdt    t  t dt          15    e Tính tích phân : I    ln e ln x I e ln3 2x Đổi cận    2 0   2 dx 1 x    , ta ñaë t x  atgt , t    ;  a2  x  2 Khi gaë p  2sin x cos x cos x sin x cos2 x dx 2  dx  cos x  cos x 0      Đặ t x  tgt  t    ;    dx   tg t dt   2  I  t  1  dt   2 t   t 1  t2   t  2t  1 1 t dt  21  t   t dt    2t  ln t   I  1      ln        ln      sin x dx  s in2 x  cos x dx Đặ t t   sin x  dt  cos xdx  sin x I I  x   t 1 x  t2 dt 1 Vaä y I     ln t   ln 21 t 2  dx dx  1  3   x         I (Dự bị B – 2004)   Đặ t x  dx x  x 1       tgt  t    ;    dx   tg2 t dt 2   2    1  3  tgt   tgt   t  ;x 1 tgt   tgt   t  2 2 3 x0    dt  t   0 (B – 2003)  1  tg2 t    tg2 t dt 10 Tính tích phân : I     xx  Tính tích phân : I    x   tgt   t  0; x   tgt   t  2 Tính tích phân : I   Tính tích phân : I   (B – 2005) Đổ i cậ n : x   t  2, x  1 2   cos 2t dt   t  sin 2t   2  0 0     cos2 tdt    x   sin t   t  0; x   sin t   t  5  t2   1  3      ln  ln  ln  dt   ln t   ln t     ln t  t 1 2  t  3 3 I  2  I    sin t cos tdt   cos2 t cos tdt   cos t cos tdt Đặ t t   cos x  dt   sin xdx;  x sin x    cos x dx      2      Đặt x  sin t  t    ;    dx  cos tdt   2   t  1   t   dt e dx dt dt      3e x 3 t  3t  3  t  1 t   3  t  1 t          Khi gặ p a2  x , ta đặ t x  a sin t,  t    ;     2  sin x cos x dx  cos x 0 0 ( B – 2006) Tính tích phân : I   1  t  A   et dt  et   e  Tính tích phân : I    x dx 3dx dx 2tdt   x x dx  2e  x  Đặ t t  e x  dt  e x dx x  ln  t  3, x  ln  t  x  Tính B   cos2 xdx    t   2tdt 2 2  t5 t3   32   1   116 I  t   t  t dt                3 9   1      135    (B – 2004) x   t  1; x  e  t    Vaä y I  A  B  e    3ln x ln x dx x Đặ t t   3ln x  t   3ln x  2tdt  ln  I   esin x cos xdx   cos2 xdx  A  B Tính tích phân : I   x  x dx (Dự bị 2A – 2003) Tính tích phân : I   Tính tích phân : I   esin x  cos x cos xdx (D – 2005) t 1 1 1 ln   ln  ln   ln t 2 2 2 1 1   ln  ln   ln 4 5 x 1 t  2  1  1  t  2    dt   ln t   ln t     ln 3  t  t   4  t   xdx  4  dx  Đổ i cậ n : x   t  3; x   t   x 1  x    x 1  x  Đặt t   x  dt  xdx x   t  dt t   t  1  1 I   dt      dt   ln t   ln t  t  t  1  t  t  1  t 1 t  I dx  Tính tích phân : I    3  tg2 t dt 2  33      dt  t       3  3 3 6     tg t  4   Hồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng   11 Tính tích phân : I   ln x  x dx        2 Tính A : Ñaë t t  x   dt  xdx ; x   t  4, x   t  12 Tính tích phân : I    x   e2 x dx (D – 2006)      Tính B : Đặ t x  2tgt  t    ;    dx   tg2 t dt ; x    2   du=dx  u=x-2  Đặ t :  Þ 2x 2x 2x dv=e dx v=  e dx= e   tgt   t  0, x   tgt   t     x dx (Dự bị – A2003)  cos 2x 13 Tính tích phân : I      tg2 t dt  4tg2 t B    dx   1  x 18 Chứng minh :  u  x du  dx x 14 x   I dx   dx  I1 Ñaë t :  dx   dx 2 2 cos x cos x dv   tgx 0  v   cos2 x cos2 x      I1   udv  uv    vdu   xtgx    tgxdx  0   0     ln cos x    ln    4  x   1;1   x   1  x     x    cos x  ' dx  cos x 19 Chứng minh : Đặ t t  x  dt  xdx Đổ i cậ n : x   t  0, x   t  1 15 Tính tích phân : I     2    2sin xdx   x sin xdx (Dự bị D – 2004)     x2    u  t du  2tdt Đặ t   dv  sin tdt v   sin tdt   cos t 1   Vaä y I1   t cos t    t cos tdt    I  x2  2  x2 dx  (điề u phả i ng minh) 2  u '  t du '  dt Đặ t   dv '  cos tdt v '   cos tdt  sin t 21 Tính tích phân : I  Vậ y I2  t sin t    sin tdt   cos t   1   2 0  16 Tính tích phân : I   x  x dx  cos xdx p 0   4p      I=  2sin xdx=  sinx dx=   sinx dx+  sinx dx  =   sinxdx-  sinxdx  p p p p 0     3  -3    p      =  -cosx  - -cosx  - p  =  +1-  -1+   = -1      p I1     I  2  (D – 2003) Giải phương trình x2 – x = 0, ta x = V x = x -∞ x2 – x + – +     x2 dx  2 x   0;1   x    x     x  Đổ i cậ n : x   t  0; x    t   Vaä y I   t sin tdt  I1   đpcm  Đặ t t  x  x  t  dx  2tdt 20 Chứng minh :     4             2sin x         2sin xdx     2 4  2 4 1 u  t du  dt Ñaë t   I1   udv  uv    vdu t t dv  e dt v  e 0 1 1 t t t      te    e dt  e  e   e   e  1   I  0    sin x    sin x    2sin x     2sin x  2 dt 1  tet dt  I1 2 0 2    2sin xdx     x   ;  , ta coù : 4 2  (Dự bị D – 2003) 1  1   ln I  I1   ln 2 1 1    x3 1  1   dxx  17 1  1  92   dxx  27  ñpcm  1 1  14 Tính tích phân : I   x e x dx I   x e x xdx   tet 1   14 16 17   dt   t   Vaä y I    ln  20  0 4    dt 1 A     ln t    ln  ln   ln  ln 24 t 2 1 1  11   5-3e2 I=  udv=  uv  - vdu=  e2x  x-2   -  e2x dx= -e2 +2 -  e2x  = 2  0  0 0 (Dự bị A – 2004) 2  x3  xdx  x 17  dx 16 I=   x -4- + dx=  -4x  - +17 =- -A+17B 3 x +4 x +4 x +4   0 0 x +4  x4  x  dx x2  17 Tính tích phân : I   =3ln6-2ln2- 2x+ln x-1  =3ln6-2ln2-  6+ln2  -4  =-2+3ln6-3ln2=-2+3ln3  2  x2 x3   x3 x2  Vaä y I   x - x dx   x - x dx   -    -     1 1 1 8  1 1   -    -2 - -    3 3  3 2 (D – 2004)  2x  u  ln x  x dx du  Đặ t :   x x v  x dv  dx  3 3 x  2x-1   I=  udv=  uv  - vdu=  xln x -x  - dx =3ln6-2ln2-  2+  dx   x  x-1  x-1   +∞ p 22 Tính tích phân : I   +  x  1 x2  x  dx Hồ Văn Hồng Chun đề tích phân & ứng dụng 5x  5x  A B Ax  A  Bx  3B     x  x   x  3 x   x  x   x  3 x   Ta coù :   A  B   A   x    A  B  x  A  3B    2 A  3B  5  B  Tính I cách đặt t       dx  2 ln x -  3ln x  1   3ln  -  ln  3ln  I   x -3 x    ln - ln - 3ln  ln - 3ln Đặ t t  23 Xác định số A, B cho : 3x  A B 3x    , x  1 Tìm:  dx 3  x  1  x  1  x  1  x  1 3x  A  B   x  1  x  1  x  1 3  A  B  x  1  x  1  Bx  A  B  x  1 24 Tính tích phân : I    x ln x   x 1 x  B   A  2    A  B   B  dx 25 Tính : I   x e dx Đặ t t  ln x  dt  x  p Vaä y I   p   I  I x dx x  9 dt   4 t     1   1    I  sin sin xdx  x  sin x  x   t 1 x  ;x   t  2  1  x 0t 0 x 1 t 1 Vaä y I   sin  t  2tdt  t2  Đặ t t  sin x  dt  2sin x cos xdx  sin xdx 2 dt t  4  t 1    dt      dt t t  4 1t t4 t t  4 I    1 t  1 1  ln t  ln t     ln    ln  ln   ln 1 4 t  1  5   32 Tính tích phân : I   sin xe x dx x dx x6    u  sin x du  cos dx Đặ t   I  e x sin x    e x cos xdx   J x x dv  e dx v  e   u '  cos x du '   sin xdx x Đặ t   J  e cos x    e x sin xdx  e   I x x dv '  e dx v '  e e    I  e   I  2I  e   I  x 0t 0 x 1 t 1 Ñaë t t  x  dt  x dx  2  sin x dx sin x  6sin x  1 1 dt dt  t  3   t  3  1      dt      dt  t   t  3 t  3 18  t  3 t  3 18  t  t      31 Tính tích phân : I   1 1-t dt   cos2 xcosxdx 1    = =  -1 dt= - -t  =  -1-1 -  -2-  = 2 sin x t t t 2   1  π 1 t  27 Tính tích phân : I    cos3 x 26 Tính tích phân : J   dx (Sở GĐ TP 2004−2005)  sin x t 1   2 2 I    t cos  t     cos  t  dt   sin  t         0  dt du  2dt u  2t  Đặ t   dv  sin  t  dt v   sin  t  dt    cos  t     Đặ t t  x  x  t  dx  2tdt  ln    1  ln  I   ln    ln 2 t  sin x cos5 x dx   x   t  1; x   t  cos2 x p p dx dx dx 3 cos2 x cos2 x    cos x 5 sin x cos x p sin x cos x p tg3 x 4 cos2 x cos8 x dx (CĐ KT A, D – 2005) dx   30 Tính tích phân : I   sin  x dx J=  I J Đặ t t  tan x  dt  x  e  t  1, x  e  t  2 2  t2  I    t  ln t dt   tdt   ln tdt     I1    I1   I1 2  1 1  dt 2 u  ln t du  Tính I1 : Đặ t   t I1  t ln t 1   dt  ln  t 1 dv  dt  v  t  π  Đặt t  sin x  dt  cos xdx x   29 Tính tích phân : I   ln x  ln  ln x  t0    I    x ln x   x    dx  ln    x   ln     0 e2       x tdt   dt  t   x t  x  dt   dx  x     sin3   t  2  cos3 t x  I dx  J  dt    cos3 t  sin3 t dt   cos3cos   x  sin x 3 3  0 sin   t   cos   t  2  2  Tính v : Đặ t t   x  t   x  2tdt  xdx  tdt  xdx v 2 x 0t  Ngoaø i : I  J   dx   x  02   x  x2  x  1 u  ln x   x 2   x dx   x dx  dx  du  Đặ t    x   x  x2  x  x2 xdx dv   xdx v  1 x    x2       3x  2 3  x  dx    x   x  dx  x   x   C            s in3 x cos3 x 28 Cho I   dx ; J   dx 3 sin x+cos x sin x+cos x 33 Giải phương trình :  1 1  t 3  1  ln t   ln t     ln    ln  ln1  ln  18 18   18  t   18  x  sin 2t 10  cos2 tdt   x    14 ln t  ln t   Hồ Văn Hồng Chun đề tích phân & ứng dụng Đặ t u   cos2 t  u2   cos2 t  2udu  2sin t cos tdt  x 11x  VOx    x  11x  x  16 dx      x  16 x  5  1 1   2udu   sin 2tdt t   u  2; t  x  u   cos x x 1 cos2 x 2  sin 2t  cos tdt  2      1 cos2 x  u3  u2 du  2   3      Đặ t t  tg         cos x I    sin x  sin x   dx   sin x   dx  0    sin x  0  cos(  x )     cos3 x dx  sin x 35 Tính tích phân : I   I    1  1   1 1    ln  ln   ln 3 4     0 x7  10  dx cách đổi biến t = –x 1 x   1 2 J   sin x cos6 x    sin x cos5 x sin xdx  K Vaä y I  J  K  6 0 41 Tính tích phân : I  t x7   10 dt   10 dx   I  I   I  10 t 1 1 1 1 t 1 x e x  ln x  ln x I dx (Dự bịB–2006)   2 1 x x 1 x  1  t  x 0t 0  42 Tính tích phân : I   Đặ t t  Pt hoà nh độ giao điể m củ a đườ ng : 1    x  11x  x  16 dx 1 1   1 t 2t dt x x dx  x t  0 1    x  dt   dx; cosn xdx cosn x  sin n x x 0t  x   t0 n  x   x  x  x    x  1  x  2 2 t      cos   t   dt  2 sin n tdt sin n xdx 2  I   n   n   sin t  cos t sin n x  cosn x n  n   cos  t  sin  t     2  2   y   x Hình phẳ ng D đượ c giớ i hạ n bở i đườ ng   y   x  t  dt   38 Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + y – = ; x+ y – = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên quay miền D quanh trục hoành    3  x  dx     25  10 x J   1 x 2x  1  x5  x x dx x4 Vaä y I   x  x dx   dx   x dx     x 1  0 1 1 0   t3  2   10  11   4t       4    1   3    x4 dx x 1 x x4 dx Xeù t J   x dx x  1 1 dx   Đặ t x  t  dx   dt 2dx dx  tdt  x x  t2  x   t  1, x  e  t  Vaä y I   tdt    t dt t 1  2 1 Đặ t t   ln x  t   ln x  2tdt  x  1  t  x   t  1 t  dt  du  6sin x cos5 xdx u  cos6 x  Tính J : Đặ t   dv  cos xdx v   cos xdx  sin x  37 Tính tích phân : I  VOx     x  I   cos x cos  x  x  dx   cos x cos x cos xdx   sin x cos5 x sin xdx  J  K  x7 I   10 dx  1 1 x   1  dt     dt   ln t   ln t      t2 0 3   0 t   t    t  12        2    1  sin x  cos x           4  0     2 2      cos x 1  sin x   dx    cos x  cos x sin x  dx    cos x  sin x dx   0 Đặ t t   x  dt   dx  40 Tính tích phân : I   cos5 x cos xdx  36 Tính tích phân : I     sin x cos xdx 1  sin x 1  sin x  cos xdx cos x cos xdx    sin x  sin x  sin x 0  t 1   t 1   ln 3 t2     t     t  12   x    30 3   x   3  3   x  sin x  cos x  tg         1   4 4 2      x x 1 2dt dt dt   2  2 x x  t  10t  1 4t  10t  0  10sin cos t  2  t   2  2 x cos2      cos x dx    sin x     x  cos2       2   dx cos2 cos2 I   x  dt  x 0t 0 dx  dx  5sin x 39 Tính tích phân : I   sin x 34 Tính tích phân : I   dx  sin x    32 88   11   153      44       13     ñvtt      3 3   cos2 x    cos x  2    0  pt  3  3      cos2 x   cos2 x   sin x   x  k  k        x   x  x dx   sin n x  cosn x   dx   dx   x  02   I  n n sin x  cos x 2I   x   1;2  , x  11x  x  16  0, 11 Hồ Văn Hồng Chun đề tích phân & ứng dụng   43 Tính tích phân : I   I  Ta coù : sin x  cos4 x sin x  cos4 x dx   dx Xeù t J  x 1 3x  x Đặ t x  t  dx   dt    sin x  cos4 x dx 3x  4 x 0t 0    3x sin x  cos4 x    3x    3   sin x  cos4 x x 1 x  dx  dx      sin    x  cos x dx    2s in xcos2 x dx 4     1  cos x  3      s in 2x dx     dx     cos x  dx 2 4    0 0 0  3 4 3   x  sin x  I  16 16  0      2  sin10 x  cos10 x  cos6 x sin x  cos4 x sin x       4     4  6     I 0 1  tg m  dm  2  tg m 2  dm   m  3 3   Đặ t t   t   t.tdt  u   tgm   m  u   tgm   m    t 4  x  dt   dx; x 0t  x x 1 t  t t   t dt      1    t0        tgt    B   ln 1  tg   t     dt    ln    dt   ln   dt     tgt    tgt    0  4   4 0     ln 2dt   ln 1  tgt  dt  ln t  04   ln 1  tgx  dx    2I   x  46 Tính tích phân : I   max 1;  dx    ln I  ln I  ln 51 Chứng minh : Nếu f(x) liên tục  tuần a T x2 x2 Cho H      x   x  2 4 + – Ta lậ p hiệ u số : H   -2 x   t 1 x H x   x dx 50 Tính tích phân : B   ln 1  tgx  dx t.2tdt t dt  2 6 t  t 1 0 Vaä y I       x 1 t 1        Đặ t u  tgm  m    ;    du   tg2 m dm  2     dx   x x dx x 1   2  1 1 2 2 1    Vaä y T         15 15 15   du 1 t 0u0 I   23   du  u2 t 1 u 1 u 1 Đặ t u  t  du  3t dt  I   x x  1xdx  x 0t 0 Đặ t t  x  t  x  2tdt  dx   x  x 1 x  x 1  15   15  15 1 Vaä y : I     cos x  cos8 x dx   x  sin x  sin x   32 32 256 64   32 0 0 0 Đặ t t  x   t  x   2tdt  xdx  tdt  xdx  T  1  x5    x x  1dx   x dx  I     I   0 0   cos2 x.sin 2 x  cos2 x  cos2 x sin x  cos2 x   sin 2 x   cos2 x  4    cos x sin x 1  cos8 x 15 1     cos x    cos x  cos8 x 16 2 32 32 32 45 Tính tích phân : I    x3 x  x2  1  cos2 x  sin x cos2 x  sin x cos2 x  sin x cos4 x  cos2 x sin x  sin x  x  x2    sin x cos x  sin x  cos x cos x  sin x  cos x  sin x cos x  sin x x dx 49 Tính tích phân : T   Ta coù : sin x  cos x  cos x sin x cos x  sin x 10  I   sin10 x  cos10 x  cos4 x sin x dx 10  2  x3    10 F   max 1; x; x dx   dx   x dx   x           3 3  1 0 44 Tính tích phân :  Gọi H = x – H =  x = x H –0 + Gọi G = x2 – x G =  x = V x = x G – +  x   x   x  1:   x2  x  ;  x  :   x2  x   x  x  x  x  2   48 Tính tích phân : F   max 1; x; x dx sin x  cos4 x 0 3x  dx   2    A  1  1  1  x  I       dx    3ln x  3ln x      3ln x x 1 x  1 x x 1  x 1 1 2  1    3ln     3ln     3ln 3  2 2 Vaä y I   B  C   B  C  x   A  B  x  A   A  B   B    x  x  1  A  1 C  3 t 4 x sin t  cos t sin x  cos4 x sin t  cos4 t J dt    dt   dx  t t 1 1 3x   0 A  x  1  Bx  x  1  Cx 2x  A B C  2   x x 1 x  x  1 x x  x  1 2   t 2x 1 dx x  x  1   47 Tính tích phân : I   sin x  cos4 x dx 3x  hồn với chu kỳ T : T  f  x  dx   f  x dx a 3  x3    43 x  x   x  I=  max 1;  dx+  max 1;  dx=  dx+  dx=  x  +   =2+  -  =   12     12  2 12 Áp dụng, tính tích phân : I  2004   cos xdx Hồ Văn Hồng Chun đề tích phân & ứng dụng Ta coù : T a a T T 0 a a T  f  x dx   f  x dx   f  x dx   f  x dx 1 T  f  x dx Xé t I3  Đặ t t  x  T  dt  dx a T a a a a 0 I   f  t  T  dt    f  t  T  dt    f  t  dt    f  x  dx Thế (2) o (1) ta đượ c Á p dụ ng : I  2004  T a T a 1 2004  2004  2 J sin x dx  I   2   tg2 u Xé t tích phâ n I1   x x 1 ln x  I sin xdx Ñaë t x  t  dx   dt 1 0   0  1   4  ln t dt  18 t  u0 e t  x  u   ln x t  1  ln x  2  x  e5 1  ln x   ln x   18  1  ln x   36     x  1  ln x  6  ln x  7 e7  x2  4x   x   x 1 x 1 dx   ln x    ln  ln1  ln  ñvdt  x 1 x2 x2  x2  y2   y2    y  x2 4 Vì elip có a2   a  2, b2   b  nê n hình giớ i hạ n elip coù :   x  2 54 Tính tích phân : I   Elip 1  u3   0 sin t cos tdt  1 u  du   1 u du      D  1  58 Cho hình giới hạn elip :  x   tgu   u  x2  y  quay quanh trục hồnh Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên t   u 1 t    u  1 Đặ t u  cos t  du   sin tdt 2 neâ n S      sin t cos tdt  D  D    sin t cos tdt 1 ln x     sin t cos tdt   t sin t cos tdt    sin t cos2 tdt   x sin x cos2 xdx x   tgu   u   x    dx x2  Vì lim D     t  sin   t  cos2   t   dt      t  sin t cos2 tdt  neâ n TCX củ a (C) y   x  x 1 5   1 1 Vaä y S     x   dx Vớ i x  2;5  0     x  3 dx   x 1 x 1 x 1  x  0t  x  t    du  u  Hà m số viế t nh : y    Vaä y I   57 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) : x2  4x  , tiệm cận xiên (C) hai đường y x 1 thẳng x = 2, x = 53 Tính tích phân : D   x sin x cos2 xdx x  1  t  x 0t 0 Thế (2) o (1) ta đượ c : I  0  1 x 1   u2  udu     0 1  ln x  pt  I1   t 2004 sin  t   dt     t 2004 sin tdt    x 2004 sin xdx (2)   ln t dt dt Đặ t u   ln t  du  t t sin xdx 1 Đặ t t    x  dt   dx  e 1 e x dx x Goï i I   2004  e 2004  e I   x 2004 sin xdx   x 2004 sin xdx (1) x 1 et dt t 2002 1   x2  x  1  t    e  1 t 1  tg u  du  dx x x  4008 52 Tính tích phân : I  1 x 0t 0  1 t 1  e Xeù t J   56 Giải phương trình theo ẩn x : 2 2   Neâ n I  1002  sin x dx  1002   sin xdx   sin xdx      0  1002   cos x     cos x     x2  1  dt t dx x 2004  sin x dx   sin x dx     sin x dx e 4  2    e       Đặ t x  tgu  u    ;    dx   tg u du  2   4 2004  2     sin x dx   sin x dx    sin x dx    2 2002 0  Theo tính chấ t trê n, ta có : dx  x2  x 2sin xdx  Đặ t x  t  dx   dt  f  x dx   f  x dx  ñpcm   cos xdx   e I x  aT  t  a x T t 0 0 3 VOx    y dx   sin x.sin x.sin 3x.cos 5xdx 2     x  dx  4 x  4  2 x3        8  ñvtt          8      2  3   I 3 3  sin x sin x sin 3x cos 5xdx   sin x sin x sin 3x cos 5xdx Xeù t J  3  sin x sin x sin 3x cos 5xdx Ñaët x  3  t  dx  dt 3 J 59 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn đường trịn tâm I (3;0), bán kính R = (1) 3 3 t 2 x  3  t  pt đườ ng trò n tâ m I  3;  ,R  laø  x    y  x   x  3   y  x     y  x    y 2 Vì đườ ng trò n có tâ m I  3;  ,R  neâ n   y  2 2 3 3 0 Gọ i I  Thế (2) o (1) ta đượ c I  I    55 Tính tích phân : I   e 1 dx x   2   sin t sin 2t sin 3t cos 5tdt    sin x sin x sin x cos xdx (2)  VOy       y   sin  3  t  sin  6  2t  sin  9  3t  cos 15  5t  dt      3   y2  dy    6.2  13   y dy  12   y dy 2      y dy Đặ t y  2sin u  u    ;    dy  cos udu  2     y  2  sin u  1  u   y   sin u   u    2  2  4sin t cos udu   cos u cos udu   cos2 udu   1  cos 2u  du   u  sin 2u                       2  VOy  242  ñvtt      x2  2 2  Hồ Văn Hồng Chun đề tích phân & ứng dụng pt hoà nh độ giao điể m củ a đườ ng : x  x   x  60 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y  4 2 x x (Đại học khối B – 2002) vaø y  4  x  3  x  3  x  3 x      x  x   x    x  5x    x   x      x      x  x    x    x  x   0(VN ) pt hoà nh độ giao điể m đườ ng laø : S x  x   x  2 x2 x2 x2 x4 x4 x2   4    40  4 32 32  x  16 (vô lý ) 4 2  4 2 2 2 x  4x   x  x x x x  dx Vớ i x   2 2;2  ,   0   4 4   x x  4x     4       2   A cot gx     cot gx  cot g x dx dx Đặ t t  cot gx  dt  sin x sin x 3 A   t t  dt   3  e x x   t ln x  x  1 2   dy    y    y  dy 2    neâ n VOy     y  y  y dy 64 Cho hình phẳng H giới hạn đường : y = xlnx , y = , x = e Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox t0 Pt hoà nh độ giao điể m củ a đườ ng :  x  (loaï i) x ln x     ln x   x  dx e e Vaä y VOx     x ln x  dx    x ln xdx   I1 1  ln x du  dx u  ln x  x Đặ t    dv  x dx v  x dx  x   e  x3  2e e3 I1   ln x    x ln xdx   I 3 3 1  dx du '  u '  ln x  x Đặ t   x3 dv '  x dx  v '   x dx   e e  1  dx I  ln x     1  A  x 1  1 x  x  1 e e  x  1  x dx  e    dx  ln x  ln x   e dx A  1  x x    1 e x  x  1 x  x  1 e e   y3 y5  1  32   4y  2y2             ñvtt  0  15    dx u  ln x du  x   Đặ t dv  dx   dx 1   x  1 v    x  12  x    e  1 61 Tính tích phân : I   e  y  x  y   x  y2 y 2 x  x 2y    2  y  3 t8  3   t dt      81 24  0 e 3    2  y x   0;1 , y  VOy    y sin x  sin x  2 cot gx   cot g x sin3 x dx   dx 2 sin x sin x   y   nhaä n  Pt tung độ giao điể m : y   y  y  y      y  2  loaï i  cot gx sin3 x  sin xdx sin3 x    x3   x3   x3  4 20 28    x  3x     x  3x     x  3x      3 0  1  3 3 55 28 109 S    ñvdt  Miề n D giớ i hạ n bở i  Tính tích phân : A    y  x ; y   x; y  Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình D xung quanh trục Oy   x   dx    16  16      12  2 12  2 Vaä y S  A  B  2    2   ñvdt  3 x  63 Cho hình phẳng D giới hạn đường :   + – + Ta coù : I   x  x  dx    x  x  dx   x  x  dx      4  t  s in2t            2        B 16  16sin t cos tdt   cos t cos tdt   cos2 tdt   1  cos 2t  dt 0  t  2 I   x  x  dx Giaû i pt x  x   ta đượ c : x   x   t   x2  55    3x   I  I 2 0 2      16  x dx Đặ t x  4sin t  t    ;    dx  cos tdt 2   2  x  2  sin t   A  2 2  x2 x2  x2 x2 dx    dx   neâ n S      dx  A  B   4 2  2 2  x  2  sin t   – S   x   x  x  dx    x  3 dx   x  x  dx 2 A 0 e e  x3  1e e  x  e  e  2e  I   ln x    x dx            1  9  3 1 e   x  e e  ln e  Vaä y I    ln  ln  ln  e 1  x  1 1 e e   e3 2e3    5e  VOx      ñvtt    27 3 e 62 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y  x  x  vaø y  x  (Đại học khối A – 2002) 14 ... 1  tg2 t    tg2 t dt 10 Tính tích phân : I     xx  Tính tích phân : I    x   tgt   t  0; x   tgt   t  2 Tính tích phân : I   Tính tích phân : I   (B – 2005) Đổ i cậ... cơng thức tích phân phần ta có : 1 1 1 I n   x n e x dx   udv  uv   vdu  x n e x  n  x n1e x dx  e  nI n1 0 0 0 Chú ý : + Tích phân miền đối xứng hàm số lẻ ln + Tích phân không... KQ: (đvdt) 2 Bài ĐH, CĐ Khối D – 2008  Hồ Văn Hồng Chun đề tích phân & ứng dụng Một số bí tìm ngun hàm tích phân   2t  =   ln   dt   I  I    2t  1 Dùng biến đổi vi phân tìm ngun