Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 14 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
14
Dung lượng
531,58 KB
Nội dung
Chuyờn tớch phõn & ng dng Vn Hong
1
1. Bng nguyờn hm ca cỏc hm s.
2. Cỏc phng phỏp tớnh tớch phõn:
a) Phng phỏp i bin s:
* Loi 1:
Dng:
2 2
a x dx
,
2 2
dx
a x
t x = asint.
Dng:
2 2
dx
x a
t x = atant,
2 2
( )
dx
ax b c
t
tan ax b c t
* Loi 2:
( ( )) '( ) .
b
a
f u x u x dx
t t = u(x).
+ Nhiu khi phi bin i mi xut hin u(x)dx.
+ Ta cng cú th bin i:
( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))
b b
a a
f u x u x dx f u x d u x
b) Phng phỏp tớch phõn tng phn:
Dng:
( )sin ,
b
a
P x xdx
( )cos ,
b
a
P x xdx
( ) ,
b
x
a
P x e dx
t u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = e
x
dx).
Dng:
2 2
, ,
cos sin
b b
a a
x x
dx dx
x x
t u = x, dv =
2
cos
dx
x
hoc dv =
2
sin
dx
x
.
3. Mt s tớch phõn thng gp:
a) Tớch phõn hu t:
( )
( )
b
a
P x
dx
Q x
P(x), Q(x) l cỏc a thc.
+ Nu bc P(x) bc Q(x) chia P(x) cho Q(x).
+ Nu bc ca P(x) < bc Q(x) dựng phng phỏp i bin hoc
phng phỏp h s bt nh.
b) Tớch phõn cha cỏc hm s lng giỏc.
+ Nm vng cỏc cụng thc bin i.
c) Tớch phõn hi quy:
Dng
sin ,
b
x
a
e xdx
cos .
b
x
a
e xdx
t u = sinx (u = cosx), dv = e
x
dx. Tớch phõn tng phn 2 ln.
Dng:
sin(ln ) , cos(ln ) .
b b
a a
x dx x dx
t u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx. Tớch phõn tng phn 2 ln.
d) Tớch phõn hm s chn, l:
Nu y = f(x) liờn tc trờn on [-a; a] v:
+ y = f(x) chn thỡ
0
( ) 2 ( )
a a
a
f x dx f x dx
.
+ y = f(x) l thỡ:
( ) 0
a
a
f x dx
.
e) Tớch phõn dng
( )
1
x
f x
dx
a
trong ú f(x) l hm s chn.
Cỏch gii: Tỏch thnh 2 tớch phõn :
0
0
( ) ( ) ( )
1 1 1
x x x
f x f x f x
dx dx dx
a a a
Xột tớch phõn
0
( )
1
x
f x
dx
a
i bin s x = -t.
Kt qu ta c
0
( )
( )
1
x
f x
dx f x dx
a
.
f) Tớch phõn dng:
0 0
( ) ( )
a a
f a x dx f x dx
trong ú f(x) l hm
s liờn tc trờn [0; a].
i bin x = a - t.
Bi 1: Tớnh tớch phõn
1
3
2
0
1
x
I dx
x
.
HD: t t = x
2
+ 1 hay x = tant. S I =1/2(1-ln2).
Bi 2: Tớnh tớch phõn
ln3
3
0
( 1)
x
x
e
I dx
e
HD: t t = mu a v dng
b
a
u du
. S
2 1 I
Bi 3: Tớnh tớch phõn
0
2
3
1
( 1 )
x
I x e x dx
HD Tỏch thnh 2 tớch phõn. S I=3/4e
-2
- 4/7
Bi 4: Tớnh tớch phõn
2
6
3 5
0
1 cos .sin .cos
I x x dx
HD: t =
6
3
1 cos x
cos
3
x = 1- t
6
. S I =12/91
Bi 5: Tớnh tớch phõn
2 3
2
5
1
. 4
I dx
x x
HD: nhõn t v mu vi x ri t
2
4 t x
. S I=1/4.ln5/3
Bi 6: Tớnh tớch phõn
4
0
1 cos2
x
I dx
x
HD:a v dng tớch phõn tng phn. S I = /8-1/4.ln2
Bi 7: Tớnh tớch phõn
1
3 2
0
1
I x x dx
;
1
2 2
0
1
J x x dx
Bi 8: Tớnh tớch phõn
3
2
4
cos . 1 cos
tgx
I dx
x x
HD: Bin i v dng
3
2 2
4
tg
cos . tg 1
x
I dx
x x
.t
2
1 tgt x
Bi 9 :Tớnh tớch phõn :
2
1
1 1
x
I dx
x
(i hc khi A 2004)
t
2 2
1 1 1 2t x t x x t dx tdt
1 0; 2 1x t x t
1 1 1
2 3
2
0 0 0
1
3 2
0
1 2
2 2 2 2
1 1 1
1 1 11
2 2 2ln 1 2 2 2ln2 4ln2
3 2 3 2 3
t t t
I tdt dt t t dt
t t t
t t
t t
Bi 10:Tớnh tớch phõn :
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x
(i hc khi A 2005)
2
2
1
2 2
0 0 2
2
2 3
1
ẹaởt 1 3cos 1 3cos 2 3sin
2
sin . caọn : 0 2; 1
3 2
1 2
2 1
2cos 1 sin
3 3
2sin cos sin
1 3cos 1 3cos
2 2 1 2 2
3 3 3 9 3
t x t x tdt xdx
tdt
xdx ẹoồi x t x t
t tdt
x xdx
x x x
I dx
t
x x
t t t
2
1
2 16 2 2 1 34
3 9 3 9 3 27
Bi 11 : Tớnh tớch phõn :
2
2 2
0
sin2
cos 4sin
x
I dx
x x
(i hc khi A 2006)
2 2 2 2
2
2 2
1 1
1
ẹaởt cos 4sin 1 3sin 2 6sin cos
2
3sin2 sin2 .ẹoồi caọn : 0 1; 2
3 2
2
2 2 4 2 2
3
3 3 3 3 3
t x x t x tdt x xdx
tdt
xdx xdx x t x t
tdt
I dt t
t
Chun đềtíchphân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
2
d
P
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
TRỊN XOAY.
1) Miền (D) giới hạn bởi các đường : y = f(x); y = g(x);
x = a; x = b có diện tích: S
D
=
( ) ( )
b
a
f x g x dx
2) Miền (D) giới hạn bởi các đường: y=f(x);y=0;x=a;x=b khi
quay quanh trục Ox nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích :
V
Ox
=
2
( )
b
a
f x dx
3) Miền (D) giới hạn bởi các đường: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi
quay quanh trục Oy nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích :
V
Oy
=
2
( )
b
a
f y dy
Vd 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
x = 1, x = 2, trục Ox và đường cong
3
1
1
y
x x
2
3 3
1
3 3
2 2 2
2
3
3 3
1 1 1
3
2
2 2
2
3
3 3
1 1
1
1 1
Ta có : , 1;2 , 0
1 1
1
1
1
1 1
1 '
1 1 3 1 1 1
ln ln 1
3 3 3
1 1
1 1
ln2 ln9 ln2 .
3 3
S dx x
x x x x
x x
dx x
S dx dx
x
x
x x x x
x
x
dx dx x x
x x
x x
4 1
ln2 ln9
3 3
S đvdt
Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường : x + y = 0 và x
2
– 2x + y = 0
2
2 2
Diện tích cần tìm giới hạn bởi 2 đường : , 2
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường là :
2 3 0 0 3
y x y x x
x x x x x x x
3 3
2 2 2
0 0
2 3 0;3 , 3 0Vậy S x x xdx x xdx x x x
3
3
2 3
2
0
0
3 27 9
nên 3 9
2 3 2 2
x x
S x x dx đvdt
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = (e + 1)x, y = (1 + e
x
)x (Đại học khối A – 2007)
1 1
0 0
1
0
Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : 1 1
0
0
0
1
1 1 ;
0;1 , ta luôn có 0, vậy
x
x
x
x x
x x
x
e x e x
x
x
x e e
x
e e
S e x e xdx x e e dx
x x e e S x e e dx
u x du dx
Đặt
dv e e dx
1
1
2
1
0
0
0
1 1
2 2 2
x x
x x x
v e e dx ex e
ex e e
S x ex e ex e dx e e đvdt
Ví dụ 4: Cho parabol (P) : y = 3x
2
và đường thẳng (d) qua
M(1;5) có hệ số góc là k.
Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi (P)
và (d) có diện tích nhỏ nhất.
2
2 3
2 2
3 3
2 2 3 3
2 2
2
1 5 3 5
2
5 5
2 2
5
2
5
2
5
. 5
3 2 3 9 3
3
3.18
B
B
A
A
x
x
x
x
B A
B B A A
B A B A B A
B A B A A A B B
kx
S k x x dx k x x
kx kx
k x x k x x
k
x x k x x x x
k
x x x x k x x x x
k k k k
k
k
2 2 2
3
3
2
2
min
90 18 2 6 5 12 60
54
1 1
12 60 6 24 Vậy S 6
54 54
k k k k k
k k k k
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = x
2
, trục Ox, tiếp tuyến tại điểm M có hồnh độ bằng 3.
2
2
tiếp tuyến tại điểm M là : '
9 2.3 3 6 9
0
tích cần tìm giới hạn bởi 2 đường :
9
6 9
6
9
pt tung độ giao điểm của 2 đường là 9 36
6
M M M
pt y y y x x x
y x y x
y x x y x
Diện
y
y x x
y
y y y y
9
2
0
9
9
3
2
0
0
18 81
9 9
18 81 0 9. 0;9 : 0
6 6
2
9 9 27 27 9
Vậy : 18
6 12 6 3 4 2 4
y
y y
y y y S y dy y y
y
y y y
S y dy đvdt
Ví dụ 6: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép
quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục
Ox và đường
sin 0y x x x
2
2
0 0
0
0
Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : xsin 0
sin 0
sin sin
Ox
x
x
x
x
x
V x x dx x xdx
2 3
0 0 0
0
1 cos2
cos2
2 2 2 4 2 4 2
x x
x dx xdx x xdx I I
3
0
0 0
1
cos2
sin2
2
1 1
sin2 sin2 0 cos2 0
2 2 4 4
Ox
du dx
u x
Đặt
dv xdx
v x
x
I x xdx x V đvtt
Ví dụ 7: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = xlnx ,
y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình H quanh trục Ox (Đại học khối B – 2007)
2
2 2
1
1 1
2
3
2 2
1
3
2
2
1
1
0 ( )
Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : ln 0
ln 0 1
ln ln
2ln
ln
2
ln ln
3 3
3
e e
Ox
e
e
x loại
x x
x x
Vậy V x x dx x xdx I
x
du dx
u x
x e
x
Đặt I x x xdx
x
dv x dx
v x dx
3
2
2
3 3
I
3
2 2
3 3 3 3 3 3
2
2
1
1 1
3
3 3
' ln ' ; ' '
3
1 1 2 1
ln
3 3 3 9 3 9 9 9
5 2
2 2 1
.
3 3 9 27
e e
e
Ox
dx x
Đặt u x du dv x dx v x dx
x
x e x e e e
I x x dx
e
e e
V đvtt
2 2
2
có pt đt (d) : 5 1 5
hoành độ giao điểm của (P) và (d) :
3 5 3 5 0
6
12 60 0, ( ) luôn cắt (P) ở A và B.
6
A
B
Ta y k x y kx k
Pt
x kx k x kx k
k
x
k k k d
k
x
Chuyên đềtíchphân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
3
2005
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2005
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x
KQ:
34
27
Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2005
2
0
sin 2 cos
1 cos
x x
I dx
x
KQ:
2ln 2 1
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2005
2
sin
0
cos cos
x
I e x xdx
KQ:
1
4
e
Bài 4. Tham khảo 2005
7
3
0
2
1
x
I dx
x
KQ:
141
10
Bài 5. Tham khảo 2005
3
2
0
sin
I xtgxdx
KQ:
3
ln2
8
Bài 6. Tham khảo 2005
4
sin
0
.cos
x
I tgx e x dx
KQ:
1
2
ln 2 1 e
Bài 7. Tham khảo 2005
2
1
ln
e
I x xdx
KQ:
3
2 1
9 9
e
Bài 8. CĐ Khối A, B – 2005
1
3 2
0
. 3
I x x dx
KQ:
6 3 8
5
Bài 9. CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005
3
1
3
3 1 3
x
I dx
x x
KQ:
6ln3 8
Bài 10. CĐ GTVT – 2005
1
5 2
0
1
I x x dx
KQ:
8
105
Bài 11. CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005
2
3
0
sin5
x
I e xdx
KQ:
3
2
3. 5
34
e
Bài 12. CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005
3
3 5
0
1.
I x x dx
KQ:
848
105
Bài 13. CĐ Truyền Hình Khối A – 2005
2
4
0
1 2sin
1 sin 2
x
I dx
x
KQ:
1
ln 2
2
Bài 14. CĐSP Tp.HCM – 2005
0
2
1
2 4
dx
I
x x
KQ:
3
18
Bài 15. CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005
2
1
ln
e
x
I dx
x
KQ:
2
1
e
Bài 16. CĐSP Vĩnh Long – 2005
7
3
3
0
1
3 1
x
I dx
x
KQ:
46
15
Bài 17. CĐ Bến Tre – 2005
2
0
cos3
sin 1
x
I dx
x
KQ:
2 3ln 2
Bài 18. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005
2
3
2
2
2 2
0 0
sin sin
;
sin 2 cos
sin 2cos .cos
2
xdx x xdx
I J
x
x x
x x
KQ:
ln 2
3
3 4
I
J
Bài 19. CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005
1
ln
e
I x xdx
KQ:
2
1
4
e
Bài 20. CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005
2
4
0
sin
I x xdx
KQ:
2
4
2
Bài 21. CĐSP Hà Nội – 2005
2
3 2
2
0
2 4 9
4
x x x
I dx
x
KQ:
6
8
Bài 22. CĐ Tài Chính – 2005
1
3
0
1
xdx
I
x
KQ:
1
8
Bài 23. CĐSP Vĩnh Phúc – 2005
2
1
1 ln
e
dx
I
x x
KQ:
6
Bài 24. CĐSP Hà Nội – 2005
2004
2
2004 2004
0
sin
sin cos
x
I dx
x x
KQ:
4
Bài 25. CĐSP KonTum – 2005
3
2
0
4sin
1 cos
x
I dx
x
KQ: 2
2006
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2006
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
I dx
x x
KQ:
2
3
Bài 2. Tham khảo 2006
6
2
2 1 4 1
dx
I
x x
KQ:
3 1
ln
2 12
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2006
1
2
0
2
x
I x e dx
KQ:
2
5 3
2
e
Bài 4. Tham khảo 2006
2
0
1 sin2
I x xdx
KQ:
1
4
Bài 5. Tham khảo 2006
2
1
2 ln
I x xdx
KQ:
5
ln4
4
Bài 6. ĐH, CĐ Khối B – 2006
ln5
ln3
2 3
x x
dx
I
e e
KQ:
3
ln
2
Bài 7. Tham khảo 2006
10
5
2 1
dx
I
x x
KQ:
2ln 2 1
Bài 8. Tham khảo 2006
1
3 2ln
1 2ln
e
x
I dx
x x
KQ:
10 11
2
3 3
Chuyên đềtíchphân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
4
Bài 9. CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006
1
2
0
ln 1
I x x dx
(Đổi biến
2
1 t x
, từng phần)KQ:
1
ln2
2
Bài 10. CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006
2
2
1
ln 1
x
I dx
x
KQ:
3
3ln 2 ln3
2
Bài 11. CĐ Nông Lâm – 2006
1
2
0
1
I x x dx
KQ:
2 2 1
3
Bài 12. ĐH Hải Phòng – 2006
1
2
0
1
x
I dx
x
KQ:
1
ln 2
2
Bài 13. CĐ Y Tế – 2006
2
4
sin cos
1 sin 2
x x
I dx
x
KQ:
ln 2
Bài 14. CĐ Tài Chính Kế Toán – 2006
3
2
0
ln 5
I x x dx
KQ:
1
14ln14 5ln5 9
2
Bài 15. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006
2
3
0
cos2
sin cos 3
x
I dx
x x
KQ:
1
32
Bài 16. Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006
4
0
1 cos
I x xdx
KQ:
2
1
8
Bài 17. CĐ KTKT Đông Du – 2006
4
0
cos2
1 2sin 2
x
I dx
x
KQ:
1
ln3
4
Bài 18. CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 2006
ln 2
2
0
2
x
x
e
I dx
e
KQ:
8
2 3
3
Bài 19. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006
3
2
0
4sin
1 cos
x
I dx
x
KQ: 2
Bài 20. CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006
4
2
0
cos
x
I dx
x
KQ:
2
ln
4 2
Bài 21. CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006
3
1
3
3 1 3
x
I dx
x x
KQ:
6ln3 8
Bài 22. CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006
9
3
1
. 1
I x x dx
KQ:
468
7
Bài 23. CĐ Bến Tre – 2006
3
1
1
ln
e
x
I xdx
x
KQ:
3
2 11
9 18
e
Bài 24.
1
2 3
0
2
I x x dx
KQ:
2
3 3 2 2
9
Bài 25.
2
2
0
2 1 cos
I x xdx
KQ:
2
1
1
2 4 2
Bài 26.
1
2
3
0
1
x
I x e x dx
KQ:
2
1
4 14
e
Bài 27. CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006
2
0
sin3
2cos3 1
x
I dx
x
KQ: Không tồn tại
Bài 28. CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006
1
2
0
ln 1
I x x dx
KQ:
1
ln2
2
Bài 29. CĐ Xây dựng số 2 – 2006
2
1
1
5
x x
I dx
x
KQ:
32
10ln3
3
Bài 30. CĐ Xây dựng số 3 – 2006
1
3
0
cos sin
I x x xdx
KQ:
5
4
Bài 31. CĐ GTVT III – 2006
2
0
cos
5 2sin
x
I dx
x
KQ:
1 5
ln
2 3
2
0
2 7 ln 1
J x x dx
KQ:
24ln3 14
Bài 32. CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006
4
8
0
1
I tg x dx
KQ:
76
105
Bài 33. CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006
4
2
3
4 3
3 2
x
I dx
x x
KQ:
18ln 2 7ln3
Bài 34. CĐSP Hưng Yên - Khối B– 2006
3
6
0
sin3 sin 3
1 cos3
x x
I dx
x
KQ:
1 1
ln2
6 3
Bài 35. CĐSP Hưng Yên - Khối D
1
, M– 2006
3
2
1
ln 2 ln
e
x x
I dx
x
KQ:
2
3
3
3 3 2 2
8
Bài 36. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006
4
4 4
0
cos sin
I x x dx
KQ:
1
2
Bài 37. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006
4
0
cos2
1 2sin 2
x
I dx
x
KQ:
1
ln3
4
Bài 38. CĐSP Trung Ương – 2006
2
0
sin sin 2
I x xdx
KQ:
2
3
Bài 39. CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006
1
2
0
3
x
I dx
x
KQ :
4 1
ln
3 4
Bài 40. CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006
2
2
1
cos
I x xdx
KQ:
2
2
4
Bài 41. CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006
2
1
1 ln
e
dx
I
x x
KQ:
4
Bài 42. CĐKT Y Tế I – 2006
2
4
sin cos
1 sin2
x x
I dx
x
KQ:
ln 2
Chuyên đềtíchphân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
5
Bài 43. CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006
3
4
ln
sin 2
tgx
I dx
x
KQ:
2
1
ln 3
16
Bài 44. CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006
2
3
2
0
sin 2 1 sin
I x x dx
KQ:
15
4
Bài 45. CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006
0
ln
e
x
I dx
x
KQ:
4 2 e
Bài 46. CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006
1
2
0
1
2 2
I dx
x x
KQ:
4
Bài 47. CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006
7
3
3
0
2
3 1
x
I dx
x
KQ:
46
15
Bài 48. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006
4
2
0
cos
x
I dx
x
KQ:
2
ln
4 2
Bài 49. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D
1
– 2006
2
1
4 1 ln
I x xdx
KQ:
6ln 2 2
Bài 50. CĐSP Hà Nội Khối D
1
– 2006
3
6
sin .sin
3
dx
I
x x
KQ:
2
ln2
3
.
2007
Bài 1. ĐH, CĐ khối A – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1 , 1
x
y e x y e x
. KQ:
1
2
e
Bài 2. ĐH, CĐ khối B – 2007
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường
lny x x
,
0, y y e
. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình H quanh trục Ox. KQ:
3
5 2
27
e
Bài 3. ĐH, CĐ khối D – 2007
Tính tích phân
3 2
1
ln
e
I x xdx
KQ:
4
5 1
32
e
Bài 4. Tham khảo khối A – 2007
4
0
2 1
1 2 1
x
dx
x
KQ:
2 ln 2
Bài 5. Tham khảo khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
1
0 à
1
x x
y v y
x
. KQ:
1
ln2 1
4 2
Bài 6. Tham khảo khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2 2
à 2 y x v y x
. KQ:
1
2 3
Bài 7. Tham khảo khối D – 2007
1
2
0
1
4
x x
dx
x
KQ:
3
1 ln 2 ln3
2
Bài 8. Tham khảo khối D – 2007
2
2
0
cos
x x dx
KQ:
2
2
4
Bài 9. CĐSPTW – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương
trình
2
2 y x
;
; 1; 0 y x x x
. KQ:
7
6
Bài 10. CĐ GTVT – 2007
3
2
0
4cos
1 sin
x
dx
x
KQ: 2
Bài 11. CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007
7
3
0
2
1
x
dx
x
KQ:
231
10
Bài 12. CĐ Khối A – 2007
2007
1
2
1
3
1 1
1
dx
x
x
KQ:
2008 2008
3 2
2008
Bài 13. CĐ Cơ khí luyện kim – 2007
2
1
ln
e
x x dx
KQ:
3
1
5 2
27
e
Bài 14. CĐSP Vĩnh Phúc – 2007
4
2
1
sin
x x dx
KQ:
3 2
1
384 32 4
Bài 15. CĐ Khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y x
,
2
cos y x x
,
0x
,
x
. KQ:
2
Bài 16. CĐ Khối D – 2007
0
2
1
x dx
KQ: 1
Bài 17. CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007
3
2 2
1
1
dx
x x
KQ:
3
1
3 12
Bài 18. CĐ Hàng hải – 2007
3
3
2
1
1
x x dx
KQ:
14 3
5
Bài 19. CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007
0
2
1
1
x
x e x dx
KQ:
2
3 31
4 60
e
Bài 20. CĐ Công nghiệp Phúc Yên – 2007
1
0
x
xe dx
KQ: 1
2008
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2008
4
6
0
cos2
tg x
dx
x
KQ:
1 10
ln 2 3
2
9 3
Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2008
4
0
sin
4
sin 2 2 1 sin cos
x dx
x x x
KQ:
4 3 2
4
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2008
2
3
1
ln
x
dx
x
KQ:
3 2ln 2
16
Bài 4. CĐ Khối A, B, D – 2008
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
: 4 P y x x
và đường thẳng
: d y x
.KQ:
9
2
(đvdt)
Chuyên đềtíchphân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
6
Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân
Dùng biến đổi vi phân tìm nguyên hàm
Các tính chất của nguyên hàm các bạn có thể đọc trong sách giáo
khoa. Chỉ lưu ý tính chất đậm nét quan hệ giữa nguyên hàm và vi
phân:
( ) ( )
d F x F x C
Từ đó, bằng các phép biến đổi vi phân, các bạn dễ dàng tìm được
nguyên hàm. Xem lại các bài tự luyện và đáp án ở số này để theo
dõi các thí dụ (các biến đổi vi phân trung gian đã lược bớt để cho
gọn bài viết).
Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm
1.
7
2
2 1 5 .
x x x dx
2.
7
sinx.cos x.
dx
3.
ln .
x dx
x
1.
7 7
2 2 2
2 1 5 . 5 . 5x x x dx x x d x x
=
8
2
1
5
8
x x C
2.
7
sinx.cos x.dx
=
7 8 8
1 1
( os x).d(cosx)= d - os x - os x+C
8 8
c c c
3.
2
ln . 1
ln . (ln ) ln
2
x dx
x d x x C
x
Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm
1.
sin3 . os2x.dx
x c
2.
1
dx
x x
3.
3
2
.
1
x dx
x
1.
1
sin3 . os2x.dx sin5 s nx .
2
x c x i dx
=
1 1
os5x-cosx
2 5
d c
=
1 1
os5x- osx+C
10 2
c c
2.
2
2
1
1
d x
dx
x x
x
2ln 1 2ln 1d x x x x C
3.
2
1
2
3
2
1
3
2
2
3
1
. 1
1 .
1
2
1
2 1
d
x
x dx
x d
x
x
x
2
2
3
3
1
4
d x
2
2
3
3
1
4
x C
Thí dụ 3: Tìm nguyên hàm 1.
sinx
dx
2.
4
cos x
dx
1.
2
2 2
sinx
sin . os . os
2 2 2 2
x x
d d
dx
x x x x
c tg c
=
2
ln ln
2 2
2
x
d tg
x x
d tg tg C
x
tg
2.
4 2 2 2
cos x cos .cos cos
d tgx
dx dx
x x x
=
2 3
1
1 . ( )
3
tg x d tgx d tgx tg x
=
3
1
3
tgx tg x C
2. Dùng đổi biến đặc biệt để tính tích phân.
Nhiều khi các bạn muốn tính tích phân
( ).
b
a
f x dx
mà không thể
tìm nguyên hàm của f(x). Có nhiều con đường xử lí, nhưng xin
gợi ý một cách đổi biến đặc biệt, đặt t = a + b – x.
Thí dụ 1: Tính
1
1
1 2
ln .
1 2
x
dx
x
Đặt t = -x
x = -t
dx = - dt. Đổi cận: x = -1
t = 1 và x = 1
t = -1.
1 1
1 1
1 2 1 2
ln . ln .( )
1 2 1 2
x t
I dx dt
x t
1
1 1
1 1
1 2 1 2
ln . ln .
1 2 1 2
t t
dt dt
t t
=
1
1
1 2
ln . 0
1 2
t
dt I I
t
Thí dụ 2: Tính
2
2
2
.
2 1
x
x dx
Đặt t = -x
x = -t
dx = - dt. Đổi cận x = -2
t = 2 và x = 2
t = -2
Do đó:
2
2 2
2
2 2
2 1 2 1
t t
t dt
t dt
I
=
2
2 2
2
2 2
2 1 1 . .
2 . .
1 2 2 1
t
t
t t
t dt
t dt
=
2 2
2
2 3
2 2
2
. 1
.
3
2 1 2
t
t dt
t dt t I
3
2
1 1 8
. .
2 3 3
2
I t
Thí dụ 3: Tính
2
0
sinx.
sinx osx
dx
c
Đặt t =
2 2
x x t dx dt
.Đổi cận: x = 0
à 0
2 2
t v x t
Do đó:
0
2 2
0 0
2
sin .( )
2
ost. osx.
ost sint osx sinx
sin os
2 2
t dt
c dt c dx
I J
c c
t c t
Vì I + J =
2
0
sinx.
sinx osx
dx
c
+
2
0
osx.
osx sinx
c dx
c
=
2
0
1
2
2 4
0
dx x I J
Thí dụ 4: Tính
0
.sinx.sin3x.dx
x
Đặt t =
− x
x =
− t
dx = − dt. Đổi cận: x = 0
t =
, x =
t =0
Do đó:
0
.sin .sin3 .( )I t t t dt
=
0
.sin .sin3 .t t t dt
=
0 0
sin .sin3 . .sin .sin3 .t t dt t t t dt
=
0
os2t-cos4t
2
c dt I
0
1 1
os2t-cos4t . sin2 sin4 0
4 4 2 4
0
I c dt t t
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Các bạn cần nắm chắc các phương pháp được trình bày dưới đây.
1. Sử dụng định nghĩa (định lý Newton - Leibnitz)
Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b] và F(x)
là một nguyên hàm của f(x) thì
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt
buộc phải có để được sử dụng định lý. Nhiều bạn cứ tưởng có
được F(x) là tính được tích phân. Chẳng hạn, có bạn viết :
3
3
4
4
2
0
0
tan 1
cos
dx
I x
x
(?). Lưu ý :
2
1
( )
cos
f x
x
không
xác định tại
3
0;
2 4
x
nên I không tồn tại.
Thí dụ 1 : Tính
7
3
3
0
( 1)
3 1
x dx
I
x
(ĐH Ngoại ngữ HN-1999)
7 7
2 1
3 3
3 3
3
0 0
1 [(3x 1) 2]dx 1
[(3x 1) 2(3 1) ]d(3x 1)
3 9
3 1
I x
x
7
5 2
3
3 3
0
1 3 46
(3 1) 3(3 1)
9 5 15
x x
Thí dụ 2 : Tính
1
2 2
0
( 3 2)
dx
I
x x
(ĐH Ngoại thương HN-1999)
Chuyên đềtíchphân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
7
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
2
1 2 1 2
( 1) ( 2)
dx dx
I dx dx
x x x x
x x
1
1 1
0
1 2 3
( 1) ( 2) 2ln 2ln
2 3 4
x
x x
x
.
Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách
cận tíchphânđể khử dấu trị tuyệt đối.
Thí dụ 3 : Tính
3
2
1
2 .
I x x x dx
3 0 2 3
2 2 2 2
1 1 0 2
2 . 2 . 2 . 2 .I x x x dx x x x dx x x x dx x x x dx
0 2 3
2 2 2
1 0 2
4 3 4 3 4 3
2 . 2 . 2 .
0 2 3
2 2 2
4
4 3 4 3 4 3
1 0 2
x x x dx x x x dx x x x dx
x x x x x x
2. Phương pháp biến đổi số :
Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì
( )
b
( )
[u(x)].u'(x)dx ( )
u b
a u a
f f t dt
Thí dụ 4 : Tính
4
2
7
9
dx
I
x x
(Học viện KTQS - 1999)
Đặt
1
t
x
1
x
t
2
dx
dt
t
.
Đổi cận :
7x
1
7
t
; x = 4
1
4
t
.
Do đó :
1
1
1
7
4
7
2
2 2
1
1 1
4
4
7
1 (3 ) 1 1 7 1 7
ln (3 ) 1 3 ln ln
3 3 3 2 6 4
9 1 (3 ) 1
dt d t
I t t
t t
Thí dụ 5 : Tính
1
4
1
1 2
x
x dx
I
(Đề Học viện BCVT - 1999)
Đặt t = x x = t dx = dt.
Đổi cận : x = 1 t = 1 ; x = 1 t = 1 ta có :
1 1 1 1
4 4 4
1
4 5
4
1
1 1 1 1
( ) .( ) 2 . 1 2
5 5
1 2 1 2 1 2
t
t t
t dt t dt t dt
I t dt t I I
1
5
I
.
Chú ý : - Để tính
( )
b
a
f x dx
không nhất thiết phải tìm nguyên
hàm F(x) của f(x).
- Cách tíchphân dạng
( )
1
x
g x dx
a
với a > 0 và g(x) là hàm số
chẵn, đều làm như trên.
Thí dụ 6 : Tính
1
1
2
ln
2
x
dx
x
Đặt t = - x thì dx = - dt. Với x = -1 thì t = 1, với x = 1 thì t = -1.Do đó :
-1
1 -1 1 1 1
-1 1 -1 -1 -1
2-x 2+t 2+t 2-t 2-t
I= ln dx= ln (-dt)= ln dt= ln dt=- ln dt=-I.
2+x 2-t 2-t 2+t 2+t
I = 0.
Chú ý : + Tíchphân trên một miền đối xứng của một hàm số lẻ
luôn bằng 0.
+ Tíchphân không phụ thuộc ký hiệu đối số :
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f u du f t dt
=
Thí dụ 7 : Tính
0
1 sinx
x
dx
Đổi biến số u =
x x u
. Ta có :
0 ; 0.x u x u
Mặt khác : dx = -du.
0
0 0 0
1
( )
1 sinx 1 sinu 1 sinu
1 sin
x u
I dx u du du du
u
2
2
0 0
1 1
2
2 2 4
u
os
sin os
2 4
2 2
u u
d I d I
u
u
c
c
Do đó : I =
2
2 4
0
u
tg
.
Chú ý : Nếu gặp tích phân
( )
b
a
f x dx
mà tính mãi không được,
các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b - x. Các thí dụ
trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác dụng.
Thí dụ 8 : Cminh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần
hoàn với chu kỳ T thì với mọi a ta có :
0
( ) ( )
a T T
a
f x dx f x dx
Ta có
( ) ( ) ( )
a T T a T
a a T
f x dx f x dx f x dx
(*). Xét
( )
a T
T
J f x dx
,
đặt u = x - T x = u + T dx = du.Đổi cận : x = T u = 0 ; x = a + T u = a,
do đó :
0 0 0
( ). ( ) ( )
a a a
J f u T du f u du f x dx
.Thay vào (*) ta có đpcm.
Chú ý : Có thể áp dụng kết quả trên để tính các tíchphân của
hàm số tuần hoàn.
Thí dụ 9 : Tính
2007
0
sinx
dx
Chứng minh dễ dàng hàm số y =
sinx
là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là
.
Do đó :
2007 2 2007
0 0 2006
sinx sinx sinx sinxdx dx dx dx
0 0
2007 sinx 2007 sinx. 2007 osx 5014
0
dx dx c
3. Sử dụng công thức tíchphân từng phần :
Ta có :
.
b b
b
a
a a
udv u v vdu
Nguyên tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng phương
pháp nguyên hàm từng phần, chỉ lưu ý thêm có khi các bạn phải
kết hợp với phương pháp đổi biến :
Thí dụ 10 : Tính
2
0
sin
I xdx
(Đề ĐH Đà Lạt - 1999)
Đặt
t x
2
x t
dx = 2tdt. Đổi cận x = 0 t = 0 ;
2
x
t = nên :
0
0 0 0
2 sin 2 . (cos ) 2 cos cosI t tdt t d t t t tdt
=
0
2 sin 2t
Thí dụ 11 : Tính I =
1
5
0
. .
x
x e dx
Giải : Xét
1
0
. .
n x
n
I x e dx
. Đặt
1
;
n n x x
u x du nu dv e dx v e
.
Theo công thức tíchphân từng phần ta có :
1 1 1 1
1
1
0 0 0 0
1 1
. . .
0 0
n x n x n x
n n
I x e dx udv uv vdu x e n x e dx e nI
với mọi n nguyên và n >1.Ta có :
1 1
1
0 0
1 1
. . 1
0 0
x x x x
I x e dx xe e dx e e
.
2 1 3 2
4 3 5 4
2 2; 3 3( 2) 6 2 ;
4 4(6 2 ) 9 24; 5 5(9 24) 120 44
I e I e I e I e e e
I e I e e e I I e I e e e
Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tíchphân từng phần tương
tự nhau, ta làm một lần tổng quát rồi áp dụng lần lượt cho
n = 2;3;4;5.
Chuyờn tớch phõn & ng dng H Vn Hong
8
CC BI TON CHN LC
1. Tớnh tớch phõn :
2 3
2
5
4
dx
I
x x
(A 2003)
2 2 2
2 3 4 4 4
2
2 2
3 3 3
5
4
4
4
3
3
3
4 4 2 2
ẹoồi caọn : 5 3; 2 3 4
2 2
1
4
2 2 2 2
4
4
1 1 1 1 1 2
ln 2 ln 2 ln
4 2 2 4 4 2
1 1 1
ln ln
4 3 5
ẹaởt t x t x tdt xdx tdt xdx
x t x t
t t
xdx tdt dt
I dt
t t t t
t t
x x
t
dt t t
t t t
1 5
ln
4 3
2. Tớnh tớch phõn :
1
3 2
0
1
I x x dx
(D b 2A 2003)
2 2 2 2 2
1
1 0 1
3 5
2 2 2 2 4
0 1 0
0
1 1 1 2 2
caọn : 0 1; 1 0
1 1 2
1 1
3 5 3 5 15
ẹaởt t x t x x t xdx tdt xdx tdt
ẹoồi x t x t
t t
I x x xdx t t tdt t t dt
3. Tớnh tớch phõn :
1
1 3ln ln
e
x x
I dx
x
(B 2004)
2
3 2
1 3ln 1 3ln 2
3
dx dx tdt
ẹaởt t x t x tdt
x x
1 1; 2x t x e t
2
2 2
2 5 3
4 2
1 1
1
1 2 2 2 2 32 8 1 1 116
3 3 9 9 5 3 9 5 3 5 3 135
t tdt t t
I t t t dt
Tớnh tớch phõn :
ln5
ln3
2 3
x x
dx
I
e e
( B 2006)
ln5 5 5 5
2 2
ln3 3 3 3
5
5
5
3
3
3
. ln3 3, ln5 5
1 2
2 3 3 2 1 2 1 2
1 1 2 3 1 3
ln 2 ln 1 ln ln ln ln
2 1 1 4 2 2
x x
x
x x
ẹaởt t e dt e dx x t x t
t t
e dx dt dt
I dt
e e t t t t t t
t
dt t t
t t t
4. Tớnh tớch phõn :
2
0
sin2 cos
1 cos
x x
I dx
x
(B 2005)
2
2 2
0 0
2
2
1 2 2
2 2
2 1 1
1
2sin cos cos sin cos
2
1 cos 1 cos
1 cos sin ; caọn : 0 2, 1
2
1
2 1 1
2 2 2 2 2 2 ln
2
1
2 2 4 ln2 2
2
x x x x x
I dx dx
x x
ẹaởt t x dt xdx ẹoồi x t x t
t dt
t t t
I dt t dt t t
t t t
2ln2 1
5. Tớnh tớch phõn :
2
4
0
1 2sin
1 s 2
x
I dx
in x
(B 2003)
4
0
2
2
1
1
0 1
cos2
ẹaởt 1 sin2 2cos2 .
1 sin2
2
4
1 1 1
Vaọy ln ln2
2 2 2
x t
x
I dx t x dt xdx
x
x t
dt
I t
t
6. Tớnh tớch phõn :
3
3
1
dx
I
x x
(D b 1 B 2004)
3 3
2
2 2 2
1 1
4 4 4
4
2
2 2 2
4
2
1 2
ẹaởt 1 2 .
1 1
3 4
1
1 1 1 1 1 1
ln 1 ln
2 2 2 1 2
1 1
1 1 1 3 1 1 3
ln ln ln ln
2 2 4 2 2 2
x t
dx xdx
I t x dt xdx
x x x x
x t
t t
dt
I dt dt t t
t t
t t t t
t
t
7. Tớnh tớch phõn :
2
sin
0
cos cos
x
I e x xdx
(D 2005)
2 2
sin 2
0 0
cos cos
x
I e xdx xdx A B
2
sin
0
1
1
0
0
2 2
2
2
0 0
0
cos : ẹaởt sin cos .
ẹoồi caọn : 0 0, 1. 1
2
1 cos2 sin2
cos
2 2 4 4
1
4
x
t t
Tớnh A e xdx t x dt xdx
x t x t A e dt e e
x x x
Tớnh B xdx dx
Vaọy I A B e
8. Tớnh tớch phõn :
1
2
0
1I x dx
2 2
gaởp , ta ủaởt sin , ;
2 2
Khi a x x a t t
t
sin ; cos .
2 2
x t t dx tdt
i cn
0 sin 0 0; 1 sin 1
2
x t t x t t
2 2 2
2 2
0 0 0
2 2
2
2
0 0
0
1 sin cos cos cos cos cos
1 cos2 1 1
cos sin2
2 2 4 4
I t tdt t tdt t tdt
t
tdt dt t t
9. Tớnh tớch phõn :
1
2
0
1
dx
I
x
2 2
1
gaởp , ta ủaởt , ;
2 2
Khi x atgt t
a x
2
2
4 4
2
0 0
; 1
2 2
0 0 0; 1 1
4
1
4
4
1
0
ẹaởt x tgt t dx tg t dt
x tgt t x tgt t
tg t dt
I dt t
tg t
10. Tớnh tớch phõn :
1
2
0
1
dx
I
x x
1
2
2
2
0
3
2
3 3
2
6 6
6
1 3 3
. ẹaởt ; 1
2 2 2 2 2
1 3
2 2
3 1 1 3 3
0 ; 1 3
2 2 6 2 2 3
3
3
1
2 3 2 3 2 3
2
3 3
3 3 3 3 6
4 4
dx
I x tgt t dx tg t dt
x
x tgt tgt t x tgt tgt t
tg t dt
I dt t
tg t
3
9
Chun đềtíchphân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
9
11. Tính tíchphân :
3
2
2
lnI x x dx
(D – 2004)
2
2
3 3 3 3
3
3
2
2
2
2 2 2 2
3
2
2 1
ln
Đặt :
x 2x-1
1
I= udv= uv - vdu= xln x -x - dx =3ln6-2ln2- 2+ dx
x-1
x x-1
=3ln6-2ln2- 2x+ln x-1 =3ln6-2ln2- 6+ln2 -4 =-2+3ln6-3ln2=-2+3ln3
x
u x x
du dx
x x
dv dx
v x
12. Tính tíchphân :
1
2
0
2
x
I x e dx
(D – 2006)
2x
2x 2x
1 1
1 1 1
2
1
2x 2x 2 2x
0
0 0 0
0 0
du=dx
u=x-2
Đặt : Þ
1
dv=e dx
v= e dx= e
2
1 1 1 1 5-3e
I= udv= uv - vdu= e x-2 - e dx= -e +2 - e =
2 2 2 4 4
13. Tính tíchphân :
4
0
1 cos2
x
I dx
x
(Dự bị 1 – A2003)
4 4
1
2 2
0 0
2 2
4 4 4 4
4 4
1
0 0
0 0 0 0
4
1
0
1 1
:
2 2
2cos cos
cos cos
cos '
4 cos
1 1 1
ln cos ln ln2.
4 4 4 2 2
2
u x du dx
x x
I dx dx I Đặt
dx dx
x x
dv v tgx
x x
x
I udv uv vdu xtgx tgxdx dx
x
x I I
1
ln2
8 4
14. Tính tíchphân :
2
1
3
0
x
I x e dx
(Dự bị 1 D – 2003)
2
2
1 1 1
2
1
0 0 0
1 1
1
1
0
0 0
1
1 1
0 0
0
2 . Đổi cận : 0 0, 1 1
1 1
2 2 2
1
1 1
2
x t t
t t
t t t
Đặt t x dt xdx x t x t
dt
I x e xdx te te dt I
u t du dt
Đặt I udv uv vdu
dv e dt v e
te e dt e e e e I
15. Tính tíchphân :
2
0
sinI x xdx
(Dự bị 1 D – 2004)
2
2 2
1
0
2 .
Đổi cận : 0 0; Vậy 2 sin 2
Đặt t x x t dx tdt
x t x t I t tdt I
2
2 2
1 2
0
0
2
sin cos
sin
Vậy cos 2 cos 2
du tdt
u t
Đặt
v tdt t
dv tdt
I t t t tdt I
2
0
0
0
2 2
1
'
'
' cos sin
' cos
Vậy I sin sin cos 1 1 2
4 2 8
du dt
u t
Đặt
v tdt t
dv tdt
t t tdt t
I I
16. Tính tíchphân :
2
2
0
I x x dx
(D – 2003)
Giải phương trình x
2
– x = 0, ta được x = 0 V x = 1
x
-∞ 0 1 2 +∞
x
2
– x
+ 0 – 0 + +
1 2
1 2
2 3 3 2
2 2
0 1
0 1
- - - -
2 3 3 2
1 1 8 1 1
- -2 - - 1
2 3 3 3 2
x x x x
Vậy I x x dx x x dx
17. Tính tíchphân :
2
4
2
0
1
4
x x
I dx
x
(Dự bị 2 A – 2004)
2
2 2 2
3
2
2 2 2 2
0 0 0
0
2
2
x 17 x xdx dx 16
I= x -4- + dx= -4x - +17 =- -A+17B
3 3
x +4 x +4 x +4 x +4
A: 4 2 ; 0 4, 2 8
B: Đặt 2 ; 2 1 ; 0
2 2
0 0, 2
Tính Đặt t x dt xdx x t x t
Tính x tgt t dx tg t dt x
tgt t x tg
1
4
t t
8
8
4
4
1 1 1 1
ln ln8 ln4 ln2 ln 2
2 2 2 2
dt
A t
t
2
4 4
4
2
0 0
0
2 1
1 1 16 17
ln 2
2 2 8 3 8
4 4
tg t dt
B dt t Vậy I
tg t
18. Chứng minh rằng :
1
3
1
2 2
9 7
8
dx
x
3 3
3
1 1
3 3
1 1
1 1 1
1;1 1 1 1 1 7 8 9
9 7
8
1 1 2 2
1 1 1 1
9 7 9 7
8 8
x thì x x x
x
dx dx
đpcm
x x
19. Chứng minh rằng :
2
2
4
5
3 2sin
2 4
xdx
2 2 2
2
2 2
4
2
2
4
; , ta có :
4 2
2 1
sin 1 sin 1 1 2sin 2 4 3 2sin 5
2 2
2 3 2sin 5 2 3 2sin 5
2 4 2 4
5
3 2sin
2 4
x
x x x x
x xdx
xdx đpcm
20. Chứng minh rằng :
1
2
0
4 5
1
2 2
x
dx
2 2
2
2
1
2
0
0;1 0 1 0 1 4 4 5
4 5
2 4 5 1
2 2
4 5
1 (điều phải chứng minh)
2 2
x x x x
x
x
x
dx
21. Tính tíchphân :
4
3
1 cos2I xdx
p p p p
0 0
4 4 4 4
2
p p p p
0 0
- - - -
3 3 3 3
p
0
4
p
0 -
3
I= 2sin xdx= 2 sinx dx= 2 sinx dx+ sinx dx = 2 sinxdx- sinxdx
1 1 3 2
= 2 -cosx - -cosx = 2 - +1- -1+ = -1
2 2
2
22. Tính tíchphân :
2
2
1
5 1
6
x
I dx
x x
Chuyờn tớch phõn & ng dng H Vn Hong
10
2
5 5 5 5 2 3
coự :
3 2
6 3 2 3 2
5 2
5 5 2 3
2 3 5 3
x x A B Ax A Bx B
Ta
x x
x x x x x x
A B A
x A B x A B
A B B
2
2
1
1
2 3
2ln -3 3ln 2 3ln4 - 2ln2 3ln3
-3 2
6ln2-2ln2-3ln3 4ln2-3ln3
dx x x
I
x x
23. Xỏc nh cỏc hng s A, B sao cho :
3 3 2
3 1
, 1
1 1 1
x A B
x
x x x
. Tỡm:
3
3 1
1
x
dx
x
3 3 2 3 3
3 3 2 2
1
3 2
3 1
1 3
1 1 1 1 1
3 1 2 3 1 3
1
1 1 1 1
A B x
B A
x A B Bx A B
A B B
x x x x x
x
dx dx C
x
x x x x
24. Tớnh tớch phõn :
2
1
2
0
ln 1
1
x x x
I dx
x
2
2
2 2
2 2 2
2
2
2 2 2
2
1
2 2
0
1
1
ln 1
1 1
ẹaởt
1 1 1
1
1
Tớnh v : ẹaởt 1 1 2 2 .
1
1 ln 1 2ln 1 2
x x x
u x x
dx
x x
du dx dx
x x x x x
xdx
dv
xdx
x
v
x
t x t x tdt xdx tdt xdx
tdt
v dt t x
t
I x x x dx x
1
1
0
0
2 ln 1 2 1
25. Tớnh :
2
ln ln ln
e
e
x x
I dx
x
(C KT A, D 2005)
2
2
2 2 2
2
1 1 1
1 1 1
1
2
2 2
1 1
1 1
1
ln 1, 2
1 3
ln ln 2
2 2 2
ln
I : ẹaởt ln 2ln2
3
2ln2 2 1 2ln2 1. 2ln2
2
dx
ẹaởt t x dt x e t x e t
x
t
I t t dt tdt tdt I I I
dt
u t
du
Tớnh I t t dt t
t
dv dt
v t
I
1
1 2ln2
2
26. Tớnh tớch phõn :
3
2
2
6
cos
sin
x
J dx
x
(S G TP 20042005)
1
sin cos . ; 1
6 2 2
ẹaởt t x dt xdx x t x t
2
1
1 1
2
2
2 2 2
1
1 1
2
6 2 2
1-t dt
cos xcosxdx 1 1 1 1
J= = = -1 dt= - -t = -1-1 - -2- =
sin x t t t 2 2
27. Tớnh tớch phõn :
1
2
6
0
9
x dx
I
x
1
2
3 2
2
3
0
1 1 1 1
2
0 0 0 0
1
1
0
0
0 0
ẹaởt 3
1 1
9
3 3
1 1 1 1 1 1
3 3 18 18 3 3
9 3 3 3 3
1 1 3 1 1 1 1
ln 3 ln 3 ln ln ln1 ln
18 18 3 18 2 18 2
x t
x dx
I t x dt x dx
x t
x
t t
dt dt
I dt dt
t t
t t t t t
t
t t
t
28. Cho
3 3
2 2
3 3 3 3
0 0
sin x cos x
; J
sin x+cos x sin x+cos x
I dx dx
.
Tớnh I bng cỏch t
2
t x
3
0
3 3
2 2
3 3 3 3
3 3
0 0
2
2
2
0
0
0
2
2
0
2
sin
2
cos cos
cos sin cos sin
sin cos
2 2
Ngoaứi ra :
2 4
x t
ẹaởt t x dt dx
x t
t
t x
I dt dt dx J
t t x x
t t
I J dx x I J
29. Tớnh tớch phõn :
3
4
3 5
4
sin cos
dx
I
x x
2
3 3 3
2 2 2
4 3 5 3 5 3
4
4
4 4 4
2 8
3 3
3
3
4
8
4
4
4 3
1
1 1
tan . 1; 3.
4 3
cos
cos cos cos
sin cos sin cos
cos cos
4. 4 3 1 4 3 1
p p p
p p p
dx
ẹaởt t x dt x t x t
x
dx dx dx
x x x
Vaọy I
x x x x tg x
x x
dt
t dt t
t
30. Tớnh tớch phõn :
1
0
sinI x dx
1
2
0
1
1
1
2
0
0
0
0 0
ẹaởt 2 . Vaọy sin 2
1 1
2
2
1
sin
sin cos
2 2 2 2 2
cos cos sin
x t
t x x t dx tdt I t tdt
x t
du dt
u t
ẹaởt
dv t dt
v t dt t
I t t t dt t
31. Tớnh tớch phõn :
2
4 2
0
sin2
sin 6sin 5
x
I dx
x x
2
2
2 2
0
2 2 2
1 1 1
2
2
1
1
sin2
ẹaởt sin 2sin cos sin2
sin 1 sin 5
0 1
4
1 1 1 1
.
4 4 4
4 4
2
2
1 1 1 1 1 1 5
ln ln 4 ln ln ln ln
4 4 4 4 3 5 4 3
xdx
I t x dt x xdx xdx
x x
x t
t t
dt
I dt dt
t t
t t t t
x t
t
t t
t
32. Tớnh tớch phõn :
0
sin
x
I xe dx
0
0
0
0
sin cos
sin cos
' cos ' sin
cos sin 1
' '
1
1 2 1
2
x x
x x
x x
x x
u x du dx
ẹaởt I e x e xdx J
dv e dx v e
u x du x dx
ẹaởt J e x e xdx e I
dv e dx v e
e
I e I I e I
33. Gii phng trỡnh :
2
0
sin2 1 cos 0 0
x
t tdt x
2
1
1
ln ln 4
4
t t
[...]... sin3 x dx 1 sin x 0 35 Tính tíchphân : I I 3 3 0 0 88 44 3 11x 3 3 x5 5 6 x 16 dx 1 32 5 3 1 sin 2 x sin x 1 dx 1 sin x x 4 11x 2 2 1 cos x sin x 2 34 Tính tíchphân : I I 1 cos x 2 pt 2 VOx 2 1 cos2 x 3 2 u 2 du 3 2 u x 2 3 2 2sin t cos tdt 2 0 sin n tdt n cosn t 0 sin t 2 t x 2 0 2 I 4 sin n xdx n cosn x 0 sin x 2 J K Hồ Văn Hồng Chun đềtíchphân & ứng dụng 43 Tính tíchphân : I 0 sin 4 x cos4 x... đổi biến t = –x t7 1 x 1 1 10 t7 t10 1 1 dx 1 2 7 dx dt x 1 t 1 x 1 t 1 37 Tính tíchphân : I Đặ t t 1 4 dx dt 2 0 0 x 2 cos2 1 I cos3 x dx 1 sin x 0 1 4 0 1 cos( 3 2 0 1 1 1 1 1 2 tg 1 30 cos x cos x sin x dx 36 Tính tíchphân : I Đặ t t Đặ t t x dx 0 sin x 0 2 1 sin x 0 k 3 2 0 153 5 3 x 2 16 x dx 4 5sin x 2 39 Tính tíchphân : I 0 dx 1 sin 2 x cos xdx 2 0 I 4 x 2 1 11 13 5 3 3 1 cos 2 x sin x 1 2... 3 49 Tính tíchphân : T 0 10 1 x 3ln x 1 x = 1 1 2 + x=0Vx=1 1 2 0 + 0 I A 1 B 3 C 3 0 0 1 s in 2 2x dx 2 1 0 4 dx Cx 2 x 1 2 2 1 x 48 Tính tíchphân : F sin 4 x cos4 x dx 3x 1 0 4 dx x B C 0 A B 2 A 1 4 Vậ y I Bx x 1 x 1 dx x 1 1 2 3ln 2 3 dx 3x 1 0 1 x2 1 3x sin 4 x cos4 x 4 dt 3t 1 0 2 I 3t sin 4 t cos4 t A x2 x2 x 1 4 0 t 2x 1 x x 1 2 B C x2 4 Đặ t x 2x 1 dx x2 x 1 1 4 I 2 47 Tính tíchphân : I... 4 y2 2 y 2 2 dy 6.2 4 y 2 dy 12 2 2 55 Tính tíchphân : I 4 y2 2sin u u 2 0 1 2 là x 3 x 3 2 Gọ i I 0 4 y2 Vì đườ ng trò n có tâ m I 3; 0 ,R 3 2 3 2 2 4 2 2 2 2 VOy 24 dy đvtt 2 cos udu y y 2 4 cos2 udu 2 2 2 4 y 2 dy 2 ; 2 2 cos u cos udu 2 2 2 2 2 sin u sin u 1 1 u u 2 2 1 1 cos 2u du 2 u sin 2u 2 2 2 Hồ Văn Hồng Chun đềtíchphân & ứng dụng 60 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường... t 2 dt 2 6 t 1 0 1 u2 1 1 tg 2 m dm 0 x 2 1 t.2tdt 6 1 0 t Vậ y I t 1 u 0 I u 1 x 2 x 1 x2 x3 3 1 x 1 50 Tính tíchphân : B t x 1 x Cho H 0 4 0 2 3 + 0 – 1 -2 0 I= max 1; dx du 2 2 0 x t 0 t 1 cos2 2 x 15 32 15 x 32 cos 2 x.sin 2 x 4 2 x dx x3 1 0 x 2 1 2 sin 2 x 4 cos2 2 x 1 45 Tính tíchphân : I I x 2 dx 2: 1 x2 1 x3 x 0 cos x sin x cos x sin x 4 cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos4 x cos2 x... 42 Tính tíchphân : I 2 0 Đặ t t 2 x dt dx; 2 9 6x x 2 dx 11x 2 6 x 16 0, 2I cosn 2 2 t t 0 cosn xdx cosn x sin n x t 2 0 2 dx 2 t 2 dt sin n sin n x cosn x dx n cosn x 0 sin x 2 x x cosn 0 2 4 1 1 x4 dx 2x 1 1 sin 6 x cos5 x sin xdx 6sin x cos5 xdx 1 cos 6 xdx sin 6 x 6 du cos 6 xdx dv 0 I 2 0 1 I x4 cos5 x cos 7 xdx cos 6 x cos5 x cos xdx cos6 x u 5 x2 25 10 x 2 x t 2 1 1 ln 2 3 41 Tính tíchphân :... Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : x2 4x 4 , tiệm cận xiên của (C) và hai đường y x 1 thẳng x = 2, x = 5 sin xdx (2) 0 x x dx t sin Đặ t u 4 t 1 t 0 0 0 2 2 1 ln t dt Đặ t u 1 ln t t 1 pt 0 0 e 1 tg2 u du dx x 0 53 Tính tíchphân : D D ; 1 tg2 u Gọ i I x 2004 sin xdx sin xdx Đặ t x 1 x 0 2 e x 2004 sin xdx (1) Thế (2) và o (1) ta đượ c : I Đặ t t 1 sin xdx 1 0 1 t 2002 0 0 Xé t tích phâ... x 1: 2 F 44 Tính tíchphân : 2 sin10 x cos10 x cos4 x sin 4 x dx 1 Ta có : sin x cos x cos x sin x cos x sin x 4 4 2 x 1 x2 sin x cos x sin x 6 4 1 6 4 2 2 2 cos2 2 x 1 cos2 x sin 2 x 1 cos 4 x 2 2 0 sin 2 4 x 16 15 32 2 4 4 6 6 1 1 2 1 1 cos8 x cos 4 x 2 32 1 cos 4 x 2 1 cos8 x dx 32 1 t2 Đặ t u t 3 2tdt x du 3t 2 dt Đặ t u tgm m ; 2 4 1 tg m dm 3 0 1 tg2 m 2 24 dm 30 46 Tính tíchphân : I Ta lậ p... 2 S 2 x 4 4 2 2 2 2 nê n S 2 2 1 2 x2 x x2 4 4 x4 32 x2 4 2 2 2 2 4sin t t 1 2 4 2 2 ; t 2 2 x 2 2 Vậ y S 2 4 4 x dx 4 2 12 2 8 2 A B 2 Tính tíchphân : A 4 4 cos t cos tdt 8 cos2 tdt 4 4 12 2 4 4 2 16 2 t 3 t2 3 dt 1 cot gx 1 cot gx 3 3 t8 8 0 3 e 61 Tính tíchphân : I 1 e u ln x dv dx x 1 1 ln x x 1 e A 1 e ln dx x x 1 x x 1 e 1 e e e 1 cot g x dx x 1 e e 1 e 1 e x 1 x x x 1 2 dx sin 2 x x 3 x 2 1... t cos tdt sin tdt du u 2 1 du 1 0 u du 54 Tính tíchphân : I 0 0 x 0 tgu x 1 dx x2 1 0 u tgu 1 u 4 1 ln t dt 18 t 1 1 e x t dt t du t 0 u u 1 ln x 2 2 2 18 1 ln x 2 1 ln x 36 6 1 ln x ln x 6 x 5 ln x 7 x e5 1 e7 x2 4x 4 x 1 5 1 dx x 1 ln x 1 5 1 x 1 x 3 x 3 5 2 1 dx Vớ i x x 1 2;5 1 0 x 1 ln 4 ln1 2 ln 2 đvdt 2 x2 y 2 1 quay quanh trục 4 hồnh Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo nên 58 Cho hình . y x
.KQ:
9
2
(đvdt)
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
6
Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân
Dùng biến đổi vi phân tìm nguyên hàm
Các.
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
3
2005
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2005
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x
KQ:
34
27
Bài 2. ĐH, CĐ