Tham khảo tài liệu ''chuyên đề luyện thi đh phần đại số'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
ồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số KIẾN THỨC CƠ BẢN nghiệm phân biệt Chuyển vế : b c a + b = c a = c – b; ab = c b ; a c / b a bc a/b = c ; b nghiệm a n 1 b a n 1 b ; = < hay f = Bất phương trình, bất đẳng thức : Ngồi bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng , , log, mũ giải trực tiếp, dạng khác cần lập bảng xét dấu Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu tích A.B Nhân bất phương trình với số dương : khơng đổi chiều; số âm: có đổi chiều (Chia bất phương trình : tương tự) Chỉ nhân bất pt vế theo vế , vế không âm ab Bất đẳng thức Côsi : a, b : ab Dấu = xảy a = b abc a, b, c : abc Dấu = xảy a = b = c Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy a/b = c/d Bài tốn tìm m để phương trình có k nghiệm : Nếu tách m, dùng tương giao (C) : y = f(x) (d) : y = m Số nghiệm số điểm chung Nếu có điều kiện x I, lập BBT f với x I 9.Tìm m để bpt vơ nghiệm, ln có nghiệm, có nghiệm xI Nếu tách m, dùng đồ thị, lập BBT với x I f(x) m : (C) (d) (hay cắt); f(x) m : (C) (d) (hay cắt) b 0, c b0 a b c a c b ; ab c a c / b b0 ac/b Giao nghiệm : xa xa x max{a, b} ; x min{a, b} x b xb p a < x < b(neá u a < b) p q x a G ; x b G VN (neá u a b) q G Nhiều dấu V: vẽ trục để giao nghiệm Đổi biến : ủ đề : Hệ phương trình phương trình đại số t ax b R, t x 0, t x 0, t x 0, t a x 0, t log a x R ax by c Hệ phương trình bậc : a'x b' y c' a b c b a c Tính : D = , Dx = , Dy = a' b' c' b' a' c' b Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện t Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định f c Lượng giác:t = sinx, cosx, tgx, cotx Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện t d Hàm số hợp : bước làm theo cách Xét dấu : a Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu b Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < hay f(x) > c Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b khơng làm : xét tính liên tục đơn điệu f, nhẩm nghiệm pt f(x) = 0, phác họa đồ thị f , suy dấu f So sánh nghiệm phương trình bậc với : f(x) = ax2 + bx + c = (a 0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a Dùng S, P để tính biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức g 0 g(x1,x2) = không đối xứng, giải hệ pt: S x1 x2 P x x D : nghiệm x = Dx/D , y = Dy/D D = 0, Dx Dy : VN D = Dx = Dy = : VSN hay VN (giải hệ với m biết) Hệ phương trình đối xứng loại : Từng phương trình đối xứng theo x, y Đạt S = x + y, P = xy ĐK : S2 – 4P Tìm S, P Kiểm tra đk S2 – 4P 0; Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải nghiệm x y (, ) nghiệm (, ) nghiệm; Nghiệm = m = ? Thay m vào hệ, giải xem có nghiệm khơng Hệ phương trình đối xứng loại : Phương trình đối xứng với phương trình Trừ phương trình, dùng đẳng thức đưa phương trình tích A.B = Nghiệm làm hệ đối xứng loại ax bxy cy d Hệ phương trình đẳng cấp : 2 a ' x b ' xy c ' y d ' Xét y = Xét y : đặt x = ty, chia phương trình để khử t Cịn phương trình theo y, giải y, suy t, suy x Có thể xét x = 0, xét x 0, đặt y = tx Biết S, P thỏa S2 – 4P 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = Dùng , S, P để so sánh nghiệm với : x1 < < x2 P < 0, 0 0 < x1 < x2 P ; x1 < x2 < P S 0 S 0 nghiệm phân biệt f ( ) f ( ) a 2n b a 2n b ; b a 2n b a a 2n b a b ; a a0 a Đơn giản: f ( ) Hệ đối xứng I xy x y 11 p s 11 s 5; p ; hpt 1) 2 p.s 30 hay p 5; s x y xy 30 ĐS: (2; 3);(3;2);(1;5);(5;1) Phương trình bậc : ax + bx + cx + d = a Viet : A = x1 + x2 + x3 = – b/a , B = x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , C = x1.x2.x3 = – d/a x1, x2, x3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = b Số nghiệm phương trình bậc : x = f(x) = ax2 + bx + c = (a 0) : Hồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số x y x y 1 + Ta có I): ( x y (I ) x y x 2x 1 x y x y 1 + Ta có II) : ( II ) y x 2 ( x ) ( x ) 0;(VN ) Hệ đẳng cấp x y xy 30 2) hpt s 5; p KQ : (2;3); (3; 2) x y 35 (0;1) x y p s 11 s 3) ; hpt p 0; p (1;0) x y ( s p ) p x y y x 30 4) HD : x; y 0; s x y ; p x y x x y y 35 2 p.s 30 s 125 s p KQ: (4;9),(9;4) 3 s 3sp 35 5( x y ) xy 5) Cho: x y xy m a) Tìm m để hpt có nghiệm (HD: Giải hệ S; P ta S = 4m; P = 5m −1;ĐK: S2 − 4P m m ) b) Tìm m để hệ có nghiệm ĐS: m = 1/4, m = x y xy 2m 6) a) Cmr: Hệ có nghiệm với m 2 x y xy m m b) Tìm m hpt có nghiện P S 2m a)Hệ S1 m; P1 m S m 1; P2 m P.S m m hpt 2 x xy y m (1) VD Cho hệ phương trình : (2) y xy a) Giải hệ pt` với m = 1; b) Tìm a để hệ có nghiệm Cách 1: Dễ thấy y = khơng phải nghiệm hpt 2 2 t y 4ty y m Đặt x = ty, ta có : Hệ 2 y 3ty t 4t m 2 y (t 4t 1) m 3t (I) y (1 t ) y (1 3t ) ĐS: hệ S1, P1 vn; S P2 (m 1) Vậy Hệ có nghiệm m 2 b) Hệ có nghiệm S 22 P2 (m 1) m Suy x = y = Vậy : (1;1) Hệ đối xứng II y 2 x y x x 3x y 2 x 3x y ; 2) ; 3) 1) y y x 2 y y x y 3x x y Do y nên từ y2(1 - 3t) = - 3t > t < t 4t 1 a) Với m = ta có hệ : 3t kq : (1 ; 4), (-1 ; -4) y (1 3t ) 4(t 4t 1) m(1 3t ) b) Ta có :(I) y (1 3t ) 2 x y ( x y )( x y xy 5) HD:1) x 3x y x 3x y 4t (16 3m)t m (*) Đặt f(t) = 4t2 −(16−3m)t+4−m y (1 3t ) ĐS: (0;0), ( 11; 11), ( 11; 11) ( x y )( x y 4) 2) ĐK:x 0; y Hệ ĐS(-2;-2) x y xy 4( x y ) 3)Lấy (1) − (2) có 3(x − y)(x + y −1) = y = x y = − x Kết hợp (1) y = x : (1;1) ; (2;2); y = − x VN HD: Lấy (1) − (2) có (x − y)(2 + 4/xy ) = 2 x y x y = x ; y = −2/x 4) y = x : (1;1) ; (-1;-1) ; 1 2 y x y y = -2/x : ( 2; 2);( 2, 2) hệ có nghiệm (*) có nghiệm thoả mãn t < Ta lại có af ( ) m nên hệ ln có nghiệm thoả mãn t1 < < t2 Vậy hệ ln có nghiệm với m Cách : Khử ẩn x2 m x xy m y Hệ x y xy 2 x (8 m) x (4 m) (*) (x = thoả mãn hệ m = 4) Với m đặt : f(t) = 2t2 + (8 - m)t - (4 - m)2 ta có f(0) = -(4 - m)2 < nên phương trình f(t) = ln có nghiệm t > hay phương trình (*) ln có nghiệm với m Các tập luyện tập : Bài 1: Một số hệ dạng xy ( x 1)( y 1) m 1) Cho hệ phương trình 2 x y x y a) Giải hệ m=12 b)Tìm m để hệ có nghiệm 1 a 2) Cho hệ phương trình x y x2 y a2 Hệ nửa đối xứng VD Giải hệ x y 1 x y x y x y x y x y xy x y 2 y x3 2 y x3 2 y x x y x y x y 1 (I ) y ( II ) ( x y )( xy 1) x y x 2 y x x 2x x x Hồ Văn Hồng Chun đề đại số Tìm a để hệ phương trình có nghiệm phân biệt x xy y 3) Tìm m để hệ có nghiệm 2 x 3xy y m x y x y (1) 4) 2 2 x y x y 3 1 x y 19 x 2 y xy 6 x Đặt x =1/z thay vào hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2) Chủ đề: Phương trình bất phương trình phương trình đại số 1) Bất phương trình bậc hai ; Định lý dấu tam thức bậc hai; Phương pháp hàm số 2) Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối B A B ; A B A2 B 2 A B A B A B ; A B B A B A B 3) Phương trình, bất phương trình chứa thức *PT chứa thức: B A 0(hayB 0) * AB ; * A B A B A B x y 4) y x x y 5) x y y x x y m a) Giải hệ m = b)Tìm m để hệ có nghiệm y 2 3 y HD: TH1 x=y suy x=y=1 x2 Bài 2: (B 2003) TH2 ý: x>0 , y> x 3 x suy vô nghiệm y2 5) 2 2 x y xy 15 Bài 3: HD: Nhóm nhân tử chung sau đặt 8 x y 35 S=2x+y P= 2x.y Đs : (1,3) (3/2 , 2) 3 x 3x y y (1) Bài 4: HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 6 x y (2) Xét hàm số: f t t 3t [-1,1] áp dụng vào ph trình (1) Bài 5: CMR hệ phương trình sau có nghiệm a2 2 x y x y y HD: xét f ( x) x x lập BBT 2 a 2 x x a 2 y x x A * A B C B A B AB C * Bất phương trình chứa thức: A A * A B B * A B B 2 A B A B x y Bài 6: HD Bình phương vế,đối xứng loại y x A A B B * A B * A B B B A B A B Ví dụ 1) x x x Hd : chia khoảng xy x a ( y 1) Bài 7: xác định a để hệ có nghiệm xy y a ( x 1) HD sử dụng ĐK cần đủ a=8 xy 10 20 x (1) Bài 8: xy y (2) HD : Rút x y2 5 y Cô si x y 2 y y y 2) x 20 theo (1) x 20 suy x,y x y x y (1) Bài 9: (KB 2002) x y x y HD: từ (1) đặt nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2) x y a Bài 10: Tìm a để hệ có nghiệm x y 3a 4) 3x2- x > 9x –2.Chia hai trường hợp : x>3 ; x< 5) Giải x x x A B Áp dụng : A B B A B Hpt x A B Ví dụ 2: Bình phương hai vế : a) x + x Hd: pt Bài 10: ( x y ) y đặt t = x/y có nghiệm 3 x y 19 2) x 4x y x 1 x x 1 x x x 1 x b)pt: ĐK: x ≥ x 3x x Chuyển vế, bình phương vế : x = 2; x = 2/11( loại ) Vậy x = c) x x ĐK x ≥ − Bình phương hai lần ta có :ĐS x = d) 16 x x KQ : x 0; 7 x3 y 7( x y ) HD: tách thành nhân tử nghiệm 2 x y x y 1) x( x 2)(2 x y ) x 1 HD: x t ; t t : x 2; 4 x 1 3) x x x 30 HD: từ (1) đặt u x 1, v y hệ dối xứng với u, - v Chỉ hệ có nghiệm phương trình bậc hai tương ứng có nghiệm trái dấu 3) đổi biến theo v,u từ ph trình số (1) e) (4 x 1) x x x Bình phương hai lần ta có :ĐS x = 4/3 Ví dụ 3: Đặt ẩn số phụ : đặt X=x(x+2) Y=2x+y ĐK x ≥ ¼ Hồ Văn Hồng Chun đề đại số x 10 x Bài 4: Tìm m để hệ có nghiệm ĐS m ≥ x x m a) x 3x x 3x Đặt : t = x − 3x +3 ≥ ¾ Phương trình t t t 1.KQ : x 1; 2 b) 2 2 x x2 x x Bài 5: Giải bất phương trình x x x HD nhân vế với biểu thức liên hợp VT Biến đổi BPT tích Chú ý ĐK Bài 6: Giải bất phương trình x 2x 7 2x x ĐK ≤ x ≤ t 1 pt t2 − 3t +2 = t =1 V t = Vn t =1 < x = V x = Đặt : t x x ; t x x x x 3x 2 x x 16 c) HD Đặt t x x 1; t x x t x 2 x x pt t x Bài 7: d) x x x x 3x 3x 19 Đặt t x x / Bài 8: Tìm m để ptrình x2 (1 x 1) Bài 9: Giải bất ptrình x x x x m có nghiệm 2( x 16) x3 x3 x x x x m ĐK ≤ x ≤ b) 9 KsHS f (t ) t 2t 9; t KQ: m 10 4) 2(1 x) x x x x 2) x x m x x m HD: đặt t 3l Đặt : t x x m 0; pt : t t t 5) ( x 1) x (2 x) x x 6) x x ( x 2) x x x m m x x 16 Lập BBT : m >19 VN; m =19: ngh; m< 19 ngh Ví dụ 5: -Đặt : Pt 8) a) u v uv u v 3 u v uv 2) x x ĐK : x u x u v u 0;1; 2; v 1;0;3 u v v x 1;v KQ: x 1; 2;10 Bất phương trình Bài 1: Tìm m để ( x 1)( x 3)( x x 6) m Tìm m để bất phương trình nghiệm với x HD: sử dụng hàm số tam thức : m ≤ −2 Bài 2: Tìm a để x: f ( x) ( x 2) x a ĐS a≥4Va ≤ Bài 3: Giải phương trình ,bất phương trình sau 2) 8x2 x x x 1 x 1 2x 3) 2( x x) x x 4) 51 x x 1 1 x b) x 3x x Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH − BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LƠGARIT u 1; v KQ: x 1; x 6 1) x3 7) Cho phương trình x x x x m a) Giải phương trình m=6 b) Tìm m để phương trình có nghiệm (2 x) (7 x) (7 x)(2 x) u x v x (KA 2004) t x x coi phương trình bậc hai ẩn t 1) x3 x x x 12 x 16 x 12 x x 3) a) x(9 x) t / 7x Bài tập áp dụng x2 y 2x 1) Tìm a để hệ có nghiệm x y a Tìmnghiệm ĐS a = −1 a=3 2) Tìm m để bất p trình x 16 x m có nghiệm x4 HD Bình phương vế ý ĐK Đặt t= tích t.Tìm ĐK t Sử dụng BBT suy KQ Ví dụ 4: x x ( x 1)(3 x) m a) Giải pt m=2 b) Tìm m để pt có nghiệm ĐK: −1 ≤ x ≤ Đặt t x x t 2 (vì a b a b 2(a b) ) t 0(l ) a) m : t 2t KQ: x 1, x t b) Xét f(t) = − t2/2 + t + = m (1) Lập bảng biến thiên : Tacó : 2 m Bình phương : Đặt t = Giải bất phương trình HD Xét trường hợp ý ĐK x ≥ −1 Trong trường hợp x ≥4 tiến hành nhân chia cho biểu thức liên hợp mẫu VT pt t t 3t 13 t 4.KQ : x 1; x 2 Ví dụ 5: 1) , t AD BĐT cô si suy ĐK x CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa tính chất luỹ thừa lơgarit Tính chất hàm số mũ, hàm số lơgarit Các phương trình, bất phương trình bản: Với m > 0, < a thì: ax = m x = logam x log a m;(a 1) ax > m ax với x R x log a m;(0 a 1) Với số thực m < a thì: x am ; a 1 logax = m x = am logax > m m 0 x a ; a MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1) Phương pháp đưa số Với < a thì: af(x) = ag(x) f(x) = g(x); f(x) g(x) a > a f(x) > g(x) a > hay f(x) < g(x) < a logag(x) logaf(x) > logag(x) f (x) g( x ) ; f ( x ) g( x ) f (x) g( x ) ; f ( x ) g( x ) Ví dụ 10 Giải BPT: x log2 x 32 (10) Đkiện x > LG: Lấy logarit số hai vế ta có : (log2x +4)log2x < 5, Đặt t = log2x PT t2+4t −5 < 0 −5 < t < 1 −5 < log2x < 2-5 < x < 4) Phương pháp sử dụng tính chất hàm số a > 1, af(x) > ab f(x)>b ; logaf(x) > logab f(x) > b >0 0 31 = - log5x < log51 = 3x > – log5x Với x < 3x < 31 = - log5x > log51 = 3x < – log5x Vậy x =1 nghiệm phương trình Ví dụ 12 GPT: 3x + 2x = 3x +2 LG: Dễ thấy PT có nghiệm x = , x = (PT khơng có nghiệm nhất) Xét hàm số: f(x) = 3x + 2x – 3x+2 ta có : f’(x) = 3xln3 + 2xln2 – f’’(x) = 3xln23 + 2xln22 > R hàm số đồng biến R Mặt khác hàm số f’(x) liên tục R f(-1).f(1) < PT f’(x)=0 có nghiệm x0 (-1; 1) Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có khơng q nghiệm Vậy nghiệm phương trình là: x = 0; x = 5) Hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ lơgarit Chú ý : Ta dùng phương pháp giải hệ phương trình , hệ bất phương trình hệ hữu tỉ biết kết hợp với phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ lơgarit để giải hệ PT, Hệ BPT mũ lơgarit Ví dụ 13 (ĐH K B-2005) Giải HPT: x y (1) Đkiện x > < y 3log (9 x ) log y (2) (2) 3(1+ log3x) – 3log3 y = log3x = log3 y x = y Thay x = y vào phương trình (1) ta có (1) (x-1)(2-x) = x = ; x = Từ HPT có hai nghiệm (1 ; 1) (2; 2) 23 x y y (1) x Ví dụ 14 (ĐH KD-2002 ).Giải HPT: x 1 y (2) x 2 x LG: Từ PT(2) = y, y > 0; Thế vào PT(1) ta PT :y3 -5y2 +4y = y = 0, y = 1, y = Hệ PT có nghiệm (0; 1) ; (2; 4) 6) Các toán tổng hợp (Hay khó) Ví dụ 15 (996) Tìm nghiệm dương PT: x x log2 x log2 HD: Biến đổi PT dạng: 2log2 x 3log2 x 5log2 x Đặt t = log2x, PT 2t + 3t = 5t Bằng phương pháp hàm số có nghiệm t = x = Ví dụ 16 (ĐH KA-2002) Cho PT: a > < a < Ví dụ Giải PT: 2x+1 5x = 2.102x+5 (1) LG: (1) 10x = 102x+5 x = 2x +5 x = - Ví dụ Giải PT: log3 (2x+1) - log (1 x) (2) Đkiện 2x+1 > 1- x > 0 x 2x (2) log3(2x+1)= log 1 x 2 x x x=0; x=2(loại) PT có nghiệm x = 1 x Ví dụ Giải BPT: log5(4x +144) – 4log52 < 1+ log5(2x-2 +1) (3) LG: Đkiện: x R (3) log5(4x +144) < log580(2x-2+1) 4x -20.2x +64 < < 2x < 16 2< x < x 1 Ví dụ Giải BPT: ( 2) x 1 ( 2) x 1 (4) LG: Do ( 2) 1 , (4) 52 x 1 x 1 ( 2)1 x x 1 x x − x < −1 x 1 2) Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ Giải PT: 3.49x + 2.14x – 4x = (5) x 7 HD: Chia hai vế PT cho 4x đặt t = KQ : x log 2 Ví dụ Giải PT: x - 53 x = 20 (6) LG: Đkiện x 0, phương trình chứa căn, đặt t = x 125 (5) t − − 20 = 0 t2 – 20t −125 = t = −5 (l), t = 25 t t = 25 x 25 52 x x Ví dụ Giải BPT: 4x – 2.52x < 10x HD: Chia hai vế cho 10x , ta t2 t 2 5 2 0 , Đặt t = , t BPT t 5 2 5 x x x x 2 Với đkiện t > ta có < t < x log 2 , 5 (Chú ý số < 1) Ví dụ Giải BPT: (8) log 2 x log x HD: Đkiện < x 1/2 Đặt t = log2x , t 1 t 3t 5t (8) 0 3; t (1 t ) t log 32 x log 32 x 2m (16) (m tham số) Giải PT m =2 1 Suy tập nghiệm (8) : ; 1; 2 2 * Dạng A a b f (x) B(a b ) f ( x ) c nếu(a+ b )(a- Tìm m để PT (16) có nghiệm thuộc đoạn 1;3 b )=1, đặt t = a b u * Dạng au2f(x)+b(uv)f(x)+cv2f(x) = 0, nên chia hai vế cho v2f(x), đặt t = v f (x) Đk x > 0, Đặt t = log 32 x ta có PT t2+t-2m-2 = (*) (16) có nghiệm thuộc 1;3 (*) có nghiệm thuộc [1; 2] Xét hàm số f(t) = t2+t [1; 2] ta PT (16) có nghiệm 1;3 m [0 ; 2] Ví dụ 17.(ĐHQGHN-1997) Giải BL BPT theo tham số a: x loga ( ax ) (ax) (17) HD: Điều kiện a > 0, a 1, x > f (x) 3) Phương pháp logarit hố x Ví dụ Giải PT: 3x x (9) LG: Đkiện x -2 Lôgarit số hai vế ta có 3x log x log log ( x 1) 1 0 x2 x x = x = − (1+log32) Hồ Văn Hoàng Bài (ĐHQG-KB.1998) Giải PT: 125x +50x = 23x+1 ĐS: x = Bài (ĐHQG-1997) Giải PT: (5 21) x 7.(5 21) x x Chuyên đề đại số Với < a < Lấy lôgarit số a hai vế PT (1+logax)logax 4(1+logax) (logax+1)(logax-4) -1 logax a4 x a-1 Với a > 1, Biến đổi với ý số > ta log x 1 0 x (logax+1)(logax-4) a a log a x x a ĐS: x = ; x = log 5 21 Bài (ĐH Y-2000) Giải PT: 23 x 6.2 x 12 ĐS:x= 23( x 1) x sau biến đổi ta có: Bài (ĐHTL 2000) Giải PT: 22 x 1 9.2 x x 22 x ĐS: x = -1; x = Bài (ĐHTCKT-1997) 25x -2(3-x)5x + 2x -7 = ĐS: x = Bài (ĐH NT-1997) Giải PT: 2x+1 – 4x = x-1 ĐS: x =1 Bài (ĐHSP 2001) Giải PT: 3x + 5x = 6x+2 ĐS: x = 0; x =1 Bài 10 (ĐHNNHN-2000) Cho phương trình: (m+3).16x + (2m-1).4x +m +1 = [ (2 2) -4 ][ (2 2) -1] = t = x = Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu ĐS: 1 m Ví dụ 18.(ĐHQG HN - 2000) Giải PT: (2 2)log2 x x(2 2)log2 x x HD: Đkiện x > 0, đặt t = log2x x = 2t , ta có PT: (2 2)t 2t (2 2)t 22t Nhân hai vế với (2 2)t t t t Ví dụ 19 Giải PT: 22 x 1 23 x log (4 x x 4) Bài 11 (ĐHQG TPHCM.1996) Cho phương trình: (2+ )x + (2- )x = m Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt (19) HD: Ta có 4x2 – 4x+4 = (2x-1)2 + log3(4x2-4x+4) 1, Suy VP Mặt khác theo BĐT Cơ-si, ta có: VT x 3 ĐS: x (-3; - ) (1; 5) Bài 15 (ĐH Dược HN -1997) Giải BPT: x x.2 x 1 3.2 x x 2 x x 12 ĐS:(- ; -1) ( 2; 3) Bài 16 (ĐHQG HN-1996) Tìm tất cặp số (x; y) thoả mãn 2 k phương trình : 8sin x 8co s x +cos2y ĐS: ( ; m ) 2 Bài 17 (ĐHQG HN-1999) Tìm tất giá trị tham số m 2 Bài 19 (ĐH BKHN-1999) Giải PT: 4log10 x 6log x 2.3log100 x (Chia 4logx)ĐS: x = 10-2 Bài 20 (ĐH THHN-1994) Giải PT: 2.x log2 x 2.x 3log8 x Bài 21 (ĐH SPHN-1994) Giải PT: ĐS: x = 1/ ; x=2 3 ĐS: x = log ( x ) log ( x ) x x Bài 22 (ĐHSPHN-1990) Giải PT: 5 log (1 ) log (1 ) 2.log ( ) ĐS: 1 11 (3 29) x x5 x2 Bài (A07) Giải log (4 x 3) log x 3 ĐS: ;3 x Bài (B.2007) Giải BPT: ( -1) + ( +1) - 2 = ĐS: x = 1; x = -1 Bài D.2007) Giải BPT: log (4 x 15.2 x 27) log ĐS: x = log23 x 4.2 Bài (A.2006) Giải PT: 3.8x+4.12x-18x -2.27x = ĐS x = Bài (B.2006) Giải BPT: log5(4x+144)-4.log52 < 1+ log5(2x-2+1) ĐS: x (2; 4) log ( y x) log y Bài (A.2004) Giải HPT: ĐS:(3; 4) 2 x y 25 Bài 23 (ĐH Mỏ ĐC -1993) Giải BPT: log (1 x) log ( x 1) ĐS: x Bài 24 (ĐH Luật HN-1997) Giải BPT: log ( x 1) log ( x 1)3 ĐS: -1 0 x 3x Bài 25 (ĐH YHN-1997) Giải BPT: log x 64 log x2 16 Bài 10 (D.2003) Giải PT: x x 22 x x ĐS: x= -1; x =2 Bài 11 (B.02) Giải BPT: logx(log3(9x-72)) 1ĐS: log973 < x II Các toán đề thi đại học trước năm 2002 Bài (HVQHQT-1999) Giải PT: 1 ĐS: x ( ; ] (1; 4] Bài 26 (ĐH BKHN 2000) Giải PT: log4(x+1)2+2 = log x log (4 x)3 x {2,2– 24 } x 3 x x x 42 x x ĐS: x {-5; -1; 1; 2} Bài (ĐHQG-KD.2000) Giải PT: 8.3x + 3.2x = 24 +6x ĐS: x = 1; x = 2 ĐS: x (2 2;1) (2; 2 ) 2 để bất PT sau có nghiệm: 2sin x 3co s x m.3sin x ĐS: m Bài 18 (ĐHSP TPHCM-2000) Tìm tất giá trị tham số m để bất PT sau có nghiệm: x m.2 x 1 2m ĐS: m x 3x Bài (D.2008) Giải BPT: log 0 x x 1 Bài 14 (ĐHGT -1998) Giải BPT: ( 10 3) x 1 ( 10 3) x ĐS: x (-4; -3) (8; + ) x m>2 1 Bài 12 (ĐH NT -1998) Tìm m để pt m4 m2 5 có nghiệm phân biệt ĐS: m (-1 ; 1)\ {0} 2 x y ( y x)( xy 2) Bài 13 (QGHN- 1995) Giải HPT: x2 y ĐS: (1; 1); (-1 ; -1) Ví dụ 20.(ĐH KD - 2006) Chứng minh với a > 0, hệ sau có e x e y ln(1 x) ln(1 y ) (1) nghiệm nhất: (2) y x a Đkiện x > -1, y > -1 Thế (2) y = x+a vào (1) ta có PT: ex+a- ex +ln(1+x) – ln(1+a+x) (3) với x > -1, a >0 hệ có nghiệm (3) có nghiệm x > -1 Xét hàm số f(x) = ex+a- ex +ln(1+x) – ln(1+a+x) ĐPCM C BÀI TẬP TỔNG HỢP I Các toán đề thi đại học từ năm 2002 đến 2008 Bài (A 2008) Giải PT: log2x-1(2x2+x-1) + log(x+1)(2x-1)2 = ĐS: x = 2; x = 5/4 x2 x Bài (B.2008) Giải BPT: log 0,7 log 0 x4 4 | x x 3| 2 x 1 232 x (19) giải hệ ta có nghiệm x = log (4 x x 4) 3 2 Hồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số Bài 27 (ĐH SPHN-2000) Tìm tất giá trị tham số m để x [0; 2] thoả mãn bất phương trình log x x m log ( x x m) ĐS: m [2; 4] Bài 28 (ĐH Mỏ ĐC -1999) Giải hệ: log ( x y ) log (2 x) log ( x y ) x log ( xy 1) log (4 y y x 4) log y ĐS: (a ; a), a > 0; (2; 1) log x log y Bài 29 (ĐH SPHN-1991) Giải hệ: y log x log y ĐS: (8; 2); (2; ) ĐS: (2; 1), ( ; 2) log x log y log ( xy ) Bài 30 (ĐHSPNN-1998) Giải hệ: log ( x y ) log x.log y 2 ... Hồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số Bài 27 (ĐH SPHN-2000) Tìm tất giá trị tham số m để x [0; 2] thoả mãn bất phương trình log x x m log ( x x m) ĐS: m [2; 4] Bài 28 (ĐH Mỏ ĐC -1999)... 21) x x Chuyên đề đại số Với < a < Lấy lôgarit số a hai vế PT (1+logax)logax 4(1+logax) (logax+1)(logax-4) -1 logax a4 x a-1 Với a > 1, Biến đổi với ý số > ta log... theo v,u từ ph trình số (1) e) (4 x 1) x x x Bình phương hai lần ta có :ĐS x = 4/3 Ví dụ 3: Đặt ẩn số phụ : đặt X=x(x+2) Y=2x+y ĐK x ≥ ¼ Hồ Văn Hồng Chun đề đại số x 10 x Bài