Phương trình lượng giác và cách giải không mẫu mực

Phương trình lượng giác và cách giải không mẫu mực

Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa. Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ở ngay dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực. Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường gặp. I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế còn lại bằng không và áp dụng tính chất: 00022BABA Bài 1. Giải phương trình: 02sin4tan32sin4tan322 xxxx GIẢI  Znmnxmxxxxxxxxxxxxxxx,26621sin33tan01sin201tan30)1sin2()1tan3(01sin4sin41tan32tan302sin4tan32sin4tan3222222 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 2 ĐS kx 26 )( Zk  II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình )()( xgxf , ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A → R: ),(,)( baxAxf  và ),(,)( baxAxg  thì khi đó: AxgAxfxgxf)()()()( Nếu ta chỉ có Axf )( và Axg )(, ),( bax thì kết luận phương trình vô ngiệm. Bài 2. Giải phương trình: 0cos25 xx GIẢI xxxx5225cos0cos  Vì 1cos1  x nên 11102 xx mà      1,1,0cos1,1,0cos2,21,15 xxxx Do 02x và 0cos5 x nên phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 3. Giải phương trình: 1cossin19961996 xx (1) GIẢI (1) xxxx2219961996cossincossin  )cos1(cos)1(sinsin1994219942xxxx  (2) Ta thấy xxxxx,0)1(sinsin1sin0sin1994219942 Mà xxxxx,0)cos1(cos0cos10cos1994219942 Do đó (2)),(221cos0cos1sin0sin0)cos1(cos0)1(sinsin1994219942Znmnxnxmxmxxxxxxxxx Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 3 Vậy nghiệm của phương trình là: )(2Zkkx  ĐS )(2Zkkx  Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng những phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây:  1sin1sin1sin1sin1sin.sinbxaxbxaxbxax  1sin1sin1sin1sin1sin.sinbxaxbxaxbxax Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng: 1cos.sin1cos.sin1cos.cos1cos.cosbxaxbxaxbxaxbxax III. PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thông sụng sau:  Dùng tính chất đại số  Áp dụng tính đơn điệu của hàm số Phương trình 0)( xf có 1 nghiệm ),( bax  và hàm f đơn điệu trong ),( ba thì 0)( xf có nghiệm duy nhất là x. Phương trình )()( xgxf  có 1 nghiệm ),( bax , )(xf tăng (giảm) trong ),( ba, )(xg giảm (tăng) trong ),( ba thì phương trình )()( xgxf  có nghiệm x là duy nhất. Bài 4. Giải phương trình: 21cos2xx  với 0x Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 4 GIẢI Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm 0x. Đặt 12cos)(2xxxf là biểu thức của hàm số có đạo hàm 0,0sin)('  xxxxf (vì xxx  ,sin)  Hàm f luôn đơn điệu tăng trong  ,0  0)( xf có 1 nghiệm duy nhất trong  ,0 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất 0x. B.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Bài 1: Giải phương trình: 02sin2cos22 xxxx (1) GIẢI Ta có (1) 01sin2sincoscos2222 xxxxxx 1sincos01sin0cos0)1(sin)cos(22xxxxxxxxx Phương trình vô nghiệm. Bài 2: Giải phương trình: 1cossin154 xx GIẢI Ta có: 1cossin154 xx xxxx22154cossincossin  )cos1(cos)1(sinsin13222xxxx  (1) Vì xxx  ,0)1(sinsin22 Và xxx  ,0)cos1(cos132 Do đó (1) 0)cos1(cos0)1(sinsin13222xxxx Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 5 1cos0cos1sin0sinxxxx ),(222Znmnxnxmxmx ĐS kx 2 hay kx 2, )( Zk  C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI Bài 3: Giải các phương trình: 1. 41)4(cossin44xx (1) 2. , .)4,3,2(sincos)cot41(tan  nxxxxnnn GIẢI 1. Ta có: (1) 414)22cos(14)2cos1(22xx 1)2sin1()2cos1(22 xx 22)42cos(12sin2cosxxx )(4Zkkxkx 2.Với điều kiện 2kx  ta có xtan và xcot luôn cùng dấu nên: 1cot41tan1cot41tan2cot41tancot41tan nxxxxxxxx Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 6 Dấu "=" xảy ra 21tan41tancot41tan2 xxxx  Với 2n: phương trình 1cot41tan2 xx có nghiệm cho bởi: )(21arctan21tan Zkkxx   Với 2,  nZn thì: 1sincossincos22 xxxxnn Dấu bằng xảy ra ),(1222222Zmkmnkhikxhaykxmnkhikx (đều không thoả mãn điều kiện 2kx  của phương trình) Vậy với Znn  ,2 thì phương trình vô nghiệm. ĐS )(21arctan Zkkx  Bài 4: Giải phương trình: 113cos13cos1cos1cos xxxx (1) GIẢI Điều kiện: 03cos0cosxx Khi đó (1) 13cos3coscoscos22 xxxx Vì 410)21(41222 aaaaa Do đó 41coscos2 xx và 413cos3cos2 xx 213cos3cos21coscos22 xxvàxx Dấu bằng xảy ra  xxxxxxx213cos21cos413cos3cos41coscos22 Vậy phương trình (1) vô nghiệm. D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 7 Bài 1: Giải phương trình: xxx433sin2cossin  HƯỚNG DẪN xxxxxxxxxxx,1sin2,1cossin,coscos,sinsin4332323 Vậy phương trình tương đương: 1sin21cossin433xxx ĐS )(22Zkkx  Bài 2: Giải phương trình: 02tansin  xxx với 20 x HƯỚNG DẪN Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm 0x Đặt xxxxf 2tansin)(  liên tục trên 2;0 Có đạo hàm: 2;0,0cos)1cos)(cos1(cos)('22xxxxxxf do 01coscos2511cos02512xxx f đơn điệu tăng trên 2;0 Bài 3: Giải phương trình:  xxx 3sin52cos4cos2 ĐS )(22Zkkx  Bài 4: Giải phương trình: xxxx sincossincos44 ĐS )( Zkkx  Bài 5: Giải phương trình: 01sin22 xyx Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 8 ĐS kyx221 hay kyx221 )( Zk  Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 9 . PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương. những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực. Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường