Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN =+ π⎡=⇔⎢=π− + π⎣uvk2sin u sin vuvk2 cos u cos v u v k2=⇔=±+π π⎧≠+π⎪=⇔⎨⎪=+ π⎩uktgu tgv2uvk' ( )k, k ' Z∈ ukcot gu cot gvuvk'≠π⎧=⇔⎨=+ π⎩ Đặc biệt : si n u 0 u k=⇔=ππ= ⇔=+πco s u 0 u k2(sin u 1 u k2 k Z2π=⇔= + π ∈) cos u 1 u k2= ⇔= π () kZ∈sin u 1 u k22π=− ⇔ =− + π cos u 1 u k2= −⇔ =π+ π Chú ý : sin u 0 cos u 1≠⇔ ≠±cos u 0 sin u 1≠⇔ ≠± Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002) [ ]x0,14∈ nghiệm đúng phương trình Tìm ( )cos 3x 4 cos 2x 3 cos x 4 0 *−+−= Ta có (*) : ⇔ ()( )324 cos x 3cos x 4 2 cos x 1 3cos x 4 0− −−+−= ⇔ 324cos x 8cos x 0− = ⇔ ( )24cos x cosx 2 0− = ⇔ ( )==cosx 0hay cosx 2 loại vìcosx 1≤ ⇔ ()xkk2π=+π∈Z Ta có : []x0,14 0 k 124π∈⇔≤+π≤ ⇔ k1422ππ−≤π≤ − ⇔ 11410, 5 k 3, 922−=−≤≤−≈π Mà k nên Z∈{ }k. Do đó : 0,1,2,3∈357x ,,,2222π πππ⎧ ⎫∈⎨ ⎬⎩⎭ Bài 29 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2004) Giải phương trình : ()( ) ( )2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x *−+=− Ta có (*) ⇔ ()( ) ( )−+=2cos x 1 2sin x cos x sin x 2 cos x 1− ⇔ ()( )2cos x 1 2sin x cos x sin x 0− +−⎡⎤⎣⎦=) ⇔ ()(2cosx 1 sinx cosx 0− += ⇔ 1cos x sin x cos x2=∨ =− ⇔ cos x cos tgx 1 tg34ππ⎛⎞=∨=−=−⎜⎟⎝⎠ ⇔ ()ππ=± + π∨ =− + π ∈xk2xk,k34Z Bài 30 : Giải phương trình + ++=cos x cos 2x cos 3x cos 4x 0(*) Ta có (*) ⇔()( )cos x cos 4x cos 2x cos 3x 0+++= ⇔ 5x 3x 5x x2cos .cos 2cos .cos 022 22+= ⇔ 5x 3x x2cos cos cos 022 2⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠ ⇔ 5x x4 cos cos x cos 022= ⇔ 5x xcos 0 cos x 0 cos 022= ∨=∨ = ⇔ ππ π=+π∨=+π∨=+π5x xkx k k22 2 22 ⇔ ()ππ π=+ ∨=+π∨=π+π ∈2kxxkx2,55 2kZ Bài 31: Giải phương trình ( )22 2 2sin x sin 3x cos 2x cos 4x *+=+ Ta có (*) ⇔ ()()()()11111 cos 2x 1 cos 6x 1 cos4x 1 cos 8x2222−+−=+++ ⇔ ()cos2x cos6x cos4x cos8x−+ =+⇔ 2cos 4x cos 2x 2 cos6x cos 2x−=⇔ ( )2cos2x cos 6x cos4x 0+= ⇔ 4 cos 2x cos5x cos x 0= ⇔ cos 2x 0 cos 5x 0 cos x 0= ∨=∨= ⇔ ππ π=+π∨ +π∨=+π∈2x k 5x k x k , k22 2 ⇔ ππ π π π=+ ∨= + ∨=+πkkkxx x42 105 2 ∈,k Bài 32 : Cho phương trình ()π⎛⎞−= −−⎜⎟⎝⎠22x7sin x.cos 4x sin 2x 4 sin *42 2 Tìm các nghiệm của phương trình thỏa: − <x1 3 Ta có : (*)⇔ ()17sin x.cos4x 1 cos4x 2 1 cos x22⎡π⎤⎛⎞2− −=−−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦− ⇔ −+ =−−11 3sin x cos 4x cos 4x 2 sin x22 2 ⇔ 1sin x cos 4x cos 4x 1 2sin x 02+++= ⇔ ⎛⎞⎛⎞++ +=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠11cos 4x sin x 2 sin x 022 ⇔ ()1cos 4x 2 sin x 02⎛⎞+ +=⎜⎟⎝⎠ ⇔ ()cos 4x 2 loại1sin x sin26=−⎡⎢π⎛⎢=− = −⎜⎟⎢⎝⎠⎣⎞ ⇔ π⎡= −+ π⎢⎢π⎢= +π⎢⎣xk67x262h Ta có : − <x1 3 ⇔ ⇔ 3x13−< − <2x4− << Vậy : 2k26π−<− + π<4 ⇔ 22k 466ππ−< π<+ ⇔ 11 21k12 12−<<+ππ Do k nên k = 0. Vậy Z∈x6π= − π−< + π<72h264 ⇔ π π−− < π< − ⇔− − < < −π π771722h24 h6612712 ⇒h = 0 ⇒π=7x6.Tóm lại −ππ==7xhayx66 Cách khác : −π=− ⇔ = − + π ∈k1sin x x ( 1) k , k26 Vậy : −π − −−<− +π< ⇔ <− + <π πkk212(1) k 4 (1) k664 ⇔ k=0 và k = 1. Tương ứng với −ππ==7xhayx66 Bài 33 : Giải phương trình ( )33 3sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x *+= Ta có : (*)⇔ ()( )33 3 3 3sin x 4 cos x 3 cos x cos x 3sin x 4 sin x sin 4x−+ − = ⇔ 33 3 3 33 34 sin x cos x 3sin x cos x 3sin x cos x 4 sin x cos x sin 4x−+− =⇔ ()22 33sin x cos x cos x sin x sin 4x−=⇔ 33sin 2x cos 2x sin 4x2= ⇔ 33sin 4x sin 4x4= ⇔ 33sin 4x 4 sin 4x 0− = ⇔ sin12x = 0 ⇔ ⇔ 12x k=π()kxk12Zπ=∈ Bài 34 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2002) Giải phương trình : ( )22 22sin 3x cos 4x sin 5x cos 6a *−=− Ta có : (*)⇔ ()()()()11 1 11 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x22 2 2−−+=− −+ ⇔ cos 6x cos 8x cos10x cos12x+= +⇔ 2cos7xcosx 2cos11xcosx=⇔ ( )2cos x cos7x cos11x 0−= ⇔ cos x 0 cos7x cos11x=∨ =⇔ π=+π∨ =± + πxk7x11xk22 ⇔ πππ=+π∨=− ∨= ∈kkxkx x,k229 Bài 35 : Giải phương trình ()()sin x sin 3x sin 2x cos x cos 3x cos 2x++=++ ⇔ 2sin 2x cos x sin 2x 2cos2x cos x cos 2x+= +⇔ ()( )+= +sin 2x 2 cos x 1 cos 2x 2 cos x 1 ⇔ ()( )2cos x 1 sin 2x cos 2x 0+ −= ⇔ 12cos x cos sin 2x cos 2x23π=− = ∨ = ⇔ 2xk2tg2x134tgπ π=± + π∨ = = ⇔ ()π ππ=± + π∨ = + ∈2xk2xk,k382Z Bài 36: Giải phương trình ( )++ =+23cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x. cos x cos x 8 cos x.cos 3x * Ta có : (*)⇔ ( )( )3cos10x 1 cos 8x cos x 2cos x 4 cos 3x 3cos 3x++ = + − ⇔ ()cos10x cos 8x 1 cos x 2 cos x.cos 9x++=+⇔ 2cos9x cos x 1 cos x 2 cos x.cos 9x+= +⇔ cos x 1=⇔ ( )xk2kZ=π∈ Bài 37 : Giải phương trình ( )33 24 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0 *+−− = Ta có : (*) ⇔ ()( )22sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3cos x 02− −−= ⇔ () ( )⎡⎤−− − − =⎣⎦22sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3 1 sin x 02== ⇔ ()()24sin x 3 sinx cosx 0−−⇔ ()( )2 1 cos 2x 3 sin x cos x 0−− −⎡⎤⎣⎦⇔ 12cos 2x cos23sin x cos xπ⎡=− =⎢⎢=⎣ ⇔ 22x k23tgx 1π⎡=± + π⎢⎢=⎣ ⇔ xk3xk4π⎡= ±+π⎢⎢π⎢= +π⎢⎣ ( )kZ∈ Bài 38 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005) Giải phương trình : ( )sin x cos x 1 sin 2x cos 2x 0 *+++ + = Ta có : (*) ⇔ 2sin x cos x 2sin x cos x 2 cos x 0++ + =⇔ ( )sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0++ + = ⇔ ()(sin x cos x 1 2cos x 0++)=⇔ sin x cos x12cos 2x cos23=−⎡⎢π⎢=− =⎣ ⇔ tgx 12xk3=−⎡⎢π⎢=± + π⎣2 ⇔ xk42xk23π⎡=− + π⎢⎢π⎢=± + π⎢⎣()kZ∈ Bài 39 : Giải phương trình ()( ) ( )22sinx 1 3cos4x 2sinx 4 4cos x 3 *++−+= Ta có : (*) ⇔ ()( )( )22sinx 1 3cos4x 2sinx 4 4 1 sin x 3 0++−+−−= ⇔ ()( )( )( )2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 1 2sinx 1 2sinx 0+ +−++ − = ⇔ () ( )2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 1 2sinx 0+ +−+−⎡⎤⎣⎦== ⇔ ()()3cos4x 1 2sinx 1 0−+⇔ 1cos 4x 1 sin x sin26π⎛⎞=∨ =− = −⎜⎟⎝⎠ ⇔ ππ=π∨=−+π∨= +74x k2 x k2 x k266π ⇔ ()ππ π= ∨=−+π∨= +π ∈k7xxk2xk2,k26 6Z Bài 40: Giải phương trình ()( )+= +66 88sin x cos x 2 sin x cos x * Ta có : (*) ⇔6868sin x 2sin x cos x 2 cos x 0−+−= ⇔ ()( )6262sin x 1 2 sin x cos x 2 cos x 1 0−− −= ⇔ −=66sin x cos 2x cos x.cos 2x 0⇔ ()66cos 2x sin x cos x 0−=⇔ 66cos 2x 0 sin x cos x=∨ =⇔ 6cos 2x 0 tg x 1= ∨= ⇔ ()2x 2k 1 tgx 12π=+∨=± ⇔ ()x2k1 x k44ππ=+∨=±+π ⇔ kx42ππ=+,k ∈  Bài 41 : Giải phương trình ()1cosx.cos2x.cos4x.cos8x *16= Ta thấy xk= π không là nghiệm của (*) vì lúc đó cos x 1, cos 2x cos 4x cos 8x 1=± = = = (*) thành : 1116±= vô nghiệm Nhân 2 vế của (*) cho 16sin x 0≠ ta được (*)⇔ và ()16sinxcosx cos2x.cos4x.cos8x sinx=sin x 0≠⇔ và ()8sin 2x cos2x cos 4x.cos 8x sin x=sin x 0≠ ⇔ và si()4sin4xcos4x cos8x sinx=n x 0≠ ⇔ và 2sin8xcos8x sinx=sin x 0≠ ⇔ sin16x sin x= và sin x 0≠ ⇔()πππ=∨=+ ∈k2 kxx ,k15 17 17Z Do : không là nghiệm nên =πxh≠k 15m và ()+≠ ∈2k 1 17n n, m Z Bài 42: Giải phương trình ()38cos x cos 3x *3π+=⎛⎞⎜⎟⎝⎠ Đặt tx xt33ππ=+⇔=− Thì ()( )cos 3x cos 3t cos 3t cos 3t=−π=π−=− Vậy (*) thành =−38cos t cos3t⇔ 338cos t 4cos t 3cost=− +⇔312 cos t 3 cos t 0− = ⇔ ()23cost 4cos t 1 0−=⇔ ()3 cos t 2 1 cos 2t 1 0+−⎡⎤⎣⎦=⇔ ()cos t 2 cos 2t 1 0+=⇔12cos t 0 cos 2t cos23π=∨ =−= ⇔()ππ=+∨=±+2t2k1 2t k223π ⇔ππ=+π∨=±+πtkt23k Mà xt3π=− Vậy (*)⇔ ()ππ=+ π∨=π∨= +π ∈2xk2xkx k,vớik63Z Ghi chú : Khi giải các phương trình lượng giác có chứa tgu, cotgu, có ẩn ở mẫu, hay chứa căn bậc chẵn . ta phải đặt điều kiện để phương trình xác đònh. Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra điều kiện xem có nhận nghiệm hay không. + Thay các giá trò x tìm được vào điều kiện thử lại xem có thỏa Hoặc + Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện. Hoặc + So vơi các điều kiện trong quá trình giải phương trình. Bài 43 : Giải phương trình ( )2tg x tgx.tg3x 2 *−= Điều kiện 3cos x 0cos 3x 4 cos x 3 cos x 0≠⎧⎨=−≠⎩ππ⇔≠⇔≠+hcos3x 0 x63 Lúc đó ta có (*) ⇔()tgx tgx tg3x 2− = ⇔sin x sin x sin 3x2cos x cos x cos 3x⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠ ⇔ ()2sin x sin x cos 3x cos x sin 3x 2 cos x cos 3x−=⇔( )2sin x sin 2x 2 cos x. cos 3x−= ⇔ 222sin xcosx 2cos xcos3x−=⇔ (do cos2sin x cos x cos 3x−=x 0≠) ⇔()()111cos2x cos4xcos2x22−− = + ⇔ cos 4x 1 4x k2= −⇔ =π+ π ⇔()kxk42ππ=+ ∈Z so với điều kiện Cách 1 : Khi kx42π=+π thì ()33k 2cos 3x cos 0 nhận42 2ππ⎛⎞=+=±≠⎜⎟⎝⎠ Cách 2 : Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm ta thấy không có ngọn cung nào trùng nhau. Do đó : (*) ⇔kx42π π=+ Lưu ý cách 2 rất mất thời gian Cách 3 : Nếu π ππ=+ =+33k3x h422πh6k Thì +=+36k 24h⇔14 =−⇔=−12h 3k2 (vô lý vì ∈k, h Z) Bài 44: Giải phương trình ()22211tg x cot g x cot g 2x *3++ = Điều kiện cos x 0sin x 0 sin 2x 0sin 2x 0≠⎧⎪≠⇔ ≠⎨⎪≠⎩Do đó : (*)⇔ 22211 111 1cos x sin x sin 2x 3⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞−+ −+ −=⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠11 ⇔22 2211 1cos x sin x 4 sin x cos x 3++ =20 ⇔22224sin x 4cos x 1 204sin xcos x 3++= ⇔252sin 2x 3=0 ⇔23sin 2x4= (nhận do sin2x 0≠) ⇔()131cos4x24−= ⇔12cos 4x cos23π=− = ⇔24x k23π=± + π ⇔()kxk62ππ=± + ∈Z Chú ý : Có thể dễ dàng chứng minh : 2tgx cot gxsin 2x+= Vậy (*)⇔()2211tgx cot gx 2 1sin x 3⎛⎞+−+−=⎜⎟⎝⎠1 ⇔252sin 2x 3=0 Bài 45 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2003) Giải phương trình ()222xxsin tg x cos 0 *24 2π⎛⎞−−=⎜⎟⎝⎠ Điều kiện : cos x 0 sin x 1≠⇔ ≠±lúc đó : (*) ⇔ []221sinx11cosx 1cosx 022cosx2⎡π⎤⎛⎞− −−+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦= ⇔()()()221sinx1cosx1cosx 01sinx−−− +=− ⇔ ()21cosx1cosx 01sinx−−+ =+ ⇔ ()1cosx1cosx 1 01sinx−⎡⎤+−⎢⎥+⎣⎦== ⇔ ()( )1 cos x cos x sin x 0+−−⇔ ()cosx 1 nhậndocosx 0tgx 1=− ≠⎡⎢=−⎣⇔ =π+ π⎡⎢π⎢=− + π⎣xk2xk4 Bài 46 : Giải phương trình ()( )2sin 2x cot gx tg2x 4 cos x *+= Điều kiện : ⇔ sin x 0cos 2x 0≠⎧⎨≠⎩2sin x 02cos x 1 0≠⎧⎨− ≠⎩ ⇔ cos x 12cos x2≠±⎧⎪⎨≠±⎪⎩ Ta có : cos x sin 2xcot gx tg2xsin x cos 2x+= + cos 2x cos x sin 2x sin xsin x cos 2x+= cos xsin x cos 2x= Lúc đó : (*) ⎛⎞⇔=⎜⎟⎝⎠2cos x2sinxcosx 4cos xsin x cos 2x ⇔ 222cos x4cos xcos 2x= ( )Do sin x 0≠ ⇔ cos x 012cos 2x=⎡⎢⎢=⎣ ⇔ ()⎡⎛⎞= ≠≠±⎢⎜⎟⎜⎟⎢⎝⎠⎢π⎢== ≠⎣2cosx 0 Nhậndocosx và 121cos 2x cos , nhận do sin x 023 ⇔ π⎡=+π⎢⎢π⎢=± + π⎢⎣xk2xk6 () ∈kZ Bài 47 : Giải phương trình: ()22cot g x tg x16 1 cos 4xcos 2x−=+ Ta có : 222222cos x sin xcot g x tg xsin x cos x−= − 4422 2cos x sin x 4 cos 2xsin x cos x sin 2x−== Điều kiện : ⇔ sisin 2x 0cos 2x 0≠⎧⎨≠⎩n 4x 0≠ Lúc đó (*) ()2416 1 cos 4xsin 2x⇔=+ ()()()()()()⇔= +⇔= + −⇔= − =⇔ =≠⇔− =ππ⇔=⇔=+∈2222141cos4xsin2x1 2 1 cos 4x 1 cos 4x121cos4x 2sin4x1sin 4x nhận do sin 4x 02111cos8x22kcos 8x 0 x , k16 8 Bài 48: Giải phương trình: ()447sin x cos x cot g x cot g x *836ππ⎛⎞⎛⎞+= + −⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ Điều kiện sin x 0 sin x 0332sin 2x 03sin x 0 cos x 063⎧⎧ππ⎛⎞ ⎛⎞+≠ +≠⎜⎟ ⎜⎟⎪⎪π⎪⎝ ⎠ ⎪⎝ ⎠⎛⎞⇔⇔+⎨⎨⎜⎟ππ⎝⎠⎛⎞ ⎛⎞⎪⎪−≠ + ≠⎜⎟ ⎜⎟⎪⎪⎝⎠ ⎝⎠⎩⎩≠ [...]... Khi giải các phương trình lượng giác có chứa tgu, cotgu, có ẩn ở mẫu, hay chứa căn bậc chẵn ta phải đặt điều kiện để phương trình xác định. Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra điều kiện xem có nhận nghiệm hay không. + Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện thử lại xem có thỏa Hoặc + Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại... các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện. Hoặc + So vơi các điều kiện trong quá trình giải phương trình. Bài 43 : Giải phương trình ( ) 2 tg x tgx.tg3x 2 *−= Điều kiện 3 cos x 0 cos 3x 4 cos x 3 cos x 0 ≠ ⎧ ⎨ =−≠ ⎩ ππ ⇔≠⇔≠+ h cos3x 0 x 63 Lúc đó ta coù (*) ⇔ () tgx tgx tg3x 2− = ⇔ sin x sin x... 9x += + ⇔ cos x 1 = ⇔ ( ) xk2kZ=π∈ Bài 37 : Giải phương trình ⇔ 2 2 2cos x 4cos x cos 2x = ( ) Do sin x 0≠ ⇔ cos x 0 1 2 cos 2x = ⎡ ⎢ ⎢ = ⎣ ⇔ () ⎡ ⎛⎞ = ≠≠± ⎢ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢ ⎝⎠ ⎢ π ⎢ == ≠ ⎣ 2 cosx 0 Nhậndocosx và 1 2 1 cos 2x cos , nhận do sin x 0 23 ⇔ π ⎡ =+π ⎢ ⎢ π ⎢ =± + π ⎢ ⎣ xk 2 xk 6 () ∈kZ Baøi 47 : Giải phương trình: () 22 cot g x tg x 16 1 cos 4x cos 2x − =+ Ta coù... 0 cos 2x 0 2x k , k 2 k x,k 42 Bài 55 : Giải phương trình () 2 tg x x 2 2 2 .cot g 2x.cot g3x tg x cot g 2 cot g3x *=− + cosx 0sin2x 0sin3x 0 ≠∧ ≠∧ ≠ Điều kiện : ⇔ 3 3 sin 4x sin 4x 4 = ⇔ 3 3sin 4x 4 sin 4x 0 − = ⇔ sin12x = 0 ⇔ ⇔ 12x k =π () k xk 12 Z π =∈ Bài 34 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2002) Giải phương trình : ( ) 22 22 sin 3x cos 4x sin 5x cos 6a *−=− ... x,k 229 Bài 35 : Giải phương trình ()() sin x sin 3x sin 2x cos x cos 3x cos 2x++=++ ⇔ 2sin 2x cos x sin 2x 2cos2x cos x cos 2x += + ⇔ ()( ) += +sin 2x 2 cos x 1 cos 2x 2 cos x 1 ⇔ ()( ) 2cos x 1 sin 2x cos 2x 0+ −= ⇔ 12 cos x cos sin 2x cos 2x 23 π =− = ∨ = ⇔ 2 xk2tg2x1 34 tg π π =± + π∨ = = ⇔ () π ππ =± + π∨ = + ∈ 2 xk2xk,k 382 Z Bài 36: Giải phương trình ( ) ++ =+ 23 cos10x... thể dễ dàng chứng minh : 2 tgx cot gx sin 2x += Vaäy (*) ⇔ () 2 2 11 tgx cot gx 2 1 sin x 3 ⎛⎞ +−+−= ⎜⎟ ⎝⎠ 1 ⇔ 2 52 sin 2x 3 = 0 Bài 45 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2003) Giải phương trình () 222 xx sin tg x cos 0 * 24 2 π ⎛⎞ −−= ⎜⎟ ⎝⎠ Điều kiện : cos x 0 sin x 1 ≠⇔ ≠± lúc đó : (*) ⇔ [] 2 2 1sinx1 1cosx 1cosx 0 22cosx2 ⎡π⎤ ⎛⎞ − −−+ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ = ⇔ () () () 2 2 1sinx1cosx 1cosx... 0 1sinx − −+ = + ⇔ () 1cosx 1cosx 1 0 1sinx − ⎡⎤ +− ⎢⎥ + ⎣⎦ = = ⇔ ()( ) 1 cos x cos x sin x 0+−− ⇔ () cosx 1 nhaändocosx 0 tgx 1 =− ≠ ⎡ ⎢ =− ⎣ ⇔ =π+ π ⎡ ⎢ π ⎢ =− + π ⎣ xk2 xk 4 Bài 46 : Giải phương trình ()( ) 2 sin 2x cot gx tg2x 4 cos x *+= Điều kiện : ⇔ sin x 0 cos 2x 0 ≠ ⎧ ⎨ ≠ ⎩ 2 sin x 0 2cos x 1 0 ≠ ⎧ ⎨ − ≠ ⎩ ⇔ cos x 1 2 cos x 2 ≠± ⎧ ⎪ ⎨ ≠± ⎪ ⎩ Ta coù : cos x sin 2x cot gx... ππ ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ +−=++ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ = Luùc ñoù: (*) 2 17 1sin2x 28 ⇔− = () 11 1cos4x 48 ⇔− − =− ⇔= ππ ⇔=±+π⇔=±+ 1 cos 4x 2 k 4x k2 x 31 π 22 (nhaän do 3 tg2x 3 3 =± ≠ ) Bài 49: Giải phương trình () 1 2tgx cot g2x 2sin 2x * sin 2x +=+ Điều kiện: cos 2x 0 sin 2x 0 cos 2x 1 sin 2x 0 ≠ ⎧ ⇔ ≠⇔ ≠± ⎨ ≠ ⎩ Lúc đó: (*) 2sinx cos2x 1 2sin2x cos x sin 2x sin 2x ⇔+= + () () () () () () ⇔+=... sin x cos 2x 2 sin 2x 1 4sin x 1 2sin x 8sin xcos x 1 2sin x 1 4cos x 0 2sin x 1 2 1 cos2x 0 sin x 0 loaïi do sin 2x 0 sin x 0 12 cos2x cos nhaän docos2x 1 23 2 2x k2 k Z 3 xk,k 3 Bài 51: Giải phương trình: () () 3sinx tgx 21 cosx 0* tgx sin x + −+ = − () Thì ()( ) cos 3x cos 3t cos 3t cos 3t=−π=π−=− Vậy (*) thành =− 3 8cos t cos3t ⇔ 33 8cos t 4cos t 3cost =− + ⇔ 3 12 cos t 3 cos t 0 −... kiện 220 k5k x thì cos5x cos cos 22 ππ === k 2 π (loại nếu k lẻ) ππ ππ ⎛⎞ =+ = + ≠ ⎜⎟ ⎝⎠ 20 10 kk xthìcos5xcos 0nhận 4 2 π π =π∨ = + k xh x 20 10 Do đó : (*) ⇔ , với k, h ∈  Bài 54 : Giải phương trình () 44 sin x cos x 1 tgx cot g2x * sin 2x 2 + =+ () Điều kiện : Ta có : sin 2x 0 ≠ ( ) 2 44 22 2 sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x+= + − 2 2 1 1sin2 2 =− x sin x cos 2x tgx cot . chú : Khi giải các phương trình lượng giác có chứa tgu, cotgu, có ẩn ở mẫu, hay chứa căn bậc chẵn... ta phải đặt điều kiện để phương trình xác đònh. Ta. Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN =+ π⎡=⇔⎢=π− + π⎣uvk2sin u sin vuvk2 cos u cos v u v k2=⇔=±+π