Phương trình lượng giác cơ bản

Trang 1

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

⎡

⎣

u v k2 sin u sin v

cosu cos v= ⇔ = ± +u v k2π

π

⎧ ≠ + π

⎪

⎪ = + π

⎩

u v k '

(k, k ' Z∈ )

u k cot gu cot gv

u v k '

≠ π

⎧

⎩

Đặc biệt : sin u 0= ⇔ = πu k cos u 0= ⇔ =u π+ πk

2

(

2

π

= ⇔ = + π ∈ ) cosu 1= ⇔ =u k2π (k Z∈ )

2

π

= − ⇔ = − + π cosu = − ⇔ = π +1 u k2π Chú ý : sin u 0≠ ⇔ cosu ≠ ±1

cosu 0≠ ⇔ sin u ≠ ± 1

Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002)

x∈ 0,14 nghiệm đúng phương trình

Tìm

( )

cos 3x 4 cos 2x 3cos x 4 0 *− + − =

Ta có (*) : ⇔ (4 cos x 3cos x3 − ) (−4 2 cos x 12 − )+3cos x 4 0− =

⇔ 4 cos x 8cos x 03 − 2 = ⇔ 4 cos x cos x 22 ( − )= 0

⇔ cos x 0 hay cos x 2 loại vì cos x 1= = ( ≤ )

2

π

Ta có : x [0,14] 0 k 1

π

π Mà k∈Z nên k∈{0,1,2,3} Do đó : x ,3 5 7, ,

2 2 2 2

π π π π

Giải phương trình :

(2 cos x 1 2sin x cos x− )( + ) =sin 2x sin x *− ( )

Trang 2

Ta có (*) ⇔ (2 cos x 1 2sin x cos x− )( + )=sin x 2 cos x 1( − )

⇔ (2cos x 1− ) (⎡⎣ 2sin x cos x+ )−sin x⎤⎦ =0

)

⇔ (2 cos x 1 sin x cos x− )( + =0

⇔ cos x 1 sin x cos x

2

⇔ x = ± +π k2π ∨ = − + πx π k , k( ∈ )

Bài 30 : Giải phương trình cos x cos2x cos3x cos4x 0(*) + + + =

Ta có (*) ⇔ (cos x cos 4x+ ) (+ cos 2x cos 3x+ )= 0

⇔ 2cos5x.cos3x 2cos5x.cosx 0

⇔ 2cos5x cos3x cosx 0

⇔ 4 cos5xcos x cosx 0

⇔ cos5x 0 cos x 0 cosx 0

⇔ 5x = π + π ∨ =k x π + π ∨k x = π + πk

⇔ x = π + 2kπ∨ =x π + π ∨ = π + πk x 2 ,( ∈ )

Bài 31: Giải phương trình sin x sin 3x cos 2x cos 4x *2 + 2 = 2 + 2 ( )

Ta có (*) ⇔ 1(1 cos 2x) 1(1 cos6x) 1(1 cos 4x) 1(1 cos 8x)

⇔ −(cos 2x cos 6x+ ) =cos 4x cos 8x+

⇔ −2cos4x cos2x 2cos6x cos2x=

⇔ 2 cos 2x cos 6x cos 4x( + )= 0

⇔ 4 cos2x cos5x cos x 0=

⇔ cos2x 0 cos5x 0 cos x 0= ∨ = ∨ =

⇔ 2x = π + π ∨k 5xπ+ π ∨ =k x π + π ∈ k , k

⇔ x = π + kπ ∨ =x π + kπ ∨ =x π + πk

Bài 32 : Cho phương trình

( )

π

Tìm các nghiệm của phương trình thỏa: x 1− < 3

Trang 3

Ta có : (*)⇔ sin x.cos 4x 1(1 cos 4x) 2 1 cos x 7

2

⇔ sin x cos 4x− +1 1cos 4x = − −3 2sin x

⇔ sin x cos4x 1cos4x 1 2sin x 0

2

⇔ ⎛⎜ + ⎞⎟+ ⎛⎜ + ⎞⎟ =

2

⇔

1

= −

⎡

⎢

π

⎛

⎣

⎞ ⇔

π

⎡ = − + π

⎢

⎢ π

⎢⎣

6 7

6

2 h

Ta có : x 1− <3 ⇔ − < − <3 x 1 3 ⇔ − < <2 x 4

6

π

− < − + π < 4

− < π < + ⇔ 1 1 k 2 1

12 − π < < π +12

Do k∈Z nên k = 0 Vậy x

6

π

= − π

− <2 7 +h2π <

⇔ − − π < π < − π ⇔ − − < < −

7 12

⇒h = 0 ⇒ x = 7π

6 .Tóm lại

Cách khác : sin x = − ⇔ = −1 x ( 1)k −π + πk , k∈

Vậy : − < − −π + π < ⇔ − < − − + <

4

⇔ k=0 và k = 1 Tương ứng với x = −πhay x = 7π

Bài 33 : Giải phương trình

( )

sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x *+ =

Ta có : (*)⇔ sin x 4 cos x 3cos x3 ( 3 − )+cos x 3sin x 4 sin x3 ( − 3 )= sin 4x3

⇔ 4sin x cos x 3sin x cos x 3sin x cos x 4sin x cos x sin 4x3 3 − 3 + 3 − 3 3 = 3

⇔ 3sin x cos x cos x sin x( 2 − 2 ) =sin 4x3

⇔ 3 sin2xcos2x sin 4x3

Trang 4

⇔ 3 sin4x sin 4x3

⇔ 3sin 4x 4sin 4x 0− 3 =

⇔ sin12x = 0

⇔ 12x k= π ⇔ x k (k )

π

Bài 34 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2002)

( )

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6a *− = −

Ta có : (*)⇔

1 1 cos 6x 1 1 cos 8x 1 1 cos10x 1 1 cos12x

⇔ cos6x cos8x cos10x cos12x+ = +

⇔ 2cos7x cos x 2cos11x cos x=

⇔ 2 cos x cos7x cos11x( − ) =0

⇔ cos x 0 cos7x cos11x= ∨ =

⇔ x = π + π ∨k 7x= ±11x k+ π

⇔ x = π + π ∨ = −k x kπ∨ =x kπ, k∈

(sin x sin 3x+ )+sin 2x =(cos x cos 3x+ )+cos 2x

⇔ 2sin 2x cos x sin 2x 2cos2x cos x cos2x+ = +

⇔ sin 2x 2 cos x 1( + ) =cos 2x 2 cos x 1( + )

⇔ (2 cos x 1 sin 2x cos 2x+ )( − ) =0

⇔ cos x 1 cos2 sin 2x cos 2x

π

⇔ x = ±2π+k2π ∨ =x π +k , kπ ( ∈ )

Bài 36: Giải phương trình

( )

cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x.cos x cos x 8 cos x cos 3x *

Ta có : (*)⇔ cos10x+(1 cos 8x+ ) =cos x 2cos x 4 cos 3x 3cos 3x+ ( 3 − )

⇔ (cos10x cos 8x+ )+ =1 cos x 2 cos x.cos 9x+

⇔ 2cos9x cos x 1 cos x 2cos x.cos9x+ = +

⇔ cos x 1=

⇔ x k2 k Z= π( ∈ )

Trang 5

( )

4 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0 *+ − − =

Ta có : (*) ⇔ sin x 4 sin x 3( 2 − )−cos x sin x 3cos x( 2 − 2 ) =0

⇔ sin x 4 sin x 3( 2 − )−cos x sin x 3 1 sin x⎡⎣ 2 − ( − 2 )⎤⎦ = 0

=

⇔ (4 sin x 3 sin x cos x2 − ) ( − ) 0

⇔ ⎡⎣2 1 cos 2x( − )−3 sin x cos x⎤⎦( − ) 0

⇔

sin x cos x

π

⎢

=

⎣

⇔

2

3 tgx 1

π

⎢

=

⎣

⇔ x 3 k

4

π

⎡ = ± + π

⎢

⎢ π

⎢ = + π

⎢⎣

(k Z∈ )

Bài 38 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005)

( )

sin x cos x 1 sin 2x cos 2x 0 *+ + + + =

Ta có : (*) ⇔ sin x cos x 2sin x cos x 2cos x 0+ + + 2 =

⇔ sin x cos x 2 cos x sin x cos x+ + ( + )= 0

⇔ (sin x cos x 1 2 cos x+ )( + ) =0

⇔

sin x cos x

= −

⎡

⎣

⇔

2

3

= −

⎡

⇔

4 2

3

π

⎡ = − + π

⎢

π

⎢⎣

(k Z∈ )

(2sin x 1 3cos 4x 2sin x 4+ )( + − )+4 cos x 3 *2 = ( )

Ta có : (*) ⇔ (2sin x 1 3cos 4x 2sin x 4+ )( + − )+4 1 sin x( − 2 )− =3 0

⇔ (2sin x 1 3cos 4x 2sin x 4+ )( + − ) (+ 1 2sin x 1 2sin x+ )( − )= 0

⇔ (2sin x 1 3cos 4x 2sin x 4+ )⎡⎣ + − +(1 2sin x− )⎤⎦ = 0

=

⇔ 3 cos 4x 1 2sin x 1( − )( + ) 0

π

Trang 6

⇔ 4x k2= π ∨ = − +x π k2π ∨ =x 7π+k2

⇔ x = kπ∨ = − +x π k2π ∨ =x 7π +k2 , kπ ( ∈ )

sin x cos x 2 sin x cos x *

Ta có : (*) ⇔ sin x 2sin x cos x 2cos x 06 − 8 + 6 − 8 =

⇔ sin x 1 2sin x6 ( − 2 )−cos x 2cos x 16 ( 2 − )= 0

⇔ sin x cos 2x cos x.cos 2x 06 − 6 =

⇔ cos 2x sin x cos x( 6 − 6 )= 0

⇔ cos2x 0 sin x cos x= ∨ 6 = 6

⇔ cos2x 0 tg x 1= ∨ 6 =

2

π

= + ,k ∈

( )

1 cos x.cos 2x.cos 4x.cos 8x *

16

=

Ta thấy x k= π không là nghiệm của (*) vì lúc đó

cos x = ±1,cos2x cos4x cos8x 1= = =

(*) thành : 1 1

16

± = vô nghiệm Nhân 2 vế của (*) cho 16sin x 0≠ ta được

(*)⇔ (16sin x cos x cos 2x.cos 4x.cos 8x sin x) = và sin x 0≠

⇔ (8sin 2x cos 2x cos 4x.cos 8x sin x) = và sin x 0≠

⇔(4 sin 4x cos 4x cos 8x sin x) = và sin x 0≠

⇔ 2sin 8x cos8x sin x= và sin x 0≠

⇔ sin16x sin x= và sin x 0≠

⇔x = k2π ∨ =x π + kπ, k( ∈ )

Do : x h= π không là nghiệm nên k 15m và ≠ 2k 1 17n n, m Z+ ≠ ( ∈ )

Bài 42: Giải phương trình 8cos 3 x cos 3x *( )

3

π

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Trang 7

Thì cos 3x cos 3t= ( − π =) cos(π − 3t) = −cos 3t

Vậy (*) thành 8 cos t3 = −cos 3t

⇔ 8 cos t3 = −4 cos t 3cos t3 +

⇔12 cos t 3cos t 03 − =

⇔ 3 cos t 4 cos t 1( 2 − )= 0

⇔ 3 cos t 2 1 cos 2t⎡⎣ ( + )−1⎤⎦ = 0

⇔cos t 2 cos 2t 1( + ) =0

⇔cos t 0 cos 2t 1 cos2

π

⇔t =(2k 1+ )π ∨2t = ±2π+k2

⇔t = π + π ∨ = ± + πk t π

Mà x t

3

π

= −

Vậy (*)⇔ x = π +k2π ∨ = π ∨ =x k x 2π+ πk , vớik( ∈ )

Ghi chú :

Khi giải các phương trình lượng giác có chứa tgu, cotgu, có ẩn ở mẫu, hay chứa căn bậc chẵn ta phải đặt điều kiện để phương trình xác định Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra điều kiện xem có nhận nghiệm hay không

+ Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện thử lại xem có thỏa

Hoặc + Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng

một đường tròn lượng giác Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện

Hoặc + So vơi các điều kiện trong quá trình giải phương trình

Bài 43 : Giải phương trình tg x tgx.tg3x 2 *2 − = ( )

Điều kiện cos x 0 3

cos 3x 4 cos x 3 cos x 0

≠

⎧

⎨

⎩

π π

⇔ ≠ ⇔ ≠ + h cos3x 0 x

6 3 Lúc đó ta có (*) ⇔tgx tgx tg3x( − )= 2

cos x cos x cos 3x

⇔sin x sin x cos 3x cos x sin 3x( − )= 2 cos x cos 3x2

⇔sin x sin 2x(− ) =2 cos x.cos 3x2

⇔−2sin x cos x 2 cos x cos 3x2 = 2

⇔−sin x cos x cos 3x2 = (do cosx 0≠ )

⇔ 1(1 cos 2x) 1(cos 4x cos 2x)

⇔ cos 4x= − ⇔1 4x = π +k2π

Trang 8

⇔x k (k )

so với điều kiện

Cách 1 : Khi x k

π

= + π thì cos 3x cos 3 3k 2 0 nhận( )

Cách 2 : Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm ta thấy không có ngọn cung nào trùng nhau Do đó :

Lưu ý cách 2 rất mất thời gian

Cách 3 :

Nếu 3x = 3π + 3kπ = π +h

h 6k

Thì 3 6k 2 4h+ = +

⇔1 4= −

⇔ =1 2h 3k−

2 (vô lý vì k, h Z) ∈

( )

tg x cot g x cot g 2x *

3

Điều kiện

cos x 0

sin 2x 0

≠

⎧

⎨

⎩

Do đó :

11

cos x sin x 4 sin x cos x+ + = 3

20

⇔4 sin x 4 cos x 1 202 2 22

=

sin 2x = 3

0

⇔sin 2x2 3

4

= (nhận do sin2x ≠ ) 0

⇔1(1 cos 4x) 3

⇔cos 4x 1 cos2

π

= − =

3

π

Trang 9

Chú ý : Có thể dễ dàng chứng minh : tgx cot gx 2

sin 2x

2

sin 2x = 3

0

Giải phương trình

( )

π

Điều kiện : cos x 0≠ ⇔ sin x≠ ±1

lúc đó :

2

1 sin x 1 cos x

1 sin x

−

⇔ 1 cos x2 (1 cos x) 0

1 sin x

+

1 sin x

−

+

=

⇔(1 cos x+ )(−cos x sin x− ) 0

⇔ cos x 1 nhậndo cos x 0( )

⎡

⎣

⇔

= π + π

⎡

⎢ = − + π

⎣

4

sin 2x cot gx tg2x+ =4 cos x *

Điều kiện : sin x 0 ⇔

cos 2x 0

≠

⎧

sin x 0 2cos x 1 0

≠

⎧

⎨

− ≠

cos x 1

2 cos x

2

≠ ±

⎧

⎪

⎨

≠ ±

⎪⎩

Ta có : cot gx tg2x cos x sin 2x

sin x cos 2x

cos2x cos x sin 2x sin x

sin x cos 2x

+

=

cos x

sin x cos 2x

=

2

cos x

sin x cos 2x

Trang 10

⇔ 2cos x 4cos x2 2

cos 2x = (Do sin x 0≠ )

⇔

cos x 0

cos2x

=

⎡

⎢

⎣

⇔

⎣

2 cos x 0 Nhận do cos x và 1

2 1

cos 2x cos , nhận do sin x 0

⇔

π

⎡ = + π

⎢

π

⎢ = ± + π

⎢⎣

2

6

(k Z∈ )

Bài 47 : Giải phương trình:

cot g x tg x 16 1 cos4x cos 2x

cos x sin x cot g x tg x

sin x cos x

cos x sin x42 24 4 cos2x2

sin x cos x sin 2x

−

Điều kiện : sin 2x 0 ⇔ si

cos 2x 0

≠

⎧

sin 2x

2

1 4 1 cos 4x sin 2x

1 2 1 cos 4x 1 cos 4x

1 2 1 cos 4x 2 sin 4x

1 sin 4x nhận do sin 4x 0

2

1 1 cos 8x 1

k

Bài 48: Giải phương trình: sin x cos x4 4 7cot g x cot g x *( )

Điều kiện

3

≠

Trang 11

1sin 2x 3cos2x 0

Ta có: sin x cos x4 4 (sin x cos x2 2 )2 2sin x.cos x 12 2 1sin 2x2

2

Lúc đó: (*) 1 1sin 2x2 7

1(1 cos 4x) 1

⇔ =

1 cos 4x

2

k

π

(nhận do tg2x 3 3

3

Bài 49: Giải phương trình 2tgx cot g2x 2sin 2x 1 ( )*

sin 2x

Điều kiện: cos2x 0 sin 2x 0 cos2x 1

sin 2x 0

≠

⎧

⎩ Lúc đó: (*) 2sin x cos 2x 2sin 2x 1

⎢

≠

⎢⎣

π

2

4 sin x cos 2x 2 sin 2x 1

2

3

Bài 51: Giải phương trình: 3 sin x tgx( ) ( )

2 1 cos x 0 * tgx sin x

+

Trang 12

Điều kiện : tgx sin x 0− ≠ ⇔ sin x sinx 0

⇔ sin x 1 cos x( )

0 cos x

−

≠ ⇔

sin x 0

cos x 1

≠

⎧

⎨

⎩

3 sin x tgx cot gx

tgx sin x cot gx

+

−

1 cos x

+

−

3 2 0 do sin x 0 nên cos x 1 0

1 cos x

⇔ 1 2cos x 0+ =

⇔ cos x 1

2

= − (nhận so với điều kiện)

⇔ x = ±2π+k2 , kπ ∈

3

1 cos x 1 cos x tg x sin x 1 1 sin x tg x *

−

Điều kiện : cos x 0

sin x 1

≠

⎧

1 sin x

+

⇔ (1 cos x 1 sin x+ 2 ) ( + )−2sin x3 = (1 sin x 1 sin x+ ) ( − 2 )+2sin x2

⇔ (1 sinx 1 cos x+ ) ( + 2 ) =(1 sin x cos x 2sin x 1 sin x+ ) 2 + 2 ( + )

1 cos x cos x 2sin x

⎡

⇔ ⎡⎢ = −⎣1 1 cos 2xsin x = −1 ( loại do cos x 0 )≠ ⇔ cos2x = 0

2

π

= + π (nhận do cosx ≠ 0)

( )

cos 3x.tg5x sin 7x *=

Điều kiện cos5x 0≠

Lúc đó : (*) ⇔ cos3x.sin 5x sin7x

cos5x =

Trang 13

sin5x.cos3x sin7x.cos5x=

⇔

1 sin 8x sin 2x 1 sin12x sin 2x

⇔

sin 8x sin12x=

⇔

12x 8x k2= + π ∨ 12x= π −8x k2+ π

⇔

10

So lại với điều kiện 2 20

2π (loại nếu k lẻ)

20 10

sin x cos x 1 tgx cotg2x *

+

Điều kiện :

Ta có :

sin 2x 0≠

sin x cos x+ = sin x cos x+ −2sin x cos x2 2

1

2

sin x cos 2x tgx cot g2x

cos x sin 2x

sin 2x sin x cos x cos2x

cos x sin 2x

+

=

cos x sin 2x sin 2x

−

π

2

2 2 2

1

2

Do đó : (*)

sin 2x 1 nhận do sin 2x 0 cos 2x 0

2 k

( )

2

tg x.cot g 2x.cot g3x tg x cot g 22 = 2 − 2 x+cot g3x *

cos x 0 sin 2x 0 sin 3x 0≠ ∧ ≠ ∧ ≠ Điều kiện :

Trang 14

sin 2x 0 sin 3x 0

π

cot g3x 1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 2x 1 cos 4x

1 cos2x 1 cos4x 1 cos 4x 1 cos2x

cot g3x 2cos 4x 2cos 2x 2 cos 4x cos 2x

cos 3x 4sin3xsinx 4 cos 3x cos x

sin 3x

cos3x sin x cos3x cos x do sin 3x 0

cos3x 0 sin x cos x

2

4 điều kiện: sin

* Khi x = π + kπ

6 3 thì

2k

+

⎠

1 2k

Luôn đúng

⎜

∀k thỏa 2k 1+ ≠ 3m m Z∈

* Khi x = π + πl thì ⎛⎜π + π⎞⎟ ⎛⎜ π + π = ±⎞⎟

luôn đúng

Do đó: (*)

⎢

⇔ ⎢

π

⎢ = + π ∈

⎢⎣

k

4

)

Cách khác:

−

(*) cotg3x tg x cot g 2x 1 tg x cot g 2x

tg 2x.tg x 1

tg x cot g 2x cot g3x

tg x cot g 2x 1 tg x tg 2x (1 tg2x.tgx ) (1 tg2x.tgx ) cot g3x

(tg2x tgx) ( tg2x tgx) cot g3x cot gx.cotg3x cos 3x 0 sin x cos x

BÀI TẬP

Trang 15

⎝ ,3 ⎠ 3

1 Tìm các nghiệm trên của phương trình:

⎞

Tìm các nghiệm x trên ⎛⎜ π⎞⎟

2

⎝ 2 ⎠0, của phương trình 4x cos 6x sin 10,5 10x

3 Giải các phương trình sau:

x cos x 2 sin x+ = + s x

b/ sin x sin 2x sin 3x 3

cos x cos2x cos3x

c/ tg x2 1 cos x

1 sin x

+

=

− d/ tg2x tg3x tg5x tg2x.tg3x.tg5x− − =

e/ cos x cos x4 2

π

2 i/ 2tgx cot g2x 3

sin 2x

sin 4x

k/ sin x sin 2x sin 3x 22 + 2 + 2 =

l/ si 2n x 2cos x 0

in x +

m/ 25 4x 3sin 2 x 8sin x− 2( π + π ) =0

n/ sin x.cot g5x 1

sin 8x

p/ 2sin 3x 1 4 sin x( − 2 )=1

q/ tg2x 1 cos x+

1 sin x

=

− r/ cos3xcos 3x sin x sin x3 3 2

4

t/ cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 03 − 3 − 2 + =

u/ sin4 x cos4 x 1 2sin x

Trang 16

v/ sin x3 sin 2x.sin x

4

2 sin x sin 3x

tg x 1

cos x

− + =

2

⎠

⎝

4 Cho phương trình: ( )( +2s x m+ ) = −3 4 cos x 12 ( )

a/ Giải phương trình khi m = 1

2sin x 1 2cos 2x− in

[ ]0, π

b/ Tìm m để (1) có đúng 2 nghiệm trên

m 0 m= ∨ < − ∨1 m 3

5 Cho phương trình:

( )

5

4 cos x sin x 4 sin x.cos x sin 4x m 1− 5 = 2 +

Biết rằng x = π là một nghiệm của (1) Hãy giải phương trình trong trường hợp đó

Th.S Phạm Hồng Danh

TT luyện thi Đại học CLC Vĩnh Viễn

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	289,52 KB