Giáo án toán 11 – Phương trình lượng giác cơ bản

Mục tiêu của bài dạy về kiến thức: Giúp học sinh - Hiểu phương pháp xây dựng công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản (sử dụng đường tròn lượng giác, các trục sin, côsin, tang, côtang và tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác) Nắm vững các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản

Tr­êng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU TIẾT 7-12: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I MỤC TIÊU BÀI DẠY: Về kiến thức: Giúp học sinh - Hiểu phương pháp xây dựng công thức nghiệm phương trình lượng giác (sử dụng đường trịn lượng giác, trục sin, cơsin, tang, cơtang tính tuần hồn hàm số lượng giác) - Nắm vững công thức nghiệm phương trình lượng giác Về kĩ năng: - Giúp học sinhBiết vận dụng thành thạo công thức nghiệm phương trình lượng giác bản; - Biết cách biểu diễn nghiệm phương trình lượng giác đường tròn lượng giác Về thái độ, tư duy: II CHUẨN BỊ: Về phía thầy:: Đồ dùng dạy học thước kẻ, com pa,.bảng in đồ thị HSLG Về phía trị:: Đồ dùng học tập thước kẻ, com pa, , III GỢI Ý PHƯƠNG PHÁP: Gợi mở ,vấn đáp IV TIẾN TRÌNH BÀI DẠY: TIẾT Kiểm tra cũ: Hoạt động thầy Hoạt động trò Nhắc lại định nghĩâ, tính chất, biến thiên Học sinh làm theo yêu cầu gv HSLG Nội dung mới: Hoạt động thầy Hoạt động trò Phương trình sinx = m a Để làm ví dụ, ta xét phương trình cụ thể, chẳng hạn: H1: Tìm nghiệm phương trình (1) Để tìm tất nghiệm (1), ta làm ? sinx = (1) Để tìm tất nghiệm (1), ta làm sau: Xét đường tròn lượng giác gốc A Trên trục sin, ta lấy điểm K cho OK  Tr­êng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO B x M2 1/2 K A' M1 trôc sin /6 Đường thẳng qua K vuông góc với trục sin cắt đường trịn lượng giác điểm M1 M2; điểm đối xứng với qua trục sin (h 1.19) Ta có : sin(OA, OM1)= A B' Dễ thấy, số đo (rađian) góc lượng giác (OM, OM1) (OA, OM2) tất nghiệm (1) Lấy nghiệm tuỳ ý (1), chẳng hạn x = VŨ MINH THU  Khi góc (OA, OM1) có số đo   k2 ; góc (OA, OM2) có số đo     k2  , (k  Z) sin(OA, OM2) = OK  Vậy : sin x  x      x   k2   k2 (k  Z) Sử dụng kí hiệu "[" thay cho từ "hoặc", ta viết lại kết sau    x   k2 sin x    k  Z  x      k2   b Giả sử m số cho Xét phương (I) Hiển nhiên phương trình (I) xác định với trình: sinx = m x  R Làm tương tự phương trình (1), ta Ta biết, sinx  với x Do đó, phương có trình (I) vô nghiệm m > Mặt khác, x Nếu  nghiệm thay đổi, sinx nhận giá trị từ -1 đến nên phương trình (I), phương trình (I) ln có nghiệm m  nghĩa sin = m Kể từ đây, gọn, ta quy ước  x    k2 biểu thức nghiệm phương trình sin x  m    k  Z  (Ia) x      k2  lượng giác có chứa k mà khơng giải thích  thêm ta hiểu k nhận giá trị thuộc Z Ta nói x =  + k2 x =  -  + Chẳng hạn x =  + k2 có nghĩa x lấy giá k2 họ nghiệm phương trình (I) trị thuộc tập hợp Ví dụ 1: Giải phương trình sau: {,   2,   4,   6, } 1) sinx =  Giải phương trình ; 2) sinx = Giải   1) Do sin      nên  3 Tr­êng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU   x    k2   3   sin x    sin x  sin       x        k2   3          x    k2 2 2) Vì  nên có số  để sin = Do   3  x    k2    x    k2  sin x   sin x  sin     x      k2  H2: Giải phương trình sin x  2 H3: Trên đồ thị hàm số y = sinx (h 1.20), điểm có hồnh độ khoảng (0; 5) nghiệm phương trình sinx = Ví dụ 2: Tìm số x thoả mãn phương trình     sin  2x    sin   x  5  5  Giải Trong mặt phẳng toạ độ, vẽ đồ thị (G) hàm số y = sinx đường thẳng (d): y = m hồnh độ giao điểm (d) (G) (nếu có) nghiệm phương trình sinx = m CHÚ Ý:  Khi m  [0; 1], cơng thức (Ia) viết gọn sau:   k2   sin x  1  x    k2 sin x   x  k sin x   x     2x    x  k2   5      Dễ thấy với m cho trước mà m  1, sin  2x    sin   x        5      phương trình sinx = m có nghiệm  2x       x   k2      nằm đoạn   ;  Người ta thường 2   2 2 x  k2   x  k2 kí hiệu nghiệm arcsinm (đọc ác-sin    m) Khi  x    k 2 3x    k2  3  x  arcsin m  k2  sin x  m   2  x    arcsin m  k2  Vậy số x phải tìm x   k2  Tr­êng THPT Lê Quý Đôn x  2  k ,kZ 3 H4: Giải phương trình sin2x = sinx ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU Vậy ví dụ 1, câu 2) viết  x  arcsin  k2   sin x     x    arcsin  k2   Từ (Ia) ta thấy rằng: Nếu   số thực sin = sin có số nguyên k để  =  + k2  =  -  + k2, k  Z 3.Củng cố:Nhắc lại cơng thức nghiệm phương trình lượng giác sinx = m 4.Hướng dẫn vè nhà: Làm tập Tr­êng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU TIẾT Kiểm tra cũ: Hoạt động thầy Nhắc lại công thức nghiệm phương trình lượng giác sinx = m Làm tập Nội dung mới: Hoạt động thầy Hoạt động trò Học sinh làm theo yêu cầu gv Hoạt động trị (l) B + M1 A' trơc cosin m H A M2 B' Do m  nên đường thẳng (l) cắt đường tròn lượng giác điểm M M2 Hai điểm đối xứng qua trục côsin (chúng trùng m = 1) Ta thấy số đo góc lượng giác (OA, OM1) (OA, OM2) tất nghiệm (II) Nếu  số đo góc chúng nói cách khác,  nghiệm (II) góc có số đo  + k2 - + k2 H5: Giải phương trình sau : cosx =  2 H6: Hãy giải phương trình cos (2x + 1) = cos (2x - 1) Phương trình cosx = m Xét phương trình: cosx = m (II) m số cho trước Hiển nhiên phương trình (II) xác định với x  R Dễ thấy rằng: Khi m > 1, phương trình (II) vơ nghiệm Khi m  1, phương trình (II) ln có nghiệm Để tìm tất nghiệm (II), trục côsin ta lấy điểm H cho OH = m Gọi (l) đường thẳng qua H vng góc với trục cơsin (h 1.12) Vậy ta có: Nếu  nghiệm phương trình (II), nghĩa cos = m  x    k2  cos x  m    x    k2  CHÚ Ý  Đặc biệt, m  {0; 1}, cơng thức (IIa) viết gọn sau: cos x   x  k2  cos x  1  x    k2   cos x   x   k (IIa) Tr­êng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU  Dễ thấy với số m cho trước mà m  1, phương trình cosx = m có nghiệm nằm đoạn [0; ] Người ta thường kí hiệu nghiệm arccos m (đọc ác-cơsin m) Khi đó:  x  arccos m  k2  cos x  m    x   arccos m  k2  mà thường viết x =  arccos m + k2  Từ (IIa) ta thấy rằng: Nếu   số thực cos = cos có số nguyên k để  =  + k2, k  Z 3.Củng cố:Nhắc lại cơng thức nghiệm phương trình lượng giác sinx = m., cosx = m 4.Hướng dẫn vè nhà: Làm tập Tr­êng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU TIẾT Kiểm tra cũ: Hoạt động thầy Nhắc lại định nghĩâ, tính chất, biến thiên HSLG Nội dung mới: Hoạt động thầy B + A trôc tang A' T m M1 M2 B' Ta có tan (OA, OM1) = tan (OA, OM2) = AT = m Gọi số đo góc lượng giác (OA, OM1) (OA, OM2) ; nói cách khác,  nghiệm phương trình (III) Khi đó, góc lượng giác (OA, OM1) (OA, OM2) có số đo  + k Đó tất nghiệm phương trình (III) (hiển nhiên chúng thoả mãn ĐKXĐ (III)) Giải Hoạt động trò Học sinh làm theo yêu cầu gv Hoạt động trò Phương trình tan x = m Cho m số tuỳ ý Xét phương trình tanx = m (III) Điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình (III) cos x  Ta biết, x thay đổi, tan x nhận giá trị từ - —> + Do đó, phương trình (III) ln có nghiệm Để tìm tất nghiệm (III), trục tang, ta lấy điểm T cho AT = m Đường thẳng OT cắt đường tròn lượng giác điểm M1 M2 (h 1.22) Vậy ta có: Nếu  nghiệm phương trình (III), nghĩa tan = m tanx = m  x =  + k (IIIa) Ví dụ 3: Giải phương trình sau:   1) Vì -1 = tan    nên tanx =  4   x =   k 2) Gọi  số mà tan = Khi tan x x      k  x  3  k3 3 (Có thể tìm số  thoả mãn tan = cách tra bảng số dùng máy tính bỏ túi Cụ thể   1,249) 1) tanx = -1 x 2) tan =3 Tr­êng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU H7 : Giải phương trình tan2x = tanx CHÚ Ý :  Dễ thấy với số m cho trước, phương trình tanx = m có nghiệm nằm khoảng      ;  Người ta thường kí hiệu nghiệm   arctan m (đọc ác-tang m) Khi : tanx = m  x = arctan m + k  Từ (IIIa) ta thấy : Nếu   số thực mà tan , tan  xác địnhb tan = tan có số nguyên k để  =  + k 3.Củng cố:Nhắc lại cơng thức nghiệm phương trình lượng giác sinx = m., cosx = m, tanx = m 4.Hướng dẫn vè nhà: Làm tập Tr­êng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU TIẾT 10 Kiểm tra cũ: Hoạt động thầy Nhắc lại cơng thức nghiệm phương trình lượng giác sinx = m., cosx = m ; tanx = m Làm tập Hoạt động trò Học sinh làm theo yêu cầu gv Nội dung mới: Hoạt động thầy Hoạt động trò Phương trình cotx = m Cho m số tuỳ ý, xét phương trình cotx = m (IV) ĐKXĐ phương trình (IV) sinx  Tương tự phương trình tanx = m, ta có: Nếu  nghiệm phương trình (IV), nghĩa cot = m cotx = m  x =  + k (IVa) Ví dụ 4: Giải phương trình sau: Giải: 1 1) cotx =  1.Gọi  số mà cot =  , 2) cot3x = tức tan = -3 (chẳng hạn, số máy tính bỏ túi, ta tìm   -1,249) Khi cotx =   x =  + k 2.cot3x =    x= k 12  cot3x = cot  3x =  + k H8: Giải phương trình  2x   = tan    cot  H9: Giải phương trình sau: CHÚ Ý:  Dễ thấy với số m cho trước, phương trình cotx = m có nghiệm nằm khoảng (0; ) Người ta thường kí hiệu nghiệm arccot m (đọc ác-cơtang m) Khi cotx = m  x = arccot m + k Tr­êng THPT Lê Quý Đôn 1) cos(3x – 150) =  ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO 2 2) 2) tan5x = tan 250 VŨ MINH THU Một số điều cần lưu ý + Khi cho số m, ta tính giá trị arcsin m, arccos m (với m  1), arctan m máy tính bỏ túi với phím sin-1, cos-1, tan-1 + Arcsin m, arccos m (với m  1), arctan m arccot m có giá trị số thực + Khi xét phương trình lượng giác ta coi ẩn số x số đo rađian góc lượng giác Trên thực tế, ta cịn gặp tốn u cầu tìm số đo độ góc (cung) lượng giác cho sin (cơsin, tang côtang) chúng số m cho trước chẳng hạn sin (x + 200) = Khi giải phương trình (mà lạm dụng ngơn ngữ, ta gọi giải phương trình lượng giác), ta áp dụng cơng thức nêu lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ “công thức nghiệm” cho thống nhất, chẳng hạn viết x = 300 + k3600 không viết x = 300 + k2 Tuy nhiên, ta quy ước khơng có giải thích thêm phương trình lượng khơng sử dụng đơn vị đo góc độ ẩn số số đo rađian góc lượng giác Ví dụ 5: Giải phương trình sin (x + 200) = Giải Vì = sin 600 nên sin (x + 200) = 200) = sin 600  sin (x +  0  x  20  60  k360  x  40  k360    0 0 0  x  20  180  60  k360  x  100  k360 Tr­êng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU 3.Củng cố:Nhắc lại cơng thức nghiệm phương trình lượng giác sinx = m., cosx = m ,tanx = m, cotx = m 4.Hướng dẫn vè nhà: Làm tập ... k2 H5: Giải phương trình sau : cosx =  2 H6: Hãy giải phương trình cos (2x + 1) = cos (2x - 1) Phương trình cosx = m Xét phương trình: cosx = m (II) m số cho trước Hiển nhiên phương trình (II)... nghiệm phương trình lượng giác sinx = m 4.Hướng dẫn vè nhà: Làm tập Tr­êng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU TIẾT Kiểm tra cũ: Hoạt động thầy Nhắc lại cơng thức nghiệm phương trình lượng. .. xét phương trình cotx = m (IV) ĐKXĐ phương trình (IV) sinx  Tương tự phương trình tanx = m, ta có: Nếu  nghiệm phương trình (IV), nghĩa cot = m cotx = m  x =  + k (IVa) Ví dụ 4: Giải phương