Chuyên đề Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-L10

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC (SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CƠ STRONG TEAM TỐN VD-VDC) Câu Cho VABC có a = 12 , b = 15 , c = 13 a Tính số đo góc VABC b Tính độ dài đường trung tuyến Câu c Tính S , R ,r d Tính , hb , hc Cho VABC có AB = , AC = , góc A = 120° a Tính diện tích VABC BC b Tính cạnh Câu VABC bán kính r ∆ ABC có a = 8, b = 10, c = 13 a) ∆ ABC có góc tù hay khơng? Cho b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp c) Tính diện tích ∆ ABC ∆ ABC µ µ = 45° , b = Tính độ dài cạnh a, c , bán kính đường trịn Câu Cho ∆ ABC có góc A = 60° , B ngoại tiếp diện tích tam giác Câu Cho tam giác · = 60° Tính BC, S∆ ABC , , R ABC có AC = 7, AB = 5, BAC Câu Cho tam giác ABC có mb = 4, mc = 2, a = Tính độ dài cạnh AB, AC Câu Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = diện tích S = 3 Tính cạnh BC Câu Tính bán kính đường trịn nội tiếp Câu Tínhh góc A ∆ ABC biết AB = 2, AC = 3, BC = 2 2 ∆ ABC có cạnh a, b, c thỏa mãn hệ thức b( b − a ) = c( a − c ) Câu 10 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- tanA c2 + a2 − b2 = a tanB c2 + b2 − a2 c2 = (a − b)2 + 4S b c S = d S= e a = f 1− cosC sinC 2R2.sinA.sinB.sinC uuur2 uuur2 uuur uuur AB AC − (AB.AC) b.cosC + c.cosB sinA = p(p − a)(p − b)(p − c) Cho … bc Câu 11 Gọi G trọng tâm tam giác ABC M điểm tùy ý CMR a MA + MB2 + MC2 = GA + GB2 + GC2 + 3GM b 4(ma + Câu 12 Cho a m2b + mc2) = 3(a2 + b2 + c2) ∆ ABC có b + c = 2a Chúng minh sin B + sin C = 2sin A 1 = + b hb hc Câu 13 Cho ∆ ABC biết A ( 3; − 1) , B ( 0;3) , C ( 3;3) a Tính cạnh góc ∆ ABC b Tính chu vi diện tích ∆ ABC Câu 14 Cho ∆ ABC biết a = 40 , Bµ = 36° 20′ , Cả = 73 Tớnh àA Cõu 15 Cho ∆ ABC biết a = 42,4 m , b = 36,6 m , Cả = 33 10 Tớnh àA , Bµ , cạnh b , c tam giác cạnh c Câu 16 Để lập đường dây cao từ vị trí A đến vị trí B , ta phải tránh núi nên người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km nối từ vị trí C thẳng đến vị trí B dài km Góc tạo hai đoạn dây AC CB 75° Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến người ta tốn thêm km dây? Câu 17 Hai vị trí A B cách 500m bên bờ sơng từ vị trí C bên bờ sông Biết Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- · = 87° , · CAB CBA = 62° Hãy tính khoảng cách AC ABC Câu 18 Cho tam giác Tính Câu 19 BC = a , µA = α BC hai đường trung tuyến BM , CN vng góc với S ABC ABC Gọi la , lb , lc độ dài đường phân giác góc A, B, C Chứng Cho tam giác minh a) có la = 2bc A cos b+ c A B C cos cos 2+ 2+ = 1+1+1 lb lc a b c b) la cos 1 1 1 + + > + + c) la lb lc a b c Câu 21 Cho tứ giác ABCD ( p − a) ( p − b) ( p − c) ( p − d ) rằng: S ABCD = Cho tam giác Câu 23 Cho tam giác với p= a+b+c+ d a + b2 + c2 cos µA cos Bµ cos Cµ = + + có ba cạnh a, b, c chứng minh 2abc a b c ABC Câu 22 AB = a , BC = b , CD = c , DA = d Chứng minh nội tiếp đường trịn có ABC có ba cạnh a, b, c a = x + x + 1, b = x + 1, c = x − chứng minh tam giác có góc 120° Câu 24 Chứng minh với tam giác a b Câu 25 Tam giác cot A + cot B + cot C = sin A = ABC ABC ta có a + b2 + c R abc ( p − b) ( p − c) bc có tính chất S ∆ABC = ( a + b − c) ( a + c − b) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 ABC Gọi R , r Câu 26 Cho tam giác Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác r ≤ Chứng minh : R Câu 27 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: cos A + cos B ≤ ( cot A + cot B ) a sin A + sin B b 3S ≤ R ( sin A + sin B + sin 3C ) p < p − a + p − b + p − c ≤ 3p c d S2 ≤ Câu 29 Cho 4 (a +b +c ) 16 ∆ ABC Chứng minh a + b + c ≤ 2ab + 2bc + 2ca ABC Câu 30 Trong tam giác cạnh bé có chu vi 2p không đổi, tam giác có tổng lập phương 1 1 + + ≤ Câu 31 Cho tam giác ABC Chứng minh a b c 4r Câu 32 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a b c + + ≥ a b + c − a c + a − b a + b − c 1 1 + + = b hb hc r hb hc + 2+ 2≥ c hb hc r Câu 33 Cho tam giác Câu 34 Cho tam giác Câu 35 Tam giác ABC ABC ABC có có sin B + sin C = 2sin A Chứng minh A ≤ 60° 4 có a + b = c Chứng minh tam giác có góc tù a + b2 + c = 36r có tính chất gì? Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC (SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CÔ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC) huyngocnguyen95@gmail.com Câu a = 12 , b = 15 , c = 13 Tính số đo góc VABC Cho a VABC có b Tính độ dài đường trung tuyến c Tính VABC S , R ,r d Tính , hb , hc Lời giải Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy a Áp dụng định lí cosin VABC ta có: cos A = b + c − a 152 + 132 − 122 25 µ = = ⇒ A ≈ 50° 7′ 2bc 2.15.13 39 cos B = a + c − b 122 + 132 − 152 11 µ = = ⇒ B ≈ 73° 37′ 2ac 2.12.13 39 a + b − c 122 + 152 − 132 µ cos C = = = ⇒ C ≈ 56° 16′ 2ab 2.12.15 b Xét ma = mb = mc = ta có: ( b + c ) − a ( a + c ) − b2 ( a + b ) − c c Xét p= VABC VABC = = = ( 152 + 132 ) − 122 ( 122 + 132 ) − 152 ( 122 + 152 ) − 132 = 161 ⇒ ma = 161 = 401 401 ⇒ ma = = 569 569 ⇒ ma = ta có: a + b + c 12 + 15 + 13 = = 20 2 S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = 20.8.5.7 = 20 14 (đvdt) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 S = pr ⇔ r = Mà Ta có S= d Xét Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- S 20 14 = = 14 p 20 abc abc 12.15.13 117 ⇔ R= = = 4R 4S 4.20 14 14 VABC ta có: 2S 2.20 14 10 14 S = a.ha ⇔ = = = a 12 2S 2.20 14 14 S = b.hb ⇔ hb = = = b 15 2S 2.20 14 40 14 S = c.hc ⇔ hc = = = c 13 13 Câu VABC có AB = , AC = , góc A = 120° Tính diện tích VABC Tính cạnh BC bán kính r Cho a b Lời giải Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy a Xét VABC ta có: 1 S = bc.sin A = 6.8 = 12 (đvdt) 2 b Áp dụng định lí cosin VABC ta có: BC = AB + AC − AB AC.cos A = 62 + 82 − 2.6.8 S= −1 = 148 ⇒ BC = 148 = 37 AB AC.BC AB AC.BC 6.8 148 111 ⇔ R= = = 4R 4S 4.12 Ta có khanhhoanl2@gmail.com Câu ∆ ABC có a = 8, b = 10, c = 13 a) ∆ ABC có góc tù hay khơng? Cho b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp c) Tính diện tích ∆ ABC ∆ ABC Lời giải Tác giả: Khánh Hoa; Fb: Hợp Thư Tri Ân a) Vì a < b < c nên µA < Bµ < Cµ Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- a2 + b2 − c2 cos C = = − ⇒ Cµ ≈ 910 47 ' Ta có 2ab 32 ∆ ABC Vậy b) Gọi có góc góc tù R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ ABC Theo định lý 2R = Cµ sin : c c c ⇒ R= = = sinC 2sinC − cos C 13  1 1−  − ÷  32  = 208 ≈ 6,5 1023 (đvđd) c) Áp dụng cơng thức Hê - rơng, ta có: S∆ ABC = p( p − a)( p − b)( p − c) Với p= Do Câu a + b + c 31 = 2 S∆ ABC = 31  31   31 25575 1023   31  = ≈ 40  − ÷ − 10 ÷ − 13 ÷ =   16 (đvdt)   µ µ = 45° , b = Tính độ dài cạnh a, c , bán kính đường trịn Cho ∆ ABC có góc A = 60° , B ngoại tiếp diện tích tam giác Lời giải Tác giả: Khánh Hoa; Fb: Hợp Thư Tri Ân Ta có: Cµ = 180° − ( µA + Bµ ) = 75° a b c = = = 2R Từ định lí sin: sinA sinB sin C a= b sin A 2sin 60° b sinC 2sin 75° = = c= = = 1+ ; sinB sin 45° sinB sin 45° R= b = = 2sinB 2sin 45° Áp dụng cơng thức tính diện tích tam giác, ta có: 1 3+ S∆ ABC = ac sin B = + = 2 2 ( ) (đvdt) Hungtoan96cl@gmail.com, lehoanpc@gmail.com Câu Cho tam giác · = 60° Tính BC, S∆ ABC , , R ABC có AC = 7, AB = 5, BAC Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn ° · = 72 + 52 − 2.7.5.cos60° = 39 ⇒ BC = 39 BC = AB + AC − AB AC.cos BAC 35 · S∆ABC = AB AC.sin BAC = 5.7.sin 60° = ° 2 2.S 35 13 S∆ ABC = BC.ha ⇔ = ∆ ABC = ° BC 26 BC BC = 2R ⇔ R = ° sin A 2sin A = 13 Câu Cho tam giác ABC có mb = 4, mc = 2, a = Tính độ dài cạnh AB, AC Lời giải Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hồn Có AB = c, AC = b mb2 = 2(a2 + c2 ) − b2 2(9 + c2 ) − b2 ⇔ 16 = ⇔ 2c2 − b2 = 46 (1) 4 2(a + b2 ) − c 2(32 + b2 ) − c2 m = ⇔ 4= ⇔ 2b2 − c2 = − 4 c (2) b2 = 14 b = 14 ⇒  c = 30 c = 30  Giải hệ gồm phương trình (1), (2)  AC = 14   AB = 30 Vậy Lephi@thptthanuyen.edu.vn Câu Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = diện tích S = 3 Tính cạnh BC Lời giải Tác giả: Lê Bá Phi; Fb: Lee Bas Phi ·  BAC = 60° 3⇒ · · ⇔ sin BAC = ⇔ AB.AC sin BAC ·  BAC = 120° Ta có S = 3 =3 2 + TH1: · BAC = 60° Theo định lí cơsin tam giác, ta có: BC = AB + AC − AB AC.cos60 ° = + 16 − 12 = 13 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- · BAC = 120° + TH2: BC = AB + AC − AB AC.cos120 ° = + 16 + 12 = 37 Vậy BC = 13 BC = 37 anhson9802@gmail.com,Thuthuy1988.nt@gmail.com Câu Tính bán kính đường trịn nội tiếp ∆ ABC biết AB = 2, AC = 3, BC = Lời giải Tác giả:Bùi Thị Thủy ; Fb: Thuthuy Bui Ta có p= a + b + c 4+ 3+ = = , 2 S = p( p − a )( p − b )( p − c ) = S = pr ⇒ r =       15  − . − . −  = 2 2 2  S 15 15 = : = p Câu Tínhh góc A ∆ ABC có cạnh a, b, c thỏa mãn hệ thức ( ) ( ) b b2 − a = c a − c2 Lời giải Tác giả: Bùi Thị Thủy ; Fb: Thuthuy Bui Ta có ( ) ( ) b b − a = c a − c ⇔ b3 − ba − ca + c = ( ) ( ) ⇔ ( b + c ) b − bc + c − a ( b + c ) = ⇔ ( b + c ) b − bc + c − a = ⇔ b − bc + c − a = ⇔ b + c − a = bc ⇔ 2bc cos A = bc ⇔ cos A = ⇒ A = 600 Câu 10 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: tanA c2 + a2 − b2 = a tanB c2 + b2 − a2 b c2 = (a − b)2 + 4S c S = 1− cosC sinC 2R2.sinA.sinB.sinC uuur2 uuur uuur uuur S= AB AC − (AB.AC) d e a = b.cosC + c.cosB Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 f sinA = Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- p(p − a)(p − b)(p − c) Cho … bc Lời giải Tác giả: Dung Phuong; Fb: Dung Phuong 2ac cos B a cos B R sin A cos B tanA = = = a VP= 2bc cos A b cos A R sin B cos A tanB = VT (1− cosC) a2 + b2 − 2ab + absinC 2 b.VP= sinC = a + b − 2ab cos C = c = VT 1 S = ab sin C = 2R sin A.2 R sin B.sin C = R sin A sin B sin C c Ta có (Điều phải chứng 2 minh) d S= uuur2 uuur uuur uuur AB AC − (AB.AC) ⇔ S = AB2.AC2 − (AB.AC.cosA )2 2 1 AB2.AC2(1− cos2 A) ⇔ S = AB.AC.sinA (luôn đúng) ⇒ Điều phải chứng minh 2 ⇔ S= b(a2 + b2 − c2) c(a2 + c2 − b2) + e VP= = a = VT Suy điều phải chứng minh 2ab 2ac f VP = 2 S = bc sin A = sin A = VT Điều phải chứng minh bc bc Câu 11 Gọi G trọng tâm tam giác ABC M điểm tùy ý CMR a MA + MB2 + MC2 = GA + GB2 + GC2 + 3GM b 4(ma + m2b + mc2) = 3(a2 + b2 + c2) Lời giải Tác giả: Dung Phuong; Fb: Dung Phuong a uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur VT = (GA − GM)2 + (GB − GM)2 + (GC − GM)2 = GA + GB2 + GC2 + 3GM − 2GM(GA + GB + GC) uuuur r 2 2 = GA + GB + GC + 3GM − 2GM.0 = GA + GB2 + GC2 + 3GM = VP VT = 2b2 + 2c2 − a2 + 2a2 + 2c2 − b2 + 2b2 + 2a2 − c2 b = 3(a2 + b2 + c2) = VP Xuanmda@gmail.com, quankiet2@gmail.com ∆ ABC có b + c = 2a Chúng minh a sin B + sin C = 2sin A Câu 12 Cho Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 10 Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC L10 Ta có Chun Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- AC = 10, BC = 8, ·ACB = 75° Áp dụng định lý cos tam giác ABC: AB = BC + CA2 − BC.CA.cos C ⇒ AB = BC + CA2 − 2BC CA.cos C = 82 + 102 − 2.8.10.cos75° ≈ 11,072 km Số dây tốn thêm là: 10 + − 11,072 ≈ Câu 17 6,928 km Hai vị trí A B cách 500m bên bờ sơng từ vị trí C bên bờ sông Biết · = 87° , · CAB CBA = 62° Hãy tính khoảng cách AC BC Lời giải Tác giả: Tạ Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa Ta có Cµ = 180° − 87° − 62° = 31° Áp dụng định lý sin tam giác ABC: AB AC BC 500 AC BC ⇒  AC ≈ 857,167 m  = = ⇔ = = sin C sin B sin A sin 31° sin 62° sin 87°  BC ≈ 969, 472 m vanghhc@gmail.com Câu 18 Cho tam giác Tính ABC có BC = a , µA = α hai đường trung tuyến BM , CN vng góc với S ABC Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 13 Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- Lời giải Tác giải: Đinh Văn Vang; fb:Tuan Vu Hai đường trung tuyến BM , CN vng góc với trọng tâm G nên ta có 2  c + a b2 b2 + a c2  2  2  − + − ÷= a ⇔  BM ÷ +  CN ÷ = BC ⇔  9 4 GB + GC = BC     ⇔ b + c = 5a Mặt khác a = b + c − 2bc cos A ⇒ 2bc cos A = 4a ⇒ 4S cot α = 4a ⇒ S = a tan α Vậy diện tích tam giác Câu 19 Cho tam giác minh a) la = ABC S∆ ABC = a tan α ABC Gọi la , lb , lc độ dài đường phân giác góc A, B, C Chứng 2bc A cos b+ c A B C cos cos 2+ 2+ = 1+1+1 lb lc a b c b) la cos 1 1 1 + + > + + c) la lb lc a b c Lời giải Tác giải: Đinh Văn Vang; fb:Tuan Vu Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 14 Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- A B D C A A sin A = sin cos a) Ta chứng minh 2 Mặt khác S∆ABC = S∆ABD + S∆ACD 1 A A ⇔ bc sin A = la c sin + bla sin 2 2 A A A 2bc A ⇔ bc.2sin cos = la sin ( b + c ) ⇒ la = cos 2 2 b+ c A = b+c = + la 2bc 2b 2c cos b) B C cos = + = + lb 2a 2c lc 2b 2a cos Tương tự ta có A B C cos cos 2+ 2+ = 1+1+1 la lb lc a b c (dpcm) cos Suy A B C cos cos 2+ 2+ 1+1+1 la lb lc a b c la lb lc a b c (đpcm) cos Mà vungatoannvx@gmail.com Bài 20 Cho tam giác , m= ABC Gọi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến qua A, B, C ma + mb + mc S∆ ABC = m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc ) Chứng minh rằng: Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 15 Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- D điểm đối xứng A qua trọng tâm G P trung điểm BC , suy tứ giác GCDB hình bình hành (do hai đường chéo GD BC cắt trung điểm P Gọi đường) S∆ GBD = 2S ∆ GBP = S ∆ GBC = S ∆ ABC Ta có: Mà ∆ GBD 2 BG = mb GD = AG = ma BD = GC = mc có độ dài cạnh , , 2 p = ( ma + mb + mc ) = m Nửa chu vi 3 ⇒ S∆ GBD  2 = ÷  3 m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc ) ⇒ S∆ ABC = 3S∆ GBD = Câu 21 Cho tứ giác rằng: S ABCD = ABCD ( công thức Hê-rông ) m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc ) ( ĐPCM) nội tiếp đường trịn có ( p − a) ( p − b) ( p − c) ( p − d ) AB = a , BC = b , CD = c , DA = d Chứng minh với p= a+b+c+ d Lời giải Do tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên sin ·ABC = sin ·ADC , cos ·ABC = − cos ·ADC Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 16 Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 S ABCD = S ABC + S ADC = Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- 1 · · = ( ab + dc ) − cos ABC ( ab + dc ) sin ABC 2 Trong ∆ ABC ta có: · AC = a + b − 2ab cos ABC Trong ∆ ADC ta có: AC = c + d − 2cd cos ·ADC ⇒ a + b − 2ab cos ·ABC = c + d − 2cd cos ·ADC (a ⇒ cos ·ABC = + b2 ) − ( c + d ) ( ab + cd )  ( a2 + b2 ) − ( c2 + d )  ÷ = ( ab + dc ) −   ÷ 2 ( ab + cd )   S ABCD Do đó: ( ( ab + cd ) − ( a + b2 ) − ( c + d ) =4 = )  ( ab + cd ) − ( a + b ) + ( c + d )   ( ab + cd ) + ( a + b ) − ( c + d )      2 2 c + d ) − ( a − b)   ( a + b) − ( c − d )  (   =4   a + b + c − d   a + b − c + d   a − b + c + d   −a + b + c + d  =  ÷ ÷ ÷ ÷ 2 2      = ( p − d ) ( p − c ) ( p − b ) ( p − a ) với p = Hieu98kmhd@gmail.com Câu 22 Cho tam ABC giác có a+ b+ c+ d ( ĐPCM) ba cạnh a, b, c chứng minh a + b2 + c2 cos µA cos Bµ cos Cµ = + + 2abc a b c Lời giải uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 AB + BC + CA = ⇔ AB + BC + CA + AB.BC + BC.CA + AB.CA = Ta có: ( ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur ⇔ AB + BC + CA = BA.BC + 2CB.CA + AB AC 2 ⇔ a + b2 + c2 = 2ac cos Bµ + 2ab cos Cµ + 2bc cos Aµ a + b2 + c cos µA cos Bµ cos Cµ ⇔ = + + 2abc a b c Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 17 Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Câu 23 Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- a = x + x + 1, b = x + 1, c = x − chứng minh tam giác có góc 120° Lời giải a, b, c Điều kiện Với  x2 −1 >  ⇔ x >1 2 x + >  2 ba cạnh tam giác khi:  x − + x + > x + x + x > a > b a> c nên a cạnh lớn 2 b + c − a ( x + 1) + ( x − 1) − ( x + x + 1) µ cos A = = 2bc ( x + 1) ( x − 1) Tính 2 ( 2x + 1) + ( x − 1+ x + x + 1) ( x − 1− x − x − 1) = 2( 2x + 1) ( x − 1) 2 2 2 ( 2x + 1) − ( 2x + x) ( x + 2) ( 2x + 1)  2x + 1− x( x + 2)  = − x − = − = = 2( x − 1) 2( 2x + 1) ( x − 1) 2( 2x + 1) ( x − 1) 2 2 2 ⇒ µA = 120° GV PB: vuduchieu1904@gmail.com,Diephd02@gmail.com Câu 24 Chứng minh với tam giác ABC ta có a2 + b2 + c2 cot A + cot B + cot C = R a abc b sin A = ( p − b) ( p − c) bc Lời giải FB: Nguyễn Ngọc Diệp a + b2 + c cot A + cot B + cot C = R a Chứng minh: abc a a = R ⇒ sin A = Theo định lí sin : sin A R (1) b2 + c2 − a2 a = b + c − 2bc.cos A ⇒ cos A = Theo định lí cosin : (2) 2bc 2 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 18 Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- 2 cos A R ( b + c − a ) ⇒ cot A = = Từ (1) (2) sin A abc cot B = Tương tự: R ( a + c2 − b2 ) , abc cot C = R ( a2 + b2 − c2 ) abc Khi đó: cot A + cot B + cot C = b Chứng minh: Gọi sin R ( b2 + c − a ) A = abc + R ( a + c2 − b2 ) abc + AOE vuông abc a + b2 + c2 = R abc ( p − b) ( p − c) bc O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có: Tam giác R ( a + b2 − c2 ) E OE = r , AE = AB + AC − BC = p− a A OE r A tan = = ⇒ r = ( p − a ) tan nên: AE p − a A A S∆ ABC = pr = bc sin A = bc sin cos Mặt khác 2 ⇒ ( S∆ ABC ) 2 A A A A A  A = pr.bc sin cos = p ( p − a ) tan bc sin cos = p ( p − a ) bc  sin ÷ 2 2   (1) S∆ ABC = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ⇒ ( S ∆ ABC ) = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) (2) Công thức Hê rông: A  A ⇒ p ( p − a ) bc  sin ÷ = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ⇒ sin = Từ (1) (2)  2 Câu 25 Tam giác ABC có tính chất S ∆ABC = ( p − b) ( p − c) bc ( a + b − c) ( a + c − b) Lời giải Ta có: p= S∆ABC = a+ b+ c ( a + b − c ) ( a + c − b ) ⇔ 4S∆ ABC = ( a + b − c ) ( a + c − b ) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 19 Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- ⇔ p ( p − a) ( p − b) ( p − c) = ( a + b − c) ( a + c − b) ⇔ 16 p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = ( a + b − c ) ( a + c − b ) ⇔ 16 a+ b+ c  a+ b+ c  a+ b+ c  a+ b+ c  2  − a ÷ − b ÷ − c ÷ = ( a + b − c) ( a + c − b)     ⇔ ( a + b + c) ( b + c − a ) ( a + c − b) ( a + b − c ) = ( a + b − c ) ( a + c − b ) 2 ⇔ ( a + b + c) ( b + c − a) = ( a + b − c) ( a + c − b) ⇔ ( b + c ) − a = a − ( b − c ) ⇔ b2 + c = a 2 Vậy tam giác ABC vuông Thuylinh133c3@gmail.com Câu 26 Cho tam giác A ABC Gọi R , r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác r ≤ Chứng minh : R Lời giải Tác giả:Nguyễn Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Thùy Linh S abc r 4S p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) r= R= ⇒ = = = Ta có p, 4S R pabc pabc abc Mà ( p − a) ( p − b) ≤ ( p − a) ( p − c) ≤ 2p− a − b c = 2 2p − a − c b = 2 ; ⇒ ( p − a) ( p − b) ( p − c) ≤ ( p − b) ( p − c) ≤ 2p− b− c a = 2 abc r ⇒ ≤ R Dấu xảy a = b = c PB: Fb Bích Ngọc Đặng Câu 27 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: cos A + cos B ≤ ( cot A + cot B ) a sin A + sin B b c 3S ≤ R ( sin A + sin B + sin 3C ) p < p − a + p − b + p − c ≤ 3p Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 20 Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 d S2 ≤ Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- 4 (a +b +c ) 16 Lời giải dothu.namtruc@gmail.com cos A + cos B ≤ ( cot A + cot B ) a sin A + sin B − sin A + − sin B ⇔ ≤ ( + cot A + + cot B − ) 2 sin A + sin B ⇔ ⇔ − ( sin A + sin B ) sin A + sin B 2 −1≤ sin A + sin B 1 1  ≤  + ÷−  sin A sin B  1 1  +  ÷−  sin A sin B    ⇔ ≤  + ÷( sin A + sin B )  sin A sin B  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si sin A + sin B ≥ sin A.sin B     2 1 1  ⇒  sin A + sin B ÷ ( sin A + sin B ) ≥ + ≥2  sin A sin B sin A sin B  Dấu =  sin A = sin B  ⇔ 1 ⇔ A= B =  xảy  sin A sin B a b c 3 = = S ≤ R sin A + sin B + sin C ( ) , áp dụng định lí sin sin A sinB sinC = 2R b 3abc b3 c3  2 a ⇔ ≤ 2R  + + ÷ 4R  8R R R  3 ⇔ 3abc ≤ a3 + b3 + c3 (luôn áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho số a , b , c a3 + b3 + c3 ≥ 3 a b3 c = 3abc ) Dấu = xảy c + Ta có ⇔ a = b3 = c ⇔ a = b = c ( x + y + z) = x + y + z + xy + yz + zx > x + y + z , ∀ x, y, z > ( *) + Áp dụng bất đẳng thức ( *) cho số p − a, p − b, p − c Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 21 Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 ( ) ( Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- ) ( ) ( p − a + p −b + p −c > p−a + p −b + ) p − c = 3p − ( a + b + c) = p ⇔ p− a + p− b + p− c > p + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ( ) p − a + p − b + p − c ≤ ( 12 + 12 + 12 ) ( p − a + p − b + p − c ) = p ⇔ p − a + p − b + p − c ≤ 3p Dấu = ⇔ p− a = p− b= p− c ⇔ a = b= c xảy S2 = d Ta có ( p ( p − a) ( p − b) ( p − c) ) = p ( p − a) ( p − b) ( p − c)  a + b + c   a + b − c   a − b + c   −a + b + c  = ÷ ÷ ÷ ÷      = 1 2 ( b + c ) − a   a − ( b − c )  16 ≤ 1 1 ( b + c ) − a  a = ( b + 2bc + c − a ) a ≤ ( 2b + 2c − a ) a = ( 2b 2a + 2c 2a − a ) 16 16 16 16 ≤ 4 4 4 4 ( b + a + c + a − a ) = 16 ( b + c + a ) 16 Dấu Bài 28 Cho = b = c  ⇔ a = b ⇔ a = b = c a = c xảy  ∆ ABC Chứng minh S∆ ABC = (4 a sin 2B + b2 sin A) Lời giải Tác giả:; Fb: thanhhoa Nguyễn Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 22 Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Gọi C′ điểm đối xứng với Trường hợp 1: Nếu góc C Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- qua đường thẳng B ≤ 90° Khi S ACBC′ = 2S∆ABC , mà S ACBC ' = S∆CBC′ + S∆ACC ′ Suy S∆ ABC = Khi = (2 a sin 2B + b2 sin A ) (4 a sin 2B + b2 sin A) Trường hợp 2: Nếu góc S∆ ABC = AB , H = CC ′ ∩ AB B > 90° ( S∆ ACC ' − S∆ C′BC ) ( ) 1 1  2 · =  b2 sin A − a sin 2CBH ÷ = b sin A + a sin B 2 2  Câu 29 Cho ∆ ABC Chứng minh a + b + c ≤ 2ab + 2bc + 2ca Lời giải Ta có a − b < c ⇒ ( a − b ) < c ⇔ a + b − c < 2ab ( 1) Tương tự a + c − b2 < 2ac ( ) ; c + b2 − a < 2bc ( 3) Cộng vế ( 1) , ( 2) , ( 3) ta a + b + c ≤ 2ab + 2bc + 2ca Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 23 Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- nvanphu1981@gmail.com, vanhuanhb@gmail.com Câu 30 Trong tam giác cạnh bé ABC có chu vi 2p khơng đổi, tam giác có tổng lập phương Lời giải Tác giả:Bùi Văn Huấn; Fb:https://www.facebook.com/buivanhuan Tam giác ABC với ba cạnh a , b , c có chu vi a + b + c = p Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai số (1 +1 +1 ) ( a 2 2 ( 1;1;1) không đổi ( a; b; c ) + b2 + c ) ≥ ( a + b + c ) ta có: ⇔ ( a + b + c ) ≤ 3( a2 + b2 + c2 ) ⇔ ( a + b + c ) ≤ ( a + b2 + c ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai số ( a + b + c) ( a Suy Dấu a + b3 + c3 (a ≥ +b +c ) ≥ 3 + b2 + c2 ) a+b+c ( ( a ; b; c a a + b b + c c 3 ( a + b + c) ≥ 9( a + b + c) = ) ) ( a ; b3 ; c = ( a + b2 + c2 ) ) ta có: ( a + b + c ) = p3 9 " = " xảy a = b = c Vậy tam giác có tổng lập phương cạnh đạt giá trị bé tam giác 1 1 + + ≤ Câu 31 Cho tam giác ABC Chứng minh a b c 4r Lời giải Tác giả: Bùi Văn Huấn; Fb:https://www.facebook.com/buivanhuan Ta có: a ≥ a − ( b − c) Tương tự: 1 ≤ b2 b2 − ( c − a ) 2 2 ⇒ 1 ≤ 2 a a − ( b − c) 1 ≤ c2 c2 − ( a − b ) Nên ta có: Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 24 Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- 1 1 1 + 2+ 2≤ + + 2 2 a b c a − ( b − c) b − ( c − a) c − ( a − b) = + 1 + ( a − b + c) ( a + b − c) ( b − c + a) ( b + c − a) ( c − a + b) ( c + a − b) = 1 + + ( p − b) ( p − c) ( p − c) ( p − a ) ( p − a ) ( p − b) = p p2 p2 = = = ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) S 4r chithin.nguyen@gmail.com Câu 32 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a b c + + ≥ a b + c − a c + a − b a + b − c 1 1 + + = b hb hc r hb hc + 2+ 2≥ c hb hc r Lời giải Tác giả : Nguyễn Chí Thìn, FB: Nguyễn Chí Thìn a Ta có: ( b + c − a) ( a + c − b) ≤ b+ c− a+ a+ c− b =c ( a + c − b) ( a + b − c ) ≤ a+ c−b+ a+ b− c =a ( a + b − c) ( b + c − a) ≤ a+ b− c+ b+ c− a =b Nhân theo vế ta có: ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b ) ≤ abc ⇒ abc ≥ ( a + b − c) ( b + c − a) ( c + a − b) Ta lại có: a b c abc + + ≥ 33 ≥ b+c−a c + a −b a +b−c ( b + c − a) ( c + a − b) ( a + b − c) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 25 Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Dấu Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- " = " xảy a = b = c hay tam giác ABC 1 p a +b+c a b c 1 = = = = + + = + + 1 r S S 2S a.ha b.hb c.hc hb hc b Ta có: p 2 c Ta có: hb + ≥ ha2 hb hc + ≥ hb2 hc hb + ≥ hc2 hc ⇒ hb hc 1 1 + + ≥ + + = ha2 hb2 hc2 hb hc r Dấu " = " xảy = hb = hc tam giác ABC chithin.nguyen@gmail.com Câu 33 Cho tam giác ABC có sin B + sin C = 2sin A Chứng minh A ≤ 60° Lời giải Tác giả : Nguyễn Chí Thìn, FB: Nguyễn Chí Thìn b2 Từ giả thiết ta có: ( R ) + c2 ( 2R) =2 a2 ( R ) ⇔ b + c = 2a 2 b2 + c − a a a2 a2 cos A = = ≥ = = Khi đó: 2bc 2bc b + c 2a 2 Suy A ≤ 60° Chubabien@gmail.com, Thuy.tranthithanhdb@gmail.com Câu 34 Cho tam giác ABC 4 có a + b = c Chứng minh tam giác có góc tù Lời giải Tác giả: Chu Bá Biên ; Fb: Biên Chu 4  43 43   43 43  4 3 a + b = c ⇔ c =  a + b ÷ = a + b + 3a b  a + b ÷ Ta có     4 4 2  43 43  4 ≥ a + b + 3a b  a + b ÷ ≥ a + b + 2a b a b = a + b + 2a 2b = ( a + b )   4 4 3 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 26 Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- a + b2 − c cos C = < ⇒ c ≥ 90° Suy c > a + b mà 2ab Vậy tam giác có góc tù ABC Câu 35 Tam giác có a + b + c = 36r có tính chất gì? Lời giải Tác giả: Chu Bá Biên ; Fb: Biên Chu ( p − a) ( p − b) ( p − c) S2 a + b + c = 36r = 36 = 36 p p 2 ( p − b) ( p − c) ( p − c) ( p − a) ( p − a) ( p − b) = 36 Ta có p (1) ( p − b) ( p − c) ≤ p − b + p − c = a Tương tự ( p − c ) ( p − a ) ≤ b;2 ( p − a ) ( p − b ) ≤ c ( p − b) ( p − c) ( p − c) ( p − a) ( p − a) ( p − b) p Suy Từ (1) (2) suy ra: Mà a2 + b2 + c2 ≤ ≤ abc p (2) 9abc ⇔ ( a + b + c ) ( a + b + c ) ≤ 9abc a+ b+ c a + b + c ≥ ab + bc + ca ⇒ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≤ 9abc ⇔ a ( b2 − 2bc + c ) + b ( c − 2cb + b ) + c ( a − 2ab + b ) ≤ ⇔ a ( b − c) + b ( c − a ) + c ( a − b) ≤ ⇔ a = b = c Vậy tam giác ABC có a + b2 + c2 = 36r ∆ ABC Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 27 Mã đề 0108 ... gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC... gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 ABC Gọi R , r Câu 26 Cho tam giác Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam. .. sông Biết Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề 0108 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC L10 Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- · = 87° , ·