Đang tải... (xem toàn văn)
2)Chứng minh tổng các khoảng cách từ M đến các mặt bên không đổi khi M di chuyển trên miền trong của đáy ABCD.. Điểm M thuộc miền trong đáy ABCD. 1)Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng[r]
(1)1
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 12
TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I Năm học 2010-2011
Thời gian làm :180 phút
******************************************************************
Câu I : (2 điểm)
Cho hàm số y = - 3m + ( - 1)x + ,với m R
1) Với m = -1
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
2) Tìm m để đồ thị cắt đường thẳng y = hai điểm A,B phân biệt Khi m AB có độ dài ngắn ?
Câu II : (2 điểm)
1)Chứng minh: m R phương trình :
2sinx + msin2010x + = có nghiệm x R 2) Cho a, b, c số thực thỏa mãn 5a + 4b + 6c = 0
- Chứng minh phương trình a + bx + c = có nghiệm x R
Câu III : (2 điểm)
1) Với a,b,c ba số dương.Chứng minh :
2) Tính đạo hàm y’ đạo hàm bậc 10: y(10) hàm số : y =
Câu IV : (2 điểm)
Hình chóp tứ giác SABCD đỉnh S. Cạnh đáy a diện tích
tồn phần 3a2 Điểm M thuộc miền đáy ABCD 1)Tính góc cạnh bên mặt phẳng đáy hình chóp ?
2)Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến mặt bên không đổi M di chuyển miền đáy ABCD
Câu V :(2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho ABC có A(2;-1).Đường thẳng chứa đường cao BH trung tuyến CM tương ứng có phương trình : x +6 y - 14= (d1) x - y +2 = (d2)
1- Tính tọa độ đỉnh B ,C ABC
2- Viết phương trình dạng tổng quát đường thẳng chứa cạnh ABC ******************************************************************
(2)2
ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN
THI HSG 12 MƠN TỐN
TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ AN 2010-2011 (180 phút)
******************************************************************
Câu I : (2 điểm)
Cho hàm số y = - 3m + ( - 1)x + ,với m R
1) Với m = -1 ,
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
2) Tìm m để đồ thị cắt đường thẳng y = hai điểm A,B phân biệt Khi m AB có độ dài ngắn ?
Hướng dẫn:
1)Với m = -1 Hàm số y = + + y’ = 3x2
+ 6x = x1= 0, x2= -2.So sánh f(-1) , f(0) ,f(1) để có gtln gtnn
Có f(-1) = , f(0) = f(1) = Vậy hàm số có gtln gtnn 2)Tọa độ điểm chung hai đường có nghiệm hpt:
Để có giao điểm A,B phân biệt , pt phải có nghiệm phân biệt
-Thấy: pt = có = 5m2 + với m R
-Do để pt (*) có nghiệm phân biệt buộc pt : = phải có nghiệm x1 = Và nghiệm x2
Suy phải có = m1= - 1, m2 =
-Với m1= - 1, P/ trình trở thành x
(x+ 3) = 0, có nghiệm x1 = x2 = -
Hai giao điểm : A(0;2) B(-3;2) Có AB = -Với m1= 1.P/trình trở thành x
2
(x - 3) = , có nghiệm x1 = x2 =
Hai giao điểm : A(0;2) B(3;2) Có AB =
-Trả lời : có hai giá trị thỏa mãn yêu cầu toán : m1= - 1, m2 =
Câu II : (2 điểm)
1)Chứng minh: m R phương trình :
2sinx + msin2010x + = có nghiệm x R 2) Cho a, b, c số thực thỏa mãn 5a + 4b + 6c = 0
- Chứng minh phương trình a + bx + c = có nghiệm x R Hướng dẫn:
(3)3
Vậy phương trình có nghiệm x (- ) Với m R
2) Nếu a = pt: a + bx + c = trở thành bx + c = Và 5a + 4b + 6c = 0trở thành 2b + 3c = Do pt có nghiệm x =
Nếu a : Hàm số f(x) = a + bx + c liên tục R
Ta có: 5a + 4b + 6c = (4a + 2b + c ) + (a + 2b + 4c) + c = Tức : f(2) + f( + f(0) = Suy : ba số f(2) , f( ,f(0) dấu triệt tiêu (do pt bậc có khơng q nghiệm).Như số có hai số khác dấu.Vậy phương trình có nghiệm
Với a,b,c số thực thỏa mãn 5a + 4b + 6c = 0 pt: a + bx + c = có nghiệm
Câu III : (2 điểm)
1) Với a,b,c ba số dương.Chứng minh :
2)Tính đạo hàm y’ đạo hàm cấp 10 : y(10) hàm số : y =
Hướng dẫn:
1) Với a,b,c ba số dương,áp dụng Bđt Co-Si : (1)
Cũng theo Co-si : = = (2)
Từ (1) (2) ta điều phải chứng minh : Với a,b,c ba số dương :
2) Viết y = = y = = -
-Chứng minh phương pháp quy nạp toán học : y = thì: y(n) =
* Áp dụng: -Ta có y’ = + Và y(10) = -
Câu IV : (2 điểm)
Hình chóp tứ giác SABCD đỉnh S. Cạnh đáy a.và diện tích
toàn phần 3a2 Điểm M thuộc miền đáy ABCD 1)Tính góc cạnh bên mặt phẳng đáy hình chóp ?
2)Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến mặt bên không đổi M di chuyển miền đáy ABCD
Hướng dẫn : (Hãy tự vẽ hình nhé)
(4)4
Đáy hình chóp tứ giác hình vng cạnh a nên đáy có diện tích a2
mà Stp= 3a
2
, suy Sxq= 2a
mặt bên có diện tích Smb=
Như Sxq = 2.Sđ Do góc mặt bên mặt phẳng đáy 600 (S'=Scos )
Từ ta có đường cao hình chóp SH = (Vì SIK đều, I ,K tương ứng trung điểm AB , CD)
Gọi góc cạnh bên mặt phẳng đáy thì:
tan = = .(Vì SH = , HA = )
2)Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến mặt bên không đổi M di chuyển miền đáy ABCD:
-Lấy điểm M tùy ý thuộc miền hình vng ABCD Nối M với đỉnh hình chóp Ta hình chóp chung đỉnh M ,đáy hình chóp mặt bên hình chóp tứ giác SABCD.Tổng thể tích hình chóp thể tích SABCD
-Gọi d1 ,d2 ,d3 ,d4 khoảng cách từ M đến mặt hình chóp SABCD
-Ta có : VSABCD= a
= (3) -Ta lại có VSABCD= V1+ V2+V3+V4 = Smb(d1+d2+d3+d4) = (d1+d2+d3+d4) (4)
Từ (3) ,(4) suy ra: = (d1+d2+d3+d4) d1+d2+d3+d4 = a (Không đổi)
Câu V :(2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho ABC có A(2;-1).Đường thẳng chứa đường cao BH trung tuyến CM tương ứng có phương trình : x + y - 14= (d1) x - y +2 = (d2)
1- Tính tọa độ đỉnh B ,C ABC
2- Viết phương trình tổng quát đường thẳng chứa cạnh ABC Hướng dẫn : ( Mỗi ý 0,25 đ ) - Hãy tự vẽ hình
1-Giải hpt : pt (d1) pt (d2) giao điểm: K( ; )
2)Xác định tọa độ A' đối xứng với A qua K : A’(- ; )
3)Viết pt (d3) qua A' song song với (d2) – pt (d3) là: x – y + =
4)Giải hpt :pt (d1) pt (d3) giao điểm: B(-4;3 )
5)Viết pt (d4) qua điểm A ,B Đg thẳng (d4) chứa AB : 2x + 3y -1 =
6)Viết pt (d5) qua A vng góc với (d1).Đg thẳng (d5) chứa AC: 6x – y – 13 =
7)Giải hpt :pt (d2) pt (d5) giao điểm : C(3 ;5)
8)Viết pt (d6) qua điểm B ,C Đg thẳng (d6) chứa BC : 2x – 7y + 29 =
******************************************************************